数学物理方法第10章格林函数法
数学物理方法第十章 格林函数法
上式给出了泊松方程解的积分表达(biǎodá)，但由于G(M,M0)未知 且不同边值条件也需做进一步的分析。
共二十六页
§10 格林函数(háns
2、泊松方程(fāngchéng)边值问题的积分公式
(A)第一类边界条件 0
由
边界条件变为 u 1 g(M ) f (M )
基本(jīběn)公式变为
这里(zhèlǐ)G就相当于 格林第二公式中的v
(G u u G )d (Gu uG)d
n
n
[u(M ) (M M0 ) G(M , M 0 )h(M )]d
若能由此式化简整理得到u(M),则一定(yīdìng)是方程（1）的解
共二十六页
§10 格林函数(hán
共二十六页
§10 格林函数(hánsh
显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程
G(M , M0 ) (M M0 )
使之与边界条件
G 相0 容，
n
这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之
与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。
共二十六页
§10 格林函数(hánsh
(C)第三类边界条件 0, 0
积分变换法：无界区域(qūyù)的定解问题， 解一般为无穷积分
共二十六页
§ 10.1
函数(hánshù)
§10 格林函数(háns
共二十六页
2、定义(dìngyì)
(x)
0
x0 x0
(x)dx 1
更普遍的定义为
§10 格林函数(hánsh
—— 函数
(hánshù)
共二十六页
§10 格林函数(háns
u(M )
数学物理方法第十章_格林函数法
G ( x, y | x0 , y0 )
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 ln[ ] 2 2 4π ( x x0 ) ( y y0 )
据上述物理模型可求解下列定解问题 例1 定解问题：
u xx u yy 0, ( y 0) u | y 0 ( x)
边界外法线方向为负 y 轴，故有
y0 y0 y0 G G 1 1 1 | | y 0 = 2 2 2 2 2 n y 2π ( x x0 ) y0 π ( x x0 ) y0 π ( x x0 )2 y0
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的自由 项 ,则由 f 0
G (r , r0 ) u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV (r ) ]dS T n
得
y0 u ( x0 , y0 ) π
( x)
( x x0 ) y
2 2 0
dx
或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式
G (r , r0 ) u (r ) (r0 ) ]dS0 n 0 得到
对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) | 0
为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像 点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两 个电荷在界面上产生的电势之和为零
这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．
.
即为
0
|
2 02 a 4 2 0 a 2 cos( ) 1 G ( , 0 ) ln{ 2 2 } 2 4π a [ 0 2 0 cos( )]
数学物理方程——10 格林函数法续
3/ 2
sin θdθdϕ .
12
上午6时53分
数学物理方法
第六章
格林函数法
R u (r0 , θ 0 , ϕ 0 ) = 4π
∫ ∫ (R
0 2
2π
π π
R 2 − r02
2
+ r − 2 Rr0 cos γ
2 0
)
3/ 2
sin θdθdϕ .
其中 cos γ = cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ 0 ). θ 特别的，求温度在球的铅垂直径：0 = 0(直径的 上半部分)和θ 0 = π (下半部分)上的分布。 当θ 0 = 0 时，cos γ = cos θ , 故
在球面 Γ上，
∂G ∂G r − r0 cos γ 1 ⎡ |Γ = |r =R = − ⎢ ∂n ∂r 4π ⎢ r02 + r 2 − 2r0 r cos γ ⎣
(
)
3/ 2
⎤ − ⎥ 2 2 2 4 3/ 2 ⎥ r =R r r0 − 2 R r0 r cos γ + R ⎦
(
(rr
2 0
− R 2 r0 cos γ R
∫ ∫
0
2π
π
0
f ( R, θ , ϕ ) ×
R −r
2 2 0 2 0
(4)
其中 cos γ = cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ 0 ). 解 这个问题归结为如下定解问题
Δu (r , θ , ϕ ) = 0 (0 < r < R ),
u |r =R =
Γ
(1) (2)
格林函数方法
给定，
（1）V内有电荷分布
求V内
相应格林函数问题
在S上）
常数（
（2）
只要知道
和
，即可马上得到
（1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。
3．格林函数方法求解讨论
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知，
—— 第一边值问题
① 给定V边界
求V内各点电势值。
本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。
—— 第一类边值问题
—— 第二类边值问题
（1）无界空间中的格林函数
的距离
到
球坐标中
（偶函数）
显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为
观察点为
（
相当于题中的 a ）
设假想点电荷在
，它的坐标为
（它在
连线上，题中b对应这里的
）
∵
三、用格林函数求解一般的边值问题
一、点电荷密度的
函数表示
处于
点上的单位点电荷的密度
[一般
]
2．常用公式
点电荷的泊松方程：设电势为
单位点电荷产生的电势
空间区域V上的边界条件
或
常数
格林函数的对称性
（偶函数）
对于静电场的点电荷问题
称为静电场的格林函数
（
格林函数法
通过格林公式，把静电边值问题与相应的格林 函数问题联系起来。 一般的处理方法，在物理学领域有着非常广泛 的应用
3
本节主要内容： 1. 格林函数——对应于给定问题的单位点源
的电势解； 2. 格林函数与泊松方程的解之间的关系； 3. 几种简单边界问题的格林函数形式。
10/20/2014
§5 格林函数法
1
几种方法的比较
1. 镜像法只适用于比较简单（点电荷）问题； 2. 分离变量法是精确求解的方法：除了几个高对
称的边界问题以外，一些实际问题往往难以求 解； 3. 多极展开法只适用于求远处的场（最后一节）； 4. 格林函数方法
2
1
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格林函数方法： Green函数本身实际上是对应于给定问题所对
4
2
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几个基本公式：Ñ
1 r
=
-
r r3
,
高斯定理：
ò
E
×
dS
=
1 e0
i
Qi
空间一个单位点电荷的电场： E
=
4
1 e0
r r3
若点电荷处于闭合积分面内：
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
数学物理方程第10讲 格林函数法 叶葱
M(x,y,z)
v u (u v u)dV (u n v n )ds
现在的问题是， V(x,y,z)不包含M0这一点！！！！ 所以运用公式时我们要挖去M0点（奇异点）
如何去除M0点？？
最简单的，以M0为中心， ɛ 为半径作一个球面， 球面为Ƭɛ,球体积为Kɛ,挖去这样一个球。
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
我们要求区域内一点M0处的u， 要知道这个函数在区域边界Ƭ上的值 以及在Ƭ上的法向导数的值
1 r 1 u )ds 4u 4 ( u ) 0 根据 (u n r n n
0, lim u u(M 0 )
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
调和函数的积分表达式
M0(x0,y0,z0)
M(x,y,z)
考虑球面Ƭɛ上，即M点在球面，此时r=ɛ
1 1 r r 1 1 n r r2 2
1 r ds 1 u n 2
uds r 1 u )ds ? (u n r n
2 2
第二格林公式
现在我们求解u（x，y，z）
u0
2
Dirichlet 问题
u
f ( x, y , z )
求出调和函数 的积分表达式
首先构造一个辅助函数
M0(x0,y0,z0) r
M(X,Y,Z)
1 1 v( x, y, z) 2 2 2 r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
格林函数法 数学物理方程
格林函数法
若L 一个带平滑系数的线性微分算子，当求解形如()L u f =的微分方程时，若对于任意的向量y 都存在广义函数()G x,y ，使得
[]()()L G δ=x x,y x-y
（此处下标x 表示L 作用于()G x,y 时将其当做以x 为自变量的广义函数，而y 为参数） 若再令
()()()d u G f =⎰x x,y y y
将上式代入()L u f =则有
[]()()d ()()d ()()d ()L G f L G f f f δ⎡⎤===⎣⎦
⎰⎰⎰x x,y y y x,y y y x -y y y x 故此时()u x 是微分方程()L u f =的解。
采用上述方法求解微分方程的方法称为格林函数法，广义函数()G x,y 也称为格林函数。
数学物理方法知识体系
数学物理方法所要解决的问题：求解（偏）微分方程
本学期学过的求解方法：变量分离法、积分变换法、格林函数法
变量分离法涉及知识点：傅里叶级数、函数的正交系、贝塞尔函数（Chap.2~Chap.5） 积分变换法涉及知识点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、广义函数（Chap.7~Chap.9） 格林函数法涉及知识点：格林函数（Chap.10）
例题数量统计。
《格林函数方法》课件
04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。
格林函数法
第五章 格林函数法一 拉普拉斯方程的对称解与格林公式 1 拉普拉斯方程的对称解定义：如果在n 维空间的一个区域内，函数),...,,(21n x x x u 具有二阶连续偏导数，且满足n 维拉普拉斯方程:+∂∂=∆212x u u (2)2nxu∂∂+=0则称),...,,(21n x x x u 是n 维调和函数。
常见的是二维02222=∂∂+∂∂=∆yux u u 和三维的调和函数0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zuy u x u u 。
二维拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂=∆yux u u 的通解为： 211ln C rC u +=如果取π211=C ，02=C 就得到一个重要的特解ru 1ln 21π=，由于该解与点0M 的选择有关，所以常记作：MM rM M u u 01ln 21),(0π==三维拉普拉斯方程：0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u 的通解为：211C rC u +=如果取π411=C ，02=C 就得到一个重要的特解ru π41=，由于该解与0M 点的选择有关，所以常记作：MM rM M u u 041),(0π==2格林公式及其应用(1)高斯公式设Ω是以分片光滑闭曲面Γ为边界的有界区域，函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在闭区域上Γ+Ω=Ω_连续，其一阶偏导数在Ω内连续，则：⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂ΩdV zR y Q x P )(= dS z n R y n Q x n P ⎰⎰++Γ)],cos(),cos(),cos([。
其中dV 是体积元素，dS 是Γ上面积元素，n 是Γ上外法向量。
(2)第一格林公式设),,(z y x u ，),,(z y x v 的一阶偏导数在_Ω上连续，二阶偏导在Ω内连续，令x v u P ∂∂=，y v u Q ∂∂=，zvu R ∂∂=代入高斯公式可得：⎰⎰⎰⋅+⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∆ΩΩΓgradudV gradv dS vuu udV v 。
数学物理方程 格林函数法优秀课件
由格林第三公式，得
u (,,) ( u n u n )d s u d V(7 )
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
而 在 u dV un d s 中 ，f( xun,y在,z边)d界V 和 上的 值u 未 n知ds，因 此(须x,进y,一z)步 n处d理s.。
( 1 1 )
将（10）和（11）带入到（9），
G u d V ( u n u n ) d s B ( u n u n ) d s ( 9 )
得到
G u d V ( u n u n )d s u (x ,y ,z ) u n (x ,y ,z )
5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
设 { ( x ,y ,z ) |z 0 } , { ( x ,y ,z ) |z 0 } 考虑定解问题
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。
5.2.1 基本解
设 P0(,,)R3 ，若做点 P0(,, ) 放置一单位正电荷，
则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 0 ）
uf(x,y,z),(x,y,z) (1)
u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2 (2)
设 P0(,,)，则 P1(,,) 为 P 0 关于 的对称点。
G (P G , P 0)( P 0 ,,P (0 x ),,(yx ,,zy ), z )
数学物理方法第十章_格林函数法讲解
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的自由 项 ,则由 f 0
u(r0
)
T
G(r,
r0 )
f
(r)dV
(r)
G(r, n
r0
) ]dS
得
因为
T (r)dV 1
T G(r,0)dV T G(r,0)dV S G(r,0) dS
由于
G
G r
er
,G
只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在
圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即
G r
rddz
T
(r)dV
2π
1 S0 f (r0 ) ln | r r0 | dS0
10.4 用电像法确定格林函数
用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法
一、电像法定义 考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的 M 0 点
故有
S
G r
r2
sin d d
T
G(r , 0)dV
1
使上式恒成立，有 4πr2 G(r,0) 1 r
G(r,0) 1 c 4πr
r ，G 0 因此 c 0 ,故得到
对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为
格林函数方法
格林函数方法格林函数方法是一种数值计算方法，它通过求解常微分方程来解决实际问题，并有助于研究工程中的某些物理特性。
格林函数方法以量子力学和热力学的成功应用为基础，现在被广泛用于量子电子学、光学、流体力学、结构力学、能源学等领域，其有效的处理数十亿个基础状态的能力为科学研究提供了无穷的可能性。
格林函数方法的基本思想是将给定的微分方程转换为它的格林函数表示，以便对常微分方程的解或其他数学特性进行分析。
主要特点是，格林函数方法可以用来求解复杂的线性和非线性微分方程组，其中格林函数可以看作是方程组中各元素的描述，而不需要显式地求出它们的解。
这使得格林函数方法得以应用于复杂系统中实际问题的求解，从而在工程实践中节省了大量的时间和精力。
具体来说，格林函数方法一般分为三个步骤：首先，将常微分方程转换为额外的辅助方程和格林函数；其次，解辅助方程，以求出格林函数，并使用它来解决源微分方程；最后，通过使用互补性和通用性特性，求出格林函数方程组的解，并进行可视化分析。
格林函数方法在研究各种量子物理学问题方面表现异常出色，在计算能量谱、场动力学以及其他类似的量子物理问题方面，它具有极大的优势。
如果将格林函数方法与数值模拟技术相结合，就可以更好地描述复杂的物理系统的特性和行为，从而对更复杂的问题有所贡献。
在过去几十年中，随着计算机技术的发展，格林函数方法也取得了巨大的进步。
最近，研究者们发展出了新型的格林函数方法，如蒙特卡洛格林函数方法和一维格林函数方法，它们可以用于更复杂的微分方程组，能够更快地收敛，对于大型系统也更加有效。
此外，现在有一系列的软件可用来帮助研究人员编写格林函数方程组的程序，大大简化了编程的过程，也方便了研究人员使用格林函数方法发掘物理系统的特性。
综上所述，格林函数方法为研究者提供了解决复杂系统的实际问题的独特工具，同时也大大提高了数值计算的效率。
该方法在研究物理学问题方面取得了显著的进展，已经被广泛应用于各个领域；随着科技的进步，格林函数方法也在不断演进，发展出新的计算技术，为科学研究提供无穷的可能性。
格林函数法求解场的问题
格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,ua u f r t t∂-∇=∂ 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20u f r ρε∇=-=-表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r rρφπεΩ=-⎰这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r nρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩ 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ代表自由电荷密度。
数学物理方法第10章格林函数法
2
格林函数，又称为点源影响函数，是数学物理方程中的
一个重要概念，也是求解各类定解问题的另一种常用方法。
若已知点电荷(点 源)产生的场(边 界无限远,无初始 条件） 积分得到
Uq
任意带电体(任意 源)产生的场(边 界无限远，无初 始条件） 任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
19
1 4 r r0
R 0 r0 R2 4 0 r 2 r0 r0
1 R 4 r r0 r0
1 R2 4 r 2 r0 r0
20
G r0 ; r u r r0 dS0 G r0 ; r f r0 dV0 n T
u r f r u u r n
为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的 格林函数 G(r , r0 ) 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：
6
G(r , r0 ) (r r0 ) G [ G ] 0 n
13
对狄利克雷问题的格林函数应满足：
G r ; r0 r r0 G r;r 0 0
令 G G0 G1代入上述定解问题有
G0 G1 r r0 G0 G1 0
显然没有考虑边界的影响 （或者说对应着无界空间）
G r;r0 u r r0 dl0 G r;r0 f r0 dS0 n0 l S
1 G0 4 r r0
1 1 G0 ln c0 2 r r0
G1 0 G1 G0
21
高等数学格林公式及其应用
16
L
Pdx
Qdy
D
(Q x
P y
)dxdy
设L为取正向的圆周x2 y2 9,则曲线积分
(2xy 2 y)dx ( x2 4x)dy ( 18π ). L
解 设P 2xy 2 y, Q x2 4x
由格林公式 P 2x 2, Q 2x 4
y
x
(2xy 2 y)dx ( x2 4x)dy L
y
my ,
Q
ex
cos
y
O
m
•
A(a,0) x
Q ex cos y, P ex cos y m
x
y
可知 Q P m
x y
非常简单.
18
为L应不用闭格合林+公边式L＊再, 使补L充+一L＊段曲线, 使之构成
闭闭曲合线, .再因用在格补林充公的式曲.线上还要算曲线积分, 所以
补充的曲线要简单, 通常是补充与坐标轴平行的 直线段. 因而这里补加直线段 OA. y
Qdy
D
(Q x
P y
)dxdy
计算I e ydx ( xy3 xe y 2 y)dy, L
其中L为圆周 x2 y2 2x 的正向.
解 P e y , Q xy3 xe y 2 y y
P e y , Q y3 e y
y
x
.D
O
1
2x
Q P y3 x y
对称性
由格林公式有 I y3dxdy 0.
解 由格林公式 Q P m
x y
(e x
cos
y
O
m)dy
AOOA
•
A(a,0) x
D
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再令 G0 r r0
G 0 （在区域内） 1 G1 G0
14
G0 r; r0 称为相应方程的基本解（即无界空间的格林函数）
注意 ① G0 表示点 r0 处的源对点 r 处的直接影响，G1 表示点 r0 处的源 对点 r 处（通过边界）的间接影响。 ② 若认为 G0 、 G1 是由点电荷q1 0、q2 产生的电势，则由 它们满足的方程可知： G0 是所研究区域内 r0 处的点电荷 q1 在
1 R G= 4 r r0 4 r0 r r1
G n
G = r0 r R
0
1 1 R 4 r r r r r r 0 0 0 1 r R r0 R 0
23
1 1 R 2 2 4 r0 r r0 2rr0 cos r0 r 2 r12 2rr1 cos
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
3u 0 r R u r R f ,
P
R
r
M
O
r0
M0
M1
解：设 M0 r0 , M r 的球坐标为 r0 ,0 ,0 , r, , r 1 OM1
r0 、 r 在球坐标系中单位矢量分别为
G r;r0 u r0 r dl G r;r0 f r dS n l S
由格林函数的对称性可得
G r0 , r u r r0 dS0 G r0 , r f r0 dV0 n T
G(r , r0 ) u(r0 ) u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 [u(r0 ) G(r , r0 ) ]dS0 T n 0 n0
解的基本思想：通过上面解的形式，我们容易观察出引
用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边 值问题所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题， 一 般后者的解容易求得，再利用泊松方程的基本积分公式可求得 定解问题的解．
第10章 格林函数法
2
格林函数，又称为点源影响函数，是数学物理方程中的
一个重要概念，也是求解各类定解问题的另一种常用方法。
若已知点电荷(点 源)产生的场(边 界无限远,无初始 条件） 积分得到
Uq
任意带电体(任意 源)产生的场(边 界无限远，无初 始条件） 任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
1 解：该定解问题为三维，其基本解为 G0 4 r r0
G1 0 r R G1 则满足 1 G1 r R G 0 r R 4 R r0
17
设产生 G1 的等效点电荷电量 q 、位置 r1 （在 且在球形区域以外，这样方程自然满足） 则 r 1 OM1
必须解一个特殊的泊松方程边值问题
为 求 格 林 函 数
对一般形状区域，要解决这个特殊的泊松方程边值问题也
十分困难，但由于满足的边值问题具有同一性，难度相对原问
题也有一定程度降低，特别是对泊松方程狄利克雷问题其格林 函数又有十分明确的物理图像，因此该做法仍具有重要而积极 意义。不仅如此，对若干特殊形状区域，还可用初等方法求出， 从而能够解决该区域上的所有泊松方程的狄利克雷问题。
o
进一步理解通常人们为什么称格 林函数为点源函数．
7
② 格林函数的对称性
G r , r0 r r0
G r , r0 G r0 , r
函数性质
G r ; r0 G r0 , r
r0 处的点源在点 r 处产生的场
r 处的点源在点 r0 处产生的场
r0 R
r0 R
1 1 R 2 2 2 2 4 2 4 r0 r r0 2rr0 cos r r R 2R rr0 cos 0
条件 M1
R
O
r0 的延长线上
P
q G1 4 0 r r1
因此：
M
r
r0
M0
M1
q 4 0 R r1
1 4 R r0
PM1 0 R r0 PM0 q
18
R r1
选取 M1 r1 使得 OPM1 OPM0 相似
P
r1 PM1 R R 0 PM0 r0
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
格林函数具有十分明确的物理意义：
位于r0 处且电量为 0 的点电荷在接地的导体壳
r
r0
q 0
内
r 处所产生的电势。由此可以
q
R
O
r
M
r0
M0
M1
R q 0 r0
R r1 2 r0 r0
2
球形区域格林 函数表达式； 区域形状不同 其格林函数也 会有所不同
1 q G=G 0 +G1 4 r r0 4 0 r r1 R 0 r0 1 1 R 4 r r0 4 0 r r1 4 r r0 4 r0 r r1
场相同
格林函数具有对称性
对称性在电学上的意义： r0 处单位点电荷在 r 处产生的电势等于 r 处单位点电荷在 r0 处产生的电势
8
根据格林公式， 令 v G(r , r0 ) 得到
G u (r ) (u(r ) n G n ) dS T (u(r )G Gu(r ))dV
10
3.第一边值问题格林函数
u r f r u r r
分析： 只须消掉公式中的
u r0
u G u G dS GfdV n n T
u 项即可得到结果。 n
相应的格林函数 G(r , r0 ) 是下列问题的解：
U Q = dU q
V
若能求出某一点 源在给定初始和 边界条件下产生 的场
积分得到
格林函数 ：代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场
3
§12.1 泊松方程的格林函数法 1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里克雷Dirichlet问题） 在边界上取已知值。
u r f r u r r
z
r0
0
k0 sin0 cos 0i+sin0 sin0 j+cos 0k
k sin cos i+sin sin j+cos k
x
y
0
22
r
cos k0 k
k
k0
r0
cos cos0 sin sin0 cos 0
球的拉普拉斯方程的狄利克雷问题的格林函数由例1得：
③ 第三边值问题（洛平Robin问题）
4
2. 格林公式
u x, y, z , v x, y, z 在闭域 T 上有连续一阶偏导数，
在 T 内有连续二阶偏导数，则有（ n 为外法线方向） 第一格林公式
第二格林公式，简称格林公式
5
3. 泊松方程的基本积分公式
① 格林函数的引入 典型的泊松方程( 三维稳定分布）边值问题
1 1 二维空间： G0 ln c0 2 r r0
G1 0 G1 G0
16
2. 电像法求特殊区域的格林函数
思路：根据格林函数的物理意义，利用电磁学中关于计算
点电荷电势的知识，针对特殊区域的具体形式，再结合几何、
数学有关内容，就可求得相应的格林函数，从而解决该区域上 泊松方程的边值问题。这即是所谓的电像法。 例1 试求球内的泊松方程的狄利克雷问题的格林函数。
所研究区域内 r 处产生的、且不计任何边界或初始条件的电
G1 则应为点电荷q1在边界上产生的感应电荷的等效点电荷 势；
q2 （电量未知，位置
应在所研究区域之外）在所研究区域内 r1
处产生的并满足一定边界条件的电势。 r
15
③ 三维空间：
0 q 1 G0 4 0 r r0 4 0 r r0 4 r r0
19
1 4 r r0
R 0 r0 R2 4 0 r 2 r0 r0
1 R 4 r r0 r0
1 R2 4 r 2 r0 r0
20
G r0 ; r u r r0 dS0 G r0 ; r f r0 dV0 n T
u r f r u u r n
为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的 格林函数 G(r , r0 ) 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：
6
G(r , r0 ) (r r0 ) G [ G ] 0 n
u r f r u r r n
② 第二边值问题（诺伊曼Neumann问题）
在边界上对外法线方向的导数取已知值。
u r f r 在边界上其本身和对边界外法向导数 u u r 的线性组合取已知值。 n
G r ; r0 r r0 G r ; r0 0
r , r0 T
11
G r ; r0 u r0 r dS G r ; r0 f r dV n T
二维时
即为
u G [G n u(r ) n ] dS T (Gu(r ) u(r )G)dV [G ( f (r )) u (r ) (r r0 )]dV