三重积分的概念与计算ppt课件
合集下载
第三节三重积分的概念与计算-PPT课件
第八章
重积分
第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )， 求立体 V 的质量 M 为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块
V1 , V2 , . . . , Vn ,
Vi 的体积 记为 V i
例1 设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点
p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质
量M.
2 2 2 1 D xy
2 2 2 M ( x y z ) dxdydz dxdy ( x y z ) d 解 0
3 1 1 y y1 2 2 2 ( x y) dxdy ( x y ) dx 0 0 3 3 3 D xy
过点 ( x ,y ) D 作直线 , o xy
a
z2 S 2
z1
S1
z z ( x ,y ) 1
从 z 穿入，从 z b 1 2穿出．
x
( x, y)
D
y
y y ( x ) 2
y y ( x ) 1
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z ) 只看作 z 的 函数，则
1 2 13 2 ( x ) dx x x 1 0 3 3 3 0
1 2
其中 D : 0 x 1 , 0 y 1 xy
当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最
容易安排
g ( x , y , z ) dV dx ( x , y , z ) dz dy g
重积分
第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )， 求立体 V 的质量 M 为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块
V1 , V2 , . . . , Vn ,
Vi 的体积 记为 V i
例1 设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点
p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质
量M.
2 2 2 1 D xy
2 2 2 M ( x y z ) dxdydz dxdy ( x y z ) d 解 0
3 1 1 y y1 2 2 2 ( x y) dxdy ( x y ) dx 0 0 3 3 3 D xy
过点 ( x ,y ) D 作直线 , o xy
a
z2 S 2
z1
S1
z z ( x ,y ) 1
从 z 穿入，从 z b 1 2穿出．
x
( x, y)
D
y
y y ( x ) 2
y y ( x ) 1
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z ) 只看作 z 的 函数，则
1 2 13 2 ( x ) dx x x 1 0 3 3 3 0
1 2
其中 D : 0 x 1 , 0 y 1 xy
当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最
容易安排
g ( x , y , z ) dV dx ( x , y , z ) dz dy g
高等数学《三重积分》课件
3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
《D933三重积分》课件
弹性力学问题中的三重积分应用
弹性力学问题中的 三重积分应用：在 弹性力学问题中， 三重积分被广泛应 用于求解应力、应 变和位移等问题。
应力分布：三重 积分可以用来求 解弹性体中的应 力分布，从而了 解弹性体的受力
情况。
应变分析：三重 积分可以用来求 解弹性体中的应 变分布，从而了 解弹性体的变形
情况。
D933三重积分PPT课件 大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
01
三重积分的性质和定 理
04
三重积分的概念
02
三重积分的几何应用
05
三重积分的计算方法
03
三重积分的物理应用
06
添加章节标题
三重积分的概念
三重积分的定义
三重积分是计算空 间区域体积的一种 方法
积分区域为三维空 间中的有限区域
积分变量为x, y, z
柱坐标系下的三重积分计算 实例
柱坐标系下的三重积分定义
柱坐标系下的三重积分计算 注意事项
球坐标系下的三重积分计算
球坐标系的定义和性质 球坐标系下的三重积分公式 球坐标系下的三重积分计算步骤 球坐标系下的三重积分应用实例
坐标变换法
坐标变换法的基本思想：将原积分区域变换到新的坐标系下，使得新的积分区域更容易计算
三重积分在气象学中的应用
气象学中的三 重积分：用于 计算大气中的 温度、湿度、 气压等物理量
应用实例：计 算大气中的温 度分布、湿度 分布、气压分
布等
应用方法：通过 三重积分计算大 气中的物理量， 然后进行数据分
析和预测
应用效果：提高 气象预报的准确 性和可靠性，为 气象研究和应用
提供有力支持
三重积分在生物学中的应用
《scut三重积分》课件
估值定理
三重积分存在估值定理，即对于闭区域上的非负函数，其三重积 分值不大于该函数在此区域上的最大值与最小值之差的四倍。
奇偶性质
对于奇函数或偶函数的三重积分，存在奇偶性质，即当函数为奇 函数时，其三重积分为0；当函数为偶函数时，其三重积分等于一
半区间上的积分的四倍。
三重积分的几何意义
体积
01
当被积函数大于0时，三重积分表示由函数曲线所围成的三维区
注意事项
在柱坐标系下，需特别注意被积函数与柱坐标的 对应关系，以及不同变量间的几何意义。
球坐标系下的三重积分计算
总结词
球坐标系适用于描述球对称或球 状结构的几何形状。
详细描述
在球坐标系下，将三重积分转化 为球坐标的r、θ、φ的积分。通过 确定各变量的积分上下限，利用 微元法进行计算。
注意事项
在球坐标系下，需特别注意被积 函数与球坐标的对应关系，以及 不同变量间的几何意义。同时， 还需考虑球坐标系中各变量的取 值范围。
z轴。通过确定积分上下限，利用微元法逐步累加计算出积分值。
03
注意事项
在确定积分上下限时，需特别注意被积函数与坐标轴的相对位置关系，
以及不同坐标轴上的几何形状。
柱坐标系下的三重积分计算
1 2 3
总结词
柱坐标系适用于描述旋转对称或柱状结构的几何 形状。
详细描述
在柱坐标系下，将三重积分转化为柱坐标的r、φ 、z的积分。通过确定各变量的积分上下限，利 用微元法进行计算。
三重积分的计算方法
三重积分可以通过累次积分或一次性积分的方法进行计算，其中累 次积分包括先一后二和先二后一两种顺序。
三重积分与二重积分的联系
三重积分可以看作是二重积分在多增加一个维度上的推广，因此二 重积分的一些性质和计算方法可以类推到三重积分中。
三重积分存在估值定理，即对于闭区域上的非负函数，其三重积 分值不大于该函数在此区域上的最大值与最小值之差的四倍。
奇偶性质
对于奇函数或偶函数的三重积分，存在奇偶性质，即当函数为奇 函数时，其三重积分为0；当函数为偶函数时，其三重积分等于一
半区间上的积分的四倍。
三重积分的几何意义
体积
01
当被积函数大于0时，三重积分表示由函数曲线所围成的三维区
注意事项
在柱坐标系下，需特别注意被积函数与柱坐标的 对应关系，以及不同变量间的几何意义。
球坐标系下的三重积分计算
总结词
球坐标系适用于描述球对称或球 状结构的几何形状。
详细描述
在球坐标系下，将三重积分转化 为球坐标的r、θ、φ的积分。通过 确定各变量的积分上下限，利用 微元法进行计算。
注意事项
在球坐标系下，需特别注意被积 函数与球坐标的对应关系，以及 不同变量间的几何意义。同时， 还需考虑球坐标系中各变量的取 值范围。
z轴。通过确定积分上下限，利用微元法逐步累加计算出积分值。
03
注意事项
在确定积分上下限时，需特别注意被积函数与坐标轴的相对位置关系，
以及不同坐标轴上的几何形状。
柱坐标系下的三重积分计算
1 2 3
总结词
柱坐标系适用于描述旋转对称或柱状结构的几何 形状。
详细描述
在柱坐标系下，将三重积分转化为柱坐标的r、φ 、z的积分。通过确定各变量的积分上下限，利 用微元法进行计算。
三重积分的计算方法
三重积分可以通过累次积分或一次性积分的方法进行计算，其中累 次积分包括先一后二和先二后一两种顺序。
三重积分与二重积分的联系
三重积分可以看作是二重积分在多增加一个维度上的推广，因此二 重积分的一些性质和计算方法可以类推到三重积分中。
三重积分 ppt课件
0
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
ppt课件
3
目录 上页 下页 返回 结束
二、三重积分的计算
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
ppt课件
10
目录 上页 下页 返回 结束
围成 , f (x, y, z) C( ).
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
ppt课件
14
目录 上页 下页 返回 结束
2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
ppt课件
因此有
d d r
r d
f (x, y, z)dxdydz
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
ppt课件
3
目录 上页 下页 返回 结束
二、三重积分的计算
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
ppt课件
10
目录 上页 下页 返回 结束
围成 , f (x, y, z) C( ).
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
ppt课件
14
目录 上页 下页 返回 结束
2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
ppt课件
因此有
d d r
r d
f (x, y, z)dxdydz
《重积分三重积分》课件
三重积分的性质
线性性质
三重积分满足线性性质，即对于 可分离变量的三重积分，可以将 积分拆分成几个部分分别进行计 算。
区间可加性
三重积分具有区间可加性，即对 于分割的三重积分，其值等于各 个子区间上三重积分的和。
积分中值定理
对于有界闭区域上的连续函数， 存在至少一个点使得三重积分在 该点的值等于被积函数在区域上 的平均值乘以区域的体积。
重积分三重积分
目录 CONTENTS
• 重积分的概念 • 三重积分的概念 • 三重积分的计算方法 • 三重积分的应用 • 三重积分的扩展知识
01
重积分的概念
重积分的定义
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计 算多元函数在某个区域上的累积值。
记号
设 $f(x, y, z)$ 是三维空间上的可积函 数，$D$ 是三维区域，则 $f(x, y, z)$ 在 $D$ 上的三重积分用 $intintint_{D}f(x, y, z)dxdydz$ 表示 。
计算流体动力学
在流体力学中，三重积分常用于计算流体在三维空间 中的流动情况，例如流体速度、压力等。
计算热传导
在热力学中，三重积分可以用来计算三维物体中的温 度分布以及热传导情况。
计算结构力学
在结构力学中，三重积分可以用来计算三维结构在不 同载荷下的应力和应变分布。
05
三重积分的扩展知识
重积分与线积分、面积分的关系
质量分布
当 $f(x, y, z)$ 表示物体的密度时，三重积分表 示该物体在区域 $D$ 上的总质量。
3
重心位置
三重积分可以用来计算物体在区域 $D$ 上的重 心位置。
02
三重积分的概念
三重积分的定义
三重积分.ppt
小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)d z
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
b
a d zDz f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
bd x y2 (x) d y z2 (x, y) f (x, y, z)d z
（也表示体积）
n
作和式 f (i ,i , i )Vi i 1
记作
f (x, y, z)dV
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
三重积分的性质与二重积分相似.
二.三重积分的性质
1. k f (x, y, z)dV k f (x, y,) dV ( k 为常数)
同样也有轮换对称性，如
x2
dV
y 2 dV
z 2 dV
1 3
(x2
y2
z2 )dV
第四节 三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法1. 投影法 (“先一后二” )
设区域 :
(
x,
y)
D
:
y1
(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
投影法
b
dx
y2 (x) dy
同济大学 高数 三重积分ppt课件
对应雅可比行列式为 J (x, y, z) (u, v, w)
直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
J (x, y, z)
(,, z)
x y
x y
xz cos sin 0
yz sin cos 0
z z zz
0
01
dv J dddz dddz
x2 y2 2
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
22
目录 上页 下页 返回 结束
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r,
zOM ,则(r,, ) 就称为点M 的球坐标.
16
目录 上页 下页 返回 结束
f (x, y, z)dxdydz
d d dz
d
d 2 ( )
z2 (, ) F(, , z)dz
1 ( )
z1 ( , )
其中 F(, , z) f ( cos , sin , z )
(,, z) , 1( ) 2( ), z1(, ) z z2(, )
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin
zz
坐标面分别为
00z2π
z z
M (x, y, z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
三重积分 ppt课件
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
Dyz
x1 ( y,z )
PPT课件
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy
z z1( x, y) (x, y)
z z1( x, y)
(x, y)
10
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
PPT课件
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
PPT课件
e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv
3 4 三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
9
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
PPT课件
18
PPT课件
例4 解
19
例5
解
z
PPT课件
o
y
x
20
PPT课件
f (x, y, z)dv
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
Dyz
x1 ( y,z )
PPT课件
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy
z z1( x, y) (x, y)
z z1( x, y)
(x, y)
10
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
PPT课件
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
PPT课件
e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv
3 4 三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
9
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
PPT课件
18
PPT课件
例4 解
19
例5
解
z
PPT课件
o
y
x
20
PPT课件
高等数学课件D103三重积分
积分区域：确定积分区域为直角坐标系下的一个区域 积分变量：确定积分变量为x, y, z 积分顺序：确定积分顺序为x, y, z 积分公式：使用直角坐标系下的三重积分公式进行计算 积分结果：计算得到积分结果，并解释其物理意义
柱坐标系下的三重积分定义 柱坐标系下的三重积分计算公式 柱坐标系下的三重积分计算步骤 柱坐标系下的三重积分计算实例
曲面面积：计算曲面的面积
旋转体体积：计算旋转体的 体积 柱体体积：计算柱体的体积
旋转体表面积：计算旋转体 的表面积
空间曲线长度：计算空间曲 线的长度
空间曲面面积：计算空间曲 面的面积
复杂曲面积分：需要理解曲面的性质和积分公式 旋转体体积：需要理解旋转体的性质和体积公式 球面积分：需要理解球面的性质和积分公式 柱面积分：需要理解柱面的性质和积分公式 复杂区域积分：需要理解复杂区域的性质和积分公式 复杂函数积分：需要理解复杂函数的性质和积分公式
计算体积：计算三维空间中的体积 计算表面积：计算三维空间中的表面积 计算质量：计算三维空间中的质量 计算力矩：计算三维空间中的力矩
电流密度：描述电流在三维空间中的分布 磁场强度：描述磁场在三维空间中的分布 积分公式：三重积分公式用于计算磁场强度 应用实例：计算空间分布电流的磁场强度，如电磁铁、电磁波等
电场和磁场的能量密度：电场和磁场的能量密度可以通过三重积分来计算 电场和磁场的能量密度公式：E=1/2*ε0*E^2，B=μ0*H^2 计算方法：通过三重积分计算电场和磁场的能量密度 应用实例：在电磁学、电磁场理论、电磁波传播等领域有广泛应用
三重积分的值是积 分函数在积分区域 上的积分和
积分区域：三维空间中的有限区域 积分函数：连续函数或可积函数 积分值：实数或无穷大
积分顺序：先对x积分，再对y积分，最 后对z积分
三重积分-高等数学PPT
dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以
1
x
1
zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
1 z 1 (1 z)2 dz 1
02
24
y
1
1z x y 1
Dz
1x
O 1z
注：此题可用投影法求解． 15
例4.计算三重积分 zdxdydz 其中 是上半椭球体
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
解： : 0 z c,
所以
xy
I dxdy 0 f (x, y, z)dz Dxy
1
1 x
xy
0 dx0 dy0 f (x, y, z)dz
x y1 x
O
12
方法2. 截面法 (“先二后一”)
13
c2 f ( x, y, z)dv dz f ( x, y, z)dxdy
D
c1
Dz
z
特别适用于积分区域中一坐标 的范围易获得，截面范围易表 示的情况。
D
z1( x, y)
8
同理 D : c y d , x1( y) x x2( y), 得
Z2(x,y)
f ( x, y, z)dv
f ( x, y, z)dzd
D Z1( x, y)
d
x2 ( y)
z2 ( x, y)
dy
dx
f ( x, y, z)dz.
c
x1 ( y)
解: :
c zc
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
a
by
x
用“先二后一 ”
z
2
d
x
d
y
d
z
c
z c
2
d
z
Dz
d
x
d
y
c c
z 2
a b( 1
z2 c2
)dz
4 15
abc3
17
补充：三重积分对称性：
1、变量位置对称性：
设由( x, y, z) 0表示，若( y, x, z) 0仍
表示，则 f ( x, y, z)dv f ( y, x, z)dv.
作业
115页 3, 4, 6, 12, 13
1
第三节
第九章
三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
2
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
24
3. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
25
to be continue
26
作业
115页 3, 4, 6, 12, 13
27
换元法
一一对应
雅可比行列式 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
z
2a
在球坐标系下方程为 r 2a cos
锥面方程为 所以
r 2a cos
a
V
dxdydz
2
d
d
2a cos
r 2 sindr
0
0
0
x
y
2 sin (r 3 ) 2acos d 4 a3(1 cos4 ).
30
0
3
41
内容小结
坐标系
体积元素
适用情况
直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 * 说明:
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
y
原式 =
2
d
0
2h r 0 1 r2 dr
h
r2 d z
xo
4
2
2 0
h
1
r r
2
(h
r2 4
)
d
r
dv r dr d dz
36
4. 计算
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
drd z2(r, ) f (r cos , r sin , z)r dz z1 ( r , ) D
d
r2 ( ) dr
z2(r, ) f (r cos , r sin , z)r dz
r1 ( )
z1 (r, )
从小到大
边界到边界
在投影区域上做极坐标变换
35
例. 计算三重积分
其中由抛物面
半平面 锥面
M (r,,)
z
（
c
常
数
）
（
c
常
数
）
c
o
x c
y
39
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分，
从小到大，从边界到边界。
40
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
4. 微元法 5. 对称奇偶性* 6.中值定理. V 为 的体积, 则存在
在有界闭域 上连续, 使得
5
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
三次积分法
6
方法1. 投影法 (“先一后二” )
记作
7
三次积分法
设区域 :
z1(x, y) z z2 (x, y)
(
x,
y)
D
:
y1(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x, y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1( x, y)
投影法
适用范围: 由平面围成的情况
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
x c
32
r 常数
常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
z z
M (x, y, z)
o
y
x
r(x, y,0)
33
在柱面坐标下
cos r sin 0
sin r cos 0 r,
0
01
34
若 : z1(r, ) z z2(r, ) , (r, ) Dr 其 中 Dr： , r1( ) r r2 ( ) . 则有
解:
利用对称性
1 2
(
x2
y2
)d
xd
yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
14dz来自2 d2z r3 d r 21
21 0
0
其中
z 4
1
Dz
oy x
37
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) R3, 令 OM r,
ZOM , 则(r, , ) 就称为点M 的球坐标. z
及平面z 1围成.
解：
:
x2 y2 z 1
x2 y2 1
x2 y2 z2 x2 y2 1
I dxdy
Dxy
1 x2 y2
x2
1 y2
dz 1
Dxy
1 x2
x2 y2 y2 1
dxdy
极 坐 标
2
d
0
1 r r2 0 1 r 2 dr
2
1 1 r 0 (1 r2
z1 ( x, y)
同理可得用平行于x（或y）轴的直线穿如 不多于两点上三重积分可先对x(或y)积分， 再对yoz(或xoz)面上区域作二重积分展开即可。
9
例.计算三重积分
其中 为三个坐标
面及平面
所围成的闭区域 .
解:
10
例2..计算 I
x2
1 y2
dxdydz 1
,其中 由锥面
x2 y2 z2 ,
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
.
c
则 zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
z c
Dz
z
xa
by
而
dxdy SDz
Dz
a2 (1
z2 c2
)
b2 (1
z2 c2
)
ab(1
z2 c2
),
原式
c
ab(1
0
z2 c2
)zdz
1 abc2 .
4
16
例. 计算三重积分
c z Dz z
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
22
I (2x2 z2 )dxdydz,
在柱面坐标下：
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
1
1)
dxdydz
0.
20
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.