实数知识点与对应题型

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初一数学实数典型例题

初一数学实数典型例题
在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算。
=-3
5、估算思想
估算思想是一种重要的数学思维方法,估算思想就是在处理问题时,采用估算的方法达到问题解决的目的,在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范围等问题时,常用到估算的方法进行解决。
2、实数与数轴
实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.观察下图(图1中是用单位圆找到 的位置;图2中用边长为1的正方向找到 的位置):
图1图2
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注童上述规定的三要素缺一个不可),实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。
解:由m≠x≠y,∴x—m≠0,y—m≠0
又被开方数x—m≥0,m—y≥0即y—m≤0
即有x—m>0,y—m<0
而被开方数 ∴ ∴m=0
将m=0代入等式,得 ∴x=-y>0
∴ = = =
【题型5】实数大小比较
(一)差值比较法
差值比较法的基本思路是设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据当a-b﹥0时,得到a﹥b。
分析:-2、 将数轴分为三部分,应讨论化简
解答:依题意作图如4所示,
①当a<-2时,|a+2|-|2a-3|=-a-2+2a-3=a-5
②当-2≤a≤ 时,|a+2|-|2a-3|=a+2-(3-2a)=3a-1
③当a> 时,|a+2|-|2a-3|=a+2-(2a-3)=-a+5。
点评:将使绝对值里为0的数(零点)标在数轴上,可将实数分为几部分,然后进行讨论。

实数题型总结 PPT

实数题型总结 PPT
A. 在1和2之间 C.在3和4之间
B.在2和3之间 D.在4和5之间
规律: 找所求数前后可以开平方的数,以此做比较。
活学活用
(2013.贺州)估计 6 +1的值在( )
A.2到3之间 C.4到5之间
B.3到4之间 D.5到6之间
中考链接
1.(山东东营中考) 81 的平方根是( )
A.±3 B. 3 C. ±9
活学活用
已知:y= x 2 + 2 x +5, 求x+y的值。
题型三
运用整体思想开 (2x+1)²=81
4或-5
(2)25(3x+2)²-36=0
4 15

16 15
分别将2x+1,3x+2看成一个整体开平方,最后求得x的值。
题型四
运用平方根的性质求值
手机调至静音
准备好笔记本、演算本、三色笔
实数
学习目标
1
实数知识点总结
2
实数章节题型归纳
平方根
算术平方根的定义、性质:双重非负性
平方根的定义 正数有两个互为相反数的平方根
平方根的性质 0的平方根是0
负数没有平方根
求法:开平方:求一个数a(a≥0)的平方根的运算
实 数
立方根
立方根的定义 立方根的性质
D.9
2.(湖南张家界中考)若 x 1+(y+2)²=0,则(x+y)2014等于( )
A.-1
B. 1
C. 32014
D.-32014
3.(河北中考) a,b是两个连续整数,若a< 7 <b,则a,b分别( )
A.2,3 B. 3,2 C. 3,4 D.6,8

专题2.3 实数【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题2.3 实数【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题2.3 实数【十大题型】【北师大版】【题型1 实数与数轴的综合应用】 (1)【题型2 比较实数的大小】 (4)【题型3 实数的有关运算】 (6)【题型4 估算无理数】 (8)【题型5 无理数整数部分或小数部分的有关计算】 (10)【题型6 程序设计与实数的运算】 (12)【题型7 新定义下的实数运算】 (14)【题型8 实数中的实际应用题】 (18)【题型9 实数中的规律探究题】 (20)【题型10 实数性质的综合应用】 (23)【知识点1 实数】0ììüìïïïïíïïïïïïïíýîïïïïìíïïíïïïîþîïïüìïïíýïïîþî正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数无限不循环小数叫做无理数.常见类型:①特定结构的无限不循环小数,如0.303 003 000 300 003…(两个3之间依次多一个0).②含有π的绝大部分数,如2π.【题型1 实数与数轴的综合应用】【例1】(2023春·七年级单元测试)如图,数轴上表示1A ,B ,点A 是BC 的中点,则点C 所表示的数是( )AB .C .D【答案】C【分析】根据中点得AC=BC,然后从A点向左平移即可;【详解】解:∵点A是BC的中点,∴AC=BC=,∴点C所表示的数为:1−)=故选:C【点睛】本题考查了无理数与数轴的关系、线段的中点性质等知识点,中点性质的运用是解题关键.【变式1-1】(2023春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中)实数a,b在数轴上对应的点的位置+化简结果为.【答案】−3b【分析】根据实数a,b在数轴上对应的点的位置判断出:a,b,b−a,a+b的符号,再根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可.【详解】解:实数a,b在数轴上对应的点的位置可知:a>0,b<0,且|a|>|b|,因此,a+b>0,b−a<0,+=|b−a|−(a+b)+b=a−b−a−b−b=−3b.,故答案为:−3b【点睛】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及绝对值的性质等知识,正确判断符号是正确化简的前提.【变式1-2】(2023春·四川宜宾·七年级统考期中)如图,正方形ABCD的面积为7.顶点A在数轴上表示的数为1,点E在数轴上,且AD=AE,则点E表示的数是()A B C.1+D.【答案】C【分析】因为面积为7的正方形ABCD AB=AB=AE,得AE=A点的坐标为1,故E.【详解】解:∵正方形ABCD的面积为7,即AB2=7,∴AB∵AB=AE,∴AE=∵A点表示的数为1,∴E,故选:C.【点睛】本题考查了实数与数轴有关的问题,算术平方根,关键是结合题意求出AB=AE【变式1-3】(2023春·河北沧州·七年级统考期中)如图,一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A,点B A所表示的数为m.(1)实数m的值是______.(2)求(m+2)2−|m−1|的值;(3)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有|2c+4|2c+3d的立方根.【答案】(3)2【分析】(1)根据数轴上右加左减的规律求解即可;(2)把m的值代入(m+2)2−|m−1|化简即可;(3)根据非负数的性质求出c和d的值,再求求2c+3d的立方根.【详解】(1)解:∵一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A,点B∴实数m..(2)解:当m=时,(m+2)2−|m−1|=+2)2−|=3−((3)解:∵|2c+4|∴|2c+4|+=0,≥0,|2c+4|≥0,∴|2c+4|=00,即2c+4=0,d−4=0,∴c=−2,d=4,===2即2c+3d的立方根是2.【点睛】本题考查了非负数的性质,实数与数轴的关系,相反数的定义,以及立方根的定义,熟练掌握各知识点是解答本题的关键.【题型2比较实数的大小】【例2】(2023春·江苏南京·【答案】<【分析】根据实数比较大小的方法求解即可.=2=3,−2==5<32=9,<3,−2=0,<2,又00,故答案为:<.【点睛】本题主要考查了实数比较大小,熟知实数比较大小的方法是解题的关键.【变式2-1】(2023·全国·和<【分析】利用作差法及无理数的估算,即可比较出大小.(=+−3+∵∴3,∴−3+<0,(<0,<【点睛】本题考查了无理数大小的比较方法-作差法,无理数的估算,熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键.【变式2-2】(2023春·江苏·七年级专题练习)若0<x <1,则下列关系式成立的是( )A .x <1x <<x 2B .x 2<x <1xC .1x <x <x 2<D 1x <x <x 2【答案】B【分析】可以采用取特殊值法,逐一求解,然后进行比较即可.【详解】解:∵0<x <1∴令x =14∴1x =412,x 2=116∵116<14<12<4∴x 2<x <<1x .故选B .【点睛】本题主要考查了实数的大小比较、负整数指数幂、整数指数幂等知识点,灵活利用相关运算法则以及掌握特殊值法是解答本题的关键.【变式2-3】(2023春·七年级单元测试)若a =b =c =2,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .b <c <aB .b <a <cC .c <a <bD .a <b <c 【答案】C【分析】根据无理数的估算判断出2<<2.2,2.2<【详解】解:∵8<9<10.648,∴2<<2.2,∵4.84<5,∴2.2<∴2<<c <a <b ,故选:C .【点睛】此题考查了实数的大小比较,无理数的估算,正确掌握无理数的估算方法是解题的关键.【题型3 实数的有关运算】【例3】(2023·全国· 1.71,计算的结果是( )A .71B .171C .1.71D .17.1【答案】A【详解】解:=(4−8+=1.71时,=100×1.71−100=71,故A 正确.故选:A .【点睛】本题主要考查了实数的混合运算,解题的关键是合并同类立方根式,然后将数据代入进行运算.【变式3-1】(2023·江苏·七年级假期作业)若a 、b 、c 是有理数,且满足等式a +2a ﹣c )2013+b 2014的值.【答案】0【分析】根据题意得出a =2,b =﹣1,c =3,再代入即可求值.【详解】解:∵a 、b 、c 是有理数,且满足等式a +2∴a =2,b =﹣1,c =3,则(a ﹣c )2013+b 2014=﹣12013+(﹣1)2014=0.【点评】本题考查了实数的运算,理解实数的意义,求出a 、b 、c 的值是解题关键.【变式3-2】(2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习)计算下列各题:(1)−35÷(−7)×(−17)−(23−112−415)×(−60)(2)−14−(1−0.5)(−2)2【答案】(1)1827;(2)13.【分析】(1)根据有理数混合运算的法则进行计算即可;(2)先算括号里面的,再算乘方,乘法,最后算加减即可.【详解】(1)解:原式=5×(﹣17)﹣23×(﹣60)+112×(﹣60)+415×(﹣60)=﹣57+40﹣5﹣16=1827;(2)原式=﹣1﹣0.5×43×[2﹣4]=﹣1﹣23×(﹣2)=﹣1+43=13.【点睛】本题考查的是实数的运算,在解答此类问题时要注意各种运算律的灵活应用.【变式3-3】(2023·全国·七年级专题练习)计算下列各题:(1++(2)|−|(3+|+−.【答案】(1)118;(2)−π;(3)8+【分析】(1)先计算算术平方根、立方根,再计算有理数的加减即可得;(2)先化简绝对值、计算算术平方根,再计算实数的加减即可得;(3)先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方,再计算实数的加减即可得.【详解】解:(1)原式=4+(−3)−12+=4−3−12+12+18,=118;(2)原式=(=,=−π;(3)原式=)−2+5,=6++3,=8+【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值,熟练掌握各运算法则是解题关键.【知识点2 估算法】(1)若120a a a £<<;(2)若12a a a <<a小.例如:916a <<4<827a <<3<<.1.414 1.7322.236.【题型4 估算无理数】【例4】(2023春·四川成都·七年级成都七中校考期中)在数轴上表示有( )个A .6B .7C .8D .9【答案】A【分析】首先对【详解】解:∵4<5<9,∴2<3,∴−3<<−2,∵27<30<64,∴3<4,把∴表示−2、−1、0、1、2、3,共有6个.故选:A【点睛】本题考查了无理数的估算、数轴,解本题的关键在正确估算出【变式4-1】(2023春·之值介于下列哪两个整数之间?( )A .3,4B .4,5C .5,6D .6,7【答案】B【分析】根据9<11<16【详解】解:∵9<11<16,∴3<<4,∴3+1<4+1,∴4<+1<5.故选:B .【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小,熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键.【变式4-2】(2023春·河北石家庄·七年级校考期末)如图,在数轴上标有O ,A ,B ,C ,D 五个点,根据)A .OA 上B .AB 上C .BC 上D .CD 上【答案】B【分析】计算已知点的平方,再进行判断即可.【详解】解:∵2.52=6.25,3.62=12.96,∴2.5<<3.6,∴ AB 上,故选:B .【点睛】本题考查无理数的估算,数轴表示数的意义和方法,正确的估算无理数的大小是正确判断的前提.【变式4-3】(2023春·四川资阳·七年级统考期末)规定(a )表示小于a 的最大整数,如(3)=2,=3.现将37进行如下操作:37 第一次→ =6 第二次→ =2 第三次→ =1.类似地,只需要进行4次操作,就能变成1的所有正整数中,最小的正整数为 .【答案】677【分析】根据可用(a)表示小于a的最大整数,反推回去每次求最小整数可得答案.【详解】解:∵第四次=1,最小整数为2,==2,最小整数为5,==5,最小整数为26,==26,最小整数为677,故答案为:677【点睛】本题考查了估算无理数的大小,利用了任何实数a,用(a)表示小于a的最大整数,反推是解题的关键.【题型5无理数整数部分或小数部分的有关计算】【例5】(2023春·湖北宜昌·七年级校联考期中)若n<n+1,m<<m+1,其中m、n为整数,则m+n=.【答案】0【分析】根据平方根的定义估算出n n+1和m<m+1在各自范围内的数,求出m、n的值,即可解出本题答案.∵32<10<42,∴34,即n=3,∵22<8<32,∴-32,即m=-3,∴m+n=0,故答案为0.【点睛】本题考查了估算无理数的大小,熟练掌握该方法是本题解题的关键.=.【变式5-1】(2023春·广东河源·七年级校考阶段练习)已知k的小数部分,则1k1【分析】先估算出k的值,再代入化简即可.【详解】解:∵2<3∴k==∴1k1【点睛】本题考查无理数的估算、二次根式的化简,掌握二次根式的运算法则是得出正确答案的前提.【变式5-2】(2023春·河南驻马店·七年级统考期末)已知6+a,b,则(a+b)2023的值是()A.1B.−1C.10D.36【答案】A【分析】根据题意得出a=【详解】解:∵34,∴9<610,2<<3∴6+6+,()=∴a==∴(a+b)2023=+2023=1,故选:A.【点睛】本题考查了无理数的估算,根据题意得出a=【变式5-3】(2023春·四川眉山·七年级校考期中)已知6+a,b,(1)求a+b的值;(2)求a−b的值.【答案】(1)(2)5【分析】(1)先估算出34,进而得到9<6+10,2<<3由此求出a、b的值即可得到答案;(2)根据(1)所求进行求解即可.【详解】(1)解:∵9<11<16,∴3<<4,∴9<610,−4<−3,∴2<3,∴a=9,b==∴a+b=9+(2)解:由(1)得a−b=9−(=5+【点睛】本题主要考查了无理数的估算,实数的混合计算,代数式求值,正确求出a、b的值是解题的关键.【题型6程序设计与实数的运算】【例6】(2023·七年级单元测试)如图是一个无理数生成器的工作流程图,根据该流程图,下面说法:①当输出值y x为3或9;②当输入值x为16时,输出值y③对于任意的正无理数y,都存在正整数x,使得输入x后能够输出y;④存在这样的正整数x,输入x之后,该生成器能够一直运行,但始终不能输出y值.其中错误的是( )A.①②B.②④C.①④D.①③【答案】D【分析】根据运算规则即可求解.【详解】解:①x的值不唯一.x=3或x=9或81等,故①说法错误;②输入值x为164,2,y②说法正确;③对于任意的正无理数y,都存在正整数x,使得输入x后能够输出y,如输入π2,故③说法错误;④当x=1时,始终输不出y值.因为1的算术平方根是1,一定是有理数,故④原说法正确.其中错误的是①③.故选:D.【点睛】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.【变式6-1】(2023春·贵州六盘水·七年级统考期中)根据以下程序,当输入2时,输出结果为()A B C.2D.3【答案】A【分析】把x=2,直到结果小于3输出,故可求解.2【详解】解:把x=2=3,2,把x=32故选A.【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根,实数大小的比较,解题关键是根据程序进行计算求解.【变式6-2】(2023春·七年级单元测试)根据如图所示的计算程序,若输入的x y的值为.【答案】1x中,计算即可.【分析】先把<4,代入12×2=1,【详解】当时,y=12故答案为1.【点睛】本题考查了代数式求值和算术平方根,解答本题的关键就是弄清楚图中给出的计算程序.【变式6-3】(2023春·全国·七年级专题练习)按如图所示的程序计算:若开始输入的值为64,输出的值是.【分析】根据运算顺序,先求算术平方根,再求立方根,最后求算术平方根,可得答案.82,2【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义,熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键.【题型7新定义下的实数运算】【例7】(2023春·四川达州·七年级校考期末)对于实数a、b,定义min a,b的含义为∶当a<b时,min{a,b}=a;当a>b时,min{a,b}=b,例如∶min{1,−2}=−2.已知a}=a,,b}=a和b为两个连续正整数,则2a−b的值为.【答案】4【分析】根据a和b的范围,求出a和b的值,然后代入2a−b即可求解.【详解】解:∵a=a,b=b,∴a b,∵a和b为两个连续正整数,56,∴a=5,b=6,∴2a−b=2×5−6=4.故答案为:4【点睛】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算,正确理解新定义是求解本题的关键.n=【变式7-1】(2023春·江苏·七年级期末)我们规定用(a,b)表示一对数对,给出如下定义:记m=(其中a>0,b>0),将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“和谐数对”.例如:(4,1)的一对“和谐数对”,1和1,(1)数对(16,5)的一对“和谐数对”是________;(2)若数对(9,b)的一对“和谐数对”相同,则b的值为________;(3)若数对(a,b)的一个“和谐数对”是(2,1),直接写出ab的值________.【答案】(2)19(3)1或44【分析】(1)利用“和谐数对”的规定解答即可;(2)利用“和谐数对”的定义列出关于b 的等式解答即可;(3)利用“和谐数对”的定义列出关于a 、b 的等式解答即可.【详解】(1)解:∵m=14,n∴数对(16,5)的一对“和谐数对”(2)解:∵数对(9,b)的一对“和谐数对”相同,∴b =19,故答案为:19;(3)解:∵数对(a,b)的一个“和谐数对”是(2,1),∴m2,n ==1,或m 1,n ==2,∴a =14,b =1,或a =1,b =4,∴ab =14或ab =4故答案为:14或4.【点睛】本题主要考查了新定义的实数运算,理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键.【变式7-2】(2023春·全国·七年级专题练习)对于实数a ,我们规定,用符号数,称为a 的根整数,例如:=3,=3,(1)仿照以上方法计算:=_____;=_____;(2)计算:+++⋯+;(3)如果我们对a 连续求根整数,直到结果为1为止,例如,对10连续求根整数2次,即=]=1,这时候结果为1,那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中,最大的是______.【答案】(1)2;6(2)131【分析】(1)根据题目所给的定义进行求解即可;(2)通过计算发现,所求的和中共有3个1,5个2,7个3,9个4,11个5和1个6,将这些数字相加即可得到答案;(3)根据题目所给定义可知,经过4次操作后结果为1的最小正整数为256,则可得经过3次操作后结果为1的最大正整数为255.【详解】(1)解:=2,∴=2;∵36<37<49,∴6<<7,∴=6,故答案为:2;6;(2)解:=1=23=4=5=6,∴+++⋯+=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6=131;(3)解:∵256=162,=16,=4,=2,=1,4次操作后的结果为1,=15=3,=1,3次操作后的结果为1,∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中,最大的是255,故答案为:255.【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算,无理数的估算,算术平方根,正确理解题意是解题的关键.【变式7-3】(2023春·福建福州·七年级校考期末)如果有一个三位数p,百位数为9,十位数和个位数之和也是9,我们把这个三位数称为“九伴数”,把p的百位数和个位数互换位置得到数p′.并规定F(p)=∵1+8=9且百位是9∴918是“九伴数”,F(918)=9188199=193.(1)若a=946,b=936,直接判断a,b是否是“九伴数”,如果是请求出F(a)或F(b)的值.(2)若s和t都是“九伴数”,且s和t的个位数分别为m,n.①分别用含m,n的式子表示F(s)和F(t).②若2F(s)+F(t)=570.比较nF(s)与mF(t)的大小并求此时m值.【答案】(1)a不是“九伴数”,b是“九伴数”,175(2)①F(s)=121+9m,F(t)=121+9n;②见解析【分析】(1)按照“九伴数”定义验证即可;(2)①根据s和t都是“九伴数”,且s和t的个位数分别为m,n,用m,n表示出s和t,表示出F(s)、F (t);②根据2F(s)+F(t)=570,整理可得n+2m=23,写出m,n所有取值并写出对应的s和t的值,分别比教对应的mF(t)和nF(s)的大小即可.【详解】(1)∵4+6=10,∴a不是“九伴数”,∵3+6=9,∴b是“九伴数”,∴F(936)=9366399=175;(2)①∵s和t都是“九伴数”,且s和t的个位数分别为m,n,∴s=900+10(9−m)+m=990−9m,t=900+10(9−n)+n=990−9n,∴F(s)=990−9m90m999=121+9m,F(t)=121+9n;②∵2F(s)+F(t)=570,∴2(121+9m)+(121+9n)=363+18m+9n=570,∴n+2m=23,∴m =7,n =9;m =8,n =7;m =9,n =5;∴s =927,t =909;s =918,t =927;s =909,t =945;∴当s =927,t =909时,n F(s)=9927=1103,m F(t)=7909,此时m F(t)>n F(s),m =7;当s =918,t =927时,n F(s)=7918,m F(t)=8917,此时m F(t)>n F(s),m =8;当s =909,t =945时,n F(s)=5909,m F(t)=9945,此时m F(t)>n F(s),m =9.【点睛】此题考查了新定义下的实数运算,解题的关键是读懂题意并根据新定义做题.【题型8 实数中的实际应用题】【例8】(2023春·上海·七年级专题练习)如图,在面积为2平方米的正方形ABCD 的木料中,挖去以边BC 为直径的半圆,则剩下的木料的面积为多少平方米?(π≈3.14,结果精确到0.1 )【答案】1.2平方米【分析】根据题意,剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。

实数计算中的规律性问题(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

实数计算中的规律性问题(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

重难点:实数计算中的规律性问题(5种题型)探究题是近几年中考命题的亮点,尤其是与数列有关的命题更是层出不穷,形式多样,它要求在已有知识的基础上去探究,观察思考发现规律.探寻数列规律:认真观察、仔细思考,善用联想是解决这类问题的方法,通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算,从而得出通项公式.【考点剖析】一.数轴(共1小题)1.(2022秋•杭州期中)如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上字母A,B,C,D,先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合,若将圆沿着数轴向左滚动,那么数轴上的﹣2022所对应的点将与圆周上字母()所对应的点重合.A.A B.B C.C D.D【分析】根据圆的周长得到,4个数字一个周期,然后从0开始,即出发的位置是点B,然后用2022除以4看余数即可.【解答】解:∵圆的周长为4个单位长度,∴4个数字为一个循环,点B与数字0对应,∴2022÷4=505……2,即从B开始在转2次,∴﹣2022对应的字母是D.故选:D.【点评】本题考查数轴,能够注意到点B对应的是数字0是解答本题的关键.二.有理数的混合运算(共3小题)2.(2022春•海淀区校级期末)符号“f”表示一种运算,它对一些数的运算如下:,,,,…利用以上运算的规律,写出f(n)=(n为正整数),计算f(1)•f(2)•f(3)•…•f(100)=.【分析】根据f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的运算方法,写出f(n)的表达式;再根据f(n)的表达式,代入f(1)•f(2)•f(3)•…•f(100),计算即可.【解答】解:(1)∵,,,,…∴f(n)=1﹣.f(1)•f(2)•f(3)•…•f(100)=(1﹣)(1﹣)(1﹣)•(1﹣)=××ו•×=.故答案为:1﹣;.【点评】此题主要考查了定义新运算,以及有理数的混合运算,要熟练掌握,注意明确有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.理解新运算,进而写出f(n)的表达式是解题的关键.3.(2022秋•拱墅区月考)观察下列运算过程:22=2×2=4,;,=;…(1)根据以上运算过程和结果,我们发现:22=;()2=;(2)仿照(1)中的规律,判断()3与()﹣3的大小关系;(3)求(﹣)﹣4×()4÷()﹣3的值.【分析】(1)观察计算过程即可得出结论;(2)利用题干中的方法解答即可得出结论;(3)利用以上的解题规律进行运算即可.【解答】解:(1)∵22=2×2=4,,∴;∵,=, ∴, 故答案为:;;(2)()3=()﹣3,理由:∵==,==, ∴()3=()﹣3.(3)原式=×÷23=×=16×=2.【点评】本题主要考查了有理数的混合运算,本题是阅读型题目,利用题干中的方法和解答中发现的规律解答是解题的关键.4.(2021秋•台州期末)规定:若有理数a ,b 满足a ﹣b =ab ,则a 叫做b 的“差积数”.例如:1﹣=1×,那么1是的“差积数”;﹣1≠×1,可知不是1的“差积数”.请根据上述规定解答下列问题:(1)填表: ﹣(2)一个有理数的“差积数”等于这个数,求这个有理数; (3)若m 为正整数,记m +1,m +2,m +3,…,m +2022这2022个数的“差积数”的积为A ,试猜想A 的值(用含有m 的式子表示),并给出合理的猜想过程.【分析】(1)根据定义分别求出各自对应的“差积数”:(2)可设这个有理数为x ,再由定义求出即可:(3)先解出前几项对应的差积数,观察找规律,总结一般结论再代入求值即可.【解答】解:(1)设3的积差数为x ,y 的积差数为﹣2,由题意可列:x﹣3=3x,﹣2﹣y=﹣2y,解得:x=﹣,y=2,故答案为:﹣:;2.(2)设这个有理数为a,由题意可列:a﹣a=a2,解得:a=0,答:这个有理数为0.(3)设m+1的差积数为b,由题意可列:b﹣(m+1)=(m+1)b,解得:b=,∴m+1的差积数是,同理:m+2的积差数是,则A===1+.【点评】认真读题,理解差积数的含义,培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力.,最后一问考查了学生由特殊到一般的数学思想.三.算术平方根(共2小题)5.(2022秋•鄞州区校级期中)(1a+b=,则代数式(a+b)2的值为.(2)如下是按规律排列的一列单项式:x,﹣x2,x3,﹣x4,x5,…则第10个单项式是.【分析】(1)将a+b的值整体代入所求的代数式运算即可;(2)通过观察可得第n个单项式是(﹣1)n+1••xn,由此求解即可.【解答】解:(1)∵a+b=,∴(a+b)2=()2=3,故答案为:3;(2)∵x,﹣x2,x3,﹣x4,x5,…,∴第n个单项式是(﹣1)n+1••xn,∴第10个单项式是﹣x10,故答案为:﹣x10.【点评】本题考查数字的变化规律,整式的运算,熟练掌握整体代入思想求代数式的值,根据所给的单项式,探索出单项式的各项系数和指数的规律是解题的关键.6.(2023春•城区校级期中)观察下列一组算式的特征,并探索规律:①;②;③;④.根据以上算式的规律,解答下列问题:(1)13+23+33+43+53=()2=;(2)=;(用含n的代数式表示)(3)简便计算:113+123+133+…+193+203.【分析】(1)根据代数式所呈现的规律可得答案;(2)得出=1+2+3+…(n﹣1)+n,再利用求和公式求出结果即可;(3)将原式化为(1【解答】解:(1)∵=1+2+3+4+5=15,∴13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225,故答案为:1+2+3+4+5,225;(2)由(1)可得,=1+2+3+…(n﹣1)+n=,故答案为:;(3)由(2)得,113+123+133+…+193+203=13+23+33+…+193+203﹣(13+23+33+…+93+103)==44100﹣3025=41075.【点评】本题考查算术平方根,列代数式,数字变化类,理解算术平方根的意义,发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键.四.规律型:数字的变化类(共19小题)7.(2022秋•北仑区期中)如图,在这个数运算程序中,若开始输入的正整数n为奇数,都计算3n+1;若n 为偶数,都除以2.若n=21时,经过1次上述运算输出的数是64;经过2次上述运算输出的数是32;经过3次上述运算输出的数是16;…;经过2022次上述运算输出的数是()A.1B.2C.3D.4【分析】分别求出部分输出结果,发现第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次,从第5次输出结果开始,每3次结果循环一次,则经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同,由此可求解.【解答】解:当n=21时,经过1次运算输出的数是64,经过2次运算输出的数是32,经过3次运算输出的数是16,经过4次运算输出的数是8,经过5次运算输出的数是4,经过6次运算输出的数是2,经过7次运算输出的数是1,经过8次运算输出的数是4,经过9次运算输出的数是2,……∴第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次,从第5次输出结果开始,每3次结果循环一次,∵(2022﹣4)÷3=672…2,∴经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同,故选:B.【点评】本题考查数字的变化规律,通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键.8.(2022秋•莲都区期中)对一组数(x,y)的一次操作变换记为P1(x,y),定义其变换法则如下:P1(x,y)=(x+y,x﹣y),且规定P n(x,y)=P1(P n﹣1(x,y))(n为大于1的整数),如P1(1,2)=(3,﹣1),P2(1,2)=P1(P1(1,2))=P1(3,﹣1)=(2,4),P3(1,2)=P1(P2(1,2))=P1(2,4)=(6,﹣2),则P2022(1,﹣1)=()A.(0,21011)B.(21011,﹣21011)C.(0,﹣21011)D.(21011,21011)【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果,然后根据规律解答.【解答】解:P1(1,﹣1)=(0,2),P2(1,﹣1)=P1(P1(1,﹣1))=P1(0,﹣2)=(2,﹣2),P3(1,﹣1)=P1(P2(1,﹣1))=P1(2,﹣2)=(0,4)=(0,22),P4(1,﹣1)=P1(P3(1,﹣1))=P1(0,4)=(4,﹣4)=(22,﹣22),P5(1,﹣1)=P1(P4(1,﹣1))=P1(22,﹣22)=(0,23),…,P2022(1,﹣1)=(21011,﹣21011).故选:B.【点评】本题考查了点的坐标,读懂题目信息,理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键.9.(2022秋•海曙区校级期中)将正偶数按下表排成5列:根据上面排列规律,则2022应在____________行,___________列.()A.506;3B.506;2C.253;2D.253;4【分析】通过观察发现,每8个偶数的位置循环一次,再由1011÷8=126……3,可知2022在第4列,行数位于126×2+1=253行,由此即可求解.【解答】解:由图可知,每8个偶数的位置循环一次,∵2到2022共有1011个偶数,∴1011÷8=126……3,∴2022与6的列数相同,∴2022在第4列,∵126×2=252,∴2022在第253行,故选:D.【点评】本题考查数字的变化规律,通过观察所给的数的排列规律,探索出数的位置的循环规律是解题的关键.10.(2022秋•开化县校级月考)如图所示的运算程序中,若开始输入的x值为5,则第1次输出的结果为8,第2次输出的结果为4,……,第2022次输出的结果为()A.1B.2C.4D.8【分析】通过计算发现,从第二次开始每三次运算结果循环一次,则可得第2022次输出的结果与第2次输出的结果相同,由此求解即可.【解答】解:第1次输出的结果为8,第2次输出的结果为4,第3次输出的结果为2,第4次输出的结果为1,第5次输出的结果为4,……∴从第二次开始每三次运算结果循环一次,∵(2022﹣1)÷3=673……2,∴第2022次输出的结果为2,故选:B.【点评】本题考查数字的变化规律,通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键.11.(2022秋•慈溪市月考)如图,正方形的周长为8个单位,在该正方形的4个顶点处分别标上0,2,4,6,先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合,再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上,则数轴上表示2021的点与正方形上的数字对应的是()A.0B.2C.4D.6【分析】求出2021与﹣1的距离是2022个单位,再去确定2022是正方形旋转252圈余6个单位长度,则可知2021与6对应.【解答】解:∵正方形的周长为8个单位,∴正方形的边长为2个单位,由旋转可知,正方形旋转一周是8个单位长度,∵2021与﹣1的距离是2022个单位,又∵2022÷8=252……6,∴正方形旋转252圈余6个单位长度,∴2021与6对应,故选:D.【点评】本题考查数字的变化规律,通过计算确定2021与﹣1的距离与正方形周长的关系是解题的关键.12.(2021秋•北仑区期末)观察下列各式:﹣2x,4x2,﹣8x3,16x4,﹣32x5,…,则第n个式子是()A.﹣2n﹣1x n B.(﹣2)n x n C.﹣2n x n D.(﹣2)n﹣1x n【分析】通过观察可知系数为﹣2的n次方,x的次数为自然数,由此可得第n个式子为(﹣2)nxn.【解答】解:∵﹣2x,4x2,﹣8x3,16x4,﹣32x5,…,∴第n个式子为(﹣2)nxn,故选:B.【点评】本题考查数字的变化规律,根据所给单项式,探索出式子的一般规律是解题的关键.13.(2021秋•嘉兴期末)已知一列数a1,a2,a3,…,满足a m•a n=a m+n(m,n为正整数).例如:a1•a2=a1+2=a3,a2•a2=a2+2=a4.若a1<0,a2=4,则a2021的值是()A.4042B.﹣22020C.22021D.﹣22021【分析】分别求出a1=﹣2,a2=4,a3=﹣8,a4=16,…,可得一般规律an=(﹣2)n,即可求a2021=﹣22021.【解答】解:∵a2=4,∴a1•a2=a1+2=a3=4a1,a2•a2=a2+2=a4=16,∵a1•a3=a1+3=a4,∴4a12=16,∴a1=±2,∵a1<0,∴a1=﹣2,∴a3=﹣8,a4=16,…,∴an=(﹣2)n,∴a2021=﹣22021,故选:D.【点评】本题考查数字的变化规律,根据所给的条件,通过计算,探索出数的一般规律是解题的关键.14.(2022秋•浦江县月考)求1+2+22+23+…+22018的值,可令S=1+2+22+23+…+22018,则2S=2+22+23+…+22019,因此2S﹣S=22019﹣1.仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52018的值为()A.52019﹣1B.52018﹣1C.D.【分析】直接根据已知条件中的示例,设所求式子为S,在所求式子中都乘以5得到一个新的式子,然后两个式子相减,从而求出所求问题.【解答】解:设S=1+5+52+53+•+52018,则5S=5+52+53+54+•+52019.∴5S﹣S=52019﹣1,∴S=.故选:D.【点评】本题主要考查同底数幂的运算及技巧性求复杂数式的值的方法,解题的关键是根据所求问题灵活运用各种运算规律.15.(2022秋•东阳市期中)正整数按如图的规律排列,请写出:(1)第3行,第6列的数字是;(2)正整数2022在第行,第列.【分析】(1)根据所给的数,确定第六列的第一个数是26,再求解即可;(2)通过观察发现每行的第一个数n2,确定第45行的第一个数是2025,再求解即可.【解答】解:(1)由图可知,第六列的第一个数是26,∴第3行,第6列的数字是28,故答案为:28;(2)每行的第一个数n2,∴第45行的第一个数是2025,∵2025﹣2022=3,∴2022在第45行第4列,故答案为:45,4.【点评】本题考查数字的变化规律,通过观察所给的数,探索出每行第一个数的规律是解题的关键.16.(2022秋•西湖区校级期中)观察下面算式,探索规律并解答问题:1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,1+3+5+7+9=25.(1)计算,1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)=;(2)请用上述规律计算:79+81+83+85++197+199=.【分析】(1)通过观察所给的等式,可得1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)=n2;(2)由(1)的规律,将等式变形为(1+3+5+……+77+79+81+83+85++197+199)﹣(1+3+5+……+77)再求解即可.【解答】解:(1)1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)=()2=n2,故答案为:n2;(2)79+81+83+85++197+199=(1+3+5+......+77+79+81+83+85++197+199)﹣(1+3+5+ (77)=1002﹣392=8479,故答案为:8479.【点评】本题考查数字的变化规律,通过观察所给的等式,探索出等式结果的一般规律,并能灵活应用该规律计算是解题的关键.17.(2022秋•义乌市校级期中)小明同学利用计算机设计了一个程序,输入和输出的情况如下表.他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关.按此规律,当输入9时,输出结果为,从1开始一直输入到2022后,输出项的系数与次数均为奇数的项共有个.【分析】通过观察输出结果,得到当输入的数是3n+1时,输出项的系数与次数均为奇数,再由2022÷3=674,即可求解.【解答】解:输入1,得到a,项的系数与次数均为奇数,输入2,得到3b2,项的系数与次数不都为奇数,输入3,得到4ab2,项的系数与次数不都为奇数,输入4,得到7ab4,项的系数与次数均为奇数,输入5,得到11a2b6,项的系数与次数不都为奇数,输入6,得到18a3b10,项的系数与次数不都为奇数,输入7,得29a5b16,项的系数与次数均为奇数,……∴当输入的数是3n+1时,输出项的系数与次数均为奇数,∵2022÷3=674,∴从1开始一直输入到2022后,输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个,故答案为:674.【点评】本题考查数字的变化规律,通过观察所给的输出结果,探索出输出项的系数与次数均为奇数时,输入数的规律是解题的关键.18.(2022秋•鄞州区校级期中)按上面数表的规律,得下面的三角形数表:(1)上表中,第九行有个算式,第九行最中间的算式是.(2)把下表中的数从小到大排成一列数:3,5,6,9,10,12,…则第15个数是.【分析】(1)通过观察可得第九行有9个算式,每一行的每个算式的第一个数的排列是20,21,22,…,2n﹣1,第二个数都是2n,由此求解即可;(2)先确定第15个数所在的位置,再根据(1)的规律进行求解即可.【解答】解:(1)第一行1个算式,第二行2个算式,第三行3个算式,第四行4个算式,……,∴第九行有9个算式,∵每一行的每个算式的第一个数的排列是20,21,22,…,2n﹣1,第二个数都是2n,∴第九行最中间的算式是24+29,故答案为:9,24+29;(2)∵3,5,6,9,10,12,…,∴第15个数是第五行第5个数,∴第15个数是24+25=48,故答案为:48.【点评】本题考查数字的变化规律,通过观察所给的算式的排列,探索出每一行数的排列规律是解题的关键.19.(2022秋•余杭区校级月考)已知一列数:1,﹣2,3,﹣4,5,﹣6,7,…,将这列数排成下列形式:第1行1第2行﹣2,3第3行﹣4,5,﹣6第4行7,﹣8,9,﹣10第5行11,﹣12,13,﹣14,15…按照上述规律排下去,那么第10行从右边数第5个数为.【分析】通过观察可得第n行有n个数,求出前9行45个数,可知第10行的第一个数是﹣46,再求解即可.【解答】解:第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,……,∴第n行有n个数,∴前9行有×9=45个数,∴第10行的第一个数是﹣46,∴第10行从右边数第5个数为51,故答案为:51.【点评】本题考查数字的变化规律,通过观察数的排列规律,探索出每行数的个数的规律是解题的关键.20.(2021秋•缙云县期末)如图,某学校图书馆把WIFI密码做成了数学题.小红在图书馆看书时,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接到了“图书馆”的网络,那么她输入的密码是.【分析】通过观察发现:第一个两位数是5×8=40,第二个两位数是6×8=48,第三个两位数是40+48=88,由此可求密码.【解答】解:∵5*2⊕6=301242,2*6⊕9=185472,8*3⊕4=321244,∵5×6=30,2×6=12,(5+2)×6=42,2×9=18,6×9=54,(6+2)×9=72,8×4=32,3×4=12,(8+3)×4=44,∴5*6⊕8=404888,故答案为:404888.【点评】本题考查数字的变化规律,能够根据所给的式子,探索出数字之间的联系是解题的关键.21.(2021秋•临海市月考)计算:(﹣1)+2+(﹣3)+4+…+(﹣2017)+2018+(﹣2019)+2020=.【分析】根据数的特点,每两个一组进行运算即可.【解答】解:(﹣1)+2+(﹣3)+4+…+(﹣2017)+2018+(﹣2019)+2020=[(﹣1)+2]+[(﹣3)+4]+…+[(﹣2017)+2018]+[(﹣2019)+2020]=1+1+…+1=1010,故答案为:1010.【点评】本题考查数字的变化规律,根据所给数的特点,分组进行求解是解题的关键.22.(2022秋•拱墅区校级月考)如图,将一列有理数按如下规律排列,请回答下列问题:(1)在A,B,C三个数中,其中表示负数的是;(2)若A,B,C,D,E均表示对应的有理数,A+B+C+D的值是;(3)数﹣2020对应A,B,C,D,E中的什么位置?并说明理由.【分析】(1)通过观察发现,A点表示的数与1的正负性相同,B点表示的数与﹣2的正负性相同,C点表示的数与3的正负性相同,由此求解即可;(2)由(1)可求A+B+C+D的值是﹣2;(3)通过观察发现,每6个数是一组循环,由此求解即可.【解答】解:(1)A点表示的数与1的正负性相同,B点表示的数与﹣2的正负性相同,C点表示的数与3的正负性相同,∴B表示负数,故答案为:B;(2)由(1)知,D点表示的数与﹣4的正负性相同,∵1+(﹣2)+3+(﹣4)=﹣2<0,∴A+B+C+D的值是﹣2,故答案为:﹣2;(3)由图可知,每6个数是一组循环,∵2020÷6=336……4,∴﹣2020与D点的位置相对应.【点评】本题考查数字的变化规律,通过观察探索出数字的循环规律是解题的关键.23.(2022秋•义乌市校级月考)观察下面的等式:﹣1=﹣|﹣+2|+44﹣1=﹣|﹣1+2|+42﹣1=﹣|1+2|+4﹣1=﹣|+2|+4﹣1﹣1=﹣|4+2|+4…回答下列问题:(1)填空:﹣1=﹣|6+2|+4;(2)已知:0﹣1=﹣|x+2|+4,则x的值是;(3)设满足上面特征的等式最左边的数为y,求y的最大值,并直接写出此时的等式.【分析】(1)找出各式的规律,利用规律解答即可;(2)利用(1)中的规律解答即可;(3)利用(1)中的规律列出不等式,从而求得最大值,利用(1)中的规律写出当时即可.【解答】解:∵﹣1=﹣|3﹣+2|+4=﹣|﹣+2|+4,4﹣1=﹣|3﹣4+2|+4=﹣|﹣1+2|+4,2﹣1=﹣|3﹣2+2|=﹣|1+2|+4,﹣1=﹣|3﹣+2|+4=﹣|+2|+4,﹣1﹣1=﹣|3﹣(﹣1)+2|+4,•∴a﹣1=﹣|3﹣a+2|+4,∴6=3﹣(﹣3),∴﹣3﹣1=﹣|3﹣(﹣3)+2|+4=﹣|6+2|+4,故答案为:﹣3;(2)∵0﹣1=﹣|3﹣0+2|+4=﹣|x+2|+4,∴x=3,故答案为:3;(3)∵y﹣1=﹣|3﹣y+2|+4,∴|5﹣y|=5﹣y,∴5﹣y≥0,∴y≤5,∴y的最大值为5,此时的等式为:5﹣1=﹣|﹣2+2|+4.【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算,绝对值,本题是规律型题目,依据各式的特征找出规律是解题的关键.24.(2021秋•临海市期末)观察下面三行数;﹣2,4,﹣8,16,﹣32,64,…;①0,6,﹣6,18,﹣30,66,…;②﹣1,2,﹣4,8,﹣16,32,…;③(1)第①行第8个数为;第②行第8个数为:第③行第8个数为.(2)是否存在这样一列数,使三个数的和为322?若存在,请写出这3个数;若不存在,请说明理由.【分析】(1)①后一个数是前一个数的﹣2倍,②的数的规律是在①每个对应数加2,③后一个数是前一个数的﹣2倍,由此可求解;(2)通过观察可得规律:①的第n个数是(﹣2)n,②的第n个数是(﹣2)n+2,③的第n个数是(﹣1)n2n﹣1,再由(﹣2)n+(﹣2)n+2+(﹣1)n×2n﹣1=322,求n即可.【解答】解:(1)﹣2,4,﹣8,16,﹣32,64,…,∴第8个数是256,②的第8个数是256+2=258,③的第8个数是128,故答案为:256,258,128;(2)不存在一列数,使三个数的和为322,理由如下:①的第n个数是(﹣2)n,②的第n个数是(﹣2)n+2,③的第n个数是(﹣1)n2n﹣1,由题意得,(﹣2)n+(﹣2)n+2+(﹣1)n×2n﹣1=322,∴n为偶数,∴4×2n﹣1+2n﹣1=5×2n﹣1=320,∴2n﹣1=64,∴n=7,∴不存在一列数,使三个数的和为322.【点评】本题考点数字的变化规律,通过观察所给的式子,找到式子中各数间的规律是解题的关键.25.(2021秋•海曙区月考)a是不为1的有理数,我们把称为a的差倒数.如:3的差倒数是=,﹣1的差倒数是=.已知a1=2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,依此类推.(1)分别求出a2、a3、a4的值.(2)计算a1+a2+a3的值.(3)请直接写出a1+a2+a3+…+a2021的值.【分析】(1)由定义直接求解即可;(2)根据(1)中所求的值进行运算即可;(3)由(1)可知,每三次运算结果循环出现,则a1+a2+a3+…+a2021=673×+2﹣1=.【解答】解:(1)∵a1=2,∴a2==﹣1,a3==,a4==2;(2)a1+a2+a3=2+(﹣1)+=;(3)由(1)可知,每三次运算结果循环出现,∵2021÷3=673……2,∴a1+a2+a3+…+a2021=673×+2﹣1=.【点评】本题考查数字的变化规律,通过计算找到运算结果的循环规律是解题的关键.五.二次根式的性质与化简(共1小题)26.(2021秋•诸暨市期中)探索规律:先观察下列等式,再回答问题:①;②;③.(1)根据上面三个等式提供的信息,请你猜想=.(2)请按照上面各等式反映的规律,试写出第n个等式:.(3)计算:.【分析】(1)直接利用已知运算规律得出,最终结果的分母与后两项分母的关系,进而得出运算结果;(2)直接利用已知运算规律得出,最终结果的分母与后两项分母的关系,进而得出运算结果;(3)利用(2)中运算规律,进而化简得出答案.【解答】解:(1)=1;(2)=1+;(3)原式=1+1+1+…+1=1×99+1﹣+﹣+﹣+…+﹣=99+1﹣=99.故答案为:(1)1;(2)=1+.【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及数字变化规律,正确发现数字之间变化规律是解题关键.。

实数 知识点题型归纳

实数 知识点题型归纳

特性:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根还是零。

实数第六章负数没有平方根。

知识讲解+题型归纳 a 的算术平方根,零的算术平方根还是零。

正数a的正的平方根也叫做:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。

开平方知识讲解的a 。

数2.立方根:如果一个数的立方等于a,则称这个数为a立方根实数的组成一、立方根用表示。

任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的1、实数又可分为正实数,零,负实数立方根,零的立方根是零。

数轴:数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。

数轴上的点与实2. 开立方:求一个数的立方根(三次方根)的运算,叫做开立方。

数一一对应四、实数的运算二、相反数、绝对值、倒数有理数的加法法则:。

正a的相反数是-a相反数:只有符号不同的两个数互为相反数。

数1.a)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;性质:互数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零.b)异号两数相加。

绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较。

为相反数的两个数之和为0大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相的绝对值为 a2.绝对值:表示点到原点的距离,数| a|1加等于原数。

没有实数倒数:乘积为3.1的两个数互为倒数。

非0a的倒数为 . 0a2.有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。

倒数。

3.乘法法则:和正04.相反数是它本身的数只有;绝对值是它本身的数是非负数(0a)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都数);倒数是它本身的数是±1.得零.三、平方根与立方根b)几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的,这个数叫做平方根:如果一个数的平方等于1.aa的平方根。

数a的个数为奇数时,积为负,为偶数,积为正a?)a>=0(平方根记作题型归纳,积就为0c)几个数相乘,只要有一个因数为04.有理数除法法则:经典例题)同号得正,异号得负,并把绝对值相0a)两个有理数相除(除数不为类型一.有关概念的识别。

实数_知识点+题型归纳

实数_知识点+题型归纳

第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成1、实数又可分为正实数,零,负实数2.数轴:数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。

数轴上的点与实数一一对应二、相反数、绝对值、倒数1. 相反数:只有符号不同的两个数互为相反数。

数a的相反数是-a。

正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零. 性质:互为相反数的两个数之和为0。

2.绝对值:表示点到原点的距离,数a的绝对值为3.倒数:乘积为1的两个数互为倒数。

非0实数a的倒数为1a. 0没有倒数。

4.相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是非负数〔0和正数〕;倒数是它本身的数是±1. 三、平方根与立方根1.平方根:如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根。

数a的平方根记作〔a>=0〕特性:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根还是零。

负数没有平方根。

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根,零的算术平方根还是零。

开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。

2.立方根:如果一个数的立方等于a,那么称这个数为a立方根。

数a 的立方根用3a表示。

任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根,零的立方根是零。

开立方:求一个数的立方根〔三次方根〕的运算,叫做开立方。

四、实数的运算有理数的加法法那么:a〕同号两数相加,取一样的符号,并把绝对值相加;b)异号两数相加。

绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。

2.有理数的减法法那么:减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法那么:a| |aa〕两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都得零.b〕几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负,为偶数,积为正c〕几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为04.有理数除法法那么:a〕两个有理数相除〔除数不为0〕同号得正,异号得负,并把绝对值相除。

人教版七年级下册数学实数第2课时实数与数轴的关系及实数的运算 同步练习

人教版七年级下册数学实数第2课时实数与数轴的关系及实数的运算 同步练习

6.3 实数第2课时实数与数轴的关系及实数的运算基础训练知识点1 实数与数轴上的点的关系1.和数轴上的点一一对应的数是( )A.整数B.有理数C.无理数D.实数2.若实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列判断错误的是( )A.a<0B.ab<0C.a<bD.a,b互为倒数3.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,计算|a-b|的结果为( )A.a+bB.a-bC.b-aD.-a-b4.在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A,B两点对应的实数分别是错误!未找到引用源。

和-1,则点C所对应的实数是( )A.1+错误!未找到引用源。

B.2+错误!未找到引用源。

C.2错误!未找到引用源。

-1D.2错误!未找到引用源。

+15.如图,圆的直径为1个单位长度,该圆上的点A与数轴上表示-1的点重合,将该圆沿数轴滚动1周,点A 到达点A'的位置,则点A'表示的数是( )A.π-1B.-π-1C.-π+1D.π-1或-π-1知识点2 实数的大小比较6.下列四个数中,最大的一个数是( )A.2B.错误!未找到引用源。

C.0D.-27.(2016·泰安)如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是( )A.pB.qC.mD.n8.若a,b为实数,下列说法中正确的是( )A.若a>b,则a2>b2B.若a>|b|,则a2>b2C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>0,a>b,则a2>b2知识点3 实数的运算9.有一个数值转换器,原理如图所示.当输入的x为-512时,输出的y是( )A.-2B.-错误!未找到引用源。

C.-3错误!未找到引用源。

D.-3错误!未找到引用源。

10.已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( )A.a·b>0B.a+b<0C.|a|<|b|D.a-b>011.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图,则必有( )A.错误!未找到引用源。

八上实数全章节题型分类知识点+例题+练习分类全面

八上实数全章节题型分类知识点+例题+练习分类全面

三.开平方开平方的概念:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方.开平方与平方是互逆运算,可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根,以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根.开平方运算的性质:1.当被开方数扩大(或缩小)二倍,它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n倍(「:).2.平方根和算术平方根与被开方数之间的关系:(1)若二丁,则,'=-;;好叫.吟。

)(2)不管.;为何值,总有一八,;注意二者之间的区别及联系.题模一平方根例 1.1.1、士3 是 9 的()A、平方根B、相反数C、绝对值D、算术平方根例1.1.2、仪的平方根是()A、2B、±2C、22D、土 <2例1.1.3、若2a-1和a-5是一个正数m的两个平方根,则a=, m=.练习:1.的平方根为()C、二三D、二述2.若二二二,:=、户,则()A 、8 C 、8 或-2 3.4耳的平方根为()C 、二二例1.2.5、若也工T 有意义,则x 的取值范围是练习:1 . J8T 的算术平方根是B 、二三 D 、2 或-B 、2D 、二尤4.已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6, 题模二算术平方根例1.2.1、4的算术平方根是( )A 、2 C 、±2例1.2.2、29的算术平方根是 例1.2.3、下列说法正确的是( )A 、4的算术平方根是2 C 、V 同的平方根是2例1.2.4、一个自然数的算术平方根为a , A 、a+1则这个数是. B 、-2 D 、五B 、0和1的相反数都是它本身D -—、-是分数则和这个自然数相邻的下一个自然数是( )B 、a 2+1 D 、知识点二:立方根知识精讲一•立方根立方根的定义及表示方法:如果一个数的立方等于「那么这个数叫做•;的立方根;若;:=•、则;就叫做・;的立方根,一个数•、的立方根可用符号表“石”,其中“3”叫做根指数,不能省略.立方根的特点:1.任意一个数都有立方根;2.正数立方根是正值;3.负数的立方根是负值;4.0的立方根是0二.开立方开立方的概念:求一个数的立方根的运算.开立方与立方是互逆运算,可以通过立方运算来求一个数的立方根,以及检验一个数是不是另一个数的立方根.开立方运算的性质:1.当被开方数(大于0)扩大(或缩小)::倍,它的立方根相应地扩大(或缩小):倍.易错点:1.平方根“F”其实省略了根指数“二”,即:H也可以表示为F,而立方根“盗” 的根指数“3”不能省略.2.立方根等于本身的数有“二[”和“0” .3.两个数互为相反数,则它们的立方根也互为相反数.题模一立方根例2.1.1、27的立方根是.q -例2.1.2、7的立方根是.64例2.1.3、一五的立方根是. 例2.1.4、9的立方根是. 例2.1.5、下列说法正确的是( )A 、16的算术平方根是-4B 、25的平方根是5C 、1的立方根是二1D 、-27的立方根是-3练习:1 .如果一个实数的平方根与它的立方根相等,则这个数是() A 、0 B 、正整数 C 、0 和 1D 、12 .下列说法正确的是()题模二开立方例2.2.1、求符合下列各条件中的x 的值. x* -1 = 0 -x 1 -1 = 0(1) -(2)-例2.2.2、已知343的立方根是7,那么343000的立方根是A 、如果一个数的立方根是这个数的本身,那么 这个数一定是零 B 、 一个数的立方根不是正数就是负数 C 、负数没有立方根D 、一个数的立方根与这个数同号,零的立方根 是零例2.2.3、已知与互为相反数,求.例2.2.4、已知“:是4的算术平方根,丁三是8的立方根,求;「「的平方根练习:1.下列各式中,正确的是()A、二忑=二二C、石一D、-# = 32.正确的个数是()①]”二一"②止〜与③0=二;④==-二A、B、C、D、3.若,则k的取值范围为(A、士B、C、< =-D、二为任意数4.求符合下列各条件中的x的值.(2)「3 —(1) J一一二5.如果,求―的值知识点三:实数知识精讲一.无理数无理数的概念:无理数是无限不循环小数;常见的无理数有:无限不循环小数(例如.), 开方开不尽的数.二.实数的概念及分类:实数的概念:有理数和无理数统称为实数.实数的性质:£1.有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式,都可以表示成分数-二的形式;2.任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数;3.两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数.实数的分类■:正整数-整数。

(完整版)八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

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第二章:实数【无理数】1.定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2.常见无理数的几种类型:(1)特殊意义的数,如:圆周率以及含有的一些数,如:2-,3等;ππππ(2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。

(3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。

如:2-是无理数π(4)无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。

如2,π(5)开方开不尽的数,如:等;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,39,5,2如:等;无理数也不一定带根号,如:)9π3.有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。

例:(1)下列各数:①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有____;是无理数的有___。

(填序号)(2)有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】:1.定义:如果一个正数x 的平方等于a ,即,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,a x =2记为:“”,读作,“根号a”,其中,a 称为被开方数。

例如32=9,那么9的算术平方根a 是3,即。

39=特别规地,0的算术平方根是0,即,负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性:(1)若 有意义,则被开方数a 是非负数。

(2)算术平方根a 本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。

因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:;而平方根具有两a个互为相反数的值,表示为:。

人教版初一数学第六章实数重点题型及知识点

人教版初一数学第六章实数重点题型及知识点

人教版初一数学第六章实数重点题型及知识点单选题1、已知a,b分别是6﹣√5的整数部分和小数部分,则( )A.a=2,b=3−√5B.a=3,b=3−√5C.a=4,b=2−√5D.a=6,b=3−√5答案:B解析:先求出√5范围,再两边都乘以﹣1,再两边都加上6,即可求出a、b.∵2<√5<3,∴﹣3<﹣√5<﹣2,∴3<6﹣√5<4,∴a=3,b=6﹣√5﹣3=3﹣√5;故选B.小提示:本题考查了估算无理数的大小和有理数的混合运算的应用,关键是根据学生的计算能力进行解答.2、下列四个数中,最小的数是()A.1B.﹣√3C.2D.−23答案:B解析:正数大于0,负数小于0,正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小.|,解:∵|-√3|>|−23∴﹣√3<−2<1<2,3∴最小的数是﹣√3.故选:B.小提示:本题考查了实数的大小比较,熟练掌握实数的大小比较方法是解答本题的关键.3、下列命题是真命题的是()A.如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0B.如果一个数的平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0C.如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数定是0D.如果一个数的立方根等于这个数本身,那么这个数定是0答案:B解析:根据平方、平方根、算术平方根、立方根的定义,思考特殊值,即可求出答案.解:A、如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0或1,故A是假命题;B、如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0,是真命题;C、如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0或1,故C是假命题;D、如果一个数的立方根等于这个数本身,那么这个数是0、1、-1,故D是假命题.故选:B.小提示:此题主要考查了命题与定理,关键是掌握正确的命题为真命题,错误的命题为假命题.4、已知a,b分别是6﹣√5的整数部分和小数部分,则( )A.a=2,b=3−√5B.a=3,b=3−√5C.a=4,b=2−√5D.a=6,b=3−√5答案:B解析:先求出√5范围,再两边都乘以﹣1,再两边都加上6,即可求出a、b.∵2<√5<3,∴﹣3<﹣√5<﹣2,∴3<6﹣√5<4,∴a=3,b=6﹣√5﹣3=3﹣√5;故选B.小提示:本题考查了估算无理数的大小和有理数的混合运算的应用,关键是根据学生的计算能力进行解答.5、下列等式正确的是()A.√49144=±712B.−√−2783=−32C.√−9=−3D.√(−8)23=4答案:D解析:原式各项利用立方根及算术平方根定义计算即可得到结果.A、原式=712,错误;B 、原式=-(-32)=32,错误;C 、原式没有意义,错误;D 、原式=√643=4,正确,故选D .小提示:此题考查了立方根,以及算术平方根,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.6、在下列语句中:①无理数的相反数是无理数;②一个数的绝对值一定是非负数;③有理数比无理数小;④无限小数不一定是无理数.其中正确的是( )A .②③B .②③④C .①②④D .②④答案:C解析:根据相反数、非负数、实数的大小比较、无限小数等方面逐一进行分析即可得.①因为实数包括有理数和无理数,无理数的相反数不可能是有理数,故①正确;②一个数的绝对值一定≥0,故②正确;③数的大小,和它是有理数还是无理数无关,故③错误;④无限循环小数是有理数,故④正确,故选C .小提示:本题考查了实数的概念,从无理数的概念出发,区分无理数和有理数容易混淆的地方,熟练掌握是解题的关键.7、在下列各数中是无理数的有( )−0.111⋯,√4,√5,3π,3.1415926,2.010101⋯(相邻两个0之间有1个1),76.01020304050607⋯,√23.A.3个B.4个C.5个D.6个答案:B解析:根据无理数是无限不循小数,可得答案.3是无理数,解:√5,3π,76.01020304050607⋯,√2故选:B.小提示:本题考查了无理数,无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.8、下列说法:①数轴上的任意一点都表示一个有理数;②若a、b互为相反数,则a+b=0;③多项式xy2−xy+24是四次三项式;④几个有理数相乘,如果负因数有奇数个,则积为负数,其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案:C解析:数轴上的点可以表示无理数,所以①错误;若a,b互为相反数则a+b=0,则②正确;24是常数项,所以③错误;根据有理数的乘法法则可判断④正确.数轴上的点既可以表示有理数,也可以表示无理数,所以①错误;若a,b互为相反数则a+b=0,则②正确;24是常数项,xy2−xy+24是三次三项式,故③错误;根据有理数的乘法法则可判断④正确.故正确的有②④,共2个故选C小提示:本题考查了实数与数轴、相反数、多项式、有理数的乘法,熟记概念是解题的关键.填空题3=4,那么(a-67)3的值是______9、如果√a+4答案:-343解析:利用立方根的定义及已知等式求出a的值,代入所求式子计算即可求出值.3=4,∵√a+4∴a+4=43,即a+4=64,∴a=60,则(a-67)3=(60-67)3=(-7)3=-343,故答案为-343.小提示:本题考查了立方根,熟练掌握立方根的定义是解本题的关键.3.10、计算:|1−√3|+√9−√8答案:√3解析:分别绝对值运算、算术平方根运算、立方根运算、合并同类项进行求解即可.解:原式=√3−1+3−2=√3.小提示:本题考查实数的混合运算,熟练掌握运算法则是解答的关键.11、比较大小:10_______√120(填“>”、“<”或“=”).答案:<解析:先把10化成√100,再比较被开方数的大小,即可得出答案.10=√100,∵100<120,∴√100<√120,∴10<√120.所以答案是:<.小提示:本题主要考查了实数的大小的比较,用到了把有理数利用平方的性质变为用根号表示的数的方法,熟练掌握此方法是解题的关键.12、请写一个比−√6小的无理数....答:____.答案:−√7(答案不唯一)解析:根据无理数的定义填空即可.解:比−√6小的无理数如:−√7(答案不唯一),故答案为−√7(答案不唯一).小提示:本题考查了无理数的定义及比较无理数大小,比较基础.13、将下列各数填入相应的括号里:−|−0.7|,−(−9),−512,0,8,−2,π2,23,−1.121121112…,−0.1·5·.整数集合{ …};负分数集合{ …};无理数集合{ …}.答案:见解析.解析:先化简,后根据整数包括正整数,0,负整数;负分数,无理数的定义去判断解答即可.∵-|-0.7|=-0.7,是负分数,-(-9)=9,是整数,−512是负分数,0是整数,8是整数,-2是整数,π2是无理数,23是正分数,−1.121121112…是无限不循环小数,是无理数,−0.1·5·是无限循环小数,是有理数,是负分数,∴整数集合{ -(-9),0,8, -2 …};负分数集合{ -|-0.7|, −512, −0.1·5· …}; 无理数集合{ π2 , −1.121121112……}.所以答案是:-(-9),0,8, -2 ;-|-0.7|, −512 , −0.1·5·;π2 , −1.121121112…….小提示:本题考查了有理数,无理数,熟练掌握各数的定义,特征,并合理化简判断是解题的关键.解答题14、当运动中的汽车撞击到物体时,汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某种型号的汽车的撞击影响可以用公式I =2v 2来表示,其中v(千米/分)表示汽车的速度.假设某种型号的车在一次撞击试验中测得撞击影响为51.请你求一下该车撞击时的车速是多少.(精确到0.1千米/分)答案:5.0解析:由I=2v 2,这种型号的汽车在一次撞车实验中测得撞击影响为51,即可得v 2=512,继而求得答案. 由题意知2v 2=51,v 2=512,所以v =√512≈5.0(千米/分)∴该车撞击时的车速是5.0千米/分小提示:此题考查了算术平方根的应用.注意理解题意是解此题的关键.15、计算:(1)7−|−2|+√−273(2)5×(34−12)÷(−12)2答案:(1)2;(2)5解析:(1)先计算绝对值及开立方,再计算加减法;(2)先计算括号中的减法及乘方,再按顺序计算乘除法.解:(1)7−|−2|+√−273=7-2-3=2;(2)5×(34−12)÷(−12)2=5×14÷14=5.小提示:此题考查实数的混合运算,掌握运算法则及运算顺序是解题的关键.。

4.3实数(十大题型)(解析版) 八年级数学上学期

4.3实数(十大题型)(解析版) 八年级数学上学期

八年级上册数学《第4章实数》4.3实数◆1、实数的概念:有理数和无理数统称为实数.◆2、实数的分类:(1)按定义分类.(2)按性质分类.◆1、实数与数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.◆2、与规定有理数的大小一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.◆3、实数的大小比较①正实数大于零,负实数小于零,正实数大于负实数;②两个正实数,绝对值大的数较大;③两个负实数,绝对值大的数反而小.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.◆1、数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数.◆2、一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数,则|a|=o>0)0(=0)−o<0)◆1、当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样,实数运算过程中的运算顺序为:先算乘方、开方、再算乘法、除法,最后算加法、减法,同级运算按照自左向右的顺序进行,有括号先算括号里的.◆3、实数的运算律.①加法交换律:a+b=b+a;②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)③乘法交换律:ab=ba;④乘法结合律:(ab)c=a(bc)⑤分配律:a(b+c)=ab+ac.①被开方数一定是非负数,即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数,即a≥0.【例题1】(2022秋•丽水期中)把下列各数的序号填在相应的横线上:①﹣3.14,②2π,③−13,④0.618,⑤−16,⑥0,⑦﹣1,⑧+3,⑨227,⑩﹣0.030030003……(每相邻两个3之间0的个数逐渐多1).整数集合:{……};分数集合:{……};无理数集合:{……}.【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空.【解答】解:整数有:⑤−16=−4,⑥0,⑦﹣1,⑧+3;分数有:①﹣3.14,③−13,④0.618,⑨227;无理数有:②2π,⑩﹣0.030030003……(每相邻两个3之间0的个数逐渐多1),故答案为:⑤⑥⑦⑧;①③④⑨;②2⑩.【点评】本题考查了实数的定义,解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义.【变式1-1】(2022秋•社旗县期末)实数−13,−6,0,﹣1中,为负整数的是()A.﹣1B.−6C.0D.−13【分析】根据实数的分类进行解答即可.【解答】解:这一组数中的负整数是﹣1.故选:A.【点评】本题考查的是实数,熟知实数的分类是解题的关键.【变式1-2】(2022秋•宁波期中)下列实数:2,39,1,2,−73,0.3⋅,分数有()A.2个B.3个C.4个D.5个【分析】根据实数的分类及分数的定义进行解答即可.−73,0.3⋅共3个.故选:B.【点评】本题考查的是实数,熟知所有的分数都是有理数是解题的关键.【变式1-3】(2022春•宜秀区校级月考)下列说法正确的是()A.实数包括有理数、无理数和零B.有理数包括正有理数和负有理数C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D.无论是有理数还是无理数都是实数【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念,注意容易混淆的知识点.【解答】解:有理数和无理数统称为实数,0属于有理数,故A错误,有理数包括正有理数、负无理数和0,0既不是正数也不是负数,故B错误,无限不循环的小数是无理数,故C错误,实数分为有理数和无理数,故D正确.故选:D.【点评】考查了实数的概念,以及有理数和无理数概念及分类.【变式1-4】下列判断:①一个数的平方根等于它本身,这个数是0和1;②实数包括无理数和有理数;③2的算术平方根是2;④无理数是带根号的数.正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B;【分析】直接利用有关实数的性质分别分析得出答案.【解答】解:①一个数的平方根等于它本身,这个数是0,故原题说法错误;②实数包括无理数和有理数,故原题说法正确;③2的算术平方根是2,故原题说法正确;④无理数是无限不循环小数,故原题说法错误,例如4=2是有理数.故选:B.【变式1-5】(2022春•夏津县期末)下列说法中错误的是()A.3−27是整数B.−1713是有理数C.33是分数D.9的立方根是无理数【分析】根据立方根,算术平方根,有理数,无理数的意义,即可解答.【解答】解:A、∵3−27=−3,∴3−27是整数,故A不符合题意;B、−1713是有理数,故B不符合题意;C、33是无理数,不是分数,故C符合题意;D、∵9=3,3的立方根是33,33是无理数,∴9的立方根是无理数,故D不符合题意;故选:C.【点评】本题考查了实数,熟练掌握有理数,无理数的意义是解题的关键.【变式1-6】(2022秋•黑山县期中)把下列各数分别填入相应的集合内:33,−4,−34,0,﹣0.2121121112…(相邻两个2之间的1的个数逐次加1)【分析】根据无理数以及正实数的定义,在给定实数中分别挑出无理数以及正实数,此题得解.【解答】解:如图所示:【点评】本题考查了有理数的分类,熟练掌握有理数的分类是解题的关键.【变式2-7】(2023秋•滨湖区期中)将下列各数的序号填入相应的括号内:①﹣2.5;②313;③0;④2;⑤﹣8;⑥10%;⑦−27;⑧﹣1.12121112…;⑨2;⑩−0.345⋅⋅.整数集合:{…};负分数集合:{…};正有理数集合:{…};无理数集合:{…}.【分析】根据实数的分类,即可解答.【解答】解:整数集合:{③⑤⑨…};负分数集合:{①⑦⑩…};正有理数集合:{②⑥⑨…};无理数集合:{④⑧…}.故答案为:③⑤⑨;①⑦⑩;②⑥⑨;④⑧.【点评】本题考查了实数,熟练掌握实数的分类是解题的关键.【例题2】(2022•海淀区校级模拟)实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示,则正确的结论是()A.a<0B.a<b C.b+5>0D.|a|>|b|【分析】根据数轴可以发现b<a,且,由此即可判断以上选项正确与否.【解答】解:A.∵2<a<3,a>0,答案A不符合题意;B.∵2<a<3,﹣4<b<﹣3,∴a>b,∴答案B不符合题意;C.∵﹣4<b<﹣3,∴b+5>0,∴答案C符合题意;D.∵2<a<3,﹣4<b<﹣3,∴|a|<b|,∴答案D不符合题意.故选:C.【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容,会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键.【变式2-1】(2022春•南岸区期中)实数a在数轴上对应点的位置如图所示,若实数b满足a<b<2,则b的值可以是()A.﹣2B.﹣1C.2D.3【分析】先判断b的范围,再确定符合条件的数即可.【解答】解:∵1<a<2,∴﹣2<﹣a<﹣1,∵﹣a<b<a,∴b只能是﹣1.故选:B.【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系,解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围.【点评】本题考查了有理数大小比较:正数大于0,负数小于0;负数的绝对值越大,这个数越小.【变式2-2】(2023秋•昌黎县期中)如图,在数轴上,点A表示实数a,则a可能是()A.−12B.−10C.−8D.−3【分析】根据数轴可得−9<<−4,再逐一分析各选项的数据即可.【解答】解:∵﹣3<a<﹣2,∴−9<<−4,∵9<12,9<10,∴−12<−9,−10<−9,故A,B不符合题意;∵3<4,∴−3>−4,故D不符合题意;∵4<8<9,∴−9<−8<−4,即−3<−8<−2,故选:C.【点评】本题考查的是实数与数轴,实数的大小比较,掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键.【变式2-3】(2023秋•新吴区校级期中)如图,正方形的边长为1,在正方形的4个顶点处标上字母A,B,C,D,先让正方形上的顶点A与数轴上的数﹣2所对应的点重合,再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动,那么数轴上的数2020将与正方形上的哪个字母重合()A.字母A B.字母B C.字母C D.字母D【分析】正方形滚动一周的长度为4,从﹣2到2020共滚动2022,由2022÷4=505......2,即可作出判断.【解答】解:∵正方形的边长为1,∴正方形的周长为4,∴正方形滚动一周的长度为4,∵正方形的起点在﹣2处,∴2020﹣(﹣2)=2022,∵2022÷4=505......2,∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合,故选:C.【点评】本题考查了实数与数轴,根据正方形的特点找出滚动规律是解题的关键.【变式2-4】把表示下列各数的点画在数轴上,再按从小到大的顺序,用“<”号把这些数连接起来:3,﹣(﹣1),﹣1.5,0,﹣|﹣4|,2.【分析】先计算﹣(﹣1)=1,﹣|﹣4|=﹣4,再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数,然后写出它们的大小关系.【解答】解:﹣(﹣1)=1,﹣|﹣4|=﹣4,用数轴表示为:,它们的大小关系为﹣|﹣4|<﹣1.5<0<﹣(﹣1)<2<3.【变式2-5】(2022春•海安市校级月考)7、如图:数轴上表示1、5的对应点分别为A、B,且点A为线段BC的中点,则点C表示的数是()A.5−1B.1−5C.5−2D.2−5【分析】设C点表示的数为x,再根据中点坐标公式求出x的值即可.【解答】解:设C点表示的数为x,则r52=1,解得x=2−5.故选:D.【点评】本题考查的是实数与数轴,熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键.【变式2-6】(2023•市南区一模)已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列结论错误的是()A.1<|a|<b B.1<﹣a<b C.|a|<1<|b|D.﹣b<a<﹣1【分析】根据相反数的意义,绝对值的性质,有理数的大小比较,可得答案.【解答】解:由题意,得1<|a|<b,1<﹣a<b,﹣b<a<﹣1,故C符合题意;故选:C.【点评】本题考查了实数与数轴,利用相反数的意义,绝对值的性质,数轴上的点右边的总比左边的大是解题关键.【变式2-7】(2023春•岳池县期末)如图,已知正方形ABCD的面积为5,点A在数轴上,且表示的数为1.现以A为圆心,AB为半径画圆,和数轴交于点E(E在A的右侧),则点E表示的数为1+【分析】根据正方形的面积求出正方形的半径,即圆的半径为5,所以E点表示的数为OE的长度,即1+5.【解答】解:∵正方形的面积为5,∴AB为5;∵以A点为圆心,AB为半径,和数轴交于E点,∴AE=AB=5;∵A点表示的数为1,∴OE=OA+AE=1+5故答案为:1+5【点评】本题主要考查了实数与数轴的位置关系,结合正方形面积以及圆的半径考查.解题关键是求出OE的长度.【变式2-8】(2022秋•西安月考)如图,已知实数−5,﹣1,5,3,其在数轴上所对应的点分别为点A,B,C,D.(1)求点C与点D之间的距离;(2)记点A与点B之间距离为a,点C与点D之间距离为b,求a﹣b的值.【分析】(1)根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案;(2)先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值,再求a﹣b即可得出答案.【解答】解:(1)根据题意可得,点C与点D之间的距离为3−5;(2)根据题意可得,a=|﹣1+5|=5−1,b=3−5,a﹣b=5−1﹣(3−5)=25−4.【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离,熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键.【例题3】实数−3的绝对值是()A.3B.C.−3D.33【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案.【解答】解:实数−3的绝对值是:3.故选:A.【点评】此题主要考查了绝对值,正确掌握绝对值的性质是解题关键.【变式3-1】−2的相反数是()A.−2B.2CD.2【分析】根据相反数的含义,可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”,据此解答即可.【解答】解:根据相反数的含义,可得−2的相反数是:2.故选:B.【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:相反数是成对出现的,不能单独存在;求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”.【变式3-2】(2023春•潮南区期中)5−2的相反数是()A.﹣0.236B.5+2C.2−5D.﹣2+5【分析】根据相反数的定义即可得出结论.【解答】解:5−2的相反数是2−5.故选C.【点评】本题考查的是相反数,熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键.【变式3-3】(2023春•京山市期中)下列各组数中互为相反数的是()A.﹣2与(−2)2B.﹣2与3−8C.﹣2与−12D.2与|﹣2|【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解:A、(−2)2=2,﹣2与(−2)2是互为相反数,故本选项正确;B、3−8=−2,﹣2与3−8相等,不是互为相反数,故本选项错误;C、﹣2与−12是互为倒数,不是互为相反数,故本选项错误;D、|﹣2|=2,2与|﹣2|相等,不是互为相反数,故本选项错误.故选:A.【点评】本题考查了实数的性质,对各项准确计算是解题的关键.【变式3-4】(2023秋•秦都区校级月考)下列说法正确的是()A.2的绝对值是22B.2的倒数是22C.2的相反数是22D.4的平方根为±2【分析】根据绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识分别对四个选项进行分析.【解答】解:2的绝对值是2,所以A选项不正确;2的倒数是22,所以B选项正确;2的相反数是−2,所以C选项不正确;4的平方根是±2,所以D选项不正确.故选:B.【点评】本题主要考查了绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识.【变式3-5】填空:(1)5的相反数是,绝对值是;(2)3−1的相反数是,绝对值是;(3)若|x|=3,则x=.【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案.【解答】解:(1)5的相反数是−5,绝对值是5;(2)3−1的相反数是1−3,绝对值是3−1;(3)∵|x|=3,∴x=±3.故答案为:(1)−5,5;(2)1−3,3−1;(3)±3.【点评】本题考查了实数的性质,算术平方根,掌握绝对值等于3的数有2个是解题的关键.【变式3-6】(2022秋•余姚市校级期中)a是4的算术平方根,b是27的立方根,c是15的倒数.(1)填空:a=,b=,c=;(2)求o+p+2−的值.【分析】(1)直接利用算术平方根的概念以及立方根的概念、倒数的概念分别分析得出答案;(2)直接利用绝对值的性质、立方根的性质、算术的性质分析得出答案.【解答】解:(1)∵a是4的算术平方根,b是27的立方根,c是15的倒数,∴a=2,b=3,c=5;故答案为:2,3,5;(2)原式=2(3+5)+22−2×5=6+25+4−25=10.【点评】此题主要考查了实数的运算,正确化简各数是解题关键.【变式3-7】(2022秋•芗城区校级月考)31−2与33−2互为相反数,求代数式6x﹣9y+5的值.【分析】由题意得方程1﹣2x+3y﹣2=0,求得2x﹣3y=﹣1,再将其代入求解即可.【解答】解:由题意得1﹣2x+3y﹣2=0,整理,得2x﹣3y=﹣1,∴6x﹣9y+5=3(2x﹣3y)+5=3×(﹣1)+5=﹣3+5=2.【点评】此题考查了运用立方根和相反数进行化简、求值的能力,关键是能准确理解并运用以上知识和整体思想.【变式3-8】(2022春•如皋市校级月考)已知|x|=5,y是11的平方根,且x>y,求x+y的值.【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案.【解答】解:∵|x|=5,∴x=±5,∵y是11的平方根,∴y=±11,∵x>y,∴当x=5,则y=−11,故x+y=5−11,当x=−5,则y=−11,故x+y=−5−11,综上所述:x+y的值为5−11或−5−11.【点评】此题主要考查了实数的性质,正确分类讨论是解题关键.【例题4】(2023•潍坊)在实数1,﹣1,0,2中,最大的数是()A.1B.﹣1C.0D.2【分析】根据正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小可得答案.【解答】解:∵﹣1<0<1<2,∴在实数1,﹣1,0,2中,最大的数是2,故选:D.【点评】本题主要考查了实数的大小比较,解题的关键是掌握实数比较大小的法则.【变式4-1】(2022•沂源县一模)在3,−3,0,2这四个数中,最小的一个数是()A.3B.−3C.0D.2【分析】根据实数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小即可求解.【解答】解:在3,−3,0,2这四个数中,最小的一个数是−3.故选:B.【点评】此题考查了实数大小比较,可以利用数的性质比较异号两数及0的大小,利用绝对值比较两个负数的大小.【变式4-2】三个数﹣π,﹣3,−3的大小顺序是()A.﹣3<﹣π<−3B.﹣π<﹣3<−3C.﹣π<−3<−3D.﹣3<−3<−π【分析】先对无理数进行估算,再比较大小即可.【解答】解:﹣π≈﹣3.14,−3≈−1.732,因为3.14>3>1.732.所以﹣π<﹣3<−3.故选:B.【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法,即两个负数相比较,绝对值大的反而小.【变式4-3】(2023秋•农安县期中)将数“22,5,−2,0,﹣1.6”按从小到大的顺序排列,并用“<”连接起来是:.【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.【解答】解:∵22=8>5,−2≈−1.57>﹣1.6,∴﹣1.6<−2<0<5<22,故答案为:﹣1.6<−2<0<5<22.【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数比较时绝对值大的反而小.【变式4-4】设a为实数且0<a<1,则在a2,a,,1这四个数中()A.1>>>2B.2>>>1C.>>1>2D.1>>>2【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可.【解答】解:∵0<a<1,∴0<a2<a<<1,1>1,∴1>>a>a2.故选:D.【点评】本题考查的是实数的大小比较,熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键.【变式4-5】比较2,5,37的大小,正确的是()A.2<5<37B.2<37<5C.5<37<2D.37<2<5【分析】把2转化为4,38,即可比较大小.【解答】解:∵2=4,∴5>2,∵2=38,∴2>37,∴5>2>37,即37<2<5,故选:D.【点评】本题考查了实数大小的比较,解决本题的关键是把2转化为4,38.【变式4-6】比较大小:− 1.5.【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.【解答】解:(−3)2=3,(﹣1.5)2=2.25,∵3>2.25,∴−3<−1.5.故答案为:<.【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小,两个负数平方大的反而小.【例题5】已知:x<21<y(x,y是两个连续整数),则x,y的值为()A.x=2,y=3B.x=3,y=4C.x=4,y=5D.x=5,y=6【分析】根据16<21<25,即可得出x、y的值.【解答】解:∵16<21<25,∴x=4,y=5;故选:C.【点评】本题考查了估算算术平方根的大小,解题的关键是用有理数逼近算术平方根.【变式5-1】(2023秋•郁南县期中)估算57的值应在()A.6~7之间B.7~8之间C.8~9之间D.不能确定【分析】利用无理数的估算即可求得答案.【解答】解:∵49<57<64,∴7<57<8,即57的值在7~8之间,故选:B.【点评】本题考查无理数的估算,熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键.【变式5-2】(2022春•香洲区期末)如图,用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形,则大正方形的边长最接近的整数是()A.4B.5C.6D.7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长,进而得出答案.【解答】解:∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形,∴大正方形的面积为:9+9=18,则大正方形的边长为:18,∵16<18< 4.52,∴4<18<4.5,∴大正方形的边长最接近的整数是4.故选:A.【点评】此题主要考查了算术平方根,正确掌握算术平方根的定义是解题的关键.【变式5-3】(2022春•江津区校级月考)若x、y为两个连续的整数,且x<39<y,则x+y=.【分析】通过36<39<49求解.【解答】解:∵36<39<49,∴6<39<7,∴x=6,y=7,∴x+y=13.故答案为:13.【点评】本题考查了估算算术平方根的大小,平方根的定义的应用,解此题的关键是求出x、y的值.【变式5-4】(2023秋•青龙县期中)估算2+14的值在()A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7到8之间【分析】先估算出14的取值范围,进而可得出结论.【解答】解:∵9<14<16,∴3<14<4,∴5<2+14<6.故选:B.【点评】本题考查的是估算无理数的大小,熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键.【变式5-5】(2023秋•秦都区期中)估计23−2的值在()A.2到3之间B.1到2之间C.3到4之间D.4到5之间【分析】先估算出23的大小,进而估算23−2的范围.【解答】解:∵16<23<25,∴4<23<5,∴2<23−2<3,∴23−2的值在2和3之间.故选:A.【点评】本题考查了估算无理数的大小,估算无理数大小要用逼近法.【变式5-6】(2022•南关区校级开学)已知x,y为两个连续的整数,且x<20<y,则5x+y的值为.【分析】先求出20的范围,求出x、y的值,求出5x+y的值,根据平方根的定义求出即可.【解答】解:∵4<20<5,∴x=4,y=5,∴5x+y=5×4+5=25,∴5x+y的平方根是±5,故答案为:±5.【点评】本题考查了算术平方根的大小,平方根的定义的应用,解此题的关键是求出x、y的值.【变式5-7】(2023秋•二七区校级月考)阅读下面的文字,解答问题:大家知道2是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此2的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用2−1来表示2的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为2的整数部分是1,将2减去其整数部分,差就是2的小数部分.请解答:(1)23的整数部分是,小数部分是;(2)如果7+1的小数部分为,9−17的整数部分为b,求+−7的平方根;(3)已知10+7=+,其中x是整数,且0<y<1,求x﹣y的相反数.【分析】(1)根据算术平方根的定义,估算无理数23的大小即可;(2)根据算术平方根的定义估算无理数7+1,9−17的大小即可确定a、b的值,再代入计算即可;(3)根据算术平方根的定义估算无理数10+7的大小确定整数部分x,小数部分是y,再求出x﹣y的相反数即可.【解答】解:(1)42=16,52=25,而16<23<25,∴4<23<5,∴23的整数部分是4,小数部分为23−4,故答案为:4,23−4;(2)∵22=4,32=9,而4<7<9,∴2<7<3,∴3<7+1<4,∴7+1的整数部分是3,小数部分为7+1﹣3=7−2,即a=7−2;∵4<17<5,∴﹣5<−17<−4,∴4<9−17<5,∴9−17的整数部分是4,即b=4,∴a+b−7=7−2+4−7=2,∴+−7的平方根是±2;(3)∵2<7<3,∴12<10+7<13,∴10+7的整数部分是12,小数部分是10+7−12=7−2,又∵10+7=+,其中x是整数,且0<y<1,∴x=12,y=7−2,∴x﹣y的相反数是y﹣x=7−14.【点评】本题考查估算无理数的大小,掌握算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提.【例题6】通过估算,比较下列各组数的大小:(1)6(2(3)5−121;(4)3+12112.【分析】(1)利用平方运算,比较大小即可解答;(2)根据算术平方根的意义,比较大小即可解答;(3)先估算出5的值的范围,再估算出5−1的值的范围,进行计算即可解答;(4)先估算出3的值的范围,再估算出3+1的值的范围,进行计算即可解答.【解答】解:(1)∵62=36,(35)2=35,∴36>35,∴6>35,故答案为:>;(2)∵8<10,∴8<10,故答案为:<;(3)∵4<5<9,∴2<5<3,∴1<5−1<2,∴12<5−12<1,故答案为:<;(4)∵1<3<4,∴1<3<2,∴2<3+1<3,∴132,故答案为:<.【点评】本题考查了数的大小比较,熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键.【变式6-1】(2023春•西城区校级期中)比较大小:(1;(2)5−11.【分析】(1)先把4写成算术平方根的形式,然后根据算术平方根的被开方数越大,那个数就越大进行解答;(2)先估算5的大小,然后进行判断即可.【解答】解:(1)∵4=16,17>16,∴17>4;(2)∵2<5<3,∴5−1>1,故答案为:(1)>;(2)>.【点评】本题主要考查了实数的大小比较,解题关键是能够正确的估算无理数的大小.【变式6-2】(2022秋•新津县校级月考)比较大小:3−1212,23.【分析】(1)比较出两个数的差的正负,即可判断出它们的大小关系.(2)首先比较出两个数的平方的大小关系;然后根据:两个正实数,平方大的,这个数也大,判断出原来的两个数的大小关系即可.【解答】解:(1)∵3−12−12=32−1<0,∴3−12<12.(2)(32)2=18,(23)2=12,∵18>12,∴32>23.故答案为:<、>.【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个正实数,平方大的,这个数也大.【变式6-3】(2023春•前进区月考)比较2,5,37的大小,正确的是()A.2<5<37B.2<37<5C.37<2<5D.37<5<2【分析】先分别求出这三个数的六次方,然后比较它们的六次方的大小,即可比较这三个数的大小.【解答】解:∵26=64,(5)6=[(5)2]3=125,(37)6=[(37)3]2=49,而49<64<125,∴(37)6<(5)6<26,∴37<2<5.故选:C.【点评】此题考查的是实数的比较大小,根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数,然后比较大小是解决此题的关键.【变式6-4】比较下列各组数的大小:(1)120与11.(2)5+12与2.【分析】(1)根据11=121,即可进行比较;(2)先通分,可得2=42,再比较分子5+1与4的大小即可求解.【解答】解:(1)∵11=121,120<121,∴120<11.(2)∵2=42,5+1<4,∴5+12<2.【点评】此题主要考查了算术平方根的估算能力,两个正数的算术平方根的比较大小可以通过平方的方法进行,两个式子平方的值大的,对应的式子的值就大.【变式6-5】比较下列各组数的大小(1)8与10;(2)65与8;(3)5−12与0.5;(4)5−12与1.【分析】(1)根据8<10,即可解答;(2)根据8=64,即可进行比较;(3)求出2<5<3,不等式两边都减去1,再不等式两边都除以2即可;(4)求出2<5<3,不等式两边都减去1,再不等式两边都除以2即可.【解答】解:(1)∵8<10,∴8<10;(2)∵64=8,64<65,∴65>64,∴65>8;(3)∵2<5<3,∴1<5−1<2,∴12<5−12<1,∴5−12>12.(4)∵2<5<3,∴1<5−1<2,∴12<5−12<1,∴5−12<1.【点评】本题考查了数的大小比较的应用,主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小.【例题7】(2022秋•大竹县校级期末)实数a、b在数轴上对应点的位置如图,则|a﹣b|−2的结果是()A.2a﹣b B.b﹣2a C.b D.﹣b【分析】首先由数轴可得a<b<0,然后利用算术平方根与绝对值的性质,即可求得答案.【解答】解:根据题意得:a<b<0,∴a﹣b<0,∴|a﹣b|−2=|a﹣b|﹣|a|=(b﹣a)﹣(﹣a)=b﹣a+a=b.故选:C.【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质.此题难度适中,注意2=|a|.【变式7-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示,则|3−b|+|a+3|+2的值.【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案.【解答】解:由数轴可得:a<−3,0<b<3,故|3−b|+|a+3|+2=3−b﹣(a+3)﹣a=3−b﹣a−3−a=﹣2a﹣b.故答案为:﹣2a﹣b.【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴,正确化简各式是解题关键.【变式7-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图,化简(−p2−|a+c|+(−p2−|b|【分析】利用数轴首先得出各式的符号,进而化简得出答案.【解答】解:如图所示:a﹣b<0,a+c<0,c﹣b<0,b>0,则原式=b﹣a+a+c+b﹣c﹣b=b.【点评】此题主要考查了实数与数轴,正确判断出各式的符号是解题关键.【变式7-3】(2021春•南通期末)如图,a,b,c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.试化简:2+|a+b|+3(+p3−|b﹣c|.【分析】直接利用数轴得出c>0,a+b<0,b﹣c<0,再化简求解.【解答】解:由数轴可得:c>0,a+b<0,b﹣c<0,原式=c﹣a﹣b+(a+b)+(b﹣c)=b.【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴,正确化简各式是解题关键.【变式7-4】实数a,b,c表示在数轴上如图所示,完成下列问题,试化简:(−p2−|−U+3(−p3.【分析】根据题意可得:b<0<a<c,从而可得a﹣c<0,b﹣a<0,然后利用二次根式的性质,绝对值,立方根的意义进行化简计算,即可解答.【解答】解:由题意得:b<0<a<c,∴a﹣c<0,b﹣a<0,∴(−p2−|−U+3(−p3=c﹣a﹣(a﹣b)+b﹣c=c﹣a﹣a+b+b﹣c=2b﹣2a.【点评】本题考查了整式的加减,实数与数轴,准确熟练地进行计算是解题的关键.【变式7-5】(2022秋•保定月考)如图,一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A,点B 表示3,设点A所表示的数为m.(1)实数m的值是;(2)求(m+2)2+|m+1|的值.【分析】(1)根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案;(2)把(1)中m的值代入进行计算即可得出答案.【解答】解:(1)根据题意可得,m=3−2;故答案为:3−2;(2)m+1=3−2+1=3−1,∵1<3<2,∴0<3−1<1,(m+2)2+|m+1|=(3−2+2)2+|3−1|=(3)2+3−1=3+3−1=2+3.故答案为:2+3.【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值,熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键.【变式7-6】(2022秋•青龙县月考)如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A 表示−2,设点B所表示的数为m.(1)实数m的值是;(2)求(m+1)(1﹣m)的值;(3)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且|c+3|与−5互为相反数,求c+3d的平方根.【分析】(1)根据点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,即可得到m的值;(2)根据(1)的结果求值即可;(3)根据非负数的性质得到c,d的值,代入代数式求值,再求平方根即可得出答案.【解答】解:(1)∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示−2,∴m=−2+2,故答案为:−2+2;(2)(m+1)(1﹣m)=1﹣m2=1﹣(−2+2)2=1+42−6=42−5;(3)∵|c+3|与−5互为相反数,∴|c+3|+−5=0,∵|c+3|≥0,−5≥0,∴c+3=0,d﹣5=0,∴c=﹣3,d=5,∴c+3d=(﹣3)+3×5=﹣3+15。

第六章--实数(知识点+知识点分类练习)

第六章--实数(知识点+知识点分类练习)

【知识要点】被开放数扩大(或缩小)n倍,算术平方根扩大(或缩小)n倍,例如.25 5, 2500 50.一、算数平方根算数平方根的定义:一般的,如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a ,(a>0),那么这个非负数x叫做a的算术平方根。

a的算术平方根记为谄,读作“根号a”,a叫做被开方数。

求一个正数a的平方根的运算叫做开平方。

1.0的算术平方根是02. 被开方数越大,对应的算术平方根也越大(对所有正数都成立)。

3. 一个正数如果有平方根,那么必定有两个,它们互为相反数。

显然,如果我们知道了这两个平方根的一个,那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

4. 负数在实数系内不能开平方。

二、平方根平方根的定义:如果一个数x的平方等于a ,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。

平方根的性质:一个正数有2个平方根,它们互为相反数,其中正的平方根就是这个数的算数平方根;0只有1个平方根,它是0;负数没有平方根。

开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。

三、立方根立方根的定义:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根,求一个数的立方根的运算叫做开立方,a的立方根记为鴛读作“三次根号a”,其中a是被开方数。

立方根的性质:每个数a都只有1个立方根。

正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。

四、实数1. 无理数的定义:无限不循环小数叫做无理数。

2. 实数的定义:有理数和无理数统称实数。

3. 实数的分类:整数宀拓有理数八”有限小数或无限循环小数 实数 分数无理数无限不循环小数像有理数一样,无理数也有正负之分。

例如2 ,3 3 , 是正无理数, 2, 3 3, 是负无理数。

由于非0有理数和无理数都有正负之分,所以实数也可以这样分类:4. 实数与数轴上的点的对应关系:实数与数轴上的点是 -- 对应的。

5. 有关概念:在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义相同。

八年级上册数学各章知识点总结

八年级上册数学各章知识点总结

《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳(一)平方根与开平方1. 平方根的含义如果一个数的平方等于 , 那么这个数就叫做 的平方根。

即 , 叫做 的平方根。

2.平方根的性质与表示⑴表示: 正数 的平方根用 表示, 叫做正平方根, 也称为算术平方根, 叫做 的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根: (根指数2省略) 0有一个平方根, 为0, 记作 , 负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算⑷a 的双重非负性例: 得知⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位, 它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分:4的平方根为 的平方根为 4开平方后, 得 3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 =非完全平方类 =完全平方类 773294 *若 , 则(二)立方根和开立方1. 立方根的定义如果一个数的立方等于 , 呢么这个数叫做 的立方根, 记作 2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

0的立方根是0. 3.开立方与立方开立方: 求一个数的立方根的运算。

()a a =33a a =3333a a -=- (a 取任何数)这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

*0的平方根和立方根都是0本身。

(三)推广: 次方根1.如果一个数的 次方( 是大于1的整数)等于 ,这个数就叫做 的 次方根。

当为奇数时, 这个数叫做的奇次方根。

当为偶数时, 这个数叫做的偶次方根。

2.正数的偶次方根有两个:;0的偶次方根为0:;负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。

0的奇次方根为0。

负数的奇次方根为负。

(四)实数1.实数: 有理数和无理数统称为实数实数的分类:①按属性分类: ②按符号分类2.实数和数轴上的点的对应关系:实数和数轴上的点一一对应, 即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示一个实数.的画法: 画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况:①尺规可作的无理数, 如②尺规不可作的无理数 , 只能近似地表示, 如π, 1.010010001……思考:(1)-a2一定是负数吗?-a一定是正数吗?(2)大家都知道是一个无理数, 那么-1在哪两个整数之间?(3)的整数部分为a,小数部分为b, 则a= , b= 。

《实数》题型分类归纳

《实数》题型分类归纳

精心整理《实数》知识点比较:(1)100 (2)6449(3)1691(4)0.0025(5)0(6)2(7)()26- 例2、求下列各数的平方根。

(1)100(2)6449(3)1691(4)0.0025(5)0(6)2(7)()26- 例3、求下列各数的立方根。

(1)1000(2)278(3)27102(4)0.001(5)0(6)2(7)()36-类型二:化简求值例1、 求下列各式的值。

(1)22=(2)256169-=(3)0196.0= (4)2224-25-=(5)327--=(6)33512729+= 例2、求下列各式的值(1)一、 例1例2(1)例3二、 例4例5例6算术平方根:被开方数的小数点向右(左)每移动两位,算术平方根的小数点向右(左)移动一位。

立方根:被开方数的小数点向右(左)每移动三位,立方根的小数点向右(左)移动一位。

例1、 观察:已知84.227.521284.2217.5==, 填空:______52170______05217.0== 例2、 令858.46.23536.136.2==,则①________00236.0_______;236==②若__________,04858x ==x③若153610a 6=⨯,求a 的值。

例3、若b ==337,a 15,则____37000____,15.03==。

类型五、平方根的性质:正数有两个平方根,它们互为相反数。

例1、 一个非负数的两个平方根是 12-a 和5-a ,这个非负数是多少? 例2、 已知一个数的两个平方根分别是13+a 和11+a ,求这个数的立方根 类型六、解方程。

例1、求下列各式中的x 的值:(1)2x =196;(2)010x 52=-;(3)0253362=--)(x 。

(4)3x 3例1例2、求A B -例1、 例2、例3A 、2与例4例5例1、下列判断错误的是()A 、若b a =,则b a =B 、若33b a =,则b a =C 、若3333b a =,则b a =D 、若22b a =,则b a =例2、如图实数 a 、b 对应数轴上的点A 和点B ,化简:2222)()(a b a b a b +---+ 提示:|a |=算;())0(2≥=a a a类型八、平方运算与开平方运算互为逆运立方运算与开立方运算互为逆运算。

(文末带答案)人教版初一数学第六章实数重点题型及重要知识点的整理

(文末带答案)人教版初一数学第六章实数重点题型及重要知识点的整理

(文末带答案)人教版初一数学第六章实数重点题型及重要知识点的整理单选题1、25的平方根是( )A .5B .-5C .±5D .±√52、下列计算正确的是( )A .√9=±3B .√−13=−1C .|a|−a =0D .4a −a =33、已知√0.53≈0.793 7,√53≈1.710 0,那么下列各式正确的是( )A .√5003≈17.100B .√5003≈7.937C .√5003≈171.00D .√5003≈79.374、下列等式正确的是( )A .√49144=±712B .−√−2783=−32C .√−9=−3D .√(−8)23=45、下列四个实数中,是无理数的为( )A .0B .27C .−2D .√36、64的立方根是( )A .4B .±4C .8D .±87、下列各组数中互为相反数的是( )A .|−2|与2B .−2与√−83C .−2与−12D .−2与√(−2)28、若一个正数的两个平方根分别为2-a 与3a +6,则这个正数为()A .2B .-4C .6D .36填空题9、观察下列各式:√1+112+122=1+11×2,√1+122+132=1+12×3, √1+132+142=1+13×4, ……请利用你所发现的规律,计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+…+√1+192+1102,其结果为_______. 10、计算:√−273+√4=______.11、√81的平方根是____.12、(1) √42=______;(2) √(−4)2=______.13、下列说法中,正确的有____个.①5是25的算术平方根;②-9的算术平方根是-3;③(-7)2的算术平方根是±7;④0是0的算术平方根;⑤0.01是0.1的算术平方根;⑥0.1是0.01的算术平方根.解答题14、把下列各数分别填在相应的括号内:√5,−3,0,√43,0.3,227,−1.732,√25,√−163,|√−13|,−√27,−π2,3+√29,0.1010010001⋯整数{ };分数{ };正数{ };负数{ };有理数{ };无理数{ }15、将一个体积为0.216 m3的大立方体铝块改铸成8个一样大的小立方体铝块,求每个小立方体铝块的表面积.(文末带答案)人教版初一数学第六章实数_00C参考答案1、答案:C解析:如果一个数x的平方等于a,那么x是a是平方根,根据此定义即可解题.解:∵(±5)2=25∴25的平方根±5.故选C.小提示:本题主要考查了平方根定义,关键是注意一个正数有两个平方根.2、答案:B解析:直接利用算术平方根的定义、立方根的定义以及绝对值的性质、合并同类项法则分别化简得出答案.A、√9=3,故此选项错误;3=−1,故此选项正确;B、√−1C、|a|﹣a=0(a≥0),故此选项错误;D、4a﹣a=3a,故此选项错误;故选:B.小提示:此题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义以及绝对值的性质、合并同类项,正确掌握相关运算法则是解题关键.3、答案:B解析:试题分析:√5003=√0.5×10003=√0.53×10≈7.937.故选B .点睛:本题考查了立方根的性质,知道被开方数每扩大(或缩小)1000倍,则它的立方根就相应的扩大(或缩小)10倍是解决此题的关键.4、答案:D解析:原式各项利用立方根及算术平方根定义计算即可得到结果.A 、原式=712,错误;B 、原式=-(-32)=32,错误;C 、原式没有意义,错误;D 、原式=√643=4,正确,故选D .小提示:此题考查了立方根,以及算术平方根,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.5、答案:D解析:根据无理数的定义“也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比”即可.由无理数的定义得:四个实数中,只有√3是无理数故选:D.小提示:本题考查了无理数的定义,熟记定义是解题关键.6、答案:A解析:试题分析:∵43=64,∴64的立方根是4,故选A考点:立方根.7、答案:D解析:根据相反数的性质判断即可.解:A中|-2|=2,不是互为相反数;3=−2,不是相反数;B中√−8C中两数互为倒数;D中两数互为相反数;故选:D.小提示:本题主要考查了相反数的性质应用,准确分析是解题的关键.8、答案:D解析:根据平方根的定义可得一个关于a 的一元一次方程,解方程求出a 的值,再计算有理数的乘方即可得. 解:由题意得:2−a +(3a +6)=0,解得a =−4,则这个正数为(2−a)2=(2+4)2=62=36,故选:D .小提示:本题考查了平方根、一元一次方程的应用,熟练掌握平方根的定义是解题关键.9、答案:9910 解析:直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案.由题意可得:√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+…+√1+192+1102 =1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+19×10=9+(1﹣12+12﹣13+13﹣14+…+19﹣110) =9+910=9910.故答案为9910.小提示::此题主要考查了数字变化规律,正确将原式变形是解题关键.10、答案:−1解析:根据立方根和算数平方根的性质计算,即可得到答案.3+√4=−3+2=−1√−27所以答案是:−1.小提示:本题考查了立方根和算术平方根的知识;解题的关键是熟练掌握立方根、算术平方根的性质,从而完成求解.11、答案:±3解析:解:∵√81=9,9的平方根是±3.故答案为±3.12、答案: 4 4解析:(1)根据算术平方根的含义和求法得出结果(2) 根据算术平方根的含义和求法得出结果解:(1) √42=4(2) √(−4)2=4故答案为4,4小提示:此题主要考查了算术平方根的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①被开方数a 是非负数;②算术平方根a 本身是非负数.求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算,在求一个非负数的算术平方根时,可以借助乘方运算来寻找.13、答案:3解析:根据算术平方根的定义对各个说法进行甄别即可得解.①5是25的算术平方根,此说法正确;②-9没有算术平方根是,故此说法错误;③(-7)2的算术平方根是7,故此说法错误;④0是0的算术平方根;故此说法正确;⑤应为0. 1是0. 01的算术平方根,故原说法错误;⑥0.1是0.01的算术平方根.,正确.故答案为3.14、答案:见解析.解析:根据实数的分类进行解答:{ 有理数{正有理数0负无理数无理数{正无理数负无理数,或实数{正实数负实数.解:整数集合{-3,0,√25,|√−13|,…};分数集合{0.3,227,−1.732,⋯};正数集合{√5,√43,0.3,227,√25,|√−13|,3+√29,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次增加一个0),…}; 负数集合{−3,−1.732,√−163,√−27,−π2,⋯};有理数集合{−3,0,0.3,227,−1.732,√25,|√−13|,⋯}; 无理数集合{√5,√43,√−163,√−27,−π2,3+√29,0.1010010001⋯(每两个1之间依次增加一个0),⋯}小提示:本题考查的是实数的分类,解题关键是熟记定义.15、答案:每个小立方体铝块的表面积为0.54m 2.解析:试题分析:设小立方体的棱长是xm ,得出方程8x 3=0.216,求出x 的值即可. 试题解析:解:设小立方体的棱长是xcm ,根据题意得:8x 3=0.216,解得:x =0.3则每个小立方体铝块的表面积是6×(0.3)2=0.54(m 2),答:每个小立方体铝块的表面积是0.54m 2.点睛:本题考查了立方根的应用,关键是能根据题意得出方程.。

实数(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(浙教版)(解析版)

实数(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(浙教版)(解析版)

实数(5种题型)【知识梳理】一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点:(1)无理数的特征:无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环,不能表示成分数的形式. (2)常见的无理数有三种形式:①含π类.②看似循环而实质不循环的数,如:1.313113111…….③带有根二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分:实数⎧⎨⎩有理数:有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数按与0的大小关系分:实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点的关系我们尝试用数轴上的一个点来表示2.由前面的学习,我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD ,它的边长为2.观察正方形ABCD ,可知它的一边是一个直角三角形的斜边,这个直角三角形的两条直角边长都是1.这样,就在数轴上确定一个点来表示2.要点:每一个实数都可以用数轴上的点表示,而且这些点是唯一的;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的点与实数一一对应。

3.两个实数比较大小①负数小于0,0小于正数;两个正数绝对值大的数较大,两个负数绝对值大的数较小;从数轴上看,右边的点表示的数比左边的大。

②数轴上,如果点A,点B 所对应的数分别为a ,b ,那么A,B 两点的距离4.估算:怎样估算无理数20 (①误差小于1)?(②误差小于0.1)? 误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1. 估算无理数的方法是:(1)通过平方运算,采用“夹逼法”,确定真正值所在范围; (2)根据问题中误差允许的范围内取出近似值。

(3)“精确到”与“误差小于”意义不同。

如精确到1m 是四舍五入到个位,答案惟一;误差小于1m ,答案在真正值左右1m 都符合题意,答案不惟一。

在本章中误差小于1m 就是估算到个位,误差小于10m 就是估算到十位。

七年级数学实数重点题型及重要知识点的整理

七年级数学实数重点题型及重要知识点的整理

七年级数学实数重点题型及重要知识点的整理单选题1、下列说法中:①不带根号的数都是有理数; ②-8没有立方根;③平方根等于本身的数是1;④√a 有意义的条件是a 为正数;其中正确的有 ( )A .0个B .1个C .2个D .3个答案:A解析:根据是二次根式有意义的条件、平方根的概念和立方根的概念判断即可.解:不带根号的数不一定都是有理数,例如π,①错误;-8的立方根是-2,②错误;平方根等于本身的数是0,③错误;√a 有意义的条件是a 为非负数,④错误,故选A .小提示:本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根的概念和立方根的概念,掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.2、已知√a 3=0.1738,√5.283=1.738,则a 的值为( )A .0.528B .0.0528C .0.00528D .0.000528答案:C解析:根据立方根的变化规律如果被开方数缩小1000倍,它的值就缩小10倍,从而得出答案3=1.738,∵√a3=0.528,√5.28∴a=0.00528,故选C.小提示:此题考查了立方根,熟练掌握立方根的变化规律是本题的关键.3、64的立方根为()A.8B.﹣8C.4D.﹣4答案:C解析:利用立方根定义计算即可得到结果.解:∵43=64,∴64的立方根是4.故选:C.小提示:此题考查了立方根,熟练掌握立方根的定义是解本题的关键.4、25的平方根是()A.5B.-5C.±5D.±√5答案:C解析:如果一个数x的平方等于a,那么x是a是平方根,根据此定义即可解题.解:∵(±5)2=25∴25的平方根±5.故选C.小提示:本题主要考查了平方根定义,关键是注意一个正数有两个平方根.5、四个数0,1,√2,12中,无理数的是()A.√2B.1C.12D.0答案:A解析:分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.0,1,12是有理数,√2是无理数,故选A.小提示:此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,√2,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式.6、下列等式正确的是()A.√49144=±712B.−√−2783=−32C.√−9=−3D.√(−8)23=4答案:D解析:原式各项利用立方根及算术平方根定义计算即可得到结果.A 、原式=712,错误;B 、原式=-(-32)=32,错误;C 、原式没有意义,错误;D 、原式=√643=4,正确,故选D .小提示:此题考查了立方根,以及算术平方根,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.7、下列说法正确的是( )A .116的平方根是14B .−16的算术平方根是4C .(−4)2的平方根是−4D .0的平方根和算术平方根都是0答案:D解析:根据一个正数有两个平方根,且这两个平方根互为相反数及平方根的定义即可判断各选项.解:A 、116的平方根为±14,故本选项错误;B 、-16没有算术平方根,故本选项错误;C 、(-4)2=16,16的平方根是±4,故本选项错误;D 、0的平方根和算术平方根都是0,故本选项正确.故选D .小提示:本题考查了平方根和算术平方根的定义,一个正数有两个平方根,其中正的平方根称为算术平方根,负数没有平方根,0的平方根和算术平方根都是0.8、√36的平方根是()A.6B.±6C.√6D.±√6答案:D解析:∵√36=6,∴6的平方根为±√6故选D.【方法点睛】本题考查了平方根的概念.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数,一定先计算出√36的值,比较容易出错.填空题9、定义新运算:对于任意有理数a、b都有a⊗b=a(a﹣b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.比如:2⊗5=2×(2﹣5)+1=2×(﹣3)+1=-6+1=-5.则4⊗x=13,则x=_____.答案:1解析:解:根据题意得:4(4﹣x)+1=13,去括号得:16﹣4x+1=13,移项合并得:4x=4,解得:x=1.故答案为1.10、√64的算术平方根是_____.答案:2√2解析:∵√64=8,(2√2)2=8,∴√64的算术平方根是2√2.故答案为2√2.11、按照如图的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值是_____.(用科学计算器计算或笔算)答案:2解析:将x=2代入程序框图中计算即可得到结果.将x=2代入得:3×22﹣10=12﹣10=2,故答案为2.小提示:本题考查了代数式求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.3=______.12、若a2=64,则√a答案:±2解析:根据平方根、立方根的定义解答.3=±2解:∵a2=64,∴a=±8.∴√a故答案为±2小提示:本题考查平方根、立方根的定义,解题关键是一个正数的平方根有两个,他们互为相反数..13、√81的平方根是____.答案:±3解析:解:∵√81=9,9的平方根是±3.故答案为±3.解答题14、求下列各式中的x 值:(1)25x 2−9=0; (2)(x +2)2=2; (3)25(x −1)2−64=0;(4)4(1+x)2=49; (5)54−9(3+2x)2=0. 答案:(1)±35;(2)−2±√2;(3)135或−35;(4)52或−92;(5)−3±√62.解析:通过移项,二次项系数化为1,再直接开平方,即可求解. 解:(1)25x 2−9=0,移项得:25x 2=9,即:x 2=925,解得:x =±35;(2)(x +2)2=2.开平方得: x +2=±√2,解得:x =−2±√2;(3)25(x −1)2−64=0,移项得:25(x −1)2=64,即:(x −1)2=6425,开平方得:x −1=±85,解得:x =135或−35;(4)4(1+x)2=49,两边同除以4得:(1+x)2=494, 开平方得:1+x =±72,解得:x =52或−92; (5)54−9(3+2x)2=0,整理得:9(3+2x)2=54,即(3+2x)2=6,开平方得:3+2x =±√6,解得:x =−3±√62. 小提示:本题主要考查解二次方程,掌握平方根的意义,是解题的关键.15、求下列各式中的x 值:(1)25x 2−9=0; (2)(x +2)2=2; (3)25(x −1)2−64=0;(4)4(1+x)2=49; (5)54−9(3+2x)2=0.答案:(1)±35;(2)−2±√2;(3)135或−35;(4)52或−92;(5)−3±√62. 解析:通过移项,二次项系数化为1,再直接开平方,即可求解. 解:(1)25x 2−9=0,移项得:25x 2=9,即:x 2=925,解得:x =±35;(2)(x +2)2=2.开平方得: x +2=±√2,解得:x =−2±√2;(3)25(x −1)2−64=0,移项得:25(x −1)2=64,即:(x −1)2=6425,开平方得:x −1=±85,解得:x =135或−35; (4)4(1+x)2=49,两边同除以4得:(1+x)2=494, 开平方得:1+x =±72,解得:x =52或−92;(5)54−9(3+2x)2=0,整理得:9(3+2x)2=54,即(3+2x)2=6,开平方得:3+2x =±√6,解得:x =−3±√62. 小提示:本题主要考查解二次方程,掌握平方根的意义,是解题的关键.。

实数知识点总结及典型例题练习

实数知识点总结及典型例题练习

实数知识点总结考点一、实数的概念及分类(3分)1、实数的分类{正有理数r有理数零有限小数和无限循环小数负有理数实数{正无理数}无理数无限不循环小数负无理数Y 整数包括正整数、零、负整数。

匚正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如万,迈等;(2)有特定意义的数,如圆周率心或化简后含有7T的数,如扌+8 等;(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;(4)某些三角函数,如sin6()“等(这类在初三会出现)考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0, a二b,反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|A0。

零的绝对值是它本身,若|a|=a,则Q0;若|a|二a,则a<0。

正数大于零, 负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。

3、倒数如果a与b互为倒数,则有ab=l,反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和・1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于心那么这个数就叫做巾的平方根(或二次方跟)。

一个数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

正数a的平方根记做“土蘇”。

2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“亦”。

正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

a ( a >0) > 0、庐=|询=_ -a ( a <0) ;注意需的双重非负性Ya >03、立方根如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。

一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。

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实数知识点与对应题型一、平方根:(11——19的平方)1、平方根定义:如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根。

(也称为二次方根),也就是说如果x 2=a ,那么x 就叫做a 的平方根。

2、平方根的性质:①一个正数有两个平方根,它们互为相反数;一个正数a 的正的平方根,记作“a ”,又叫做算术平方根,它负的平方根,记作“—a ”,这两个平方根合起来记作“±a ”。

( a 叫被开方数, “”是二次根号,这里“”,亦可写成“2”)②0只有一个平方根,就是0本身。

算术平方根是0。

③负数没有平方根。

3、 开平方:求一个数的平方根的运算叫做开平方,开平方和平方运算互为逆运算。

4、(1) 平方根是它本身的数是零。

(2)算术平方根是它本身的数是0和1。

(3)()()()().0,0,0222<-=≥=≥=a a a a a a a a a(4)一个数的两个平方根之和为0二、立方根:(1——9的立方)1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根。

(也称为二次方根),也就是说如果x 3=a ,那么x 就叫做a 的立方根。

记作“3a ”。

2、立方根的性质:①任何数都有立方根,并且只有一个立方根,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数,即3a -=3a - ③a a a ==3333)(3、开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方,开立方与立方运算为互逆运算,开立方的运算结果是立方根。

4、立方根是它本身的数是1,0,-1。

5、平方根和立方根的区别:(1)被开方数的取值围不同:在±a 中,a ≥0,在a 3中,a 可以为任意数值。

(2)正数的平方根有两个,而它的立方根只有一个;负数没有平方根,而它有一个立方根。

6、立方根和平方根:不同点:(1)任何数都有立方根,正数和0有平方根,负数没有平方根;即被开方数的取值围不同:±a 中的被开方数a 是非负数;3a 中的被开方数可以是任何数.(2)正数有两个平方根,任何数都有惟一的立方根;(3)立方根等于本身的数有0、1、—1,平方根等于本身的数只有0.共同点:0的立方根和平方根都是0.三、实数:1、定义:有理数和无理数统称为实数注意:分数都是有理数,因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类:实数有理数正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪实数的性质:①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数围的意义是一样的。

②实数同有理数一样,可用数轴上的点表示,且实数和数轴上的点一一对应。

③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。

④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。

3、近似数:由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量,甚至在更多情况下不可能得到精确的数,用以描述所研究的量,这样的数就叫近似数。

取近似值的方法——四舍五入法4、有效数字:对一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法:把一个数记为做科学记数法。

是整数)的形式,就叫其中n ,10a 1(10a n <≤⨯6、实数和数轴:每一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来,数轴上每一个点都表示一个实数。

实数与数轴上的点是一一对应的。

一、平方根:(一)文字类题目:一个数的平方等于它本身,这个数是 ;一个数的平方根等于它本身,这个数是 ;一个数的算术平方根等于它本身,这个数是一个数的立方根等于它本身,这个数是 ;一个正数的两个平方根的和是________.一个正数的两个平方根的商是________.(二). 定义:1.(1) 81 的平方根是9±的数学表达式是( )A. 981=B. 981=±C. 981±=D. 981±=±81的平方根是( )实数表示 ,= 。

16的数是 ,将16开平方得 ,因此平方与 互为逆运算。

4的平方根是 ;149的平方根是 。

的平方根是0.81。

(2)数有平方根吗?若有,求出它们的平方根;若没有,请说明理由。

(1)-64; (2)(-4)2; (3)-52 (4)81(3)若3a +1没有算术平方根,则a 的取值围是若3x-6总有平方根,则x 的取值围是 。

若式子x -31的平方根只有一个,则x 的值是 。

(4)已知411+=-+-y x x ,那么x -y =已知a 为实数,那么2a -等于( )A. aB. –aC. -1D. 0(5)若04)3(2=-+-y x ,则x +y = 已知04922=-+-b a ,那么a +b =已知x 、y 满足:0)532(322=--+--y x y x ,那么x -8y 的立方根为(6)代数式b a +--3的最大值是 ,这时a 、b 之间的关系是(7)若10=m ,则m = ;若43=m ,则m 的平方根是(8)若3=x ,则x= ,()32=-x ,则x= (9)下列个数中:()()()623252860100-----,,,,,没有平方根的有 个 2. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ,且满足04412=+-+-b b a ,求c 的取值围。

已知a 、b 为实数,且0262=-++b a ,解关于x 的方程:(a +2)x +2b =a -1。

已知42a -49=0,求a 1039-的值。

3. 列方程求值:(1)2x =196; (2)52x -10=0; (3)36(x -3)2-25=04. (1)已知一个正数的平方根是2x -1和3-x ,求这个数(2()2x y -的平方根。

5. 估算:(1)比较大小: ①5与52 ②215-与43(2)a 、b 为两个连续的整数,且b a <<7,则b a +=满足-2<x<3的整数是 ;实数 的绝对值是37-。

(3)若m =440-,则估计m 的值所在的围是( )A.21<<mB. 32<<mC. 43<<mD. 54<<m6. 计算:(1)()=+-3232(2)、下列计算正确的是( ) A 、451691= B 、212214= C 、05.025.0= D 、525=-- 7. 平方根的性质: =01.0 ;()=25 ;241⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ;216= ;()=-216 ;()25-= 。

二、立方根1. 定义:(1)如果a 是x 的立方根,那么下列说确的是( )A. –a 也是x 的立方根B. –a 是-x 的立方根C. a 是-x 的立方根D. –a 和a 都是-x 的立方根 (2)下列各式:2.08.01.01.01.0001.0393333=-=-==;④;③;②①,其中错误的有 个 2. 根据定义求值:(1)求值:327102- (2)31258--(2)方程:()133-=-x 2161253-=x3. 估算:(1)估计68的立方根大小在( )A. 2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间(2)通过估算3420的整数部分为( )A. 6B. 7C. 8D. 9(3)3100估算到个位=4. 平方根与立方根相结合:(1)若2x+1的平方根是5±,那么5x+4的立方根是(2)已知8=x ,求381x -的值。

(3)已知m 满足3312=-m ,k 、n 满足()079132=++-n k ,求k n m 32-的值三、实数:1. 实数的定义:1.判断下列说法是否正确,为什么?(1)无限小数是无理数;(2)有理数都是是有限小数;(3)无理数都是无限小数;(4)带根号的数都是无理数(5)任何实数的偶次幂都是正实数;(6)在实数围,若y x =,则x =y 。

(7)0是最小的实数;(8)0是绝对值最小的实数;(9)数轴上的点与有理数是一一对应的(10)数轴上的点与实数是一一对应的2.下列说确的是 ( )A.不存在最小的实数B.有理数是有限小数C.无限小数都是无理数D.带根号的数都是无理数3.下列说确的是( )4. 把下列各数填入相应的集合:---⋅-π,,,,,,,,,,314317320031825362131716... 213、38-、0、27、3π、5.0、3.14159、-0.020020002 0.…… (1)有理数集合{ }(2)无理数集合{ }(3)正实数集合{ }(4)负实数集合{ }2. 有效数字、科学记数法、近似数:注意:2000有4个有效数字,精确到个位3102⨯有1个有效数字,精确到千位1. 有几个有效数字,保留几个有效数字:用四舍五入法,按要求取近似值:.①地球上七的面积约为149480000(保留2个有效数字)②25.8万(保留2个有效数字)③小明身高1.595m (保留3个有效数字)④0.0608,0.0608002.精确到哪一位:由四舍五入法得到的近似数,分别精确到哪一位?各有几个有效数字?①小明身高1.59m ;②地球的半径约为6.4×103;③组成云的小水滴很小,最大的直径约为0.2mm ;④某种电子显微镜的分辨率为1.4×10-8;⑤70万⑥9.03万⑦1.8亿⑧51040.6⨯⑨0.0900803.精确到0.1,0.01等:①精确到个位(或精确到1)是π精确到十分位(或精确到0.1)是π精确到百分位(或精确到0.01)是π精确到千分位(或精确到0.001)是小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg ,按下列要求取近似数,并指出每个近似数的有效数:①精确到0.01kg; ②精确到0.1kg; ③精确到1kg.②某人一天饮水1890ml (精确到1000ml )③的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm (精确到0.00001)4.科学记数法:(1)用科学记数法表示91800000,正确的是( )A 、918×510B 、91.8×610C 、9.18×510D 、9.18×710 (2)一个数用科学记数法记为6×410,这个数原来怎么记?它是几位整数?一个数用科学记数法记为6.09×410,这个数原来怎么记?它是几位整数?一个数用科学记数法记为6.00009×410,这个数原来怎么记?它有几位整数?5.今年全国的消费额为29458.4亿元,小明认为这个数字精确到0.1亿元,而小亮认为这个数字精确到1000万元,你认为谁的说法对?为什么?小亮,数位只存在个、十、百、千、万、十万等,不存在0.1万之类的。

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