第9章 梁的应力

压 max
M max y1 16 10 96.4 10 8 12 Iz 1.02 10 10
3 6
3
15.12 10 Pa 15.12MPa
【例5】图示简支梁，由56 a号工字钢制成。已知 F 150kN 。试求此梁 危险截面上的最大正应力 max 和该截面上腹板和翼缘交点 C 处的正应力 C 。截面形状如图所示。 解：由对称性可知
max [ ]
中性轴为横截面的对称轴的等直梁的弯曲正应力强度条件为：
max
M max [ ]（9-7） WZ
截面关于中性轴不对称
max
M max ymax [ ] IZ
对于抗拉和抗压强度不同的脆性材料制成的梁，由于 [ ]拉 [ ]，因此弯曲正应力强度条件分别为： 压
M max 375 103 160MPa 3 Wz 2.342 10
560 yC 21 259mm 2
C
M max yC Iz
375 103 259 10 3 6.5586 10 4 148MPa 拉应力
从题中可知，腹板与翼缘交界点 C 处的正应力也是较大的。
见书
【例4】 图中所示T字形截面简支梁在中点承受集中力 F 32kN ， 梁的长度 l 2m 。T字形截面的形心坐标 yC 96.4mm ，横截面 对于 z 轴的惯性矩 I z 1.02 108 mm4 。求危险截面上的最大拉应力 和最大压应力。 解：1.确定危险截面以及最大弯矩数值 由对称性可知
3）求应力
压 max
M max y1 3 103 3.28 102 384MPa 8 Iz 25.6 10
拉 max
M max y2 3 103 1.52 102 178MPa 8 Iz 25.6 10
9.1.3正应力强度条件
对于等截面直梁，梁最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在的横 截面上距中性轴最远的各点处。最大弯矩所在的横截面称为正应力的 危险截面。在该危险截面上，离中性轴最远的各点其弯曲正应力的值 最大，称为正应力的危险点。 梁弯曲正应力危险点上有梁的最大弯曲正应力σmax，若梁的容许 应力为[σ]，则弯曲正应力强度条件为：
M = y Iz
⑶该公式对有以 y 为对称轴的其他形状截面的梁的平面弯曲同样适用。 ⑷注意：上公式只适用于国际单位制。
3)横截面上的最大正应力 最大应力值为：
max
Mymax Iz
① 截面关于中性轴对称
max
Mymax M M Iz I z ymax Wz
式中： Wz I z ymax ——抗弯截面模量，它仅与横截面的形 状尺寸有关，是衡量截面抗弯能力的几何参数，常用单位是 m3或mm3。
F FA FB 2 32 16kN 2 FAl Fl 32 2 M max 16kN m 2 4 4
2.确定中性轴的位置 T字形截面只有一根对称轴，而且载荷方向沿着对称轴方向，因 此，中性轴通过截面形心并且垂直于对称轴，即图中的 z 轴就是中 性轴。 3.确定最大拉应力和最大压应力点到中性轴的距离 梁上侧受压，下侧受拉。
y1 yC 96.4mm
y2 200 50 96.4 153.6mm
4、计算弯矩最大截面 上的最大拉应力和最大压应力

拉 max
M max y2 Iz
16 103 153.6 103 1.02 108 1012 24.09 106 Pa 24.09 MPa
【例6】求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知： l 1m ， q 6 kN m 。
2 2
解：1）画弯矩图
ql 6 1 MA 3kN m 2 2
最大弯矩
M max 3kN m
2）查型钢表
b 4.8cm， I z 25.6cm4，y2 1.52cm，
y1 4.8 1.52 3.28cm，
1）纯弯曲变形 取一根矩形截面的等直梁，加载前，在梁的表面上画上一系列的水 平纵向线和横向线。
实验现象：①变形前互相平行的纵向线，变形后均变为圆弧线，且凹边 的缩短，凸边的伸长，彼此间的距离不变。 ②变形前垂直于纵向线的横向线，变形后仍为直线，并且相对的转动了 一个角度，但仍垂直于变成弧线的纵向线。 平面假设：变形前的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁 的轴线，只是绕截面内 的某一轴旋转了一个角 度。 单向受力假设：同一层 纵向纤维层的伸长或缩 短相同，且纤维间无互 相挤压。
h 5 时，其误差在工程上是可以接受的。
这时可以采用纯弯曲时梁横截面 上的正应力公式来近似计算。
M = y Iz
【例1】长为 l 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝ l 2m，F ＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各 120mm，h＝180mm、＝ 点的正应力。 解： ⑴画梁的弯矩图

拉 max
My2 Iz
最大压应力：

压 max
My1 Iz
9.1.2 横力弯曲梁横截面上的正应力计算
横力弯曲时，由于横截面上存在切应力，所以，弯曲时横 截面将发生翘曲，这势必使横截面再不能保持为平面(平面假 设不适用)。特别是当剪力随截面位置变化时，相邻两截面的 翘曲程度也不一样。按平面假设推导出的纯弯曲梁横截面上 正应力计算公式，用于计算横力弯曲梁横截面上的正应力是 有一些误差的。 当梁的长高比l
67.5 103 6 104.17 MPa 2 9 120 180 10 1 M 5. C 截面的曲率半径 根据 EI z
EI z 200 109 5.832 105 C 194.4m 3 MC 60 10
例9-1 跨度 l 2m 的木梁，其横截面为矩形，宽 b 5cm ，高 h 10cm 。承受均布荷载 q 2 kN m ，如图所示。试计算梁竖放 时和梁平放时的最大正应力各为多少？ 解：
F FA FB 2 150 75kN 2
作出弯矩图，由此可知危险截面发生在载荷作用截面C处，
M max 5FA 5 75 375kN m
从型钢表查得：I z
6.5586 104 m4 ， Wz 2.342 103 m3
max
腹板与翼缘交界点C 距中性轴 z 的距离为
拉 max [ ]拉
压 max [ ]压 压 拉 式中： max 和 max 分别表示梁的最大弯曲拉应力和 最大弯曲压应力。
强度条件可解决三方面的问题： 1、强度校核
max [ ]
M max Wz [ ]
2、设计截面尺寸
再由Wz 值确定截面尺寸 。 3、确定外载荷
M Me
3.判断横截面上承受拉应力和压应力的区域 根据弯矩的方向，可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横 截面中性轴以下各点均受拉应力。 4.画出梁在固定端截面上正应力分布图
M y ，横截面上正应力沿截面高按直线分布。 根据 Iz
在上下边缘处正应力值最大。
【例3】图示受均布载荷的简支梁，其横截面为矩形，尺寸如图。求1.C 截面上k 点正应力；2. C 截面上最大正应力；3.全梁上最大正应力；4.已 C 截面的曲率半径 。 知 E 200GPa ， 解：1、求支反力 由对称性可知
b 0 MB 1.6 103 c 2.47 MPa 5 9 Wz 6.48 10 10
【例2】 图中的矩形截面悬臂梁，在自由端承受外加力偶作用，力 偶矩为 M e ，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截 面上正应力分布图。 解：1.固定端处横截面上的弯矩
2.确定中性轴的位置 中性轴通过形心并与截面的铅垂对称轴 y 垂直，即图中 z 轴就是中 性轴。
第9章 梁的应力
本章主要讨论梁在外力作用下横截面上的应力和强
度条件及其应用。
工程中的弯曲杆件
9.1 梁内正应力、正应力强度条件
9.1.1 纯弯曲时梁内的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩 而无剪力的弯曲（横截面上只有 正应力而无切应力的弯曲），这 种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁的横截面上既有弯
矩又有剪力的弯曲（横截面上既 有正应力又有切应力的弯曲）， 这种弯曲称为横力弯曲。
跨中处弯矩最大 M max
ql 8
2
竖放：
max1
M max ql 2 8 2 103 22 6 12MPa 2 2 6 Wz1 bh 6 5 10 10 8
平放： max 2
M max ql 2 8 2 103 22 6 24MPa 2 2 6 Wz 2 hb 6 10 5 10 8
3 3
压应力
3
3. C截面上最大正应力
C max
MC MC 60 10 6 92.6MPa 2 2 9 Wz bh 6 120 180 10
上压下拉
4.全梁上最大正应力
ql 2 60 32 M max 8 8 67.5kN m M max M max max 2 Wz bh 6
矩形截面：
bh 3 Iz 12
bh 2 Wz 6
圆形截面：
I y Iz
I y Iz
d
4
64
4
Wy Wz W
d
3
32
圆环截面：
D
64
(1 )
4
4
Wy Wz W
D3
32
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(1 )
d D
②截面关于中性轴不对称 最大拉应力：
1
：中性层的曲率半径； E ：材料的弹 性模量； I z ：截面对中性轴的惯性矩。
该式表明，梁在外力作用下，横截面 上产 生的弯矩越大，梁的弯曲程度就越 大；而EI z值越大，则梁越不易弯曲。
EI z ：梁的抗弯刚度。
My Iz
正应力计算公式
y ：欲求应力点到中性轴的距离。
M = y Iz
ql FA FB 2 60 3 90 kN 2
2. C 截面上 k 点正应力
MC
1 FA 1 q 1 90 30 60kN m 2
bh3 0.12 0.183 Iz 12 12 5.832 105 m 4
M C yk k Iz 60 10 (180 2 30) 10 5.832 105 61.7 106 Pa 61.7 MPa
1 M B Fl 1.6kN m 2
⑵计算截面的 几何参数
bh3 120 1803 Iz 5.832 107 mm4 12 12
bh 120 180 Wz 6.48 105 mm3 6 6
2 2
⑶计算各点 正应力
M B y 1.6 103 (180 3) 103 a 1.65MPa 7 12 Iz 5.832 10 10
M 0：y
0 时，
0
0 时， 0 为拉应力。 y =0 时， =0
为压应力， y
公式讨论： ⑴应力沿截面高呈线性分布，距中性轴越远 越大，中性轴处（ y 0）正应力等于零。 ⑵用该公式计算正应力时，不用考虑 M 、y 的正负，均以绝对值代 入。正应力是拉应力还是压应力可由弯曲变形直接判定。以中性层为界， 梁的凸出边的应力为拉应力，凹入边的应力为压应力。
中性层：其纤维长度不变。 中性轴：中性层与横截面 的交线。与横截 面的对称轴垂直。 梁的弯曲变形实际上是 各横截面绕各自的中性轴转 动了一个角度。
2）弯曲正应力公式
取中性轴为Z 轴, 中性轴
z 通过截面的形心，并且垂直于横截面的
对称轴。所以确定形心位置便可确定出中性轴的位置。
M = EI z
M max Wz [ ]
再由 M max与载荷的关系，确定梁所能承受的最大载荷。
例9-2 图示楼板梁，采用 槽钢的截面，承受由楼板传来的荷载 p 3 kN m2 ，钢梁的间距为1.2 m ，跨度为l 5m ，许用应力 [ ] 140MPa ，试校核梁的强度。 解:支承在墙上的槽钢梁可按简支梁计算，计算简图如图。 每根梁承受的均布荷载