高中数学选修2-1椭圆及其标准方程ppt课件
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• [3]用笔尖(点M)把细 绳拉紧,慢慢移动笔尖 看看能画出什么图形?
演示
M
F1
F2
.
5
请你为椭圆下一个定义
F1
F2
想想看,这一过程中什么变化了,什么没有变?
.
6
1.椭圆的定义
椭圆定义的文字表述:
平面内与两个定点
F1,F2的距离的和等于 常数(用2a表示且大
于|F1F2 |)的点的轨 迹叫椭圆。
(4)由椭圆的标准方程可以求出三. 个参数a、b、c的值。
16
例题精析
例1、填空:
判断椭圆标准方程的焦点所在轴的方法: 看分母,谁大在谁上
x2 (1)已知椭圆的方程为:
y2
1
,则
25 16
a=___5__,b=___4____,c=____3___,焦点坐标
为:__(3_,_0)_、__(-_3_,0_)__焦距等于___6___;若CD为过
Y
F2(0 , c)
M X
O
F1(0,-c)
y2 a2
bx22
1(ab0)
(1)“椭圆的标准方程”是个专有名词,专指本节介绍的两 个方程,方程形式是固定的。
(2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪
一个轴上,即“椭圆的焦点看分母,谁大在谁上” (3)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
左焦点F1的弦,则∆F2CD的周长为___2__0___
C
F1
F2
D
.
17
练习1:判定下列椭圆的焦点在哪条轴上? 并指明a2、b2,写出焦点坐标
x2 y 2 1 答:在 X 轴。(-3,0)和
25 16
(3,0)
x2 y2 1 144 169
x2 m2
y2 m2 1
1
答:在 y 轴。(0,-5)和
.
10
2.求椭圆的方程: ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y F1 O
y
M
F2
M
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常利用“对称性”
.
11
解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直 平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点,椭圆的焦距2c(c>0),M
由椭圆定义可知 2a2c,即ac,所以
a2 c2 0,令a2c2b2(b0),
b2x2a2y2a2b2
两边除以 a 2b 2得
x2 a2
by22
1(ab0).
.
13
3.椭圆的标准方程:
焦点在x轴:
y
F1 o
M
F2 x
x2 a2
by22
1ab0
焦点在y轴: y2 x2 1(ab0) a2 b2
(xc)2y2(xc)2y22a
(问题:下面怎样化简?)
.
12
(xc)2y2(xc)2y22a
移项,平方 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 a2cx a(xc)2y2 两边再平方,得
a 4 2 a 2 c c 2 x x 2 a 2 x 2 2 a 2 c a x 2 c 2 a 2 y 2 整理得 (a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
c2=a2-b2
注:
共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,
中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1.
不同点:焦点在x轴的椭圆 x 2 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 y. 2 项分母较大.
15
YM
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
椭圆的标准方程的认识:
y
F2
M
ox
F1
(yc)2x2(yc)2x22a
总体印象:对称、简洁,“像”直线方程的截距
式
.
14
ห้องสมุดไป่ตู้义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
by22
1ab0
ox
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(±c,0)
F(0,±c)
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得:|M 1| F |M 2| F 2 a
代入坐标 |M 1 |( F x c )2 y 2 ,|M 2 |F (x c )2 y 2
得( 方 x c )2 程 y 2(x c )2 y 2 2 a
演示1
演示2
.
若改为小于或等于将 是什么情况?
M
F1
F2
8
结论:
1.当绳长大于两定点F1,F2间的距离时, 轨迹是椭圆。
2.当绳长等于两定点F1,F2间的距离时, 轨迹是以F1,F2为端点的线段。
3.当绳长小于两定点F1,F2间的距离时, 不能构成图形。
.
9
2.求椭圆的方程:
♦ 求动点轨迹方程的一般方法:坐标法 (1)建系设点 (2)列式 (3)代换、化简 (4)审查
定点F1、F2叫做椭圆 的焦点。
两焦点之间的距离叫
做焦距(2c)。
.
椭圆定义的符号表述:
M1FM2F2a
(2a>2c)
M
F2
F1
7
数学实验
• [1]在平面内,任取两个 定点F1、F2 ;
• [2]取一细绳并将细绳 (大于两定点的距离) 的两端分别固定在F1、 F2两点 ;
• [3]用笔尖(点M)把细 绳拉紧,慢慢移动笔尖 看看能画出什么图形?
2.2.1 椭圆及其标准方程 (一)
.
1
生活中的椭圆
.
2
生活中 的椭圆
.
3
椭圆概念的引入:
在前面圆的方程中我们知道: 平面内到一定点的距离为常数的点 的轨迹是圆
.
4
数学实验
• [1]在平面内,任取两个 定点F1、F2 ;
• [2]取一细绳并将细绳 (大于两定点的距离) 的两端分别固定在F1、 F2两点 ;
(0,5)
答:在y 轴。(0,-1)和
(0,1)
.
18
例1、填空:
(2)已知椭圆的方程为:x2 y2 1,则
45
F2
a=___5__,b=___2____,c=___1____, P
焦点坐标为:__(0_,-_1_)、__(_0_,1_),焦距
F1
等于___2______;
若曲线上一点P到下焦点F1的距离为3,则 点P到另一个焦点F2的距离等于__2__5___3__, 则∆F1PF2的周长为___2___5___2__
.
19
练习2:将下列方程化为标准方程,并判 定焦点在哪个轴上,写出焦点坐标
1 9 x22y2 5 22 05x2 y2 1
25 9
2 2 x2 3 y2 1
x2 y2 1
1
1
2
3
.
20
例2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2,0), (2,0),并且经过点 ( 5 , 3 ) ,求它的标准方程.
演示
M
F1
F2
.
5
请你为椭圆下一个定义
F1
F2
想想看,这一过程中什么变化了,什么没有变?
.
6
1.椭圆的定义
椭圆定义的文字表述:
平面内与两个定点
F1,F2的距离的和等于 常数(用2a表示且大
于|F1F2 |)的点的轨 迹叫椭圆。
(4)由椭圆的标准方程可以求出三. 个参数a、b、c的值。
16
例题精析
例1、填空:
判断椭圆标准方程的焦点所在轴的方法: 看分母,谁大在谁上
x2 (1)已知椭圆的方程为:
y2
1
,则
25 16
a=___5__,b=___4____,c=____3___,焦点坐标
为:__(3_,_0)_、__(-_3_,0_)__焦距等于___6___;若CD为过
Y
F2(0 , c)
M X
O
F1(0,-c)
y2 a2
bx22
1(ab0)
(1)“椭圆的标准方程”是个专有名词,专指本节介绍的两 个方程,方程形式是固定的。
(2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪
一个轴上,即“椭圆的焦点看分母,谁大在谁上” (3)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
左焦点F1的弦,则∆F2CD的周长为___2__0___
C
F1
F2
D
.
17
练习1:判定下列椭圆的焦点在哪条轴上? 并指明a2、b2,写出焦点坐标
x2 y 2 1 答:在 X 轴。(-3,0)和
25 16
(3,0)
x2 y2 1 144 169
x2 m2
y2 m2 1
1
答:在 y 轴。(0,-5)和
.
10
2.求椭圆的方程: ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y F1 O
y
M
F2
M
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常利用“对称性”
.
11
解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直 平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点,椭圆的焦距2c(c>0),M
由椭圆定义可知 2a2c,即ac,所以
a2 c2 0,令a2c2b2(b0),
b2x2a2y2a2b2
两边除以 a 2b 2得
x2 a2
by22
1(ab0).
.
13
3.椭圆的标准方程:
焦点在x轴:
y
F1 o
M
F2 x
x2 a2
by22
1ab0
焦点在y轴: y2 x2 1(ab0) a2 b2
(xc)2y2(xc)2y22a
(问题:下面怎样化简?)
.
12
(xc)2y2(xc)2y22a
移项,平方 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 a2cx a(xc)2y2 两边再平方,得
a 4 2 a 2 c c 2 x x 2 a 2 x 2 2 a 2 c a x 2 c 2 a 2 y 2 整理得 (a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
c2=a2-b2
注:
共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,
中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1.
不同点:焦点在x轴的椭圆 x 2 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 y. 2 项分母较大.
15
YM
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
椭圆的标准方程的认识:
y
F2
M
ox
F1
(yc)2x2(yc)2x22a
总体印象:对称、简洁,“像”直线方程的截距
式
.
14
ห้องสมุดไป่ตู้义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
by22
1ab0
ox
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(±c,0)
F(0,±c)
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得:|M 1| F |M 2| F 2 a
代入坐标 |M 1 |( F x c )2 y 2 ,|M 2 |F (x c )2 y 2
得( 方 x c )2 程 y 2(x c )2 y 2 2 a
演示1
演示2
.
若改为小于或等于将 是什么情况?
M
F1
F2
8
结论:
1.当绳长大于两定点F1,F2间的距离时, 轨迹是椭圆。
2.当绳长等于两定点F1,F2间的距离时, 轨迹是以F1,F2为端点的线段。
3.当绳长小于两定点F1,F2间的距离时, 不能构成图形。
.
9
2.求椭圆的方程:
♦ 求动点轨迹方程的一般方法:坐标法 (1)建系设点 (2)列式 (3)代换、化简 (4)审查
定点F1、F2叫做椭圆 的焦点。
两焦点之间的距离叫
做焦距(2c)。
.
椭圆定义的符号表述:
M1FM2F2a
(2a>2c)
M
F2
F1
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数学实验
• [1]在平面内,任取两个 定点F1、F2 ;
• [2]取一细绳并将细绳 (大于两定点的距离) 的两端分别固定在F1、 F2两点 ;
• [3]用笔尖(点M)把细 绳拉紧,慢慢移动笔尖 看看能画出什么图形?
2.2.1 椭圆及其标准方程 (一)
.
1
生活中的椭圆
.
2
生活中 的椭圆
.
3
椭圆概念的引入:
在前面圆的方程中我们知道: 平面内到一定点的距离为常数的点 的轨迹是圆
.
4
数学实验
• [1]在平面内,任取两个 定点F1、F2 ;
• [2]取一细绳并将细绳 (大于两定点的距离) 的两端分别固定在F1、 F2两点 ;
(0,5)
答:在y 轴。(0,-1)和
(0,1)
.
18
例1、填空:
(2)已知椭圆的方程为:x2 y2 1,则
45
F2
a=___5__,b=___2____,c=___1____, P
焦点坐标为:__(0_,-_1_)、__(_0_,1_),焦距
F1
等于___2______;
若曲线上一点P到下焦点F1的距离为3,则 点P到另一个焦点F2的距离等于__2__5___3__, 则∆F1PF2的周长为___2___5___2__
.
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练习2:将下列方程化为标准方程,并判 定焦点在哪个轴上,写出焦点坐标
1 9 x22y2 5 22 05x2 y2 1
25 9
2 2 x2 3 y2 1
x2 y2 1
1
1
2
3
.
20
例2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2,0), (2,0),并且经过点 ( 5 , 3 ) ,求它的标准方程.