三重积分的概念与计算ppt课件

x c
32
r 常数
常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
z z
M (x, y, z)
o
y
x
r(x, y,0)
33
在柱面坐标下
cos r sin 0
sin r cos 0 r,
0
01
34
若 : z1(r, ) z z2(r, ) , (r, ) Dr 其 中 Dr： , r1( ) r r2 ( ) . 则有
4
利用对称性
oy
x
(x2 y2 z2 ) dv
用球坐标
2
d
0
4 0
sin d 2r 4 d r 64 1
0
5
2 2
44
计算
I
x2
1 y2
dxdydz 1
,其中 由锥面
平面 z 围1 成.
x2 y2 z2 ,
解法：用投影法.
: Dxy : 0 2 ,0 r 1, r x2 y2 z 1,
dxdydz
r dr d dz
r 2 sin dr d d
积分区域多由坐标面 围成 ; 被积函数形式简洁, 或 变量可分离.
三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
f (x, y, z) dxdydz * F (u,v, w) J dudvdw
对应雅可比行列式为 J (x, y, z)
(u, v, w)
及平面z 1围成.
解：
:
x2 y2 z 1
x2 y2 1
x2 y2 z2 x2 y2 1
I dxdy
Dxy
1 x2 y2
x2
1 y2
dz 1
Dxy
1 x2
x2 y2 y2 1
dxdy
极 坐 标
2
d
0
1 r r2 0 1 r 2 dr
2
1 1 r 0 (1 r2
解: :
c zc
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
a
by
x
用“先二后一 ”
z
2
d
x
d
y
d
z
c
z c
2
d
z
Dz
d
x
d
y
c c
z 2
a b( 1
z2 c2
)dz
4 15
abc3
17
补充：三重积分对称性：
1、变量位置对称性：
设由( x, y, z) 0表示，若( y, x, z) 0仍
表示，则 f ( x, y, z)dv f ( y, x, z)dv.
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
24
3. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
25
to be continue
26
作业
115页 3, 4, 6, 12, 13
27
换元法
一一对应
雅可比行列式 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
z
2a
在球坐标系下方程为 r 2a cos
锥面方程为 所以
r 2a cos
a
V
dxdydz
2
d
d
2a cos
r 2 sindr
0
0
0
x
y
2 sin (r 3 ) 2acos d 4 a3(1 cos4 ).
30
0
3
41
内容小结
坐标系
体积元素
适用情况
直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 * 说明:
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
.
c
则 zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
z c
Dz
z
xa
by
而
dxdy SDz
Dz
a2 (1
z2 c2
)
b2 (1
z2 c2
)
ab(1
z2 c2
),
原式
c
ab(1
0
z2 c2
)zdz
1 abc2 .
4
16
例. 计算三重积分
c z Dz z
D
z1( x, y)
8
同理 D : c y d , x1( y) x x2( y), 得
Z2(x,y)
f ( x, y, z)dv
f ( x, y, z)dzd
D Z1( x, y)
d
x2 ( y)
z2 ( x, y)
dy
dx
f ( x, y, z)dz.
c
x1 ( y)
I dxdy Dxy
1
1
x2 y2 x2 y2 1 dz rdrd
Dxy
2
d
0
1r
1
0 1 r 2 dr
dz
r
11
r r2 1 dz
2
1 1 r
0
( 1
r
2
1)dr
(ln2
2
)
2
45
例5. 计算三重积分
所以
xy
I dxdy 0 f (x, y, z)dz Dxy
1
1 x
xy
0 dx0 dy0 f (x, y, z)dz
x y1 x
O
12
方法2. 截面法 (“先二后一”)
13
c2 f ( x, y, z)dv dz f ( x, y, z)dxdy
D
c1
Dz
z
特别适用于积分区域中一坐标 的范围易获得，截面范围易表 示的情况。
例：：x2＋y2＋z2 a2 ,则
f ( x)dv f ( y)dv f (z)dv
18
补充：三重积分对称性：
2、奇偶对称性：
设关于yoz面对称，（xoy面）（xoz面）
f ( x, y, z)dv
2
1
f
( x,
y, z)dv，f关于x(z,
y)为偶函数 .
0，f关于x(z, y)为奇函数
f ( x, y, z)d xd y dz * F (u, v, w) J dudvdw
体积元素
28
2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
29
圆柱面
30
z
c (常数)
半平面
z zc (常数)
o
y
x c
z
zc
平面
o
y
x 31
z
r
rc
c
o rc y
z1 ( x, y)
同理可得用平行于x（或y）轴的直线穿如 不多于两点上三重积分可先对x(或y)积分， 再对yoz(或xoz)面上区域作二重积分展开即可。
9
例.计算三重积分
其中 为三个坐标
面及平面
所围成的闭区域 .
解:
10
例2..计算 I
x2
1 y2
dxdydz 1
,其中 由锥面
x2 y2 z2 ,
解:
利用对称性
1 2
(
x2
y2
)d
xd
yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
1
4
dz
2 d
2z r3 d r 21
21 0
0
其中
z 4
1
Dz
oy x
37
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) R3, 令 OM r,
ZOM , 则(r, , ) 就称为点M 的球坐标. z
19
例 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y2 y2
z2 z2
4. 微元法 5. 对称奇偶性* 6.中值定理. V 为 的体积, 则存在
在有界闭域 上连续, 使得
5
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
三次积分法
6
方法1. 投影法 (“先一后二” )
记作
7
三次积分法
设区域 :
drd z2(r, ) f (r cos , r sin , z)r dz z1 ( r , ) D
d
r2 ( ) dr
z2(r, ) f (r cos , r sin , z)r dz
r1 ( )
z1 (r, )
从小到大
边界到边界
在投影区域上做极坐标变换
35
例. 计算三重积分
其中由抛物面
42
思考与练习
2 计算 I zdxdydz ，其中 为双曲面
z 2 x2 y2 ，锥面 z
x 2 y 2 及柱面
x 2 y2 4 围成．
z x2 y2
z
2 z 2 x2 y2
Dxy
O
y 2
x 图 2-3 43
3. 设由锥面 所围成 , 计算
提示:
和球面
z
2
I (x2 y2 z2 2 xy 2 yz 2 xz) dv
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
n
M
lim
0
(k ,k , k )vk
k 1
vk
( k ,k , k )
3
定义. 设
若对 作任意分割:
任意取点
下列“乘积和式” 极 限
记作
存在, 则称此极限为函数
在上的三重积分.
称为体积元素, 在直角坐标系下常写作
4
三重积分的性质 1. 线性性质、单调性、积分估值公式 2. 区域可加性
1)dr
(ln2
2
)
2
11
例1. 化 I f (x, y, z)dxdydz为三次积分， 由曲面
z xy 及平面 x y 1 0, z 0 围成.
z
解：如图
x
0 z xy,
:
Dxy
:
0
x
1,
0 y1 x
注：x 0 或 y 0 时，z 0 . y
o Dxy
曲面与 xOy 坐标面交于 x 轴和 y 轴 . y
1
1)
dxdydz
0.
20
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0, 21
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
22
I (2x2 z2 )dxdydz,
在柱面坐标下：
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
所以
1
x
1
zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
1 z 1 (1 z)2 dz 1
02
24
y
1
1z x y 1
Dz
1x
O 1z
注：此题可用投影法求解． 15
例4.计算三重积分 zdxdydz 其中 是上半椭球体
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
解： : 0 z c,
z1(x, y) z z2 (x, y)
(
x,
wk.baidu.com
y)
D
:
y1(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x, y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1( x, y)
投影法
适用范围: 由平面围成的情况
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
特别对
f
(z)dv更有效（＝ c2 c1
f
(z)SDz dz）。
14
例3. 计算三重积分 zd xd ydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x y z 1 所围成的闭区域 .
z
1
解:如图，：0 z 1, Dz 为 xoy面上x轴， z
y轴和 x y 1 z 围成的等腰直角三角形. o 1 y
半平面 锥面
M (r,,)
z
（
c
常
数
）
（
c
常
数
）
c
o
x c
y
39
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分，
从小到大，从边界到边界。
40
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
0 2, 0 r 1, r2 z 2 r2 ,
2
1
I d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
23
思考与练习
1. 将 I f (x, y, z) d v用三次积分表示, 其中由
六个平面 x 0, x 2, y 1, x 2 y 4, z x , z 2 所 围成 , f (x, y, z) C().
作业
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1
第三节
第九章
三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
2
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
y
原式 =
2
d
0
2h r 0 1 r2 dr
h
r2 d z
xo
4
2
2 0
h
1
r r
2
(h
r2 4
)
d
r
dv r dr d dz
36
4. 计算
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
直角坐标与球面坐标的关系
x rsin cos y r sin sin z r cos
0 r
0 2 0
z
rM
o y
x P | OP | r sin
z r cos
38
z
x rsin cos y r sin sin z r cos
r 常数
球面
M
o r
y
x
常数 常数