穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例

穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例

江苏沛县孙统权

（本文发表于东北师范大学《数学学习与研究》2007年第2期）

摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-xn)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。

关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用

穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。

原理

穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：

f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0 （或<0）

的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。

在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。

一次不等式

标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0）

我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。所以可以如图标注，图中+、- 用以表示f(x)=x-x1的符号。

我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，

f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。

二次不等式

标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0）

(1) x1≠x2时，不妨设x1

将f(x)=0的二根x1、x2标在序轴上，则可以发现：处于(-∞, x1)，(x2,+∞)内的点满足f(x) >0，处于(x1,x2)内的点满足f(x) <0。

当我们动态考察该问题时，我们也可以发现：当点x=a在x2右方时，x-x1、x-x2均正，故有f(x) >0；而当点x=a从x2右侧移动到左侧时，x-x2变为负值，而x-x1符号不变，所以有f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点x=a从x1右侧移动到左侧时，x-x1由正变负，而x-x2符号不变，所以f(x)又一次变号，此时由负变正。

总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注。

(2) x1=x2时，即形如f(x)=(x-x1)2时

显然，(-∞,x1)与( x1 ,+∞)都是f(x) >0的解。

而若动态的考察此问题，则有点x=a 从x1右侧移动向左侧移动时，由于平方项内的x-x1由正到0又到负，所以f(x)经历了由正到0又回到正的过程。故而f(x)在x1两侧符号同正，只有在x=x1处为0。

高次不等式

标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)...(x-xn)>0 （或<0），x1≤x2≤ (x)

x1

动态考察f(x)的符号，则有当点x=a在xn右方时，x-xi (i=1,2,…,n)均大于0，故而

f(x) >0；而当点x=a从xn右侧移动到左侧时，x-xn符号变化，而其余任一x-xi均不变号，所以有f(x)由正变负；类似可得：对任一i，当点x=a从xi右侧移动到左侧时，x-xi符号变化，而其余每个x-xj (j≠i)都不变号，所以有f(x)必然变号，或由正变负，或由负变正。就这样，由于每过一个xi都恰有一个因式x-xi变号，所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。

x1≤x2≤……≤xn且有等号成立时

其标准形式可写为

f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2…(x-xn) mn >0 （或<0），

x1

当点x=a在xn右方时，所有x-xi (i=1,2,…,n)均为正，故而f(x)为正。而每当x=a从xi右侧移动到xi左侧时，若mi为奇，则(x-xi) mi由正变负，f(x)符号改变；而若mi为偶，则(x-xi) mi符号不变，f(x) 符号也不变，原正仍为正，原负仍为负。这里值得一提的是，每当x=xi成立，即有f(x)= 0。所以，使用穿根法当遇到mi为奇，则穿根线在根xi穿过序轴；当遇到mi为偶，则穿根线与根xi接触即回，好像被序轴弹了回去。此称为“奇穿偶回”。

步骤

一元高次不等式

对于不等式f(x) >0，其中f(x)为x的高次多项式，用穿根法解的步骤如下：

（1）整理——原式化为标准型把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：

f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2…(x-xn) mn >0（或<0），

mi∈N* (i=1,2,…,n)

（2）标根——在序轴上标根将f(x)=0的n个不同的根x1,x2,……xn按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。

（3）画线——画穿根线从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，作为穿根线。遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”。

（4）选解——写出解集如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)<0解集。

分式不等式

一、先将不等式整理成f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的形式，其中，f(x)、g(x)为整式。

二、f(x)/g(x)>0 f(x)·g(x)>0 f(x)/g(x)<0 f(x)·g(x) <0

即将分式不等式转化为整式不等式再处理。