材料力学习题解答6

A
b
a
q
C
F
B
RA
b 2a
a
Fs
3 qa 4 3 a 4
qa
5 qa 4 1 qa 2 2
max
M max qa 2 32 16qa 2 3 Wz 2 d d 3
M
9 qa 2 32
9． 阶梯状悬臂梁受均布载荷 q 作用，梁的横截面宽 度均为 b ，左右段梁的高度分别为 h1和 h2 。若梁的 总长度 L 不变，梁材料的许用应力为[ ] 。则当梁的 总重量为最小时，试确定 h1 h2 L1 以及 L2 的值。 解： 梁的危险截面在A,C处。
解：

t max
F
C
155
600 Fy1 [ t ] Iz
t c
A
B
95
1400
2F
600
150
I z [ t ] 1.0 108 40 [ F1 ] 43 103 N 43 kN 600 y1 600 155
c c max A
c
㈠
y1 155 y2 95
1 2 1 2 M A qL M C qL2 2 2 MA 1 2 6 3qL2 A max qL 2 [ ] 2 Wz 2 bh1 bh1
h1
A
q
h2
C
B
L1
L
L2
C max
MC 1 2 6 3qL2 2 qL2 2 [ ] 2 Wz 2 bh2 bh2
L/2
20
㈠100
z
z'
20
y1
y2
20
80
㈩
㈩ 100
z
z'
20
y1
y2
20
80
[ F ] 6.45 kN
㈠
6．如图所示铸铁制成的悬臂梁，梁材料的许用拉应 力 [ t ] 40MPa ，许用压应力 [ c ] 160MPa，截面对形心的 惯性矩 I z 1.0 108 mm4 。试求梁的许可载荷 [F ] 。
M max FL 3
F
A
F
B
L/3
L
L/3
No .20
查表： Wz 2 237 cm3 474 103 mm 3
M max FL [ ] Wz 3Wz 3 3Wz [ ] 3 474 10 170 [F ] 6 103 L
max
237 170 40.3 103 N 40.3 kN
t max
㈠
30
y1
z
400
y2 My 2 My1 t c c [ ] max [ ] z' 60 Iz Iz b c t [ ] 4[ ] ㈩ y 梁的中性轴的最佳位置： 1 4 y1 4y2 y1 y2 400 y2 80 mm y2 400 60 60) 截面的形心梁位置：S z ' 60b 30 30 (400 60) ( 2 1800b 2346 103 S z ' 1800b 2346 103 3000b (2346 816) 103 y2 80 mm A 60b 30 340 b 510 mm
㈠100
z
z'
20
y1
20
80
y2
㈩
㈩ 100
z
z'
20
y1
20
80
y2
y2 2 y1
㈠
5．如图所示外伸梁，载荷 F可在全梁上自由移动， 若梁材料的许用拉应力 [ t ] 35MPa，许用压应 L 力 [ c ] 140MPa ， 1 m 。试求许可载荷[F ] 。
FL FL 解： M D MC 4 2 y1 32.2 mm y2 67.8 mm
3qL2 h1 b[ ]
h2 L2
3q b[ ]
梁的重量最小，则体积最小。
V ( L1h1 L2 h2 )b [( L L2 )h1 L2 2
f ( L2 ) ( L L2 )h1 L
2 2
3q ]b b[ ]
3q b[ ]
9． 阶梯状悬臂梁受均布载荷 q 作用，梁的横截面宽 度均为 b ，左右段梁的高度分别为 h1和 h2 。若梁的 总长度 L 不变，梁材料的许用应力为[ ] 。则当梁的 总重量为最小时，试确定 h1 h2 L1 以及 L2 的值。 解： f ( L2 ) ( L L2 )h1 L2 2
A
C
D
B
q
10． 如图所示，铁轨对枕木AB的压力为F，路基对枕木的反作 用力可认为是均匀分布的，两铁轨之间的距离为L，（1）为使 枕木具有最大的强度，则尺寸a最合理的大小是多少？（2）若 枕木的抗弯截面系数为W，材料的许用应力为[ ] ，则在枕木具 有最大强度时，其能承受的最大轨道压力F为多大？ 解： M 1 qa 2 1 qL2 max
( A)
(B )
(C )
(D)
(E )
(F )
3． 在图示截面图形中，弯曲中心与图形形心重 合的有：A, D, E 。
( A)
(B )
(C )
(D)
(E )
(F )
4．如图所示，由两根 No .20 槽钢组成的外伸梁在外伸端 分别受到载荷 F的作用，已知 L 6 m ，材料的许用应 力 [ ] 170MPa。不考虑梁的自重时，求梁的许可载荷 [F ] 解： 梁的危险截面在支座 间的任意截面。
3q b[ ]
q
h1
A
h2
C
B
d f ( L2 ) 3q h1 2 L2 0 d L2 b[ ] 3q 3q L 2 L2 b[ ] b[ ]
L1
L
L2
3qL2 h1 b[ ]
L 3q h2 2 b[ ] L 3q 2 b[ ]
h2 L2
3q b[ ]
L L2 2
F
A
100 20
C
B
D
L
80
I z 3.1106 mm 4
L/2
20
D截面: t
M D y2 FLy2 [ t ] max D Iz 4I z M y FLy1 c max D D 1 [ c ] Iz 4I z M y FLy1 t [ t ] C截面: max C C 1 Iz 2I z M y FLy2 c max C C 2 [ c ] Iz 2I z
㈠
y1 155 y2 95
㈩ ㈩
y1 155 y2 95
150
150
㈠
6．如图所示铸铁制成的悬臂梁，梁材料的许用拉应 力 [ t ] 40MPa ，许用压应力 [ c ] 160MPa，截面对形心的 惯性矩 I z 1.0 108 mm4 。试求梁的许可载荷 [F ] 。
L L1 2
3q b[ ]
故梁重量最小时有：
h1 L
h2
L1 L2
L 2
10． 如图所示，铁轨对枕木AB的压力为F，路基对枕木的反作 用力可认为是均匀分布的，两铁轨之间的距离为L，（1）为使 枕木具有最大的强度，则尺寸a最合理的大小是多少？（2）若 枕木的抗弯截面系数为W，材料的许用应力为[ ] ，则在枕木具 有最大强度时，其能承受的最大轨道压力F为多大？
材料力学习题解答6
梁的应力与强度
1． 如图所示悬臂梁，图中所示灰色的面上 A, B, C , F 不存在切应力的： .
m
F
F
( A)
m
(B )
F
(C )
F
(D)
(E )
(F )
F
2． 如图所示用四根角钢组成的梁受横向载荷作用 产生纯弯曲，从强度考虑，在图示各种组合形式中， C , D, F 。 较为合理的有：
C
B
D
L
80
L/2
100
y1
20
截面形心位置：
2
z S z ' 100 20 (80 10) 20 80 40 80 y 4 4 3 (18 6.4) 10 24.4 10 mm z' 20 Sz' 24.4 104 y2 67.8 mm y1 100 67.8 32.2 mm A 2000 1600 100 203 2 截面对中性轴 I z 12 100 20 (32.2 10) 的惯性矩： 20 803 5 5 20 80 (67.3 40) 2 10.52 10 20.45 10 12 3.1106 mm 4
8． 如图所示，一很长的钢筋放置于刚性地面上， 用力F 将其提起，钢筋直径为d，单位长度的重 量为q，当b = 2a 时，载荷F 有多大？此时钢筋 F 中的最大正应力是多少？
A
B
解： AB段钢筋可简化为图示悬 臂梁。且有条件：
MA 0 1 9 2 M A 2 Fa q(3a) 0 F qa 2 4 9 3 RA 3qa qa qa 4 4 1 危险截面在C截面。 M Байду номын сангаасax qa 2 2
5．如图所示外伸梁，载荷 F可在全梁上自由移动， 若梁材料的许用拉应力 [ t ] 35MPa，许用压应 L 力 [ c ] 140MPa ， 1 m 。试求许可载荷[F ] 。
解： 梁的危险截面在AC段梁的 中点D和支座C截面处。
FL MD 4 FL MC 2
F
A
100 20
F
A
100 20
C
B
D
80
L I z 3.1106 mm 4 FLy2 t t max max D [ t ] 4I z 4 I z [ t ] 4 3.1106 35 6.45 103 N 6.45 kN [ F1 ] Ly2 1000 67.3 FLy2 c c max max C [ c ] 2I z 2 I z [ c ] [ F2 ] [ c ] 2[ t ] [ F2 ] [ F1 ] Ly2
20
5．如图所示外伸梁，载荷 F可在全梁上自由移动， 若梁材料的许用拉应力 [ t ] 35MPa，许用压应 L 力 [ c ] 140MPa ， 1 m 。试求许可载荷[F ] 。
FL FL 解： M D MC 4 2 y1 32.2 mm y2 67.8 mm
2 16
2
F F
C
A
D B
max
q
M W
max

qL [ ] 16W
q
a a
L
16W [ ] L2
[q]
16W [ ] L2
M

FL 1 L q(a ) 2 2 2 2
最大轨道压力：
Fmax
16W [ ] L 2 L ( L) [q]( a) 2 L 2 4 2 2 8W [ ] (1 ) 2 L
解： 梁的危险截面在A截 面和C截面处。
M A (1400 2F 2000F ) 800F
F
C
A
155
B
95
1400
2F
600
150
M C 600F M y 800 Fy2 t [ t ] A截面: A A 2 Iz Iz M A y1 800 Fy1 c A [ c ] Iz Iz C截面: ct M C y1 600 Fy1 [ t ] Iz Iz M y 600 Fy2 c C C 2 [ c ] Iz Iz 800 y2 800 95 76000 800 y2 600 y1 600 y1 600 155 93000
解： 枕木具有最大强度时有：M max M max
max
F F
1 M qa 2 2 FL 1 L a a L M max q(a ) 2 2 2 2 FL 1 L L L 1 L 2 q(a ) 2 q(a ) q(a ) 2 2 2 2 2 2 2 1 L L q(a )( a ) M 2 2 2 1 2 qa 2 2 1 L q( a 2 ) L 2 2 4 a L 0.35L 4 2 2
800 Fy1 [ c ] Iz
8
I [ ] 1.0 10 160 [ F2 ] z 129 103 N 129 kN 800 y1 800 155
㈩ ㈩
y1 155 y2 95
150
150
[ F ] 43 kN
㈠
7． 简支梁受竖直向下的均布载荷作用，其截面 形式如图所示。若梁材料的许用压应力是许用拉 应力的4倍，求梁下缘宽度b的最佳值。 解： 梁的中间截面为危险 截面，且该截面下缘 受拉，上缘受压。