尺规法三等分任意角
直尺与圆规三等分任意一个角的证明方法
5、将C点与D点相连形成线段CD6、作CD的中垂线交AB的延长线于N以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G,连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB二、证明在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略）3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧）4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D5、将C点与D点相连形成线段CD6、作CD的中垂线交AB的延长线于N以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G,连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB二、证明在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略）3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧）4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D5、将C点与D点相连形成线段CD6、作CD的中垂线交AB的延长线于N以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G,连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB二、证明在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)从上面作图时可知AG=FB，所以∠AOG=∠FOB这时只要能证明∠GOF也=∠FOB,即可证明∠AOG=∠FOB=∠GOF,则任意角∠AOB就被三等分1、以AO为半径，以O为圆心将弧AB（弧1）从右下方适当延长，再以B为圆心，以G F为半径划弧交弧AB(弧1)的延长线于P,连接OP和BP，则新形成的△POB与△GOF全等，即在他们中，∠GOF=∠BOP2、连接GP交BO于T，从图上看，GP连线似乎经过E点，因未做数学证明，所以，不能确认。
尺规作图三等分任意角
尺规作图三等分任意角（0°<α≤180°）黑龙江省巴彦县兴隆镇第二中学谭忠仁邮编：151801电话：150****5590目录关于三等分角的由来 (1)三等分任意角（0°<α≤180°） (2)已知：∠AOB (2)求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD (2)作法： (2)证明： (2)关于三等分角的由来众所周知，三等分角是著名的几何作图三大问题之一（另外两个问题是化圆为方、倍立方体），近两千年来，几十代人为这三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此，却均以失败告终。
1837年范兹尔首先证明三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。
1895年，克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明，阿基米德在几何学上的造诣是很深的，从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究，他先采用在直尺上标注一个点的方法，然后把一个角三等分，显然，这一方法取消了直尺上无刻度的限制，此外，喜庇亚斯借助割圆曲线、尼克曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线，解决了三等分角的问题，但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。
综上所述，尺规作图三等分任意角尚无先例，本人自1971年参加工作后，任初中数学教师，由于专业的需要、兴趣及其爱好，使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识，下决心研究三等分角问题，历尽40年时间，苦心钻研，现终得一法，并且给出了科学、严谨的证明，借此恳请数学专家和导师予以审核、验证，并提出宝贵意见。
注：本文所举资料，请详见《陕西中学数学》1991年第二期谭忠仁2011年5月10日三等分任意角（0°<α≤180°）已知：∠AOB求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD作法：1、以O为圆心，以任意长为半径作⊙O，交射线OA于A，交射线OB于B；2、连结AB，引直径EE1，并且使EE1⊥AB，垂足为H；3、连结BE，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AB于F；4、连结EF并延长，交⊙O于G1，交BE1的延长线于T；5、以T为圆心，以TB的长为半径画弧，交⊙O于C1，连结TC1，交⊙O 于G；6、在⌒AB上截取⌒BC2，使⌒BC2=2⌒E1G；7、连结BC2，作BC2的垂直平分线T1D2，垂足为H2，交TB于T1，，连结T1 C2；8、作射线TP，在射线TP上依次截取TP1= P1P2= P2P3，连结T1P3，作T2P1∥T1P3，交TT1于T2；9、以T2为圆心，以T2B的长为半径画弧，交⊙O于C，连结T2C，交⊙O 于G2；10、连结BC，作BC的垂直平分线T2D，交⊙O于G3、D，垂足为H3，（T2D 必经过圆心O、必经过等腰三角形T2BC的顶角的顶点T2）；11、作射线OC，则射线OC、OD即为所求作的∠AOB的两条三等分射线。
关于三等分任意角尺规作图的方法步骤(作者：张爱献)
关于三等分任意角尺规作图的方法步骤
作者：张爱献
（铁铁道部四局三处，1990年于山西沁水）
已知一任意角∠SOT用尺规作图法三等分该角的作图方法步骤
1、作角∠SOT。
2、以O为圆心以任意长为半径画弧，交∠SOT的两边于A、B两点得弧AB。
3、以A、B为圆心以大于1/2AB长为半径画弧交于一点，以O为起点过交点作射线，交弧AB于C点（简称作AB的平分线得C点）。
4、连AC并过C点作射线AC，在射线AC上截取AD=2AC。
5、将AD线段三等分（利用平行线截得成比例线段定理），得AH=1/3AD。
6、过H点作AD的垂线交弧AB于E点。
7、以A点为圆心，以AE长为半径画弧交AD线段于I点。
8、将HI线段九等分（利用平行线截得成比例线段定理），得HK=5/9HI。
9、过K点作AB线段的垂线交弧AB于F点。
10、以AF长为定长三等分弧AB，得三等分点F点和Y点。
11、以O点为起点过F点、Y点作射线，并去掉所有多余的辅助作图线。
说明：
1、作图中的第4条和第7条将线段三等分和9等分利用三角形中平行线截得成比例例线段定理进行等分，不再详细讲解等分步骤。
2、对于90度以下的锐角来说：因H点和I点近似重合，也可近似以E点作为等分点进行等分，（视分割精度要求而定）。
作者简介:张爱献（1964—）男河南省民权县高级工程师
4。
尺规法三等分任意角到底可行吗
尺规法三等分任意角到底可行吗？1965年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年——用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力。
近日在2013年出版的文集中见到《尺规作图破解世界千古三大几何难题》一文，该文是作者（简称黄先生）历时七年的研究成果。
该文所说难题之一就是用尺规三等分任意角（另两道难题是倍立方和画圆为方）。
为了证明他的方法是近似的，我用他的方法三等分100°角，看看误差有多大。
如图，DG长度为AD的二分之一，G点到E点的直线距离为AG的二分之一，穿过A、E两点的直线与圆弧相交于F点，黄先生认为D、F两点连线所对圆心角θ一定等于图中100°角的六分之一。
我们来计算一下θ角的度数（计算过程保留8个有效数）。
设圆半径为1，借助三角函数和勾股定理可算出A、G、E三点坐标。
A点坐标（−0.76604444，−0.64278761）G点坐标（0.38302222，1.8213938）E点坐标（0 ，0.51700505）设连接A、E两点的直线方程为 y = ax + b，根据A、E两点坐标可求出该直线方程为y = 1.5140018x + 0.51700505根据该直线方程与圆方程x² + y² =1，可求出F点横坐标x =0.29052884所以sinθ= 0.29052884，θ角不小于16.8896°，误差大于0.2229°用该方法三等分100°角，误差大于0.4458°令CE = AE可算出C点坐标。
黄先生认为C、B两点连线与圆弧的交点就是F点，其实不然。
根据C、B两点坐标可算出C、B两点连线与圆弧的交点坐标。
该交点横坐标x = 0.2849388，将该交点视为F点，可算出θ角为16.5552°，少了0.1115°，用该方法三等分100°角，误差大于0.2229°有趣的是，令θ等于100°的六分之一，令A、F两点连线与y轴的交点为E，再令CE= AE可算出C点坐标为（0，1.91597902），那么C、F、B三点的确是三点一线，该直线方程为y = −3.34023263x + 1.91597902而且C、F两点直线距离正好等于圆半径。
角三等分
角三等分和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（尺指的是不带刻度的直尺，规指的是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。
其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论。
下面我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法中的一种方法即角三等分来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行角三等分尺规作图达2470多次，装订成册24本，验证了这个理论是完全正确的。
让角三等分无解的结论彻底破灭，也为角的其他等分的解决打下基础，角三等分也是角尺规等分法中的一部分。
由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。
2011-4-3 和平一角三等分∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α三等分。
以∠α角顶点o为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3-1，A 圆交∠α两边分别是A点和B点，在A圆上作∠AOB=∠BOC=∠AOD=∠α=1/3∠DOC,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°.如果3∠α大于或等于180°时，先将∠α缩小偶数倍的角再扩大3倍的角小于180°为止。
连接CD交OA线上G点，作∠AOB角平分线OH,∠AOH=∠HOB=1/2∠AOB=1/2∠α，连接BD交OH 线上H1点，连接BG並延长交OD线上P点，连接AP交CD线上F点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、H1A、AD、AB、BC,求证：∠H1Gb2=1/3×1/2∠α=1/3∠GOH1=1/3×1/2∠AOB。
在△OGH1中，分别作OG和GH1边的垂直平分线交于O2点，连接O2O, 以O2点为圆心，以O2O为半径经过O、G、H1三点的圆为B圆（图中只画圆的一部分）,GD=GB,ABGD为菱形，H1A=H1G=H1B，证明省略，B圆也经过B点，∠H1GB=∠H1BG=∠GBD=1/2∠α，∠DH1G=∠H1GB+∠H1BG=∠α=∠GOB,∠DH1G=∠GOB, ∠GOB+∠GH1B=180°，O、G、H1、B四点共圆，又∵O、G、H1三点可确定一个圆均在B圆上，∴B点也在B圆上。
2020年中考数学 任意角三等分图1、图2[1]
![2020年中考数学 任意角三等分图1、图2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/935ddd00fe4733687e21aa94.png)
第一部分:解说原理(如图1)
一，取任意直线L1、L2，相交于A点，取直线L6线为A角的角平分线
二，在直线L6上取任意点O，以点O为圆心，作O圆，要求与直线L1、L2相切，
三，在直线L2上取任意点D（很有意思的点）, 过点D，作O圆的切线L3，交直线L1于点H
四，连接点D、点O为L4线并两端延长，交L1线为点E，过点E作O圆的切线L8 ，交直线L3于点F,交直线L6为点K 五，连接点F、点O作直线L5，交直线L1于点G（很有意思的点），过点G作O圆的切线L7，交直线L3于点C,
六，连接点C、点O作直线L9, 交直线L8为点J
第二部分“任意角的三等分的尺规作法”(如图2)
一，取大O圆，取直径分别交大O圆于点A、点B，再任取直径分别交大O圆于点C、点D，角AOC为任意角
二，取直线L1为角AOD的角平分线，直线L2为角DOB的角平分线，交大O圆于点E，
三，连接点E、点C为直线，并交直线AB为点G，过点G作直线L2的平行线，交直线L1为点H，连接点C、点H 为直线并延长交直线L2为点K，交大O圆为点J, 连接点J、点O ,则角CJO=六分之一角AOC，角JCE＝12分之一角AOC（图中的黑点)。
任意一个角三等分的尺规画法
龙源期刊网
任意一个角三等分的尺规画法
作者：李文贵
来源：《中学生数理化·教研版》2008年第08期
任意一个角二等分比较容易，而任意一个角三等分就比较困难，通常只能是用量角器量出角度算出，或用尺规近似画分.本人通过研究，总结出一种尺规画法，以供大家探讨.具体画法如下：
一、设∠ＡＯＢ为一任意角，使用一个扇形器（可用量角器代替，或用硬质纸板制作）放在∠ＡＯＢ上，使其圆心Ｏ′与∠ＡＯＢ的顶点Ｏ重合，设扇形器圆弧边与∠ＡＯＢ两射线的
交点为Ａ和Ｂ（在扇形器圆弧边上对应标记为Ａ′和Ｂ′，沿扇形器的圆弧边沿画一圆弧ＡＢ（如图１）.。
尺规三等分任意角画法和证明
〈〈用直尺和圆规把一个任意角分成三个相等的小角的画法和证明〉〉（1）在图[1]中，圆心角AOB，圆心是O，边OA=OB是半径，弧AB。
（2）在AB弧上任意截取一段AC弧，再任意截取一段BD弧，令BD弧=2AC 弧，剩余一段CD弧；剩余CD弧=AB弧-AC弧-BD弧=AB弧-3AC弧，（BD弧=2AC弧），请看图[1]。
（3）连C点和D点，CD线段为剩余弧CD的弦；因为剩余弧CD很短与CD 弦重合成一段线段，所以，我们只要把CD弦三等分，剩余弧CD也就被三等分了，请看图[1]。
（4）大家知道CD弦是一段线段，我们用“平行线等分线段定理”把CD弦等分成三段：CH=HK=KD，因为，剩余弧CD很短与CD弦重合成一段线段，所以，CD弧也被同时三等分为：CH弧=HK弧=KD弧，请看图[1]，H点和K点便是CD 弦上的两个三等分点同时也是剩余弧CD上的两个三等分点，所以，剩余弧CD=3CH 弧（CH弧=HK弧=KD弧），请看图[1]。
（5）因为，AB弧=AC弧+BD弧+CD弧=3AC弧+3CH弧（BD弧=2AC弧，剩余弧CD=3CH弧），所以，AB弧=3（AC弧+CH弧）=3AH弧，请看图[1]。
所以，1/3AB弧=AH弧，请看图[1]，所以，H点是AB弧上的一个三等分点，请看图[1]。
（6）以H点为原点、以HA弧长为标准长在BH弧上截取一段弧HM，截点为M，则M点和H点便是AB弧上的两个三等分点，所以，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，请看图[1]。
（7）连OH和OM，OH和OM把圆心角AOB分成三个小圆心角：小圆心角AOH、小圆心角HOM和小圆心角MOB，请看图[1]。
（8）在圆心角AOB中，依据圆心角、弧、弦的关系定理：因为：小圆心角AOH对应AH弧，小圆心角HOM对应HM弧，小圆心角MOB对应MB弧，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，所以：小圆心角AOH=小圆心角HOM=小圆心角MOB=1/3圆心角AOB（依据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对等角），请看图[1]，所以，任意角AOB被尺规三等分了。
三等分任意角的作法探讨
㊀㊀㊀㊀㊀１４０数学学习与研究㊀２０２０ １０三等分任意角的作法探讨三等分任意角的作法探讨Һ蔡长青㊀（咸丰县中等职业技术学校，湖北㊀咸丰㊀４４５６００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 三等分角 是古希腊几何中尺规作图的名题，和化圆为方㊁倍立方问题并列为古代数学的三大难题，２４００多年以来，不少学者进行了无数次尝试，都未能找到好的解决方法，笔者经过４０余载的不断探索，吸取前人的数学智慧，突破传统思维，找到简单易行的求作三等分角的方法，该方法可以广泛应用到几何教学或工程技术领域．ʌ关键词ɔ三等分；任意角；作法；证明１９７９年的九月，进入咸丰一中学习的第一堂数学课上，满头银发的数学老师文渊不但满怀激情地介绍了高中三年数学学习的目标和学习方法，还向大家抛出了古代数学的三大难题，即用尺规作图法求作三等分任意角㊁化圆为方以及倍立方问题，从此笔者与三等分角问题结下了不解之缘．三等分角是号称古希腊三大几何问题之一，该问题的完整叙述为：只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分．该问题自公元前４８０年以来，不少学者进行了长期的探索，甚至不少著名数学家从不同角度论证了用尺规作图法不可能解决 三等分角 问题，本着吸取前人数学智慧㊁传承文明㊁尊重科学的治学态度，本人就解决使用 尺规作图法 三等分任意角问题进行了长期的探索，现将偶有所得分享给大家，希望起到抛砖引玉的作用．一㊁关于三等分任意角的历史溯源１．三等分任意角问题产生的历史背景根据历史记载，公元前４８０年，古希腊和当时的波斯国在当时的雅典郊外萨尼克湾展开了一场惨烈的海战，古希腊大获全胜，从此雅典作为古希腊的政治㊁文化㊁经济中心逐渐走向繁荣．社会分工逐渐细化，一部分人从繁重的体力劳动中解放出来，出现了专门传授学问㊁研究学问的辩论师或称智者，也就是现代的职业教师．这些人为古希腊文明做出了巨大的贡献，其中在几何学上亦留下了三大难题供后人进行研究和探讨：给你一把圆规和直尺（无刻度），经过有限次的步骤，能否：①对任意角作三等分？②作已知立方体的二倍体积的立方体图形？③作与已给的圆面积相等的正方形？以上三个问题分别称为三等分角问题㊁倍立方问题和化圆为方问题，也称古希腊三大几何难题，这些问题看起来很简单，但是，２４００多年来，不少数学家或数学爱好者为了解决这三个问题，耗费了许多心血，都没有取得成功．２．三等分任意角可能无法用 尺规作图法 求解１６３７年笛卡儿（ＲｅｎｅＤｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６ １６５０）创立了解析几何学后，有数学家依据解析几何，认为找到了通过尺规作图法不能解决三等分任意角问题的依据．１８３７年法国数学家旺策尔（ＰｉｅｒｒｅＬａｕｒｅｎｔＷａｎｔｚｅｌ，１８１４ １８４８）首先证明了 倍立方 和 三等分任意角 不可能用尺规作图解决．１８７３年埃尔米特（ＣｈａｒｌｅｓＨｅｒｍｉｔｅ，１８２２ １９０１）证明了ｅ是超越数；１８８２年德国数学家林德曼（Ｌｉｎｄｅｍａｎｎ，１８５２ １９３９）证明了π也是超越数，从而 变圆为方 的不可能性也得以确立．１９６５年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年 用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力．２００１年华中师范大学数学系的王中华亦在‘数学通讯“上发文并证明使用尺规作图 三等分任意角 是不可能的．二㊁ 三等分任意角 仍有研究的价值１．高中数学教学的需要为了加强普通高中的数学教学，在新版的‘普通高中数学课程标准“中增加了 三等分角与数域扩充 问题，让三等分角问题真正进入我国高中数学教学领域，有利于扩展学生的数学视野，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题㊁分析问题的能力．２．可以促进人的数学思维的发展古希腊的三大几何难题，几千年来尽管耗费了历代数学家不少的心血，但是在解决这类问题的过程中，不仅促进了数学思想的发展，而且在人类其他思想史上亦具有重大意义．三㊁预备知识１． 尺规作图法关于尺规作图法，以科学出版社出版的‘数学大辞典“中的规定为主要参考依据：尺规作图法又称初等几何作图法或欧几里得作图法．仅用直尺（无刻度）和圆规（两脚足够长）两种工具按照下述步骤进行有限次的组合来完成的几何作图方法．（１）过两点可画一条直线（或一条射线），连接两点成一线段．（２）延长线段成一条直线或射线．（３）以定点为圆心定长为半径可画圆或圆弧．２．初等几何知识本文涉及的初等几何知识，我们还是沿用科学出版社出版的‘数学大辞典“中的相关论述：（１）关于角的分类平角：两边组成一条直线的角，或一条射线在平面内绕㊀㊀㊀１４１㊀数学学习与研究㊀２０２０ １０着它的端点旋转，转到和原来位置构成一条直线时所形成的角．１平角＝１８０ʎ．直角：平角的一半，一直角＝９０ʎ．锐角：大于０ʎ小于直角的角．钝角：大于直角小于平角的角．（２）关于三角形和圆的几个基本知识等腰三角形的定义及性质：两边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等．三角形外角定理：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．显然，同弧所对的圆心角等于圆周角的２倍．３．关于图学的几点相关知识的说明（１）图学是几何学与行为科学有机结合的综合性学科．图学一开始就是由理论几何学与行为科学有机构成的．从平面几何开始，发展到画法几何㊁工程图㊁地形图等，人们在制图过程中总要依据几何原理，经过人的科学行为（制图）表达完成各类制图工作．（２）图学是理论与实践相结合的科学，图学允许可逆．无论 同时行为 还是 第三度行为 ，都是在允许行为可逆基础上进行的，行为本身就是四维的运动（时间维㊁空间维），允许可逆自然是在四维时空中进行的．四㊁三等分任意角的作图方法以锐角为例，使用 尺规作图法 三等分任意角的作图步骤如下：第１步：给定任意角øＡＯＢ．第２步：作边ＯＡ的反向延长线ＯＣ．第３步：以Ｏ点为圆心，Ｒ为半径长画☉Ｏ，圆弧与边ＯＢ交于Ｆ点．第４步：在☉Ｏ上，以Ｅ点为圆心，Ｒ为半径长画☉Ｅ，☉Ｅ与ＯＡ的反向延长线交于Ｄ点，配合使用圆规和直尺，确保圆心Ｅ与Ｄ，Ｆ三点在同一直线上．第５步：连接ＯＥ，最终形成如图所示的几何图形．需要特别说明的是在作图过程中，第４步圆心的确认很关键，有可能需要 多次逼近 才能确定．五㊁三等分任意角的证明通过以下两种方法分别证明前面的作图方法可以三等分任意角．方法一：在☉Ｅ中，因为øＯＤＦ为圆周角，øＯＥＦ为圆心角所以øＯＥＦ＝２øＯＤＦ．因为ＯＥ＝ＯＦ，所以әＥＯＦ为等腰三角形，øＥＦＯ＝øＯＥＦ＝２øＯＤＦ，øＡＯＢ＝øＯＤＦ＋øＥＦＯ＝３øＯＤＦ，故有øＯＤＦ＝１３øＡＯＢ．方法二：在әＤＥＯ中，因为ＤＥ＝ＯＥ，所以әＤＥＯ为等腰三角形，所以øＯＤＥ＝øＥＯＤ，øＯＥＦ＝２øＯＤＥ，因为ＯＥ＝ＯＦ，所以әＥＯＦ为等腰三角形，所以øＥＦＯ＝øＯＥＦ＝２øＯＤＦ，øＡＯＢ＝øＯＤＦ＋øＥＦＯ＝３øＯＤＦ，故有øＯＤＦ＝１３øＡＯＢ．六㊁结㊀论通过以上的作图和证明，我们有理由认为对 三等分任意角 的作法有革命性的突破．１．作图过程中严格遵守 尺规作图法 的要求，且在有限的步骤内准确三等分角．２．通过初等几何理论对所作图形进行了严密的证明，结果正确．３．整个作图过程符合图学是理论与实践相结合的科学观点：图学允许可逆，无论 同时行为 还是 第三度行为 ，都是在允许行为可逆基础上进行的．路曼曼其修远兮，吾将上下而求索．ʌ参考文献ɔ［１］娄桐城．中学数学词典［Ｍ］．北京：知识出版社，１９８４．［２］王元．数学大辞典［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１０．［３］熙国维．运动论［Ｍ］．北京：海洋出版社，１９９３．［４］Ｒ．柯良（ＲｉｃｈａｒｄＣｏｕｒａｎｔ），Ｈ．罗宾（ＨｅｒｔｂｅｒｔＲｏｂｂｉｎｓ）．什么是数学［Ｍ］．左平，张饴慈译．上海：复旦大学出版社，２００８．［５］欧几里得．几何原本［Ｍ］．邹忌译．重庆：重庆出版社，２０１８．［６］（日）远山启著．吕砚山㊁李诵雪㊁马杰㊁莫德举译著．数学与生活［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１４．［７］王中华．用尺规作图不可能三等分任意角［Ｊ］．数学通讯，２００１（１９）．４８．。
优质文档尺规作图三等分随便率性角和结构正十七边形
[优质文档]尺规作图三等分随便率性角和结构正十七边形尺规作图三等分任意和构造正十七边形饶剑明摘要:将角的等分问题转化为线段的等分问题，从而实现尺规作图的任意等分任意角。
对线段的任意等分是很容易做到的，就是根据平行线间线段对应成比例。
只要将角的等分转换成线段的段分问题就自然解决了，我们知道，角和线的关系在圆中可以实现，在一个圆中等角对应的弦长相等。
从而实现角的三等分和正十七边形的尺规作法。
关键词:三等分角平分线圆弧正十七边形一、任意角的三等分,，作角的平分线。
半径为的圆弧，所对的弦长为设角为,,a2,Ma,2sin 14,角所对的弦长 4,Ma,2sin 28,角所对的弦长为 3,Ma,2sin。
3642MMM,, 2313342,sin,,,MMM,,由于当很小时有，即有。
231332,,4,sin()sin()sin()当取不同值时，和的近似值如下: ,346381111可以看出利用会比更为精确，但在操作上会更为方便。
从数据上可以看出，锐角用4222,1就足够用了，在操作上也得到同样的结果。
但角度大于是就最好使用了。
由于尺规作42图本身在操作上就存在误差，所以这样的误差是允许的。
利用几何画板完全按尺规作图的步42MM,骤可以看到当角为锐角时有，即两个点完全重合。
2133操作步骤如下:1. 对角平分 ,1,2. 取上作图时角所对的弦长2AB3. 对线段AB三等分24.取线段AB的长线段AC 34. 以线段AB为半径，在圆弧等分 AB这样就对弧进行了三等分，标记三等分点，然后与顶点O连接就对角三等分了。
,除去多余的痕迹用这样的方法可以对任意角任意等分。
当角为锐角就一次性完成了操作。
,4,asin()当角是钝角是，就要用四分角去作图了，且从理论上要比稍微少一点，尤其,38是当接近平角时。
当角大于,时，就平分其补角然后反向延长。
,,24MM当一次实现不了的时候可以在和之间取值，每次折中而逼近，一般最多在两到1233三个循环操作能完成。
尺规三等分任意角
数学学科2016学年论文“尺规三等分任意角”作法及其论证山东省聊城市茌平县振兴中学初二.15班田美辰尺规三等分任意角”，这曾是令无数数学家为难而又兴奋的难题。
阿基米德曾证明过，虽然表面上是证明了，但他犯了一个致命的错误，就是他所用的条件超出了题给条件。
几何学发展至今，虽为完备，但仍有缺憾，尺规三分角就是其一。
除一些特殊角（直角、平角和圆周角）外，至今还没有一种严格的几何方法能将任意一个角三等分。
而我们现在的教材上，只有用到直角拐尺才可完成对一个任意角的三等分。
数学先哲们曾断言定论，尺规三分角是尺规不能问题。
不才无学，但也相信科学和尊重客观事实。
在闲暇之际，偶生兴趣，突发灵感，得一妙法，可将任意角一分为三。
后附详细作法和证明。
经过长期的探究，本人发现这种方法可以对一个角进行多等分。
一、作图步骤（1）做一个任意角COD（2）用圆规截取任意长度r为半径，以O为圆心画弧。
交射线OC、OD分别与点A点B。
CAOB D（3）以A、B为圆心，在以r为半径画弧，分别交OC、OD与A＇B＇CA＇AOB B＇ D（4）以A为圆心，以2r为半径画弧，再以B＇为圆心，以r为半径画弧，二弧线相交于点C＇;同理，得到点D＇。
CA ＇D＇A C＇O B B＇（5）连接OD＇、OC＇,即可得到这个角的三等分。
CA＇ D＇A C＇O B B＇ D二、理论论证证明：将此图补充完整﹝以B为圆心，以2r为半径画圆，以C为圆心，以r为半径画圆，2圆共同交于点F；同理，得到点E；⊙A与⊙B交于点O＇⊙D与⊙B交于点G。
⊙A、⊙C交于点H﹞连接EF,发现E、G、H、F在同一直线上。
连接AO＇、 BO＇、OO＇,分别交于点J、I＇P.∵⊙A=⊙B,AO＇和BO＇分别为圆中任意半径，∴AO＇=BO＇=2r.又∵OA=OB=r∴在△AOO＇和△BOO＇中｛∴△AOO＇≌△BOO＇∴∠AOO＇=∠BOO＇即∠4＋∠1=∠2＋∠3又∵△AOO＇和△BOO＇是同底三角形，△AOO＇≌△BOO＇∴S△AOO＇=S△BOO＇又∵S四边形OJID公共∴S△OBI=S△OAL做BB＇⊥OI,AA＇⊥OJ∵S△OBI=S△OAL,OA=OB∴½×OA×AA＇=½×OB×BB＇AA＇=BB＇在Rt△OAA＇和Rt△OBB＇中｛∴Rt△OAA＇≌Rt△OBB＇∴∠3=∠4∴∠1=∠2以G为圆心，以GP为半径向EG画弧，并将EG二等分，发现都与EG交于点M∴PE∶PG=3又∵OE=OF,∠1＋∠4=∠2＋∠3∴OP⊥EF在Rt△OPG、Rt△OPE∵tan∠1=GP∶OP tan∠EOP=PE∶OP∴OP=PG∶tan∠1 OP=PE∶tan∠EOP∴PG∶tan∠1=PE∶tan∠EOP∴tan∠EOP∶tan∠1=PE∶PG=3即∠EOP∶∠1=3∴∠EOP=3∠1∵∠EOP=∠1＋∠4∴∠4＋∠1=3∠1∴∠4=2∠1又∵∠1=∠2，∠4=∠3∴∠4=∠3=∠1＋∠2即∠4=∠3=∠5.小结：自古以来，不小数学爱好者对三等分角作了大胆的尝试，但论证的途径多局限于证明其所在的三角形全等或其所在的三角形相似这两个方面。
三等分角
三等分任意角度的最佳方法----兼论三大几何难题之解三等分任意角度是世界著名的三大几何难题之一(还有化圆为方和二倍立方体)，早在１７７５年德国科学院就向世界宣布：三大几何难题无解。
下面首先推出三等分任意角度的最佳方法。
用无刻度直尺和圆规（这是最古老的尺规作图法）二等分任意角度，作平行线，多等分直线段等都是可行的；也可以对已知的９０°及其整倍数的角度,乃至小于９０°的特殊角度进行三等分。
但对未知的一般任意角度如何进行三等分呢？先看一下，已知任意直线段ＯB（如图1），是如何被三等分的：过Ｏ点作直线，取ＯC＝CＥ＝EＡ，得直线段ＯA。
连接ＡＢ，过C 和E点分别作ＡＢ的平行线CＤ和EＦ，则：ＯＤ＝ＤＦ＝ＦＢ。
简要证明：过Ｄ和Ｆ点分别作ＯＡ的平行线ＤＨ和ＦＫ，∵△ＯＣＤ，△ＤＨＦ和△ＦＫＢ皆为全等三角形，∴ＯＤ＝ＤＦ＝ＦＢ。
仿照上述三等分任意直线段的方法，对任意角度进行三等分：绘制任意角度∠ＡＯＢ（如图２），以Ｏ为圆心，以ＯＡ为半径画弧交ＯＢ于Ｂ点，并连接弦ＡＢ。
延长ＯＡ至Ｑ，使ＱＡ＝ＯＡ，以Ｑ为圆心，以ＱＡ为半径画弧，在弧上取弦ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＧ，分别连接QＣ、QＤ和QＧ三个半径，并连接弦ＡＧ分别交中间两个半径于Ｅ和Ｆ点。
连接ＢＧ，过Ｅ和Ｆ点分别作ＢＧ的平行线交ＡＢ于Ｈ和Ｍ点，连接OＨ和OＭ点作半径ＯＫ和ＯＮ，则∠ＡＯＢ被近似三等分：即∠ＡＯＫ＝∠ＮＯＢ≌∠ＫＯＮ。
对该绘图方法的精度分析：（１）当所取AG=AB时，则∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ＝∠ＫＯＮ，因为对过Ａ点相对于ＯＱ的垂线（未画出）而言，其两侧图的所有点都是对称的。
虽然所取AG等于ＡＢ的几率很小，但在理论上它是存在的。
（２）当所取AG≠AB时，则∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ≈∠ＫＯＮ。
按照三等分直线段的方法，其对应线段的比例关系是不变的：即ＡＥ︰ＦＧ＝ＡＨ︰ＭＢ；ＡＥ︰ＥＦ＝ＡＨ︰ＨＭ。
∵△ＡＱＥ和△ＧＱＦ为全等三角形，∴ＡＥ＝ＦＧ，则ＡＨ＝ＭＢ故∠ＡＯＫ＝∠ＮOＢ；虽然ＡＥ︰ＥＦ＝ＡＨ︰ＨＭ，在表示线段成比例时是对的，但在AG≠AB的条件下，将其分别转换成相对应的角度以后不可能相等，必然会产生误差，只能得到：∠ＡＯＫ≈∠ＫＯＮ。
三等分任意角尺规作图正多边形
三等分任意角尺规作图正多边形（1）一个角∠AOB, O圆点，高精度圆规作任意圆。
（2）取步骤（1）的圆O,AB半径，A圆点，高精度圆规连续在圆O上旋转，圆规量取k1个圆，最后一点C,余下的CB.（3）高精度圆规连续在圆O上旋转k2次。
取步骤（2）的CB半径,A圆点,高精度圆规连续在圆O上旋转，高精度圆规量取k2个圆，最后一点D,余下的DB。
（4）高精度圆规连续在圆O上旋转k3次。
取步骤（3）的DB半径,A圆点,高精度圆规连续在圆O上旋转，高精度圆规量取k3个圆，最后一点E,余下的E B。
（5）高精度圆规连续在圆O上旋转k4次。
取步骤（4）的EB半径,A圆点,高精度圆规连续在圆O上旋转，高精度圆规量取k4个圆，最后一点C,余下的FB。
（6）重复：高精度圆规连续在圆O上旋转,旋转计数K5 K6 Kn（7）千分之一精度和万分之一精度的两个计算公式：AB=x1 BB10=x2 BC7=x3360=k1x1+x2=k2x2+x3=k3x3+x4=k4x4+x5=k n x n+x n+1360k n+1=k n+1(k n x n+x n+1)=k n+1k n x n+k n+1x n+1=k n+1k n x n+360-x n+2360(k n+1-1)=k n+1k n x n-x n+2X n=[360(k n+1-1)+x n+2] k n+1k n360k n+2(k n+1-1)=k n+2k n+1k n x n-k n+2x n+2360k n+2(k n+1-1)=k n+2k n+1k n x n-360+x n+3360[k n+2(k n+1-1)+1]=k n+2k n+1k n x n+x n+3X n=｛360[k n+2(k n+1-1)+1]-x n+3}÷k n+2k n+1k n ( high precision measurementof arbitrary angle )Regular polygon rule mapping methodThe new method is a polygon with seventeen sides.X n =KX K Polygon count 360(k n+1-1)=k n+1k n x n -x n+2 360(k n+1-1)=k n+1k n KX-x n+2 (k n+1-1)*K 360=k n+1k n X -KXn 2+ Error:KXn 2+ X n =360-17X k n+1=12 k n =2 360(k n+1-1)=k n+1k n (360-17X)-x n+2 (24-11)*17360=12*2X -172+Xn 13*17360=24X -172+Xn Figure 3Three dividing arbitraryangle X n =KX K Angle factor∠AOB (k n+1-1)=k n+1k n x n -x n+2 AOB(k n+1-1)=k n+1k n KX-x n+2 AOB(7-1)=7*3*3X-x n+2 32AOB =7X-9x 2n k AOB(k n+1-1)=3N X- x n+2。
关于三等分任意角的方法探究
三等分任意角的方法探究西工大附中孙开锋三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文关键词：只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。
纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。
然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。
找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB平分成了两部分。
用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。
但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。
很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。
直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。
但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。
一、利用工具三等分任意角如图1所示，叫做“三等分仪”吧 ，CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。
数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。
二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。
圆规和直尺三等分任意角
圆规和直尺三等分任意角许世传共大公司，香港（518026）E-mail：hsc1937@摘要:尺规三等分任意角有3800多年历史，是个令无数数学家望而却步的千古难题. 本文不走历史直接等分任意角的死胡同; 运用角度与弧度等价原理, 利用内接等边弦(或外切线)等分弧度, 这样达到三等分任意角，才能变“不可能”为可能.首创用无刻度直尺和圆规等分任意角的作图原理和几何数理.关键词: 圆心轨迹线，切线平行线，内接等边弦1. 引言:早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。
很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。
直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。
但仍然有很多痴心不改的人想攻破数学史上的“不可能”，他们欲变“不可能为可能”。
“在大学课堂教学中, 有没有伪科学的出现? 我们应该怎么避免它? 如数学上已证明用圆规和直尺三等分任意角是不可能的"。
是吗! 请看下面不同的作图和数理分析:2. 数理系统分析2.1 不能三等分角代数数理历史上认为任意角不能三等分的代数数理证明, 引用台北大学数学系教授曹亮吉(数学家)的见解其要点有二，一为:不是任何实数都是可做数，一为：假定一角可以三等分，则某个线段长x为可做，但由代数的分析又知x不为任何N阶数，故得矛盾(证略)1.2.2 “3”元素的客观存在性先看数论内容：整数分解、素数分布、解析数论、…筛法[]1等等。
最基本的数是自然数，自然数除“1”之外共分素数和合数；换言之有了1才有数，有了素数就能产生自然数：1，2，3，……的无限完美整数列来. 证实3在自然数列中的存在性, 不是水中捞月, 取时,1,2 n=()22nf=↔4中必有一“素数元素3”存在; 在[2-4]]区间就能用2筛出3素数元来,所以素数3是数字中最基本不可替代的原始元素2之一.我们能从自然数列中找出3元素来: 第一步: 用直尺和圆规作两次等分角∠AOB,就产生2至4单元量,见图1.1中的O-O1和O-a两条角平分线;这种尺规作图不含3元素.第二步: 在2至4单元量间隔中添上3素数元素. 为作图方便,灵活地采用: 6(分角)÷2 = 3. 得3个单元等圆, 存在奇素数元素3.1参见:/TrackBack.aspx?PostId=6939732参考[香港]许世传著《循环论》p35数学是描述物质世界的最贴切语言，而素数仅有1和自身为其素因子，是不可替代的数学元素；故可把素数看作不变的不可替代的最基本原始粒子的物质元素，这是数学描述物质世界，量变到质变规律抽象语言的基本概念，也是最基本原始假设。
尺规作图三等分角[整理]
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尺规作图三等分角——致中国数学界大师们的一封公开信尊敬的中国数学界大师们：你们好！几何学发展至今，虽为完备，但仍有缺憾，尺规三分角就是其一。
数学先哲们曾断言定论，尺规三分角是尺规不能问题。
不才无学，但也相信科学和尊重客观事实，现为一村学教师。
在闲暇之际，偶生兴趣，突发灵感，得一妙法，可将任意角二分为三。
后附详细作法和证明。
万望大师们慧眼识宝，将此妙法推广，让国人之智慧得以光大。
（注：该方法在相关机构已注册、立案。
垂询：131****9044，鄙人常居山野，不便上网，且莫发邮件，也望各类媒体关注。
）三等分线段(角)的尺规作图法崔谧（安定区风翔学区小西岔小学甘肃定西 743000）几何学从诞生到发展，再到逐步完善，除一些特殊角（直角、平角和圆周角）外，至今还没有一种严格的几何方法能将任意一个角三等分。
经过长期的探究，本人发现有一种严格的几何方法可以将一个任意角三等分(包括直角、平角和圆周角)。
该方法分小于180°的角和大于180°而小于360°的角两种情况论述。
为了简单明了起见，在陈述该方法之前，先详细介绍一种用尺规作图将一条线段三等分的新方法。
作法：1.画一条线段AB,用尺规作图法求其中点C。
2.用尺规作图法求线段AC的中点D。
3.在点D和点C之间任取一点E,使得线段AE的长度大于线段AC的三分之二而小于线段AC的长度，用尺规作图法求线段AE的中点F。
4.以点A为圆心，以线段AE的长度为半径画弧线，以点C为圆心，以线段AF的长度为半径画弧线，使得两条弧线相交与点G；以点A为圆心，以线段AC的长度为半径画弧线，以点C为圆心，以线段AD的长度为半径画弧线，使两条弧线相交于H点。
（确保点G和H在线段AB的同侧）5.连接GH，用尺规做图法求其中垂线IJ，延长IJ交AB于点K。
6.以点K为圆心，以线段BK的长度为半径画弧交线段AB于点L。
则点L和点K将线段AB三等分。
如下图所示：依据以上将一条线段三等分的尺规作图法的新方法，也可以将一条弧线三等分，即将一个角三等分。
部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图
部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图上次我用尺规作图已将120°角三等分了，下面我用一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的部分特殊角和任意角三等分尺规作图来验证角三等分确实有解。
一. 用尺规作图将30°角三等分（一）以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为D,连接OD,在弧上作OD=DE,连接OE,∠EOD=60°,作∠COE=∠EOA=∠AOH=∠HOB=∠BOD=∠DOK=15°,∠AOB=∠α=30°,将∠α=30°角三等分。
连接CK交OA线上G点，连接BG並延长交OC线上P点，连接AP交CK线上F点，连接BC交OH线上H1点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、AH1、 AB、AC,ABGC为菱形，H1G=AH1=H1B,则∠H1BG=∠H1GB=1/2∠α=15°,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2∠α=5°，证明省略，∠AOm=∠mON=∠NOB=1/3∠α=1/3∠AOB=∠a1Ga3=10°,即将30°角三等分。
该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。
图号和页号是3-1-15 , 15。
应该注意的是如果∠α大于或等于60°时，必须将大于或等于60°的角缩小偶数倍的角小于60°后才能进行角三等分。
如果60°≤∠α＜120°时，∠α缩小两倍，如果120°≤∠α＜240°时，∠α缩小四倍。
值得注意的是角的所在区域相同，角的尺规作图方式也应相同。
∠α缩小偶数倍的角已被分成三等分的角扩大同样偶数倍后的角才是∠α被分成三等分的角，∠α是否需要缩小和缩小多少偶数倍可用圆的半径来确定。
一. 用尺规作图将60°角三等分（二）以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为A,连接OA ,在弧上作AB=OA,连接OB, ∠AOB=∠A1OA4=60°=∠α,∠α应该缩小两倍方可以进行角三等分。
尺规作图三等分一个给定的任意角
尺规作图三等分一个给定的任意角
吴兴建
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2010(000)011
【摘要】三等分任意角的出现是很自然的.二等分一个已知角既是这么容易,很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢？这样,这一个问题就这么非常自然地出现了.本文是笔者对尺规作图三等分一个给定的任意角的研究结果.
【总页数】5页(P81-84,86)
【作者】吴兴建
【作者单位】四川省攀枝花市攀钢密地医院,617063
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.尺规作图六笔画就可三等分任意线段
2.角的三等分（尺规作图）
3.尺规作图三等分任意角(0°≤α≤180°)
4.有趣的尺规作图:求作给定线段的三等分点
5.解决两千三百年前古希腊几何学家提出的世界著名三大尺规作图难题之一——尺规作图三等分任意角
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学习
尺规法三等分任意角
[正文摘要]
本文主要论述有关仅用尺规作图法来三等均分一个任意角的问题，以及它的来历，还有著名数学家的解答此几何问题的方法。
还有本人对此题的理解，最后用事实论述到尺规作图是不能把一个任意角三等均分的。
[关键词]
尺规法任意角三等均分
[正文]
当我在数学上学会了用尺规作图法去作平分线平分一个任意角的时候，我就会提出另一个问题：“那么如何用尺规法把一个任意角三等均分呢？”我觉得这个问题很有趣。
我也曾经向我的数学老师讨论过这个问题，于是我翻查了一些资料，就发现：
其实，“如何用尺规法三等均分一个任意角”这个问题，是属于古希腊的三大数学难题之一，也称“三等分角”。
它是来源于：“据说在公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城，他深深懂得发展科学文化的重要意义，就吸引了当时许多著名的希腊数学家都来到这个城市。
亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。
圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。
别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。
国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。
一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。
过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。
小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样。
国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。
于是他们去请教阿基米德。
阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。
”①这好像是把这个“三等分角”问题给解决了，但是实际上，阿基米德在利用尺规作图时擅自在本来没有刻度的尺上标上了一个刻度，这一举动正好违背了尺规法作图的原则------当然当所有人都称赞阿基米德了不起的时候，“阿基米德却说：‘这个确定北门位置的方法固然可行，但只是权宜之计，它是有破绽的。
’②阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记，等于是做了刻度，这在尺规做图法中则是不允许的。
”④
那么这道题目应该怎样理解呢？
阿基米德曾经想过：预先在直尺上记一点P，令直尺的一个端点为C，对于任意画的一个角，就以这个角的顶点O为圆心，以CP的长度为半径画半个圆，使这半个圆的两条边相交于A、B两点，然后，就移动直尺，使C点在AO的延长线上移动，使P点在圆周上移动.当直尺正好通过B点时停止移动，将CPB三点连接起来，接下来，将直尺沿直线CPB 平行移动，使C点正好移动到O点，并作直线OD，可以检验AOD正好是原来角AOB的三分之一。
③但上面已经说过，他这样做是不行的。
那么就是说阿基米德也无法真正地利用尺规法解决了“三等分角”。
接着似乎有人把这个问题给解决了，那就是：海倍阿斯利用了他自己给出的超越曲线；尼克米德利用了他的蚌线；牛顿利用离心率为2的双曲线……⑤但后来直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”
尽管是利用牛顿的方法还是尼克米德的，都是只能接近地把一个任意角分为三等份，并
不时完全准确地把一个任意角三等均分，也就是说无论是利用双曲线还是利用蚌线都只能把它分为无限接近相等的三份。
然而，我是这样想：我假设一个任意角的角度为1，把它分成三份，就等于帮哪个角的角度除以3，但1/3是一个无限循环的有理数，并不能完全整除，所以一个任意角无法用尺规法三等均分。
当然又有人说可以用量角器或其他更先进、精确的仪器来分，不行的，一个任意角无论你用什么手段也不能把它均分，最多只能无限接近而已，宛如1/3化为小数在把那个小数乘以3永远都是无限接近1但永远都不等于1。
但如今，还有不少人还相信用尺规法可以把一个任意角三等均分，不断地尝试利用各种各样的方法来将一个任意角三等均分，但是我个人认为是不行的。
毕竟，因为古希腊的三大数学难题已有2400多年历史，但这三大著名难题绞尽了数百万科学家脑汁无人能解，于是1755年法国科学院向世界宣判无解，不再接收任何解答的方法了。
如果，此题已宣布了无解的话，换句话说，利用尺规法把一个任意角三等均分就是不可能的。
[参考文献]
①、②：选自/view/481417.htm?fr=ala0_1_1
③：选自/question/125662271.html?si=9&wtp=wk
④：选自《欧几里德》，陕西科学技术出版社，第664页
⑤：选自《欧几里德》，陕西科学技术出版社，第664页。