第9章 梁的应力
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第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
梁的应力
Q
s
t
t
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件 带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面 腹、翼相交处。
M
s
Q
t
s t
1.2 正应力和剪应力强度条件：
s max
M max Wz
s
t max
Qmax
S
z max
b Iz
t
Q A
4t
3
③ 薄壁圆环：
t
max
2
Q A
2t
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件
8.5 梁的正应力和剪应力强度条件
1 梁的正应力和剪应力强度条件 1.1 危险面与危险点分析
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大截面的上下 边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大截面的中性轴 处。
M
ss
8.2 梁横截面上的正应力
8.2 梁横截面上的正应力
1 弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
第9章梁的应力
8.2 梁横截面上的正应力
2 两个概念
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
第9章梁的应力
M图
(KN.m)
281
375
281
解：1、求支座反力；
FAy=FBy=112.5KN(↑);
作弯矩图，确定最大弯矩；
Mmax=375KN.m
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件
2、求满足强度要求时梁的抗弯截面系数Wz.
第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂
第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算9.1 概 述在前面几章里，根据持久状况承载能力极限状态计算原则，已详细介绍了钢筋混凝土构件的承载力计算及设计方法。
但是，钢筋混凝土构件除了可能由于材料强度破坏或失稳等原因达到承载能力极限状态以外，还可能由于构件变形或裂缝过大影响了构件的适用性及耐久性，而达不到结构正常使用要求。
因此，钢筋混凝土构件除要求进行持久状况承载能力极限状态计算外，还要进行持久状况正常使用极限状态的计算，以及短暂状况的构件应力计算。
本章以钢筋混凝土受弯构件为例，介绍《公路桥规》对钢筋混凝土构件进行这类计算的要求与方法。
对于钢筋混凝土受弯构件，《公路桥规》规定必须进行使用阶段的变形和最大裂缝宽度验算，除此之外，还应进行受弯构件在施工阶段的混凝土和钢筋应力验算。
与承载能力极限状态计算相比，钢筋混凝土受弯构件在使用阶段的计算有如下特点：1) 钢筋混凝土受弯构件的承载能力极限状态是取构件破坏阶段，例如，其正截面承载力计算即取图3-10所示的Ⅲa状态为计算图式基础；而使用阶段一般取图3-10所示的第II阶段，即梁带裂缝工作阶段。
2) 在钢筋混凝土受弯构件的设计中，其承载力计算决定了构件设计尺寸、材料、配筋数量及钢筋布置，以保证截面承载能力要大于最不利荷载效应：≤，计算内容分为截面设计和截面复核两部分。
使用阶段计算是按照构件使用条件对已设计的构件进行计算，以保证在正常使用状态下的裂缝宽度和变形小于规范规定的各项限值，这种计算称为“验算”。
当构件验算不满足要求时，必须按正常使用极限状态要求对已设计好的构件进行修正、调整，直至满足两种极限状态的设计要求。
3) 承载能力极限状态计算时汽车荷载应计入冲击系数，作用（或荷载）效应及结构构件的抗力均应采用考虑了分项系数的设计值；在多种作用（或荷载）效应情况下，应将各设计值效应进行最不利组合，并根据参与组合的作用（或荷载）效应情况，取用不同的效应组合系数。
梁的应力
ac
M
⑵、纵向线：由直线变为曲
线，且靠近上部的纤维缩短，
靠近下部的纤维伸长。
b
d
3、假设：
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线。
第九章 梁的应力
梁是由许多纵向纤维组成的
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变
z
A2 20120mm2 y2 80mm
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
Hale Waihona Puke 80 203 1280 20 422
y
201203 20120 282
12
7.64106 m4
第九章 梁的应力
横截面上应力分布
b
d2
c,m ax
h yt,max yc,max d1
oz y
Oz
y b
t,m ax
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉
应力值和最大压应力值为
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
第九章 梁的应力
例 对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压 应力.已知: I z 290 .6 10 8 m4
d
在弹性范围内， E E Ey ...... (2)
Ｏ
Ｏ１
A１
Ｂ１ x
y
第九章 梁的应力
应力的分布图：
工程力学 9弯曲
O
讨论： 惯性矩大于零
z
§A.3 惯性矩的平行移轴公式
组合截面的惯性矩
1.惯性矩的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C为其形心，Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为Oxy ,形心C在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
20
③计算静矩Sz(ω)和SzC(ω)
Sz ( ) A y C (0.1 0.02 0.14 0.02 0.103 0.494m 3 )
S zc ( ) Ai y C 0.1 0.02 0.047 - 0.02 0.14 0.033 1.6 10 6 m 3
（f)
纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
(c)
令中性层的曲率半径为(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 dx y
切应力。
F
FS
M
F
M
C
C
F
A
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
计算公式的推导 (1) 几何方面━━ 藉以找出与横截面上正应力相对应 的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：
(a)
1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵 向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁
材料力学第9章 应力状态分析
B
方位角α, 对应于应力圆上为2 α
a τy σy τx e σα σx a ταf
n
c
τ
a
B 2a
τσx x x o C
角, 自起始半径旋转, 且与α转向 一致；
A 单元体上A、B面夹角α, σ 应力圆上弧长AB的圆心角
b
σyτy d
为2 α角, 且转向一致。
3、主应力、主平面与主单元体
t
图解法
tadA (t xdAcosa ) cosa (s xdAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina) cosa 0
关系式
t x =t
(负号已包含在指向中）；
y
sin
2a
2 sin a
cosa；
cos2 a 1 cos 2a ； sin2 a 1 cos 2a
t
图解法
注意A1、A2点
σx
σ( 2,0)
A2 B2
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
数值 方位
τy τx
o
σ a C B1 A1 σ
( 1,0) 主点法
s1 = sx s y
s2
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
tan
2a0
2t x sx s
y
(σy ,Dτ2y) σy
K
s1的方位
作D1K⊥σ轴, 交圆与K点, 则A2K方向
2
2
sa、ta
计算公式
sa
ta
sx sx
sy
2
s y
材料力学：第九章 应力状态分析
Me
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
第9章 弯曲应力
应变分布规律 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
2、物理关系
Hooke’s Law 所以
E（弹性范围内） M
y
?
O
z x
E
?
y
应力分布规律
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
9.2 弯曲正应力
max
M max [ ] W
对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等 截面直梁来说，危险截面仅有一个，既 M max 所在的截面，而截 面上的危险点，既 y max 所在之点 横截面关于中性轴对称的等直梁 b o
σ t max c max
o
M max Wz
2 2
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使抗
弯截面系数Wz增大。
由四根100 mm×80 mm×10 mm不等边角钢按四种不
同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度
均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性 轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：
?
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
3、静力关系
内力与外力相平衡可得
待解决问题
中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
FN A dFN A dA 0 (1)
Mz
M
O
z
y
dA
x σdA
FN
M y dM y zdA 0 (2)
A A
My
y
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
2、物理关系
Hooke’s Law 所以
E（弹性范围内） M
y
?
O
z x
E
?
y
应力分布规律
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
9.2 弯曲正应力
max
M max [ ] W
对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等 截面直梁来说，危险截面仅有一个，既 M max 所在的截面，而截 面上的危险点，既 y max 所在之点 横截面关于中性轴对称的等直梁 b o
σ t max c max
o
M max Wz
2 2
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使抗
弯截面系数Wz增大。
由四根100 mm×80 mm×10 mm不等边角钢按四种不
同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度
均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性 轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：
?
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
3、静力关系
内力与外力相平衡可得
待解决问题
中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
FN A dFN A dA 0 (1)
Mz
M
O
z
y
dA
x σdA
FN
M y dM y zdA 0 (2)
A A
My
y
工程力学：第9章 弯曲应力及强度计算(新)
P1
例如：
P2
纵向对称面
aP
Pa
A
P FS P
B P
x
P Pa M
x
3、纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。
纯弯曲：AB段
三.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不
受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
x
t max
1.5
FS max A
1.5 5400 0.12 0.18
qL
2
0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
x
s max M max 2 A L 16.7
t max Wz 3FS h
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m RA
1m 1m RB
2.5kNm
x
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如
(sdA)z
A
Eyz dA E
A
yzdA EI yz 0
A
（对称面）
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y2dA
A
EI z
MZ
A y2dA I Z
• IZ—横截面对中性轴的惯性矩
1 Mz
EI z
… …(3) EIz 杆的抗弯刚度。
sx
M y Iz
...... (4)
M(x)+d M(x) 在梁上取微段如图b；
z
t1
x
在微段上取一块如图c，平衡
sI
t
第九章梁的弯曲应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
《工程力学》课件——第九章 弯曲应力1
第9章弯曲应力
9.1 纯弯曲
9.2 弯曲正应力的强度条件及其应用9.3 提高梁弯曲强度的一些措施
F Fa F F A
C D B
横力弯曲：既有弯矩又有剪力。
如AC 段和DB 段
纯弯曲：只有弯矩，没有剪力。
如CD 段
实验现象： 1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向线，变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。
变形前原本为平面的横截面变形后仍保持为平面。
且仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
必有一层变形前后长度不变的纤维
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称为中性层。
（阴影面）
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
中性轴与纵向对称面垂直。
•具有纵向对称面
•外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
对称弯曲 纵向对称面
将梁的轴线取为 x 轴，
横截面的对称轴取为 y 轴，(向下为正) 中性轴取为 z 轴。
z
9.1 纯弯曲
9.2 弯曲正应力的强度条件及其应用9.3 提高梁弯曲强度的一些措施。
工程力学第9章 弯曲应力
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9.1.4 公式的适用范围
(1) 式(9-1)和式(9-2)只适用于梁的材料符合胡克定律, 且其拉伸和压缩时的 弹性模量相等的情况。 为了满足前一个条件, 梁内的最大正应力值应不超过材 料的比例极限。 (2) 式(9-1)和式(9-2)虽然是以矩形截面梁为例导出的, 但在推导过程中, 并 未用到矩形截面的特殊性质。 凡是具有纵向对称面的对称弯曲的梁, 都能满足 推导过程的各项要求。 因此, 上两式对于所有横截面存在对称轴的对称弯曲的 梁都是适用的。 (3) 式(9-1)和式(9-2)是在纯弯曲的前提下导出的。 工程中更常见的弯曲问 题多为横力弯曲, 即这时梁的横截面上不仅有弯矩, 一般来说还有剪力。 同时, 由于横向力的作用, 还使梁的纵向纤维之间发生挤压。 这些都与推导公式的前 提相矛盾。 但是精确的分析表明, 对于细长的梁, 即梁的跨长与截面高度之比 l/h>5时, 应用纯弯曲时的公式计算梁横截面上的正应力, 还是相当精确的。 但应注意, 此时应用ρ(x)与M(x)来代替公式中的ρ和M。
这就是梁横截面上的正应力公式。 式中, M为横截面的弯矩; y为欲求应力点至 中性轴的距离; Iz为横截面对中性轴的惯性矩。 在式(9-2)中, 对于正应力是拉应力还是压应力虽可以从M及y坐标的正、 负号 来确定, 但从梁的变形情况来判断更为简便: 当弯矩为正时, 中性层以下部分纤 维伸长, 故产生拉应力; 中性层以上部分纤维缩短而产生压应力。 弯矩为负时, 则与上相反。 显然, 在用这一方法判定正应力是拉或压时, 只须将M及y的绝对 值代入式(9-2)即可。
第9章 弯曲应力
9.1 梁横截面上的正应力
现在研究梁横截面上的应力。 先讨论横截面上只有弯矩而没有剪力的梁。 这种情况下的弯曲称为纯弯曲。 例如图9-1所示简支梁的CD段就属于纯弯 曲情况。 此时梁的各截面上的弯矩相等。 由于只有与正应力相应的法向分 布内力才能合成与弯矩相应的内力偶, 故在纯弯曲时梁横截面上只可能有正 应力。 分析在纯弯曲时梁横截面上正应力只用静力学条件解决不了, 因此, 所研究的问题是超静定的, 需先通过实验来研究梁的变形。
9.1.4 公式的适用范围
(1) 式(9-1)和式(9-2)只适用于梁的材料符合胡克定律, 且其拉伸和压缩时的 弹性模量相等的情况。 为了满足前一个条件, 梁内的最大正应力值应不超过材 料的比例极限。 (2) 式(9-1)和式(9-2)虽然是以矩形截面梁为例导出的, 但在推导过程中, 并 未用到矩形截面的特殊性质。 凡是具有纵向对称面的对称弯曲的梁, 都能满足 推导过程的各项要求。 因此, 上两式对于所有横截面存在对称轴的对称弯曲的 梁都是适用的。 (3) 式(9-1)和式(9-2)是在纯弯曲的前提下导出的。 工程中更常见的弯曲问 题多为横力弯曲, 即这时梁的横截面上不仅有弯矩, 一般来说还有剪力。 同时, 由于横向力的作用, 还使梁的纵向纤维之间发生挤压。 这些都与推导公式的前 提相矛盾。 但是精确的分析表明, 对于细长的梁, 即梁的跨长与截面高度之比 l/h>5时, 应用纯弯曲时的公式计算梁横截面上的正应力, 还是相当精确的。 但应注意, 此时应用ρ(x)与M(x)来代替公式中的ρ和M。
这就是梁横截面上的正应力公式。 式中, M为横截面的弯矩; y为欲求应力点至 中性轴的距离; Iz为横截面对中性轴的惯性矩。 在式(9-2)中, 对于正应力是拉应力还是压应力虽可以从M及y坐标的正、 负号 来确定, 但从梁的变形情况来判断更为简便: 当弯矩为正时, 中性层以下部分纤 维伸长, 故产生拉应力; 中性层以上部分纤维缩短而产生压应力。 弯矩为负时, 则与上相反。 显然, 在用这一方法判定正应力是拉或压时, 只须将M及y的绝对 值代入式(9-2)即可。
第9章 弯曲应力
9.1 梁横截面上的正应力
现在研究梁横截面上的应力。 先讨论横截面上只有弯矩而没有剪力的梁。 这种情况下的弯曲称为纯弯曲。 例如图9-1所示简支梁的CD段就属于纯弯 曲情况。 此时梁的各截面上的弯矩相等。 由于只有与正应力相应的法向分 布内力才能合成与弯矩相应的内力偶, 故在纯弯曲时梁横截面上只可能有正 应力。 分析在纯弯曲时梁横截面上正应力只用静力学条件解决不了, 因此, 所研究的问题是超静定的, 需先通过实验来研究梁的变形。
工程力学 第九章 梁的应力及强度计算
平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
工程力学 第九章 梁的强度刚度计算
由结果知，梁的强度不满足要求。
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y2
z
例9-6 试为图示钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比 例为b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力[]=15.6MPa,许用剪应力 P P 0 0 .2 m 1 .6 m []=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力P=49KN。 .2 m
a
M D ya Iz
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10.7
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面剪应力计算公式： τ沿截面高度按抛物线规律变化：
2Iz 4
3
QS
* z
I zb
bh
4
τ m ax
2 3
y
h 2
, 0 ; y 0 , max
6 Qh 4 bh
校核梁的正应力强度。
解：(1) 内力及抗弯截面模量计算: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m
W1 W2
P1
A
a C a
P2
D
a B
y1
z
763 5 .2
146 . 7 cm
3
y1
z
763 8 .8
86 . 7 cm
3
4 .8 k N m
y2
(2)C截面的正应力强度校核:
4 Q 3 A1
max 2
Q A2
返回 下一张 上一张
例9-3 矩形截面简支梁如图,已知：l=2m，h=15cm，b=10cm， h1=3cm，q=3kN/m。试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最 b q 大剪应力。 解：1.求剪力：QA=3kN
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第9章 梁的应力
本章主要讨论梁在外力作用下横截面上的应力和强
度条件及其应用。
工程中的弯曲杆件
9.1 梁内正应力、正应力强度条件
9.1.1 纯弯曲时梁内的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩 而无剪力的弯曲（横截面上只有 正应力而无切应力的弯曲），这 种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁的横截面上既有弯
矩又有剪力的弯曲（横截面上既 有正应力又有切应力的弯曲）， 这种弯曲称为横力弯曲。
3 3
压应力
3
3. C截面上最大正应力
C max
MC MC 60 10 6 92.6MPa 2 2 9 Wz bh 6 120 180 10
上压下拉
4.全梁上最大正应力
ql 2 60 32 M max 8 8 67.5kN m M max M max max 2 Wz bh 6
矩形截面：
bh 3 Iz 12
bh 2 Wz 6
圆形截面：
I y Iz
I y Iz
d
4
64
4
Wy Wz W
d
3
32
圆环截面：
D
64
(1 )
4
4
Wy Wz W
D3
32
(1 )
d D
②截面关于中性轴不对称Байду номын сангаас最大拉应力：
y1 yC 96.4mm
y2 200 50 96.4 153.6mm
4、计算弯矩最大截面 上的最大拉应力和最大压应力
拉 max
M max y2 Iz
16 103 153.6 103 1.02 108 1012 24.09 106 Pa 24.09 MPa
67.5 103 6 104.17 MPa 2 9 120 180 10 1 M 5. C 截面的曲率半径 根据 EI z
EI z 200 109 5.832 105 C 194.4m 3 MC 60 10
例9-1 跨度 l 2m 的木梁，其横截面为矩形，宽 b 5cm ，高 h 10cm 。承受均布荷载 q 2 kN m ，如图所示。试计算梁竖放 时和梁平放时的最大正应力各为多少？ 解：
中性层：其纤维长度不变。 中性轴：中性层与横截面 的交线。与横截 面的对称轴垂直。 梁的弯曲变形实际上是 各横截面绕各自的中性轴转 动了一个角度。
2）弯曲正应力公式
取中性轴为Z 轴, 中性轴
z 通过截面的形心，并且垂直于横截面的
对称轴。所以确定形心位置便可确定出中性轴的位置。
M = EI z
1
：中性层的曲率半径； E ：材料的弹 性模量； I z ：截面对中性轴的惯性矩。
该式表明，梁在外力作用下，横截面 上产 生的弯矩越大，梁的弯曲程度就越 大；而EI z值越大，则梁越不易弯曲。
EI z ：梁的抗弯刚度。
My Iz
正应力计算公式
y ：欲求应力点到中性轴的距离。
M = y Iz
h 5 时，其误差在工程上是可以接受的。
这时可以采用纯弯曲时梁横截面 上的正应力公式来近似计算。
M = y Iz
【例1】长为 l 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝ l 2m，F ＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各 120mm，h＝180mm、＝ 点的正应力。 解： ⑴画梁的弯矩图
跨中处弯矩最大 M max
ql 8
2
竖放：
max1
M max ql 2 8 2 103 22 6 12MPa 2 2 6 Wz1 bh 6 5 10 10 8
平放： max 2
M max ql 2 8 2 103 22 6 24MPa 2 2 6 Wz 2 hb 6 10 5 10 8
M max 375 103 160MPa 3 Wz 2.342 10
560 yC 21 259mm 2
C
M max yC Iz
375 103 259 10 3 6.5586 10 4 148MPa 拉应力
从题中可知，腹板与翼缘交界点 C 处的正应力也是较大的。
【例6】求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知： l 1m ， q 6 kN m 。
2 2
解：1）画弯矩图
ql 6 1 MA 3kN m 2 2
最大弯矩
M max 3kN m
2）查型钢表
b 4.8cm， I z 25.6cm4，y2 1.52cm，
y1 4.8 1.52 3.28cm，
M max Wz [ ]
再由 M max与载荷的关系，确定梁所能承受的最大载荷。
例9-2 图示楼板梁，采用 槽钢的截面，承受由楼板传来的荷载 p 3 kN m2 ，钢梁的间距为1.2 m ，跨度为l 5m ，许用应力 [ ] 140MPa ，试校核梁的强度。 解:支承在墙上的槽钢梁可按简支梁计算，计算简图如图。 每根梁承受的均布荷载
M = y Iz
⑶该公式对有以 y 为对称轴的其他形状截面的梁的平面弯曲同样适用。 ⑷注意：上公式只适用于国际单位制。
3)横截面上的最大正应力 最大应力值为：
max
Mymax Iz
① 截面关于中性轴对称
max
Mymax M M Iz I z ymax Wz
式中： Wz I z ymax ——抗弯截面模量，它仅与横截面的形 状尺寸有关，是衡量截面抗弯能力的几何参数，常用单位是 m3或mm3。
1 M B Fl 1.6kN m 2
⑵计算截面的 几何参数
bh3 120 1803 Iz 5.832 107 mm4 12 12
bh 120 180 Wz 6.48 105 mm3 6 6
2 2
⑶计算各点 正应力
M B y 1.6 103 (180 3) 103 a 1.65MPa 7 12 Iz 5.832 10 10
F FA FB 2 150 75kN 2
作出弯矩图，由此可知危险截面发生在载荷作用截面C处，
M max 5FA 5 75 375kN m
从型钢表查得：I z
6.5586 104 m4 ， Wz 2.342 103 m3
max
腹板与翼缘交界点C 距中性轴 z 的距离为
max [ ]
中性轴为横截面的对称轴的等直梁的弯曲正应力强度条件为：
max
M max [ ]（9-7） WZ
截面关于中性轴不对称
max
M max ymax [ ] IZ
对于抗拉和抗压强度不同的脆性材料制成的梁，由于 [ ]拉 [ ]，因此弯曲正应力强度条件分别为： 压
ql FA FB 2 60 3 90 kN 2
2. C 截面上 k 点正应力
MC
1 FA 1 q 1 90 30 60kN m 2
bh3 0.12 0.183 Iz 12 12 5.832 105 m 4
M C yk k Iz 60 10 (180 2 30) 10 5.832 105 61.7 106 Pa 61.7 MPa
见书
【例4】 图中所示T字形截面简支梁在中点承受集中力 F 32kN ， 梁的长度 l 2m 。T字形截面的形心坐标 yC 96.4mm ，横截面 对于 z 轴的惯性矩 I z 1.02 108 mm4 。求危险截面上的最大拉应力 和最大压应力。 解：1.确定危险截面以及最大弯矩数值 由对称性可知
b 0 MB 1.6 103 c 2.47 MPa 5 9 Wz 6.48 10 10
【例2】 图中的矩形截面悬臂梁，在自由端承受外加力偶作用，力 偶矩为 M e ，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截 面上正应力分布图。 解：1.固定端处横截面上的弯矩
2.确定中性轴的位置 中性轴通过形心并与截面的铅垂对称轴 y 垂直，即图中 z 轴就是中 性轴。
M 0：y
0 时，
0
0 时， 0 为拉应力。 y =0 时， =0
为压应力， y
公式讨论： ⑴应力沿截面高呈线性分布，距中性轴越远 越大，中性轴处（ y 0）正应力等于零。 ⑵用该公式计算正应力时，不用考虑 M 、y 的正负，均以绝对值代 入。正应力是拉应力还是压应力可由弯曲变形直接判定。以中性层为界， 梁的凸出边的应力为拉应力，凹入边的应力为压应力。
F FA FB 2 32 16kN 2 FAl Fl 32 2 M max 16kN m 2 4 4
2.确定中性轴的位置 T字形截面只有一根对称轴，而且载荷方向沿着对称轴方向，因 此，中性轴通过截面形心并且垂直于对称轴，即图中的 z 轴就是中 性轴。 3.确定最大拉应力和最大压应力点到中性轴的距离 梁上侧受压，下侧受拉。
M Me
3.判断横截面上承受拉应力和压应力的区域 根据弯矩的方向，可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横 截面中性轴以下各点均受拉应力。 4.画出梁在固定端截面上正应力分布图
M y ，横截面上正应力沿截面高按直线分布。 根据 Iz
在上下边缘处正应力值最大。
【例3】图示受均布载荷的简支梁，其横截面为矩形，尺寸如图。求1.C 截面上k 点正应力；2. C 截面上最大正应力；3.全梁上最大正应力；4.已 C 截面的曲率半径 。 知 E 200GPa ， 解：1、求支反力 由对称性可知
拉 max
My2 Iz
最大压应力：
压 max
My1 Iz
9.1.2 横力弯曲梁横截面上的正应力计算
本章主要讨论梁在外力作用下横截面上的应力和强
度条件及其应用。
工程中的弯曲杆件
9.1 梁内正应力、正应力强度条件
9.1.1 纯弯曲时梁内的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩 而无剪力的弯曲（横截面上只有 正应力而无切应力的弯曲），这 种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁的横截面上既有弯
矩又有剪力的弯曲（横截面上既 有正应力又有切应力的弯曲）， 这种弯曲称为横力弯曲。
3 3
压应力
3
3. C截面上最大正应力
C max
MC MC 60 10 6 92.6MPa 2 2 9 Wz bh 6 120 180 10
上压下拉
4.全梁上最大正应力
ql 2 60 32 M max 8 8 67.5kN m M max M max max 2 Wz bh 6
矩形截面：
bh 3 Iz 12
bh 2 Wz 6
圆形截面：
I y Iz
I y Iz
d
4
64
4
Wy Wz W
d
3
32
圆环截面：
D
64
(1 )
4
4
Wy Wz W
D3
32
(1 )
d D
②截面关于中性轴不对称Байду номын сангаас最大拉应力：
y1 yC 96.4mm
y2 200 50 96.4 153.6mm
4、计算弯矩最大截面 上的最大拉应力和最大压应力
拉 max
M max y2 Iz
16 103 153.6 103 1.02 108 1012 24.09 106 Pa 24.09 MPa
67.5 103 6 104.17 MPa 2 9 120 180 10 1 M 5. C 截面的曲率半径 根据 EI z
EI z 200 109 5.832 105 C 194.4m 3 MC 60 10
例9-1 跨度 l 2m 的木梁，其横截面为矩形，宽 b 5cm ，高 h 10cm 。承受均布荷载 q 2 kN m ，如图所示。试计算梁竖放 时和梁平放时的最大正应力各为多少？ 解：
中性层：其纤维长度不变。 中性轴：中性层与横截面 的交线。与横截 面的对称轴垂直。 梁的弯曲变形实际上是 各横截面绕各自的中性轴转 动了一个角度。
2）弯曲正应力公式
取中性轴为Z 轴, 中性轴
z 通过截面的形心，并且垂直于横截面的
对称轴。所以确定形心位置便可确定出中性轴的位置。
M = EI z
1
：中性层的曲率半径； E ：材料的弹 性模量； I z ：截面对中性轴的惯性矩。
该式表明，梁在外力作用下，横截面 上产 生的弯矩越大，梁的弯曲程度就越 大；而EI z值越大，则梁越不易弯曲。
EI z ：梁的抗弯刚度。
My Iz
正应力计算公式
y ：欲求应力点到中性轴的距离。
M = y Iz
h 5 时，其误差在工程上是可以接受的。
这时可以采用纯弯曲时梁横截面 上的正应力公式来近似计算。
M = y Iz
【例1】长为 l 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝ l 2m，F ＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各 120mm，h＝180mm、＝ 点的正应力。 解： ⑴画梁的弯矩图
跨中处弯矩最大 M max
ql 8
2
竖放：
max1
M max ql 2 8 2 103 22 6 12MPa 2 2 6 Wz1 bh 6 5 10 10 8
平放： max 2
M max ql 2 8 2 103 22 6 24MPa 2 2 6 Wz 2 hb 6 10 5 10 8
M max 375 103 160MPa 3 Wz 2.342 10
560 yC 21 259mm 2
C
M max yC Iz
375 103 259 10 3 6.5586 10 4 148MPa 拉应力
从题中可知，腹板与翼缘交界点 C 处的正应力也是较大的。
【例6】求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知： l 1m ， q 6 kN m 。
2 2
解：1）画弯矩图
ql 6 1 MA 3kN m 2 2
最大弯矩
M max 3kN m
2）查型钢表
b 4.8cm， I z 25.6cm4，y2 1.52cm，
y1 4.8 1.52 3.28cm，
M max Wz [ ]
再由 M max与载荷的关系，确定梁所能承受的最大载荷。
例9-2 图示楼板梁，采用 槽钢的截面，承受由楼板传来的荷载 p 3 kN m2 ，钢梁的间距为1.2 m ，跨度为l 5m ，许用应力 [ ] 140MPa ，试校核梁的强度。 解:支承在墙上的槽钢梁可按简支梁计算，计算简图如图。 每根梁承受的均布荷载
M = y Iz
⑶该公式对有以 y 为对称轴的其他形状截面的梁的平面弯曲同样适用。 ⑷注意：上公式只适用于国际单位制。
3)横截面上的最大正应力 最大应力值为：
max
Mymax Iz
① 截面关于中性轴对称
max
Mymax M M Iz I z ymax Wz
式中： Wz I z ymax ——抗弯截面模量，它仅与横截面的形 状尺寸有关，是衡量截面抗弯能力的几何参数，常用单位是 m3或mm3。
1 M B Fl 1.6kN m 2
⑵计算截面的 几何参数
bh3 120 1803 Iz 5.832 107 mm4 12 12
bh 120 180 Wz 6.48 105 mm3 6 6
2 2
⑶计算各点 正应力
M B y 1.6 103 (180 3) 103 a 1.65MPa 7 12 Iz 5.832 10 10
F FA FB 2 150 75kN 2
作出弯矩图，由此可知危险截面发生在载荷作用截面C处，
M max 5FA 5 75 375kN m
从型钢表查得：I z
6.5586 104 m4 ， Wz 2.342 103 m3
max
腹板与翼缘交界点C 距中性轴 z 的距离为
max [ ]
中性轴为横截面的对称轴的等直梁的弯曲正应力强度条件为：
max
M max [ ]（9-7） WZ
截面关于中性轴不对称
max
M max ymax [ ] IZ
对于抗拉和抗压强度不同的脆性材料制成的梁，由于 [ ]拉 [ ]，因此弯曲正应力强度条件分别为： 压
ql FA FB 2 60 3 90 kN 2
2. C 截面上 k 点正应力
MC
1 FA 1 q 1 90 30 60kN m 2
bh3 0.12 0.183 Iz 12 12 5.832 105 m 4
M C yk k Iz 60 10 (180 2 30) 10 5.832 105 61.7 106 Pa 61.7 MPa
见书
【例4】 图中所示T字形截面简支梁在中点承受集中力 F 32kN ， 梁的长度 l 2m 。T字形截面的形心坐标 yC 96.4mm ，横截面 对于 z 轴的惯性矩 I z 1.02 108 mm4 。求危险截面上的最大拉应力 和最大压应力。 解：1.确定危险截面以及最大弯矩数值 由对称性可知
b 0 MB 1.6 103 c 2.47 MPa 5 9 Wz 6.48 10 10
【例2】 图中的矩形截面悬臂梁，在自由端承受外加力偶作用，力 偶矩为 M e ，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截 面上正应力分布图。 解：1.固定端处横截面上的弯矩
2.确定中性轴的位置 中性轴通过形心并与截面的铅垂对称轴 y 垂直，即图中 z 轴就是中 性轴。
M 0：y
0 时，
0
0 时， 0 为拉应力。 y =0 时， =0
为压应力， y
公式讨论： ⑴应力沿截面高呈线性分布，距中性轴越远 越大，中性轴处（ y 0）正应力等于零。 ⑵用该公式计算正应力时，不用考虑 M 、y 的正负，均以绝对值代 入。正应力是拉应力还是压应力可由弯曲变形直接判定。以中性层为界， 梁的凸出边的应力为拉应力，凹入边的应力为压应力。
F FA FB 2 32 16kN 2 FAl Fl 32 2 M max 16kN m 2 4 4
2.确定中性轴的位置 T字形截面只有一根对称轴，而且载荷方向沿着对称轴方向，因 此，中性轴通过截面形心并且垂直于对称轴，即图中的 z 轴就是中 性轴。 3.确定最大拉应力和最大压应力点到中性轴的距离 梁上侧受压，下侧受拉。
M Me
3.判断横截面上承受拉应力和压应力的区域 根据弯矩的方向，可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横 截面中性轴以下各点均受拉应力。 4.画出梁在固定端截面上正应力分布图
M y ，横截面上正应力沿截面高按直线分布。 根据 Iz
在上下边缘处正应力值最大。
【例3】图示受均布载荷的简支梁，其横截面为矩形，尺寸如图。求1.C 截面上k 点正应力；2. C 截面上最大正应力；3.全梁上最大正应力；4.已 C 截面的曲率半径 。 知 E 200GPa ， 解：1、求支反力 由对称性可知
拉 max
My2 Iz
最大压应力：
压 max
My1 Iz
9.1.2 横力弯曲梁横截面上的正应力计算