不等式应用题解法word版本
(完整word版)不等式应用题大全附答案,推荐文档
1.一家游泳馆每年6～8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元：⑴什么情况下，购会员证与不购会员证付一样的钱？⑵什么情况下，购会员证比不购会员证更合算？⑶什么情况下，不够会员证比购会员证更合算？注意：解题过程完整，分步骤，能用方程解的用方程解80+X=3x80=2XX=40X=40，购会员证与不购会员证付一样的钱X>40购会员证比不购会员证更合算X<40不够会员证比购会员证更合算2.下列是3家公司的广告：甲公司：招聘1人，年薪3万，一年后，每年加薪2000元乙公司：招聘1人，半年薪1万，半年后按每半年20％递增．丙公司：招聘1人，月薪2000元，一年后每月加薪100元你如果应聘，打算选择哪家公司？（合同期为2年）甲:3+3.2=6.2万乙:1+1.2+1.2*1.2+1.2*1.2*1.2=1+1.2+1.44+1.728=5.368万丙:0.2*24+0.01+0.02+0.03+0.04+……0.12=4.8+0.78=5.58万甲工资最高,去甲3.某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人）。
每人25元，超过20人的，超过的部分每人10元，某班51名学生该风景区浏览，购买门票要话多少钱？20*25+(51-20)*10=810(元)4.某公司推销某种产品，付给推销员每月的工资有两种方案：方案一：不计推销多少都有600元底薪，每推销一件产品加付推销费2元；方案二：不付底薪，每推销一件产品，付给推销费5元；若小明一个月推销产品300件，那么他应选择哪一种工资方案比较合算？为什么？方案一：600+2×300=1200（元）方案二：300×5=1500（元）所以方案二合算。
5.某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？设其中一件衣服原价是X无，另一件是Y元，那么X（1+25%）=60，得X=40Y（1-25%）=60，得Y=80总的情况是售价-原价，40+80-60*2=0所以是不盈不亏6小明在第一次数学测验中得了82分，在第二次测验中得了96分，在第三次测验中至少得多少分。
2020高二数学人教A必修5练习：3.2 一元二次不等式及其解法 Word版含解析
课时训练16一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式的解法1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为()A.{x|x≥6或x≤-1}B.{x|-1≤x≤6}C.{x|-6≤x≤1}D.{x|x≤-6或x≥1}答案:D解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,即(x+6)(x-1)≥0,∴x≥1或x≤-6.2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式-的解集是.答案:{x|x<2或x>3}解析:因为指数函数y=2x是增函数,所以-化为x2-5x+5>-1,即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.3.解不等式:-2<x2-3x≤10.解:原不等式等价于不等式组---①②不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].二、三个二次之间的关系4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是-,则a-b的值为()A.14B.-14C.10D.-10答案:D解析:不等式ax 2+bx+2>0的解集是 - ,可得- 是一元二次方程ax 2+bx+2=0的两个实数根,∴- =- ,- ,解得a=-12,b=-2. ∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D .5.如果ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx+c ,f (-1),f (2),f (5)的大小关系是 .答案:f (2)<f (-1)<f (5)解析:由ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax 2+bx+c=0的两实根,所以 - - - 可得 - -所以f (x )=ax 2-2ax-8a=a (x+2)(x-4).因为a>0,所以f (x )的图象开口向上.又对称轴方程为x=1,f (x )的大致图象如图所示,由图可得f (2)<f (-1)<f (5).6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x 2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx 2-ax-1>0的解集是 .答案: - -解析:∵不等式x 2-ax-b<0的解集为(2,3), ∴一元二次方程x 2-ax-b=0的根为x 1=2,x 2=3.根据根与系数的关系可得: -所以a=5,b=-6.不等式bx 2-ax-1>0,即不等式-6x 2-5x-1>0,整理,得6x 2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,解之得- <x<-. ∴不等式bx 2-ax-1>0的解集是 - - .三、含参不等式的解法7.不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2},则不等式- >1的解集为 .答案:{x|x<-2或x>1}解析:由已知不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2}得x=2是(x+1)(x-a )=0的一个根, ∴a=2.∴不等式 - >1可化为 - >1,移项通分得 ->0, ∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.8.解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0.解:对于方程2x 2+ax+2=0,其判别式Δ=a 2-16=(a+4)(a-4).①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x 2+ax+2=0的两根为:x 1= (-a- - ),x 2= (-a+ - ).∴原不等式的解集为- - - 或 - - . ②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=-1;当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=1.∴原不等式的解集为{x|x ≠±1}.四、不等式恒成立问题9.若一元二次不等式x 2-ax+1>0恒成立,则a 的取值范围是 .答案:-2<a<2解析:由Δ=a 2-4<0,解得-2<a<2.10.已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m 2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;(2)当m 2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x 恒为正数,得 - - - -解得1<m<19.综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).(建议用时:30分钟)1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是()A.-B.-或C.D.-答案:B解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为-,或x≥.2.函数y=--+log2(x+2)的定义域为()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)答案:D解析:要使函数有意义,x的取值需满足解得-2<x≤-1或x≥3.3.已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)->0的解集为()A.或B.{x|x>a}C.或D.答案:A解析:∵0<a<1,∴>1,即a<,∴不等式的解集为或.4.在R上定义运算=ad-bc,若-成立,则x的取值范围是()A.{x|x<-4或x>1}B.{x|-4<x<1}C.{x|x<-1或x>4}D.{x|-1<x<4}答案:B解析:由已知-=x2+3x,=4,∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式->0的解集为()A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:B解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式->0可化为->0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是. 答案:{x|x<-3或x>2}解析:由题意知---∴b=-a,c=-6a.∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:(0,8)解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.即a2-8a<0,∴0<a<8.8.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是. 答案:πππ解析:由已知不等式的解集为R,∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.∴由y=sin x的图象知,当0≤α≤π时,解得0≤α≤π或π≤α≤π.9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,(1)求A∪B;(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.∴A∪B={x|-5<x<3}.(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},∴-解得-∴2x2+x-15<0.∴不等式解集为-.。
(word完整版)一元二次不等式及分式不等式的解法
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ＞0）的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－错误!没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a＞0)的解集｛x |x ＞x 2或x ＜x 1}错误! Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a＞0)的解集｛x |x 1＜x ＜x 2｝ ∅ ∅2．简单分式不等式的解法:0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ； ()0()f x g x ≤⇔________________1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( ）． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞） B ．(－2，－1) C ．（－∞，1)∪（2，＋∞)D ．（1,2）2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是( ）．A 。
错误!B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪（2,＋∞）D 。
错误!∪（1，＋∞） 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ）． A.错误! B 。
错误! C 。
错误! D ．R4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为错误!，则ab ＝（ ）． A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．265．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 例题选讲：例2：求不等式12x 2－ax ＞a 2（a ∈R )的解集．例3:已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．例4：已知f (x )＝x 2－2ax ＋2（a ∈R ），当x ∈［－1,＋∞）时，f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围．例5：不等式102x x -<+ 的解集是为（ ） （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（—2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞ 例6:不等式的解集是___________.A 组：1．(5）不等式2601x x x ---＞的解集为( ) （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ (C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜2.不等式x 2-5x+6≤0的解集为______。
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案word版本
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案[ ]A a xB x a ．＜＜．＜＜11a aC x aD x x a ．＞或＜．＜或＞x a a11 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．例4 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x(2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2(3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()() 例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x [ ] A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x＝0} 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32 [ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1C ．≥230--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 A a B a C a D a ．＜．＞．＝．＝－12121212若 ＜ ＜ ，则不等式 － － ＜ 的解是 0 a 1 (x a)(x ) 0 1 a8.不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．9.设全集U ＝R ，A ＝{x|x 2－5x －6＞0}，B ＝{x||x －5|＜a}(a 是常数)，且11∈B ，则[ ]A ．(U A)∩B ＝RB ．A ∪(U B)＝RC ．(U A)∪(U B)＝R D ．A ∪B ＝R9.判定以下关系是否正确(1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝________．11. 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．12. 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．13. 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．14. 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．10 已知 ， ， ， ， ，则满足条件集合 的个数为 ≠ {a b} A {a bc d} A ⊆ ⊂。
2017数学(理)一轮对点训练：7-4-2 基本不等式的综合应用 Word版含解析
1.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．答案 2918解析 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ>0，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ>0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.2．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析 设池底长x m ，宽y m ，则xy ＝4，所以y ＝4x ，则总造价为：f (x )＝20xy ＋2(x ＋y )×1×10＝80＋80x ＋20x ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80，x ∈(0，＋∞)．所以f (x )≥20×2x ·4x ＋80＝160，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．3．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A sin C ，S △ABC ＝6，P为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则xy 的最大值为________．答案 3解析 由AB →·AC →＝9，得bc cos A ＝9.由sin B ＝cos A sin C ，得b ＝c cos A .由S △ABC ＝6，得12bc sin A ＝6，由上述三式可解得b ＝3，c ＝5，cos A＝35，sin A ＝45，由余弦定理得a 2＝32＋52－2×3×5×35＝16，a ＝4，可见△ABC 是直角三角形，以C 为坐标原点，CA ，CB 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则CA →＝(3,0)，CB →＝(0,4)，CA →|CA →|＝(1,0)，CB →|CB →|＝(0,1)，则CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|＝x (1,0)＋y (0,1)＝(x ，y )，又P 在直线AB 上，故有x 3＋y 4＝1(x >0，y >0)． ∵1＝x 3＋y 4≥2x 3·y4，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时等号成立．4．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x －200＝200， 当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋300x －80000＝－12(x －300)2－35000，因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．。
(word完整版)不等式的应用-教师版
整数解问题【例1】 在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s ，引爆员点着导火索后，至少以每秒_____米的速度才能跑到600m 或600m 以外的安全区域？【答案】3m/s【例2】 一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分,答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或 90分以上）则小明至少答对了 道题．【答案】24【例3】 现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区,甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆【答案】C【例4】 初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有（ )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【例5】 工程队原计划6天内完成300土方工程,第一天完成60土方,现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？【解析】设后几天每天平均完成x 土方，根据题意，得:60(612)300x +--≥，解得80x ≥， 每天平均至少挖土80土方．【答案】每天平均至少挖土80土方【例6】 小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校,那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？不等式的应用知识讲解【解析】设他行走剩下的一半路程的速度为x ，则122.4 1.260x -≥所以6x ≥． ∴他行走剩下的一半路程的速度至少为6千米/小时．【答案】6千米/小时．【例7】 若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片），如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像?【解析】设有x 位同学参加照像，根据题意得：20 1.5(2)4x x +-≤，解得 6.8x ≥，所以至少应有7名同学参加照像．【答案】7【例8】 某工人9月份计划生产零件180个,前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？【解析】这个工人改进技术后平均每天至少生产零件x 个，根据题意得：610(30102)180x ⨯+-->,263x >，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件7个．【答案】7个【例9】 八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元,西瓜每个8元,请问八戒至多能买几个西瓜？【解析】设八戒买了x 个西瓜，则35845x ⨯+≤，解得154x ≤,故八戒至多买3个西瓜． 【答案】3个【例10】 在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵,还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵)． ⑴ 设初三⑴班有x 名同学，则这批树苗有多少棵？(用含x 的代数式表示）． ⑵ 初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名【解析】⑴ 242x +;⑵ ()1242315x x +--<≤，则4044x <≤,至少有41名同学；最多有44名同学．【答案】⑴ 242x +；⑵ 至少有41名同学；最多有44名同学．【例11】 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用,已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下,把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？【例12】【解析】设至少还需要B 型车x 辆，依题意得20515300x ⨯+≥解得1133x ≥，∴14x =．【答案】14【例13】 商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125%．现计划节日期间按原售价让利l0％，至多售出l00件商品;而在销售淡季按原定价的60%大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品?【解析】设进价为a 元,按原定价售出x 件，节日让利售出y 件（0100y <≤）．依题意有125%125%(1a x a y ⋅⋅+⋅⋅⋅-10%)(1000)125%60%1000x y a a +--⋅⋅⋅>，整理得432000x y +>，由于0100y <≤，所以425x >，因此按原定价至少销售426件．【答案】426件求范围以及具体数目问题【例14】 一堆有红、白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少,但白球个数的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”,每一个红球都记作“3”，则总数为60,那么，白球与红球各有多少个？【解析】设白球有x 个，红球有y 个，依题意有22360x y xx y <<⎧⎨+=⎩，解得7.512x <<又由26033(20)x y y =-=-，知x 是3的倍数．故白球共有9个，红球共有l4个．【答案】白球共有9个，红球共有l4个．【例15】 “六一"儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意买了一些，送给这个小学的小朋友做为节日礼物．如果每班分10套,那么欲5套；如果前面的每个班级分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套．问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？【解析】设该小学有x 个班,则奥运福娃共有()105x +套．由题意,得()()1051314105131x x x x ⎧+<-+⎪⎨+>-⎪⎩解之，得1463x <<． ∵x 只能取整数，所以5x =，此时10555x +=．【答案】5个班级，55套福娃【例16】 某企业人事招聘工作中,共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分,其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人?【解析】共有22人．设x 人得3分,y 人得4分，则得5分的共有26x y --人,则可知：()34526 4.82613x y x y x y ++--⨯⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≥解得13x y ==，，所以2622x y --= 即得5分的共有22人．【答案】得5分的共有22人．【例17】 暑假期间小张一家为体验生活品质,自驾汽车外出旅游,计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围(单位：公里)．【解析】设原计划每天的行程为x 公里，由题意，应有：8(19)22008(19)9(12)x x x +>⎧⎨+>-⎩，解得256260x x >⎧⎨<⎩答：所以这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【答案】这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【例18】 有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说:“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场踢足球".试问：这个班共有多少学生？【答案】设该班共有x 名学生,由题意可得()6247x x x x -++<，∴3628x<，即56x <又∵x 、2x、4x 、7x 都是整数，∴28x = 答：这个班有28名学生方案决策问题【例19】 2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票:(1)若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票,问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2)若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，问可以预订这三种球类门票各多少张？【解析】(1）设预定男篮门票x 张，则乒乓球门票()15x -张．得：()10005001512000x x +-=，解得：9x = ∴151596x -=-=（2)设足球门票与乒乓球门票数都预定y 张，则男篮门票数为()152y -张，得8005001000(152)120008001000(152)y y y y y ++-≤⎧⎨≤-⎩解得：2545714y ≤≤． 由y 为正整数可得5y =，1525y -=【答案】 （1）男篮门票9张，则乒乓球门票6张； (2)乒乓球、足球门票、男篮门票各5张.【例20】 某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元,在这20名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．⑴请写出此车间每天所获利润y （元)与x （人）之间的关系式;⑵若要使每天所获利润不低于24000元,你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？【解析】（1）依题意,得()()150626052040026000020y x x x x =⨯+⨯-=+≤≤．(2）依题意得，4002600024000x -+≥．解得5x ≤，2020515x -=-=．答：至少要派15名工人去制作乙种零件才合适． 【答案】（1）()()150626052040026000020y x x x x =⨯+⨯-=+≤≤（2）至少要派15名工人去制作乙种零件才合适．【例21】 某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套,最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性,按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．(1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分)？（2)根据经营情况,企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【解析】(1）设企业每套奖励x 元，由题意得：20060%150450x +⨯≥．解得： 2.78x ≥．因此，该企业每套至少应奖励2.78元；（2）设小张在六月份加工y 套,由题意得：20051200y +≥, 解得200y ≥．【答案】（1）2.78元；（2）200【例22】 2008年8月,北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A 种船票600元/张，B 种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A B ，两种船票共15张，要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半．若设购买A 种船票x 张，请你解答下列问题：（1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程； (2）根据计算判断:哪种购票方案更省钱?【解析】(1)由题意：()()6001201550001152x x x x +-⎧⎪⎨-⎪⎩≤≥ 解得：2053x ≤≤∵x 为整数，∴56x =，∴共两种购票方案：方案一：A种船票5张,B种船票10张方案二：A种船票6张,B种船票9张(2)因为B种船票价格便宜，因此B种船票越多，总购票费用少．∴第一种方案省钱，为5600120104200⨯+⨯= (元)【答案】（1）共两种购票方案：方案一：A种船票5张，B种船票10张方案二：A种船票6张，B种船票9张(2）第一种方案省钱【例23】某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元;乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该起市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？（2)该超市为使甲、乙两种商品共80元的总利润（利润=售价—进价）不少于600元,但又不超过610元,请你帮助该超市设计相应的进货方案．【解析】(1）商品进了x件,则乙种商品进了80x-件，依题意得()+-⨯=1080301600x x解得：40x=即甲种商品进了40件，乙种商品进了804040-=件．（2）设购买甲种商品为x件，则购买乙种商品为()80x-件，依题意可得：()()()-+--≤≤6001510403080610x x解得：38≤x≤40即有三种方案，分别为：第一种方案：甲38件，乙42件；第二种方案：甲39件，乙41件；第三种方案：甲40件,乙40件．【答案】（1）甲种商品进了40件,乙种商品进了40件．(2)有三种方案，分别为：第一种方案:甲38件，乙42件；第二种方案:甲39件，乙41件;第三种方案:甲40件,乙40件．【例24】 某饮料厂开发了A B ，两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙含量如下表所示,现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A B ，两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶,解答下列问题:⑴ 有几种符合题意的生产方案？写出解答过程;⑵ 如是A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低?原料名称 饮料名称甲乙Ａ 20克40克Ｂ30克 20克【解析】⑴ 设生产A 种饮料x 瓶，生产B 种饮料100x -瓶．则()()2030100280040201002800x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≤，解得2040x ≤≤,由x 为整数，共有21组解， 所有符合题意的生产方案共有21种．⑵ ()2.6 2.8100y x x =+-，整理得0.2280y x =-+，∵x 的系数为0.2-, ∴y 随x 的增大而减小．当40x =时,成本总额最低．【答案】（1)21；（2）0.2280y x =-+，当40x =时，成本总额最低．【例25】 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小 亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． ⑴ 求每支钢笔和每本笔记本的价格；⑵ 校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．【解析】⑴ 设每支钢笔x 元，每支笔记本y 本．3182531x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴35x y =⎧⎨=⎩． ⑵ 设购买钢笔a 支，笔记本b 个．4835200a b a b b a+=⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥,∴2028a b ⎧⎨⎩≥≤，则共有五种购买方案20,21,22,23,2428,27,26,25,24a b =⎧⎨=⎩．【答案】（1）每支钢笔3元，每支笔记本5本．(5）五种方案:20,21,22,23,2428,27,26,25,24 ab=⎧⎨=⎩【例26】2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．⑴某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？【解析】⑴设搭配A种造型x个,则B种造型为(50)x-个，依题意,得：8050(50)34904090(50)2950x xx x+-≤⎧⎨+-≤⎩，解得：3331xx≤⎧⎨≥⎩,∴3133x≤≤∵x是整数,∴x可取31，32，33，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．⑵(法1)：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：338001796042720⨯+⨯=(元）(法2)：方案①需成本：318001996043040⨯+⨯=(元）方案②需成本：328001896042880⨯+⨯=（元)方案③需成本:338001796042720⨯+⨯=（元）【答案】（1)可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．(2)方案③成本最低,最低成本为:42720(元)【例27】在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后,仍有旅客继续前来排队同步练习检票进站,设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？【解析】设检票开始后每分钟增加旅客为x 人,检票速度为每个检票口每分钟检票y 人,5分钟内检票完毕要同时开放n 个检票口依题意得30301021055a x ya x y a x n y +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+≤⋅⎩①②③②3⨯-①，得15a y =,代入①便得30a x =，再把所求的x 、y 代入③便有63a aa n +≤⋅ 因为0a >，所以11163n +≤⋅,即 3.5n ≥,n 取最小的整数,所以4n =答：至少需要同时开放4个检票口．【答案】至少需要同时开放4个检票口【例28】 某高速公路收费站有m （0m >)辆汽车排队等候通过，假设通过收费站得车流量保持不变,每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的，若开放一个收费窗口，则需20min 才能将原来排队等候的汽车以及后来到的汽车全部收费通过。
(完整word版)初二数学不等式应用题
初二数学不等式应用题
迎接奥运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道俩侧，已知搭配一个A种造型须甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需要甲种花卉50盆，乙种花卉90盆。
（1）某校九（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种，请你帮助设计出来。
二.某移动公司开设了两种通讯业务:"全球通"月租金30元,每通话1分钟,再付话费0.3元;"快捷通"不缴月租费,每通话1分钟付话费0.5元(本题所指通话均为市内通话).若一个月通话x分钟,
某人估计一个月内通话300分钟,应选哪种付费方式更合算?
二.某移动公司开设了两种通讯业务月租金40元,每通话1分钟,再付话费0.3元;"快捷通"不缴月租费,每通话1分钟付话费0.5元.若一个月通话x分钟,某人估计一个月内通话100分钟,应选哪种付费方式更合算?
某市为进一步改善环境，决定在开发区实施二期开发工程，现需A,B两种花砖共50万块，由某厂生产。
已知每生产1万块A种花砖，需要用甲种原料45吨乙种原料15吨，造价为1.2万元，每生产1万块B种花砖，需用甲种原料20吨、乙种原料50吨，造价为1.8万元，该厂现有甲种原料1800吨，乙种原料1450吨。
1 利用现有原料，该厂能否按要求完成任务？若能，按A,B两种花砖的生产块数（以万块为单位取整数），有几种生产方案？请设计出来
一.某城市出租车收费标准如下:3千米以内(含3千米)收费7元,超过3千米部分按1.5元/千米收费.(不足1千米按1千米计)
3.若某人付车费22元,出租车行驶了多远?。
人教版七年级下册数学不等式与不等式组应用题训练(word,含答案)
人教版七年级下册数学不等式与不等式组应用题训练1．列方程组或不等式解决问题：2022年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的单价；(2)学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？2．为支援上海抗击新冠肺炎，甲地捐赠多批救援物资并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到上海．其中，从甲地到上海，A型货车1辆、B型货车1辆，一共需补贴油费1000元；A型货车10辆、B 型货车6辆，一共需补贴油费8400元．(1)从甲地到上海，A、B两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？(2)如果需派出20辆车，并且预算油费补贴不超过9600元，那么该快递公司至多能派出几辆A型货车？3．开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350 本．已知A种笔记本的进价为12 元/本，B种笔记本的进价为15 元/本，共计4800 元．(1)请问购进了A种笔记本多少本？(2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．4．抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是重要的防护物资．某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，共花费11000元，84消毒液和酒精的进价和售价如下：(1)该药房销售完这批84消毒液和酒精后共获利5400元，则84消毒液和酒精各销售了多少瓶？(2)随着疫情的发展，结合药房实际，该药房打算用不超过6600元钱再次采购84消毒液和酒精共300瓶，已知84消毒液和酒精价格不变，则第二批最多采购84消毒液多少瓶？5．小玉计划购买A、B两种饮料，若购买8瓶A种饮料和5瓶B种饮料需用220元；若购买4瓶A种饮料和6瓶B种饮料需用152元．(1)求每瓶A种饮料和B种饮料各多少元；(2)小玉决定购买A种饮料和B种饮料共15瓶，总费用不超过260元，那么最多可以购买多少瓶A种饮料？6．小明家新买了一套住房，打算装修一下，春节前住进去．现有甲、乙两家装修公司可供选择，这两家装修公司提供的信息如下表所示：若设需要x天装修完毕，请解答下列问题：(1)请分别用含x的代数式，写出甲、乙两家公司的装修总费用；(2)当装修天数为多少时，两家公司的装修总费用一样多？(3)根据装修天数x讨论选择哪家装修公司更合算（提示：结合（2）中的结论进行分类解决问题）．7．每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．(1)求甲、乙两种型号设备的价格；(2)公司决定购买甲、乙两种型号的设备共10台，且该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司甲种型号的设备至多购买几台？8．为庆祝“元旦”，光明学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90人）准备统一购买服装参加比赛．如表是某服装厂给出服装的价格表：(1)如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛；(2)如果七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案．9．某电器超市销售每台进价分别为140元、100元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本）(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价．(2)若超市准备用不多于6500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过2850元的目标？若能，请给出相应的采购方案：若不能，请说明理由．10．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；购进A种商品6件和B种商品8件需440元．(1)A、B两种商品每件的进价分别为多少元？(2)若该商店A种商品每件的售价为48元，B种商品每件的售价为31元，该商店准备购进A、B两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利不低于344元，则至少购进多少件A种商品？11．学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛．某班级因节目需要，须购买A、B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元．(1)购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？(2)根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过620元．求道具A最多购买多少件？12．对于企业来说：科学技术永远是第一生产力，在长沙市里程最长、站点最多的地铁6号线建设过程中，某知名运输集团承包了地铁6号线多标段的土方运输任务，该集团为了出色完成承接任务，拟派出该集团自主研发的A、B两种新型运输车运输土方．已知4辆A型运输车与3辆B型运输车一次共运输土方64吨，2辆A型运输车与4辆B型运输车一次共运输土方52吨．(1)请问一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方多少吨？(2)该运输集团决定派出A、B两种型号新型运输车共18辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于169吨，且B型运输车至少派出4辆，则有哪几种派车方案？13．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元．(1)求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？(2)商店准备用不超过1615元购进50件这两种商品，求购进A种商品最多是多少件？14．某超市共用24000元同时购进甲、乙两种型号书包各200个，购进甲型号书包40个比购进乙型书包30个少用100元．(1)求甲、乙两种型号书包的进价各为多少元?(2)若超市把甲、乙两种型号书包均按每个90元定价进行零售，同时为扩大销售，拿出一部分书包按零售价的8折进行优惠销售．商场在这批背包全部售完后，若总获利不低于10200元，则超市用于优惠销售的书包数量最多为多少个?15．某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元．(1)求A，B两种工艺品的单价；(2)该店主欲用9600元用于进货，且最多购进A种工艺品36个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍，则共有几种进货方案？16．每年的4月22日是世界地球日．某校为响应“携手为保护地球投资”的号召计划购入,A B两种规格的分类垃圾桶，用于垃圾分类．若购买A种垃圾桶30个和B种垃圾桶20个共需1020元；若购买A种垃圾桶50个和B种垃圾桶40个共需1860元．(1),A B两种垃圾桶的单价分别是多少元？(2)若该校最多有4360元用于购买这两种规格的垃圾桶共200个，则B种垃圾桶最多可以买________个．17．某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B 商品共用了880元．(1)A，B两种商品的单价分别是多少元？(2)已知该商店购买A，B两种商品共30件，要求购买B商品的数量不高于A商品数量的2倍，且该商店购买的A，B两种商品的总费用不超过276元，那么该商店有几种购买方案？18．每年一度的中考牵动着数万家长的心，为了给考生一个良好的环境，某市教委规定每个考场安排考生数是固定的人数，该市A 区的9000 名考生安排的考场数比B 区3000人安排的考场数多200个．(1)求每个考场安排固定考生的人数；(2)该市C区共有可作为考场的大小教室共300 间，由于今年疫情影响，该市教委要求大教室按原固定人数的80%安排考生，小教室按原固定人数的50%安排考生，若该市C 区共有考生6300 人，则至少需要有多少间大教室．19．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，并且购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．(1)问每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？(2)根据市场实际，供应商计划用20000元购进这两种吉祥物200个，则他本次采购时最多可以购进多少个冰墩墩？20．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．已知工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B产品要超过38件，问有哪几种符合条件的生产方案？参考答案：1．(1)“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为55元，40元(2)最多可以购买66个“冰墩墩”2．(1)每辆A型货车补贴油费600元，每辆B型货车补贴油费400元．(2)该快递公司至多能派出8辆A型货车．3．(1)购进了A种笔记本150本；(2)m的最小值128．4．(1)84消毒液销售了200瓶，酒精销售了300瓶；(2)120瓶5．(1)每瓶A种饮料20元，每瓶B种饮料12元(2)10瓶6．(1)甲公司的总费用为（900x+2700）元，乙公司的总费用为（960x+1500）元；(2)当装修天数为20天时，两家公司的装修总费用一样多；(3)当x＜20时，乙装修公司更合算；当x=20时，两家装修公司一样；当x＞20时，甲装修公司更合算．7．(1)甲、乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元(2)至多购买5台8．(1)七年级52人，八年级40人；(2)两个年级一起买91套时最省钱；9．(1)A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元和150元(2)A种型号的电风扇最多能采购37台(3)能实现利润超过2850元的目标，相应方案有两种：方案一：购买A种型号的电风扇36台，购买B种型号的电风扇14台；方案二：购买A种型号的电风扇37台，购买B种型号的电风扇13台10．(1)A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元(2)至少购进22件A种商品11．(1)购买1件A道具需要15元，1件B道具需要5元(2)道具A最多购买32件12．(1)一辆A型运输车一次运土10吨，一辆B型运输车一次运土8吨(2)有两种派送方案，方案一：派出A型号的新型运输车13辆，B型号的新型运输车5辆；方案二：派出A型号的新型运输车14辆，B型号的新型运输车4辆．13．(1)A种商品每件进价40元，B种商品每件进价25元(2)24件14．(1)A、B两种型号书包的进货单价各为50元、70元；(2)商场用于优惠销售的书包数量为100个．15．(1)A种工艺品的单价为80元，B种工艺品的单价为120元(2)共有3种进货方案16．(1)A种垃圾桶的单价熟练掌握18元，B种垃圾桶的单价是24元．(2)12617．(1)A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元(2)有四种方案，方案一：购买A商品的件数为10件，购买B商品的件数为20件；方案二：购买A商品的件数为11件，购买B商品的件数为19件；方案三：购买A商品的件数为12件，购买B商品的件数为18件；方案四：购买A商品的件数为13件，购买B商品的件数为17件．18．(1)每个考场安排固定考生的人数为30人；(2)至少需要有200间大教室．19．(1)今年2月第一周每个冰墩墩的进价为120元，每个雪容融的进价为80元(2)最多可以购进100个冰墩墩20．共有如下四种方案：A种21件，B种39件；A种20件，B种40件；A种19件，B种41件；A种18件，B种42件。
3.3 一元二次不等式及其解法 Word版含解析
3.3 一元二次不等式及其解法1.掌握一元二次不等式的解法.(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 一元二次不等式的概念阅读教材P74～P74倒数第四行，完成下列问题.1.一元二次不等式的概念一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).3.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式.()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.()(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解.()(4)x2－x>0为一元二次不等式.()【解析】(1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式.(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)√.因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立.故该说法正确.(4)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有x，故该说法错误.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×教材整理2 一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系阅读教材P74倒数第三行～P78练习A以上内容，完成下列问题.三个“二次”的关系：1.不等式x2≤1的解集为________.【解析】令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}.【答案】{x|－1≤x≤1}2.不等式2x≤x2＋1的解集为________.【解析】2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，∴x∈R.【答案】R3.设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________.【解析】因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，所以M N.【答案】M N4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：【解析】可根据图表求得两个零点为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图象(略)求解.【答案】{x|x＜－2或x＞3}[小组合作型](1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.【精彩点拨】【自主解答】 (1)由x 2－5x >6，得 x 2－5x －6>0.∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6. ∴原不等式的解集为{x |x <－1，或x >6}. (2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0， 方程(2x －1)2＝0的根为x ＝12. ∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12. (3)由－x 2＋7x >6，得x 2－7x ＋6<0， 而x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6. ∴不等式x 2－7x ＋6<0的解集为 {x |1<x <6}.1.在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集.2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.[再练一题]1.解下列不等式：(1)2x2－x＋6>0；(2)－12x2＋3x－5>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.【解】(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点.∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝62－40＝－4<0，∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.【精彩点拨】因式分解→比较根的大小→分类讨论求解【自主解答】原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集为 {x |2a <x <－a }.综上所述，原不等式的解集为： a >0时，{x |－a <x <2a }； a ＝0时，x ∈∅； a <0时，{x |2a <x <－a }.1.含参数的不等式的解题步骤 (1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小).2.解含参数的一元二次不等式(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.[再练一题]2.解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0).【导学号：18082046】【解】 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a . 综上所述， 当－2<a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a. [探究共研型]集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？【提示】 y ＝x 2－2x －3的图象如图所示.函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}.这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式.探究2 方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？【提示】 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}.不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根.这说明：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根.若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx＋a <0的解集.【精彩点拨】 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根.【自主解答】 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2，知a ＜0, 又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ＜0，则c ＞0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53.∴b a ＝－53.又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a . ∴不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0，即2ax 2＋5ax －3a ＞0.又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0.所求不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.法二：由已知得a ＜0 且⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2＝－b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ，知c ＞0，设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ，其中a c ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2，－b c ＝－b a c a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋12，∴x 1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－3，x 2＝12. ∴不等式cx2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.[再练一题]3.已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式cx 2－bx ＋a >0的解集.【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝－b a ，2×3＝ca， a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ， a <0.代入不等式cx 2－bx ＋a >0， 得6ax 2＋5ax ＋a >0(a <0). 即6x 2＋5x ＋1<0， 解得－12<x <－13，所以所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13.1.不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 【解析】 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 【答案】 A 2.不等式2x ＋1＜1的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.(1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－1,1)【解析】 ∵2x ＋1＜1，∴2x ＋1－1＝2－x －1x ＋1＜0，即x －1x ＋1＞0，∴(x －1)(x ＋1)＞0解得x ＞1或x ＜－1，∴不等式2x ＋1＜1的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 【答案】 A3.二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y <0时x 的取值范围是________.【导学号：18082047】【解析】 由y <0，得x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.【答案】 (1,3)4.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则实数a ＝________，实数b ＝________.【解析】 由题意可知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，－1×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1.【答案】 －1 15.解下列不等式：(1)x (7－x )≥12；(2)x 2>2(x －1).【解】 (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4.所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}.(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.。
含参数的一元二次不等式的解法以和含参不等式恒成立问题(专题)(可编辑修改word版)
- a - 2 - a 2 + 4 - a - 2 + a 2+ 4 - a - 2 - a 2 + 4 ⎫⎪ - a - 2 - a 2 + 4 ⎫⎪ 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类，即 a > 0, a = 0, a < 0 ; 例 1 解不等式： ax 2 + (a + 2)x + 1 > 0分析：本题二次项系数含有参数， ∆ = (a + 2)2- 4a = a 2 + 4 > 0 ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵ ∆ = (a + 2)2- 4a = a 2 + 4 > 0解得方程 ax 2+ (a + 2)x⎧⎪ + 1 = 0 两根 x 1 = , x 2 =∴当 a > 0 时,解集为⎨x | x > ⎪⎩ 或x < 2a⎧1 ⎫ ⎬2a ⎭ 当 a = 0 时，不等式为2x + 1 > 0 ,解集为⎨x | x > 2 ⎬⎧⎪ 当 a < 0 时, 解集为⎨x | ⎪⎩ ⎩ ⎭< x < ⎬2a 2a ⎭例 2 解不等式 ax 2 - 5ax + 6a > 0(a ≠ 0)分析 因为 a ≠ 0 ， ∆ > 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解a (x 2 - 5x + 6) = a (x - 2)(x - 3) > 0∴当 a > 0 时，解集为{x | x < 2或x > 3}；当 a < 0 时，解集为{x | 2 < x < 3}二、按判别式 ∆ 的符号分类，即 ∆ > 0, ∆ = 0, ∆ < 0 ；例 3 解不等式 x 2 + ax + 4 > 0分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0,故只需考虑∆ 与根的情况。
2019-2020学年高中数学北师大版选修4-5教师用书：第1章5 不等式的应用 Word版含答案
§5 不等式的应用1．理解不等式的性质、平均值不等式；掌握不等式的解法．(重点) 2．能利用不等式解决一些实际问题．(难点)教材整理 不等式应用的类型及步骤 阅读教材P 23～P 24，完成下列问题． 1．不等式的应用大致分为两类(1)利用不等式研究函数的性质，求参数的取值范围．(2)实际问题中建立不等式(或函数)模型，解决简单的实际问题． 2．解不等式应用问题的四个步骤 (1)审题，必要时画出示意图．(2)建立不等式模型，即根据题意找出常数量和变量的不等关系．(3)利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号． (4)作出问题结论．填空：(1)不等式|2x －1|>x 的解集为________．(2)长为2米的木棍，截断围成矩形，其矩形的最大面积为________． (3)若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则a 的符号为________，c 的符号为________． 【解析】 (1)|2x －1|>x 等价于2x －1>x 或2x －1<－x ， 即x >1或x <13，所以解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x>1或x<13.(2)设矩形的长为x ，宽为y ，则2x ＋2y ＝2，即x ＋y ＝1，所以面积S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，故最大面积为14.(3)由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0知3a >a ＋b ＋c ＝0，即a >0,3c <a ＋b ＋c ＝0，即c <0.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x>1或x<13 (2)14 (3)正 负预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：已知0＜b ＜1＋3个，则( ) A ．－1＜a ＜0 B ．0＜a ＜1 C ．1＜a ＜3D ．3＜a ＜6【精彩点拨】 原不等式――→变形关于x 的方程――→讨论二次项系数满足的条件――→韦达定理结果【自主解答】 由(x －b )2＞(ax )2，得x 2(1－a 2)－2bx ＋b 2＞0. 若恰有3个整数解，必须满足1－a 2＜0，即a ＞1或a ＜－1(舍去)． 设不等式对应方程两根为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝＋－4x1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 1－a22－4·b21－a2＝4a2b2－＝2ab a2－1. 又不等式有3个整数解， ∴2<2ab a2－1≤3，解得b ≥3a2－32a .由已知0<b ＜1＋a ，得3a2－32a ＜1＋a ，解得1＜a ＜3， ∴1＜a ＜3. 【答案】 C1．“三个二次”的关系，一元二次不等式，一元二次方程及二次函数的关系，解题要注意相互转化． 2．对二次项系数含有参数的式子要进行讨论．1．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪∪ D ．(－∞，1]∪2．设甲、乙两地距离为s ，船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度为v 1(v 1>0)，已知船在静水中的速度为v 2(v 2>0)，试比较v 1和v 2的大小．【解】 设水流速度为v (v >0)，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t ＝s v2＋v ＋s v2－v ＝2sv2v22－v2， ∴平均速度v 1＝2s t ＝v22－v2v2.∵v 1>0，v 2>0，∴v1v2＝v22－v2v2v2＝v22－v2v22＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v v2<1，∴v 1<v 2.)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图151所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙的长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．图151(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【精彩点拨】 (1)由题可知总费用由旧墙的维修费及新墙的造价构成，故先弄清旧墙需维修的长度及新墙需建的长度，然后易知y 与x 的关系式；(2)用均值不等式可求总费用的最小值．【自主解答】 (1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a＝225x ＋360a －360. 由已知ax ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x－360(x ＞0)．(2)∵x ＞0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．设出变量――→建立数学模型――→定义域利用平均值不等式求最值――→“＝”成立的条件结论3．如图152，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？图152【解】 设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则V ＝(a －2x )2·x ，其中0＜x ＜a 2.又V ＝14(a －2x )·(a －2x )·4x≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤－＋－＋4x 33＝2a327， 当且仅当a －2x ＝4x ，即当x ＝a 6时，不等式取等号，此时V 取最大值2a327.因此当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，盒子的容积最大．1．函数y ＝x2＋mx ＋m2对一切x ∈R 都有意义，则实数m 的取值范围是( )【导学号：94910026】A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＜0或m ＞2D ．0≤m ≤2【解析】 由题意，Δ＝m 2－4·m 2≤0，所以0≤m ≤2. 【答案】 D2．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y ＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．3＋2 2D ．4 3【解析】 (x ＋y )×1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2＋1＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当2y x ＝xy 时，等号成立．【答案】 C3．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x2＋1的图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n 为正整数，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．【解析】 易得a n ＝n2＋1，b n ＝n ， ∴c n ＝n2＋1－n ＝1n2＋1＋n ，c n 随n 的增大而减小，∴c n ＞c n ＋1. 【答案】 c n ＞c n ＋14．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是________． 【解析】 设P 到三角形三边距离分别为h 1，h 2，h 3， 又∵三角形为直角三角形，S ＝12·3·4＝6，∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6， ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h1h2h3， ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.【答案】16155．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【解】 由题意，列出不等式0.1x ＋0.01x 2＞12(x >0)， 解得x ＜－40或x ＞30.由于x ＞0，从而可得x 甲＞30 km/h.由s 乙＞10，得 0．05x ＋0.005x 2＞10(x ＞0)， 解得x ＞40，即x 乙＞40 km/h. 所以超速行驶应负主要责任的是乙车．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
(完整word版)一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题(附含答案解析)
(完整word版)一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题(附含答案解析)一元二次不等式及其解法1。
一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0）的形式。
当a＞0时，解集为 ;当a＜0时，解集为。
2.一元二次不等式及其解法(1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式。
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解:函数与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a ＞0）的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－错误!无实根ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集①②Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集｛x|x1＜x＜x2｝∅③3。
分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型。
方法:移项,通分，右边化为0，左边化为错误!的形式。
(2）将分式不等式转化为整式不等式求解，如:错误!⇔f(x)g（x）＞0；错误!＜0 ⇔f(x)g（x)＜0；错误!≥0 ⇔错误!错误!≤0 ⇔错误!（错误!)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0｝，B＝{x｜－2≤x＜2｝，则A∩B＝( ）A。
［－2，－1] B。
[－1,2)C.[－1，1］D。
[1,2）解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1｝，B＝｛x｜－2≤x＜2｝，∴A∩B＝{x｜－2≤x≤－1}＝[－2,－1］.故选A.设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f（3），则f(x)〉0的解集为( )A。
{x|x∈R｝ B.｛x｜x≠1，x∈R}(完整word 版)一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题(附含答案解析)C 。
｛x |x ≥1}D 。
｛x ｜x ≤1}解：f (－1）＝1－b ＋1＝2－b ，f （3）＝9＋3b ＋1＝10＋3b , 由f （－1)＝f (3），得2－b ＝10＋3b ,解出b ＝－2,代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1〉0，x 的取值范围是x ≠1.故选B. 已知－错误!<错误!〈2,则x 的取值范围是( ) A 。
2.2.4 均值不等式及其应用 Word版含解析2020年新人教B版
2.2.4均值不等式及其应用【教材分析】课程标准：1.理解均值不等式的内容及其证明过程.2.能熟练地运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握均值不等式及变形的应用.5.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．教学重点：1.均值不等式的内容及其证明过程.2.运用均值不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题．教学难点：均值不等式条件的创造.【情境导学】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？【知识导学】知识点一数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式(1)一般地，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这是数轴上两点之间的距离公式．(2)如果线段AB的中点M的坐标为x.若a<b，则a<x<b.因为M为中点，所以AM＝MB，即x－a＝b－x，因此x＝a＋b2.不难看出，当a≥b时，上式仍成立．这就是数轴上两点之间的中点坐标公式．知识点二算术平均值与几何平均值给定两个正数a，b，数a＋b2称为a，b的算术平均值；数ab称为a，b的几何平均值．知识点三均值不等式如果a，b都是正数，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把这个不等式称为均值不等式．均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．知识点四 均值不等式与最大(小)值 当x ，y 均为正数时，下面的命题均成立：(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，xy 取得最大值s 24(简记：和定积有最大值)． (2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p (简记：积定和有最小值)．【新知拓展】1．由均值不等式变形得到的常见的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b 均为正实数)；(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (4)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4(a ，b 同号)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )． 2．利用均值不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意均值不等式成立的条件；(2)多次使用均值不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用． 3．利用均值不等式的解题技巧与易错点 (1)利用均值不等式求最值常用构造定值的技巧 ①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元；④平方后再用均值不等式． (2)易错点①易忘“正”，忽略了各项均为正实数；②易忘“定”，用均值不等式时，和或积为定值； ③易忘“等”，用均值不等式要验证等号是否可以取到；④易忘“同”，多次使用均值不等式时，等号成立的条件应相同．【课堂自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＋b2≥ab对于任意实数a，b都成立．()(2)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2ab.()(3)当x>1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.()(4)式子x＋1x的最小值为2.()(5)若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2的最小值为2.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是________．(2)ba＋ab≥2成立的条件是________．(3)x＞1，则x＋1x－1的最小值为________．(4)若a>0，b>0，且a＋b＝2，则1a＋1b的最小值为________．答案(1)m＝1(2)a与b同号(3)3(4)2【典型例题】题型一对均值不等式的理解例1给出下面三个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2；②因为a∈R，a≠0，所以4a＋a≥24a·a＝4；③因为x，y∈R，xy<0，所以xy＋yx＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－xy＋⎝⎛⎭⎪⎫－yx≤－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－xy⎝⎛⎭⎪⎫－yx＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．②D．①③[解析]从均值不等式成立的条件考虑．①因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ，ab ∈(0，＋∞)，符合均值不等式成立的条件，故正确； ②因为a ∈R ，a ≠0不符合均值不等式成立的条件，所以4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的； ③由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将x y ＋y x 看成一个整体提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式成立的条件，故正确．[答案] D 【典例分析】均值不等式a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a ，b 都是非负实数． (2)“当且仅当”的含义：①当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立， 即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；②仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立， 即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .【跟踪训练】 下列命题中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋ba ≥2a b ·b a ＝2B ．当a ＞0，b ＞0时，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C ．当a ＞4时，a ＋9a 的最小值是6 D ．当a ＞0，b ＞0时，2aba ＋b≥ab 答案 B解析 A 中，可能b a ＜0，所以不正确；B 中，因为a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab ＞0，相乘得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以正确；C 中，a ＋9a ≥2a ·9a ＝6中的等号不成立，所以不正确；D 中，由均值不等式知，2aba ＋b≤ab (a ＞0，b ＞0)，所以不正确．题型二 利用均值不等式比较大小例2 已知a ＞1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小关系是( )A.a ＋12＜a ＜2a a ＋1B.a ＜a ＋12＜2a a ＋1C.2a a ＋1＜a ＜a ＋12 D.a ＜2aa ＋1≤a ＋12 [解析] 当a ，b 是正数时， 2aba ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)，令b ＝1，得2aa ＋1≤a ≤a ＋12.又a ＞1，即a ≠b ，故上式不能取等号，选C. [答案] C[题型探究] 对一切正数m ，不等式n ＜4m ＋2m 恒成立，求常数n 的取值范围． 解 当m ∈(0，＋∞)时，由均值不等式，得4m ＋2m ≥24m ·2m ＝42，且当m ＝2时，等号成立，故n 的取值范围为n ＜4 2.【典例分析】利用均值不等式比较大小在利用均值不等式比较大小时，应创设应用均值不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑均值不等式使用的条件，其次要明确均值不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．【跟踪训练】已知：a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，试比较1a ＋1b ，2a 2＋b 2，4的大小． 解 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14. ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2＝12－ab ≥12－14＝14，即2a 2＋b 2≤4.∴1a ＋1b ≥4≥2a 2＋b 2. 题型三 利用均值不等式求代数式的最值例3 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值； (2)已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值； (3)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，求x ＋y 的最大值． [解] (1)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y ＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，1x ＋9y ＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (2)∵2x ＋y ＋6＝xy ，∴y ＝2x ＋6x －1，x ＞1，xy ＝x (2x ＋6)x －1＝2(x 2＋3x )x －1＝2[x 2－1＋3(x －1)＋4]x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋4x －1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋5≥2×⎝⎛⎭⎪⎫2 x －1·4x －1＋5＝18.当且仅当x ＝3时，等号成立，∴xy 的最小值为18.(3)因为1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2≤43， 即x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0，且x 2＋y 2＋xy ＝1， 即x ＝y ＝33时，等号成立，∴x ＋y 的最大值为233. [结论探究] 若本例(1)中的条件不变，如何求xy 的最小值？ 解 1x ＋9y ＝y ＋9x xy ≥2y ·9x xy ＝6xy xy ＝6xy ，又因为1x ＋9y ＝1，所以6xy ≤1，xy ≥6，xy ≥36，当且仅当y ＝9x ，即x ＝2，y ＝18时，等号成立． 所以(xy )min ＝36. 【典例分析】利用均值不等式求代数式的最值(1)利用均值不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【跟踪训练】(1)已知正数x，y满足x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值；(2)已知x>0，y>0，且满足x3＋y4＝1，求xy的最大值．解(1)∵x，y为正数，且x＋2y＝1，∴1x＋1y＝(x＋2y)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋2 2.(2)∵x3＋y4＝1，∴1＝x3＋y4≥2xy12＝33xy.∴xy≤3，当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时等号成立．∴xy≤3，即xy的最大值为3.题型四利用均值不等式求函数的最值例4(1)求y＝1x－3＋x(x>3)的最小值；(2)已知0<x<13，求y＝x(1－3x)的最大值；(3)已知x＞－1，求y＝x2＋3x＋4x＋1的最小值．[解](1)∵y＝1x－3＋x＝1x－3＋(x－3)＋3，又∵x>3，∴x－3>0，1x－3>0，∴y≥21x－3·(x－3)＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时，y取得最小值5.(2)∵0<x <13，∴1－3x >0， y ＝x (1－3x )＝13·3x ·(1－3x ) ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112. 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，取等号， ∴当x ＝16时，函数取得最大值112. (3)∵x >－1，∴x ＋1＞0， y ＝x 2＋3x ＋4x ＋1＝(x ＋1)2＋(x ＋1)＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1＋1≥22＋1， 当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，函数y 取得最小值22＋1. [条件探究] 在本例(1)中把“x >3”改为“x <3”，y ＝1x －3＋x 的最值又如何？ 解 ∵x <3，∴x －3<0，∴y ＝1x －3＋x ＝－13－x －(3－x )＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－x ＋(3－x )＋3≤－213－x·(3－x )＋3 ＝－2＋3＝1.当且仅当13－x ＝3－x ，即x ＝2时，取等号．故函数y ＝1x －3＋x (x <3)有最大值1，没有最小值．【典例分析】利用均值不等式求函数的最值(1)利用均值不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法．【跟踪训练】 (1)已知x <54，则y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(2)若x >1，则y ＝x 2x －1的最小值为________．答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵x <54，∴5－4x >0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(5－4x )＋15－4x ＋3 ≤－2(5－4x )×15－4x＋3＝－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x， 即x ＝1时，上式等号成立． 故当x ＝1时，y 的最大值为1.(2)∵x >1，∴y ＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2＋2＝4， 当且仅当1x －1＝x －1，即(x －1)2＝1时，等号成立，∴当x ＝2时，y 的最小值为4. 题型五 利用均值不等式证明不等式 例5 已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数， 求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＞3. [证明] b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c －3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3. ∵a ，b ，c 都是正数， ∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，同理c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2，∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＞6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＞3. 【典例分析】利用均值不等式证明不等式(1)利用均值不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择均值不等式及其变形不等式来证，如a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，可变形为ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a >0，b >0)可变形为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22等．同时要从整体上把握均值不等式，如a 4＋b 4≥2a 2b 2，a 2b 2＋b 2c 2≥2(ab )(bc )，都是对“a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ”的灵活应用．(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件． 【跟踪训练】 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥10. 证明 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋a ＋b ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a ＋b ＋c b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ＋b ＋c c ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥10. 【课堂测验】1．a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( ) A.2ab a ＋b＜a ＋b 2＜ab B.a ＋b 2≥2ab a ＋b ≥abC.a ＋b 2＞ab ＞2ab a ＋bD.ab <2ab a ＋b＜a ＋b2答案 C 解析2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ＜a ＋b 2.2．已知x＞0，y＞0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是()A.1x＋yB.14⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1yC.12(x2＋y2)D.12xy答案 C解析解法一：∵x＋y＞2xy，∴1x＋y＜12xy，排除D；∵14⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y＝x＋y4xy＝14xyx＋y＞1(x＋y)2x＋y＝1x＋y，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＜2(x2＋y2)，∴1x＋y＞12(x2＋y2)，排除A，故选C.解法二：取x＝1，y＝2.则1x＋y＝13；14⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y＝38；12(x2＋y2)＝110；12xy＝122＝18.其中110最小，故选C.3．若a＞0，则代数式a＋25a()A．有最小值10B．有最大值10C．有最大值没有最小值D．既没有最大值也没有最小值答案 A解析利用均值不等式得a＋25a≥2a·25a＝10，当且仅当a＝25a，即a＝5时，取得最小值10.4．已知x，y均为正数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为()A.14B.12C.18D.116答案 D解析 ∵x ＞0，y ＞0.∴4xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.∴xy ≤116. 当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号．5．已知a >b ，ab ＝1，求证：a 2＋b 2≥22(a －b )．证明 ∵a >b ，∴a －b >0，又ab ＝1，∴a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2－2ab ＋2ab a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b ≥2(a －b )·2a －b ＝22，即a 2＋b 2a －b ≥22，即a 2＋b 2≥22(a －b )，当且仅当a －b ＝2a －b，即a －b ＝2时取等号．。
一元一次不等式选择方案问题及答案Microsoft Word 文档
选择方案1、一种节能灯的功率为10瓦（即0.01千瓦）售价为60元，一种白炽灯功率为60瓦（即0.06千瓦）售价为3元。
两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）如果电费价格为0.5元/千瓦·时，消费者选用哪种灯省钱？解：节能灯的总费用=0.5×0.01x+60白炽灯的总费用=0.5×0.06x+30.5×0.01x+60=0.5×0.06x+3x=22800.5×0.01x+60＞0.5×0.06x+3x＜22800.5×0.01x+60＜0.5×0.06x+3x＞2280答：当x=2280时选用两种灯总费用一样当x＜2280时选用白炽灯总费用省当x＞2280时选用节能灯总费用省2、某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出，每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出，每份材料收费30元，不收设计费。
问，哪家公司制作这批宣传材料比较合算？解：设制作材料x份，则甲公司所收费用=20x+3000乙公司所收费用=30x20x+3000=30xx=30020x+3000＞30xx＜30020x+3000＜30xx＞300答：当x=300时选用两公司总费用一样。
当x＜300时选用乙公司总费用省。
当x＞300时选用甲公司总费用省。
3、某中学需要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，出租用刻录机需120元外，每张光盘还需成本4元（包括空白光盘费）。
问刻录这批电脑光盘，该校如何选择，才能使费用较少？解：设这批电脑光盘有x张，根据题意：到电脑公司刻录的费用为8x，学校自刻的费用为：120+4x①若8x=4x+120，x=30，当您刻录的光盘数等于30张光盘时花钱是一样的；②若8x＞4x+120解得x＞30。
当您刻录的光盘数多于30张时，学校自刻合算③若8x＜4x+120解得x＜30。
(word完整版)贝努利不等式在高考中的应用.docx
贝努利不等式在高考中的应用贝努利不等式：对任意正整数 n ≥0，和任意实数 x ≥-1，有 (1x) n1 nx 成立； 如果 n ≥0且为偶数，则不等式对任意实数 x 成立。
可以看到在n = 0,1 ，或 x= 0 时等号成立，而对任意正整数n ≥2 和任意实数 x ≥-1 且 x ≠0，有严格不等式： ( 1 nx) ＞ 1+nx下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若 m ≤0或 m ≥ 1，有(1x) m ≥ 1 +mx ；若 0 ≤m ≤ ，1有 (1 x)m ≤ 1 +mx 证明方法如下：如果 m=0， 1，则结论是显然的如果 m ≠0， 1，作辅助函数 f ( x)(1 x) m (1 mx) , 那么 f ' ( x) m(1 x)m 1 m , 则 f ' ( x)x=0;下面分情况讨论：1. 0 < m< 1 ，则对于 x > 0 ，f '( )< 0 ；对于 - 1 < x < 0 ， f'( x) > 0。
因此 f ( x) 在 x = 0x处取最大值 0，故得 (1x)m ≤ 1 +mx 。
2. m < 0 或 m > 1，则对于 x > 0 ， f ' ( x) > 0；对于 - 1 < x < 0 ， f ' ( x) < 0 。
因此 f ( x) 在 x = 0 处取最小值 0，故得 (1 x) m ≥ 1 +mx《标准》所指的贝努利不等式是： (1 x)n1 nx(x>-1 ， n 为正整数 )． ①注不等式①中的条件“n 为正整数”可推广为“ n 为大于 l 的实数”，推论 1 设 n ∈N+，， n>l ， t>0，则有 t n≥1+n(t 一 1) ， ②当且仅当 t=l 时，②取等号．②的证明可由恒等式t nntn1 (t1) 2 t n 22 t n3 3 n 4..... ( n 2) t n 1 ③ 直接推出．t易见，当且仅当 t=1 时，②取等号，因此当且仅当 x=0 时，①取等号．在①中令 x+l=t ，则①可变为②或③ ,因此不等式①与②是等价的．因此不等式①与②都可以称为贝努利不等式．推论 2 设 a, >0， n ∈N+ ， n>1，则 a nn n 1a (n 1) n , ④当且仅当 a时，④取等号．证明由②得， a nn ( a )nn1 n(a1)nn1a(n 1)n例题精讲1 p11n1.（ 2007，湖北理 5）已知 p 和 q 是两个不相等的正整数，且q ≥ 2 ，则 lim n →q（ C）1pp 111nA ．0B ． 1C ．qD ． q 11 (1 x)m解答：由于 1 (1 x) (1 x)2(1 x)3..... (1 x)m 11 (1 x)所以 1 (1 x)mx 1 (1 x) (1 x)2(1 x)3 ....(1 x)m 1令 x1 ， m 分别取 p 和 q ，则原式化为2n p 1p111111 1111L1nnn nnlimlimq2q 1n →n →1111111111L1nn n nn11211p 1Q lim1,lim 1 1 1,L ,lim1,nnnnnn所以原式 =11 L 1 p（分子、分母1 的个数分别为p 个、 q 个）1 1 L 1q法二：根据贝努利不等式可知当x0 时， (1 x)m = 1 + mx ，故对于此题有当 n(1 1)q1 q，所以 lim (1 1 ) p 1 1p 1 ppn lim n lim nnn n(1 1 q 1 n 1 q1 nq q) n nn2.（ 2007，湖北理 21）已知 m ， n 为正整数，（ 1）用数学归纳法证明：当x1 时， (1 x)m ≥ 1 mx ；mmm有 (1 1 ) p 1 pn nm （ 2）对于 n ≥ 6 ，已知 11 1，求证 1m 31，求证 1n mn32m 23（ 3）求出满足等式 3n4n ( n 2) n(n3) n 的所有正整数 n ．解法 1：（1）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当 m 1时，原不等式成立；当m 2 时，左边1 2xx 2 ，右边1 2x ，因为 x 2 ≥ 0，所以左边 ≥ 右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k 时，不等式成立，即(1x)k ≥ 1 kx ，则当 m k 1时，∵ x1， ∴1x 0 ，于是在不等式 (1 x)k ≥1 kx 两边同乘以1 x 得(1x) k ·(1 x) ≥ (1 kx)(1 x) 1 (k1)x kx 2 ≥ 1 ( k 1)x ，所以k 1≥mk 1(1 x)1 (k 1)x ．即当时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．1 mm（ 2）证：当 n ≥ 6， m ≤ n 时，由（Ⅰ）得1≥10 ，3n3nmn1 nmn m1 m于是≤11，m 1，2，L ， n ．131332nnn（ 3）解：由（Ⅱ）知，当 n ≥ 6 时，nnn2n1112 L1n 11L1 1 ，n 3n 32 22n 32n1 2， m 1，2，L ，n ；∴n2 nn 1 n 3nL31．n 3n 3n即 3n4n L( n 2)n (n 3)n ．即当 n ≥ 6 时，不存在满足该等式的正整数 n ．故只需要讨论 n 1，2，3，4，5 的情形：当 n 1 时， 3 4 ，等式不成立；当 n 2 时， 32 4252 ，等式成立；当 n 3 时， 33 43 53 63 ，等式成立；当 n4 时， 3444 54 64 为偶数，而 74 为奇数，故 34 44 54 64 74 ，等式不成立；当 n 5 时，同 n 4 的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的 n 只有 n 2，3．解法 2：（1）证：当 x 0 或 m 1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当 x 1 ，且 x 0 时， m ≥ 2 ， (1 x) m1 mx ．①①当 m2 时，左边 1 2x x 2 ，右边1 2x ，因为 x 0 ，所以 x2 0 ，即左边右边，不等式①成立；②假设当 m k (k ≥ 2) 时，不等式①成立，即 (1 x)k1 kx ，则当 mk 1时，因为 x1 ，所以 1 x 0 ．又因为 x0， k ≥ 2 ，所以 kx 20 ．于是在不等式 (1 x)k1 kx 两边同乘以 1 x 得(1 x) k ·(1 x)(1 kx)(1 x) 1 (k 1)x kx 2 1(k 1) x ，所以 (1x)k11 (k1)x ．即当 m k1时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．nm n11，∴11（ 2）证：当 n ≥ 6 ， m ≤ n 时， ∵ 1212n 3n 3 m，mnm n1≥ 1m，∴ 1m≤11 而由（ 1）， 10 n 3 12n 3n3n 3m．nnnn（ 3）解：假设存在正整数n 0 ≥ 6 使等式 3 0 4 0 L(n 0 2) 0(n 0 3) 0成立，3 n 04 n 0n 0 n 0即有L2② n 03n 0 3 n 01．33 n 04n 0n 0 n 0又由（ 2）可得2n 03 n 0 3L3n 0n 0 n 0n 0 n 01 n 0n 01111 1 n 03n 0L 1223n 0 3n 0 11 1L11，与②式矛盾．22n 0故当 n ≥ 6 时，不存在满足该等式的正整数n ．下同解法 1．3.（ 2001，全国理 20) 已知 i ， m ， n 是正整数，且 1＜ i ≤ m ＜ n(1 )证明 n i p im ＜m i p in ；( 2 )证明(1+m)n >(1+n)m证明 :(1) 略n nn1 n ,所以 (1+m)n >(1+n)m(2) 因为 1＜ m ＜ n ,1>1 ,由贝努利不等式有 (1 m) m.mmnm4.(2007, 四川理 22）设函数 f ( x)11N ).(n N , 且 n 1, xn1 (1) 当 x=6 时 ,求 1nn的展开式中二项式系数最大的项;(2) 对任意的实数 x,证明f (2x) f (2)＞ f (x)( f( x)是f (x)的导函数 );2是否存在a N 使得＜n1 ＜ (a 1)n 恒成立 若存在 试证明你的结论并求出 的值 若不存在 请说 (3)a ,,an1?,;k 1k明理由 .1320（ 1）解：展开式中二项式系数最大的项是第4 项，这项是 C 6315nn 3（ 2）证法一：因为2n22 112n2nnf 2x f 21 11 11 12 1 11 12 1 1nnnnn nn 2 11n2 11nln 11ln 112 f ' xn2nn2n22 n1 2n证法二：因 f2xf21 11 12 112 11 1 1n1nn nnn1n111而 2 f 'x2 1 ln 1故只需对 1 和 ln 1 进行比较。
(完整word版)不等式应用题
例1某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如下表：请解答下列问题：（1）第一天,该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg ，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完后一共能赚多少元钱？（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg?例2学校准备购进一批节能灯，已知1只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需26元；3只A 型节能灯和2只B 型节能灯共需29元.（1）求一只A 型节能灯和一只B 型节能灯的售价各是多少元?（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,并且A 型节能灯的数量不多于B 型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.例3某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．(1）求表中a的值；(2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少?（3）由于原材料价格上涨,每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元,按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后,所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？例1义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块,要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的．请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？例2甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致,每张办公桌800元，每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案,甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家:桌子和椅子全部按原价8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张(x≥9）．(1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；(2)购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算?例3某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同．（1）两种跳绳的单价各是多少元？（2）若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择？【过关检测】1.为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元。
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第一部分：不等式应用题解法
【引例】一个长方形足球场的宽是65m，如果它的周长大于330m，面积不大于7150㎡。
求这个足球场的长的范围，并判断这个足球场是否可以用于国际足球比赛。
（国际比赛的足球场长度为100～110m,宽度为64～75m)
【问题1】如何设未知数？如何找到表达实际问题的两个不等关系？
【问题2】用一元一次不等式组解决实际问题的步骤是什么？
⑴审题，找出不等关系；
⑵设未知数；
⑶列出不等式；
⑷求出不等式的解集；
⑸找出符合题意的值；
⑹作答。
【例1】一本英语书98页,张力读了7天(一周)还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读3页,张力每天读多少页?
⑴找关键词——不等量
⑵找对比（两种情况），设未知数
⑶找总量
⑷总量已知：两种情况各自与总量比较（两个不等式）
【习题1】某旅游团有48人到某宾馆住宿，若全安排住宾馆的底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有一个房间没有住满5人。
问该宾馆底层有客房多少间?
【例2】把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？
⑴找关键词——不等量
⑵找对比（两种情况），设未知数
⑶找总量
⑷总量未知：两种情况相互比较（其中一种情况可计算总量，另一种情况有上下限）
【习题2】某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
【例3】某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。
已知两家旅行社的全票价都是240元，哪家旅行社比较好？
解两种“方案比较”应用题的方法
⑴找出两种方案的，设未知数
⑵分别列出两种方案的费用
⑶分情况讨论（结合人数）
【习题3】某单位计划10月份组织员工到H地旅游人数估计在10～25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元．该
单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠；问该单位应怎样选择，使其支付的旅游总费用较少？
【练习】
1、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？
2、用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B 型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？
3、A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往C、D两农村，如果从A
城运往C、D两地运费分别是20元/吨与25元/吨，从B城运往C、D两地运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知C地需要220吨，D地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请帮他算一算，怎样调运花钱最小？。