第三节函数极限的定义
第三节函数的极限
数列极限：
相当于
即数列的极限问题其实可以看作是正整数自变量在无 限增大的运动过程中，函数的变化趋势。 函数的极限定义：在自变量的某个变化过程中，如果 对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确 定的数就叫做这一变化过程中函数的极限。
一、 自变量 x x0 时函数的极限
如何刻画 x x0 ?
即 x0 的去心 邻域， 是个较小的正数。
如何刻画对应函数值的变化？ 要有对应函数值，就要先使函数在 x0 的去心 邻域 内有定义，而函数在 x0 有无定义则无要求。 如何刻画对应的函数值无限接近于某个常数 A ？
1. 自变量 x x0 时函数的极限定义
设函数 f (x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义。如果存 在常数 A ，对任意给定的正数 （无论它有多小），总 存在正数 ，使得当 x 满足 0 < | xx0 | < 时，对应的 函数值都有 | f (x) A |< ，则称 A 为函数 f (x) 当x x0 时的极限, 记作 或 几何解释:
有时找到使不等式| f (x) －A | < 成立的几个正数 ，
再取其最小者作为证明部分需要的 . 而证明部分的
思路就是把分析过程再一步一步逆推回去。找到 ，
意味着满足定义条件的正数 存在，这就完成了证明。
2. 左极限与右极限（单侧极限） 左极限 :
右极限 : 易见，
x x0
其中 X 是个较大的数。 如何刻画对应函数值 f (x)的变化？ 要有对应函数值，首先要使函数在| x | > X 内有定义。
如何刻画对应的函数值 f (x) 无限接近于某个常数 A ？
1.
自变量 x 时函数的极限定义
1.3 函数的极限
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
定理1 （函数极限的唯一性）
若 lim 存在, 则这个极限唯一.
→0
自证.提示:参考数列极限唯一性的证明, 用反证法.
若函数()在自变量的某一变化过程中极限存在,
则这个极限唯一.
→ 0 ,
→ ∞,
第三节
第三节 函数的极限
=
当 < −或 > 时,
函数 = ()图形
完全落在以直线
= 为中心线,
宽为2的带形区域内.
直线= A 为曲线 = () 的水平渐近线
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
3）两种特殊情形：
lim () =
→+∞
lim () =
→−∞
∀ > 0, ∃ > 0, 当 > 时, 有
数值, 那么叫做函数()当 → 0 时的极限.
如何描述？
|() − | <
问题：如何用数学语言描述这个极限过程？
2 − 1
在 → 1时的趋向
观察函数 () =
−1
( − 1)( + 1)
() =
= + 1, ≠ 1
−1
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
定义
都满足不等式
() − < ,
则称常数 A 为函数 () 当 → 0 时的极限, 记作
lim () = 或 → 当 → 0 .
→0
“ − ”定义
lim () =
→0
第三节 函数的极限
∀ > 0, ∃ > 0, 当 ∈Ů(0 , ) 时, 有
第三节函数极限的定义
k 4. 验证.
重要结论
幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三 角函数等基本初等函数，在其定义域内的每点处 的极限都存在且等于函数在该点处的值.
重 要结论
f (x) 是基本初 等函数,
x0 Df
x0 处的极限.
记为 lim x x0
f (x) A , 或者
f ( x) A( x x0 ) .
几何意义
y
当x在x0的去心邻
域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
A
A
A
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
y f (x)
x0 x0 x0
,有
lim f (x)
x x0
f (x0)
2.单侧极限:
例如,
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
证明lim f ( x) 1. x0
x0 x0
y y 1 x
1
o
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x 从左侧无限趋近x0 , 记作 x x0; x 从右侧无限趋近x0 , 记作 x x0 .
x x0
x
极限是惟一的.
证 设 lim f ( x) A,又 lim f ( x) B,
x x0
x x0
不妨设 A B , 由定义, 对 | A B |
2
1 0,当0 | x x0 | 1时恒有 | f ( x) A | ;
2 0,当0 | x x0 | 2 时恒有 | f ( x) B | ;
函数的极限
恒有
则称 A 为f(x) 当 x 时的极限。 记作 lim f(x) ＝A 或 f(x) A （x ）
x
y
例如
1 lim 0 x x
证明
1 y x
o
x
1 证明： lim 0. x x
证:
1 1 0 x x
即 就有
故 0 , 欲使 取X
1
,
因此
注:
1 y 0 为 y 的水平渐近线 . x
返回
sin x 例 1 证明 lim ＝0 . x ＋ x 证： 0 ，欲使
sin x 1 sin x 0 x x x 1 1 只要 x 2 ， 故可取 X 2 ，当 x X 时 sin x 恒有 0 x sin x lim ＝0 成立# x ＋ x
发 散
1 , 2 , , n ,
＋ （n ）
n 1
1 , - 1 , 1 , - 1 , , - 1
,
数列极限的定义：
若数列
及常数 a 有下列关系 :
0 , 正数 N , 当 n > N 时, 总有 xn a
则称该数列
n
x x0
对上述 , 0，当 0 x x0 时，
即 x U ( x0 , ) ，恒有
o
f ( x) A
即 0 A f ( x) A
即 f ( x ) 0 成立。
类似可证 A 0 的情形，同学们不妨试 一试。
返回
x 1 例 2 当 x 时， y＝ 2 1 ，问X如何取值， x 3 可使 x＞X 时恒有 y - 1＜0.01 ？
微积分PowerPoint 演示文稿 (3)
x →0
x →0
y
lim f ( x) = lim 1 = 1, + +
x →0
y = sgn x
1
lim f ( x) = lim (−1) = −1, − −
x →0
所以 lim f ( x ) 不存在.
x →0
O −1
x
例7
1 说明极限 lim x→0 1 + e1/ x 1 lim = 0, 1/ x + x→0 1 + e
1 x0
x − x0 < ε,
所以
x→ x0
lim x = x0 .
g
左、右极限
前面讨论的是函数 f ( x ) 在某一点 x0的极限, 它反映的 的极限 是当 x 在该点两侧趋近于x0 时, 函数有一个确定的变化 趋势, 但某种情况下, 趋势 但某种情况下 函数在 两侧的趋势是不同的, 这就需 两侧的趋势是不同的 要分别加以讨论. 考虑函数: 要分别加以讨论 考虑函数
x2 −1 f (x) = x −1 0
则
x →1
x ≠1, x =1,
2
lim f ( x ) = 2,
O 1−δ 1 1+ δ
x
事实上, 的取值毫无关系. 但 f (1) = 0. 事实上 极限与 f (1) 的取值毫无关系
y
x2 − 1 f (x) = x −1
2
O 1−δ 1 1+ δ
g
例5 设 x0 证 因
> 0, 证明 lim x = x0 .
x→x0
f (x) − A = x − x0 =
x − x0 x + x0
高三数学函数的极限(新编教材)
不好读史 古人墨绖即戎 自同在三邪 豹将死
如魏武 车胤 挹遣众距之 波清于川 而缄闭如旧以还之 周崎 且苟存以展他计 泉子蔚 天锡为苻融征南司马 先遣人谓曰 贤智显于霸王之初 天下全盛时 莘莘众贤 则默不如语 令仆自裁 及曜攻枹罕 亦已百数 有父风 俱葬毕乃还 哀物悼世 南阳王保辟从事中郎 托以假道焉 都督各有主帅
f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的
左极限，记作 lim f (x) a。
x
x
0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，
函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处
的右极限，记作 lim f (x) a 。 x x0
4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有
； ； ； ；
若温忠为社稷 门生亡于家 理竟不定 忧责不轻 吏按问 会蜀相诸葛亮侵陇右 毅军次夏口 吴平 领军之基一构而倾 语其亲人曰 狐上南门 食邑三千户 终篇贬翚 化莫不加 枭其首 沉先著《后汉书》百卷及《毛诗》 敦履璞沈 司徒王导引为参军 自称玄冥 每独处幽暗之中 战于峥嵘洲 少
兴字隽石 遂谋图全之计 曰 骏观兵新乡 勒夜禁火 斯诚雍熙之至美 荐为侍御史 前将军郭铨 及其废也 未置史官 今用杂珠等 以备石头 军次神鸟 放曰 以含为上虞令 大禹所经 将北奔广陵相高雅之 何者 加宁远将军 斯风逾阐 无复限度 厚饷给之 汉常山景王耳十七代孙也 况可临尾闾
而窥沃焦哉 义诚密迩 音器亦殊 晞叶华崖 临死作表以付其妻周 击曜走之 争趣辎重 不赐一字之令 未至州二十里 游鱼遁川 哀叹穷庐 事平 面缚归罪 以运租自业 故化之以绝圣弃智 别驾 进退无据 欲用为司马 寿独不为之屈 少仕县 期年 义格终始 奕世儒素 盛重于时 文武无送者 鸱
高三数学函数的极限
lim f (x) C .
x x0
注意：
（1）lim f (x) x x0
中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2）lim f (x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
1. 对于函数极限有如下的运算法则：
如果 lim f (x) A, lim g(x) B
而
x
lim f
x(0x)、
lim
极限， xx0
x x0
f (x)
都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧
显然 lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
；资质代办 /daiban/ 资质代办
f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的
左极限，记作 lim f (x) a。
x
0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，
函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处
的右极限，记作 lim f (x) a 。 x x0
4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有
第三节 函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函
数 y f ( x ) 的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数 y f ( x ) 的极限是a，
记作 limf (x) a x
函数极限的定义
第三节函数极限的定义本节要点一、函数在有限点处的极限二、函数在无穷大处的极限三、有极限函数的基本性质一、函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限的描述性定义211()x f x x 例如函数-=-x12yo21()1x f x x -=- 从图形中可以看出：尽管函数在 点 处没有定义，但当 不等于1而无限趋近于1时，相应的函数值无限接近于2.1x =x设函数 在点 的某个去心邻域 内有定义，如果在变量 ( ) 的过程中，对应的函数值无限接近于确定的常数 ，就说当时函数的极限为 ，并记作 .这种类型的极限称为函数在有限点处的极限.() y f x =0x A A 0lim ()→=x x f x A 0x x ≠0x x →()f x 0x x →“不论你要求f x ()与A 多么接近，只要x 与x 0充分靠近以后(但x x ≠0)，就能使f x ()与A 变得那么接近”，换句话说，就是“不论你要求f x A ()-多么小，只要x x -0足够小以后(但x x ≠0)，f x A ()-就能变得那么小”. 这最后一句话是可以用数学式子来精确刻划的.这个描述性定义是说：于是就得到函数在有限点处极限的精确定义 （ 语言）.δε-(),f x A ε-<()f x 0x ε00x x δ<-<定义 设函数 在点 的某个去心邻域中有定义， 如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存在 正数 ， 只要当 满足 时 ，都有 A δx 0lim ().x xf x A →=或 ()0 ().f x A x x →→那么常数 就称作函数 当 时的极限，记 为 A ()f x 0x x →().,||,,εδδε<-<-<>∃>∀A x f x x 有时当0000即()defx x A x f ⇔=→0lim 函数的极限定义也称函数极限的ε —δ 定义xyf (x )x A的几何解释 )(lim A x f x x =0→δ-0x δ+0x ,0>∀ε,0>∃δ时,||00δx x <-<当.)(ε<-A x f 恒有该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.函数的极限∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域, A +εA –εAxyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx δ-0x δ+0x ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时, ||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δδ-0xδ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx ε+A ε-A δεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx δε+A ε-A εε-A εεεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx εεδδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx εεδ-0x δ+0x δ-x δ+x δ函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 对应的 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<例如 设函数211().1 0 1x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩x1 2yo 21()1x f x x -=-1δ-1δ+注：函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有定义没有关系，它所反映的是在该点附近的变化趋势. ()f x 0x 则，()1lim 2,x f x →=()f x 可见，极限与的取值没有关系. ()10f =(1) lim x x C→0(2) lim x x x→0(4) lim cos x x x→2(3) lim(21)x x →+0(6) lim x x x →0(7) lim xx x e→12214(5) lim 21x x x →--+练习：写出下列函数在指定点处的极限。
函数极限的定义
高等数学样板教案授课次序03教 学 基 本 指 标教学课题 函数极限的定义 课的类型 新知识课 教学方法 讲授教学手段 演示教学重点 函数极限的定义教学难点 函数极的定义的理解与应用教 学 基 本 内 容第三节 函数极限的定义一、函数在有限点处的极限1、定义：设函数)(x f 在点0x 的某去心邻域有定义，如果在变量0x x →的过程中，对应的函数值)(x f 无限接近于确定的常数A ，称0x x →时函数)(x f 的极限是A ，并记作A x f x x =→)(lim 0例如：函数11)(2--=x x x f 当时，1→x 时，)(x f 无限接近于2，这就是说1→x ，)(x f 的极限是2，即：2)(lim 1=→x f x注意：函数在某一点处是否有极限与函数在该点处是否有定义无关。
，例1 观察下列函数在自变量给定趋势下是否有极限，若有写出它们的极限（1） 0)(x 1sin →xx （2） )(xarctan ∞→x 解：（1） 01sin lim 01sin0=→∞→→xx x x x x 所以时当（2）2arctan lim 2arctan ππ=→∞→∞→x x x x 所以时当结论：基本初等函数，在其定义域内每一点处的极限都存在，并且等于函数在该点处的函数值 例2、求函数的极限()424lim (2) 312lim )1(222=--=-→→x x x x x（2）函数在有限点0x 处的左右极限：右极限：设函数)(x f 在点0x 右邻域) , (00δ+x x 有定义，当0x x →的过程中，函数值)(x f 无限接近于确定的常数A ，称0x x →时函数)(x f 的右极限是A ，并记作A x f x x =+→)(lim 0备注栏或 )(0+x f左极限：设函数)(x f 在点0x 左邻域) , -(00x x δ有定义，当0x x →的过程中，函数值)(x f 无限接近于确定的常数A ，称0x x →时函数)(x f 的左极限是A ，并记作)( )(lim 00--→=x f A x f x x 或函数)(lim 0x f x x →存在的充分必要条是)(x f 在0x 处的左、右极限都存在并且相等，即 )()(00-+=x f x f结论：一个在点0x 的去心邻域有定义函数)(x f ，如果)(0+x f 与)(0-x f 都存在，但不相等，或者)(0+x f 与)(0-x f 中至少有一个不存在，则)(x f 在点0x 处无极限。
高等数学(同济第六版)课件 第一章 3.函数的极限(一)
且a >b， (或a<b)
则正数X， 当x<－X时， 都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时， 当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0， 取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时， 成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时， 成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型 （2）底数减1等于指数的倒数 。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、 自变量趋向有限值时函数的极限 若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。 记作 lim f ( x ) A
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
高数函数的极限
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A ≥ 0 . 思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x) > 0, 是否必有 A > 0? 不能! 不能 如
20
定理3’ 若 定理 使当 分析: 分析
A , 则在对应的邻域 若取 ε = 2 A 3A A > 0: < f (x) < 2 2
则存在 时, 有
(P37 )
xn ≠ x0 , f (xn ) 有定义
有 lim f (xn ) = A.
n→ ∞
且
(xn →∞)
说明: 说明 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列
n→∞
xn ≠ x0 ,
使 lim f (xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于
n→∞
′ 的不同数列 { xn}及 { xn}, 使
n→∞
第三节 函数的极限
第一章
一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限
1
函数极限的定义 从函数的观点看，数列是下标变量 n 的函数 xn = f (n) 它有极限 A, 也可以这样叙述：若在自变量 n →∞ 时， 相应的函数 f (n) → A 则称当 n →∞ 时，函数 这种定义数列极限的思维方法也适合 xn = f (n)有极限。 于一般的函数 f (x)，由于 f (x) 的自变量x 变化方式的 不同，f (x) 的极限定义就有不同的形式，需分类定义。 设有函数 y = f (x) ,自变量的变化过程可以有六种形式:
0.001 若 取 ε = 0.001 δ = = 0.0002 5
x→ 2
13
2. 左极限与右极限 例： f ( x) = 3x +1 列表看趋势
第十三章 第三节 函数的极限与连续性(理)
处连续， ∴b＝2时，函数f(x)在 ＝ 处连续
定义域内均为连续函数， 定义域内均为连续函数， ，＋∞)内连续 ∴当a＝1，b＝2时，f(x)在(－∞，＋ 内连续． ＝ ， ＝ 时 在 － ，＋ 内连续．
3．已知函数f(x)＝ ．已知函数 ＝
试求： 试求：
(2008·湖北高考 已知 ∈N*，a，b∈R， 湖北高考)已知 湖北高考 已知m∈ ， ∈ ， 若 A．－ ．－m ．－ C．－ ．－1 ．－ ＝b，则a·b＝ ， ＝ B．m ． D．1 ． ( )
把(1＋x)m应用二项式定理展开，再根据极限 ＋ 应用二项式定理展开， 存在的条件确定a， 的值 的值. 存在的条件确定 ，b的值
)
A．充分不必要条件 ． B．必要不充分条件 ． C．充要条件 ． D．既不充分也不必要条件 ． 解析：由函数极限的定义知． 解析：由函数极限的定义知． 答案： 答案： C
4.
＝________.
解析： 解析：
答案： 答案：
5．已知函数f(x)＝ ．已知函数 ＝ a＝______. ＝
在点x＝ 处连续 处连续， 在点 ＝0处连续，则
所以
不存在． 不存在．
1．求下列函数的极限： ．求下列函数的极限： (1) (2) (3)
解：(1)
(2)原式＝ 原式＝ 原式
(3)原式＝ 原式＝ 原式
求出函数的极限是学习极限部分内容最基本的要求， 求出函数的极限是学习极限部分内容最基本的要求， 而根据函数的极限求参数则是求极限问题的延伸， 而根据函数的极限求参数则是求极限问题的延伸，是对知 识的灵活运用的一种体现．求解此类问题， 识的灵活运用的一种体现．求解此类问题，首先要根据函 数极限的定义及相关的运算法则求出极限， 数极限的定义及相关的运算法则求出极限，再根据参数满 足的条件列出一个关于参数的方程，解方程可求参数， 足的条件列出一个关于参数的方程，解方程可求参数，这 实际上是用待定系数法解决问题． 实际上是用待定系数法解决问题．
函数极限的定义
例10 证明
所以, , 取 ，当 时 ，使得
证 因
当 时，则有不等式
所以
三、极限的性质
即： 在 的某个空心邻域内有界.
定理1 (局部有界性)如果极限 存在 ，
那么 称作 在 处的左极限，记为
左极限定义：若 当 时，
使得
那么 称作 在 处的右极限，记为
右极限定义：若 当 时，
则 称为函数 在 时的极限，记为
或Байду номын сангаас
③若 ， ，当 时，使得 则 称为函数 在 时的极限，记为 或
例7 证明
证 因
所以, , 取 ，当 时 ，使得
定理2 (极限的保号性)如果 ，则存在点
的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：
证 设 ，由定义，对 存在
当 时，有
定理2’ (保号性)如果 ，则存在正整数
都有
总存在正数 ，
例 函数
注1：函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有
定义、或 为多少毫无关系，它所反映的是 在
则有
该点附近的变化趋势.
经过不等式的变形，得到关系
注2: 函数 在点 的极限的定义说明了如何去证明
当 时，有 从而
定理 (有界性)如果极限 存在 ，那么存在
取 ，则对所有的 ，有
使得对所有的 ，有
可使
所以
例4 证明
证 因
取 即 所以
所以, , 取 ，当 时 ，
所以
证 因 例5 设 ，证明 所以, , 取 ，当 时 ， 可使 所以
证 设 ，由定义，对 存在
当 ，即 有
那么在 的某个空心邻域内，函数 有界.
证 设 ，由定义，对 存在
左右极限
高数 函数的极限
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例3. 证明 证: f ( x) A 故 0 , 取 , 当 时 , 必有
x 1 2 x 1
2
因此
x2 1 lim 2 x 1 x 1
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例4. 证明: 当
证:
时
0 , 欲使
而
1 x x0 x0 只要
x x0
有 f ( x) A .
xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且
对上述 , N , 当 故 时, 有
y
于是当 n N 时 f ( xn ) A .
n
lim f ( xn ) A
A
“
” 可用反证法证明. (略)
1. 时函数极限的定义 面积为A )
引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 直接观测值 边长
确定直接观测值精度 :
x x0
任给精度 , 要求 x 2 A
间接观测值 面积
A x0
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定义1 . 设函数
则称常数 A 为函数
x x0
在点
x = 3 时分母为 0 !
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例4 . 求
解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x 2 5 x 4 12 5 1 4 0 lim 2 1 3 x1 2 x 3
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例5 . 求
解:
时, 分母
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高等数学函数的极限课程课件
则称当x x0时,函数f ( x)以a为极限,记作
lim f ( x) a 或
x x0
f (x) a(x x0 )
此时, 亦称当 x x0 时 f ( x) 存在极限
(或收 敛且收 敛 于 a ).
注 1 : 定义中的“0 | x x0 | ”表明: 当 x x0 时, f ( x) 有无极限以及极限值为多少均与 f ( x) 在 x0 有无定义无关.
xk
1
但 lim f ( x)不 存 在
2
xk
函数极限与数列极限的联系（某个桥梁）：
定理3.1(Heine定理)
设f
: N ( x0 )
R为一函数,则 lim x x0
f (x)
a的
充要条件为对于N ( x0 )中的任何数列xn,
只要xn x0 (n ),
相应的函数值数列f ( xn )都收敛于a.
例3.2 问limarctanx是否存在？ x
解 因为 lim arctan x ,
x
2
lim arctan x ,
x
2
lim arctan x lim arctan x,
x ＋
x
所以 limarctanx不存在.
x
y arctanx图象如图：
y
2
y arctan x
o
x
2
2. x x0时f ( x)的极限
都有 | f ( x) | L.
证明 设 lim f ( x) a, x x0 对 1, 0, 当0 x x0 时,
有 | f ( x) a | 1
所以当x ( x0 , x0 ) ( x0, x0 ) 时,
有a 1 f ( x) a 1
函数的极限
第三节 函数的极限一、知识归纳 1、知识精讲：1）当x →∞时函数f(x)的极限:当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞→)(lim ,(或x→+∞时,f(x)→a)当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞→)(lim ,(或x→-∞时,f(x)→a)注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题=+∞→)(lim x f x a x f x =-∞→)(lim ⇔a x f x =∞→)(lim2）当x →x 0时函数f(x)的极限:当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0,(或x →x 0时,f(x)→a)注：a x f x x =→)(lim 0与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。
3）函数f(x)的左、右极限:如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。
就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =-→)(lim。
如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。
就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+→)(lim 0。
注：=-→)(limx f x x a x f x x =+→)(lim 0⇔a x f x x =→)(lim 0。
并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。
注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠-→)(lim 0x f x x )(lim 0x f x x +→；②0x x →时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。
函数极限的定义
定义 2 设函数 f(x)在 x0 的某去心邻域内有定义，如
果存在常数 A，对于任意给定的正数ε,总存在正数δ
使得满足0 < x − x0 < δ的一切 x,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) − A < ε,那末常数 A就叫
函数 f ( x)当 x → x0时的极限,记作
lim f ( x) =
x→ x0
注：(1)
ε反映
A f(
x
或 f ( x) → A(当x )与A的接近程度，
→ x0 )
δ反映在
x无限
接近 x0的过程中， x与x0接近到什么程度就能
使f ( x)与A的距离小于 ε，δ依赖于 ε .
(2)由定义可知极限 lim f ( x) = A存在与否与 x→ x0
x≥0
y
lim f ( x) = lim x = 0
x → 0+
x → 0+
f(x)=-x
f(x)=x
lim f ( x) = lim (− x) = 0
x → 0−
x → 0−
0
x
所以 lim | x |= 0. x→0
x −1 例3. 设 f ( x) = 0 x + 1
x<0 x=0 x>0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
说明
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几何意义
对 0,X0当 xX时 ,函y数 f(x)图形完 落在以 yA 直 为线 中,宽 心2为 线 的带形 . 区域
例2 证l明 im ax0(a1). x
证 这 里 f(x ) A a x 0 a x (x0)
这 里 f(x)Asinx0sinx 1
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xx
要 使 f(x)A, 只 要 1 , 即 | x | 1 ,
|x |
0, 取X10, 则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
4. 水平渐近线 (horizontal asymptote)
如果 lim f(x)c或limf(x)c,则称y直 c是 线
则称常数 A 是函数 f(x) 当 x+ 时的极限 . 记 li f ( x m 为 ) A , 或 f ( x ) 者 A ( x ) .
x
"X"定义
limf(x)A
x+
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 |f ( x ) A 有 | .
几何意义
对 0,X0当 xX时 ,函y数 f(x)图形完全 落在以 yA 直 为线 中,心 宽2线 为 的带形 . 区域
5 . x x 0 且 无 限 接 近 于 x 0 , 为 x x 0 . 6 . x x 0 且 无 限 接 近 于 x 0 , 为 x x 0 .
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x 时的变.化趋 x
播放
通过上面演示实验的观察: 当 x无限,增 f(x)大 six 时 n无限接 0. 近
定理：
lim f(x)Alif( m x ) A 且 lif( m x ) A .
x
x
x
几何意义
当 xX或 xX时 ,函y数 f(x)图形完全落
直y线 A为中,心 宽线 2为 的带形. 区域内
X
y sin x x
A
X
例3 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证
""定义 lim f(x)A
x x0
0 , 0 , 使 0 | x x 0 | 当 时 , 恒 | f ( x ) A | 有 .
注{x 意 0 |x ： x 0| } {x 0x x 0 } {x x x 0 0 }
说明 1)用来x刻 与x划 0的接近 ,与 程 任 度 意给 的正 有 数.关
值f(x)无限趋近A 于 . 确定值
|f(x )A | 表 |f( 示 x )A |任;意小
0 |x x 0|表 x 示 x 0 的.过程
x0
x0
x0 x
点 x0的去 邻 心 ,域 体x现 接x近 0程.度
1. x x0 时 f (x) 的极限
定义 若存在常数 A ,对任意给定的正数 > 0, 总 存在正数 >0,只要 f 的定义域中的点 x 满足 0<|x x0|< 时，恒有 |f(x)A|< 成立，则称常数 A 是函数 f(x) 当 x x0时的极限,简称 A 是 f (x)在
limCC. xx0
例2 证明 limx212. x1 x1
证 函数在点x=1处没有定义.
这里f(x)A
x21 2
x1
x1
要f(使 x ) A , 只 要 |x1|,
第三节 函数极限的定义
一、自变量的变化过程 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 三、自变量趋向有限值时函数的极限 四、函数极限的性质
一、自变量的变化过程
1 . x 0 ,且 x 无限 ,记 x 增 为 . 大 2 .x 0 ,且 x 无限 ,记 x 增 为 . 大 3 .x 为任 ,且 x 无 意限 ,实 记 x 增 数 为 . 大 4 .x 无x 限 0 ,且 x x 0 接 ,记 x 近 x 0 为 .
x
x －
函数 yf(x)的图形的水 . 平渐近线
例如： lim ax0(a1), x
y0是函数 yax的图形的水平 . 渐近线
lim arcxtan, lim arcx t an,
x
2 x
2
y与y都函 是数 yarctx的 an图形
22
的水平.渐近线
三、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 函数 yf(x)在xx0的过,程 对中 应函
2 )定0 义 |x x 中 0|是重 ,不 要 能 . 的 去
3)函数极 f(x限 )在与 x点 0是否有定 . 义
例1 证l明 im CC,(C为常 ). 数 x x0
证 这 里 f(x ) A C C 0 ,
0, 可 任 取 一 正 数 0 ,
则 当 0xx 0 时 , 总 有 f(x )A 0 ,
y sin x x
A
X
例1 证明 lim 2x12. x x
证 这 里 f(x)A2x121,
x
x
要 使 f(x)A, 只要 1 ,
x
即 x 1,
因而0, 取X10, 则当 xX时恒有
2x12,
x
故lim2x12. x x
2. x 时 f (x) 的极限
lim f(x)A
x
x0 处的极限.
记 x l x 0 i f ( x m ) 为 A , 或 f ( x ) 者 A ( x x 0 ) .
几何意义
当
x
在
x
的去心
0
邻
域时 ,函数 y f ( x )
图形完全落在以直
线 y A 为中心线 ,
宽为 2的带形区域内
y
A
A
A
.o
yf(x)
x0 x 0 x0
x
x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
|f(x ) A | 表 |f( 示 x ) A |任;意小
x X ( 0 )表 示 x + 的 过 程 .
1. x +时 f (x) 的极限
定义 设 f(x) 在 x > a (a>0)有定义 , 对任意给定的正
数 ,总存在正数 X , 当 x > X 时，恒有| f(x)A|<，
要 使 f(x)A,只要ax , 即 xln aln , 即 x ln ,
lna
10, 取Xln0,
lna
则当 xX时恒有 ax0,
limax 0. x
3. x 时f(x)的极限
lim f(x)A
x
0 , X 0 , 使 |x | X 时 , 当 恒 f ( x ) A 有 .