最新复变函数与积分变换试题及答案25合集

一、填空题：（21分）答案
1．1i --的指数表达式
324 0,1,2,i k i k ππ-+=±± ; 2．(1)Ln i += 122 0,1,2,24
Ln i k i k ππ++=±± ; 3．解析函数设 ()f z 在 0z 处的转动角： 0()Argf z ' ;
4．幂级数0
1!n n z n +∞=∑的和函数的解析域 ||z <∞ ; 5．幂函数、指数函数的映照特点分别是： 角形域—角形域 ， 带形域—角形域 ； 6．若L 1[()]f t S =
， 则L [(22)]f t += 1s e S 。

二、简答题：（18分）
1．叙述复数函数的知识体系（6分）。

答： 复数—复导数—积分—级数—留数—共形映照
2．若0z 分别为()f z 及()g z 的m 阶及n 阶极点，则()()f z g z +在0z 具有什么性质。

答： 11001()(), ()0()m f z f z f z z z =≠-， 11001()(), ()0()n g z g z g z z z =≠- 0z 为()()f z g z +的{}max ,m n 阶极点。

（6分）
3．叙述将单位圆盘||1z <保形映照为单位圆盘||1w <且将00 (||1)z z <映照为0w =的分式线性函数001i z z w e z z
θ-=-产生的关键步骤。

答： 00z w →=，
01z →∞;（3分） ||1||1z w =→=.（3分） 三、计算题：（49分）
1． 求32()3f z x x yi =+的解析域；
解： 23,u v x x y ∂∂==∂∂ 0u y
∂=∂，6v xy x ∂=∂（4分） ∴仅在（0，0）处C —R 方程成立（2分）
∴处处不解析（1分）
2． 求21()(1)
f z z z =-在0|1|1z <-<时的罗朗级数； 解：2111()[](1)1z z z ''=-=--+（4分）11100
[(1)(1)](1)(1)n n n n n n z n z +∞+∞++-=='=--=--∑∑（2分）
22 ()(1)(1)n f z n z +∴=--∑（1分）
3． 求积分 ,C I zdz =
⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。

解： i i z re e θθ==（2分）
202i i I e e id i π
θθθπ-=⋅=⎰（5分）
4． 求积分 ||21(21)(1)z I dz z z ==+-⎰ 。

解： 11(21)(1)c I d z z z =+-
⎰（3分） 1121111||0212133
z z z z ==-=+=-=+-（2分, 2分） 5．求积分 ||1πctan ,2
z I zdz ==⎰ 解： 0c o s 22{R e [,0]}2|4c o s 22
z z
I i s f i i z πππππ====（3分,3分,1分） 6、求函数'()tf t 的傅里叶变换。

解：F 1
'()tf t i =-F ['()][()]()()f t i i F F F ωωωωω''=⋅⋅=--（3分,3分,1分）
7．求函数sin at te t β-的拉普拉斯变换。

解：L [sin ]at te t β-=L [sin ]s s a t t β=+={-L [sin ]}s s a t β=+ 2222
2()())()s s a s s a s a s s a β
βββ=+=++''=-=+++（2分,2分, 2分,1分） 四、证明及解方程（12分）
1． 证明：F 000[cos ][()()]t ωπδωωδωω=++-。

证： F -1000011[()()]()()22i t i t e d e d ωωδωωδωωδωωωδωωωππ+∞+∞-∞-∞
++-=++-⎰⎰ 000111cos 22i t i t e e t ωωωπππ
-=+=（2分,2分, 2分） ∴ 等式成立
2．解方程： 1 , (0)(0)(0)0y y y y y '''''''+====。

解： 31()()s Y s sY s s
+= 2222111()(1)1Y s s s s s ==-++ ()sin y t t t =- （2分,2分, 2分）。