2013年浙江省高考数学(理科)试题精校版(word版)(含答案)

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2013高考真题——(浙江卷)理科数学(解析版+Word版含答案)

数学理试题（浙江卷）一．选择题1、已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA. i +-3B. i 31+-C. i 33+-D.i +-12、设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A. ]1,2(- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 答案：C 解析：如图1所示，由已知得到考点定位：此题考查集合的运用之补集和并集体，考查一元二次不等式的解法，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题； 3、已知y x ,为正实数，则A.yxyx lg lg lg lg 222+=+ B.yxy x lg lg )lg(222∙=+C.y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D.y x xy lg lg )lg(222∙= 答案：D解析：此题中，由考点定位：此题考查对数的运算法则和同底数幂的乘法的运算法则；4、已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B 解析：考点定位：充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点；5、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 答案：A解析：由图可知考点定位：此题考查算法及数列的列项相消求和的方法； 6、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tanA.34 B. 43 C.43- D.34- 答案：C解析：由已知得到：考点定位：此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解能力；7、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00∙≥∙。

2013年浙江高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-= （） A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D.1i -+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】求两个复数相乘的结果【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】(-1+i)(2-i)=- 2+i+2i+1=-1+3i ，故选B.2．设集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-…，则()S T =R ð （） A ．(2,1]- B.]4,(--∞ C.]1,(-∞ D.),1[+∞ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】用描述法给出两个集合求补集的并. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵集合S ={x |x ＞-2}，∴S R ð={x |x …-2}，由2x +3x -4…0得：T={x |-4…x …1}，故(S R ð) T ={x |x …1}，故选C.3．已知y x ,为正实数，则（）A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y += C.lg lg lg lg 222x yx y =+ D.lg()lg lg 222xy x y = 【测量目标】指数幂运算.【考查方式】给出指数型的函数，化简函数. 【难易程度】容易【参考答案】D 【试题解析】因为s ta+=s a ta ，lg(xy )=lg x +lg y (x ，y 为正实数)，所以()lg 2xy =lg +lg 2x y=lg 2xlg 2y ，满足上述两个公式，故选D.4．已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出含参量的三角函数表达式，由函数是奇函数判断命题条件. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】若φ=π2，则f (x )=A cos(ωx +π2)⇒f (x )=-A sin(ωx )(A ＞0，ω＞0，x ∈R )是奇函数；若f (x )是奇函数⇒f (0)=0，∴f (0)=A cos(ω×0+φ)=A cos φ=0.∴φ=k π+π2，k ∈Z ，不一定有φ=π2，“f (x )是奇函数”是“φ=π2”必要不充分条件.故选B.5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（）A.4=aB.5=aC. 6=aD.7=a第5题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图的输出值求输入的值. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由已知可得该程序的功能是：计算并输出S =1+112⨯+…+1(1)a a +=1+1-11a +=2-11a +.若该程序运行后输出的值是95，则2-11a +=95.∴a =4，故选A.6．已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （） A.34 B. 43 C.43- D.34-【测量目标】二倍角，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出正弦和余弦的方程求解二倍角的正切. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】∵sin α+2cos α，又2sin α+2cos α=1，联立解得sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故tan α=sin cos αα =13-或tan α=3，代入可得tan2α=22tan 1tan αα-=212()311()3⨯---=34-或tan2α=22tan 1tan αα-=22313⨯-=34-.故选C.7．设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC….则（） A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠=C. AC AB =D.BC AC =【测量目标】平面向量的算量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】在三角形中给出定点在三角形中的位置，求定点与各顶点所成向量数量积的大小.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB =4，C (a ，b )，P (x ，0),则0BP =1，A (-2，0)，B (2，0)，0P (1，0),∴0P B =(1，0)，PB =(2-x ，0)，PC =(a -x ，b )，0PC =(a -1，b ),∵恒有PB PC ≥00P B PC ,∴(2-x )(a -x )≥a -1恒成立,整理可得2x - (a +2)x +a +1≥0恒成立,∴Δ=()22a +-4(a +1)≤0,即Δ=2a ≤0,∴a =0，即C 在AB 的垂直平分线上,∴AC =BC ,故△ABC 为等腰三角形,故选D.第7题图8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x k f x x k =--=，则（） A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】给出含未知量的函数表达式，判断函数何时取得极值. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】当k =2时，函数f (x )=(e x-1)2(1)x -.求导函数可得()f x '=e x 2(1)x -+2(e x -1)(x -1)=(x -1)(x e x +e x -2)，∴当x =1，()f x '=0，且当x ＞1时，()f x '＞0，当12＜x ＜1时，()f x '＜0，故函数f (x )在(1，+∞)上是增函数；在(12，1)上是减函数，从而函数f (x )在x =1取得极小值.对照选项.故选C.第8题图9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）第9题图A.2 B.3 C.23 D.26【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.【考查方式】椭圆和双曲线相交焦点和交点构成矩形，求双曲线的离心率. 【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】|1AF |=x ，|2AF |=y ，x y <∵点A 为椭圆1C ：24x +2y =1上的点，∴2a =4，b =1，c|1AF |+|2AF |=2a =4，即x +y =4①；又四边形12AF BF 为矩形，∴21AF +22AF =212F F ，即2x +2y =()22c=(2=12②，由①②得：22412x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x =2-y2x y ==-，设双曲线2C 的实轴长为12a ，焦距为12c ，则12a =|2AF |-|1AF |=y -x12c=2C 的离心率e =11c a故选D. 10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（） A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60【测量目标】空间中点、线、面之间的位置关系，二面角. 【考查方式】给出两个平面判断面面之间的位置关系. 【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】设1P =()f P α，则根据题意，得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足,∵1Q =()[]f f P βα=1()f P β，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足,同理，若2P =()f P β，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足,因此2Q =()[]f f P αβ表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足,∵对任意的点P ，恒有1PQ =2PQ ，∴点1Q 与2Q 重合于同一点,由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且∠112PQ P 是二面角α﹣l ﹣β的平面角,∵∠112PQ P 是直角，∴平面α与平面β垂直,故选A.第10 题图二、填空题 11．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出含根式的二项式，求解展开式中常数项的系数. 【难易程度】容易【参考答案】-10【试题解析】二项式5的展开式的通项公式为 1r T +=5325C (1)rr r rx x --- =15565(1)C r rr x-- .令1556r-=0，解得r =3，故展开式的常数项为-35C =-10.故答案为-10.12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________3cm .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积和体积. 【考查方式】给出几何体的三视图，求几何体的体积. 【难易程度】中等【参考答案】24【试题解析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V =V 棱柱-V 三棱锥=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24(3cm ),故答案为：24.第12题图13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，若z 的最大值为12，则实数=k ________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出可行域的不等式和目标函数的最大值，求目标函数中未知数的值. 【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】可行域如图：由24=024=0x y x y -+⎧⎨--⎩得：A (4，4)，同样地，得B (0，2)，（步骤1）①当k ＞-12时，目标函数z =kx +y 在x =4，y =4时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=4k +4，故k =2. （步骤2） ②当k ≤-12时，目标函数z =kx +y 在x =0，y =2时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=0×k +2，故k 不存在.综上，k =2.故答案为：2. （步骤3）第13题图14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出六个字母和限定条件求排法的种数. 【难易程度】中等【参考答案】480【试题解析】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可. （步骤1）当C 在左边第1个位置时，有55A =120种，当C 在左边第2个位置时2343A A =72种，（步骤2）当C 在左边第3个位置时，有2333A A +2323A A =48种，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有 480种.故答案为：480. （步骤3）15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 【测量目标】直线与抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程和直线过的定点和直线与抛物线交线的长度求直线斜率. 【难易程度】较难【参考答案】不存在【试题解析】由题意设直线l 的方程为my =x +1，联立214my x y x=+⎧⎨=⎩得到2y -4my +4=0，（步骤1）Δ=162m -16=16(2m -1)＞0.设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，Q (0x ，0y ).∴1y +2y =4m ，∴0y =122y y +=2m ，（步骤2）∴0x =m 0y -1=22m -1.∴Q (22m -1，2m )，（步骤3）由抛物线C ：2y =4x 得焦点F (1，0).∵|QF |=2=2，化为2m =1，解得m =±1，不满足Δ＞0.故满足条件的直线l 不存在. （步骤4）故答案为不存在. 16.ABC △中，90C ∠= ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 【测量目标】正弦定理和余弦定理解三角形.【考查方式】直角三角形中直角边的中点，求三角形中角的正弦值. 【难易程度】较难【参考答案】3【试题解析】如图,设AC =b ，AB =c ，CM =MB =2a，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得2sin sin ac BAM AMB=∠∠，代入数据可得21sin 3a c AMB =∠，解得2sin 3c AMB a ∠=，（步骤1）故πcos cos 2AMC β⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭=sin AMC ∠=()2sin πsin 3c AMB AMB a -∠=∠=，而在Rt △ACM 中，cos β=AC AM =23ca =，化简可得a 4-4a 2b 2+4b 4=(a 2-2b 2)=0，解之可得a，（步骤2）再由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，联立可得c，故在Rt △ABC 中，sin ∠BAC=BC a AB c ===骤3）第16题图17．设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【考查方式】给出单位向量和非零向量，求向量模的比值. 【难易程度】较难【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12 e e =1×1×cos30°=2.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴===b （步骤3）∴x====b故当x y=x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4）三、解答题18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列.（1）求n a d ,；（2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++【测量目标】等差数列的通项公式和.【考查方式】给出等比数列的首相和三项成等比数列，求通项公式，和前n 项绝对值和. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或；（步骤1）（Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n剟时，123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--∴++++=++++==…（步骤2）②当12n …时，1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)2ln 2202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n a a a a a a a a ∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=…所以，综上所述：1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧⎪⎪++++=⎨-+⎪⎪⎩ 剟…；（步骤3）19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a 【测量目标】随机事件与概率，期望和方差.【考查方式】有放回取样的分布列和已知期望和方差求个数比. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；（步骤1）当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；（步骤2）当两次摸到的球分别是红黄，黄红时(3)P ξ=，此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤3）当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时(5)P ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤4）当两次摸到的球分别是蓝蓝时P (6ξ=)，此时111(6)P ξ⨯===；（步骤5）所以ξ的分布列是： 9所以：2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.（步骤6）20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.第20题图【测量目标】空间直线与平面的位置关系，异面直线成角.【考查方式】给出四面体和直线间的位置和长度关系求解二面角大大小. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）方法一：如图，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =.因为P 是BM 中点，所以PF BD ；（步骤1）又因为3AQ QC =且3AF FD =，所以QF CD ，所以面PQF 面BDC ，且PQ ⊂面PQF ，所以PQ 面BDC ；（步骤2）第20题图方法二：如图所示，第20题图取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以12PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH C H =，且3AQ QC =，所以1142QH AD MD，（步骤1）所以PO QH 四边形PQHO 是平行四边形PQ OH ∴ ，且OH BCD ⊂面，所以PQ 面BDC ；（步骤2）（Ⅱ）如图所示，第20题图由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥面，过G 作GH BM ⊥于H ，连结CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；（步骤3）由已知得到3BM ==，设BDC α∠=，所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===，在Rt BCG △中，2s i ns i n BG BCG BG BCααα∠=∴=∴=，（步骤4）所以在Rt BHG △中，13HG =∴=，所以在Rt CHG △中tan tan 603CG CHG HG ∠==== （步骤5）tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ；（步骤6）21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD △面积取最大值时直线1l 的方程.第21题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出定点和圆的方程，由直线与椭圆、圆的位置关系求椭圆方程和直线方程. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得到1b =，且242a a =∴=，所以椭圆的方程是2214x y +=；（步骤1）（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =，（步骤2）所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==；（步骤3）由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，（步骤4）所以228||44D P k x x DP k k +=-∴==++，（步骤5）所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ====++++△23232===…（步骤6）当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立，此时直线1:1l y x =-（步骤7） 22．已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值. 【测量目标】利用导数求函数的最值问题.【考查方式】给出含有未知量的函数求函数的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得：2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-，且(1)13333f a a =-++-=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=；（步骤1）（Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -…，（步骤2）（1）当0a …时，()0f x '…，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤3）因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤4）（2）当440a ∆=-…，即1a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤5）因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤6）（3）当440a ∆=->，即01a <<时，212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<12()()4(1f x f x a -=-，所以12()|()|f x f x >，（步骤7）所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =；（步骤8）由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<，所以（ⅰ）当203a <<时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，（步骤9）因为21()(0)12(1332(1(23f x f a a a a -=+-+=--=，又因为203a <<，所以230,340a a ->->，所以1()(0)0f x f ->，所以m a x 1|()|()12(1f x f x a ==+-10）（ⅱ）当213a <…时，(2)0,(0)0f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为21()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+-+=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ① 当2334a <<时，340a->，所以1()|(2)|f x f >，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-（步骤11） ② 当314a <…时，340a-<，所以1()|(2)|f x f …，所以此时m a x|()|(2)31f x f a ==-（步骤12）综上所述：max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎩…….（步骤13）。

2013年浙江省高考理科数学试卷及答案(word解析版)

浙江卷数学（理）试题答案与解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则( R S )∪T =A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg(x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg(xy )=2lg x ∙ 2lg y【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a =4B ．a =5C ．a =6D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A 6．已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α= A ．43B ．34C ．−34D ．−43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题（第5题图）【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝⎛⎭⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 22=104，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34.7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B∙→P 0C ，则A ．∠ABC =90︒B ．∠BAC =90︒ C ．AB =ACD ．AC =BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB |−(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB|2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC 8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。

2013年高考数学试题及答案word版

2013年高考数学试题及答案word版一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1在区间[0,1]上的最大值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 已知向量a = (3, -1)，b = (2, 4)，向量a与向量b的夹角的余弦值为：A. 1/5B. 3/5C. -1/5D. -3/5答案：B3. 圆x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0的圆心坐标为：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)答案：A4. 已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，求前5项的和S5：A. 31B. 15C. 33D. 63答案：A5. 函数y = ln(x+√(x^2+1))的导数为：A. 1/(x+√(x^2+1))B. 1/(x-√(x^2+1))C. 1/(x+1)D. 1/(x-1)答案：A6. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为2，求a和b的关系：A. a = 2bB. a = b/2C. b = 2aD. b = a/2答案：C7. 已知三角形ABC的内角A、B、C满足A+B=2C，且sinA+sinB=sinC，求角C的大小：A. π/3B. π/4C. π/6D. π/2答案：A8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + m在区间[2, +∞)上单调递增，求m的取值范围：A. m ≥ -4B. m > -4C. m ≤ -4D. m < -4答案：A9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 40，S10 - S5 = 40，求S15 - S10的值：A. 60B. 40C. 20D. 0答案：A10. 已知函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d均为实数，且f(0) = 0，f'(0) = 0，f''(0) = 0，求f(1)的值：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l与x轴的交点坐标。

2013年高考数学理(浙江卷)WORD版有答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n k k k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R = h 表示台体的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1，已知i 是虚数单位，则()()12i i -+-=2， A ，3i -+ B ，13i -+ C ，33i -+ D ，1i -+3，设集合{}{}22,340S x x T x x x =>-=+-≤，则()R C S T =U A ，(]2,1- B ，(],4-∞- C ，(],1-∞ D ，[)1,+∞3，已知,x y 为正实数，则A ，lg lg lg lg 222x y x y +=+ B ，()lg lg lg 222x y x y +=g C ，lg lg lg lg 222x yx y =+g D ，()lg lg lg 222xy x y =g 4，已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的A ，充分不必要条件B ，必要不充分条件C ，充分必要条件D ，既不充分也不必要条件5，某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则 A ，4a = B ，5a = C ，6a = D ，7a =6，已知,sin 2cos R ααα∈+=，则tan 2α= A ，43 B ，34 C ，34- D ，43- 7，设ABC V ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边 AB 上任一点，恒有00PB PC P B PC ≥uu r uu u r uuu r uuu r g g ，则 A ，90ABC ∠=o B ，90BAC ∠=o C ，AB AC = D ，AC BC =8，已知e 为自然对数的底数，设函数()()()()111,2k x f x e x k =--=，则A ，当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值B ，当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值C ，当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值D ，当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值9，如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是A B C ，32 D ，210，在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记().B f A π=设,αβ是两个不同的平面，对空间任意一点P ，()()12,Q f f P Q f f P βααβ⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎣⎦，恒有12PQ PQ =，则A ，平面α与平面β垂直B ，平面α与平面β所成的（锐）二面角为45oC ，平面α与平面β平行D ，平面α与平面β所成的（锐）二面角为60o2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．11，设二项式5的展开式中常数项为A ，则A = 12，某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 3cm13，设z k x y =+，其中,x y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k =14，将,,,,,A B C D E F六个字母排成一排，且,A B 均在C 的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）15，设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点()1,0P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若2FQ =，则直线l 的斜率等于 16，在ABC V 中，90C ∠=o ，M 是BC 的中点。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数 Word版含答案

2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-【答案】C2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【答案】B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-【答案】B5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x的最大值为2(D)()f x 既奇函数,又是周期函数【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x=+的图象大致为【答案】D8 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π【答案】A9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））04cos50tan 40-=( )1 【答案】C11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π【答案】D12．（2013年高考湖北卷（理））将函数()sin yx x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12π B.6π C.3π D.56π【答案】B 二、填空题13．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））ABC∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.【答案】14．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】. 15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【答案】16．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_____________ 【答案】2π17．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.【答案】18．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=【答案】2sin()3x y +=. 19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos3C π=- 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.【答案】21．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.【答案】π22．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B === ，，,则b=_______【答案】723．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π3224．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.【答案】5-25．（2013年高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.【答案】π26．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cosy x x =+的最大值是_______________ 【答案】5三、解答题27．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(II)由(I)知cos 3A =,所以s i n 3A ==.又因为∠B=2∠A,所以21c o s 2c o s 13B A =-=.所以sin 3B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a Cc A==.28．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ)()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . 所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在ABC 中,内角,,A B C的对边分别是,,a b c ,且222a b c ++=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==,求tan α的值. 【答案】由题意得30．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数2()s i n 26s i n co s 2co s 41,f x xx x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】31．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值【答案】32．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.【答案】(1)因为0ω>,根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈,即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π,故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=. 33．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B(II)若1sin sin 4A C =,求C . 【答案】34．（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232coscos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin 2b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为cos BA B =35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,sin 9B ==,由正弦定理得sin sin 3a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.【答案】解:(Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =(Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况令cos 2()sin xh x x=-,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯=综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ= ＝，,παβ<<<0.(1)若||a b - ,求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =,若a b c += ,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=-b a ∴2||2=-b a 即()22222=+-=-,又∵1sin cos ||2222=+==ααa a ,1sin cos ||2222=+==ββb b ∴222=-∴0=b a ∴b ⊥a(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0∴πβπα61,65==39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()f α=求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解:(I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB== (2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内 CBA法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =3537 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043m/min.若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514 m/min.故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.42．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴== 43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△ABC 在CBADMN内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.【答案】44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得2PA=o 1132cos3042+-=74; (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得osin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=, ∴tan αtan PBA ∠. 45．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *∈. (1)若31arctan3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.[解](1) (2)【答案】[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,12n n x -=.由31arctan 3θ=,知31tan 3θ=,而3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅, 所以241323t t =+,解得4t =或8t =. 故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，. (2)由题意,点n P 的坐标为1(20)n -，,1tan n n OAP -∠=.111212tan tan()1n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===.n +≥,所以tan n θ≤=当且仅当2nn=,即4n =时等号成立. 易知0 tan 2n y x πθ<<=，在(0 )2π，上为增函数, 因此,当4n =时,n θ最大,其最大值为arctan4. 46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B =因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3B π=. (2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.。

2013年高考(新课标全国二卷)理科数学高清修正word版

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}3,2,1,0,1{},,4)1({2-=∈<-=N R x x x M ,则=N M ( )(A)}2,1,0{ (B)}2,1,0,1{- (C)}3,2,0,1{- (D)}3,2,1,0{（2）设复数z 满足i z i 2)1(=-，则z =( )(A)i +-1 (B)i --1 (C)i +1 (D)i -1（3）等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知，95=a ，则=1a ( ) (A)31 (B)31- (C)91 (D)91- （4）已知n m ,为异面直线，α⊥m ，β⊥n 。

直线l 满足l ⊥m ，βα⊄⊄⊥l l n l ,,，则( )(A)βα//且α//l (B)βα⊥且β⊥l(C)α与β相交，且交线垂直于l (D)α与β相交，且交线平行于l（5）已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a ( )(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的10=N ，那么输出的=s ( ) (A)10131211++++(B)!101!31!211++++ (C)11131211++++ (D)!111!31!211++++（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是)1,0,1(，)0,1,1(， )1,1,1(，)0,0,0(画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设6log 3=a ,10log 5=b ,14log 7=c 则( )(A)a b c >> (B)a c b >> (C)b c a >> (D)c b a >>（9）已知y x a ,,0>满足条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ,若y x z +=2的最小值为1，则=a ( ) (A)41 (B)21 (C)1 (D)2(10)已知函数c bx ax x x f +++=23)(,则下列结论中错误的是( )(A)0)(,00=∈∃x f R x(B)函数)(x f y =的图像是中心对称图形(C)若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减 (D)若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0='x f(11)设抛物线C px y 32=,)0(>p 的焦点为F ，点M 在C 上，5=MF 若以MF 为直径的园过点)3,0(，则C 的方程为( )(A)x y 42=或x y 82= (B)x y 22=或x y 82=(C)x y 42=或x y 162= (D x y 22=或x y 162=（12）已知点)1,0(),0,1(),0,1(C B A -,直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )(A))1,0( (B))21,221(- (C))31,221(- (D))21,31[第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013年高考真题——理科数学(新课标1卷)Word版无答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。

直线l满足l ⊥m，l ⊥n，lβ，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A ）1++ +…+（B ）1++ +…+ （C ）1++ +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a= (A) (B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16xx ≥1,x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则（）（A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）B A ⊆ （D ）A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->，∴0x <或2x >．由图象可以看出A B =R ，故选B ．（2）【2013年全国Ⅰ，理2，5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为（）（A ）4- （B ）45- （C ）4 （D ）45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+．故z 的虚部为45，故选D ．（3）【2013年全国Ⅰ，理3，5分】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）（A ）简单随机抽样（B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样（D ）系统抽样【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样，故选C ．（4）【2013年全国Ⅰ，理4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===．∴224a b =，1=2b a ±． ∴渐近线方程为12b y x x a =±±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，理5，5分】执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（）（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-，则执行3s t =，故[)3,3s ∈-．若[]1,3t ∈，则执行24s t t =-，其对称轴为2t =．故当2t =时，s 取得最大值4．当1t =或3时，s 取得最小值3，则[]3,4s ∈．综上可知，输出的[]3,4s ∈-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅰ，理6，5分】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）（A ）35003cm π （B ）38663cm π （C ）313723cm π（D ）320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题可知R ，2R -，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA ∆为直角三角形，如图，2BC =，4BA =，2OB R =-，OA R =，由()22224R R =-+，得5R =，所以球的体积为34500533ππ=(cm 3)，故选B ．（7）【2013年全国Ⅰ，理7，5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】∵12m S -=-，0m S =，13m S +=，∴()1022m m m a S S -=-=--=，11303m m m a S S ++=-=-=．∴1321m m d a a +=-=-=．∵()11102m m m S ma -=+⨯=，∴112m a -=-．又∵1113m a a m +=+⨯=，∴132m m --+=．∴5m =，故选C ．（8）【2013年全国Ⅰ，理8，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径2r =，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．（9）【2013年全国Ⅰ，理9，5分】设m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ， ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =（）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】由题意可知，2m m a C =，21mm b C +=，又∵137a b =，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+．解得6m =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅰ，理10，5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（）（A ）2214536x y +=（B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为()1,1-，∴122y y +=-，122x x +=，而1212011=312AB y y k x x --(-)==--， ∴221=2b a ．又∵229a b -=，∴218a =，29b =．∴椭圆E 的方程为22=1189x y +，故选D ．（11）【2013年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x a x ≥|，则a 的取值范围是（）（A ）(],0-∞ （B ）(],1-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知：①当0x >时，y ax =只有0a ≤时，才能满足()f x ax ≥，可排除B ，C ．②当0x ≤时，()2222y f x x x x x ==-+=-．故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥．当0x =时，不等式为00≥成立．当0x <时，不等式等价于2x a -≤．∵22x -<-，∴2a ≥-．综上可知：[]2,0a ∈-，故选D ．（12）【2013年全国Ⅰ，理12，5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3.n =⋯，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（）（A ）{}n S 为递减数列（B ）{}n S 为递增数列（C ）{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列（D ）{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，理13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ．若·0=b c ，则t = ．【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ，∴()2··1t t =+-bc ab b ．又∵1==a b ，且a 与b 夹角为60°，⊥b c ， ∴()0 601t cos t =︒+-a b ，1012t t =+-．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，理14，5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a = ．【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+，① ∴当2n ≥时，112133n n S a --=+．② ①-②，得12233n n n a a a -=-，即12n n aa -=-．∵1112133a S a ==+，∴11a =．∴{}n a 是以1为首项，-2为公比的等比数列，()12n n a -=-．（15）【2013年全国Ⅰ，理15，5分】设当x θ=时，函数()2f x sinx cosx =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-，令cos α=，sin α=，则()()f x x α=+，当22()x k k ππα=+-∈Z 时，()sin x α+有最大值1，()f x，即22()k k πθπα=+-∈Z ，所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（16）【2013年全国Ⅰ，理16，5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为．【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，∴()f x 满足()()04f f =-，()()13f f -=-，即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩，得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++．由()324242880f x x x x '=---+=，得12x =-22x =-，32x =-．易知，()f x在(,2-∞-上为增函数，在()22--上为减函数，在(2,2--上为增函数，在()2-+-∞上为减函数．∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故f (x )的最大值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，理17，12分】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒．（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．解：（1）由已知得60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒．在PBA ∆中，由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=．故PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=．在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．所以tan α，即tan PBA ∠= （18）【2013年全国Ⅰ，理18，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒．（1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OA C ．又1A C 平面1OA C ，故1AB A C ⊥．（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面11AA B B ，故OA ，1OA ，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设知()1,0,0A，1()0A ，(0,0C ，()1,0,0B -．则(1,03BC =，11()BB AA =-=，(10,A C = ．设()n x y z =，，是平面11BB C C 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-．故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ ．所以1A C 与平面11BB C C．（19）【2013年全国Ⅰ，理19，12分】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B = ，且11A B 与22A B 互斥，所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+．（2）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()500116P X ==，()80140P X ==．所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=．（20）【2013年全国Ⅰ，理20，12分】已知圆()2211M x y ++=：，圆()2219N x y -+=：，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ．解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为(),P xy ，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重合，可得AB =l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M ，解得k =．当k =时，将y =+22=13x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =． 2118|7AB x x =-=．当k =时，由图形对称性可知187AB =．综上，AB =187AB =．（21）【2013年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（1）由已知得()02f =，()02g =，()04f '=，()04g '=．而()2f x x a '=+，()()x g x e cx d c '=++，故2b =，2d =，4a =，4d c +=．从而4a =，2b =，2c =，2d =．（2）由（1）知，()242f x x x =++，()()21x g x e x =+．设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---，()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-．()00F ≥ ，即1k ≥．令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-． ①若21k e ≤<，则120x -<≤．从而当12()x x ∈-，时，()0F x '<；当1()x x ∈+∞，时，()0F x '>．即()F x 在1(2)x -，单调递减，在1()x +∞，单调递增．故()F x 在[)2-+∞，的最小值为()1F x ．而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ②若2k e =，则()()()2222x F x e x e e -'=+-．∴当2x >-时，()0F x '>，即()F x 在()2-+∞，单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ③若2k e >，则()()22222220F k eek e ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1]e ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D ．（1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径．解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。

2013年高考理数真题试卷(浙江卷)及解析

2013年高考理数真题试卷（浙江卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题（题型注释）1.已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A.﹣3+iB.﹣1+3iC.﹣3+3iD.﹣1+iS）∪T=（）2.设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RA.（﹣2，1]B.（﹣∞，﹣4]C.（﹣∞，1]D.[1，+∞）3.已知x，y为正实数，则（）A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg（x+y）=2lgx•2lgyC.2lgx•lgy=2lgx+2lgyD.2lg（xy）=2lgx•2lgy4.已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=π”的（）2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案第2页，总15页…○…………外……………………订…………○…………线…………○订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内……………………订…………○…………线…………○5.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 95 ，则（）A.a=4B.a=5C.a=6D.a=76.设△ABC，P 0是边AB 上一定点，满足 P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有 PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →则（）A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC7.已知e 为自然对数的底数，设函数f （x ）=（e x ﹣1）（x ﹣1）k （k=1，2），则（） A.当k=1时，f （x ）在x=1处取得极小值 B.当k=1时，f （x ）在x=1处取得极大值 C.当k=2时，f （x ）在x=1处取得极小值 D.当k=2时，f （x ）在x=1处取得极大值 8.如图F 1、F 2是椭圆C 1： x 24 +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（）A.√2…………○…………订名：___________班级：___________考…………○…………订 B.√3 C.32 D.√629.在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B=f π（A ）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1=f β[f α（P ）]，Q 2=f α[f β（P ）]，恒有PQ 1=PQ 2 ，则（） A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）10.设二项式 (√x −1√x3)5的展开式中常数项为A ，则A= ．11.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 cm 3 ．12.设z=kx+y ，其中实数x ，y 满足 {x +y −2≥0x −2y +4≥02x −y −4≤0，若z 的最大值为12，则实数k= ．13.将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）14.设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过点P （﹣1，0）的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l 的斜率等于．15.设 e 1→ 、 e 2→ 为单位向量，非零向量 b → =x e 1→ +y e 2→ ，x 、y∈R．若 e 1→ 、 e 2→的夹角为30°，则 |x||b →|的最大值等于．三、解答题（题型注释）16.在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1 ， 2a 2+2，5a 3成等比数列．（1）求d ，a n ；（2）若d ＜0，求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |．17.设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．答案第4页，总15页……○…………装…………○…………订…………○…………线…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………装…………○…………订…………○…………线…（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若 Eη=53,Dη=59，求a ：b ：c ．18.如图，在四面体A ﹣BCD 中，AD⊥平面BCD ，BC⊥CD，AD=2，BD=2 √2 ．M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ=3QC ．（1）证明：PQ∥平面BCD ；（2）若二面角C ﹣BM ﹣D 的大小为60°，求∠BDC 的大小． 19.如图，点P （0，﹣1）是椭圆C 1： x 2a 2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2+y 2=4的直径，l 1 ， l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A 、B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D ．（1）求椭圆C 1的方程；（2）求△ABD 面积的最大值时直线l 1的方程． 20.已知a∈R，函数f （x ）=x 3﹣3x 2+3ax ﹣3a+3．（1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f （x ）|的最大值．……○…………装………………线……学校:___________姓名：____……○…………装………………线……参数答案1.B【解析】1.解：（﹣1+i ）（2﹣i ）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i ，故选B ．【考点精析】关于本题考查的复数的乘法与除法，需要了解设则；才能得出正确答案．2.C【解析】2.解：∵集合S={x|x ＞﹣2}， ∴∁R S={x|x≤﹣2}，T={x|x 2+3x ﹣4≤0}={x|﹣4≤x≤1}，故（∁R S ）∪T={x|x≤1} 故选C ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用集合的全集运算和交、并、补集的混合运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ；求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 3.D【解析】3.解：因为a s+t =a s •a t ， lg （xy ）=lgx+lgy （x ，y 为正实数），所以2lg （xy ）=2lgx+lgy =2lgx •2lgy ，满足上述两个公式，故选D ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用对数的运算性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握①加法：②减法：③数乘：④⑤．4.B【解析】4.解：若φ= π2 ，则f （x ）=Acos （ωx+ π2 ）⇒f （x ）=﹣Asin （ωx）（A ＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；若f （x ）是奇函数， ⇒f （0）=0，答案第6页，总15页………外…………○…………装…………○………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线………内…………○…………装…………○………∴φ=kπ+ π2 ，k∈Z，不一定有φ= π2“f（x ）是奇函数”是“φ= π2 ”必要不充分条件．故选B ． 5.A【解析】5.解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1+ 11×2 +…+ 1a(a+1) =1+1﹣ 1a+1 =2﹣ 1a+1 ．若该程序运行后输出的值是 95 ，则 2﹣ 1a+1 = 95 ．∴a=4，故选A ．【考点精析】利用程序框图对题目进行判断即可得到答案，需要熟知程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明． 6.D【解析】6.解：设| AB →|=4，则| P 0B →|=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，PB →⋅PC →=| PH →|•| PB →|=| PB →|2﹣（a +1）| PB →|，P 0B → • P 0C →=﹣a ，于是 PB → • PC → ≥ P 0B → •• P 0C →恒成立，整理得| PB →|2﹣（a +1）| PB →|+a ≥0恒成立，只需△=（a +1）2﹣4a =（a ﹣1）2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC=BC ．故选：D ．7.C………订…………○…………线…………○…___________考号：___________………订…………○…………线…………○…【解析】7.解：当k=1时，函数f （x ）=（e x ﹣1）（x ﹣1）．求导函数可得f'（x ）=e x （x ﹣1）+（e x ﹣1）=（xe x﹣1）， f'（1）=e ﹣1≠0，f'（2）=2e 2﹣1≠0，则f （x ）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，当k=2时，函数f （x ）=（e x ﹣1）（x ﹣1）2 ．求导函数可得f'（x ）=e x （x ﹣1）2+2（e x ﹣1）（x ﹣1）=（x ﹣1）（xe x +e x ﹣2），∴当x=1，f'（x ）=0，且当x ＞1时，f'（x ）＞0，当x 0＜x ＜1时（x 0为极大值点），f'（x ）＜0，故函数f （x ）在（1，+∞）上是增函数；在（x 0 ， 1）上是减函数，从而函数f （x ）在x=1取得极小值．对照选项．故选C ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握极值反映的是函数在某一点附近的大小情况． 8.D【解析】8.解：设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，∵点A 为椭圆C 1： x 24+y 2=1上的点， ∴2a=4，b=1，c= √3 ；∴|AF 1|+|AF 2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF 1BF 2为矩形，∴ |AF 1|2+ |AF 2|2= |F 1F 2|2，即x 2+y 2=（2c ）2= (2√3)2 =12，②由①②得： {x +y =4x 2+y 2=12，解得x=2﹣ √2 ，y=2+ √2 ，设双曲线C 2的实轴长为2m ，焦距为2n ，则2m=|AF 2|﹣|AF 1|=y ﹣x=2 √2 ，2n=2c=2 √3 ， ∴双曲线C 2的离心率e= n m = √3√2 = √62 ．故选D ． 9.A【解析】9.解：设P 1=f α（P ），则根据题意，得点P 1是过点P 作平面α垂线的垂足 ∵Q 1=f β[f α（P ）]=f β（P 1），∴点Q 1是过点P 1作平面β垂线的垂足同理，若P 2=f β（P ），得点P 2是过点P 作平面β垂线的垂足答案第8页，总15页…………外…………○…………装订…………○…………线…………○※※请※※不※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装订…………○…………线…………○∵对任意的点P ，恒有PQ 1=PQ 2 ， ∴点Q 1与Q 2重合于同一点由此可得，四边形PP 1Q 1P 2为矩形，且∠P 1Q 1P 2是二面角α﹣l ﹣β的平面角 ∵∠P 1Q 1P 2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A【考点精析】掌握空间中直线与平面之间的位置关系和平面与平面之间的位置关系是解答本题的根本，需要知道直线在平面内—有无数个公共点；直线与平面相交—有且只有一个公共点；直线在平面平行—没有公共点；两个平面平行没有交点；两个平面相交有一条公共直线． 10.﹣10【解析】10.解：二项式 (√x −1√x3)5的展开式的通项公式为 T r+1= C 5r• x5−r2•（﹣1）r• x−r 3=（﹣1）r• C 5r• x15−5r6 ．令15−5r6=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣ C 53=﹣10，所以答案是﹣10． 11.24【解析】11.解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图： V=V 棱柱﹣V 棱锥= 12×3×4×5−13×12×3×4×3 =24（cm 3）所以答案是：24．【考点精析】本题主要考查了由三视图求面积、体积的相关知识点，需要掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积才能正确解答此题． 12.2…装…………○…………订…………○…………线…………○…____姓名：___________班级：___________考号：___________…装…………○…………订…………○…………线…………○…【解析】12.解：可行域如图：由 {x −2y +4=02x −y −4=0得：A （4，4），同样地，得B （0，2），z=kx+y ，即y=﹣kx+z ，分k ＞0，k ＜0两种情况．当k ＞0时，目标函数z=kx+y 在A 点取最大值，即直线z=kx+y 在y 轴上的截距z 最大，即12=4k+4，得k=2；当k ＜0时，①当k ＞﹣ 12 时，目标函数z=kx+y 在A 点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k ≤−12 时，目标函数z=kx+y 在B 点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=0×k+2，故k 不存在．综上，k=2．所以答案是：2．13.480【解析】13.解：按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C 在左边第1个位置时，有A55，当C 在左边第2个位置时，A 和B 有C 右边的4个位置可以选，有A 42A33，当C 在左边第3个位置时，有A32A33+A22A 33，共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有480种．所以答案是：480． 14.不存在答案第10页，总15页……○…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※……○…………装…………○…………订…【解析】14.解：由题意设直线l 的方程为my=x+1，联立 {my =x +1y 2=4x得到y 2﹣4my+4=0，△=16m 2﹣16=16（m 2﹣1）＞0．设A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），Q （x 0 ， y 0）． ∴y 1+y 2=4m ，∴ y 0=y 1+y 22=2m ，∴x 0=my 0﹣1=2m 2﹣1．∴Q（2m 2﹣1，2m ），由抛物线C ：y 2=4x 得焦点F （1，0）．∵|QF|=2，∴ √(2m 2−2)2+(2m)2=2 ，化为m 2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l 不存在．所以答案是不存在．【考点精析】解答此题的关键在于理解直线的斜率的相关知识，掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tanα． 15.2【解析】15.解：∵ e 1→ 、 e 2→ 为单位向量， e 1→ 和 e 2→ 的夹角等于30°，∴ e 1→⋅e 2→=1×1×cos30°= √32 ．∵非零向量 b →=x e 1→ +y e 2→ ，∴| b → |= √b →2 == ，∴ |x||b| === = ，故当 yx =﹣ √32 时， |x||b| 取得最大值为2，所以答案是 2．【考点精析】本题主要考查了数量积表示两个向量的夹角的相关知识点，需要掌握设、都是非零向量，，，是与的夹角，则才能正确解答此题． 16.（1）解：由题意得 5a 3⋅a 1=(2a 2+2)2 ，即 5(a 1+2d)⋅a 1=(2a 1+2d +2)2 ，整理得d 2﹣3d ﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n =a 1+（n ﹣1）d=10﹣（n ﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n =a 1+（n ﹣1）d=10+4（n ﹣1）=4n+6．所以a n =﹣n+11或a n =4n+6；（2）解：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d ＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n =﹣n+11．…订…………○……_____考号：___________…订…………○……则当n≤11时， |a 1|+|a 2|+|a 3|+...+|a n |=S n =−12n 2+212n ．当n≥12时，|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=﹣S n +2S 11= 12n 2−212n +110 ．综上所述，|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |= {−12n 2−212n,n ≤11−12n 2−212n +110,n ≥12．【解析】16.（1）直接由已知条件a 1=10，且a 1 ， 2a 2+2，5a 3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n 可求；（2）利用（1）中的结论，得到等差数列{a n }的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d ＜0时|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |的和．【考点精析】掌握等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n 项和是解答本题的根本，需要知道通项公式：或；数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系．17.（1）解：由题意得ξ=2，3，4，5，6， P （ξ=2）= 3×36×6 = 14 ；P （ξ=3）= 2×3×26×6 = 13 ；P （ξ=4）= 2×3×1+2×26×6 = 518； P （ξ=5）=2×2×16×6 = 19 ；P （ξ=6）= 1×16×6 = 136． Eη=aa+b+c+2ba+b+c +3ca+b+c = 53Dη=（1﹣ 53 ）2 aa+b+c +（2﹣ 53 ）2 ba+b+c +（3﹣ 53 ）2 c a+b+c = 59 ．得 {2a −b −4c =0a +4b −11c =0，解得a=3c ，b=2c ，故a ：b ：c=3：2：1．答案第12页，总15页………外…………○※………内…………○【解析】17.（1）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求ξ的分布列；（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．【考点精析】通过灵活运用离散型随机变量及其分布列，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn ，X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列即可以解答此题． 18.（1）取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF=3CF ，连接OP 、OF 、FQ ∵△ACD 中，AQ=3QC 且DF=3CF ，∴QF∥AD 且QF= 14 AD ∵△BDM 中，O 、P 分别为BD 、BM 的中点∴OP∥DM，且OP= 12 DM ，结合M 为AD 中点得：OP∥AD 且OP= 14 AD ∴OP∥QF 且OP=QF ，可得四边形OPQF 是平行四边形 ∴PQ∥OF∵PQ ⊄平面BCD 且OF ⊂平面BCD ，∴PQ∥平面BCD ；（2）过点C 作CG⊥BD，垂足为G ，过G 作GH⊥BM 于H ，连接CH ∵AD⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ，∴AD⊥CG 又∵CG⊥BD，AD 、BD 是平面ABD 内的相交直线 ∴CG⊥平面ABD ，结合BM ⊂平面ABD ，得CG⊥BM ∵GH⊥BM，CG 、GH 是平面CGH 内的相交直线 ∴BM⊥平面CGH ，可得BM⊥CH因此，∠CHG 是二面角C ﹣BM ﹣D 的平面角，可得∠CHG=60° 设∠BDC=θ，可得Rt△BCD 中，CD=BDcosθ=2 √2 cosθ，CG=CDsinθ=2 √2 sinθcosθ，BG=BCsinθ=2 √2 sin 2θRt△BMD 中，HG=BG⋅DM BM = 2√23sin 2θ ；Rt△CHG 中，tan∠CHG= CGGH = 3cosθsinθ=√3∴tanθ= √3 ，可得θ=60°，即∠BDC=60°【解析】18.（1）取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF=3CF ，连接OP 、OF 、FQ ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF 是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD ；（2）过点C 作CG⊥BD，垂足为G ，过G 作GH⊥BM 于H ，连接CH ．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG 是二面角C ﹣BM ﹣D 的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG 和CG 关于θ的表达式，最后在Rt△CHG 中，根据正切的定义得出tan∠CHG= CGGH = √3 ，从而得到tanθ= √3 ，由此可得∠BDC．【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案． 19.（1）解：由题意可得b=1，2a=4，即a=2． ∴椭圆C 1的方程为 x 24+y 2=1 ；（2）解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0）．由题意可知：直线l 1的斜率存在，设为k ，则直线l 1的方程为y=kx ﹣1．又圆 C 2:x 2+y 2=4 的圆心O （0，0）到直线l 1的距离d=√k 2+1．∴|AB|= 2 = 2√4k 2+3k 2+1．又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x+ky+k=0，联立 {x +ky +k =0x 2+4y 2=4，消去y 得到（4+k 2）x 2+8kx=0，解得 x 0=−8k 4+k 2，∴|PD|=8√k 2+14+k 2．∴三角形ABD 的面积S △= 12|AB||PD| = 8√4k 2+34+k 2，令4+k 2=t ＞4，则k 2=t ﹣4， f （t ）= √4(t−4)+3t= √t−13t2 = √−13(1t −213)2+413≤√413 ，∴S △=16√313，当且仅 t =132，即 k 2=52 ，当 k =±√102时取等号，故所求直线l 1的方程为 y =±√102x −1 ．【解析】19.（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A （x 1 ， y 1），答案第14页，总15页……线…………○……线…………○程为y=kx ﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O 到直线l 1的距离和弦长|AB|，又l 2⊥l 1 ，可得直线l 2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D 的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD 的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k 的值．【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：．20.（1）解：因为f （x ）=x 3﹣3x 2+3ax ﹣3a+3，所以f′（x ）=3x 2﹣6x+3a ，故f′（1）=3a ﹣3，又f （1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a ﹣3）x ﹣3a+4；（2）解：由于f′（x ）=3（x ﹣1）2+3（a ﹣1），0≤x≤2．故当a≤0时，有f′（x ）≤0，此时f （x ）在[0，2]上单调递减，故 |f （x ）|max =max{|f （0）|，|f （2）|}=3﹣3a ．当a≥1时，有f′（x ）≥0，此时f （x ）在[0，2]上单调递增，故 |f （x ）|max =max{|f （0）|，|f （2）|}=3a ﹣1．当0＜a ＜1时，由3（x ﹣1）2+3（a ﹣1）=0，得 x 1=1−√1−a ， x 2=1+√1−a ．所以，当x∈（0，x 1）时，f′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；当x∈（x 1，x 2）时，f′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；当x∈（x 2，2）时，f′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．所以函数f （x ）的极大值 f(x 1)=1+2(1−a)√1−a ，极小值 f(x 2)=1−2(1−a)√1−a ．故f （x 1）+f （x 2）=2＞0， f(x 1)−f(x 2)=4(1−a)√1−a >0 ．从而f （x 1）＞|f （x 2）|．所以|f （x ）|max =max{f （0），|f （2）|，f （x 1）}．当0＜a ＜ 23 时，f （0）＞|f （2）|．又 f(x 1)−f(0)=2(1−a)√1−a −(2−3a) = 22(1−a)√1−a+2−3a>0故 |f(x)|max =f(x 1)=1+2(1−a)√1−a ．当 23≤a <1 时，|f （2）|=f （2），且f （2）≥f（0）．又 f(x 1)−|f(2)|=2(1−a)√1−a −(3a −2) = 22(1−a)√1−a+3a−2 ．所以当 23≤a <34 时，f （x 1）＞|f （2）|．故 |f(x)|max =f(x 1)=1+2(1−a)√1−a ．…订…………○………_____考号：___________…订…………○………当 34≤a <1 时，f （x 1）≤|f（2）|．故f （x ）max =|f （2）|=3a ﹣1．综上所述|f （x ）|max = {3−3a,a ≤01+2(1−a)√1−a,0<a <343a −1,a ≥34．【解析】20.（1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f （1），由直线方程的点斜式写出切线方程；（2）求出原函数的导函数，分a≤0，0＜a ＜1，a≥1三种情况求|f （x ）|的最大值．特别当0＜a ＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a 的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小．【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．。

2013年高考(新课标I卷)理科数学试卷(word版精编精校含答案详解)供河北、河南、山西、陕西使用

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标I 卷）使用省份：河北、河南、山西、陕西注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知集合{}022>-=x x x A ，{}55B <<-=x x ，则（A ）=B A ∅ （B ）R =B A （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆（2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A ）简单的随机抽样（B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样（D ）系统抽样（4）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=（5）执行右面的程序框图，如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于（A ）[]43，- （B ）[]25，- （C ）[]34，- （D ）[]52，-（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 32048π（7）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）8π16+（B ）8π8+（C ）π6116+（D ）16π8+（9）设m 为正整数，()m y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ，()12++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m ＝（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。

2013年高考真题——理科数学(全国卷大纲版)精校版 Word版无答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（2）()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i （3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）-3 （C ）2- （D ）-1 （4）已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（5）函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> （6）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（7）()()342211+x y x y +的展开式中的系数是（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168（8）椭圆22122:1,,46x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（9）若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，则的取值范围是（A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1，（C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+ （10）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B）3 （C）3（D ）13 （11）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12 （B）2（C（D ）2 （12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中正确的是（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称（B ）()2y f x x π==的图像关于对称（C ）()f x （D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知1sin ,cot 3a a a =-=是第三象限角，则 . （14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）（15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若sin sin C.A C =求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆ 中，，与都是等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求二面角.A PD C --的大小20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.21．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列22．（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+（I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：。

2013年高考理科数学浙江卷试题及答案解析(K12教育文档)

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2013年浙江高考理科数学试题及答案解析选择题部分(共50分)一、选择题：每小题5分,共50分．1．已知i 是虚数单位,则（−1+i)（2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i 【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S =｛x ｜x 〉−2}，T ={x ｜x 2+3x −4≤0}，则(R S ）∪T =A ．（−2，1]B ．（−∞，−4］C ．(−∞,1］D ．［1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算,属于容易题【答案解析】C 因为（R S )=｛x |x ≤−2｝,T ={x ｜−4≤x ≤1｝，所以(R S )∪T =(−∞，1］。

3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg （x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg （xy )=2lg x ∙ 2lg y 【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质,属于容易题【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x ）=A cos(ωx +φ)（A 〉0,ω>0,φR )，则“f （x ）是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f (x ）是奇函数可知f (0)=0,即cos φ=0,解出φ=错误!+k π，k Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是错误!,则 A ．a =4 B ．a =5 C ．a =6 D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图,属于容易题【答案解析】A6．已知αR ，sin α+2cos α=错误!，则tan2α= A ．错误! B ．错误! C ．−错误! D ．−错误!【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样,属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=错误!可得错误!=错误!，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−错误!,于是tan2α=错误!=−错误!. 7．设△ABC ,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B =错误!AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有错误!∙错误!≥错误!∙错误!，则A ．ABC =90B ．BAC =90 C ．AB =ACD ．AC =BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设｜错误!|=4，则｜错误!｜=1，过点C 作AB的垂线,垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，错误!∙错误!=｜错误!|｜错误!|=（错误! −（a +1)）|错误!｜，错误!∙错误!=−｜错误!｜｜错误!|=−a ，于是错误!∙错误!C开始S =1，k =1k >a ?S =S +1k (k +1)k =k+1 输出S结束是否（第5题图）≥错误!∙错误!恒成立，相当于(错误!−（a +1)）｜错误!｜≥−a 恒成立，整理得|错误!|2−(a +1）｜→，PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =（a −1)2≤0即可,于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=（e x −1)(x −1）k (k =1,2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f （x ）在x =1处取到极大值 C ．当k =2时,f （x ）在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f （x ）在x =1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x ）=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f （x )的大致图象，于是选项A,B 错误；当k =2时，方程f （x ）=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x ）的大致图象，易知选项C 正确。

2013年高考理科数学试题(新课标II卷)(纯WORD,精心校对)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合},4)1(|{2R x x x M ∈<-=，1{-=N ，0，1，2，3}，则M ∩=N(A)｛0，1，2｝ (B)｛-1，0，1，2｝(C){-1，0，2，3} (D){0，1，2，3}(2)设复数z 满足i z i 2)1(=-，则=z(A)i +-1 (B)i --1 (C)i +1 (D)i -1(3)等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a (A) 31 (B)31- (C) 91 (D)91- (4)已知m ，n 为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥， l ⊄α，l β⊄，则(A)βα//且α//l (B)βα⊥且β⊥l(C)α与β相交，且交线垂直于l (D)α与β相交，且交线平行于l(5)已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a(A) -4 (B)-3 (C)-2 (D)-1(6)执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的=S (A)101...31211++++ (B)!101...!31!211++++ (C) 111...31211++++ (D) !111...!31!211++++ (7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz o -中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)(8)设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则(A)a b c >> (B)a c b >> (C)b c a >> (D)c b a >>(9)已知0>a ，x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥).3(31x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1，则=a (A)41 (B) 21 (C) 1 (D) 2(10)已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是(A)R x ∈∃0，0)(0=x f(B)函数)(x f y =的图像是中心对称图形(C)若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减(D)若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0'=x f(11)设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为(A)x y 42=或x y 82= (B)x y 22=或x y 82=(C)x y 42=或x y 162= (D)x y 22=或x y 162=(12)已知点A(-1，0) B(1，0),C(0，1)，直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是(A) (0，1) (B) )21,221(- (C) ]31,221(- (D) )21,31[ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则=∙_______.(14)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为141，则=n ________. (15)设θ为第二象限角，若21)4tan(=+πθ，则=+θθcos sin _________. (16)等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知S 10=0，S 15 =25，则n nS 的最小值为________.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=.(I)求B ；(II)若2=b ，求ABC ∆面积的最大值.(18) (本小题满分12分)如图，直棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，AB CB AC AA 221===. (I)证明：//1BC 平面CD A 1； (II)求二面角E C A D --1的正弦值.(19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位：t ，)150100≤≤X 表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(I)将T 表示为X 的函数； (II)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(III)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，市场需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若)110,100[∈X ，则取105=X ，且105=X 的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望.(20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xoy 中，过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ,B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21. (I)求M 的方程；(II)C ,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.(21)(本小题满分12分)已知函数)ln()(m x e x f x +-=.(I)设0=x 是)(x f 的极值点，求m ,并讨论)(x f 的单调性；(II)当2≤m 时，证明0)(>x f .请考生在第22、23、24题中任选择一题做答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且AF DC AE BC ∙=∙,B 、E 、F 、C 四点共圆.(I)证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；(II)若EA BE DB ==,求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值.(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：βββ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数)上，对应参数分别为αβ= 与αβ2=)20(πα<<，M 为PQ 的中点.(I)求M 的轨迹的参数方程；(II)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且1=++c b a ，证明： (I)31≤++ca bc ab ； (II)1222≥++ac c b b a .。

2013年高考数学全解全析-浙江卷(理)

2013浙江卷(理)选择题部分一、选择题1．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)等于( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3iD ．－1＋i答案 B解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.2．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T 等于( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)答案 C解析 T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}＝{x |－4≤x ≤1}． S ＝{x |x >－2}，∁R S ＝{x |x ≤－2}， ∴(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}＝(－∞，1]．故选C. 3．已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y ＝2lg(xy )．故选D.4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin(ωx )为奇函数， ∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7答案 A解析 S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1＝95∴k ＝4，因而a ＝4.故选A. 6．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43B.34C ．－34D ．－43答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C. 7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC答案 D解析设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2∵PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立，∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立．即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ，则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C解析当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)显然f ′(1)＝0，且x 在1的左边附近f ′(x )<0， x 在1的右边附近f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C.9. 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 |F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D.10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B ＝f π(A )．设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( ) A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案 A解析本题关键是理解B ＝f π(A )的含义．若平面α与平面β不垂直．在其中一个平面α上取一点P . 则PQ 1≠PQ 2.所以平面α与平面β垂直，故选A.非选择题部分二、填空题11．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.答案－10解析 T r ＋1＝C r 5(x )r ⎝⎛⎭⎫－x －135－r ＝C r5x 5r －106·(－1)5－r 令5r －10＝0，则r ＝2.∴A ＝T 3＝C 25(－1)3＝－10. 12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm 3.答案 24 解析由三视图可知，其直观图为： AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5.作AH ⊥BC 于H ， AH ＝AB ·AC BC ＝125.作A 1M ⊥BB 1于M ，A 1N ⊥CC 1于N .连接MN . V ＝13×(5×3)×125＋(3×4)×12×2＝24.13．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝ ________.答案 2 解析根据约束条件画出可行域如图．因为z 的最大值为12.所以直线kx ＋y ＝12必过(4,4)点， ∴k ＝2.14．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．答案 480解析分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况．所以共有：2(A 22·A 33＋C 13A 33·A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480. 15．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案 ±1解析设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝4x.化简得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0 ∴x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4k.∴x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k .由(x 0－1)2＋(y 0－0)2＝2得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝4.∴k ＝±1.16．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.答案6317．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．答案 2解析 ①当x ＝0时，|x ||b |＝0；②当x ≠0时， |b |2＝(x e 1＋y e 2)2 ＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2 ＝x 2＋y 2＋3xy . ∴|x ||b |＝|x |x 2＋y 2＋3xy ＝1⎝⎛⎭⎫y x 2＋3⎝⎛⎭⎫y x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≤2.由①②知|x ||b |的最大值为2.三、解答题18．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11. 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求a ∶b ∶c . 解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝⎝⎛⎭⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故 a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. 20．如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC . (1)证明：PQ ∥平面BCD .(2)若平面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．方法一 (1)证明取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连结OP、OF、FQ.因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝14AD.因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以OP∥DM，且OP＝12DM.又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝14AD. 从而OP∥FQ，且OP＝FQ，所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD.(2)解作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，连结CH，因为AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，所以AD⊥CG，又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM⊂平面ABD，所以CG⊥BM.又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ，所以GH ⊥BM ，CH ⊥BM .所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°.设∠BDC ＝θ.在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos θ＝22cos θ，CG ＝CD sin θ＝22cos θsin θ，BG ＝BC sin θ＝22sin 2θ.在Rt △BDM 中，HG ＝BG ·DM BM ＝22sin 2θ3. 在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝CG HG ＝3cos θsin θ＝ 3. 所以tan θ＝ 3.从而θ＝60°.即∠BDC ＝60°.方法二 (1)证明如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD 、OP 所在射线为y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)．设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12. 因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0.又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .(2)解设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量．由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →＝(0,22，1)．知⎩⎪⎨⎪⎧ －x 0x ＋(2－y 0)y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0. 取y ＝－1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 0，－1，22. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋2x 09＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝3.① 又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，即x 20＋y 20＝2.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－ 2.(舍去)或⎩⎨⎧ x 0＝±62，y 0＝22.所以tan ∠BDC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－y 0＝ 3.又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.21. 如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2. 所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB |·|PD | ＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 22．已知a ∈R ，函数f (x )＝x 3－3x 2＋3ax －3a ＋3.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当x ∈[0,2]时，求|f (x )|的最大值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3a ，故f ′(1)＝3a －3.又f (1)＝1，所以所求的切线方程为y ＝(3a －3)x －3a ＋4.(2)由于f ′(x )＝3(x －1)2＋3(a －1)，0≤x ≤2.故①当a ≤0时，有f ′(x )≤0，此时f (x )在[0,2]上单调递减．故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3－3a .②当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )在[0,2]上单调递增，故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3a －1.③当0<a <1时，设x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ，则0<x 1<x 2<2，f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)．列表如下：由于f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a ， f (x 2)＝1－2(1－a )1－a ，故f (x 1)＋f (x 2)＝2>0，f (x 1)－f (x 2)＝4(1－a )1－a >0. 从而f (x 1)>|f (x 2)|.所以|f (x )|max ＝max{f (0)，|f (2)|，f (x 1)}．①当0<a <23时，f (0)>|f (2)|，又f (x 1)－f (0)＝2(1－a )1－a －(2－3a ) ＝a 2(3－4a )2(1－a )1－a ＋2－3a>0，故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a ， ②当23≤a <1时，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)．又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a )1－a －(3a －2) ＝a 2(3－4a )2(1－a )1－a ＋3a －2，所以ⅰ当23≤a <34时，f (x 1)>|f (2)|.故f (x )max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a . ⅱ当34≤a <1时，f (x 1)≤|f (2)|，故f (x )max ＝|f (2)|＝3a －1.综上所述|f (x )|max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3a ，a ≤0，1＋2(1－a )1－a ，0<a <34，3a －1， a ≥34.。

2013年高考全国新课标一卷数学试卷(理科)word版[1]

、绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N= （）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）- （C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。

直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l（D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ax）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a = ( )（A）-4 （B）-3（C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=( )（A）1+ + +…+ （B）1+ + +…+（C）1+++…+ （D）1+++…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()(A) (B) (C) (D)（8）设a=log36, b=log510, c=log714,则（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c（9）已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=( )(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( ) （A）∃xα∈R，f(xα)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减（D）若xα是f(x)的极值点，则f1(xα)=0（11）设抛物线y2=3px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5. 若以MF为直径的圆过点（0，3），则C的方程为( )（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x（C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1）(B)（22-1，21）(C)（22-1，31）(D)[31,21）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

浙江高考理科数学试题含答案(Word版)

普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.、在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。

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2013年浙江省高考数学（理科）试题校对版（word 版）（含答案）数学（理科）试题选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-=A ．3i -+B ．13i -+C ．33i -+D ．1i -+2．设集合{|2}S x x =>-，2{|340}T x x x =+-≤，则()R C S T ⋃=A ．(21]-，B ．(4]-∞-，C ．(1]-∞，D ．[1)+∞， 3．已知x ，y 为正实数，则 A ．lg lg lg lg 222x yx y +=+ B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+ D ．lg()lg lg 222xy x y =⋅4．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，)R ϕ∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则 A ．4a = B ．5a = C ．6a = D ．7a =6．已知R α∈，sin 2cos αα+=tan 2α= A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 7．设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅ ．则A ．90ABC ∠=︒B ．30BAC ∠=︒ C ．AB AC =D ．AC BC = 8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(12)xkf x e x k =--=，，则A ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值B ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值C ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值D ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值9．如图，1F ，2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是ABC ．32 D．210．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂直为B ，记()B f A π=．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，1[()]Q f f P βα=，2[()]Q f f P αβ=，恒有12PQ PQ =，则 A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45︒ C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60︒非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．设二项式5的展开式中常数项为A ，则A = ．12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 3cm ．13．设z kx y =+，其中实数x ，y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k = ．14．将A B C D E F ，，，，，六个字母排成一排，且A B ，均在C 的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）．15．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点(10)P -，的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若||2FQ =，则直线l 的斜率等于．16．在ABC ∆中，90C ∠=︒，M 是BC 的中点．若1sin 3BAM ∠=，则s i n BAC ∠= ． 17．设12e e ，为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x ，y R ∈．若12e e ，的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列．（Ⅰ）求d ，n a ；（Ⅱ）若0d <，求123||||||||n a a a a ++++ ．19．（本题满分14分）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个篮球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分．（Ⅰ）当331a b c ===，，时，从该袋子中任任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；（Ⅱ）从该袋中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若53E η=，59D η=，求::a b c ． 20．（本题满分15分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AD =，BD =M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．（Ⅰ）证明：//PQ 平面BCD ；（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60︒，求BDC ∠的大小．21．（本题满分15分）如图，点(01)P -，是椭圆22122:1x y C a b+=（0a b >>）的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D ．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程．22．（本题满分14分）已知a R ∈，函数32()3323f x x x ax a =-+-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（Ⅱ）当[02]x ∈，时，求|()|f x 的最大值．数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

11．-10 12．24 13．2 14．480 15．±1 16 17．2 三、解答题：本大题共5小题，共72分。

18．本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（Ⅰ）由题意得 21325(21)a a a =+ 即 2340d d --= 故 1d =-或4d =所以 11*n a n n N =--∈，或46*n a n n N =+∈，（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．因为0d <，由（Ⅰ）得1d =-，11n a n =--．则当11n ≤时，2123121||||||||22n n a a a a S n n ++++==-+ ．当12n ≥时，212311121||||||||211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+ ．综上所述，212321211122||||||||1211101222n n n n a a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪++++=⎨⎪-+≥⎪⎩ ，，19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。

满分14分。

（Ⅰ）由题意得ξ取2，3，4，5，6．故331(2)664P ξ⨯===⨯， 2321(3)663P ξ⨯⨯===⨯，231225(4)6618P ξ⨯⨯+⨯===⨯，2211(5)669P ξ⨯⨯===⨯，111(6)6636P ξ⨯===⨯．所以ξ的分布列为（Ⅱ）由题意知η的分布列为所以235()3a b c E a b c a b c a b c η=++=++++++，222552535()(1)(2)(3)3339a b c D a b c a b c a b c η=-⋅+-⋅+-⋅=++++++．解得 3a c =，2b c =，故::3:2:1a b c =20．本题主要考查空间点、线、面位置关系、二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

方法一：（Ⅰ）取BD 中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连结OP ，OF ，FQ因为3AQ QC =，所以//QF AD ，且14QF AD =．因为O ，P 分别为BD ，SM 的中点，所以OP 是BDM ∆的中位线，所以//OP DM ，且12OP DM =．又点M 是AD 的中点，所以//OP AD ，且14OP AD =．从而//OP FQ ，且OP FQ =．所以四边形OPQF 为平行四边形，故//FQ QF又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，所以//PQ 平面BCD ．（Ⅱ）作CG BD ⊥于点G ，作GH BM ⊥于点H ，连结CH因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ，所以AD CG ⊥，又CG BD ⊥，AD BD D ⋂=，故CG ⊥平面ABD ，又BM ⊂平面ABD ，所以CG BM ⊥．又GH BM ⊥，CG GH G ⋂=，故BM ⊥平面C G H ，所以G H B M ⊥，CH BM ⊥．所以CHG ∠为二面角C BM D --的平面角，即60CHG ∠=︒．设BDC θ∠=．在Rt BCD ∆中，cos CD BD θθ==，cos sin CG CD θθθ==，2sin BG BC θθ==．在Rt BDM ∆中，BG DM HG BM ⋅==．在Rt CHG ∆中，3cos tan sin CG CHG HG θθ∠===．所以tan θ=从而60θ=︒，即60BDC ∠=︒．方法二：（Ⅰ）如图，取BD 中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz ．由题意知(02)A ，(00)B ，(00)D ．设点C 的坐标为00(0)x y ，，，因为3AQ QC = ，所以00331()4442Q x y +，，．因为M 是AD的中点，故(01)M ．又P 是BM 的中点，故1(00)2P ，，．所以0033(0)444PQ x y =+ ，，．又平面BCD 的一个法向量为(001)a = ，，，故0PQ a ⋅=．又PQ ⊄平面BCD ，所以//PQ 平面BCD ．（Ⅱ）设()m x y z =，，为平面BMC 的一个法向量．由00(1)CM x y =- ，，(01)BM =知00)0x x y y z z ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，取1y =-，得01m =- ．又平面BDM 的一个法向量为(100)n =，，，于是||1|c o s <>|=2||||m n mn m n ⋅==，，即2003y x ⎛+= ⎝⎭．（1）又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=，故0000(0)(0)0x y x y -⋅-=，，，即22002x y +=．（2）联立（1），（2），解得000x y =⎧⎪⎨=⎪⎩00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以tan BDC ∠==又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=︒．21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。