特殊平行四边形拔高复习

第一章特殊平行四边形拔高复习

一特殊平行四边形知识汇总

矩形1ﻫ.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2.性质:(1）矩形的四个角都是直角ﻫ(2）矩形的对角线相等

(3）具备平行四边形的性质

3.判定:(１)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)

（2)对角线相等的平行四边形是矩形

（3）有三个角是直角的四边形是矩形

ﻫ菱形1ﻫ.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2ﻫ．性质：（1)菱形的四条边都相等

（2）菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

ﻫ（3）具备平行四边形的性质ﻫ３．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形ﻫ（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

(3）四边相等的四边形是菱形

正方形

1．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形ﻫ２.性质: （１)边:两组对边分别平行;四条边都相等；相邻边互相垂直ﻫ（２）内角:四个角都是90°；

（３）对角线：对角线互相垂直;对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角; ﻫ（4）对称性:既是中心对称图形,又是轴对称图形（有四条对称轴)。(5)形状：正方形也属于长方形的一种。ﻫ(6）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

3．判定：(1)对角线相等的菱形是正方形。ﻫ (2)有一个角为直角的菱形是正方形。ﻫ(3）对角线互相垂直的矩形是正方形。

（4）一组邻边相等的矩形是正方形。ﻫ (5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

(6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

ﻫ(7）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

ﻫ (8）一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。

（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

二专题整合与拔高

专题一特殊四边形的综合应用

１、（2013•白银)如图，在△ＡBC中,D是BC边上的一点，E是AD的中点,过A点作BC 的平行线交ＣE的延长线于点F,且AＦ=BD，连接ＢF．

(1）BD与CD有什么数量关系,并说明理由;

(2)当△ABＣ满足什么条件时,四边形AFＢＤ是矩形?并说明理由.

考点: 矩形的判定；全等三角形的判定与性质.

专题：证明题．

分析：（１）根据两直线平行，内错角相等求出∠ＡFE＝∠DCＥ,然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AＦ=CD，再利用等量代换即可得证;

(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边

形,再根据一个角是直角的平行四边形是矩形,可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是ＡB=AＣ．

解答:解:（１)BD=CD.

理由如下:∵AF∥BC,

∴∠AFE=∠DＣE，

∵E是AD的中点，

∴AＥ＝ＤE,

在△AEF和△DEC中,，

∴△AEF≌△DEＣ（AAS）,

∴AＦ＝CD,

∵AF=ＢＤ，

∴BＤ=ＣＤ；

（２）当△ABC满足：ＡB=AC时,四边形AFBD是矩形．

理由如下:∵AF∥BD，AF=BＤ，

∴四边形AＦＢD是平行四边形,

∵ＡＢ=AC，BD=ＣＤ,

∴∠AＤB=9０°,

∴▱AFBD是矩形.

点评:本题考查了矩形的判定,全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定,是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.

2、(13年山东青岛、2１）已知:如图，在矩形ＡＢＣD 中,M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段B Ｍ、CM 的中点

（１)求证:△ＡＢM ≌△ＤCM

(2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形,并证明你的结论；

（3）当AD:AB=__＿____＿____时，四边形MEN Ｆ是正方形(只写结论,不需证明)

解析： （１）因为四边形ＡBCD 是矩形,所以，∠A=∠D=90°，ＡB ＝ＤC,又M Ａ=M Ｄ,

所以,△ABM ≌△ＤCM

(2)四边形M ＥＮF 是菱形； 理由:因为C Ｅ=EM,ＣN=ＮB ，

所以,F Ｎ∥M Ｂ，同理可得:ＥN ∥ＭC ，

所以，四边形ME ＮF 为平行四边形, 又△AB Ｍ≌△ＤＣM

(３)2：1

3.（２012珠海,1８，7分）如图，把正方形A ＢCD 绕点Ｃ按顺时针方向旋转45°得到正方形A ’B ’ＣD ’（此时，点B ’落在对角线A Ｃ上,点A ’落在ＣD 的延长线上）,Ａ’B ’交ＡD 于点Ｅ，连结AA ’、CE.

求证:(１)△ＡＤA ’ ≌△C ＤE;

（２)直线CE 是线段AA ’的垂直平分线.

【解析】(1)由题设可得A D=DC ， ∠ADA ′＝∠CDE ＝90°， DA ′=DE.

∴△ＡDA ′≌△C ＤE ．

(2）证CE 是∠ACA ′的角平分线,由等腰三角形的“三线合一”可得C Ｅ是线段AA ’的垂直平分线.

【答案】（１)由正方形的性质及旋转,得A D ＝DC,∠ADC=90°,ＡＣ=A ′C,∠D Ａ′Ｅ＝45°, ∠ADA ′=∠C ＤＥ＝90°，

∴∠ＤＥA ′＝∠D Ａ′E ＝4５°． ∴D Ａ′=DE ．

∴△AD Ａ′≌△ＣDE.

(２)由正方形的性质及旋转,得CD ＝CB ′, ∠CB ′E ＝∠ＣＤＥ=9０°,CE=C Ｅ,

∴Rt △CB ′Ｅ≌Rt △CD Ｅ.∵ＡC=Ａ′Ｃ,∴直线ＣE 是线段AA ’的垂直平分线．

【点评】本题要求综合应用正方形的性质，旋转变换,三角形全等的判定,等腰三角形的“三线合一”， 线段垂直平分线的判定等知识解决问题,是一道证线段垂直平分线的典型范例. A D

M E

N F