高中导数及其应用教案

设2

u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x

)2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.

（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。

问题3. 求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。

点拨：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值；

点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。

4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y

即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．

设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2

9

00--=

x y k PQ ， 故002

42

6

2x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。 即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：

1512,14-=-=x y x y

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点1: 导数概念

题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则x

x f x x f x ∆-∆-→∆)

()(lim

000

等于

A ．)('0x f

B ．0'()f x -

C ．0()f x

D ．0()f x - 【解题思路】由定义直接计算 [解析]000000

0()()[()]()

lim

lim ()()

x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B

【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式00

()()

lim

()x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

考点2.求曲线的切线方程

[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则

)5()5(f f '+= .

【解题思路】区分过曲线P 处的切线与过P 点的切线的不同，后

者的P

2

tan x x =+2

1

cos x

1(x =⋅

【解题思路】先对t 的求导,再代t 的数值.

解析:1

5

5

1

'()10,'(40)4

21010400f t f t t =

⋅=

∴=

=选D

【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值. 【新题导练】.

4. 设函数()()(2)(3)f x x x k x k x k =++-，且(0)6f '=，则k =

A ．0

B ．-1

C ．3

D ．-6 思路分析: 按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于k 的方程求解. 解 :

'()()(2)(3)f x x k x k x k =++-(2)(3)x x k x k +-()(3)x x k x k +-()(2)x x k x k ++

故3'(0)6f k =- 又(0)6f '=,故1k =-

5. 设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），

则

='+'+')

()()(c f c

b f b a f a ． 解析:'()()()()()()()f x x a x b x b x

c x c x a =--+--+--代入即得0.. 6. 质量为10kg 的物体按2()34s t t t =++的规律作直线运动,动能2

12

E mv =,则物体在运动4s 后的动能是

解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J

基础巩固训练 1. (广东省六校2009届高三第二次联考试卷)()f x '是3

1()213

f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ．

解析: 2

'()2f x x =+故(1)f '-=3

2. (广东省2008届六校第二次联考)cos y x x =在3

x π

=

处的导数值是.

解析：'cos sin y x x x =-故填

1326

π- 3. 已知直线2y －4=0与抛物线y 2

=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 是抛物线的弧上求一

点P ，当△面积最大时，P 点坐标为 .

解析：为定值，△面积最大，只要P 到的距离最大，只要点P 是抛物线的平行于的切线的切点，设P （）.由图可知，点P 在x 轴下方的图象上

∴－2

x ,∴y ′=－

x 1,∵－21

,∴－

211-=x

()3f x ax '∴=13a ∴≥- 1，(f x '∴0)0=，∴

=--

a a

2

所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--= [方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题12max min |()()|()()-≤-f x f x f x f x . ★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷） 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象

如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内有极小值 点共有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个

解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A 2．、函数3

13y x x =+-有（ ）

A. 极小值－1，极大值1

B. 极小值－2，极大值3

C. 极小值－2，极大值2

D. 极小值－1，极大值3

解析：2

333(1)(1)y x x x '=-=-+，令0y '=得 1,1x x ==-

当1x <-时，0y '>；当11x -<<时，0y '<；当1x >，0y '<

∴ 1x =-时，1y =-极小，当1x =3y =极大，故选D.

3．函数(x )－x ,在区间(0］上的最大值为

A.1－e

B.－1

C.－e

D.0

解析：y ′=

x 1

－1,令y ′=0,即1,在(0，e ］上列表如下： x (0,1) 1 (1) e y ′ + 0 － y 增函数 极大值－1 减函数 1－e

由于f (e)=1－e,而－1＞1－e,从而y 最大(1)=－1. 答案：B

4．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若1>a ，求函数

)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.

[解析],121)(a x x

x f +-=

'

,

0)42(0)(,

)(421

21

,0)(222>+-+⇔>'∴+<⇔+<⇔+>

>'a x a x x f a x x a x x a

x x

x f 得

令

),

1(164)42(,

0)42(0)(,2

2

22a a a a x a x x f -=--=∆<+-+⇔<' 同样

（当a .>1时，对x ∈（0，+∞）恒有)(x f '>0， ∴当a .>1时，f (x )在（0，+∞）上为增函数；

y=f '(x)

b

a

o y

x