中职数学21.1排列组合与二项式
排列组合与二项式定理
排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是概率论和组合数学中重要的概念和定理。
它们在数学、统计学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍排列组合和二项式定理的概念、性质和应用，并探讨它们之间的关系。
一、排列组合的概念和性质排列和组合是组合数学中的基本概念，用于计算事物的不同排列和组合方式。
1. 排列：排列是指从若干个元素中选择一部分元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列，有P(n,r)种排列方式。
排列的计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合：组合是指从若干个元素中选择一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合，有C(n,r)种组合方式。
组合的计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)排列和组合的计算公式是基于阶乘的，阶乘表示从1到某个正整数的连乘积。
排列和组合的性质包括交换律、结合律和分配律等。
二、二项式定理的概念和性质二项式定理是代数中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。
二项式是两个项的和，形式为 (a + b)^n，其中a和b为实数或变量，n为非负整数。
二项式定理的表达式为：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数。
二项式定理的性质包括二项式系数的对称性、二项式系数的递推性和二项式系数与排列组合的关系等。
三、排列组合与二项式定理的应用排列组合和二项式定理在许多领域中有广泛的应用。
1. 概率论：排列组合和二项式定理用于计算事件的可能性和概率。
通过组合数可以计算从一组元素中选择特定数量的元素的概率。
2. 统计学：排列组合和二项式定理用于计算事件的组合和排列数量，从而分析数据的分布和规律。
排列、组合、二项式定理精选教学PPT课件
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。
此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。
此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
第十二章 排列、组合与二项式定理 第二节 排列
4. （单击左键显示答案）
n
0
2
3
4
5
6
7
8
n!
1
2
6
24
120
720 5040 40320
阶乘即为全排列,阶乘数等于正整数1到 n 的连乘积.这个 积叫 n 的阶乘.
5.计算：
(1)
A4 11
A5 5
?;
(2)
若An2
3
A2 n1
,
求n.
答案
6.回答：
(1)
若
Am n
17 1615
5 4,则n
例8 有10个人去图书馆借阅7种参考书中的任意一种,每种 书都有10本,共可有多少种不同的借阅法?
解 10个人相当于10个位置,每个位置有7种书可供选择,是 10个位置7个元素的重复排列,所以,不同的借阅法共有:N =710种.
上面两个例子虽然都有数字10和7,但例7中是7个位置10个 元素,所以有107台, 而在例8中是10个位置7个元素,所以有710种, 在处理重复排列的实际问题时,要注意元素和位置的区别-元素 可以挑剔,位置不能空缺.
据乘法原理, 从n个不同的元素中,每次取出m个不同元素的排列
种数为
Am n
nn
பைடு நூலகம்
1 n
2
n m 1
12-3
m个因式
这就是说, 从n个不同的元素中,每次取出m个元素的排列种 数等于m个连续正整数的乘积,其中最大的正整数是n.
例3
计算(1)A63
;
(2)
A4 7
2
A3 7
.
解 (1)A63 65 4 120;
第十二章 排列、组合与二项式定理
计数原理,排列、组合,二项式定理复习教案
国规教材
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教学流程图
4知识点检测：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选出两名同学，一名担任班长，一名担任副班长，有多少种不同的选法？
（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加上午和下午的活动，有多少种不同的方法？
1.组织学生在了解的基础上理解排列的概念，掌握排列数公
1.组合的概念
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列与组合的区别：排列是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，与m个元素的排列顺序有关；组合是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素组成一组，与m个元素的排列顺序无关.
2.组合数
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，
用符号表示.
5、知识点检测：
某天上午共4节课，排语文、数学、体育、计算机课，其中体育课不排在第一节课，那么这天上午课表的不同排法种数是（）
1.引导并组织学生根据信息进行讨论.区别排列与组合。
国主义情怀.
1.二项式定理的内容
设 a.,b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2.二项展开式的通项公式
3.二项式系数与二项展开式中某项的系数
3.知识点检测：
组织学生运用二项式定理的相关内容解决实际问题.。
排列、组合 和二项式定理幻灯片PPT
组合
组合数的概念和推导 组合数公式 组合数性质
CnmCnnm C n m 1C n mC n m 1
kCnk nCnk1
C k k C k k 1 C k k 2 C n k C n k 1 1
计数综合问题
先选后排
7.从3名男生和3名女生中，选出3名分别担 任语文、数学、英语的课代表，要求至少 有1名女生，则选派方案共有（ ）
其中能被5整除的四位数共有
个
二维：有5有0，有5无0，无5有0
主元：个位为0，个位为5（再根据需要细 分，选0与不选0）
在6名内科医生和4名外科医生中，内科主 任和外科主任各一名，现在要组成人医疗 小组送医下乡，依下列条件各有多少种方 法：
既有内科医生又有外科医生（间接考察）
既有主任又有外科医生
排列数应用
组合 组合数
组合数应用
二项式定理
教学内容
不仅有着许多直接应用，还是学习概率理 论的准备知识，而且由于其思维方法的新 颖性与独特性，因此它也是培养学生思维 能力的不可多得的好素材；作为初中多项 式乘法公式的推广——二项式定理，不仅 使前面组合等知识的学习得到强化，而且 与后面概率中的二项分布有着密切联系。
排列、组合 和二项式定理 幻灯片PPT
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知识结构
分类计数原理、分步计数原理
排列 排列数
3．展开式的每一项由若干个a和若干个b的乘积 构成，a和b的个数之和等于n，它可以表示为ankbk．
中职数学21.1排列组合与二项式ppt课件
解： ( 3x 3 2)100 的展开式的通项公式为：
Tr1
Cr 100
•
100r
3x •
32
r
100r
r
3 2
•
23
•
Cr 100
•
x100r
100 2
r
,
r 3
r 0，1，2， ，100
均为整数时,T为有理数. 有理项即
r为6的倍数,且0 r 100.
整数次幂项
即r为0, 6,12,,96,展开式中共有17项有理项.
五、二项式定理：
将(a+b)n展开 （a+b）n=(a b)( ab)(ab)
n个
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
解:（1＋ 1 )4 x
1
C41
(
1 x
)
C42
(
1 x
)2
C43
(
1 x
)3
C44
(
1 x
)4
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 Cnr ；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
中职数学5--排列组合和二项式定理二项式定理_
fient ),式中的Cknankbk叫做二项展开式的通项,用Tk1
表示,即通项为展开式的第k 1项 : Tk1 Cknankbk.
x
1
6
2x
16
x x
1 x3
2x
16
1 x3
2x6
C16 2x5
C26 2x4
C36 2x3
C64 2x2 C56 2x C66
1
x3
64x6 6 32x5 15 16x4 20 8x3
n N .如何证明这个猜想呢?
证明 由于a bn是n个a b相乘,每个a b在相乘 时有两种选择,选取a或b,而且每个a b中的a或b都选
定后,才能得到展开式的一项,因此 ,由分步乘法计数原
理可知,在合并同类项之前,a bn的展开式共有 2n 项,
35 8x3 280x3,
所以展开式的第4项的系数是280.
1 2x7 的展开式的第4 项的二项式系数是
C37 35.一个二项式展开式的某一项的二项 式系数与这一项的系数是两个不同的概念.
2求
x
1
9
的展开式中x3的系数.
x
2
x
1
9
的展开式的通项是
其中每一项都是ankbk (k 0,1, ,n)的形式.
对某个kk 0,1,2, n ,对应的项ankbk 是由n k 个a b中选a,k个a b中选b得到的.由于b选定
职高数学——排列、组合与二项式定理
计数原理一、高考要求:掌握分类计数原理及分步计数原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题.二、知识要点:1.分类计数原理(又称加法原理):完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.2.分步计数原理(又称乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有 12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.三、典型例题: 例1: (1)有红、黄、白色旗子各n 面(n ＞3),取其中一面、二面、三面组成纵列信号,可以有多少不同的信号？(2)有1元、2元、5元、10元的钞票各一张,取其中一张或几张,能组成多少种不同的币值？(1)解 因为纵列信号有上、下顺序关系,所以是一个排列问题,信号分一面、二面、三面三种情况(三类),各类之间是互斥的,所以用加法原理:①升一面旗:共有3种信号;②升二面旗:要分两步,连续完成每一步,信号方告完成,而每步又是独立的事件,故用乘法原理,因同色旗子可重复使用,故共有3×3种信号;③升三面旗:有N =3×3×3种信号,所以共有39种信号.(2)解 计算币值与顺序无关,所以是一个组合问题,有取一张、二张、三张、四张四种情况,它们彼此互斥的,用加法原理,因此,不同币值有N =14C +24C +34C +44C =15(种). 例4: (1)5本不同的书放在3个不同的书包中,有多少种不同的方法？(2)3个旅客在5家旅店住宿,有多少种不同的方法？(1)解 每本书有3种不同方法,共有35=243种.(2)解 每个人有5种选择,共有53=125种.四、归纳小结:两个基本原理的共同点是,都是研究“完成一件事,共有多少种不同的方法”,它们的区别在于一个与“分类”有关,一个与“分步”有关.如果完成一件事有n 类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一种办法中的哪一种都能单独的完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理;如果完成一件事,需要分成n 个步骤,各个步骤都不可缺少,需要完成所有的步骤才能完成这件事,而完成每一个步骤又各有若干方法,求完成这件事方法的种数,就用分步计数原理.五、基础知识训练:(一)选择题:1.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有( )A.35种B.53种C.3种D.15种2.将4个不同的小球放入3个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有( )A.43种B.34种C.18种D.36种3.已知集合M={1,-1,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )A.18B.10C.16D.144.用1,2,3,4四个数字在任取数（不重复取）作和,则取出这些数的不同的和共有( )A.8个B.9个C.10个D.5个(二)填空题:5.由数字2，3，4，5可组成________个三位数,_________个四位数,________个五位数.6.用1，2，3…，9九个数字,可组成__________个四位数,_________个六位数.7.从2，3，5，7这四个数中,取出两数来作假分数,这样的假分数有_____ _个.8.全国移动电话号码从1999年7月22日零时开始升到10位,前四位号码为1390,剩下的位数码从0，1，2，…，9中任取6个数字组成(可以重复),该方案的移动电话用户最多能容纳户.9.商店里有15种上衣,18种裤子,某人要买一件上衣或一条裤子,共有_______种不同的选法.要买上衣、裤子各一件,共有_________种不同的选法.10.现有甲组3人,乙组3人,两组进行乒乓球单打对抗(甲组每人必须和乙组每人赛一场),一共有比赛的场数是 .(三)解答题:11.有不同的数学书11本,不同的物理书8本,不同的化学书5本,从中取出不同学科的书2本,有多少种不同的取法？12.用0，1，2，3，4这5个数字,(1)组成比1000小的正整数有多少种不同的方法?(2)组成无重复数字的三位偶数有多少种不同的方法?13.五封不同的信投入四个邮筒,(1)随便投完五封信,有多少种不同投法?(2)每个邮筒中至少要有一封信,有多少种不同投法?排列一、高考要求:理解排列的意义,掌握排列数的计算公式,并能用它解决一些简单的问题.二、知识要点:1.一般地,从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.如果m ＜n,这样的排列叫做选排列,如果m=n,这样的排列叫做全排列.2.一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n P (或m n A )表示.3.排列数公式:(1)(2)(1)m n P n n n n m =⋅-⋅-⋅⋅-+,其中+∈N n m ,,且m≤n.全排列的排列数等于自然数1到n 的连乘积,这个连乘积叫做n 的阶乘,用n!表示,即!(1)(2)321n n P n n n n ==⋅-⋅-⋅⨯⨯⨯. 排列数公式还可以写成!()!m n n P n m =-.规定0!=1. 三、典型例题: 例: ⑴ 7位同学站成一排,共有多少种不同的排法？解:问题可以看作:7个元素的全排列——77A ＝5040⑵ 7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法？解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶ 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列——66A =720⑷ 7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有22A 种;第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种,则共有22A 55A =240种排列方法 ⑸ 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一(直接法):第一步 从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法;第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有55A 种方法 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法.解法二:(排除法)若甲站在排头有66A 种方法;若乙站在排尾有66A 种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有77A -662A ＋55A =2400种.小结一:对于“在”与“不在”的问题,常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑.(6)7位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有66A 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有66A 22A ＝1440种.(7) 7位同学站成一排,甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解:方法同上,一共有55A 33A ＝720种. (8) 7位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有25A 种方法;将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法.解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有255A 种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法.解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有14A 55A 22A ＝960种方法.小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).(9) 7位同学站成一排,甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一:(排除法)3600226677=⋅-A A A解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有55A 种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有26A 种方法,所以一共有36002655=A A 种方法.(10) 7位同学站成一排,甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解:先将其余四个同学排好有44A 种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法,所以一共有44A 35A ＝1440种. 小结三:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑).四、归纳小结:1.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样,只是元素排列的顺序不完全相同.2.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型:⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;⑵某些元素要求连排(即必须相邻);⑶某些元素要求分离(即不能相邻);3.基本的解题方法:⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法);⑵某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;⑶某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”;⑷在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基.五、基础知识训练:(一)选择题:1.(96高职-4)12344444P P P P +++等于( )A.421-B.2455P P +C.64D.422.某段铁路共有6个站,共需准备普通客票的种数是( )A.30B.24C.15D.123.有4本不同的书分给4位同学,每人一本,不同的分法有( )A.64种B.24种C.16种D.8种4.5人中选出4人完成4项不同的工作,不同的选法种数为( )A.5B.45C.54D.45A 5.用0,1,2,…,9这十个数字组成的无重复数字的三位数不可能是( )A.299PB.310910P C.33109P P - D.23992P P + 6.从若干个元素中,每次取出2个元素的排列种数为210,则元素的个数是( )A.20B.15C.30D.147.有n(n N +∈)件不同产品排成一排,若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种,则n=( )A.4B.5C.6D.7(二)填空题:8.若2n A =30,则n= .9.已知从n 个不同元素中取出2个元素的排列数等于从n-4个不同元素中取出2个元素的排列数的7倍,则n= .10.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地上进行试验,共有 种种植方法.11.从6人中选出4人参加4×100米接力赛,甲必须跑第一棒,乙必须跑第四棒,不同的安排方案种数是 .12.某班有3名男同学和4名女同学外出随机站成一排照相,但4名女同学要站在一起,其排法有种 .13.国内某汽车生产厂有六种不同型号的环保型电动汽车参加国际博览会展览,排成一排,其中甲、乙两型号必须相邻的排法总数是(用数字回答) .(三)解答题:14.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法？解法一:(从特殊位置考虑)1360805919=A A 解法二:(从特殊元素考虑)若选:595A ⋅;若不选:69A ,则共有 595A ⋅＋69A ＝136080.解法三:(间接法)=-59610A A 136080 15.⑴八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,则共有多少种不同的排法？略解:甲、乙排在前排24A ;丙排在后排14A ;其余进行全排列55A .所以一共有24A 14A 55A＝5760种方法.⑵不同的五种商品在货架上排成一排,其中a , b 两种商品必须排在一起,而c, d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？略解:(“捆绑法”和“插空法”的综合应用)a , b 捆在一起与e 进行排列有22A ;此时留下三个空,将c, d 两种商品排进去一共有23A ;最后将a , b “松绑”有22A .所以一共有22A 23A 22A ＝24种方法.⑶6张同排连号的电影票,分给3名教师与3名学生,若要求师生相间而坐,则不同的坐法有多少种？略解:(分类)若第一个为老师则有33A 33A ;若第一个为学生则有33A 33A ,所以一共有233A 33A ＝72种方法.16.⑴由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解:3255545352515=++++A A A A A⑵由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13 000大的正整数？ 解法一:分成两类,一类是首位为1时,十位必须大于等于3有3313A A 种方法;另一类是首位不为1,有4414A A 种方法.所以一共有3313A A 1144414=+A A 个数比13 000大.解法二:(排除法)比13 000小的正整数有33A 个,所以比13 000大的正整数有-55A 33A ＝114个.17.求证:11m m m n n n P mP P -++=.18.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后一个节目已确定外,4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,2个曲艺节目要求跑在第4,8的位置,共有多少种不同的排法?组合一、高考要求:理解组合的意义,掌握组合数的计算公式和性质,并能用它解决一些简单的问题.二、知识要点:1.一般地,从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号m n C 表示.3.组合数公式:(1)(2)(1)!m mn nm m P n n n n m C P m ---+==,其中+∈N n m ,,且m≤n. 组合数公式还可以写成:!!()!m n n C m n m =-. 4.组合数的两个性质:m n m n n C C -=;11m m m n n n C C C -+=+.三、典型例题:例1:100件产品中有合格品90件,次品10件,现从中抽取4件检查.⑴ 都不是次品的取法有多少种？⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？⑶ 不都是次品的取法有多少种？解: ⑴ 2555190490=C ;⑵ 13660354101903102902103901104904100=+++=-C C C C C C C C C ;⑶ 39210154901103902102903101904104100=+++=-C C C C C C C C C .例2:从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法？解:分为三类:1奇4偶有4516C C ;3奇2偶有2536C C ;5奇1偶有56C所以一共有4516C C +2536C C +23656=C . 例3:现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法？解:我们可以分为三类:① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有2324C C ;② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有1334C C ;③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有2334C C .所以一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法.例4:甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一:(排除法)422131424152426=+-C C C C C C解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有2414C C ;另一类为甲不值周一,但值周六,有2324C C .所以一共有2414C C +2324C C ＝42种方法.例5:6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法？解:第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法;第二步将5个“不同元素(书)”分给5个人有55A 种方法.根据分步计数原理,一共有26C 55A ＝1800种方法.变题1:6本不同的书全部送给5人,有多少种不同的送书方法？变题2: 5本不．同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？ 变题3: 5本相．同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？ 答案:1.1562556=; 2.72056=A ; 3.656=C .例6:身高互不相同的7名运动员站成一排,甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解:(插空法)现将其余4个同学进行全排列一共有44A 种方法,再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中(但无需要进行排列)有35C 种方法.根据分步计数原理,一共有44A 35C ＝240种方法.例7:⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种不同的放法？⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解: ⑴根据分步计数原理:一共有25644=种方法.⑵(捆绑法)第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有24C 种方法,第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有34A 种方法.所以一共有24C 34A ＝144种方法.四、归纳小结:如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,它们是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.五、基础知识训练:(一)选择题:1.在下列问题中:(1)从1,2,3三个数字中任取两个,可以组成多少个和?(2)从1,2,3三个数字中任取两个,可以组成多少个没有重复数字的两位数?(3)将3个乒乓球投入5个容器,每个容器只能容纳一个乒乓球,问有多少种投法?(4)将3张编号的电影票给三个同学,每人一张,有多少种分法?属于组合问题的是( )A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.从10名同学中选出3名代表,所有可能的不同选法种数是( )A.120B.240C.720D.303.(2000-13)凸10边形共有对角线( )A.90条B.70条C.45条D.35条4.某班有50名学生,其中有一名正班长,一名副班长,现选派5人参加一个游览活动,其中至少有一名班长(正、副均可)参加,共有几种不同的选法,其中错误的一个是( )A.n=12C ·448C +22C ·348CB. n=550C -548CC. n=12C ·449CD.n=12C ·449C -348C5.从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打,不同的组队数有( )A.27C ·25CB. 427C ·25CC. 227C ·25CD. A 27C ·25C(二)填空题:6.96979898C C = .7.平面内有12个点,其中任意3点不在同一直线上,以每3点为顶点画三角形,一共可画三角形的个数是 .8.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取出2个数,使它们的和是偶数,共有 种选法.9.有13个队参加篮球赛,比赛时先分成二组,第一组7个队,第二组6个队,各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决定冠、亚军,共需要比赛的场数是 .10.4个男同学进行乒乓球双打比赛,有 种配组方法. (三)解答题:11.某赈灾区医疗队由4名外科医生和8名内科医生组成,现需从中选派5名医生去执行一项任务.(1)若某内科医生必须参加,而某外科医生因故不能参加,有多少种选派方法？ (2)若选派的5名医生中至少有1名内科和外科医生参加,有多少中选派方法？解: (1)依题意,只须从剩余的10名医生中选出4名医生与内定的一名内科医生组成医疗队.故共有410C =210种选派方法.(2)方法一:5名医生全由内科医生组成,有58C 种方法,故符合题意的方法为512C 58C -=936种; 方法二:我们将内科、外科医生分别当作一组有序实数对的前后两实数,则按题意组队方式可有:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四种,故共有18C ·44C +28C ·34C +38C ·24C +48C ·14C =736种.12.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问可以组成多少个三位数？解:可以分为两类情况:① 若取出6,则有)(217171228C C C A +种方法;②若不取6,则有2717A C 种方法.根据分类计数原理,一共有)(217171228C C C A ++2717A C ＝602种方法.13.在产品检验时,常从产品中抽出一部分进行检查,现从10件产品中任意抽3件.(1) 一共有多少种不同的抽法?(2) 如果10件产品中有3件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 如果10件产品中有3件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?排列、组合的应用一、高考要求:熟练应用排列、组合知识解排列组合应用题. 二、知识要点:排列问题与组合问题的根本区别在于,取出元素后是否按一定顺序排列.元素需要按一定顺序排列,属排列问题;不需要考虑元素顺序,属组合问题.三、典型例题:例1:完成下列选择题与填空题:(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种.A.81B.64C.24D.4(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( )A.81B.64C.24D.4(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有;②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有.解析(1)完成一件事是“分步”进行还是“分类”进行,是选用基本原理的关键.将“投四封信”这件事分四步完成,每投一封信作为一步,每步都有投入三个不同信箱的三种方法,因此:N=3×3×3×3=34=81,故答案选A.本题也可以这样分类完成,①四封信投入一个信箱中,有C31种投法;②四封信投入两个信箱中,有C32(C41·A22+C42·C22)种投法;③四封信投入三个信箱,有两封信在同一信箱中,有C42·A33种投法、,故共有C31+C32(C41·A22+C42C22)+C42·A33=81(种).故选A.(2)因学生可同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将4名学生看作4个“店”,3项冠军看作“客”,每个“客”都可住进4家“店”中的任意一家,即每个“客”有4种住宿法.由分步计数原理得:N=4×4×4=64.故答案选B.(3)①学生可以选择项目,而竞赛项目对学生无条件限制,所以类似(1)可得N=34=81(种);②竞赛项目可以挑学生,而学生无选择项目的机会,每一项可以挑4种不同学生,共有N=43=64(种);③等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛,每人参加一项,故共有C43·A33=24(种).注本题有许多形式,一般地都可以看作下列命题:设集合A={a1,a2,…,a n},集合B={b1,b2,…,b m},则f:A→B的不同映射是m n,f:B→A的不同映射是n m.若n≤m,则f:A→B的单值映射是:A m n.例2:同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( )A.6种B.9种C.11种D.23种解法一由于共四人(用1,2,3,4代表甲、乙、丙、丁四人),这个数目不大,化为填数问题之后,可用穷举法进行具体的填写:再按照题目要求检验,最终易知有9种分配方法.解法二记四人为甲、乙、丙、丁,则甲送出的卡片可以且只可以由其他三人之一收到,故有3种分配方式;以乙收到为例,其他人收到卡片的情况可分为两类:第一类:甲收到乙送出的卡片,这时丙、丁只有互送卡片1种分配方式;第二类:甲收到的不是乙送出的卡片,这时,甲收到卡片的方式有2种(分别是丙和丁送出的).对每一种情况,丙、丁收到卡片的方式只有一种.因此,根据乘法原理,不同的分配方式数为３×(1+2)=9.解法三给四个人编号:1,2,3,4,每个号码代表1个人,人与号码之间的关系为一对一的关系;每个人送出的贺年卡赋给与其编号相同的数字作为代表,这样,贺年卡的分配问题可抽象为如下“数学问题”:将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的4个方格里,每格填写一个数字,且每个方格的编号与所填数字都不同的填法共有多少种(也可以说成:用数字1,2,3,4组成没有重复数字的4位数,而且每位数字都不等于位数的4位数共有多少个)？这时,可用乘法原理求解答案:首先,在第1号方格里填写数字,可填上2、3、4中的任一个数,有3种填法;其次,当第1号方格填写的数字为i(2≤i≤4)时,则填写第i种方格的数字,有3种填法;最后,将剩下的两个数填写到空着的两个空格里,只有1种填法(因为剩下的两个数中,至少有1个与空着的格子的序号相同).因此,根据乘法原理,得不同填法:3×3×1=9注本题是“乱坐问题”,也称“错排问题”,当元素较大时,必须用容斥原理求解,但元素较小时,应用分步计数原理和分类计数原理便可以求解,或可以穷举.例3:宿舍楼走廊上有有编号的照明灯一排8盏,为节约用电又不影响照明,要求同时熄掉其中3盏,但不能同时熄掉相邻的灯,问熄灯的方法有多少种？解法一我们将8盏灯依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8.在所熄的三盏灯中,若第一盏熄1号灯,第二盏熄3号灯,则第3盏可以熄5,6,7,8号灯中的任意一盏,共有4种熄法.若第一盏熄1号灯,第2盏熄4号灯,则第3盏可以熄6,7,8号灯中的任意一盏.依次类推,得若1号灯熄了,则共有4+3+2+1=10种熄法.若1号灯不熄,第一盏熄的是2号灯,第二盏熄的是4号灯,则第三盏可以熄6,7,8号灯中的任意一盏,共有3种熄法.依次类推得,若第一盏灯熄的是2号灯,则共有3+2+1=6种熄法.同理,若第一盏熄的是3号灯,则共有2+1=3种熄法.同理,若第一盏熄的是4号灯,则有1种熄法.综上所述共有:10+6+3+1=20种熄法.解法二我们可以假定8盏灯还未安装,其中5盏灯是亮着的,3盏灯不亮.这样原问题就等价于:将5盏亮着的灯与3盏不亮的灯排成一排,使3盏不亮的灯不相邻(灯是相同的).5盏亮着的灯之间产生6个间隔(包括两边),从中插入3个作为熄灭的灯——就是我们经常解决的“相邻不相邻”问题,采用“插入法”,得其答案为C63=20种.注解法一是穷举法,将所有可能的情况依次逐一排出.这种方法思路清晰,但有时较繁.。
中职排列组合数学知识点汇总
排列与组合1.计数原理（1）分类计数原理(加法原理）：做一件事情可以分为几类办法，每一类都可以独立完成这件事情，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++ 种不同的方法（2）分步计数原理（乘法原理）：做一件事情要分为几步，每一步都完成了才能完成这件事情，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法2、(1)排列：从n 个不同的元素中取出m 个元素(m ≦n )，按照一定顺序排成一列 (先选后排，符号A n m )(2)排列数公式： (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+阶乘：12)2()1(!⨯⨯⨯-⨯-⨯= n n n n ； 规定1!0=；3、(1)组合：从n 个不同的元素中取出m 个元素(m ≦n)，不考虑顺序组成一组(只选不排，符号C n m )(2)组合数公式：(1)...(1)(1)...21m mn nm m A n n n m C A m m ⨯-⨯⨯-+==⨯-⨯⨯⨯ 4. 组合数性质：（1）规定：10=nC ； （2如731010C C =，511510410C C C =+。
5、二项式定理 0,r n r r n n n n C a b C a b n -++(1)通项：1r n r r r n T C a b -+=(2)二项式系数：r n C 叫做二项式系数【注意：二项式系数与项系数的区别】(3)所有二项式系数之和为：n n n n nC C C 2...10=+++： (4)展开式系数之和为：令1x = (或其他参数都取1)。
6.二项式系数的性质（1）与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n n m n C C -=（2）n 为偶数时，中间一项（第12n +项）的二项式系数最大； n 为奇数时，中间两项（第12n +项和112n ++项）的二项式系数最大； （3）公式：153142021022-=+++=+++=++++n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C。
中职数学对口升学一轮复习第10章《排列组合二项式定理》知识小结及单元检测课件
完成一件事需要分为n个步骤，做第1步有m1种不同方法，做第2步有m2种 不同的方法，...做第n步有mn种没同的方法，那么完成这件事共有N=m1 m2 ... mn种不同的方法.
知识清单
二.排列与排列数
————————————————————————————
1.排列的定义
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
有 A55 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64 不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素相离问题相可先把独没有位独置要求独的元相素进行排 队再把不相邻元素插入中间和两端
【例5】
二项式
知识清单
【知识结构】
知识清单
一.两个计数原理
————————————————————————————
1.分类计数原理（加法原理）：
完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同方法，在第2类办法中有 m2种不同方法......，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+...+mn种不同的方法.
x
1 x
6
的展开式中的常数项为_____.
C6k x6k (
Hale Waihona Puke 1 )k xC6k
x
6
3 2
k
6
3 2
k
0
k
4
C6k C64 15
(方法2)在这九名同学中任选四名，有
C94 =126种方法.其中四人都是男同 学的有 C44 =1种方法；四人都是女同 学的有 C54 =5种方法，因此符合要求 的选派方法有126-1-5=120种.
中职数学5--排列组合和二项式定理二项式定理
教学目标：使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。
通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育．教学重点：二项式定理的推导及证明 教学难点：二项式定理的证明 教学内容 师生互动 设计意图 教学过程：(一)新课引入：(提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(提问)：对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?(利用多项式乘法)(再提问)：(a+b)100又怎么办？ (a+b)n (n ∈N +)呢？ 我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
这节课，我们就来研究(a+b)n 的二项展开式的规律性 (二)新课：(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。
规律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a 2+2ab+b 2师问生答 学生分组讨论教师总结教师提问学生思考回答激发学生兴趣，引出新课激发学生兴趣810＝(7+1)10＝010C 710+110C 79+…+910C 7+1010C＝2(733＋c 1732+…+c 32·7+2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a 2+2ab+b 2)(a+b)=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a 3+3a 2b+3ab 2+b 3)(a+b)=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4 根据以上的归纳，可以想到(a+b)n 的展开式的各项是齐次的，它们分别为a n , a n-1b, a n-2b 2,…，b n ,展开式中各项系数的规律，可以列表： (a+b)1 1 1(a+b)2 1 2 1(a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1(a+b)5 1 5 10 10 5 1 （这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。
排列组合与二项式定理知识点精选全文
可编辑修改精选全文完整版§10. 排列组合二项定理 知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--= 注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n . 三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n-=+--== ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++kn k n k n kn m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n mn C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n nn n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 五、二项式定理.1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n n n n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!. 2. 近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时展开式的后面部分n n n n na C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。
排列组合与二项式定理PPT课件
(1)C0n＋Cn1
＋
…＋
Crn＋…
＋
Cnn＝ 2n；
C0n＋
Cn2
＋
…＝
Cn1
＋
C
3 n
＋…＝2n－1.
(2) 应 用 “ 赋 值 法 ” 可 求 得 二 项 展 开 式 中 各项 系 数 和 为
f(1)．“奇数(偶次)项”系数和为12[f(1)＋f(－1)]，“偶数(奇次)
项”系数和为12[f(1)－f(－1)]．
第18讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 计数原理及其应用
例1(1)在任意两个正整数m和n间定义某种运算，用⊗表 示运算符号，并规定，当m和n都为奇数或都为偶数时，m⊗n ＝m＋n；当m和n中有一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n ＝mn，设集合M＝{(a，b)|a⊗b＝36，a、b∈N＋}，则集合M 中共有________个元素；
第18讲 │ 要点热点探究
41 【解析】 一类：当 m、n 都为奇数时，由 m＋n＝36， 可知 m＝1,3,5，…，35，相应的 n 随之确定，共有 18 个不同 数对(a，b)；
二类：当 m 和 n 都为偶数时，由 m＋n＝36，可知 m＝ 2,4,6，…，34，相应的 n 随之确定，共有 17与D”看成一个整体，故有2A
3 4
＝
48种涂法．
故不同的涂法共有24＋48＝72种，选A.
【点评】 本题的涂色问题是一类典型应用两个计数原理解决的 计数问题，在高考中多次出现这类问题，解决的基本思路有两条：一 是按照颜色的种类进行分类；二是按区域一个一个地涂色．在具体填 涂的过程中应用计数原理，找到问题的解决方案．
第18讲 │ 要点热点探究
【点评】 分清是分类还是分步，是决定用分类计算原理 还是分步计算原理的必要条件；分类时标准统一，做到不重不 漏．分步时程序清晰，做到独立、完整．如果题目中既要用到 分类计数原理，又要用到分步计数原理，一般应遵循“先分 类，再分步”的原则．
二项式定理与排列组合的知识点总结
二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。
本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。
一、排列组合的基本概念排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。
排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。
1. 排列排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。
主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。
有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。
而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。
2. 组合组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。
同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。
二、二项式定理的概念和公式二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。
它表述了如下公式：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。
C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。
具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)三、二项式定理与排列组合的关系二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二项式展开式中各项系数的求解方法。
1. 二项式系数的性质二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。
这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。
2. 应用举例利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。
比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总数等等。
四、应用示例在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、统计和计算问题。
2023年职高数学二轮复习——排列、组合、二项式、概率
第十章： 排列、组合、二项式定理及概率一、知识点汇总1、两个计数原理：①分类计数原理（加法原理）：一步到位②分步计数原理（乘法原理）：多步完成2、排列：与所选元素顺序有关。
个数相乘共排列数：m m n m n n n n A )1()2)(1(+---= 123)2)(1(⨯⨯--= n n n A n n 3、组合：与所选元素顺序无关。
组合数：m m m n m n A A C = 210810C C C C m n n m n ==-如：性质：常用方法：（1）捆绑法：相邻问题。
例：5个同学站一排照相，要求甲乙必须相邻，则不同的排法有：4422A A 种。
（2）插空法：不相邻问题。
例：某文艺晚会需排一节目单，其中独唱节目5个，舞蹈节目4个，要求舞蹈不能相邻，有多少种排法？ 4655A A（3）优限法：特殊位置或特殊元素。
例：由0,1,2,3组成没有重复数字的三位数，共有多少个？ 2313A A •4、概率：发生的总数）为事件为总数，其中A m n nm A P (,)(= 5、二项式定理：n n n m m n m n n n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a C b a 02221100)(++++++=+--- ①展开式：共1+n 项；*②通项：m m n m nm b a C T -+=1； *③二项式系数：m n C ；*④系数： 化简完后未知数前面的常数；*⑤二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+++ ；*⑥系数和：设未知数为1，进行计算。
⑦ 二项式系数最大项出现在中间。
二、题型训练1.某段铁路共有６个站，共需准备普通客票的种数是（ ）。
A. 30B. 24C. 15D. 122.某段铁路共有６个站，有多少种不同的票价（ ）A. 30B. 24C. 15D. 123.从６人中选３人完成三项不同的工作，则不同的选法总数为（ ）。
数学中的排列组合与二项式定理
数学中的排列组合与二项式定理在数学中，排列组合和二项式定理是重要的概念和原理。
它们在解决问题、计算概率等方面起着重要的作用。
一、排列组合排列组合是数学中用来描述和计算对象排列和选择方式的概念。
排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列，而组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合。
1.1 排列排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列的方式。
假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行排列，则排列的方式数用P(n,r)表示。
计算排列的方式数的公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
排列的应用非常广泛，比如在数学竞赛中，求解一道题目需要按照一定的规则对给定的元素进行排列。
1.2 组合组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合的方式。
与排列不同，组合不考虑对象的顺序。
假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行组合，则组合的方式数用C(n,r)表示。
计算组合的方式数的公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)组合通常用于解决计算概率、统计样本等问题。
比如在概率问题中，我们需要计算从一组给定的元素中选取若干个元素的所有可能组合的概率。
二、二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
一个二项式表示如下：(a + b)^n其中，a和b是实数或者变量，n是非负整数。
二项式定理给出了展开(a + b)^n所得的多项式的各项系数。
二项式定理的表达式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数量。
排列组合与二项式定理
排列组合和二项式定理是数学中的重要概念，它们在很多领域都有应用，包括统计学、概率论和计算物理等。
排列组合主要研究的是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的排列和组合问题。
排列是指按照一定的顺序将元素进行排列，而组合则是指不考虑顺序地将元素进行组合。
排列和组合都有各自的数量表示方法，即排列数和组合数。
二项式定理则是用来展开二项式的定理，它的一般形式是(a+b)的n次方的展开式。
这个定理的证明可以通过归纳法和乘法原理进行。
二项式定理的各项系数，即合并同类项后的系数，可以用排列数来表示。
二项式定理的证明有很多种，其中一种基于其组合意义的证明方法是通过选择第i 个元素或者不选择第i个元素来进行证明。
此外，排列组合和二项式定理都涉及到可重元素的问题。
对于可重元素的情况，需要考虑到元素的重复次数和排列的顺序等因素。
对于含有相同元素的排列问题，可以通过设重集S的方法来求解排列个数。
总的来说，排列组合和二项式定理是密切相关的数学概念，它们在很多数学问题和实际问题中都有应用。
(完整版)排列组合与二项式定理
8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？ 【参考答案】可以分为两类情况：① 若取出6，则有()211182772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法．根据分类计数原理，一共有()211182772P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 经典例题：例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ）A ．150种B. 147种C. 144种D. 141种【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．在10个点中任取4点，有410C 种取法，取出的4点共面有三类 第一类：共四面体的某一个面，有446C 种取法；第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法； 第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个． 故取4个不共面的点的不同取法共有410C －(446C ＋6＋3)＝141，因此选D例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，。
排列、组合、二项式定理-基本原理
排列、组合、二项式定理-基本原理一、排列排列是组合数学中的一个概念，指的是从一组元素中按照一定的顺序选取若干元素进行排列的方法总数。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的顺序会生成不同的排列。
排列的计算可以采用阶乘来表示。
例如，从3个元素A、B、C中选取2个进行排列，可以有以下6种不同的排列结果： AB、AC、BA、BC、CA、CB排列的计算公式可以表示为： P(n, k) = n! / (n-k)!其中P(n, k)表示从n个元素中选取k个进行排列的方法总数，n!表示n的阶乘。
排列的计算方法可以用于解决很多实际问题，如计算赛事的比赛安排、编码问题等。
二、组合组合是组合数学中的另一个重要概念，指的是从一组元素中选取若干个元素进行组合的方法总数。
在组合中，元素的顺序不重要，相同的元素组合的结果是相同的。
组合的计算可以采用组合数来表示。
例如，从3个元素A、B、C中选取2个进行组合，可以有以下3种不同的组合结果： AB、AC、BC组合的计算公式可以表示为： C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中C(n, k)表示从n个元素中选取k个进行组合的方法总数，n!表示n的阶乘。
组合的计算方法可以应用于解决实际问题，如抽奖问题、分组问题等。
三、二项式定理二项式定理是代数学中的一个基本定理，用于展开两项式的幂。
二项式定理的表述如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + … + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n其中(a + b)^n表示一个二项式的幂展开结果，C(n, k)表示从n个元素中选取k 个进行组合的方法总数。
二项式定理的展开结果是一系列组合数的线性组合。
二项式定理的应用非常广泛，例如在概率统计中的二项分布、二项树和二项式堆等。
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组合数公式 :
一般地，求从n个不同元素中取出m
个元素的排列数 Anm 可以分如下两步： ① 先求从n个不同元素中取出m个元
素的组合数 Cnm ；
② 求每一个组合中m个元素全排列数，
根据分步计数原理得：
Anm Cnm Amm
Cnm
Amn Amm
n(n 1)(n 2)(n m 1) m(m 1)(m 2)21
练习1、若
(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7
求 练习2、
a0+
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值
若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a2+a4+a6的值
例1：展开（1＋ 1 )4 x
五、二项式定理：
将(a+b)n展开 （a+b）n= (a b)( ab)(ab)
n个
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解
九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一” 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个 方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约 公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不 晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做 帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 五百年左右.
2n1
赋值法
归纳提高
(奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项 式系数和)：
C0 C2 C4 C1 C3 C5
n
n
n
n
n
பைடு நூலகம்
n
赋值法
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值
相关练习题
若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 求 a0+ a2+a4+a6的值 求 a1+ a3+a5+a7的值
由9 2r 3, 得r=3.故x3的系数为(-1)3C93 84
中间一项是第5, 6项,T41
C94 x94 (
1)4 x
70x
T51
C95 x95 (
1 )5 x
70 x
8
例4(1)：试判断在 x 1 的展开式中有
2 3 x
无常数项？如果有，求出此常数项；如果
解:（1＋ 1 )4 x
1
C41
(
1 x
)
C42
(
1 x
)2
C43
(
1 x
)3
C44
(
1 x
)4
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
C
r n
；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
例2：展开(2 x 1 )6，并求第3项的 x
第二十一章 排列 组合 二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
基本原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质
二项式定理
二项式定理 二项式系数的性质
复习《第十一章概率与统计初步》
一、分类计数原理（加法原理）：
完成一件事情，有n类方式,
在第1类方式中有m1种不同的方法, 在第2类方式中有m2种不同的方法，……，
说明： （1）排列的定义包括两个方面：
①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：
①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同； （3）当m=n时，称为n个元素的全排列.
排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的 所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素 的排列数.
用符号表示: Anm
二项式系数和第6项的系数.
解: (2
x
1 x
)6
=
1 x3
(2x
1)6
=
1 [(2x)6 x3
C61 (2x)5
C62 (2x)4
C63 (2x)3
C64 (2x)2 C65 (2x) C66 ]
=64x3
192x2
240x
160
60 x
12 x2
1 x3
第三项的二项式系数为 C62 15
练习：
1、求 ( x 3 )9的展开式常数项 3x
解:
Tr 1
C9r
( x )9r 3
(
3 )r x
C9r
(
1)9r 3
3r
9r
x
1 2
r
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(1)96 3
36
2268
2、求 ( x 3 )9 的展开式的中间项 3x
Cnm
n! m!(n
(n, m)!
m
N,m
n)
组合数性质1：
C
m n
C
nm n
说明：
（1）规定：C0n 1 (2)等式两边下标相同，两边上标之和等于下标
(3)当m n 时,用此性质可以简化运算 2
组合数性质2：
Cnm Cnm1 Cnm1
排列和组合的区别和联系：
区别1 办法，关键词“分类” 步骤，关键词“分步”
每类办法相互独立， 各步骤中的方法相互依
区别2 每类方法都能独立地 存，只有各个步骤都完
完成这件事情
成才算完成这件事
二、排列的概念：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素（这里的 被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
在第n类方式中有mn种不同的方法。 那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
要点： （1）分类； （2）相互独立； （3） N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）
分步计数原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，…，
+ … +(-1)nCnnbn 2、令a=1，b=x
（1
x）n
1
C
1 n
x
C
2 n
x
2
C
r n
x
r
C
n n
x
n
3、令a=1，b=1
C C 0 1
n
n
Cn n
(1
1)
n
2n
证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。
证明： (a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn
第六项的系数为 C65 2(1)5 12
例3:(1)求（1+2x)7的展开式的第4项的系数
(2)求（x 1 )9的展开式中x3的系数和中间项 x
解: (1)T31 C73 173 (2x)3 280x3
第四项系数为280
(2)Tr 1
C9r
x9r
(
1 x
)r
(1)r C9r x92r
没有，说明理由.
解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：
Tr1
C8r
x 8r 2
1 3x
r
1
r
C8r
1 2
8r
244r
x3
由题意可知， 24 4r 0 r 6 常数项即
x 3
故存在常数项且为第7项，
0项.
本积
商实
《 九
平方
章
立方
算
术
三乘
》
四乘
杨
辉
五乘
《详解九章算法》中记载的表
二项式定理：
(a b)n Cn0anCn1an1b Cnmanmbm Cnnbn(n N*)