高中数学 人教A版必修3 3.1.1、2 随机事件的概率、概率的意义 课件

【解析】(1)如表所示
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数目 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)根据频率与概率的关系,可以认为从这批产品中任取 一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是0.95.
【跟踪训练】
1.在20支同型号钢笔中,有3支钢笔是次品,从中任意抽
取4支钢笔,则以下事件是必然事件的是 ( )
A.4支均为正品
B.3支为正品,1支为次品
C.3支为次品,1支为正品 D.至少有1支为正品
【解析】选D.因为仅有3支钢笔是次品,故抽样的结果 有以下四种情况:4支全是正品,有1支次品,有2支次品, 有3支次品.
(2)由(1)知,事件“正面向上的次数比反面向上的次数 多”的所有结果为111,110,101,011.
【补偿训练】1.下列事件是随机事件的个数是 ( )
①异种电荷互相排斥;②明天天晴;③自由下落的物体做
匀速直线运动;④函数y=logax(a>0,且a≠1)在定义域上 是增函数.
A.0
B.1
C.2
(1)估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率. (2)请你估计袋中红球的个数.
【解题指南】(1)先计算摸球的总的次数,再求摸到红球 的频率,最后求概率. (2)根据频率估计概率,求得红球的个数.
【解析】(1)因为20×400=8 000, 所以摸到红球的频率为: 6 0=000.75,
8 000
2.概率为1的事件是否一定发生?概率为0的事件是否一 定不发生?为什么?
提示:任何事件发生的概率都是区间[0,1]内的一个确 定的数,用来度量该事件发生的可能性.小概率(接近于 0)事件不是不发生,而是很少发生,大概率(接近于1)事 件不是一定发生,而是经常发生,因此概率为1的事件不 是一定发生,同样概率为0的事件不是一定不发生.
结论: 1.频数与频率 (1)前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复 n次试验,观察事件A是否出现. (2)频数:n次试验中事件A出现的_次__数__n_A . 频率:事件A出现的比例fn(A)=__nn_A _.
2.概率 (1)定义:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的 增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这 个常数记作_P_(_A_)_,称为事件A的概率. (2)范围: _[_0_,_1_]_.
(2)在投掷骰子的试验中,可以定义许多事件,例如:
C1={出现1点},C2={出现的点数小于1},C3={出现的点数 小于7},C4={出现的点数大于6},C5={出现的点数是偶 数};以上5个事件中的随机事件个数为( )
A.1
B.2
C.3Leabharlann D.4【解题指南】根据事件的定义进行判断.
【解析】(1)选C.选项A为随机事件,选项B为不可能事 件,选项C为必然事件,选项D为随机事件. (2)选B.因为C2,C4是不可能事件,C3是必然事件,在一定 条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件,显然 在给出的5个事件中C1和C5符合要求.
【拓展】频率与概率的区别与联系 (1)频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件 发生的可能性的大小. (2)频率是不能脱离具体的n次试验的实验值,而概率是 具有确定性的不依赖于试验次数的理论值. (3)频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
【跟踪训练】 国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对 某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所 示:
第三章 概 率 3.1 随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率
3.1.2
概率的意义
主题1 必然事件、不可能事件和随机事件 1.考察下列事件:(1)太阳从西边落下.(2)向上抛出的 石头会下落.(3)在标准大气压下水温升高到100 ℃会 沸腾.这些事件就其发生与否有什么共同特点? 提示:都是必然要发生的事件.
抽取球 数目
50
优等品 数目
45
优等品 频率
100 200 500 1 000 2 000 92 194 470 954 1 902
(1)计算表中优等品的各个频率. (2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品 的概率约是多少?
【解题指南】(1)根据频率的计算公式求解. (2)由频率计算公式,求出每个抽取球数对应的频率,根 据频率的近似值,得出概率.
【解析】选C.当x∈(0,1)时,必有x∈(0,1),x∈(0,2), 所以A和B都是必然事件; 当x∈(0,2)时,有x∈(0,1)或x∉(0,1),所以C是随机事件; 当x∈(0,2)时,必有x∉(-1,0),所以D是不可能事件.
2.一个口袋内有5个红球,3个黄球,从中随机取出5个球, 则下列事件中的不可能事件为 ( ) A.5个球都是黄球 B.5个球都是红球 C.5个球有2个红球,3个黄球 D.5个球中至少有2个红球
(3)意义:概率从数量上反映了随机事件发生的_可__能__性__ 的大小.
【对点训练】 1.下列说法正确的是 ( ) A.任何事件的概率总在(0,1)内 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.概率是随机的,在试验前不能确定 D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
【解析】选D.任何事件的概率总在[0,1]内,频率与试 验次数有关,C中概率是客观存在的,故A,B,C都不正确.
类型二 随机事件的频率与概率 【典例2】某活动小组为了估计装有5个白球和若干个 红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个, 在不将袋中的球倒出来的情况下,分小组进行摸球试验, 两人一组,共20组进行摸球试验.其中一位学生摸球,另 一位学生记录所摸球的颜色,并将球放回袋中摇匀,每 一组做400次试验,汇总起来后,摸到红球次数为6 000 次.
【补偿训练】在进行n次重复试验中,事件A发生的频
率为 m ,当n很大时,事件A发生的概率P(A)与 m 的关
n
n
系是 ( )
A.P(A)≈ m
n
C.P(A)> m
n
B.P(A)< m
n
D.P(A)= m
n
【解析】选A.对于给定的随机事件A,事件A发生的频率
fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以
nA n
,计算出频率值.
(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.
2.求频率的稳定值的方法 根据频数和重复试验的次数计算频率,可直接观察频率 稳定在哪个常数附近,用它来估计概率值,也可在坐标 系内描出各点(横坐标为次数,纵坐标为频率),观察频 率值在哪个常数附近波动,则这个常数就可作为概率的 近似值.
4.判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件 的关键是什么? 提示:关键是判断在一定的条件下所出现的某种结果是 一定发生、一定不发生、还是不一定发生.
【对点训练】 1.下列事件中是随机事件的是 ( ) A.在数轴上向区间(0,1)内投点,点落在区间(0,1)内 B.在数轴上向区间(0,1)内投点,点落在区间(0,2)内 C.在数轴上向区间(0,2)内投点,点落在区间(0,1)内 D.在数轴上向区间(0,2)内投点,点落在区间(-1,0)内
因为试验次数很大,大量试验时,频率接近于理论概率,
所以估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率是
0.75.
(2)设袋中红球有x个,根据题意得:
x =0.75,解得x=15,经检验x=15是原方程的解且满
x5
足题意,所以估计袋中红球有15个.
【方法总结】
1.根据频率求随机事件概率的步骤
(1)利用频率的计算公式fn(A)=
答案
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识 了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能 .
性
答案
知识点二 概率与公平性 思考 一副围棋子共181枚黑子，180枚白子.如果裁判闭目从中任取一 枚，指定比赛双方的一方猜黑白，猜对先行，否则让对方先行.这种规 则是否公平？ 答案 从361枚棋子中任取一枚，取到黑子的概率大，指定一方猜黑，猜 对先行的概率大，所以这个规则不公平. 一般地，我们所谓的规则，规则公平的标准是参与各方机会均等，即胜 出的概率相等.
2.考察下列事件:(1)在没有水分的真空中种子发芽.(2) 在常温常压下钢铁融化.(3)铁球浮在水中.这些事件就 其发生与否有什么共同特点? 提示:都是不可能发生的事件.
3.考察下列事件:(1)出租车司机小李驾车通过几个十 字路口都将遇到绿灯;(2)山东地区一年里7月15日这一 天最热;(3)抛掷一个骰子出现的点数为偶数.这些事件 就其发生与否有什么共同特点? 提示:都是可能发生也可能不发生的事件.
2.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率
为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;
②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现 正面的概率是 3 ;
7
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
其中正确说法的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选A. 对于①,错误,因为次品率为0.1,说明从
D.3
【解析】选C.由随机事件的定义可知:②④是随机事件; ①③是不可能事件.即随机事件的个数是2.
2.从12件同类产品(其中10件正品,2件次品)中,任意抽 取6件产品,下列说法中正确的是 ( ) A.抽出的6件产品必有5件正品,1件次品 B.抽出的6件产品中可能有5件正品,1件次品
C.抽取6件产品时,逐个不放回地抽取,前5件是正品,第 6件必是次品 D.抽取6件产品时,不可能抽得5件正品,1件次品 【解析】选B.从12件中任抽6件,产品情况是随机的,构 成随机事件.对于A、C、D来说,所下结论不符合随机事 件的特点.
【方法总结】分析试验结果的方法技巧 (1)首先要准确理解试验的条件、结果等有关定义,并 能使用它们判断一些事件,指出试验结果,这是后续学 习求事件的概率的前提和基础.
(2)在写试验结果时,一般采用列举法写出,必须首先明 确事件发生的条件,根据日常生活的经验,按一定的次 序一一列举,才能保证没有重复,也没有遗漏.
2.小明随机地掷一枚硬币3次,正面向上记为1,反面向 上记为0. (1)写出这个试验的所有结果. (2)写出事件“正面向上的次数比反面向上的次数多” 的所有结果.
【解析】(1)用111表示3次都是正面的情形,用101表示 第1,3次是正面,第2次是反面的情形,所以这个试验的 所有结果为111,110,101,011,100,010,001,000,共8个 结果.
用频率fn(A)来估计概率P(A),即P(A)≈
m n
.
【知识思维导图】
学习目标 3.1.2 概率的意义
1.通过实例进一步理解概率的意义； 2.了解概率在公平性、决策和预报等方面的应用； 3.理解概率统计中随机性与规律性的关系.
知识点一 正确理解概率的含义 思考 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率为0.5，是否意味着连 续抛2次，一定是一次正面朝上，一次是反面朝上？ 答案 抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，它是大量试验得出的一种规 律性结果，对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性，在连续抛 掷一枚硬币两次的试验中，可能两次均正面朝上，也可能两次均反面朝上， 也可能一次正面朝上，一次反面朝上.
中任取100件,有可能其中有10件是次品;对于②,错误,
因为做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面, 出现正 面的频率是 3 ,不是概率;对于③,错误,因为频率是概
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率的近似值,概率是频率的稳定值.
类型一 必然事件、不可能事件及随机事件 【典例1】(1)下列事件是必然事件的是 ( ) A.某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军 B.一个三角形的大边对的角小,小边对的角大 C.如果a>b,那么b<a D.某人购买福利彩票中奖
【解析】选A.因为一共有3个黄球,所以不可能都是黄 球,所以“5个球都是黄球”是不可能事件,“5个球中 至少有2个红球”是必然事件,“5个球都是红球”与 “5个球有2个红球,3个黄球”都是随机事件.
主题2 随机事件的频率和概率 1.若让某人抛掷一枚硬币,当随着试验次数的增加,硬 币正面朝上的次数与试验的总次数的比怎样变化? 提示:随着试验次数的增加,比值趋于一个确定的常数.