1-单自由度自由振动
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机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
结构力学课件之单自由度体系的振动
2.2 单自由度体系的强迫振动
单自由度体系的强迫振动的微分方程： y m ky P(t) y k P(t) 2 P(t) y 可写成： y m y 2. 当荷载为简谐荷载时： P(t) F sin t 2 m P(t) ky y F sin t y m 3. 微分方程的解为： m y m受力图 y F 2 1 2 (sint sin t) yst (sint sin t) m 1 2 1 2 为动力系数。 F yst 2 为静荷载F作用下的振幅。 1 2 m 时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。
tg
1
y0 0 v
2.1 单自由度体系的自由振动
三、结构的自振周期 y 从微分方程的解： (t) a sin(t ) 知位移是周期函数； 自振周期T：振动一周需要的时间； T 2 2 m 2 m k 自振频率f：单位时间的振动次数； f 1 T 2 圆频率或角频率：2 时间内的振动次数； 2 2 2f k 1 T m m 自振周期的性质：
2 k EI 2 2 4 3 4 48EI 2 1 48EIg k 1 3 m m m Ql
11 5
EI
0.5l
1 EI
0.5l
0.25l 2n 2 500 52.36 / s 2. 荷载频率： 60 60 M 1 1 2 2 5.93 3. 动力系数： 为动力位移和动力应 52.36
1. 自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。 2. 质量越大，周期越大； 刚度越大，周期越小。 3. 自振周期是结构动力性能的一个重要指标。
例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩 为I，弹性模量为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不 计，试分别计算水平振动和竖向振动的自振周期。 解：解题的依据 T 2 2 m 2 m m k
第1章--单自由度系统的自由振动题解
习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ=则 k =324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =- 所以固有频率3n 24mhEJp =1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a ＝h题1-1图题1-2图θF sin α2θαhmgθ2F cos ＝mg由动量矩定理：aha mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&其中12cossin ≈≈θααhl ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l gah l p T n 3π23π2π222===1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
振动力学第二章第一节单自由度系统的自由振动
纯滚动圆盘
3 (R r) g 0
2
扭转振动系统
Jq ktq 0
pn
keq meq
kn I
pn
keq meq
mga JO
pn
keq meq
2g 3(R r)
pn
keq meq
kt J
梁的横向振动系统
dst
利用材料力学公式计算出静位移:
d st
mgl 3 48EI
pn
g
d st
48EI ml 3
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2， 分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。
解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。
两根弹簧的静变形都是dst，弹性力分别是
F1 k1d st F2 k2d st 系统平衡方程 Fx 0 mg F1 F2 (k1 k2 )d st
2
1. 方程的解
x
x0 cos pnt
n
x&0 pn
sin
pnt
x Asin( pnt )
初
振幅
相
A
x02
(
x&0 )2 pn
位 角
arctg(
pn x0 x&0
)
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
系统振动的周期 T 2π 2π m x pn2 x 0
用一根弹簧k来代替k1 k2
f 1 k1 k2 2π m
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形 之和，即 dst = d1st + d2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于重
3 (R r) g 0
2
扭转振动系统
Jq ktq 0
pn
keq meq
kn I
pn
keq meq
mga JO
pn
keq meq
2g 3(R r)
pn
keq meq
kt J
梁的横向振动系统
dst
利用材料力学公式计算出静位移:
d st
mgl 3 48EI
pn
g
d st
48EI ml 3
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2， 分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。
解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。
两根弹簧的静变形都是dst，弹性力分别是
F1 k1d st F2 k2d st 系统平衡方程 Fx 0 mg F1 F2 (k1 k2 )d st
2
1. 方程的解
x
x0 cos pnt
n
x&0 pn
sin
pnt
x Asin( pnt )
初
振幅
相
A
x02
(
x&0 )2 pn
位 角
arctg(
pn x0 x&0
)
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
系统振动的周期 T 2π 2π m x pn2 x 0
用一根弹簧k来代替k1 k2
f 1 k1 k2 2π m
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形 之和，即 dst = d1st + d2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于重
机械振动基础-单自由度系统-1
• 速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率； • 在相位上，速度超前位移90，加速度超前位移180°。
• 加速度始终与位移反向： u&&(t) n2u(t) • 速度和加速度的幅值分别是振幅的 n和n2倍。
• 简谐振动过程
最大振幅
最大速度
最大振幅
-A
速度为零， 位移，加速度 绝对值最大， 方向反向。
m
解：系统的动能和势能分别为：
系统的广义力为：
T 1 mx2 , 2
U 1 kx2 2
Q W P(t)x Pt
x
x
代入到拉格朗日方程得：
d dt
Tx
dU dx
Q
mx kx P(t)
例1-3： 如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体 作纯滚动。建立其运动方程。
解：因为纯滚动，所以振动
a) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足条件： u(t T ) u(t)
（1.2.13）
即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正 常数 T -振动周期。
Tn
2 n
2
m k
（1.2.14）
— 无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。
固有频率的另一种形式：
fn
n 2
1 Tn
(赫兹）
表示1秒内重复振动的次数。
该矢量在t 时刻在y轴 上的投影 即为位移 响应在同 一时刻的 值.
b) 简谐运动的位移、速度和加速度之间的关系：
• 速度和加速度可分别表达为：
u&(t )
na
cos
nt
na
sin(nt
2
)
（1.2.17）
u&&(t) n2a sin nt n2a sin nt （1.2.18）
单自由度系统自由振动
取物块的静平衡位置为坐标原点 O ， x 轴顺弹簧 变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置 时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微 分方程为
mx mg k ( st x)
mx kx
k 固有圆频率 令 ： 0 m 无阻尼自由振动微分方程 2018年9 月4日
周期 T 2
0
; 则
1 0 2 2f T
f 称为振动的频率，表示每秒钟振动的次数，单位为1/s或Hz
0 称为固有角（圆）频率（固有频率），表示每2秒内振动
2018年9月4日 《振动力学》
的次数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数k有关。
8
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
统固有的物理参数，称为固有频率，振幅取决 于初始扰动的大小。阻尼振动的固有频率小于 无阻尼情形。临界阻尼和大阻尼条件下的系统 作非往复的衰减运动。
2018年9月4日 《振动力学》
3
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
2018年9月4日 《振动力学》
c1 A sin ,
c2 A cos
x t A sin 0 t
2018年9月4日 《振动力学》
无阻尼自由振动是简谐振动.
7
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
1.2 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动
0 ( t T ) 0t 2
振动不能维持等幅而趋于衰减，称为有阻尼自由
第二章1-单自由度系统无阻尼自由振动上课讲义
x&0 0
3 2
,2
结论1
▪ 单自由度无阻尼自由振动为简谐振动—— 位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或 余弦）
结论2 响应满足叠加原理
▪ 系统在初始位移单独 x 0 作用下的自由振动，
此时
x&0 ， 0
x1 x0cosnt
▪ 系统在初始速度 x& 0 单独作用下的自由振动，
此时
x 0 ， 0
x2
x&0
n
sin nt
系统总响应
▪ 振动系统总的响应=上述两部分响应之和
xx1x2x0cosnt x& 0 nsinnt
▪ 叠加性是线性系统的重要特征
数字特征
▪ A ——振幅，振动物体离开静平衡位置的最
大位移
▪
▪T
n
——圆频率 ——振动周期，旋转矢量转动一周
（2 ），振动物体的位移值也就重复一次，
m& x&F
方程化简
▪ 对于无阻尼自由振动，我们有
Fkx
▪ 因此，原方程改写为：
m& x& kx0
确定微分方程的初始条件
▪ 在t=0时，初始位移为 x 0 ，初始速度为 x& 0
▪ 则方程的初始条件为：
x(0) x0 和 x&(0) x&0
完整形式
▪ 单自由度无阻尼自由振动的运动微分方程 为：
第二章1-单自由度系统无阻尼自 由振动
几种单自由度系统的示例
O θ
S
隔离体受 力分析
kx
k
x(t)
m
O
S
O θ J
2-1无阻尼自由振动
▪ 自由振动：系统在初始激励下，或外加激 励消失后的一种振动形态。
振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动
c
l
解：梁重物处的静变形为
st
Wc2 (l c)2 3lEI
则：
3lEI k c2 (l c)2
1g f
2 st
例3. 已知：升降机吊笼，以等速 v0 下降，钢丝绳视为弹簧，
若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。
W 10000lbf l 62 ft A 2.5in2 E 15106lbf / in2
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of G 80109 N / m2
(boom) to deform by an amount x2 x cos 45 and the spring k1
Eat 3 4b3
kr
AE l
d2E
4l
1 keq
1 kb
1 kr
4b3 Eat 3
4l d2
E
keq
E 4
at3d 2
d 2b3 lat3
4 等效质量和等效刚度
斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度
Fx F cos F 为弹簧的伸长量
振动理论03(1)-单自由度系统自由振动
如果水在U形管中往复地振动，那么运 动质量就是 。 注意到，在这个问 题中，没有涉及弹簧。实际上，重力的 作用把水柱恢复到它的平衡位置，因此 在题目中有一个重力弹簧，按定义它的 弹性常数是单位位置变化所需要的力。
42
2014/9/28
管中其中一个臂的水位升高1厘米，另一个臂的水位就
降低1厘米，因此就给出2厘米水柱的失衡重量，产生
-任意瞬时的位置与平衡位置 之间的距离）?
10
2014/9/28
弹簧力
阻尼力
作用在质量块的力总计 sin
应用牛顿第二定律： 单自由度系统运动微分方程
mx cx kx P0 sin t
惯性力 阻尼力 弹性力 外来的谐力
单自由度扭转系统振动方程
圆盘的惯性矩为 轴的抗扭刚度为 外加扭矩 0 用于转动物体的广义牛顿定律
弹簧－质量系统
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“ 无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所组成的模型， 称为弹簧－质量系统(spring mass system)
角振动(angular vibration)：以角位移作为独立坐标的系 统。例如后面将要介绍的圆盘的扭振(Torsional vibration)。
用一根弹簧把一个质量m悬挂 在刚性天花板上。弹簧的刚度 由弹性系数 表示
在质量和刚性天花板之间有油 或者空气缓冲器机构
质量静止时，缓冲器不传递力 质量运动时，缓冲器的阻尼力与
速度成正比，即 c:阻尼常数或粘性阻尼常数
9
2014/9/28
假设一个交变外力作用在质 量上
计算外力造成的质量的运动 ，即求出质量运动距离 的时 间函数
振动理论(3) 第3章 单自由度系统自由振动
自由度
自由度
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2014/9/28
管中其中一个臂的水位升高1厘米，另一个臂的水位就
降低1厘米，因此就给出2厘米水柱的失衡重量，产生
-任意瞬时的位置与平衡位置 之间的距离）?
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2014/9/28
弹簧力
阻尼力
作用在质量块的力总计 sin
应用牛顿第二定律： 单自由度系统运动微分方程
mx cx kx P0 sin t
惯性力 阻尼力 弹性力 外来的谐力
单自由度扭转系统振动方程
圆盘的惯性矩为 轴的抗扭刚度为 外加扭矩 0 用于转动物体的广义牛顿定律
弹簧－质量系统
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“ 无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所组成的模型， 称为弹簧－质量系统(spring mass system)
角振动(angular vibration)：以角位移作为独立坐标的系 统。例如后面将要介绍的圆盘的扭振(Torsional vibration)。
用一根弹簧把一个质量m悬挂 在刚性天花板上。弹簧的刚度 由弹性系数 表示
在质量和刚性天花板之间有油 或者空气缓冲器机构
质量静止时，缓冲器不传递力 质量运动时，缓冲器的阻尼力与
速度成正比，即 c:阻尼常数或粘性阻尼常数
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假设一个交变外力作用在质 量上
计算外力造成的质量的运动 ，即求出质量运动距离 的时 间函数
振动理论(3) 第3章 单自由度系统自由振动
自由度
自由度
1-2单自由度系统无阻尼振动(1)解析
（rad/ s） 为圆频率或固有频率
振动周期 振动频率
（ s）
（Hz）
结论2：响应满足叠加原理
系统在初始位移 x0 单独作用下的自由振动， 此时 系统在初始速度 x0单独作用下的自由振动， 此时
x0 0
系统的总响应 叠加性是线性系统的重要特征。
结论3
固有特性
这三个量都由振动系统的参数确 定，而与初始条件无关，是系统 的固有特性，因而又称作：固有 圆频率、固有周期和固有频率。
（2）能量法（拉格朗日方程法） 拉格朗日方程（单自由度系统）： T为系统的动能，U为系统的总势能（或应变能），y为位移 自由度（广义坐标），Q为非势力的广义力。 对于定常约束系统，动能仅与速度有关 对于定常约束的保守系统 拉格朗日函数
动能与位移无关， 势能与速度无关
在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统自由振动时的机 械能（动能+势能）保持常值。
解：设j为圆盘相对于静平衡位置的角坐 标（即单自由度的广义坐标），作用在 圆盘上的恢复力矩 根据刚体绕定轴转动的平衡方程，有：
例3 弹簧—质量系统，在光滑的水平面上，质量为m的物体 用不计重量的弹簧固定，弹簧原长为l0，沿弹簧轴线取坐标轴 x，以弹簧不受力时右端位置o为原点，向右为正，假设物体 只限于沿x轴进行直线运动，故物体任意时刻的位置可由x完全 确定。建立运动微分方程。
解：以为广义坐标，以系统的静平 衡位置为零势能点，则：
若令
则得：
2.运动微分方程的求解
单自由度自由振动的微分方程：
这是二阶常系数线性微分方程，解的一般形式为：
式中c1、c2是由系统的初始条件决定的。 在t=0 时，初始位移为 ，初始速度为
结论1：
单自由度无阻尼自由振动为简谐振动——位移可以表示为时 间的简谐函数（正弦或余弦） A为系统自由振动的振幅，它表示质量块离开静平衡位置 的最大位移。 为相位角， 为初相位角。
振动周期 振动频率
（ s）
（Hz）
结论2：响应满足叠加原理
系统在初始位移 x0 单独作用下的自由振动， 此时 系统在初始速度 x0单独作用下的自由振动， 此时
x0 0
系统的总响应 叠加性是线性系统的重要特征。
结论3
固有特性
这三个量都由振动系统的参数确 定，而与初始条件无关，是系统 的固有特性，因而又称作：固有 圆频率、固有周期和固有频率。
（2）能量法（拉格朗日方程法） 拉格朗日方程（单自由度系统）： T为系统的动能，U为系统的总势能（或应变能），y为位移 自由度（广义坐标），Q为非势力的广义力。 对于定常约束系统，动能仅与速度有关 对于定常约束的保守系统 拉格朗日函数
动能与位移无关， 势能与速度无关
在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统自由振动时的机 械能（动能+势能）保持常值。
解：设j为圆盘相对于静平衡位置的角坐 标（即单自由度的广义坐标），作用在 圆盘上的恢复力矩 根据刚体绕定轴转动的平衡方程，有：
例3 弹簧—质量系统，在光滑的水平面上，质量为m的物体 用不计重量的弹簧固定，弹簧原长为l0，沿弹簧轴线取坐标轴 x，以弹簧不受力时右端位置o为原点，向右为正，假设物体 只限于沿x轴进行直线运动，故物体任意时刻的位置可由x完全 确定。建立运动微分方程。
解：以为广义坐标，以系统的静平 衡位置为零势能点，则：
若令
则得：
2.运动微分方程的求解
单自由度自由振动的微分方程：
这是二阶常系数线性微分方程，解的一般形式为：
式中c1、c2是由系统的初始条件决定的。 在t=0 时，初始位移为 ，初始速度为
结论1：
单自由度无阻尼自由振动为简谐振动——位移可以表示为时 间的简谐函数（正弦或余弦） A为系统自由振动的振幅，它表示质量块离开静平衡位置 的最大位移。 为相位角， 为初相位角。
单自由度系统的自由振动
长度为A的矢量以匀角速度ω在平面上绕定点O逆时针 旋转，该矢量在直角坐标轴上的投影均可表示简谐运动。
频率：ω； 幅值：A； 初始相位：t=0时矢量与坐 标轴的夹角。 y Asin(t )
1．两个（或两个以上）同频 率简谐振动的合成。
2．直观表示简谐振动位
x Acos(t )
移．速度．及加速度之间的 相对关系。
旋转矢量表示法—旋转矢量投影法
y
1．两个（或两个以上）同频
率简谐振动的合成。
A
A2
2
ω
φ A1
1
O
x
2．直观表示简谐振动位 移．速度．及加速度之 间的相对关系。
y
x
ωA
Ax
ω O
x ω A2
φ
x
复数表示法
长度为A的矢量以匀角速度ω在复平面上绕定点O逆时 针旋转，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处 复数z的实部和虚部相对应。
单自由度系统自由振动方程
x
2 0
x
0
0 k / m
单自由度系统自由振动方程的解 说明什么？
x C1 cos0t C2 sin 0t x Asin(0t )
无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动
振动角频率ω0是系统的固有特性，与初始条件无关
固有频率及 固有周期
f 0 1 2 2
k m
T0
1 f
2
m k
固有频率
x C1 cos0t C2 sin 0t
x Asin(0t )
ω0称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为 rad/s
0 k / m
固有频率及 固有周期
频率：ω； 幅值：A； 初始相位：t=0时矢量与坐 标轴的夹角。 y Asin(t )
1．两个（或两个以上）同频 率简谐振动的合成。
2．直观表示简谐振动位
x Acos(t )
移．速度．及加速度之间的 相对关系。
旋转矢量表示法—旋转矢量投影法
y
1．两个（或两个以上）同频
率简谐振动的合成。
A
A2
2
ω
φ A1
1
O
x
2．直观表示简谐振动位 移．速度．及加速度之 间的相对关系。
y
x
ωA
Ax
ω O
x ω A2
φ
x
复数表示法
长度为A的矢量以匀角速度ω在复平面上绕定点O逆时 针旋转，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处 复数z的实部和虚部相对应。
单自由度系统自由振动方程
x
2 0
x
0
0 k / m
单自由度系统自由振动方程的解 说明什么？
x C1 cos0t C2 sin 0t x Asin(0t )
无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动
振动角频率ω0是系统的固有特性，与初始条件无关
固有频率及 固有周期
f 0 1 2 2
k m
T0
1 f
2
m k
固有频率
x C1 cos0t C2 sin 0t
x Asin(0t )
ω0称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为 rad/s
0 k / m
固有频率及 固有周期
第1讲 单自由度振动
单位脉冲力对于单自由度系统脉冲响应函数为为减系数16单自由度系统频响函数曲线特征1粘性阻尼系统幅频曲线和相频曲线单自由度系统频响函数曲线特征幅频曲线和相频曲线1c点对应于小阻尼下可认为是峰值点2c点共振幅值点该点对应的频率为单自由度系统频响函数曲线特征幅频曲线和相频曲线3ab点称为半功率点所对应的频率为单自由度系统频响函数曲线特征幅频曲线和相频曲线相频曲线上ab半功率点c点对应的相位分别为频率代入表达式即可得到这3点对应的角度值
用 xi , xi m 表示两个相隔m个周期的振幅，可得
x x 1 d 1 ln i ln i 2m n xi m 2m xi m
1
1.4 简谐激振下单自由度体系的响应 F 2 (t ) 2 n x (t ) n 运动方程： x x(t ) 0 sin t
a
A k c
2 2
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
1.4.6 用复数表示的稳态响应 激振力： F0 sin t → F0 e it t cx kx F0 e i；稳态响应： m x x Ae i (t ) 运动方程： 激振力、惯性力、弹性力、阻尼力矢量平衡关系：
1.4.5 主动隔振（力隔振）
图示系统运动方程
mx cx kx F0 sin t 设稳态解 x A sin(t ) 传到基础上的力为 cx kx c A sin(t ) kA sin(t )
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
A F0 sin / c
得
绝对位移运动方程：m cx kx kxg cx g x
cx kx kB sin t cB cos t m x
用 xi , xi m 表示两个相隔m个周期的振幅，可得
x x 1 d 1 ln i ln i 2m n xi m 2m xi m
1
1.4 简谐激振下单自由度体系的响应 F 2 (t ) 2 n x (t ) n 运动方程： x x(t ) 0 sin t
a
A k c
2 2
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
1.4.6 用复数表示的稳态响应 激振力： F0 sin t → F0 e it t cx kx F0 e i；稳态响应： m x x Ae i (t ) 运动方程： 激振力、惯性力、弹性力、阻尼力矢量平衡关系：
1.4.5 主动隔振（力隔振）
图示系统运动方程
mx cx kx F0 sin t 设稳态解 x A sin(t ) 传到基础上的力为 cx kx c A sin(t ) kA sin(t )
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
A F0 sin / c
得
绝对位移运动方程：m cx kx kxg cx g x
cx kx kB sin t cB cos t m x
机械振动-第一章单自由度系统的自由振动
0 1 21 31 41
0 1 21 31 41
有了两张频谱图就掌握了一个周期振动。 利用频谱图分析振动的方法称为频谱分析。 自变量由时间改变为频率，所以频谱分析由 时间域转为频率域。
例1.1
一周期为 T 、振幅为 F0的矩形波，如图所示。在一个周 期的函数表达式为
0 1 0 1 T T
n0
利用三角函数的正交性，得到
2 T a0 F (t )dt T 0 2 T an F (t ) cos n1tdt T 0 2 T bn F (t ) sin n1tdt T 0
两个同频率的简谐振动可以合成一个简谐振动
an cos n1t bn sin n1t An sin n1t n
第一章 振动的运动学概念
运动学——描述质点或系统的运动形态 （位移、速度、加速度、相位等）随时间变化 的规律的学科，不涉及受力情况。 更一般的说，从几何方面研究而不涉及物 理原因。 前边说的第二类分类方法就是从运动学 角度把系统的运动分为简谐振动、
简谐振动：物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦 函数)的规律随时间变化。
a 2 x
§1.2 简谐振动的矢量表示法及复数表示法
描述简谐振动的数学表示方法有三种： 用三角函数的代数表示法
矢量表示方法
复数表示
矢量表示方法
X
x
O
M1 A t M
旋转矢量
参考圆
x A sin t
各旋转矢量之间的关系
用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速
度旋转矢量的相对位置关系（即相位关系）。
X
A
单自由度系统的振动
Ic Mc
（a）
其中，IC为绕点 C的转动惯量， MC为重力作用下的恢复力矩。为方便起见，
设壳体的长度为单位长度，由图2-6，对
于给定的θ，对C点的恢复力矩MC 有如下
形式：
Mc
R sindw
2
2
gR2
sin
d
gR2 cos
2
2
2 gR2 sin
（b）
2.1 单自由度系统的自由振动
（c）
2.1 单自由度系统的自由振动
Ic Mc
（a）
当壳体作小幅振动时，即θ很小时，引入近似表达式
sinθ≈θ，cosθ≈1 ， 并将（b）、（c）两式代入（a）中，
得到:
2R3 2 2gR2
（d）
整理可得:
R
g
2
0
（e）
（e）式表明，当 θ很小时，系统运动的确象简谐振子，其
自然频率为:
2.1 单自由度系统的自由振动
小阻尼（ 0 ＜ζ ＜ 1）
0 ＜ζ ＜ 1时，解（2-22）可改写成如下形式：
x(t)
A1
exp
i
1 2nt
A2 exp i
1 2nt
ent
A1eidt A2eidt ent
由于Fs (t) kx(t) Fd (t) cx，(t)
方程（2-7）变为:
mx(t) cx(t) kx(t) F(t)
（2 -7） （2-8）
（2-8）式是一个二阶常系数常微分方程。常数 m ，c， k
是描述系统的系统参数。方程（2-8）的求解在振动理论中是 十分重要的。
2.1 单自由度系统的自由振动
系统的自由度定义为能完全描述系统运动 所必须的独立的坐标个数。
第二章单自由度系统的自由振动
瑞利法计算系统的固有频率时, 必须先假定 瑞利法计算系统的固有频率时 , 必须先 假定 系统弹性元件的振型 振型. 系统弹性元件的振型. 假定的振型通常与真实振型存在着差异, 假定的振型通常与真实振型存在着差异 , 这相 当于对系统附加了某些约束 附加了某些约束, 当于对系统附加了某些约束,因而增加了系统的刚 使得求出的固有频率略高出精确值. 度,使得求出的固有频率略高出精确值. 假定的振型越接近于真实振型, 假定的振型越接近于真实振型 , 瑞利法算出 的固有频率就越精确. 的固有频率就越精确. 实践证明, 实践证明 , 以系统的静变形曲线作为假设振 所得结果精度较高. 型,所得结果精度较高.
由平行轴定理
2
复摆的振动
2
gT I c = I 0 ma = ma 1 2 4aπ
2
2
测振仪, 例2-4 测振仪,已知
试建立该系统的运动微分方程, 试建立该系统的运动微分方程, 并求系统的固有频率. 并求系统的固有频率. 解:单自由度系统 取 θ 为广义坐标
m, I , k1 , k 2 , a, b
= C1 cos ω n t + C 2 sin ω n t
x = A sin(ω n t + ) 简谐振动
2 1 2 2
A= C +C
C1 , = arctg C2
初相位: 初相位:
质量弹簧系统
为任意常数,由初始条件确定. 式中 C1 , C 2 或A, 为任意常数,由初始条件确定. 相位: 相位: (ω n t 振幅: 振幅:A
1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 L = ma θ + Iθ k1a θ k 2 b θ 2 2 2 2
§2.3 固有频率的计算
1单自由度系统振动 (1)
绳中的最大张力等于静张力与 因振动引起的动张力之和：
由于
为了减少振动引起的动张力，应当降 低升降系统的刚度。
例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞。梁长 L，抗弯刚度EJ
求：梁的自由振动频率和最大挠度
解：取平衡位置，以梁承受 重物时的静平衡位置为 坐标原点建立坐标系Ox 静变形为：λ
由材料力学：
库伦力
库伦阻尼
摩擦力一个周期内所消耗地能量：
等效粘性阻尼系数
（2）平方阻尼 工程背景：低粘度流体中以较大速度运动的物体， 阻尼力与相对速度地平方成正比，方向相反 摩擦力 阻力系数 在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
等效粘性阻尼系数：
特征根： 振动解： c1、c2：初始条件决定
两个不等的负实根
为双曲正弦 其中
双曲余弦
设初始条件为 解为
响应图形
一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生
1 第三种情况，临界阻尼： 特征根： 为二重根
振动解 设初始条件： 则：
c1、c2：初始条件决定
响应图为
仍然是按指数规律 衰减的非周期运动， 但比过阻尼衰减快 些
c1、c2：初始条件决定 设初始条件：
则：
或：
其中： 振动解为 阻尼固有频率 阻尼自由振动周期 T0：无阻尼自由振动的周期
阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期
振动解： 欠阻尼是一种振幅逐渐衰 减的振动 不同阻尼，振动衰减的 快慢不同：
阻尼大，则振动衰减快
阻尼小，则衰减慢 减幅系数 ：评价阻尼对振幅衰减快慢的影响，定义 为相邻两个振幅的比值：
自由振动频率为：
撞击时刻为零时刻，则t=0时，有：
则自由振动振幅为：
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1.1 无阻尼自由振动
8
4. 振动微分方程的统一形式
比较前面几种不同系统的振动微分方程
kx 0 m x mgaf 0 J Of
3 gf 0 ( R r )f 2
k q 0 Jq r
48EI 3 y 0 m y l
第1章 单自由度系统的自由振动 1.1 无阻尼自由振动
方程的解中 n只决定于系统本身的参数m 和 k ，而与系统的初始条件无关，是系统本 身所固有的特性，所以称为固有频率，或称 圆频率或角频率，其物理意义是在 2p时间内振动的来自数，单位为弧度/秒（rad/s）；
第1章 单自由度系统的自由振动
1.1 无阻尼自由振动
13
方程的解中的X称为振幅，是质量偏离静
2
利用初始条件确定出常数
A x0 , B
第1章 单自由度系统的自由振动
v0 n x0
n 1
2
1.3 黏滞阻尼系统的自由振动
30
1.3 黏滞阻尼系统的自由振动
无阻尼系统振动过程中能量守恒，振幅保 持不变。而实际情况并非如此，一般必须考虑
阻力对振动过程的影响。
实际阻力的形式很多，有滑动摩擦表面的阻 力、空气或流体阻力、弹性材料的内摩擦阻力 等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。 粘滞阻尼或线性阻尼：阻力大小与速度成正
比。这是最简单的情况。
1.2.3 等效刚度
这里等效刚度的概念，是对具有多个弹
性元件的振动系统，将这些弹性元件的总刚
度等效为作用在集中质量上的单个弹簧。 n个弹簧并联时的总刚度为
k ki
n个弹簧串联时的总刚度为
1 1 k ki
第1章 单自由度系统的自由振动
1.2 能量法 等效质量和等效刚度
27
例题1.1 求图示系统的等效刚度。
1.3 黏滞阻尼系统的自由振动
34
给出初始条件：t＝0时 则可确定系数A和B
v0 x x0 , x
A
v0 ( 2 1)n x0 2n 1
2
B
v0 ( 1)n x0
2
2n 1
2
第1章 单自由度系统的自由振动
1.3 黏滞阻尼系统的自由振动
第1章 单自由度系 统的自由振动
第1章 单自由度系统的自由振动
1
单自由度线性系统的振动是最简单 的振动系统；
许多实际问题可以足够精确地简化
为这样的振动系统；
单自由度振动系统的一些概念、特
征和研究方法，是研究复杂振动系
统的基础。
第1章 单自由度系统的自由振动
2
1.1 无阻尼系统的 自由振动
Fk
Fc
mg
1.3 黏滞阻尼系统的自由振动
32
令阻尼比为
则方程可写为 令其解为 代入方程得到
c 2mn
2nx x 0 x
2 n
x Ce
2
st
2 n
s 2ns 0
2
此特征方程的两个根是
s1, 2 ( 1)n
第1章 单自由度系统的自由振动
21
1.2 能量法 等效质量 和等效刚度
1.2.1 能量法
对无阻尼自由振动系统，能量（机械 能）是守恒的。设系统的动能和势能分 别用 T 和 V 表示，则能量方程为
T+V＝常数
或
d (T V ) 0 dt
1.2 能量法 等效质量和等效刚度
第1章 单自由度系统的自由振动
22
系统在静平衡位置的速度最大，动能也
1.1.1 振动微分方程的建立
1. 建立振动微分方程的方法 根据振动系统结构形式的不同，建立
振动微分方程的方法也不同，可以采用牛
顿定律、动能定理、动量矩定理、拉格朗
日方程等。
第1章 单自由度系统的自由振动 1.1 无阻尼自由振动
3
2. 弹簧 - 质量系统 (m-k 系统 )
的振动微分方程
m-k 系统虽然非常简单，但
第1章 单自由度系统的自由振动 1.1 无阻尼自由振动
17
复摆系统的固有频率
用转 角 f 表示的转动微 分
方程:
mgaf 0 J Of
则固有频率:
n
keq meq
mga JO
1.1 无阻尼自由振动
mg
第1章 单自由度系统的自由振动
18
纯滚动圆盘系统
用角度 f 表示的运动 微分方程:
3 gf 0 ( R r )f 2
则固有频率:
n
keq meq
2g 3( R r )
1.1 无阻尼自由振动
第1章 单自由度系统的自由振动
19
扭转振动系统
转动方程为
k q 0 Jq r
则固有频率:
n
keq meq
kr J
第1章 单自由度系统的自由振动
k q 0 Jq r
第1章 单自由度系统的自由振动 1.1 无阻尼自由振动
7
（4）梁的横向振动系统
质量为 m的重物放在简支梁的中心处，不计梁
的质量。设梁长为l，材料的弹性模量为E，截面
惯性矩为I。则利用材料力学的概念可得到：
48EI 3 y 0 m y l
第1章 单自由度系统的自由振动
x ( A Bt )e
n t
利用初始条件确定常数为
A x0 , B v0 n x0
把此时的阻尼系数称为临界阻尼 系数，记为cc
cc 2mn 2 mk
第1章 单自由度系统的自由振动
1.3 黏滞阻尼系统的自由振动
37
临界阻尼情况也是一种非振荡的衰减运动，
按不同的初始条件其运动图形如图。
第1章 单自由度系统的自由振动
1.2 能量法 等效质量和等效刚度
24
1.2.2 等效质量
这里等效质量的概念和前面稍有不同，是 在考虑弹性元件质量的时候，将这些弹性元件
所具有的多个集中质量或分布质量简化到系统
的集中质量上去，从而变成典型的单自由度振 动系统。 简化的原则是：简化后系统的动能与原系 统的动能相等，但并不考虑重力势能的影响。
1 n f T 2p
固有频率 n和频率 f 只相差常数2p，
因此经常通称为固有频率。是振动分析
中极其重要的参数。
圆有频率、振幅和初相位是谐和振动
的三个重要特征量。
第1章 单自由度系统的自由振动 1.1 无阻尼自由振动
15
1.1.3 固有频率的计算
1. 直接计算法 即直接利用固有频率的公式进行计算。 求出振动系统微分方程后，利用等效刚
平衡位置的最大距离； 称为初相位。
从方程的解中还可以看出，系统属于周 期振动，振动的周期为
T
2p
n
周期是系统振动一次所需要的时间，单 位为秒（s）；
第1章 单自由度系统的自由振动
1.1 无阻尼自由振动
14
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟
振动的次数，单位为 1/ 秒（ 1/s ）或赫兹
（Hz）。记作 f
3 gf 0 ( R r )f 2
第1章 单自由度系统的自由振动 1.1 无阻尼自由振动
6
（3）扭转振动系统
圆盘在轴的弹性恢复力矩
作用下在平衡位置附近作扭 转振动。设q为圆盘相对静平 衡位置转过的角度,J为圆盘对 轴的转动惯量 ,kr 为使轴产生
单位转角所需施加的扭矩 ( 即
轴的扭转刚度)。则
第1章 单自由度系统的自由振动
1.2 能量法 等效质量和等效刚度
28
例题1.5 求图示系统的固有频率。
第1章 单自由度系统的自由振动
1.2 能量法 等效质量和等效刚度
29
例题1.11 求图示系统的固有频率。
作业：T1.3，6，12，13
第1章 单自由度系统的自由振动
1.2 能量法 等效质量和等效刚度
最大，而势能取为 0 位置 ; 在重物偏离静平
衡位置最大时，速度为 0 ，动能也为 0 ，而 势能达到最大，利用能量守恒关系得到 Tmax＝Vmax 同时还有下面的关系
xmax n xmax
利用上面两式可以直接求固有频率。
第1章 单自由度系统的自由振动
1.2 能量法 等效质量和等效刚度
23
例 1.2 利用能量法求纯滚动圆盘系统 作微幅振动的固有频率。
量为JO，利用动量矩定理或定
轴转动微分方程可得到用转角
f表示的转动微分方程:
mgaf 0 J Of
第1章 单自由度系统的自由振动 1.1 无阻尼自由振动
5
（2）纯滚动圆盘系统
已知 m 、 r 、 R ，利用
功率方程（动能定理） 或拉格郎日方程可得到 用角度f 表示的运动微分 方程:
这种简化只是一种近似方法，但误差很小。
第1章 单自由度系统的自由振动
1.2 能量法 等效质量和等效刚度
25
例 1.3 质量 - 弹簧系统，
物块质量为m，弹簧长度为
l，刚度为k，单位长度质量 为r，求考虑弹簧质量影响 时的固有频率。
第1章 单自由度系统的自由振动
1.2 能量法 等效质量和等效刚度
26
10
1.1.2 振动微分方程的解
1. 方程的解 设 则方程变为 通解为 或
k m
2 n
x 0 x
2 n
x C1 cos nt C2 sin nt x X sin( nt )
1.1 无阻尼自由振动
第1章 单自由度系统的自由振动
11
设系统的初始条件为：t＝0时，x＝x0， x 则可确定上述解中的常数为：