几何概型练习题

几何概型练习题

1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取点则该点落在三棱锥A 1－ABC 内的概率是( )

A ．13

B ．16

C ．12

D ．1

4

2．如图，在一个边长为a 、b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a 3与a

2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投

的点落在梯形内部的概率为( )

A ．112

B ．14

C ．512

D ．712

3．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )

A ．π4

B ．π10

C ．π20

D ．π40

4．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为24

25，则河宽为（ )

A ．16 m

B ．20 m

C ．8 m

D ．10 m

5．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时，看见的是红灯的概率是________；看见的不是黄灯的概率是________．

6．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是________．

7．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率_ ．

8．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1 000粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为600粒，则可以估计出阴影部分的面积为________．

9．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为______．

10．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为________．

11．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．

12．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P，则点P 落在剩余几何体上的概率为________．

13．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边

长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概

率为________．

14．在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中

随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是；从

中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是

15．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始

终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．

16．在区间]2

,2[π

π-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0至12之间的

概率为________．

17. 如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长超过R 2的概率为________．

18．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．

19．已知正三棱锥S －ABC 的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P ，使得

V P －ABC < 1

2

V S －ABC 的概率是 ．

20．已知正方体

ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱

锥M －ABCD 的体积小于1

6

的概率．

21．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接

正三角形边长3的概率是多少

23．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．

24．设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A，B除外)，将线段AB分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．

答案：1．在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1－ABC内的概率是( )

A．1

3 B．

1

6

C．

1

2

D．

1

4

[答案] B

[解析] 体积型几何概型问题．

P ＝VA 1－ABC VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16

.

2．如图，在一个边长为a 、b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a 3与a

2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的

点落在梯形内部的概率为( )

A ．112

B ．14

C ．512

D ．712

[答案] C

[解析] S 矩形＝ab . S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13

a ＋12a

b ＝5

12ab .

故所投的点落在梯形内部的概率为 P ＝S 梯形S 矩形＝512ab

ab ＝512

.

3．(2013～2014·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )

A ．π4

B ．π10

C ．π20

D ．π40

[答案] A

[解析] 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1.