一元二次方程求解(公式法求解)
一元二次解方程的公式法
一元二次解方程的公式法一、引入对于一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，我们尝试采用配方法求解：二、公式法及其两个用途通过上面解一元二次方程的一般式ax²+bx+c=0(a≠0)，当b²-4ac≥0时，方程有解，那么解出来的根一定是：这个叫做求根公式我们发现，任何一个一元二次方程的根只和系数a，b，c有关，也就是说只要确定了系数，就可以得到方程的根，这就是公式法的第一个用途——根据系数直接确定方程的根另外我们发现：当b²-4ac>0时，方程有两个不等实根当b²-4ac=0时，方程有两个相等实根当b²-4ac<0时，方程无实根我们经常把△=b²-4ac叫做根的判别式(△是希腊字母，读作“德尔塔Delte”)，利用它我们可以判别一元二次方程根的个数，这也是公式法的第二个用途。
三、利用公式法求解的一般步骤【公式法法求解的一般步骤】：①将方程化为一般形式②确定a，b，c的值③判断△=b²-4ac的符号④当b²-4ac≥0时(有实根)，我们将a，b，c代入得到方程的两个根当b²-4ac<0时(无实根)，我们直接判定方程无实根【理解】1、在利用(代入)求根公式之前，要有两个准备工作：一是必须先把方程化为一般式，因为只有这样才能确定a，b，c二是判定△=b²-4ac的符号，当△≥0时才能代入求根公式，而当△<0时，直接得到方程无实根即可2、由于在判断△符号的过程中，已经把△的值求出，所以在后续的求解中，直接代入即可。
另外当△=0时，求根公式中的根号部分为0，此时直接代入x=-b/2a即可3、我们发现，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，当a、c异号时即ac<0时，△=b²-4ac中b²≥0，-4ac>0，所以此时一定有△>0，即方程有两个不等实根，如例题中的方程5x²-4x-1=0，由于a、c异号所以方程必然有两个不等实根，这在做小题时，是个不错的技巧。
一元二次方程的解法-公式法
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
（1） （2）
＞0 =0 ＜0 ≥0
两个不相等实根 两个相等实根 无实数根 两个实数根
（3）
（ 4）
应用1.
不解方程判断方程根的情况：
(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16 =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
一般形式 缺一次项
缺常数项 缺一次项及常数项
ax2 bx c 0(a 0)
ax2 c 0(a 0, b 0, c 0)
ax2 bx 0(a 0, b 0, c 0) ax2 0(a 0, b c 0)
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时,方程无实数解;
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数根.
2
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x2 4、写出方程的解： x1、
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2
x 8 0 2 （3） x x 1 0 2 （5） 2 x x 3 0
（1）
2
9 0 2 （4） x x 1 0 2 （6） 2 x x 3 0
（2） x
2
有两个实数根的方程的序号是（ （1） （4） （6） ）
没有实数根的方程的序号是（ （2）（3） （5）） a、c异号，一元二次方程 有两个不相等的实数根
一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)
一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。
解一元二次方程公式法
解一元二次方程公式法一元二次方程是我们学习数学中必不可少的内容。
一般来说，一元二次方程由一个平方项和一个常数项组成，可以用如下公式表示：ax2+bx+c=0，其中a、b、c均为实数，且a不等于0。
解一元二次方程，就是要求出所有根，也就是使方程成立的x的值。
一般来说，解一元二次方程最常用的方法是公式法。
公式法的求解过程就是把一元二次方程化成其对应的标准式，然后利用求根公式进行计算，计算出方程的解。
首先，我们来了解一元二次方程的求根公式。
一元二次方程的求根公式为：x1，x2=b±√b24ac2a；其中，x1，x2分别代表一元二次方程的两个根，a、b、c为方程系数。
此公式即为一元二次方程求根的基本原理。
接下来，我们来看看如何利用求根公式法解一元二次方程。
首先，我们要把一元二次方程化成其对应的标准式，即ax2+bx+c=0，并初步确定出系数a、b、c，然后把这三个系数代入求根公式完成计算，最后得出方程的解。
比如，我们要求解x24x+6=0这个方程：首先，我们把方程化成ax2+bx+c=0的形式，得到：x24x+6=0；可以看出，此时a=1，b=-4，c=6；然后，把a、b、c带入求根公式，即x1，x2=b±√b24ac2a，得出：x1 = 3，x2 = 2；所以，此时解得一元二次方程x24x+6=0的根分别为3和2。
从上面的例子可以看出，解一元二次方程的公式法是非常简单而又有效的方法。
这个方法不仅可以用来解一元二次方程，同样也可以用来解复杂的一元三次方程。
以上就是有关一元二次方程求根公式法的介绍。
通过本文，我们不仅可以熟练地掌握一元二次方程的求根公式，还可以熟练地运用这个求根公式，正确、快速地解决一元二次方程。
用公式法解一元二次方程的一般步骤
用公式法解一元二次方程的一般步骤
根据因式分解与整式乘法的关系，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式法步骤
把方程化成一般形式ax²+bx+c=0，求出判别式△=b²-4ac的值；
当Δ＞0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
一元二次方程求根公式的推导过程
(1)ax2+bx+c=0(a≠0,)，等式两边都除以a，得x2+bx/a+c/a=0。
(2)移项得x2+bx/a=－c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的
一半的平方，即方程两边都加上b2/4a2。
(3)配方得x2+bx/a+b2/4a2=b2/4a2－c/a，即（x+b/2a）2=(b2-
4ac)/4a。
(4)开根后得x+b/2a=±[√(b2-4ac)]/2a(√表示根号)，最终可得
x=[-b±√(b2-4ac)]/2a。
一元二次方程配方法步骤
(1)把原方程化为一般形式；
(2)方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
(5)进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
解1元2次方程公式法
解1元2次方程公式法解一元二次方程公式法是初中数学中比较重要的一个知识点，也是进一步学习高中数学、大学数学的基础。
本篇文章就为大家详细介绍一下解一元二次方程公式法的内容和方法，希望读者在阅读后能够更加深入地了解这一知识点，掌握解题方法。
一、什么是一元二次方程先来了解一下什么是一元二次方程。
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。
其中a≠0，这个不等于号起到限制条件的作用，保证x²项系数不为0，从而把一元二次方程与其他形式的方程进行区分。
二、公式法的推导过程公式法是解一元二次方程的一种常用方法。
我们先来看一下它的推导过程。
1.将一元二次方程ax²+bx+c=0移项，得到ax²+bx=-c。
2.两边同时乘以4a，得到4a²x²+4abx=-4ac。
3.左边加上b²，得到4a²x²+4abx+b²=b²-4ac。
4.因为4a²x²+4abx+b²=(2ax+b)²，所以(2ax+b)²=b²-4ac。
5.开方得到2ax+b=±√(b²-4ac)，再移项，得到2ax=-b±√(b²-4ac)。
6.最后，除以2a，得到x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
这就是公式法的推导过程。
将解出的x带入原方程验证，若方程成立，则已经得到正确答案。
三、公式法的应用接下来让我们来看一些具体的例题，来了解一下公式法的应用。
例1：求解2x²-5x+2=0的解根据公式法的推导过程，我们可以知道a=2，b=-5，c=2。
那么代入公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)即可，得到x1=2，x2=1/2。
因此2x²-5x+2=0的解为x1=2，x2=1/2。
一元二次方程的解法公式法
例1. 解方程:
（1）x +3x+2=0 （2）-7x+2x2=4
2
例2. 解方程:
（1）x 2 2 2x
2
（2）（x -1）（6-x）=6
说一说
利用公式法解一元二次方程 的步骤？
用公式法解一元二次方程的步骤:
(1)把一元二次方程化为一般形式; (2)确定a、b、c的值; 2 (3)求出b -4ac的值; 2 (4)若b -4ac≥0,则把a、b、c及 2 b -4ac代入求根公式,求出x1， 2 x2;若b -4ac＜0,则方程无解.
2
b b 4ac x 2a
2
（b -4ac≥0）
2
利用公式法解一元二次方程时需注意：
(1)利用公式法解方程前，应将方程化为
一般形式，以正确确定a、b、c的值．
(2) 当b -4ac≥0时，方程有实数解; 当b -4ac＜0时，方程无解.
2 2 2
(3)在b -4ac≥0的前提下，将a、b、c的 值代入求根公式求解.
用配方法解一元二次方程:
(1) -2x2-7x+3=0 (2) (x-1)(x+6)=3
配方法解一元二次方程的步骤：
(1) 把方程化为一般形式; (2) 把方程二次项系数化为1;
(3) 移项:把方程的常数项移到方程的右边;
(4) 配方:方程两边都加上一次项系数一半
的平方. (5) 把方程化成(x+m)2=n(n≥0)的形式,然
随堂练习 1.方程3x2-8=7x化为一般形式
2-7x-8=0ห้องสมุดไป่ตู้3x 是 ，
3 b=_____, -7 c=_____, -8 a=____,
一元二次方程求根公式法公式
一元二次方程求根公式法公式一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数且a≠0。
求解一元二次方程的根是数学中的基本问题之一，而使用求根公式法可以得到方程的解。
求根公式法的基本思想是通过一系列推导和变换，将一元二次方程转化为可以直接求解的形式。
通过求根公式，我们可以直接计算出方程的根，而不需要通过图像、图表或试错法等其他方法。
求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
其中，±表示两个解，分别对应方程的两个根。
这个公式是通过配方法和完成平方的变换得到的，其推导过程可以参考高中数学教材。
在应用求根公式求解一元二次方程时，首先需要将方程的系数代入公式中。
其中，a、b、c分别代表方程的三个系数。
根据求根公式，我们可以得到方程的两个根。
需要注意的是，求根公式只适用于一元二次方程，并且方程的系数必须为实数。
如果方程的系数是复数，就无法直接使用求根公式求解。
此外，求根公式也无法解决无解或无穷多解的情况。
在实际应用中，求根公式法常常用于解决与一元二次方程相关的问题。
例如，在物理学、工程学和经济学等领域，我们经常遇到需要求解方程的情况。
通过求根公式，我们可以迅速得到方程的解，从而解决实际问题。
除了求根公式法，还有其他方法可以解决一元二次方程的问题。
例如，图像法可以通过绘制方程的图像来确定方程的根。
试错法则是通过尝试不同的值来逼近方程的解。
这些方法各有优劣，根据具体情况选择合适的方法进行求解。
求根公式法是一种常用的解决一元二次方程的方法。
通过将方程的系数代入公式中，我们可以得到方程的根。
求根公式法的优点在于简单、直观，同时适用于各种类型的一元二次方程。
然而，在实际应用中，我们还需结合具体情况选择合适的解方方法，以便更好地解决问题。
一元二次方程解法公式法
一元二次方程解法公式法一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的方法是解法公式法。
一元二次方程解法公式法是通过使用一元二次方程的解法公式来求解方程的根。
解法公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据这个公式，我们可以分别计算出方程的两个根。
我们需要确定一元二次方程的系数a、b、c的值。
然后，代入解法公式中进行计算。
在计算过程中，需要注意判别式的值。
判别式为b^2 - 4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
根据判别式的值，我们可以得出方程的根的情况。
如果判别式大于0，则可以直接使用解法公式计算出两个实根。
如果判别式等于0，则可以得到一个实根，另一个实根与之相等。
如果判别式小于0，则可以得到两个虚根，它们是共轭复数。
解法公式法是一种简便而且通用的方法，适用于解任何一元二次方程。
通过解法公式法，我们可以快速求解一元二次方程的根，并得出方程的解的情况。
下面我们通过一个例子来演示一元二次方程解法公式法的具体步骤。
例题：解方程x^2 + 4x + 4 = 0。
根据解法公式法，我们可以得到a=1，b=4，c=4。
计算判别式的值：判别式 = 4^2 - 4*1*4 = 0。
由于判别式等于0，说明方程有两个相等的实根。
然后，代入解法公式计算根的值：x = (-4 ± √(4^2 - 4*1*4)) / 2*1。
化简得：x = (-4 ± √(0)) / 2。
由于根号内的值为0，因此方程的根为x = -2。
经过计算，我们得到方程x^2 + 4x + 4 = 0的解为x = -2。
通过这个例子，我们可以清楚地看到一元二次方程解法公式法的应用过程。
根据方程的系数，确定a、b、c的值，计算判别式，然后代入解法公式进行计算，最后得出方程的根的值。
公式法 解一元二次方程
6．布置作业
习题 2.5第 1，2题．
用公式法解下列方程： （1）2 x 2 - 9 x + 8 = 0；
（2）9 x 2 + 6 x +1= 0．
学习是件很愉快的事
(3) 解方程：x2-2x+3=0
解：这里 a=1, b= -2, c= 3. ∵b2 - 4ac=(-2)2 - 4×1×3=-8<0,
因为负数不能开平方，所以原 方程无实数根。
4.根的判别式 以上三个例题的根有什么规律?
一元二次方程的根有三种情况（根的判别式）
1 、 当b 4ac 0时,
2
方程有两个不相等的实数根；
2、 当b 4ac 0时,
2
方程有两个相等的实数根；
3 、 当b 4ac 0时,
2
方程没有实数根；
这里的 b 2 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式通 2 b 4ac 常用希腊字母“△”表示它，即△=
我最棒
,会判断方程的根的情况
不解方程，判断下列方程的根的情况
（1）2 x2 + 5 = 7 x
（2）4 x（x - 1）+ 3 = 0
5．归纳小结 问题5：请大家思考并回答以下问题：
（1）本节课学了哪些内容？ （2）我们是用什么方法推导求根公式的？ （3）你认为判别式有哪些作用？ （4）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.
一元二次方程用公式法求解一元二次方程
一元二次方程用公式法求解一元二次方程pptxx年xx月xx日contents •引言•一元二次方程公式法的推导•一元二次方程的求解步骤•用公式法求解一元二次方程的实例•总结目录01引言介绍一元二次方程的历史背景和发展强调数学在实际生活中的应用课程背景掌握公式法求解一元二次方程的基本原理和方法培养数学逻辑思维和解决问题的能力目的和意义公式法求解一元二次方程的基本步骤和公式实际应用案例分析和解题技巧总结和反思学习收获内容结构02一元二次方程公式法的推导推导过程确定$a$、$b$、$c$的值计算判别式$\Delta$判断方程的根的情况总结出公式法的计算步骤给出一般形式的一元二次方程的求根公式推导结论公式应用•利用公式解决具体的一元二次方程•分析求解过程中的注意事项和易错点•<公式>•在一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a•eq0)$中，•$$•x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}•$$•其中$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta\geq0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta<0$时，方程有两个相等的实数根.03一元二次方程的求解步骤确定a、b、c的值将方程化为一般形式计算判别式值方程的步骤求解的步骤确定方程的根使用公式求解得出方程的解用步骤求解其他一元二次方程对其他方程的运用运用公式法求解方程的根步骤的运用04用公式法求解一元二次方程的实例方程$x^2 - 6x + 9 = 0$解$x = 3$实例1方程$x^2 - 4x + 4 = 0$解$x = 2$实例2方程$x^2 - 2x = 0$解$x = 0 或 x = 2$实例305总结主要内容总结掌握一元二次方程的公式法求解了解一元二次方程的概念和定义熟悉一元二次方程的解法的步骤和技巧学会使用公式法解决实际问题学习方法和技巧积极思考和联系实际主动预习和复习巩固善于总结和反思，提高学习效率多角度分析问题，拓展思路数学思想概括建立方程求解的思想和方法方程思想通过公式解决数学问题的思想和方法公式思想将复杂问题转化为简单问题的思想和方法转化思想根据不同情况分别讨论的思想和方法分情况讨论思想THANKS感谢观看。
一元二次方程公式法求解例题
一元二次方程公式法求解例题一元二次方程是咱们中学数学里的重要知识点，这其中公式法求解那可是相当关键。
那咱就直接上例题，好好瞅瞅这公式法的神奇之处！先来说说一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），而公式法求解的公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) 。
咱们来看个具体的例子：比如方程 2x² + 5x - 3 = 0 ，这里 a = 2，b = 5，c = -3 。
先算一下判别式Δ = b² - 4ac ，也就是 5² - 4×2×(-3) = 25 +24 = 49 。
因为Δ > 0 ，所以方程有两个不同的实数根。
接下来代入公式：x = [-5 ± √49] / (2×2) ，也就是 x = [-5 ± 7] / 4 。
所以 x₁ = (-5 + 7) / 4 = 1/2 ，x₂ = (-5 - 7) / 4 = -3 。
我记得我当年上中学的时候，有一次数学考试，就考到了一元二次方程的公式法求解。
当时有道题是 3x² - 6x + 2 = 0 ，我按照步骤，先算a = 3，b = -6，c = 2 ，判别式Δ = (-6)² - 4×3×2 = 36 - 24 = 12 。
然后代入公式，算出x = [6 ± √12] / 6 ，化简一下，x = [6 ± 2√3] / 6 ，最后得出 x₁ = (3 + √3) / 3 ，x₂ = (3 - √3) / 3 。
那次考试因为这道题，我的分数还不错呢！再来看个稍微复杂点的例子，比如 5x² + 8x + 1 = 0 ，这里 a = 5，b= 8，c = 1 ，判别式Δ = 8² - 4×5×1 = 64 - 20 = 44 。
用公式法求解一元二次方程
若方程为2x^2 + 3x - 4 = 0，则a=2，b=3，c=-4。
计算判别式Δ
计算判别式Δ
判别式Δ是二次方程求解中的重要概念， 其公式为Δ = b^2 - 4ac。其中，a、b、 c为二次方程的系数。
VS
例子
对于上面的方程，代入a=2，b=3，c=-4 ，得到Δ = 3^2 - 4*2*(-4) = 9 + 32 = 41。
形式
ax²+bx+c=0，其中a≠0。
一元二次方程的表达式
表达式：ax²+bx+c=0（a≠0） 定义域：全体实数
一元二次方程的解的概念
解的概念
满足一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方 程的解。
解的符号
用“x1，x2”表示，其中x1，x2是一元二次方程 的两个解。
解的公式
x1，2=（-b±√（b²-4ac））/2a。
01
公式法的注意事项
注意事项1：确定方程的系数是否符合要求
总结词
在应用公式法之前，首先需要检查一元二次 方程的系数是否符合要求，否则可能导致求 解错误。
详细描述
要求一元二次方程的系数为实数，且不能为 零。如果二次项系数为零，则方程无实数解 ；如果一次项系数为零，则方程变为一元一 次方程，易于求解。
01
其他求解一元二次方程的 方法
因式分解法
提公因式法
将方程的常数项和二次项系数提出，然后对 一次项系数进行因式分解，得到两个一次因 式的乘积等于零的形式，再利用两数相乘积 为零，两因式中至少有一个为零得到两个一 元一次方程，进而求解。
公式法
根据因式分解法的原理，将方程的系数代入 公式求解。
配方法
一元二次方程求根公式法步骤
一元二次方程求根公式法步骤
一元二次方程的求根公式法是一种常用的求解一元二次方程的方法。
步骤如下：
确定方程的系数：一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
计算判别式Δ：判别式Δ = b^2 - 4ac。
判断方程的根的情况：
当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根，分别为 x1 = (-b + sqrt(Δ)) / (2a)，x2 = (-b - sqrt(Δ)) / (2a)。
当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，即重根，此时 x1 = x2 = -b / (2a)。
当Δ < 0 时，方程没有实根，此时方程的根为复数。
计算根的值：根据判别式Δ的值，代入相应的公式计算出方程的根。
注意：在使用求根公式法时，需要注意判别式Δ的符号，以确定方程的根的情况。
同时，还要注意 a 的符号，以确保分母不为零。
用公式法求解一元二次方程
CHAPTER 03
使用公式法求解一元二次方 程
求解方程的步骤
1. 写出方程的标准形式
首先，我们要确保方程是一元二次方程的标准形式，即 $ax^2+bx+c=0$。
2. 计算判别式
判别式$\Delta=b^2-4ac$，它可以帮助我们确定方程的 根的类型。
3. 代入求根公式
如果判别式$\Delta\geq0$，则方程有实数根，可以代入 求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解；如果 $\Delta<0$，则方程有复数根。
实例解析二：利用公式法解决实际问题
01
02
03
04
05
问题描述：一个自由落 体运动，物体从高度 $h$ 处自由落下，求物 体落地所需时间 $t$。
• 分析：自由落体运动 的位移公式为 $s = \frac{1} 通过公式变换，可得 一元二次方程 $\frac{1}{2}gt^2 - h = 0$。
二次方程的理解和掌握。
学习其他求解一元二次方程的方 法，如因式分解法、配方法等，
提高解题的灵活性和多样性。
在学习的过程中，注重理论与实 践相结合，多做练习和实际应用 ，提高数学素养和解决问题的能
力。
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通用性
公式法可以用于求解所有形式的 一元二次方程，不像配方法或因 式分解法那样依赖于方程的特定
形式。
精确性
只要计算准确，公式法可以给出精 确解，而不会产生近似误差。
系统性
公式法是一种系统性的解题方法， 无需过多的思考和试探，只需按照 公式步骤进行计算即可。
公式法的缺点
计算复杂性
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一元二次方程求解（公式法求解）一．选择题（共2小题）1．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜32．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3二．填空题（共19小题）3．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是．4．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为．5．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ．6．若x2+3xy﹣2y2=0，那么= ．7．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是，条件是．8．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= ，x1= ，x2= ．9．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为．10．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．11．（1）解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．13．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为．14．方程x2﹣3x+1=0的解是．15．已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac= ．16．方程x2﹣4x﹣7=0的根是．17．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．18．有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=﹣6，则输出的x的值为．19．已知a＜b＜0，且，则= ．20．方程x2﹣5x+3=0的解是．21．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．三．解答题（共19小题）22．解方程：x2﹣3x+1=0．23．解方程：x2﹣5x+2=0．24．解方程：x2﹣3x﹣7=0．25．2x2+3x﹣1=0．26．解下列方程（1）用配方法解方程：2x2+5x+3=0；（2）用公式法解方程：（x﹣2）（x﹣4）=12．27．解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）28．解方程：2x2﹣5x+1=0．29．解方程：（1）x2﹣6x﹣6=0（2）2x2﹣7x+6=0．30．解方程：2x2+3x﹣1=0．32．（1）解方程：x2=3（x+1）．（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．33．用公式法解下列方程2x2+6=7x．34．解方程：x2+3x﹣2=0．35．解方程：2x2﹣3x﹣1=0．36．解方程：3x2﹣6x﹣2=0．37．用公式法解方程：x2+x﹣1=0．38．解方程（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）39．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．一元二次方程求解（公式法求解）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014•荆州）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜3【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．2．（2014•淄博）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣6∴x====﹣±2，∴x1=，x2=﹣3；故选：C．【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．二．填空题（共19小题）3．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是或．【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x ＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．【解答】解：当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；∴x=；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；∴x=，∴x=；故答案为或．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．4．（2014•下城区一模）已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为6．【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．【解答】解：方程x2﹣12x+31=0，变形得：x2﹣12x=﹣31，配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，开方得：x﹣6=±，解得：x=6+或x=6﹣，当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．故答案为：6+【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．5．（2015秋•彭阳县月考）已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ．【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9=0，整理得：7x2+44x+1=0，这里a=7，b=44，c=1，∵△=442﹣28=1908，∴x==．故答案为：．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．6．（2012•呼和浩特模拟）若x2+3xy﹣2y2=0，那么= ．【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．【解答】解：由原方程，得两边同时乘以得：（）2+3﹣2=0设=t，则上式方程即为：t2+3t﹣2=0，解得，t=，所以=；故答案是：．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程．7．（2016秋•新沂市校级月考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是，条件是b2﹣4ac≥0 ．【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0．【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c=0，移项，得ax2+bx=﹣c化系数为1，得x2+x=﹣配方，得x2+x+=﹣+即：（x+）2=当b2﹣4ac≥0时，开方，得x+=解得：x=．故答案为：，b2﹣4ac≥0．【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．8．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= 41 ，x1= ，x2= ．【分析】根据已知得出a=2，b=﹣7，c=1，代入b2﹣4ac求出即可，再代入公式x=求出即可．【解答】解：2x2﹣7x+1=0，a=2，b=﹣7，c=1，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，∴x==，∴x1=，x2=，故答案为：41，，．【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用，关键是检查学生能否能运用公式求方程的解，本题主要培养了学生的计算能力．9．（2011•齐齐哈尔）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为a 1=2+，a2=2﹣．【分析】用公式法直接求解即可．【解答】解：a===2±，∴a1=2+，a2=2﹣，故答案为：a1=2+，a2=2﹣．【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．10．（2016•丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义．【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．【解答】解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．11．（2000•朝阳区）（1）解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．【分析】（1）直接代入公式计算即可．（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．然后再利用求根公式代入计算即可．【解答】解：（1）①解方程x2﹣2x﹣2=0①，∵a=1，b=﹣2，c=﹣2，∴x===1，∴x 1=1+，x2=1．②解方程2x2+3x﹣l=0，∵a=2，b=3，c=﹣1，∴x==，∴x1=，x2=．（2分）③解方程2x2﹣4x+1=0，∵a=2，b=﹣4，c=1，∴x===，x1=，x2=．（3分）④解方程x2+6x+3=0，∵a=1，b=6，c=3，∴x===﹣3，∴x1=，x2=．（4分）（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．（8分）一元二次方程ax2+bx+c=0，其中b2﹣4ac≥0，b=2n，n为整数．∵b2﹣4ac≥0，即（2n）2﹣4ac≥0，∴n2﹣ac≥0，∴x====（11分）∴一元二次方程ax2+2nx+c=0（n2﹣ac≥0）的求根公式为．（12分）【点评】本题主要考查了解一元二次方程的公式法．关键是正确理解求根公式，正确对二次根式进行化简．12．（2016秋•安陆市期中）已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为0 ．【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可．【解答】解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程，实数的运算法则，求代数式的值的应用，能根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．13．（2015秋•天津校级月考）方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为x=．【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．【解答】解：△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，x==，所以x1=＞0，x2=＜0．即方程的负数根为x=．故答案为x=．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．14．（2010•无锡）方程x2﹣3x+1=0的解是x1=，x2=．【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．【解答】解：a=1，b=﹣3，c=1，b2﹣4ac=9﹣4=5＞0，x=；∴x1=，x2=．故答案为：x1=，x2=．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．15．（2011秋•浠水县校级月考）已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac= 17 ．【分析】先将已知方程转化为一般式方程，然后将a、b、c的数值代入所求的代数式，并求值即可．【解答】解：由原方程，得2x2﹣3x﹣1=0，∴二次项系数a=2，一次项系数b=﹣3，常数项c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=9+8=17；故答案是：17．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．在求b2﹣4ac的值时，需要熟悉该代数式中的a、b、c所表示的意义．16．（2013秋•邹平县校级期末）方程x2﹣4x﹣7=0的根是x1=2+，x2=2﹣．【分析】先求出b2﹣4ac的值，最后代入公式求出即可．【解答】解：x2﹣4x﹣7=0，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）=44，x=，x1=2+，x2=2﹣，故答案为：；【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否正确运用公式解一元二次方程．17．（2012秋•开县校级月考）一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．【分析】利用公式法解此一元二次方程的知识，即可求得答案．【解答】解：∵a=3，b=﹣4，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40，∴x===．故答案为：．【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的知识．此题难度不大，注意熟记公式是关键．18．（2012秋•周宁县期中）有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=﹣6，则输出的x的值为无解．【分析】将a=﹣6代入方程x2﹣3x﹣a=0中，利用公式法求出方程的解即可．【解答】解：输入的数a=﹣6＜0，代入得：x2﹣3x+6=0，这里a=1，b=﹣3，c=6，∵△=9﹣24=﹣15＜0，则此方程无解．故答案为：无解【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出解．19．（2012•张家港市模拟）已知a＜b＜0，且，则= ．【分析】根据题意得到a2﹣6ab+b2=0，把它看作为a的一元二次方程，利用求根公式得到a==（3±2）b，由于a＜b＜0，则a=（3﹣2）b，然后把a=（3﹣2）b代入所求的代数式中进行化简即可．【解答】解：法①∵+=6，∴a2﹣6ab+b2=0，∴a==（3±2）b，∵a＜b＜0，∴a=（3﹣2）b，∴====．法②：原式通分得：a2+b2=6ab；则（a+b）2=8ab，（a﹣b）2=4ab又a＜b＜0；故a+b=﹣，a﹣b=所以故答案为．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为：x=（b2﹣4ac≥0）．也考查了二次根式的混合运算．20．（2002•达州）方程x2﹣5x+3=0的解是．【分析】观察方程，此题用公式法解答比较简单，首先确定a，b，c的值，判断方程是否有解，若有解直接代入公式求解即可．【解答】解：根据求根公式可知：x==．【点评】公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0的解为x=，需要熟练掌握．21．（2010秋•仪征市校级月考）若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则=．【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．【解答】解：a2+ab﹣b2=0△=b2+4b2=5b2．a==b∴=．故答案是：【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a的一元二次方程，然后求出的值．三．解答题（共19小题）22．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x2﹣3x+1=0．【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=1∴b2﹣4ac=5∴x=．故，．【点评】此题比较简单，考查了一元二次方程的解法，解题时注意选择适宜的解题方法．23．（2015•武汉模拟）解方程：x2﹣5x+2=0．【分析】找出a，b及c的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a=1，b=﹣5，c=2，∵△=25﹣8=17＞0，∴x=，则x1=，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．24．（2015•黄陂区校级模拟）解方程：x2﹣3x﹣7=0．【分析】利用求根公式x=来解方程．【解答】解：在方程x2﹣3x﹣7=0中，a=1，b=﹣3，c=﹣7．则x===，解得x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式是解题的关键．25．（2008•北海）2x2+3x﹣1=0．【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．【解答】解：∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1=，x2=．【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．26．（2016春•泰山区期中）解下列方程（1）用配方法解方程：2x2+5x+3=0；（2）用公式法解方程：（x﹣2）（x﹣4）=12．【分析】（1）根据配方法的步骤先两边都除以2，移项，配方，开方即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）把a=1，b=﹣6，c=﹣4代入求根公式x=计算即可．【解答】解：（1）方程两边同除以2，得：x2+x+=0，移项，得x2+=，配方，得x2+x+（）2=+（）2，（x+）2=，x+=或x+=，x1=﹣l；x2=；（2）原方程可化为：x2﹣6x﹣4=0，∵a=1，b=﹣6，c=﹣4；∴x===，∴x=3±，x1=3+，x2=3﹣；【点评】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程，关键是能正确配方，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．27．（2015春•沂源县期末）解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，开方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；（2）这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，∵△=8+40=48，∴x==．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．28．（2015秋•渝北区期末）解方程：2x2﹣5x+1=0．【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法比较简单．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=1，∴b2﹣4ac=17，∴x=，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，采用公式法解一元二次方程时，要注意公式的熟练应用．29．（2015秋•大石桥市期末）解方程：（1）x2﹣6x﹣6=0（2）2x2﹣7x+6=0．【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣6=0，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）=60，x=，x 1=3+，x2=3﹣；（2）2x2﹣7x+6=0，（2x﹣3）（x﹣2）=0，2x﹣3=0，x﹣2=0，x1=，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程，难度适中．30．（2015秋•南京期末）解方程：2x2+3x﹣1=0．【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a=2，b=3，c=﹣1，∵△=9+8=17，∴x=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．31．（2011•武汉）解方程：x2+3x+1=0．【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便．【解答】解：a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，此法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c都是常数），若b2﹣4ac≥0，则方程的解为x=．32．（2016春•绍兴期末）（1）解方程：x2=3（x+1）．（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．【分析】（1）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）整理得：x2﹣3x﹣3=0，∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）=21，x=，∴x1=，x2=；（2）x2﹣2x﹣24=0，x2﹣2x=24x2﹣2x+1=24+1，（x﹣1）2=25，x﹣1=±5，x1=6，x2=﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．33．（2015秋•深圳校级期末）用公式法解下列方程2x2+6=7x．【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：方程整理得：2x2﹣7x+6=0，这里a=2，b=﹣7，c=6，∵△=49﹣48=1，∴x=，解得：x1=2，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．34．（2014•集美区一模）解方程：x2+3x﹣2=0．【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，∴x=，∴x1=，x2=．【点评】本题考查解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．35．（2012•宁波模拟）解方程：2x2﹣3x﹣1=0．【分析】利用公式法解方程即可求解．【解答】解：2x2﹣3x﹣1=0，a=2，b=﹣3，c=﹣1，∴△=9+8=17，∴x=，x1=，x2=．【点评】此题这样考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式即可解决问题．36．（2014秋•开县期末）解方程：3x2﹣6x﹣2=0．【分析】先根确定a=3，b=﹣6，c=﹣2，算出b2﹣4ac=36+24=60＞0，确定有解，最后代入求根公式计算就可以了．【解答】解：∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=，∴x1=，x2=【点评】本题考查了运用求根公式法解一元二次方程，解答过程中先要把方程化为一般形式，再确定a、b、c的值，求出△的值判断有无解是关键．37．（2015秋•潮州期末）用公式法解方程：x2+x﹣1=0．【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a=1，b=1，c=﹣1，∵△=1+4=5，∴x=，则x1=，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．38．（2015秋•陇县期末）解方程（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）【分析】（1）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解；（2）方程变形后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）这里a=2，b=﹣3，c=1，∵△=9﹣8=1，∴x=，解得：x1=1，x2=；（2）方程整理得：x2﹣2x=﹣，配方得：x2﹣2x+1=﹣，即（x﹣1）2=﹣，则此方程无解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．39．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．【分析】求出二根x1=，x2=，从中消去k得x1x2+3x1+2=0，分解得x1。