向量的概念及表示(公开课)
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高中数学必修 4
第来自百度文库章
平面向量
广饶一中
问题情境
请同学们到我家 来做客! 来做客!
如果要找一个物理量来刻画从学校到老 师家的位置变化,应该用哪个量? 师家的位置变化,应该用哪个量? "位移"和"路程"这两个物理量一样 位移" 路程" 吗?
建构数学
一.向量的相关概念
1.向量的定义:既有大小又有方向的量. 向量的定义:既有大小又有方向的量.
共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 相反向量 : 长度相等 且方向相反的向量 叫做相反向量. 记作: 叫做相反向量. 记作: a
思考: 思考:
1,若两个向量相等,则它们的起点和终点 ,若两个向量相等, 分别重合吗? 分别重合吗? 2,向量 AB 与 CD 是共线向量,则A,B, 是共线向量, , , , C,D四点必在一直线上吗 C,D四点必在一直线上吗? 四点必在一直线上吗? 3,平行于同一个向量的两个向量平行吗? ,平行于同一个向量的两个向量平行吗? 4,若四边形 若四边形ABCD是平行四边形,则有 是平行四边形, 是平行四边形 A AB = DC 吗? B
"大小"和"方向"是向量的两个重要方面 大小" 大小 方向" !
建构数学
几何表示 向量常用一条有向线段来表示 常用一条有向线段来表示. 向量常用一条有向线段来表示 N i : 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的长度表示向量的大小 长度表示向量的大小. f ii: 箭头所指的方向表示向量的方向 箭头所指的方向表示向量的方向 方向表示向量的方向.
路程 只有大小没有方向 数量 标量
(只需用一个实数就可以表示的量) 只需用一个实数就可以表示的量) 位移 既有大小又有方向 矢量 向量
在你学过的量中,哪些是数量,哪些 在你学过的量中,哪些是数量, 是向量? 是向量?
学生活动
判断下列说法是否正确 判断下列说法是否正确: 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可 由于零上温度可以用正数来表示, 以用负数来表示,所以温度是向量. 以用负数来表示,所以温度是向量. 错误,因为温度没有方向. 错误,因为温度没有方向. 坐标平面上的x轴和y轴是向量. 坐标平面上的x轴和y轴是向量. 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小. 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
建构数学
三,向量的关系
平行向量: 方向相同 或相反 的非零向量 叫做平行向量. 记作: 叫做平行向量. 记作: a // b.
规定:零向量与任一向量平行 规定 零向量与任一向量平行. 零向量与任一向量平行
相等向量: 长度相等 且方向相同 的向量 相等向量:
记作: 叫做相等向量 . 记作: a = b.
向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的 长度(或称 模). 记作 | AB | .
思考: 思考: 与BA相同吗?AB 与 BA 相同吗? AB
建构数学
零向量: 的向量, 零向量:长度为 0 的向量,记作
0.
单位向量: 个单位长度的向量, 单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量,叫做 单位向量 . 这两个量仅从大小上刻画了向量. 这两个量仅从大小上刻画了向量. 思考: 思考 单位向量唯一吗 单位向量唯一吗? 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向 平面直角坐标系内 所有起点在原点的单位向 它们终点的轨迹是什么图形? 量,它们终点的轨迹是什么图形 它们终点的轨迹是什么图形
学生活动
a
(1),如上图,设图中小正方形的边长为1,则| a |= ),如上图 设图中小正方形的边长为1 如上图,
.
(2),请在上图中画出与| a |相等的向量(要求所画向量的 请在上图中画出与| |相等的向量 相等的向量( ),请在上图中画出与 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). (3),请在上图中画出模为| a |的2倍的向量. 请在上图中画出模为| |的 倍的向量. ),请在上图中画出模为 思考:观察上图中的向量,我们可将其分为模为 2 和 2 2 思考:观察上图中的向量, 两类;你能否将这些向量按照" 进行分类? 两类;你能否将这些向量按照"方向"进行分类?
G
2,向量的表示 ,
字母表示 向量可以 可以用有向线段的起点和终点字母表 向量可以用有向线段的起点和终点字母表 示, 如: AB 在印刷时, 在印刷时,常用粗黑体小写字母 a , b , c 来表示; 来表示; 手写时则可用带箭头的小写字 来表示. 母 a , b , c 来表示.
建构数学
3,向量的大小(模) ,向量的大小 模
D C
巩固练习
例1,如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边 对角线的交点, 如图, 是正方形ABCD对角线的交点 OAED,OCFB都是正方形 在图中所示的向量中: 都是正方形, 形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中: (1)与 AO 相等的向量为 共线的向量为 (2)与 AO 共线的向量为 (3)与 AO 的模相等的向量为 (4)向量 AO 与 CO 是否相等?答 是否相等?
�
AO
;
E
A
B
;
D
F O C
; .
例2:在4 × 5达到方格中有一个向量 AB,以图中 向量, 的格点为起点和终点作 向量,其中与 AB相等的 向量有多少个? 向量有多少个?与 AB长度相等的共线向量有 多 ( 少个? 少个? AB 除外 )
B
相等的有 7个 个
A
长度相等 的有15个 的有 个
课堂小结
向量
向量
向量的表示
向量的大小 (模)
向量的方向
平行向量 共线向量) (共线向量)
零向量
单位向量
课堂小结
向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学, 向量最初被应用于物理学,被称为矢 很多物理量,如力,速度,位移, 量.很多物理量,如力,速度,位移,电 场强度,磁场强度等都是向量. 场强度,磁场强度等都是向量. 大约公元前350 350年 大约公元前350年,古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 向量一词来自力学, 量.向量一词来自力学,解析几何中的有 向线段 向线段. 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿 学家牛顿. 大科学家牛顿.
第来自百度文库章
平面向量
广饶一中
问题情境
请同学们到我家 来做客! 来做客!
如果要找一个物理量来刻画从学校到老 师家的位置变化,应该用哪个量? 师家的位置变化,应该用哪个量? "位移"和"路程"这两个物理量一样 位移" 路程" 吗?
建构数学
一.向量的相关概念
1.向量的定义:既有大小又有方向的量. 向量的定义:既有大小又有方向的量.
共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 相反向量 : 长度相等 且方向相反的向量 叫做相反向量. 记作: 叫做相反向量. 记作: a
思考: 思考:
1,若两个向量相等,则它们的起点和终点 ,若两个向量相等, 分别重合吗? 分别重合吗? 2,向量 AB 与 CD 是共线向量,则A,B, 是共线向量, , , , C,D四点必在一直线上吗 C,D四点必在一直线上吗? 四点必在一直线上吗? 3,平行于同一个向量的两个向量平行吗? ,平行于同一个向量的两个向量平行吗? 4,若四边形 若四边形ABCD是平行四边形,则有 是平行四边形, 是平行四边形 A AB = DC 吗? B
"大小"和"方向"是向量的两个重要方面 大小" 大小 方向" !
建构数学
几何表示 向量常用一条有向线段来表示 常用一条有向线段来表示. 向量常用一条有向线段来表示 N i : 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的长度表示向量的大小 长度表示向量的大小. f ii: 箭头所指的方向表示向量的方向 箭头所指的方向表示向量的方向 方向表示向量的方向.
路程 只有大小没有方向 数量 标量
(只需用一个实数就可以表示的量) 只需用一个实数就可以表示的量) 位移 既有大小又有方向 矢量 向量
在你学过的量中,哪些是数量,哪些 在你学过的量中,哪些是数量, 是向量? 是向量?
学生活动
判断下列说法是否正确 判断下列说法是否正确: 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可 由于零上温度可以用正数来表示, 以用负数来表示,所以温度是向量. 以用负数来表示,所以温度是向量. 错误,因为温度没有方向. 错误,因为温度没有方向. 坐标平面上的x轴和y轴是向量. 坐标平面上的x轴和y轴是向量. 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小. 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
建构数学
三,向量的关系
平行向量: 方向相同 或相反 的非零向量 叫做平行向量. 记作: 叫做平行向量. 记作: a // b.
规定:零向量与任一向量平行 规定 零向量与任一向量平行. 零向量与任一向量平行
相等向量: 长度相等 且方向相同 的向量 相等向量:
记作: 叫做相等向量 . 记作: a = b.
向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的 长度(或称 模). 记作 | AB | .
思考: 思考: 与BA相同吗?AB 与 BA 相同吗? AB
建构数学
零向量: 的向量, 零向量:长度为 0 的向量,记作
0.
单位向量: 个单位长度的向量, 单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量,叫做 单位向量 . 这两个量仅从大小上刻画了向量. 这两个量仅从大小上刻画了向量. 思考: 思考 单位向量唯一吗 单位向量唯一吗? 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向 平面直角坐标系内 所有起点在原点的单位向 它们终点的轨迹是什么图形? 量,它们终点的轨迹是什么图形 它们终点的轨迹是什么图形
学生活动
a
(1),如上图,设图中小正方形的边长为1,则| a |= ),如上图 设图中小正方形的边长为1 如上图,
.
(2),请在上图中画出与| a |相等的向量(要求所画向量的 请在上图中画出与| |相等的向量 相等的向量( ),请在上图中画出与 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). (3),请在上图中画出模为| a |的2倍的向量. 请在上图中画出模为| |的 倍的向量. ),请在上图中画出模为 思考:观察上图中的向量,我们可将其分为模为 2 和 2 2 思考:观察上图中的向量, 两类;你能否将这些向量按照" 进行分类? 两类;你能否将这些向量按照"方向"进行分类?
G
2,向量的表示 ,
字母表示 向量可以 可以用有向线段的起点和终点字母表 向量可以用有向线段的起点和终点字母表 示, 如: AB 在印刷时, 在印刷时,常用粗黑体小写字母 a , b , c 来表示; 来表示; 手写时则可用带箭头的小写字 来表示. 母 a , b , c 来表示.
建构数学
3,向量的大小(模) ,向量的大小 模
D C
巩固练习
例1,如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边 对角线的交点, 如图, 是正方形ABCD对角线的交点 OAED,OCFB都是正方形 在图中所示的向量中: 都是正方形, 形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中: (1)与 AO 相等的向量为 共线的向量为 (2)与 AO 共线的向量为 (3)与 AO 的模相等的向量为 (4)向量 AO 与 CO 是否相等?答 是否相等?
�
AO
;
E
A
B
;
D
F O C
; .
例2:在4 × 5达到方格中有一个向量 AB,以图中 向量, 的格点为起点和终点作 向量,其中与 AB相等的 向量有多少个? 向量有多少个?与 AB长度相等的共线向量有 多 ( 少个? 少个? AB 除外 )
B
相等的有 7个 个
A
长度相等 的有15个 的有 个
课堂小结
向量
向量
向量的表示
向量的大小 (模)
向量的方向
平行向量 共线向量) (共线向量)
零向量
单位向量
课堂小结
向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学, 向量最初被应用于物理学,被称为矢 很多物理量,如力,速度,位移, 量.很多物理量,如力,速度,位移,电 场强度,磁场强度等都是向量. 场强度,磁场强度等都是向量. 大约公元前350 350年 大约公元前350年,古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 向量一词来自力学, 量.向量一词来自力学,解析几何中的有 向线段 向线段. 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿 学家牛顿. 大科学家牛顿.