走进数学建模世界教学设计

第二届东芝杯・中国师范大学师范专业

理科大学生教学技能创新实践大赛

参赛教案

课题：走进数学建模世界

教材：人教版数学必修①3.2函数模型及其应用授课对象：高一学生

参赛选手：华南师范大学黄泽君

选手专业：数学与应用数学（师范）

数学的魅力在于，

她能以稳定的模式驾驭流动的世界!

【课题】《走进数学建模世界》

【教材】人教版数学必修① 3.2函数模型及其应用【课时安排】第4课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院黄泽君【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而“ 3 . 2 函数模型及其应用”一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。

【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。

【教学目标】

知识与技能

（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；

（2）掌握框图2——数学建模的过程。

过程与方法

（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；

（2）提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力。

情感态度价值观

（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；

（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；

（3）体会数学以不变应万变的魅力。

【教学重点】框图2——数学建模的过程。

【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。【教学方法】引导探究、讨论交流。

【教学手段】计算机、PPT几何画板。

【教学过程设计】」、教学流程设计

、教学过程设计

(二)

将理想化问题转化为数学问题预计

时间

3

分钟.1.寻找变量以及变量之间的关系

在此问题中，水槽的深度是一个变量，宽度是另

一个变量，横截面积也是一个变量。

设AB=x，BC=y.矩形ABCD的面积为S. 那么，这三个

变量之间的关系是S = xy.

变量S由两个变量x和y确定.如果我们能使面

积S表达式只由一个变量确定，那么我们研究的问题

就可以简化，这就需要寻找两个变量x和y之间的关

系。显然，

2x + y =a .

2.建立数学模型

S =x(a —2x)

将实际问题转化为一个纯数学问题：

当x取何值时，函数S=x(a-2x)( Ocx

2

教师引

导讲解

学生听讲

思考

展示将理

想化问题

转化为数

学问题的

数学化过

程。

可将上述数学建模的过程概括为下面的框图1：

（四）

数学建模过程

预计时间2分钟.教师

引导

讲解

结合这

学生一实际

听讲问题的

思考解决过

程，概括

出数学建

模的基本

过程，以

实现由具

体到抽象

的升华。

我们前面的设计是将横截面设计成矩形, 将深度、宽度分别设计为a和a时，可得到

4 2

最大的横截面积，

如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方案进行设计，结果又如何呢？

（五

）最优解的探究预计时间7 分钟

方案一方案二

a

等腰梯形

方案三方案四

四个畝都为五个底角都为

酣.5。的等腰三角形72“的等腰三角形

方案五

半圆形

教师

将学

生分

成五

个小

组，

并巡

视指

导学

生解

决问

题.

由于

缺少

导数

工具

教师

应引

导学

生运

用

观察

试算

、

估算

来探

究方

案二

的答

案.

学生

动手

探究

各自

的

设计

万案

1.让学

生经历数

学建模中

的优化过

程；

2.培养

学生的探

究意识。

最优解的探究总结预计时间

7

分钟

下面，我们将全班分成5个小组，分别探究五

个方案的设计。最后派代表报告本小组的探究结果.

亠暑 1 , 1

方案一: S=-x(a—x)sin 日兰_x(a—x)

2 2

2 彳彳2

a 1 1 2 a 2

= -------- (x ——a) <—=0.125a .

8 2 2 8

1 2

当8 =90。，且x= —a 时，S max=0.125a.

2

亠步一 1 2 a 八a 卄

方案: S =—( —a *2 ■—sin日)一cos日

2 3 3 3

a2

=——(1 +sin 日)cosT

9

(演示数学实验)

2

9 =30。日寸,S mas 拓0.144a

方案三(四个底角为67.5。的等腰三角形)：

1 a a 心2

S=4江—x—x —tan67.5 0.151 a .

2 4 8

方案四(五个底角为72。的等腰三角形)：

1 a a 心2

S=5 汉一 x —汇——ta n72^止0.154a .

2 5 10

方案五：

. 2

■ * a ^1 2 _ lc 2

'兀r—a,二r—.「” S—n r —丸0.159a.

兀 2 2兀

通过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时的

情况可以得出，方案五是这个实际问题的最优解，

即：

将水槽的横截面设计为半径为旦的半圆

it

形时，从而可获得最大的流水量。

教师总

结点评

最后教

师演示

数学实

验发现

答案

并指出

运用导

数工具

可以证

明我们

的答案

是正确

的

学生代表

讲解各自

万案的答

案

通过观

察、试

算、估算

与数学实

验，培养

学生的合

情推理能

力和数学

发现能力.