数列小结与复习

数列小结与复习(一)

一教学目标：

1、知识与技能：⑴进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方案；⑵进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能力；⑶加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；⑷在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题。

2、过程与方法：⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；⑵通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力；⑶在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法。

3、情感态度与价值观：⑴通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；⑵感受并认识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的思想；⑶在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观

二、教学重点 1.系统化本章的知识结构；2.提高对几种常见类型的认识；3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力。

教学难点解题思路和解题方法的优化。

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、导入新课

数列是高中代数的重要内容之一，也是高考考查的重点.它的主要内容主要有两个方面：第一方面是数列的基本概念，如等差数列的定义、等比数列的定义、通项公式、等差中项、等比中项、数列的性质以及数列的前n项和公式等；第二方面是数列的运算和实际应用，即运用通项公式、前n项和公式以及数列的性质求一些基本量，运用数列的基础知识探究与解决实际问题

应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在实际方面的应用

在解决上述问题时，一是要用函数观点来分析解决有关数列问题；二是要运用方程的思想来

解决“知三求二”的计算问题；三是能自觉地运用等差、等比数列的特征来化简计算；四是树立应用意识，能用数列有关知识解决生产生活中的一些问题

（二）、推进新课

师出示多媒体课件一：

(请同学们自己将框中的公式补充完整

师等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式都不止一种形式，请同学们在总结的时候不要忘记它们中的任何一种形式

［回顾与思考］

1.知识的发生发展过程：

师你能从函数的观点认识数列吗？你能体会学习数列与学习实数之间的异同吗？等差数列与等比数列的通项公式反映了什么函数关系？它们的图象各有什么特点呢？

生思考

师请看下面的结构框图(出示多媒体课件二)：

师请同学们理解并解释框图的结构及其含义

2.通项公式与前n项和公式的推导中的思想方法：

师你能清楚地说出等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的一种推导方法吗？每一个公式的推导能说出几种方法吗？

生回忆学习过程中自己已经掌握的方法，并积极发言

师在它们的前n项和公式的推导中，请大家特别注意其中的两种推导方法：

等差数列的前n项和公式推导中的“倒序相加法”与“叠加法”；等比数列的前n项和公式推导中的“错位相减法”与“叠乘法”；另外，还应该知道，对于任何数列{a n}，S n与a n有以下关系：a n=S1,n

S n-S n-1,n＞

师你知道这个公式在解决问题中有哪些作用吗？

生思考，回答应用本章知识要解决的主要问题：

师你明确应用本章知识要解决哪些问题吗？

生应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用

师肯定学生的回答，必要时给予补充

师出示投影胶片1：例题1.

【例1】设{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和.若{S n}是等差数列，求q的值［合作探究］

师这是一个关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的基本题，起点比较低，入手的路子宽.你如何想？

生独立思考，列式、求解

师组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法的过程

参考答案如下：(投影胶片2)

解法一：利用定义，∵{S n}是等差数列，∴a n=S n-S n-1=…=S2-S1=a2

∴a1·q n-1=a1·q.∵a1≠0,∴q n-2=1.∴q

解法二：利用性质，∵{S n}是等差数列，∴a n=S n-S n-1=S n-1-S n-2=a n-1a1·q n-1=a1·q n-2.∵a1≠0,q≠0,∴q

解法三：利用性质，∵2S2=S1+S3，∴2(a1+a2)=a1+a1+a2+a3

即a2＝a3.∴q=1.

师点评：还可以用求和公式、反证法等

师出示投影胶片3：例题2.

【例2】设数列{a n}的前n项和为S n＝n2＋2n＋4(n∈N

(1)写出这个数列的前三项；

(2)证明数列除去首项后所成的数列a2，a3，…，a n，…是等差数列.

［合作探究］

师第1个问题很容易思考，请同学们独立完成

生迅速作答

解：（1）a1=S1=7,a2=S2-S1=22+2×2+4-

a3=S3-S2=32+2×3+4-(7+5)=7,即a1=7,a2=5,a3

师第2个问题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”，

你能把握好这个条件的运用吗？

生 自主探究，组织数学语言，准确表达推理过程

参考答案：(投影胶片4)

（2）∵⎩⎨⎧-=-,1

,11n n

S S n S n ＞1，

∴当n ＞1时，a n ＝S n -S n -1＝n 2＋2n ＋4- [(n -1)2＋2(n -1)＋4]＝2n ＋

a n ＋1-a n ＝2(定值

即数列{a n }除去首项后所成的数列是等差数列. 师 点评：a n ＝S 1,n

S n -S n -1,n ＞1 是一个重要的关系式，要充分发挥它的作用

还有其他不同的证法，请同学们多交流

师 出示投影胶片5：例题3.

【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. ［合作探究］

师 三个数成等差数列，在设法上应根据条件的特殊性考虑特殊的设法，同样，三个数成等比数列，也要注意兼顾前三个数已经设出来的形式

生 积极思考，列式探究，踊跃发言

师 观察学生的思考情况，指点学生寻找合理的思路

归纳、概括、总结学生的解题结果，给出如下两种典型解法

投影胶片6

解法一：设四个数依次为a -d ，a ，a ＋d ，a

d a 2

)(+，

依题意有 (a -d )＋a

d a 2

)(+＝16,①a ＋(a ＋d )＝12,②由②式得 d ＝12-2a .③

将③式代入①式整理得a 2-13a ＋36＝解得a 1＝4，a 2＝

代入③式得d 1＝4，d 2＝-从而所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.

投影胶片7