第五章 有心力场中的运动
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r
2. 动力学方程与初积分
由上节mr F (r) r 0知， r
二体问题的动力学方程为：
r
r3
r
0
(5.2.5)
此方程为二阶矢量微分方程，
可化为三个二阶标量微分方程组，
应有六个积分常数。如图所示。
我们不直接使用积分的方法
求解此问题，而是使用初积分与
直接积分相结合的方法来求解。
二体问题的能量积分和面积积分可由上节得出：
椭圆轨道与双曲线轨道的根本区别在于：前者有界而后者
无界。与E 0对应的抛物线轨道介于两种类型轨道之间的临界 情形，对应的速度称为抛物线速度或逃逸速度，记作vp
vp
2
r
将速度v分解为周向速度v 和径向速度vr。 由动量矩积分得：
v
r
L r
L p
(1 e cos )
(1 e cos )
p
则vr
r
dr d
dr
d
L r2
e sin
p
速度v :
v
vr2 v2
1 e2 2e cos
p
太阳系中的行星，地球附近的航天器轨道都是椭圆轨道。
rm in
r(0)
p 1 e
记为r，称为近地点（点）
rm
ax
r
me＞＞m，可足够精确地认为系统的质心O与地球的球心Oe重合。 二体问题简化为只需研究质点m在静止的地球万有引力作用下 的运动。
me 5.9761024 kg， Gme 3.986105 km3/s2 称为地球引力参数
F (r)
G
mme r2
m
r2
mg
地球表面处g 9.82m / s2。
V (r) m
在
轨道与赤道平面相交的两个交点中，
对应于航天器上升的交点称为升交
点，记作N，ON与OX 0的夹角称 为升交点赤经，轨道面与赤道面的
倾角i称为轨道面倾角。与i是确定
轨道面的空间方位的两个独立的广义坐标。
由偏心率矢量e可确定角，
称为近地点幅角。
偏心率矢量e与矢径r点积：
r e r ( 1 v L 1 r)
1. 万有引力场
F
G
mme r2
(r r
)
G 6.67 1011m3/kg s2，万有引力常数。
V (r) G mme r
两质点组成的系统，无外力作用，仅在
两者的万有引力作用下的运动，称为二体问题。
将地球和航天器均视作均值球体，根据上例的分析，可以 质量集中于球心的质点me和m分别表示地球和航天器。由于
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目录 第五章 有心力场中的运动
§5-1 有心力场的普遍性质 §5-2 二体问题 §5-3 限制性三体问题
2-2
有心力场是自然界中最普遍的力场。天体或航天器的 运动可简化为质心运动和绕质心的转动，即轨道运动和姿 态运动。忽略轨道运动和姿态运动的耦合作用，可分别独 立研究这两种运动。
积分常数矢量e称为偏心率矢量。
e2 1 (v L r)2
2
r
1
L2
2
(v2
2
r
)
2EL2
1 2
(5.2.10)
面积积分表明质点的轨道为平
面，该平面在惯性空间中是固定的。
为确定轨道平面的位置，以O为原
点建立惯性参考系(OX 0Y0Z0)，其中
Z0沿地球的极轴，X 0Y0为赤道平面。
轴X
沿
0
地球公转轨道的春分点，
r
2
L r re cos
从而导出极坐标形式的轨道方程：
r p
1 e cos
2
式中参数p L 称为半轴参数。
此轨道方程显然是以O为焦点，且相对于e为对称轴的圆锥曲线。
e 1 椭圆 e 1 抛物线 e 1 双曲线
将轨道方程代人动量矩积分并分离变量，得到
p3 d dt (1 cos )2
t
v2 E
2r rv L
(5.2.6) (5.2.7)
此外。二体问题还存在另一个初积分。由(5.2.5)
v
L
r3
r
L
d dt
Hale Waihona Puke Baidu
(v
L)
r3
(r
(r
r))
d dt
(v
L
r
r)
0
v L r e(常矢量)
r
(5.2.9)
v L r e(常矢量)
r 称为拉普拉斯积分。
(5.2.9)
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
§5-1 有心力场的普遍性质
1. 有心力场
质点受力F的作用线始终 通过惯性空间的固定点O，则 称此力我有心力，点O为力心， 有心力构成的力场称为有心 力场。O至质点的矢径记为r， 有心力F的作用线与r共线。
2-3
F (r) F(r) r r
mr F (r) r 0 r
2. 能量积分
mv v F (r) r v 0 r
r2 L (5.1.9)
质点的矢径扫过的面积为：
dA 1 r 2d
2
A 1 r 2 1 L
2
2
因此，动量矩积分又称为面积积分。
将能量积分也用极坐标表示：
1 (r2 r 22 ) 1 V (r) E
2
m
(5.1.12)
(5.1.9)与(5.1.12)组成封闭方程组，可用来求解此类问题。
§5-2 二体问题
1
2EL2
2
，p
L2
的存在，
其中有6个是独立的。通常选择，i，，p，e，作为独立的轨
道根数。
3. 开普勒运动
二体问题描述的运动称为开普勒运动。从轨道方程：
r p
1 e cos
可以看出轨道曲线是以O为焦点，且相对偏心率矢量e为对称轴 的圆锥曲线。曲线的类型取决于偏心率e的值 :
e 1 椭圆 e 1 抛物线 e 1 双曲线 从(5.2.10)判断，e 1，e 1，e 1等价于 E 0, E 0，E 0
1 m d (v v) F(r) 1 d (r r) 0
2 dt
r 2 dt
d (1 mv2 ) F (r)r 0 dt 2
1 v2 1 V (r) E 2m
称为能量积分（守恒）
V (r) r F (r)dr， 称为势能
3. 面积积分
mr F (r) r 0 r
r v 0
p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
2. 动力学方程与初积分
由上节mr F (r) r 0知， r
二体问题的动力学方程为：
r
r3
r
0
(5.2.5)
此方程为二阶矢量微分方程，
可化为三个二阶标量微分方程组，
应有六个积分常数。如图所示。
我们不直接使用积分的方法
求解此问题，而是使用初积分与
直接积分相结合的方法来求解。
二体问题的能量积分和面积积分可由上节得出：
椭圆轨道与双曲线轨道的根本区别在于：前者有界而后者
无界。与E 0对应的抛物线轨道介于两种类型轨道之间的临界 情形，对应的速度称为抛物线速度或逃逸速度，记作vp
vp
2
r
将速度v分解为周向速度v 和径向速度vr。 由动量矩积分得：
v
r
L r
L p
(1 e cos )
(1 e cos )
p
则vr
r
dr d
dr
d
L r2
e sin
p
速度v :
v
vr2 v2
1 e2 2e cos
p
太阳系中的行星，地球附近的航天器轨道都是椭圆轨道。
rm in
r(0)
p 1 e
记为r，称为近地点（点）
rm
ax
r
me＞＞m，可足够精确地认为系统的质心O与地球的球心Oe重合。 二体问题简化为只需研究质点m在静止的地球万有引力作用下 的运动。
me 5.9761024 kg， Gme 3.986105 km3/s2 称为地球引力参数
F (r)
G
mme r2
m
r2
mg
地球表面处g 9.82m / s2。
V (r) m
在
轨道与赤道平面相交的两个交点中，
对应于航天器上升的交点称为升交
点，记作N，ON与OX 0的夹角称 为升交点赤经，轨道面与赤道面的
倾角i称为轨道面倾角。与i是确定
轨道面的空间方位的两个独立的广义坐标。
由偏心率矢量e可确定角，
称为近地点幅角。
偏心率矢量e与矢径r点积：
r e r ( 1 v L 1 r)
1. 万有引力场
F
G
mme r2
(r r
)
G 6.67 1011m3/kg s2，万有引力常数。
V (r) G mme r
两质点组成的系统，无外力作用，仅在
两者的万有引力作用下的运动，称为二体问题。
将地球和航天器均视作均值球体，根据上例的分析，可以 质量集中于球心的质点me和m分别表示地球和航天器。由于
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目录 第五章 有心力场中的运动
§5-1 有心力场的普遍性质 §5-2 二体问题 §5-3 限制性三体问题
2-2
有心力场是自然界中最普遍的力场。天体或航天器的 运动可简化为质心运动和绕质心的转动，即轨道运动和姿 态运动。忽略轨道运动和姿态运动的耦合作用，可分别独 立研究这两种运动。
积分常数矢量e称为偏心率矢量。
e2 1 (v L r)2
2
r
1
L2
2
(v2
2
r
)
2EL2
1 2
(5.2.10)
面积积分表明质点的轨道为平
面，该平面在惯性空间中是固定的。
为确定轨道平面的位置，以O为原
点建立惯性参考系(OX 0Y0Z0)，其中
Z0沿地球的极轴，X 0Y0为赤道平面。
轴X
沿
0
地球公转轨道的春分点，
r
2
L r re cos
从而导出极坐标形式的轨道方程：
r p
1 e cos
2
式中参数p L 称为半轴参数。
此轨道方程显然是以O为焦点，且相对于e为对称轴的圆锥曲线。
e 1 椭圆 e 1 抛物线 e 1 双曲线
将轨道方程代人动量矩积分并分离变量，得到
p3 d dt (1 cos )2
t
v2 E
2r rv L
(5.2.6) (5.2.7)
此外。二体问题还存在另一个初积分。由(5.2.5)
v
L
r3
r
L
d dt
Hale Waihona Puke Baidu
(v
L)
r3
(r
(r
r))
d dt
(v
L
r
r)
0
v L r e(常矢量)
r
(5.2.9)
v L r e(常矢量)
r 称为拉普拉斯积分。
(5.2.9)
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
§5-1 有心力场的普遍性质
1. 有心力场
质点受力F的作用线始终 通过惯性空间的固定点O，则 称此力我有心力，点O为力心， 有心力构成的力场称为有心 力场。O至质点的矢径记为r， 有心力F的作用线与r共线。
2-3
F (r) F(r) r r
mr F (r) r 0 r
2. 能量积分
mv v F (r) r v 0 r
r2 L (5.1.9)
质点的矢径扫过的面积为：
dA 1 r 2d
2
A 1 r 2 1 L
2
2
因此，动量矩积分又称为面积积分。
将能量积分也用极坐标表示：
1 (r2 r 22 ) 1 V (r) E
2
m
(5.1.12)
(5.1.9)与(5.1.12)组成封闭方程组，可用来求解此类问题。
§5-2 二体问题
1
2EL2
2
，p
L2
的存在，
其中有6个是独立的。通常选择，i，，p，e，作为独立的轨
道根数。
3. 开普勒运动
二体问题描述的运动称为开普勒运动。从轨道方程：
r p
1 e cos
可以看出轨道曲线是以O为焦点，且相对偏心率矢量e为对称轴 的圆锥曲线。曲线的类型取决于偏心率e的值 :
e 1 椭圆 e 1 抛物线 e 1 双曲线 从(5.2.10)判断，e 1，e 1，e 1等价于 E 0, E 0，E 0
1 m d (v v) F(r) 1 d (r r) 0
2 dt
r 2 dt
d (1 mv2 ) F (r)r 0 dt 2
1 v2 1 V (r) E 2m
称为能量积分（守恒）
V (r) r F (r)dr， 称为势能
3. 面积积分
mr F (r) r 0 r
r v 0
p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e