历年自主招生试题分类汇编平面向量

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2024年高一数学真题分类汇编(北京专用)平面向量基本定理及坐标表示5种常考题型归类(解析版)

专题03平面向量基本定理及坐标表示5种常考题型归类对基向量概念的理解1．（2021春•丰台区校级期中）1e 和2e是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是()A ．1232e e - 和2146e e -B ．12e e + 和12e e -C ．122e e + 和212e e + D ．2e 和21e e + 【解析】由题意1e 和2e是表示平面内所有向量的一组基底，A 选项中，存在一个实数2-使得2112462(32)e e e e -=--，此两向量共线，故不能作为基底，A 可选；B 选项中找不到一个非零实数λ使得1212()e e e e λ+=-成立，故不能选B ；C 选项与D 选项中的两个向量是不共线的，可以作为一组基底，综上，A 选项中的两个向量不能作为基底．故选：A ．2．（2023春•新华区校级期中）在下列向量组中，可以把向量(3,2)a =表示出来的是()A ．1(0,0)e = ，2(1,2)e =B ．1(1,2)e =- ，2(5,2)e =-C ．1(3,5)e = ，2(6,10)e =D ．1(2,3)e =- ，2(2,3)e =-【解析】根据12a e e λμ=+，选项:(3A ，2)(0λ=，0)(1μ+，2)，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项:(3B ，2)(1λ=-，2)(5μ+，2)-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项:(3C ，2)(3λ=，5)(6μ+，10)，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项:(3D ，2)(2λ=，3)(2μ-+-，3)，则322λμ=-，233λμ=-+，无解，故选项D 不能．故选：B ．3．（2022秋•北京期中）下列各组向量中，可以作为基底的是()A ．1(0,0)e = ，2(1,2)e =B ．1(3,4)e = ，2(1,2)e =C ．1(3,4)e = ，2(6,8)e =D ．1(3,4)e =- ，24(1,)3e =- 【解析】对于A ，因为1(0,0)e = ，0与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故A 错误；对于C ，因为1212e e =，两向量共线，不能做基底，故C 错误；对于D ，因为123e e =-，两向量共线，不能做基底，故D 错误；故选：B ．用基底表示向量4．（2023春•海淀区校级期中）已知非零向量OA ，OB 不共线，且13BM BA =，则向量(OM = )A ．1233OA OB + B ．2133OA OB +C ．1233OA OB -D ．2133OA OB-【解析】由题设1112()3333OM OB BM OB BA OB OA OB OA OB =+=+=+-=+．故选：A ．5．（2023春•东城区校级期中）已知P 为ABC ∆所在平面内一点，2BC CP =，则()A ．1322AP AB AC=-+B ．1233AP AB AC=+C ．3122AP AB AC=- D ．2133AP AB AC=+ 【解析】由于2BC CP =，利用向量的线性运算，22AC AB AP AC -=-，整理得：1322AP AB AC =-+．故选：A ．6．（2023春•东城区校级期中）设点D 为ABC ∆中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则()A ．1162BO AB AC=-+B ．1122BO AB AC=-C ．5166BO AB AC=- D ．5166BO AB AC=-+【解析】如图，D 为BC 中点，O 为靠近A 的三等分点，11()36AO AD AB AC ==+，151()666BO AO AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+．故选：D ．7．（2021春•东城区校级期中）在ABC ∆中，13BD BC =，若AB a = ，AC b = ，则(AD = )A ．1233a b -B ．1233a b +C ．2133a b +D ．2133a b- 【解析】在ABC ∆中，13BD BC = ，AB a =，AC b = ，如图，则D 为BC 的一个3等分点，作平行四边形，则2133AD AE AF a b =+=+ ．故选：C ．8．（2023春•海淀区校级期中）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线AC 、DB 相交于点O ．若AD a = ，AB b = ，(OC =)A ．36a b -B ．36a b +C ．233a b +D ．233a b -【解析】//AB CD ，2AB CD =，DOC BOA ∴∆∆∽且2AO OC =，则223AO OC AC == ，∴13OC AC = ，而1122AC AD DC AD AB a b =+=+=+ ，∴11111()33236OC AC a b a b ==+=+ ，故选：B ．9．（2021春•丰台区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，3AE AF =，则(DF = )A ．1233AB AD-+B ．1233AB AD-C ．1334AB AD-D ．1536AB AD-【解析】在平行四边形中，由已知可得：111()332DF AF AD AE AD AB BC AD=-=-=+-11153636AB AD AD AB AD =+-=-，故选：D ．10．（2023春•门头沟区校级期中）已知矩形ABCD 中，13AE AB =，若,AD a AB b == ，则(CE = )A ．23a b -+B ．23a b --C ．23a b +D ．23a b- 【解析】112333CE CD DA AE DC AD AB a b b a b =++=--+=--+=--，故选：B ．11．（2023春•台江区期中）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则(AF =)A ．3144AB AD +B ．1344AB AD+ C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+ ，12AE AB = ，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+ ．故选：D ．12．（2023秋•顺义区校级期中）如图所示的ABC ∆中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则(DE =)A ．1136BA BC--B ．5163BA BC--C ．1163BA BC--D ．5163BA BC-+【解析】点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，∴1123DE AE AD AB AC=-=-11()23AB AB BC =-+1163BA BC =--，故选：C ．利用平面向量基本定理求参数13．（2020春•朝阳区校级期中）设E 为ABC ∆的边AC 的中点，BE mAB nAC =+ ，则m n +=．【解析】如图，E 为ABC ∆的边AC 的中点，∴11111()22222BE BA BC AB AC AB AB AC =+=-+-=-+，又BE mAB nAC =+，∴11122m n +=-+=-．故答案为：12-．14．（2018秋•朝阳区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE 、DF ，交于点G ，若(,)CG CD CB R λμλμ=+∈，则λμ=．【解析】设1()222k CG kCE k CB CD CD kCF ==+=+．D ，G ，F 三点共线，∴212k k +=，25k ⇒=．12,55λμ==，∴12λμ=．故答案为：12．15．（2023春•海淀区校级期中）如图，ABC ∆中，AB a = ，AC b =，D 为BC 中点，E 为AD 中点，CE 用a和b 表示为CE a b λμ=+ ，则(λμ=)A ．3B ．3-C ．13D ．13-【解析】D 为BC 中点，∴1()2AD AB AC =+，E 为AD 中点，∴1113()2444CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC =-=-=+-=-，AB a = ，AC b =，∴1344CE a b =- ，CE a b λμ=+，14λ∴=，34μ=-，∴13λμ=-．故选：D ．16．（2021春•顺义区校级期中）平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，点E 满足2AE EO = ，若BE BA BD λμ=+，λ，R μ∈，则(λμ+=)A ．0B ．13C ．23D ．12【解析】如图所示，由图可知112111()()333333BE BA AE BA AC BA AD AB BA BD BA BA BD =+=+=++=+-=+，∴13λ=，13μ=，23λμ∴+=．故选：C ．17．（2023秋•海淀区期中）在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若//OP OM，且(0)OP xOA yOB x =+≠ ，则y x=．【解析】点M 为边AB 的中点，∴AM MB = ，即OM OA OB OM -=- 由此可得1()2OM OA OB =+//OP OM，且(0)OP xOA yOB x =+≠ ，∴存在实数λ，使OM OP λ= ，即1()()2OA OB xOA yOB λ+=+由此可得12x y λλ==，得到x y =，所以1y x=故答案为：118．（2023春•顺义区期中）如图，在66⨯的方格中，已知向量a，b ，c 的起点和终点均在格点，且满足(,)a xb yc x y R =+∈，那么x y +=．【解析】分别设方向水平向右和向上的单位向量为i，j ，则2a i j =-，22b i j =+ ，24c i j =- ，又因为(22)(24)a xb yc x y i x y j =+=++-，所以222241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11122x y +=+=．故答案为：1．19．（2023春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，若(,)AD AB AC R λμλμ=+∈ ，则λμ=．【解析】在ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴12AC AB =，BAC ∠ 的平分线交BC 于点D ，∴由三角形的内角平分线定理得：12CD AC DB AB ==，∴由分点恒等式得：1233AD AB AC =+，∴12,33λμ==，∴12λμ=．故答案为：12．20．（2022春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+ ，则14m n+的最小值是()A ．4B ．9C ．8D ．13【解析】D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线， AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14144()559n m m n m n m n m n+=++=+++= ，当且仅当4n m m n =，即2n m =，又1m n += ，13m ∴=，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9．故选：B ．平面向量的坐标运算21．（2023春•东城区校级期中）若(2,2)OA = ，(1,1)OB =- ，则AB等于()A ．(1,3)--B ．(2,3)-C ．(1,2)-D ．(2,3)-【解析】由(2,2)OA = ，(1,1)OB =-，则(1,1)(2,2)(1,3)AB OB OA =-=--=--．故选：A ．22．（2022春•西昌市期中）已知向量(4,4),(5,1)OA OB =-=-- ，则13AB等于()A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-【解析】向量(4,4),(5,1)OA OB =-=-- ，∴(9,3)AB OB OA =-=- 则1(3,1)3AB =-，故选：C ．23．（2022春•丰台区期中）若向量(1,2)a =，(1,3)b =- ，则向量2a b -= ．【解析】向量(1,2)a =，(1,3)b =- ，∴向量22(1a b -=，2)(1--，3)(3=，1)．故答案为：(3,1)．24．（2021春•海淀区期中）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b = ，则2a b += ．【解析】 (1,2)a =-，(3,1)b = ，∴2(1a b +=，2)2(3-+，1)(7=，0)，故答案为：(7,0)．25．（2023秋•昌平区校级期中）已知向量a ，b满足(2,3)a b += ，(2,1)a b -=- ，则2a b -=．【解析】(2,3)a b += ，(2,1)a b -=-，则(0,2)a =，(2,1)b = ，故2(0a b -=，2)(4-，2)(4=-，0)．故答案为：(4,0)-．26．（2021春•石景山区校级期中）已知平面直角坐标系内一点(2,3)P -，向量(1,2)PM =，向量(2,0)PN =-，那么MN 中点坐标为()A ．3(,2)2-B ．3(,1)2--C ．5(,4)2-D ．3(,1)2-【解析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题意可知1121(3)2x y -=⎧⎨--=⎩，2222(3)0x y -=-⎧⎨--=⎩，解得1131x y =⎧⎨=-⎩，2203x y =⎧⎨=-⎩，(3,1)M ∴-，(0,3)N -，MN ∴中点坐标为3(2，2)-，故选：A．向量共线的坐标表示27．（2022春•北京期中）已知向量(1,2)a =-，(,1)b t = ，若//a b ，则(t =)A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】向量(1,2)a =-，(,1)b t = ，∴//a b⇒112t =-，故12t =-，故选：B ．28．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(,1)a m =，(1,2)b =- ．若//a b ，则(m =)A ．2B ．1C ．1-D ．12-【解析】向量(,1)a m =，(1,2)b =- ，//a b ，则21(1)m =⨯-，解得12m =-．故选：D ．29．（2022秋•顺义区校级期中）(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b = ，若//a b ，则tan θ=．【解析】(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b = ，//a b ，则cos sin θθ=，则sin tan 1cos θθθ==．故答案为：1．30．（2022秋•北京期中）已知向量(2,3)a = ，(1,2)b =- ，若ma nb + 与2a b -共线，则m n等于()A ．12-B ．12C ．2-D ．2【解析】(2,32)ma nb m n m n +=-+ ，2(4,1)a b -=- ，ma nb + 与2a b -共线，(2)(1)4(32)0m n m n ∴---+=，147m n ∴-=，则12m n =-，故选：A ．31．（2009秋•昌平区校级期中）已知向量(1,3)a =，(3,)b n = 若2a b - 与b 共线，则实数n 的值是()A ．6B ．9C ．3+D ．3-【解析】2(1,6)a b n -=--，2a b - 与b 共线，(1)3(6)0n n ∴-⨯-⨯-=，得9n =．故选：B ．32．（2023春•东城区校级期中）已知向量(2,1),(,2)a b x ==- ，若//a b，则(a b += )A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)-【解析】 (2,1),(,2)a b x ==- ，且//a b，2(2)0x ∴⨯--=，解得4x =-，故(4,2)b =-- ，(2,1)a b +=--．故选：A ．33．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(21,3,1)a m m =+-，(2,,)b m m =- ，且//a b ，则实数m的值为．【解析】由题意得(21):23:(1):()2m m m m m +==--⇒=-．故答案为：2-．34．（2023秋•顺义区校级期中）已知平面向量(1,2)a =- ，(3,2)b =- ，(,)c t t =，若()//a c b + ，则(t =)A ．52B ．45-C ．54-D ．74-【解析】由(1,2)a =- ，(3,2)b =- ，(,)c t t =，可得(1,2)a c t t +=-+，又()//a c b +，则有3(2)2(1)0t t ++-=，解得45t =-．故选：B ．35．（2023秋•丰台区期中）已知平面向量(1,2),(2,1)a b ==- ，若ma b + 与a b -共线，则m 的值为．【解析】由(1,2),(2,1)a b ==- 可得(2,21)ma b m m +=+- ，(1,3)a b -=-，由ma b + 与a b -共线可得3(2)210m m ++-=，解得1m =-．故答案为：1-．36．（2023春•海淀区校级期中）已知(1,2)a =，(3,3)b = ，若()//()a b b a λ+- ，则λ=．【解析】由题设(3,2a b λλλ+=++，(2,1)b a -= ，又()//()a b b a λ+-，所以32321λλ++=，则1λ=-．故答案为：1-．37．（2022春•东城区校级期中）已知点(1,2)A -，(2,)B y ，向量(1,2)a =，若//AB a ，则实数y 的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】点(1,2)A -，(2,)B y ，向量(1,2)a =，∴(3,2)AB y =-， //AB a ，∴2231y -=，解得8y =．故选：D ．38．（2022春•东城区校级期中）已知(1,2)A ，(3,7)B ，(,1)a x =-，//AB a ，则()A ．25x =，且AB 与a方向相同B ．25x =-，且AB 与a方向相同C ．25x =，且AB 与a方向相反D ．25x =-，且AB 与a方向相反【解析】(1,2)A ，(3,7)B ，可得(2,5)AB =(,1)a x =-，//AB a ，可得52x =-，解得25x =-．2(5a =-，1)-，与AB 方向相反．故选：D ．39．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(1,1)a = ，(,2)b x tx =+ ．若存在实数x ，使得a与b 的方向相同，则t 的一个取值为．【解析】由a与b 共线，可得(2)0x tx -+=，化为21(0)t x x=-≠，取2x =，解得0t =，此时(2,2)2b a == ，满足a与b 的方向相同．故答案为：0（答案不唯一）．40．（2023秋•顺义区校级期中）在ABC ∆中，32AD DC = ，P 是直线BD 上的一点，若25AP t AB AC =+则实数t 的值为()A ．13-B ．13C ．23-D ．23【解析】因为32AD DC = ，且25AP t AB AC =+，所以2253AP t AB AC t AB AD =+=+ ；因为B ，P ，D 三点共线，所以213t +=，所以13t =．故选：B ．41．（2019秋•海淀区期中）在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈ ．若32λμ+=，则||(||CD AB = )A ．13B ．12C ．1D ．2【解析】如图所示，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．∴四边形AECD 是平行四边形．∴AC AE AD =+ ，又(,)AC AB AD R λμλμ=+∈．1μ∴=，AE AB λ=，又32λμ+=，12λ∴=．则||||12||||CD AE AB AB ==．故选：B ．42．（2023春•东城区校级期中）如图所示的ABC ∆中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则(DE = )A ．1136BA BC --B ．1163BA BC -- C ．5163BA BC --D ．5163BA BC-+【解析】依题意，11111113233263DE DA AE AC BA BC BA BA BA BC =+=--=-+-=--．故选：B ．43．（2023春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a = ，(,1)b t =- ，(3,1)c =--．（Ⅰ）若()//(2)a b a c +-，求实数t 的值；（Ⅱ）若()a b c ⊥+ ，求a与b 夹角的余弦值．【解析】（Ⅰ）(1,2)a = ，(,1)b t =- ，(3,1)c =--，则(1,1)a b t +=+ ，2(5,5)a c -=，()//(2)a b a c +-，则5(1)15t +=⨯，解得0t =；（Ⅱ）设a与b 夹角的余弦值为θ，[0θ∈，]π，(3,2)b c t +=-- ，(1,2)a =，()a b c ⊥+，则340t --=，解得7t =，(1,2)a =，(7,1)b =- ，则||a ==，||b ==故cos ||||a ba b θ⋅==44．（2022春•东城区校级期中）在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 在直线AD 上，且满足2DM AD = ，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=．【解析】设BD k BC k AC k AB ==-，2DM AD = ，∴33()(33)3AM AD AB BD k AB k AC ==+=-+ ，则(33)3(23)3BM AM AB k AB k AC AB k AB k AC =-=-+-=-+ ，BM AB AC λμ=+ ，23k λ∴=-，3k μ=，2λμ∴+=，故答案为：2．45．（2022春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a =，向量(3,2)b =- ．（Ⅰ）求||a和||b ；（Ⅱ）当k 为何值时，向量a kb + 与向量3a b -平行？并说明它们是同向还是反向．【解析】（Ⅰ）||a == ||b == ；（Ⅱ）3(10,4)a b -=-，由向量a kb + 与向量3a b -共线可得(13)(4)10(22)0k k -⨯--+=，解得3k =-，代入得(10,4)a kb +=-，即两个向量同向．46．（2021春•海淀区期中）已知点(5,2)A -，(1,4)B -，(3,3)C ，M 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求点M 和AB的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足//BD CM，求点D 的坐标．【解析】（Ⅰ）(5,2)A - ，(1,4)B -，M 是线段AB 的中点，51(2M -∴，24(22-+=，1)，(1AB OB OA =-=-，4)(5-，2)(6-=-，6)；（Ⅱ）设(,0)D x ，则(1,4)BD x =+- ，(1,2)CM =--， //BD CM ，(1)(2)(4)(1)0x ∴+⋅---⋅-=，解得：3x =-，∴点D 的坐标是(3,0)-．。

2024年高一数学真题分类汇编(天津专用)平面向量(解析版)

专题01平面向量考点一、向量的基本概念和线性运算考点二、向量共线定理的应用考点三、向量共线和垂直考点四、向量的数量积及夹角考点五、向量的投影1、数量积及其最值问题2、平面向量的综合应用向量的基本概念和线性运算1．（20·21高一·全国·课时练习）下列说法正确的是（）A ．向量AB与向量BA 是相等向量B ．与实数类似，对于两个向量a ，b 有a b = ，a b > ，a b <r r三种关系C ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D ．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根据向量的基本概念辨析可知.【详解】解：对于A ，向量AB与向量BA 是相反向量，所以A 错误；对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B 错误；对于C ，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C 错误；，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以3．（2023高一·天津市下学期期中）已知向量A．()5,7B．()5,9【答案】Aa=2(4,8)A ．1233AB AD-+C ．1536AB AD -AP 1233PQ BQ BP BC =-=- 故选：A.8．（20·21高一下·山西吕梁AP AB AC λμ=+，则λ+A ．49【答案】B3A ．2B ．4【答案】A【分析】设CP CD λ=，可得出AP的坐标，再由两向量共线列方程可求出，则向量【点睛】本题考查投影向量的计算，涉及向量投影的计算，考查计算能力，属于基础题则有BD AC ⊥，且BD 所以()AB BA BC BA ⋅+=- 故答案为：32-.【答案】74/1.75【分析】以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解【详解】以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图：()()()2,0,0,2,0,0C A B ，设()2,D x ，()2,2AC =- ,BD 2AC BD ⋅=- ，则42x -=()2,3D ∴，点M 为边AB 设()0,M t ，[]0,2t ∈，MC 【答案】2-19-【分析】以B 为坐标原点可建立平面直角坐标系，求得D 点坐标，由向量数量积坐标运算可得则()0,0B ，()2,0C ，()0,2A ，E ()2,2CD x ∴=- ，22,2CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 向量CD 在向量CE 上的投影向量的模为BP 26．（20·21高一上·广西·期末）如图，在菱形。

全国卷历年高考平面向量真题归类分析

全国卷历年高考平面向量真题归类分析（2015年-2019年共14套）一、代数运算（3题）1.(2015全国2卷13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 解：因为向量λa+b 与a+2b 平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，，，则.解解，所以3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0 解：因为所以选B.4.（2019全国1卷7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3 C. 2π3 D. 5π6解：因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==++，注意向量夹角范围为[0,]π．求模长则利用公式22a a a a ⋅==转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,k k λ=⎧⎨=⎩，12λ=12a b 602=a 1=b 2+=a b ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b 221222222=+⨯⨯⨯+=444++=122+=a b 所有相关向量统一用同一个基底表示22a a a a ⋅==求模，模长记得开平方二、几何运算（3题） 1.（2018全国1卷6）在解中，为边上的中线，为的中点，则A.B.C.D.解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.2.（2015全国1卷7）设D 为解ABC 所在平面内一点,BC →=3CD →,则 ( )A. B. C. D. 解：选A.由题知3.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）.A. B. C. D. 解：方法一：如图所示，取的中点，联结，取的中点，由，则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B.（方法二见模块三第8题）AC AB AD 3431+-=AC AB AD 3431-=AC AB AD 3134+=AC AB AD 3134-=11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-BC D AD AD E 2PB PC PD +=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭20PE =P E 32-【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的线性运算，解题时尽量画出符合要求的图形.平面向量基本定理是解决向量问题的出发点，通过线性运算可将平面内相关向量用同一基底表示.题目如果没有选定基底，则如何选取基底是关键，一般是选已知模长及夹角的两个不共线向量为基底，且其它向量便于用该基底表示.三、坐标运算（7题）1.（2016全国2卷3）已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 解：a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.选D.2.（2016全国3卷3）已知向量1BA 2=⎛ ⎝⎭,31BC ,2=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则∠ABC= ( )A.30°B.45°C.60°D.120°解：选A.因为BA BC ⋅=12×12=,BA =BC =1,所以cos ∠ABC=BA BC 3=2BA BC⋅,即∠ABC=30°3.（2019全国2卷3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，||BC =1，则AB BC ⋅= A. -3B. -2C. 2D. 3解：由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．4.（2016全国1卷13）(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .解：由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇔(m+1)2+32=m 2+12+12+22,解得m=-2.答案:-25.（2018全国3卷13）已知向量，，．若，则________．解：由题可得，即，故答案为6.（2019全国3卷13）已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 解：因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅．7.（2017全国3卷12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）. A ．3B ．C.D ．2解：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是斜边上的高．，即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，而，，．因为，所以，．两式相加得2sin()3θϕ++≤ (其中)，当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.8.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）.A. B.C. D. 方法二：如图所示建立直角坐标系，则()3,0A ，()0,1-B ,()0,1C ，设()y x P ,，则()y x PA --=3,，()y x PB ---=,1，()y x PC --=,1，ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =BD =BD C E CE BD CE Rt BCD △BD 1222BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅==△C P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0112x μθ==01y λθ==+(22255112sin 55λμθθθϕ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕcos ϕπ2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-()()()23232232222,23,2222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=----=+⋅y x y y x y x y x PC PB PA所以，当23,0==y x ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 时，取得最小值为，故选B. 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的坐标运算，渗透了数学运算、直观想象素养．对于向量坐标运算，一定要弄清楚坐标运算的本质.由于选取了平面上两个互相垂直的单位向量作为基底（单位正交基底），这大大的降低了解题的难度.因此，遇到平面向量难题时要想到建立直角坐标系，用坐标法．32-相关点尽量在坐标轴上或成对称关系，向量坐标零越多越好 (1x AB =，写出所有相关向量的坐标。

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高考数学选择题分类汇编1．【2011 课标文数广东卷】已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(1,0)， c ＝ (3,4)．若 λ为实数，(a ＋ λ b)∥ c ，则 λ＝( ) 1 1A. 4 B .2 C ．1 D ． 22．【2011·课标理数广东卷】若向量 a ，b ，c 满足 a ∥ b 且 a ⊥c ，则 c ·(a ＋ 2b)＝ ( ) A ． 4 B ．3 C ．2 D ． 03【． 2011 大纲理数四川卷】如图 1－1，正六边形 → → →)ABCDEF 中，BA ＋ CD ＋EF ＝ ( A ． 0 →→ → B. BEC. ADD. CF4．【2011 大纲文数全国卷】设向量 a ，b 满足 |a|＝ |b|＝1，a ·b ＝－ 1，则 |a ＋ 2b|＝ ()2 A. 2 B.3 C. 5 D. 7 .5．【2011 课标文数湖北卷】若向量 a ＝(1,2)， b ＝ (1，－ 1)，则 2a ＋b 与 a － b 的夹角等于 ( ) 3ππ π π A ．－ 4B. 6C.4D. 46．【2011 课标理数辽宁卷】若 a ，b ，c 均为单位向量，且 a ·b ＝ 0，(a － c) ·(b － c)≤0，则|a ＋b － c|的最大值为 ( ) A. 2－ 1 B ．1 C. 2 D ． 2【解析】 |a ＋b －c|＝ a ＋ b － c 2＝ a 2＋ b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c － 2b ·c ，由于 a ·b ＝0，所以上式＝3－2c ·a ＋b ，又由于 (a －c) ·(b －c)≤0，得 (a ＋ b) ·c ≥c 2＝ 1，所以|a ＋ b － c|＝ 3－2c ·a ＋b ≤1，故选 B.7．【2011 课标文数辽宁卷】已知向量 a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a ·(2a －b)＝0，则 k ＝()A ．－ 12B ．－ 6C ．6D ．121 8．【2011 大纲理数 1 全国卷】设向量 a ，b ，c 满足 |a|＝|b|＝ 1， a ·b ＝－ 2，〈 a － c ，b －c 〉＝ 60°，则 |c|的最大值等于 ( ) A ． 2 B. 3 C. 2 D ．19．【2011 课标理数北京卷】已知向量 a ＝( 3， 1)，b ＝(0，－ 1)，c ＝(k ， 3)．若a － 2b 与 c 共线，则 k ＝________.10 ．【 2011·课标文数湖南卷】设向量 a ，b 满足 |a|＝2 5，b ＝ (2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为 ________．【解析】因为 a ＋λb ＝(1,2) ＋λ(1,0) ＝ (1 ＋λ，2) ，又因为 (a ＋ λb) ∥c ，(11＋λ) ×4－2×3＝0，解得 λ＝2.【解析】因为 a ∥b 且 a ⊥ c ，所以 b ⊥ c ，所以 c ·(a ＋ 2b) ＝c ·a ＋2b ·c ＝0.→ → → → → → → → →【解析】 BA ＋CD ＋ EF ＝BA ＋ AF －BC ＝BF － BC ＝CF ，所以选 D.【解析】 | a ＋2b | 2 ＝(a ＋ 2b) 2＝| a | 2＋4a ·b ＋4| b | 2 ＝3，则 | a ＋2b | ＝ 3，故选 B【解析】因为 2a ＋b ＝( 2， 4) ＋( 1，－ 1) ＝( 3，3) ，a －b ＝( 0， 3) ，所以| 2a ＋b | ＝ 3 2 ， | a －b | ＝ 3. 设2a ＋ b 与 a － b 的夹角为 θ，则 cos θ＝( ) () (3，3 ) () 2 0，π π 2a ＋b · a －b ＝· 0，3＝ 2 ，又 θ∈ [] ，所以 θ＝4.|| ||32×32a ＋ ba －b【解析】 a ·(2a －b)＝ 2a 2－ a ·b ＝ 0，即 10－(k －2)＝ 0，所以 k ＝ 12，故选 D.【解析】设向量 a ，b ，c 的起点为 O ，终点分别为 A ，B ，C ，由已知条件得，∠ AOB ＝ 120°，∠ACB ＝ 60°，则点 C 在△ AOB 的外接圆上，当 OC 经过圆心时， |c|最大，在△ AOB 中，求得 AB ＝ 3，由正弦定理得△ AOB 外接圆的直径是3＝2，|c |的最大值是 2，故选 A. sin120 °【解析】因为 a －2b ＝ (3，3)，由 a －2b 与 c 共线，有 k ＝ 3，可得 k ＝1.3 3【解析】因为 a 与 b 的方向相反，根据共线向量定义有： a ＝λb( λ<0)，所以 a ＝(2 λ，λ)．a 2 2或 λ＝2(舍去 )，故 a ＝(－ 4，－ 2)．由 | |＝25，得 2λ ＋λ＝2 5? λ＝－ 2 11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ADC ＝90°，＝，＝，是腰上的动点，则 → → ．AD BC DC＋3PB 的最小值为2 1 P |PA | ________12．【2011·课标理数浙江卷】若平面向量 α，β满足 | α|＝1，| β|≤ 1，且以向量 α，1β为邻边的平行四边形的面积为 2，则 α与 β的夹角 θ的取值范围是 ________．13 ．【2011·新课标理数安徽卷】已知向量 a ，b 满足 (a ＋2b) ·(a － b)＝－ 6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为 ________．14．【2011·课标文数福建卷】若向量 a ＝ (1,1)， b ＝ (－1,2)，则 a ·b 等于 ________．→ → →15．【2011·课标理数湖南卷】在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设BC ＝2BD ，CA ＝ → → →3CE ，则 AD ·BE ＝________.16．【2011 课标理数江西卷】已知 |a|＝|b|＝2，(a ＋2b) ·(a － b)＝－ 2，则 a 与 b 的夹角为 ________．17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量e 1 ， 2π的夹角为，若向量 b 1＝ 1e3 e－2e 2， 2＝1＋2，则b 3e 4e b ·b ＝________.18．【2011 课标文数全国卷】已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a ＋b 与向量 ka －b 垂直，则 k ＝ ________. 19．【10 安徽文数】设向量 a (1,0) , b ( 1 , 1 ) , 则下列结论中正确的是2 2(A) a b(B) a ?b2 (C) a / / b(D) a b 与 b 垂直220. 【10 重庆文数】若向量 a (3, m) ， b (2, 1) ， agb 0 ，则实数 m 的值为（A ）3（ B ）3（C ）2（D ）622【解析】建立如图 1－6 所示的坐标系，设 DC ＝ h ，则 A(2,0) ，B(1，h)．设 P(0，y)， (0≤y ≤h) → →则 PA ＝(2 ，－ y)， PB ＝ (1，h －y)，∴ |→＋ →|＝ 25＋ 3h － 4y 2 ≥ 25＝5. PA 3PB【解析】由题意得： |α||β| θ＝1，∵ |α|＝，|β|≤ ，∴ sinθ＝ 1≥ 1sin 2 1 1 2|β| 2.π 5π又∵ θ∈(0， π)，∴θ∈ 6， 6 .【解析】设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有 (a ＋ 2b) ·(a －b)＝a 2＋a ·b － 2b 2＝－ 7＋2cos θ＝－ 6，所以 1cos θ＝2.因为 π0≤θ≤π，故 θ＝3.【解析】由已知a ＝(1,1)，b ＝ (－1,2)，得a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝1.【解析】由题知， D 为 BC 中点， E 为 CE 三等分点，以 BC 所在的直线为 x 轴，以 AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，可得 A 0， 3 ，D(0,0)，B －1，0 ，2 21 ， 3 → ，－ 3 → 5 3→ → 3 3 1 E，故 AD ＝，BE ＝，，所以 AD ·BE ＝－× ＝－ .3 6 2 6 6 2 64【解析】设 a 与 b 的夹角为 θ，由 (a ＋ 2b)(a － b)＝－ 2 得1π|a|2＋a ·b －2|b|2＝ 4＋ 2× 2× cos θ－2×4＝－ 2，解得 cos θ＝2，∴θ＝3.【解析】 |e 1 ＝ 2 ＝且11－ 2 · 1＋ 2 ＝ 21·2－1·2＝，所以 b 1·2＝1－||e | 1e e2b(e 2e ) (3e 4e ) 3e 2e e122－ 8＝－ 6.8e ＝ 3－ 2× 2【解析】由题意，得 (a ＋ b) ·(ka －b)＝k |a |2－ ·＋ ·－ |b |2＝k ＋ (k －·－1 a b ka b1)a b ＝ (k －1)(1＋ a ·b)＝0，a 与 b 不共线，所以 a ·b ≠－1，所以 k － 1＝ 0，解得 k＝ 1.【解析】 a b = ( 1,1) ， ( a b)gb 0 ，所以 a b 与 b 垂直 . 【解析】 D2221.【 10 重庆理数】已知向量 a ，b 满足 a ?b 0, a 1, b 2, ，则 2a bA. 0B. 2 2C. 4D. 8 解析： 2a b(2a b )2 424a b b 282 2a22．【10 湖南文数】若非零向量 a ，b 满足 |a | | b |,(2 a b) b 0 ，则 a 与 b 的夹角为 CA. 30B. 60C. 120D. 150uur uur23.【 10 全国卷理数】 V ABC 中，点 D 在 AB 上，CD 平方 b ，ACB ．若 CB a ，CA，uuur2 2 1 （）34（）43，则 CD （A ）1a 1b 2ab （B ） abCabDab3 333 5555【解析】因为 CD 平分 ACB ，由角平分线定理得AD= CA 2，所以 D 为 AB的DBCB 1三等分点，且uuur2 uuur 2uuur uuur，所以ADAB 3 (CB CA)uuur uuur uuur2 uuur 1 uuur 2 r 1 r3CD CA+ADCB CA a b ，选 B.3 3 3 3uuur r uuur r24. 【 10辽宁文数】平面上 O, A, B 三点不共线，设 OA a, OB b , 则 OAB 的面积等于（ A ） r 2 r 2 r r（B ） r 2 r2r r a b (a b)2 a b (a b) 2（ C ）1 r2 r 2r r 2（D ）1 r2 r 2r r 22a b(a b)a b(a b)2S1 r r r r 1 r r 2r r 1 r r OAB2 | a || b | sin a,b2 | a || b | 1 cosa,b 2 | a ||b | 1r r 2 ( a b) r 2 r 2| a | | b |1 r2 r 2r r 2 2 a b(a b)uuur uuur25.【 10 全国卷】△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 平分∠ ACB ，若 CB = a , CA =b ,a = 1 ，uuur2 b （ B ） 2 a + 1b（C ） 3 a + 4b （ D ）b = 2, 则 CD =（A ） 1a +4a + 3b 33335 555BDBC1uuur uuur uuur r r∵ CD 为角平分线， ∴ADAC 2 ， ∵AB CB CA a b ， ∴uuur 2 uuur 2r2ruuur uuur uuur r2r2r2r1rADABab CDCAADbabab3 33，∴333326. 【10 山东理数】定义平面向量之间的一种运算“re ”如下，对任意的 a=(m,n) ，r r rb （ p,q) ，令 a e b=mq-np ，下面说法错误的是（）r r r r r r r r A. 若 a 与 b 共线，则 ae b=0B. a e b=b e aC.对任意的 r r r rr r 2 r r 2 r 2 r2 R ，有（ a) e b= ( a e b) D. (a e b) +(ab) =|a| |b|r r r rr r pn-qm ，而【解析】若 a 与 b 共线，则有 a e b=mq-np=0 ，故 A 正确；因为 b e a r r r r r r a e b=mq-np ，所以有 a e bbe a ，故选项 B 错误，故选 B 。

多思维妙解平面向量题——2018年复旦大学自主招生平面向量问题的解答

＋ AC ,从而 (
m,
n)＝
７３
３
７
７
２４
( , )．
７７
解法１作出对应的辅助线,其目的是为了确
定点 P 的位置(即 P 在AE 的位置),利用平
行线的比例关系以及三角形相似等加以转化,通过平
面向量的“形”的转化来运算与求解．
２
２平面向量共线法
n)＝ ( , )．
７７
根据平面向量中三点共线的性质分别建立
→与 →不共线建立方程组
关系式,再结合BA
BC
来确定参数x 与y 的值．
２
３仿射坐标系法
解法３以 B 为坐标原点,
BC ,
BA 所在直线分
图１
→
→
→
→ ２ →
AE ＝AB ＋BE ＝AB ＋ BC ＝
解法２如图２所示,连接 BP ,由 A ,
P,
E 三点
６
图２
别为x 轴、
０,
０),
y 轴建立仿射坐标系,由题可知 B (
２
１
E ( a,
０),
C(
a,
０),
D(
０, c),
A(
０,
c),则直线 AE
３
３
方程为
y
y
x
x
＋＝１,
CD 的方程为＋
＝１,联立
２
c
a １
a
c
３
３
４１
→ (４ , ６ ), →
方程可得 P ( a, c),而AP

2024年高考数学真题分类汇编03：复数和平面向量

复数和平面向量一、单选题1．（2024·全国）若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D ．1i+2．（2024·全国）已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ^-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024·全国）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．24．（2024·全国）已知向量,a b 满足1,22a a b =+=，且()2b a b -^，则b =（）A ．12B C D ．15．（2024·全国）设z =，则z z ×=（）A ．-iB ．1C ．-1D ．26．（2024·全国）设5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2-7．（2024·全国）已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ^”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ^”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件8．（2024·北京）已知i 1iz=-，则z =（）．A ．1i-B ．i-C ．1i--D ．19．（2024·北京）已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =或a b =-”的（）条件．A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题10．（2024·天津）已知i 是虚数单位，复数))i 2i ×=．11．（2024·天津）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r l m ，则l m +=；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×的最小值为．12．（2024·上海）已知()(),2,5,6,k a b k Î==R ，且//a b ，则k 的值为．13．（2024·上海）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=ÎR ，则实数m 为．参考答案：1．C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【解析】因为()4b b a ^-，所以()40b b a ×-=，所以240b a b -×=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.3．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【解析】若1i z =--，则z ==故选：C.4．B【分析】由()2b a b -^得22b a b =×，结合1,22a a b =+=，得22144164a b b b +×+=+=，由此即可得解.【解析】因为()2b a b -^，所以()20b a b -×=，即22b a b =×，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +×+=+=，从而22=b .故选：B.5．D【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【解析】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.故选：D 6．A【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【解析】由5i 5i,10z z z z =+Þ=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A 7．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【解析】对A ，当a b ^时，则0a b ×=，所以(1)20x x x ×++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ×=，所以a b ^，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b 时，则22(1)x x +=，解得1x =±B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b 不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.8．C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【解析】由题意得()i i 11i z =-=--，故选：C.9．A【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +×-=等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【解析】因为()()220a b a b a b +×-=-=，可得22a b =，即a b =，可知()()0a b a b +×-=等价于a b =，若a b =或a b =-，可得a b =，即()()0a b a b +×-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +×-=，即a b =，无法得出a b =或a b =-，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ¹且a b ¹-，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +×-=”是“a b ¹且a b ¹-”的必要不充分条件.故选：A.10．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【解析】))i 2i 527×=-+=.故答案为：7.11．43518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE ，即可得l m +，设BF BEk =uu u r uur，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ×的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×的最小值.【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Î，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èø，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèø，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëû22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èø，因为(),BE BA BC l m l m =+=-，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èø，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèø，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×取到最小值为518-；故答案为：43；518-.12．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【解析】//a b ，256k \=´，解得15k =．故答案为：15．13．2【分析】设1i z b =+，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【解析】设1i z b =+，b ÎR 且0b ¹.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b æöæö+-+=++=+=ç÷ç÷+++èøèø，mÎR，2232310 1bmbb bbì+=ïï+\í-ï=ï+î，解得2m=，故答案为：2.。

专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =．故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选：B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以其中，所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离，，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ．法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，．两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大．【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ．考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ．考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-．解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________．【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23．【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅．【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______．【答案】解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____．【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2．考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

自主招生平面向量学生版

自主招生专题辅导之平面向量（2011年卓越）1.已知向量,a b 为非零向量,(2),(2),a b a b a b -⊥-⊥ 则,a b 夹角为( ) A. 6πB. 3πC. 32πD. 65π（2011年华约）(7) 已知向量11(0,1),(),(,),(1,1)2222a b c xa yb zc ==--=-++= 则222x y z ++ 的最小值为( )（2012卓越4）已知⊿ＡＢＣ中，∠A=90O ，BC=4，点A 是线段EF 的中点，EF=2，若O BC 60EF 与的夹角为，则CF BE ⋅= （）（2013策划）例3：已知向量,1a e e ≠=满足：对任意t R ∈，恒有t e a e a -≥- 。

则 ( )A ．a e ⊥B ．()a a e ⊥-C ． ()e a e ⊥-D ．()()a e a e +⊥-（2013策划）例4：(2010北京大学) 向量O A O B 与已知夹角，2,1O A O B == ，(),1,O P tO A O Q t O B PQ ==- 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围（2013策划练习）2.设O 是三角形的外心，取点H ，使得,O A O B O C O H ++= 求证：H是三角形的垂心，且三角形的外心O 、垂心H ，重心G 在一条直线上。

（2013策划练习）3.已知：()()11,0,1,0,4,,0,2O E O F E A O E A Q F A P Q A F A P A E =-===-= 求P 的轨迹方程8.已知,a b 是两个互相垂直的向量，且c =13，3,c a ⋅= 4,c b ⋅= 则对任意实数t 1，t 2，12c t a t b -- 的最小值是（）A.13B.12C.7D.63.,a b 是不共线的两个向量，已知2,,23,PQ a k b Q R a b RS a b =+=+=-若P,Q ，R 三点共线，则k 的值为（）18 已知向量1(,),,,22a O A ab O B a b =-=-=+ 若⊿ＡＢＣ是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则⊿ＡＢＣ的面积为( )A.2B.C.D.110.设点O 在⊿ＡＢＣ的内部，具有230,O A O B O C ++= 则⊿ＡＢＣ的面积与⊿ＡO Ｃ的面积之比为( )35A 1B C.3 D.22. . （2010华约）2．设向量,a b 满足1,a b a b m === ，则()a tb t R +∈ 的最小值为．1．已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且()(2)0,PB PA PB PA PC -+-= 则△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形7）在三角形ABC 中，向量,38,4a AB AC b AB AC BC c C B BA =+=++=+ ，则下列结论一定成立的是（）A 、向量a c + 一定与向量b 平行B 、向量b c + 一定与向量a 平行C 、向量a b + 一定与向量c 平行D 、向量a b - 一定与向量c 平行10、设||||1a b == ，a 与b 的夹角为3p ，则以a b + 与3a b - 为邻边的平行四边形的面积为________.4．向量2a i j =+ 在向量34b i j =+上的投影()b a = __________． 114．若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ，并且向量a -4b 垂直于向量7a -2b ，则向量a 与b 的夹角为_______。

(7)历届高考中的“平面向量”试题精选(自我测试)

17.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a· (b+c)=(sinx,－cosx)· (sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+ 2 sin(2x+
2 ＝ . 2 3 k 3 3 （Ⅱ）由 sin(2x+ )＝0 得 2x+ ＝k. ，即 x＝ ,k∈Z， 4 2 8 4 k 3 k 3 2 于是 d＝（，－2），d ( ) 4 , k∈Z. 2 8 2 8
8．（2005 北京理、文）若 | a | 1,| b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为( （A）30° （B）60° （C）120° （D）150° 9.（2007全国Ⅱ文、理）在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若 AD =2 DB ， CD = 则=（ (A) ） (B)
sin 2 2sin 1 cos 2 2 cos 1 2(sin cos ) 3 2 2 sin( ) 3 4
当 sin(

) =1 时 a b 有最大值,此时 4 4
2 1
最大值为 2 2 3
cos PQ BC | PQ | | BC | cx by . a2
cx by a 2 cos . BP CQ a 2 a 2 cos . 故当cos 1, 即 0( PQ与BC方向相同)时, BC CQ最大, 其最大值为 0.
2．（2001 江西、山西、天津理）若向量 a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2），则 c= ( 1 1 3 3 3 1 3 1 （A） a+ b （B） a－ b （C） a b （D）－ a b 2 2 2 2 2 2 2 2

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：平面向量(含解析)

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：平面向量（含解析）1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=( ) A.√2 B.2 C.5√2 D.50【答案】A【解析】由题意，得a-b=(-1，1)，则|a-b|=√(-1)2+12=√2，故选A.2.(2019·全国·1理T7文T8)已知非零向量a ，b 满足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】因为(a-b)⊥b ，所以(a-b )·b=a ·b-b 2=0，所以a ·b=b 2.所以cos<a ，b>=a ·b|a |·|b |=|b |22|b |2=12，所以a 与b 的夹角为π3，故选B.3.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】如图，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BE⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3 4AB⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ .4.(2018·全国2·T4)已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.5.(2018·北京·理T6)设a，b均为单位向量，则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由|a-3b|=|3a+b|，得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a，b均为单位向量，∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0，故a⊥b，反之也成立.故选C.6.(2018·浙江·T9)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2-4e·b+3=0，则|a-b|的最小值是( )A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√3【答案】A【解析】∵b2-4e·b+3=0，∴(b-2e)2=1，∴|b-2e|=1.如图所示，平移a，b，e，使它们有相同的起点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则b的终点在以点(2，0)为圆心，半径为1的圆上，|a-b|就是线段AB的长度.要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a-b|的最小值为-1.7.(2018·天津·理T8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点，则 A.2116 B.32C.2516D.3【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系.连接AC ，由题意知∠CAD=∠CAB =60°，∠ACD=∠ACB =30°，则D(0，0)，A(1，0)，B （32，√32），C(0，√3).设E(0，y)(0≤y≤√3)，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，y)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-32，y-√32），∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+y 2-√32y=（y-√34）2+2116，∴当y=√34时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值2116.8.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6D.0【答案】C【解析】连接MN ，∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴MN ∥BC ，且MN BC =13，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=3[2×1×(-12)-1]=-6.9.(2017·全国2·理T12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A.-2 B.-32 C.-43 D.-1【答案】B【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图.可知A(0，√3)，B(-1，0)，C(1，0).设P(x ，y)，则PA ⃗⃗⃗⃗ =(-x ，√3-y)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x ，-y)，PC ⃗⃗⃗⃗ =(1-x ，-y).所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =(-2x ，-2y).所以PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )=2x 2-2y(√3-y)=2x 2+2(y -√32)2−32≥-32. 当点P 的坐标为(0，√32)时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )取得最小值为-32，故选10.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值为( ) A.3 B.2√2C.√5D.2【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，1)，B(0，0)，D(2，1).设P(x ，y)，由|BC|·|CD|=|BD|·r ，得r=|BC |·|CD ||BD |=5=2√55，即圆的方程是(x-2)2+y 2=45. 易知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ，y-1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，-1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0).由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x =2μ，y -1=-λ，所以μ=x2，λ=1-y ，所以λ+μ=12x-y+1. 设z=12x-y+1，即12x-y+1-z=0. 因为点P(x ，y)在圆(x-2)2+y 2=45上，所以圆心C 到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r，即√14+1≤2√55，解得1≤z≤3，11.(2017·全国2·文T4)设非零向量a ，b 满足|a+b|=|a-b|，则( ) A.a ⊥b B.|a|=|b| C.a ∥b D.|a|>|b| 【答案】A【解析】由|a+b|=|a-b|，平方得a 2+2a ·b+b 2=a 2-2a ·b+b 2，即a ·b=0.又a ，b 为非零向量，故a ⊥b ，故选A.12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37+6√34 D.37+2√334【答案】B【解析】设△ABC 的外心为D ，则|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 以D 为原点，直线DA 为x 轴，过D 点的DA 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(2，0)，B(-1，-√3)，C(-1，√3). 设P(x ，y)，由已知|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，得(x-2)2+y 2=1，∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴M (x -12，y+√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+12，y+3√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x+1)2+(y+3√3)24，它表示圆(x-2)2+y 2=1上点(x ，y)与点(-1，-3√3)距离平方的14，∴(|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)max =14[√32+(0+3√3)22=494，故选B.13.(2016·天津·文T7)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.18C.14D.118【答案】B【解析】方法1(基向量法):如图所示，选取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )+12×12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 故AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =34−14×1×1×12−12=18.14.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1，m)，b=(3，-2)，且(a+b)⊥b ，则m=( ) A.-8B.-6C.6D.8【答案】D【解析】由题意可知，向量a+b=(4，m-2).由(a+b)⊥b ，得4×3+(m-2)×(-2)=0，解得m=8.故选D.15.(2015·全国2·文T4)向量a=(1，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b )·a=( ) A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】由已知2a+b=(1，0)，所以(2a+b )·a=1×1+0×(-1)=1.故选C.16.(2015·福建·文T7)设a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb.若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A.-32 B.-53C.53D.32【答案】A【解析】∵a=(1，2)，b=(1，1)，∴c=(1+k ，2+k). ∵b ⊥c ，∴b ·c=1+k+2+k=0.∴k=-3217.(2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，-2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A【解析】AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，-1)，所以AD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)·(3，-1)=2×3+1×(-1)=5. 18.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC =60°，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2 B.-34a 2 C.34a 2 D.32a 2【答案】D【解析】如图，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b. 则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b)·a=a 2+a ·b=a 2+a ·a ·c os 60°=a 2+12a 2=32a 2.19.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M ，N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20B.15C.9D.6【答案】C【解析】如图所示，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ） =13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-316|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗=13×36-316×16=9.20.(2015·福建·理T9)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t ，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21【答案】A【解析】以点A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图. 则A(0，0)，B (1t ，0)，C(0，t)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1，0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(0，1). ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1，0)+4(0，1)=(1，4). ∴点P 的坐标为(1，4)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t-1，-4)，PC ⃗⃗⃗⃗ =(-1，t-4). ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ =1-1t -4t+16=-(1t +4t)+17≤-4+17=13，当且仅当1t =4t ，即t=12时取“=”. ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13.21.(2015·全国1·文T2)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，-3)，则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7，-4) B.(7，4) C.(-1，4) D.(1，4) 【答案】A【解析】∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，-3)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，-3)-(3，1)=(-7，-4). 22.(2015·重庆·理T6)若非零向量a ，b 满足|a|=2√23|b|，且(a-b)⊥(3a+2b)，则a 与b 的夹角为 ( )A.π4B.π2C.3π4D .π【答案】A【解析】由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0，即3|a|2-a ·b-2|b|2=0.设a 与b 的夹角为θ，则3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0，即3·(2√23|b |)2−2√23|b|2cos θ-2|b|2=0，整理，得cos θ=√22.故θ=π4.23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a ，b 满足|b|=4|a|，且a ⊥(2a+b)，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2C.2π3D.5π6【答案】C【解析】因为a ⊥(2a+b)，所以a ·(2a+b)=0，即2|a|2+a ·b=0.设a 与b 的夹角为θ，则有2|a|2+|a||b|cos θ=0. 又|b|=4|a|，所以2|a|2+4|a|2cos θ=0，则cos θ=-12，从而θ=2π3.24.(2015·全国1·理T7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A 【解析】如图，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 25.(2014·全国1·文T6)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选A.26.(2014·山东·文T7)已知向量a=(1，√3)，b=(3，m)，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m=( ) A.2√3 B.√3 C.0 D.-√3【答案】B【解析】∵cos<a ，b>=a ·b|a ||b |， ∴cos π6=√3m 2×√32+m 2，解得m=√3.27.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2，4)，b=(-1，1)，则2a-b=( ) A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9) 【答案】A【解析】2a-b=(4-(-1)，8-1)=(5，7).故选A.28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a=( ) A.(-2，1) B.(2，-1) C.(2，0) D.(4，3) 【答案】B【解析】由题意得b-a=(3，1)-(1，2)=(2，-1)，故选B.29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中，可以把向量a=(3，2)表示出来的是( ) A.e 1=(0，0)，e 2=(1，2)B.e 1=(-1，2)，e 2=(5，-2)C.e 1=(3，5)，e 2=(6，10)D.e 1=(2，-3)，e 2=(-2，3) 【答案】B【解析】对于A ，C ，D ，都有e 1∥e 2，故选B.30.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a ，b 满足|a+b|=√10，|a-b|=√6，则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】A【解析】∵|a+b|=√10，∴(a+b)2=10.∴|a|2+|b|2+2a·b=10，①∵|a-b|=√6，∴(a-b)2=6，∴|a|2+|b|2-2a·b=6，②由①-②得a·b=1，故选A.31.(2014·大纲全国·文T6)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a-b)·b=( )A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】由已知得|a|=|b|=1，<a，b>=60°，∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos<a，b>-|b|2=2×1×1×c os 60°-12=0，故选B.32.(2014·大纲全国·理T4)若向量a，b满足:|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=( )A.2B.√2C.1D.√22【答案】B【解析】∵(a+b)⊥a，|a|=1，∴(a+b)·a=0.∴|a|2+a·b=0.∴a·b=-1.又(2a+b)⊥b，∴(2a+b)·b=0.∴2a·b+|b|2=0.∴|b|2=2.∴|b|=√2.故选B.33.(2014·重庆·理T4)已知向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2a-3b)⊥c，则实数k=( )A.-92B.0 C.3 D.152【答案】C【解析】由已知(2a-3b)⊥c，可得(2a-3b)·c=0，即(2k-3，-6)·(2，1)=0，展开化简，得4k-12=0，所以k=3.故选C.34.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1，cos θ)与b=(-1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.√22B.12C.0D.-1【答案】C【解析】∵a ⊥b ，∴a ·b=0， ∴-1+2cos 2θ=0，即cos 2θ=0.35.(2012·重庆·理T6)设x ，y ∈R ，向量a=(x ，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a+b|= ( ) A.√5 B.√10 C.2√5 D.10【答案】B【解析】由a ⊥c ，得a ·c=2x-4=0，解得x=2.由b ∥c 得12=y-4，解得y=-2，所以a=(2，1)，b=(1，-2)，a+b=(3，-1)，|a+b|=√10.故选B.36.(2010·全国·文T2)a ，b 为平面向量，已知a=(4，3)，2a+b=(3，18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B.-865C.1665D.-1665【答案】C【解析】b=(2a+b)-2a=(3，18)-(8，6)=(-5，12)，因此cos<a ，b>=a ·b |a ||b |=165×13=1665.37.(2019·全国3·文T13)已知向量a=(2，2)，b=(-8，6)，则cos<a ，b>= . 【答案】−√210【解析】cos<a ，b>=a ·b|a ||b |=√22+22×√(-8)+62=2√2×10=-√210. 38.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4，3)，b=(6，m)，且a ⊥b ，则m= . 【答案】8【解析】∵a=(-4，3)，b=(6，m)，a ⊥b ， ∴a ·b=0，即-4×6+3m=0，即m=8.39.(2019·天津·T14)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=2√3，AD=5，∠A=30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE=BE ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【答案】-1【解析】∵AD ∥BC ，且∠DAB=30°，∴∠ABE=30°. ∵EA=EB ，∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB 中，EA=EB=2， BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ =-12+2√3×2×c os 30°+5×2√3×c os 30°+5×2×c os 180°=-22+6+15=-1.40.(2019·全国3·理T13)已知a ，b 为单位向量，且a ·b=0，若c=2a-√5b ，则cos<a ，c>= . 【答案】23【解析】∵a ，b 为单位向量， ∴|a|=|b|=1.又a ·b=0，c=2a-√5b ，∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4√5a ·b=9，∴|c|=3. 又a ·c=2|a|2-√5a ·b=2， ∴cos<a ，c>=a ·c|a |·|c |=21×3=23.41.(2019·浙江·T17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是，最大值是 . 【答案】0 2√5 【解析】(基向量处理)λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4+λ5+λ6)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小，只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0，此时只需要取λ1=1，λ2=-1，λ3=1，λ4=1，λ5=1，λ6=1，此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =0，由于λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =±2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 或±2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，取其中的一种λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB⃗⃗⃗⃗⃗ 讨论(其他三种类同)，此时λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大，只需要使|λ1-λ3+2|，|λ2-λ4|最大，取λ1=1，λ2=1，λ3=-1，λ4=-1，此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5，综合几种情况可得|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2√42.(2019·江苏·T12)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点O.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ，则ABAC 的值是 .【答案】√3【解析】如图，过点D 作DF ∥CE ，交AB 于点F ，由BE=2EA ，D 为BC 中点，知BF=FE=EA ，AO=OD.又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ ） =32（23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2） =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2，得12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，故AB AC=√3. 43.(2018·北京·文T9)设向量a=(1，0)，b=(-1，m).若a ⊥(ma-b)，则m= . 【答案】-1【解析】由题意，得ma-b=(m+1，-m). ∵a ⊥(ma-b)，∴a ·(ma-b)=0，即m+1=0， ∴m=-1.44.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(2，0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 【答案】-3【解析】依题意，设E(0，a)，F(0，b)，不妨设a>b ，则 a-b=2，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，a)，BF ⃗⃗⃗⃗ =(-2，b)，a=b+2，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ =(1，a)·(-2，b)=-2+ab=-2+(b+2)b=b 2+2b-2=(b+1)2-3，故所求最小值为-3.45.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l:y=2x 上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点A 的横坐标为 . 【答案】3【解析】设A(a ，2a)(a>0)，则由圆心C 为AB 的中点得C (a+52，a)，☉C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与y=2x 联立解得x D =1，D(1，2).因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ，-2a)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-a+52，2-a)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(5-a)·(1-a+52)+(-2a)(2-a)=0，即a 2-2a-3=0，解得a=3或a=-1.因为a>0，所以a=3.46.(2018·全国3·T13)已知向量a=(1，2)，b=(2，-2)，c=(1，λ).若c ∥(2a+b)，则λ= . 【答案】12【解析】2a+b=(4，2)，c=(1，λ)，由c ∥(2a+b)，得4λ-2=0，得λ=12.47.(2017·全国1·文T13)已知向量a=(-1，2)，b=(m ，1)，若向量a+b 与a 垂直，则m= . 【答案】7【解析】因为a=(-1，2)，b=(m ，1)，所以a+b=(m-1，3).因为a+b 与a 垂直，所以(a+b )·a=0，即-(m-1)+2×3=0，解得m=7.48.(2017·山东·文T11)已知向量a=(2，6)，b=(-1，λ).若a ∥b ，则λ= . 【答案】-3【解析】∵a ∥b ，∴2λ-6×(-1)=0，∴λ=-3.49.(2017·全国1·理T13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|= . 【答案】2【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·c os 60°+4|b|2=22+4×2×1×12+4×1=12，所以|a+2b|=√12=2√3.50.(2017·天津，理13文14)在△ABC 中，∠A =60°，AB=3，AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4，则λ的值为 . 【答案】311【解析】由题意，知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×c os 60°=3， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4，解得λ=311.51.(2017·江苏·T12)如图，在同一个平面内，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tan α=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ，n ∈R)，则m+n= . 【答案】3【解析】由tan α=7可得cos α=5√2，sin α=5√2，则5√2=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √2，由cos ∠BOC=√22可得√22=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √2，因为cos ∠AOB=cos (α+45°)=cos αc os 45°-sin αsin45°=5√2×√22−5√2×√22=-35，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =-35，所以m-35n=15，-35m+n=1，所以25m+25n=65，所以m+n=3.52.(2017·山东·理T12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若√3 e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是 . 【答案】√33【解析】∵e 1，e 2是互相垂直的单位向量， ∴可设a=√3e 1-e 2=(√3，-1)，b=e 1+λe 2=(1，λ). 则<a ，b >=60°.∴cos<a ，b>=c os 60°=a ·b|a ||b |=√3-2=12，即√3-λ=2+1，解得λ=√33.53.(2017·江苏·理T13)在平面直角坐标系xOy 中，A(-12，0)，B(0，6)，点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 . 【答案】[-5√2，1]【解析】设P(x ，y)，由PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，易得x 2+y 2+12x-6y≤20.把x 2+y 2=50代入x 2+y 2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0. 由{2x -y +5=0，x 2+y 2=50，可得{x =-5，y =-5或{x =1，y =7.由2x-y+5≤0表示的平面区域及P 点在圆上，可得点P 在圆弧EPF 上，所以点P 横坐标的取值范围为[-5√2，1].54.(2017·北京·文T12)已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A 的坐标为(-2，0)，O 为原点，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .【答案】6【解析】方法1:设P(cos α，sin α)，α∈R ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α+2，sin α)，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2cos α+4.当α=2k π，k ∈Z 时，2cos α+4取得最大值，最大值为6. 故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6. 方法2:设P(x ，y)，x 2+y 2=1，-1≤x≤1，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+2，y)，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+4，故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6.55.(2016·北京·文T9)已知向量a=(1，√3)，b=(√3，1)，则a 与b 夹角的大小为 . 【答案】π6【解析】设a 与b 的夹角为θ，则cos θ=a ·b|a ||b |=2√32×2=√32，且两个向量夹角范围是[0，π]，∴所求的夹角为π6.56.(2016·全国1·文T13)设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】−23【解析】∵a ⊥b ，∴a ·b=x+2(x+1)=0，解得x=-23.57.(2016·山东·文T13)已知向量a=(1，-1)，b=(6，-4).若a ⊥(ta+b)，则实数t 的值为 . 【答案】-5【解析】由a ⊥(ta+b)可得a ·(ta+b)=0，所以ta 2+a ·b=0，而a 2=12+(-1)2=2，a ·b=1×6+(-1)×(-4)=10，所以有t×2+10=0，解得t=-5. 58.(2016·全国2·文T13)已知向量a=(m ，4)，b=(3，-2)，且a ∥b ，则m= . 【答案】-6【解析】因为a ∥b ，所以-2m-4×3=0，解得m=-6.59.(2016·全国1·理T13)设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= . 【答案】-2【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2， ∴(m+1)2+32=m 2+1+5，解得m=-2.60.(2015·浙江·文T13)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1，则|b|= . 【答案】2√33【解析】因为b ·e 1=b ·e 2=1，|e 1|=|e 2|=1，由数量积的几何意义，知b 在e 1，e 2方向上的投影相等，且都为1，所以b 与e 1，e 2所成的角相等.由e 1·e 2=12知e 1与e 2的夹角为60°，所以b 与e 1，e 2所成的角均为30°，即|b|c os 30°=1，所以|b|=1cos30°=2√33. 61.(2015·全国2·理T13)设向量a ，b 不平行，向量λa+b 与a+2b 平行，则实数λ= . 【答案】12【解析】由题意知存在实数t ∈R ，使λa+b=t(a+2b)，得{λ=t ，1=2t ，解得λ=12.62.(2015·北京·理T13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x= ，y= . 【答案】12−16【解析】如图，∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x=12，y=-16.63.(2014·湖北·理T11)设向量a=(3，3)，b=(1，-1).若(a +λb)⊥(a-λb)，则实数λ= . 【答案】±3【解析】由题意得(a+λb)·(a-λb)=0，即a 2-λ2b 2=0，则a 2=λ2b 2， λ2=a 2b 2=(√32+32)2[√12+(-1)]=182=9.故λ=±3.64.(2014·陕西·理T3)设0<θ<π2，向量a=(sin 2θ，cos θ)，b=(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ= .【答案】12【解析】由a ∥b ，得sin 2θ=cos 2θ，即2sin θcos θ=cos 2θ，因为0<θ<π2，所以cos θ≠0，所以2sin θ=cos θ. 所以tan θ=12.65.(2014·重庆·文T12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a=(-2，-6)，|b|=√10，则a ·b= . 【答案】10【解析】由题意得|a|=2√10，所以a ·b=|a||b|cos<a ，b>=2√10×√10×12=10.66.(2014·全国1·理T15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 【答案】90°【解析】由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得O 为BC 的中点，则BC 为圆O 的直径，即∠BAC =90°.故AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为90°. 67.(2014·湖北·文T12)若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，-3)，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 【答案】2√5【解析】设B(x ，y)，由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得√10=√x 2+y 2， ① OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-3y=0， ② 由①②得x=3，y=1或x=-3，y=-1，所以B(3，1)或B(-3，-1)，故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，4)或AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，2)，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5， 68.(2013·江苏·T10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD=12AB ，BE=23BC.若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为 . 【答案】12【解析】由题意作图如图.∵在△ABC 中，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ1=-16，λ2=23.故λ1+λ2=12.69.(2013·北京·理T13)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa +μb(λ，μ∈R)，则λμ= .【答案】4【解析】可设a=-i+j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b=6i+2j ，c=-i-3j.∵c =λa +μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j ，∴{6μ-λ=-1，λ+2μ=-3，解得{λ=-2，μ=-12.∴λμ=4. 70.(2013·全国1·T13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c=ta+(1-t)b.若b ·c=0，则t= .【答案】2【解析】b ·c=ta ·b+(1-t)|b|2.又|a|=|b|=1，且a 与b 的夹角为60°，b ·c=0，∴0=t|a||b|c os 60°+(1-t)，0=12t+1-t.∴t=2.71.(2013·全国2·理T13文T14)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗ = .【答案】2【解析】以{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-12×22+22=2.72.(2013·天津·理T12)在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BA D=60°，E 为CD 的中点.若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则AB 的长为 .【答案】12【解析】如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1=1，解方程得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12(舍去|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0).所以线段AB 的长为12.73.(2013·北京·文T14)已知点A(1，-1)，B(3，0)，C(2，1).若平面区域D 由所有满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为 . 【答案】3【解析】AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2). 设P(x ，y)，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1，y+1). ∴{x -1=2λ+μ，y +1=λ+2μ，得{λ=2x -y -33，μ=2y -x+33，∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，可得{6≤2x -y ≤9，0≤x -2y ≤3，如图.可得A 1(3，0)，B 1(4，2)，C 1(6，3)，|A1B1|=√(4-3)2+22=√5，两直线间距离d=√22+1=√5，∴D的面积S=|A1B1|·d=3.74.(2012·全国·理T13文T15)已知向量a，b夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=√10，则|b|= .【答案】3√2【解析】∵a，b的夹角为45°，|a|=1，∴a·b=|a|×|b|c os 45°=√22|b|，|2a-b|2=4-4×√22|b|+|b|2=10，∴|b|=3√2.75.(2012·安徽·文T11)设向量a=(1，2m)，b=(m+1，1)，c=(2，m)，若(a+c)⊥b，则|a|= . 【答案】√2【解析】由题意，可得a+c=(3，3m).由(a+c)⊥b，得(a+c)·b=0，即(3，3m)·(m+1，1)=3(m+1)+3m=0，解之，得m=-12.∴a=(1，-1)，|a|=√2.76.(2011·全国·文T13)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k= .【答案】1【解析】由已知可得|a|=|b|=1，且a与b不共线，所以a·b≠1，a·b≠-1.由已知向量a+b与向量ka-b垂直，所以(a+b)·(ka-b)=0，即ka2-b2+(k-1)a·b=0，即k-1+(k-1)a·b=0，所以(k-1)(1+a·b)=0.因为a·b≠-1，即a·b+1≠0，所以k-1=0，即k=1.(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：平面向量（含解析）。

历年自主招生试题分类汇编——平面向量

历年自主招生试题分类汇编——平面向量4．（•北约）向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）【解析】不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<．当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ．（4）（•华约）向量a e ≠，||1e =。

若,||||t R a te a e ∀∈-≥+，则（）(A) a e ⊥ (B) ()a a e ⊥+ (C) ()e a e ⊥+ (D) ()()a e a e -⊥+ 解析：由于,||||t R a te a e ∀∈-≥+，那么22||||a te a e -≥+，即22()()a te a e -≥+ ，从而有2222222e t a et a e a e a -⋅+≥+⋅+即t R ∀∈，22120t a et a e -⋅--⋅≥，因此24()4(12)0a e a e ⋅++⋅≤，得到2(1)0a e ⋅+≤，即1a e ⋅=-。

因此有2()||110e a e e a e ⋅+=⋅+=-+=，从而()e a e ⊥+。

专题10 平面向量丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共40页)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—平面向量目录题型一：平面向量的概念及线性运算.......................................................1题型二：平面向量的基本定理....................................................................3题型三：平面向量的坐标运算....................................................................9题型四：平面向量中的平行与垂直.........................................................13题型五：平面向量的数量积与夹角问题.................................................14题型六：平面向量的模长问题..................................................................32题型七：平面向量的综合应用 (37)题型一：平面向量的概念及线性运算一、选择题1．(2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B解析:若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b = ，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件,故选B ．2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB=()A ．2CD CA +B ．2CD CA-C ．2CD CA-D ．2CD CA+【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=()A ．32m n -B ．23m n-+C ．32m n+D ．23m n+【答案】B解析：因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．4．(2019·上海·第13题)已知直线方程02=+-c y x 的一个方向向量d 可以是()A.)1,2(-B ．)1,2(C ．)2,1(-D ．)2,1(【答案】D【解析】依题意：)1,2(-为直线的一个法向量，∴方向向量为)2,1(，选D .【点评】本题主要考查直线的方向量．5．·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为12(10.6182≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是()A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．二、填空题1．(2020北京高考·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD =_________．【答案】(1)．(2)．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =-，因此，PD ==，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-．故答案为：；1-．2．(2014高考数学北京理科·第10题)已知向量a 、b 满足|a |=1,b =(2,1),且0a b λ+=(R λ∈),则||λ=．【答案】5解析：∵0a b λ+= ，∴a b λ=-，b aλ∴==3．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．题型二：平面向量的基本定理一、选择题1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144AB AC+D ．1344AB AC+【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．2．(2014高考数学福建理科·第8题)在下列向量组中，可以把向量)2,3(=a表示出来的是()A ．)2,1(),0,0(21==e eB ．)2,5(),2,1(21-=-=e e C ．)10,6(),5,3(21==e e D ．)3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B解析：根据12a e e λμ=+ ，选项A ：()()()3,20,01,2λμ=+，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项B ：()()()3,21,25,2λμ=-+-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：()()()3,23,56,10λμ=+，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项D ：()()()3,22,32,3λμ=-+-，则322λμ=-，233λμ=-+，无解，故选项D 不能．故选：B ．3．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则()A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC=- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC=-【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A ．4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为()A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图则()0,0A ，()1,0B ，()0,2D ，()1,2C ，连结BD ，过点C 作CE BD ⊥于点E在Rt BDC ∆中，有BD ==1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△即112512225CE CE ⨯⨯=⇒=所以圆C 的方程为()()224125x y -+-=可设1cos ,2sin 55P θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭由AP AB AD λμ=+ 可得()1cos ,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以1cos 51sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以2cos sin 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=所以λμ+的最大值为3，故选A ．法二：通过点C 作CE BD ⊥于E 点，由1AB =，2AD =，可求得BD ==又由1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△，可求得255CE =由等和线定理可知，当点P 的切线(即FH )与DB 平行时，λμ+取得最大值又点A 到BD 的距离与点C 到直线BD 的距离相等，均为255而此时点A 到直线FH 的距离为25252565225555r +=+⨯=所以6553255AFAB ==，所以λμ+的最大值为3，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当P 点在如图所示位置时，λμ+最大，且此时若AG x AB y AD =+，则有x y λμ+=+，由三角形全等可得2AD DF FG ===，知3,0x y ==，所以选A．法三：如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB ADλμ=+ 即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．法四：由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系则C 点坐标为(2,1)．∵||1CD =，||2BC =．∴22125BD =+=．BD 切C 于点E ．∴CE⊥BD．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 255．∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y = ，(0,1)AB = ，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0151cos 25x μθ==+，02155y λθ==+．两式相加得：2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤(其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=)当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题1．(2023年天津卷·第14题)在ABC 中，60A ∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设,AB a AC b == ，则AE 可用,a b表示为_________；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为_________．【答案】①．1142a b + ②．1324解析：空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED ADAE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加，可得到2AE AD AC =+，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC ACAF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+，即32AF a b =+，即2133AF a b =+ ．于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭．记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos 601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅有最大值1324．故答案为：1142a b + ；1324．2．(2015高考数学北京理科·第13题)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x =；y =．【答案】11,26-解析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC = ，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-．3．(2017年高考数学江苏文理科·第12题)如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为2,OA与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+ (,)m n ∈R ,则m n +=______．【答案】3解析:由tan 7α=可得72sin 10α=,2cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩,即2222102720210n m n +=⎪⎪⎪-=⎪⎩,即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩,即得57,44m n ==,所以3m n +=．题型三：平面向量的坐标运算一、选择题1．(2023年北京卷·第3题)已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，则22||||a b -=()αA CBO(第12题)A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B解析：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-．故选：B2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第3题)已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则()A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D解析：因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+ 可得，()()0a b a b λμ+⋅+=，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．3．(2014高考数学重庆理科·第4题)已知向量)1,2(),4,1(),3,(===c b k a ，且(23)a b c -⊥,则实数k =()A ．92-B ．0C ．3D ．152【答案】C解析：(23)a b c -⊥ (23)0a b c ⇒-= 230a c b c ⇒-= 2(23)360 3.k k ⇒+-⨯=⇒=C ．13r R ≤<<D ．13r R<<<【答案】A解析：因为||||1a b == ，且0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,1)b =，则由)OQ a b =+得Q 曲线C:设(,)P x y ，则(1,0)cos (0,1)sin (cos ,sin )OP θθθθ=+=，02θπ≤<，则cos ,(02)sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩，表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆；区域Ω：设(,)P x y ，则由||r PQ R ≤≤，则有：2222(2)(2)r x y R ≤-+-≤，表示以(2,2)为圆心，分别以r 和R 为半径的同心圆的圆环形区域(如图)，若使得C Ω 是两段分离的曲线，则由图像可知：13r R <<<，故选A ．5．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,)22BA = ,31(,)22BC = ,则ABC ∠=()A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC ⨯+⋅∠===⨯⋅ ,所以30ABC ∠=︒,故选A.6．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b ⊥+，则m =()A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】由()a b b ⊥ +可得：()0a b b +=，所以20a b b += ，又(1,)(3,2)a mb =- ，=所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m =，故选D ．二、填空题1．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．2．(2020江苏高考·第13题)在ABC ∆中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-(m 为常数)，则CD 的长度是________．【答案】185【解析】,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=> ，32PA mPB m PC ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，32PD mPB m PC λ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴+=，即32λ=，9AP = ，3AD ∴=，4AB = ,3AC =,90BAC ∠=︒，5BC ∴=，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-．∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，()cos cos 0θπθ+-= ，()()2570665x x x --∴+=-，解得185x =，CD ∴的长度为185．当0m =时，32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去．故答案为：0或185．3．设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a = ，，2(11)b a -=-，，则cos θ=．【答案】31010解：设向量a 与b 的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=- ∴(1,2)b =，则cos θ=||||a b a b ⋅==⋅31010。

2024年高一数学真题分类汇编(北京专用)平面向量的概念及其线性运算5种常考题型归类(解析版)

专题01平面向量的概念及其线性运算5种常考题型归类平面向量的有关概念1．（2019•西湖区期中）下列命题正确的是()A ．单位向量都相等B ．模为0的向量与任意向量共线C ．平行向量不一定是共线向量D ．任一向量与它的相反向量不相等【解析】在A 中，单位向量大小相等都是1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故A 错误；在B 中，零向量与任意向量共线，故B 正确；在C 中，平行向量一定是共线向量，故C 错误；在D 中，零向量与它的相反向量相等，故D 错误．故选：B ．2．（2023春•石景山区校级期中）给出下列命题正确的是()A ．若||||a b = ，则a b =B ．若a b = ，b c = ，则a c =C ．若||||a b = 且//a b ，则a b=D ．若//a b ，//b c ，则//a c【解析】A ，当a与b 方向不同时，a b = 不成立，∴错误，B ，若a b = ，b c = ，则a c =，∴正确，C ，当a与b 方向相反时，a b = 不成立，∴错误，D ，当0b = 时，满足//a b ，//b c ，但//a c不一定成立．故选：B ．3．（2022春•东城区校级期中）下列结论中正确的是()①若//a b 且||||a b = ，则a b =；②若a b = ，则//a b且||||a b = ；③若a与b 方向相同且||||a b = ，则a b = ；④若a b ≠ ，则a与b 方向相反且||||a b ≠ ．A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④【解析】①若//a b 且||||a b = ，则a b =±，因此①不正确；②若a b = ，则//a b且||||a b = ，正确；③若a与b 方向相同且||||a b = ，则a b = ，正确；④若a b ≠ ，则a与b 方向不一定相反，可能||||a b = ，因此④不正确．故选：B ．4．（2020春•东城区期中）已知A ，B ，C ，D 是平面内四个不同的点，则“//AB CD”是“四边形ABCD 为平行四边形”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由//AB CD可不一定推出四边形ABCD 为平行四边形，但由四边形ABCD 为平行四边形一定可得//AB CD，故“//AB CD”是“四边形ABCD 为平行四边形”的必要而不充分条件，故选：B ．5．（2023春•西城区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为2，则||AB AC +=．【解析】由题意可知||2,||2,,4AB AC AB AC π==〈〉= ，∴2224AB AC ⋅=⨯ ，故22||248825AB AC AB AC AB AC +=++⋅=++=．故答案为：25．6．（2022秋•西城区校级期中）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则||AC BD -=．【解析】连接AE ，EC ，则AEC ∆是等边三角形，∴AC 与BD的夹角为60︒，正六边形ABCDEF 的边长为1，1AB =，120ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由余弦定理可得222||11211cos1203AC =+-⨯⨯⨯︒=，||||3AC BD ∴==．∴333cos602AC BD ⋅=⨯⨯︒= ，则22223||()||2||32332AC BD AC BD AC AC BD BD -=-=-⋅+=-⨯+= ．则||3AC BD -=．故答案为：3．7．（2022•北京期中）已知向量a，b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则|2|(a b -=)A 5B 17C ．5D ．20【解析】由图象可得||3a = ，||22b = ，a <，45b >=︒ ，所以||||cos a b a b a ⋅=< ，23262b >=⨯= ，所以222|2|(2)444946825a b a b a a b b -=-=-⋅+⨯-⨯+ 故选：C ．平面向量的加、减法及数乘运算8．（2019春•西城区校级期中）下列向量的线性运算正确的是()A ．AB AC BC+= B ．AB CB AC+= C ．AB CB AC-= D ．AB AC BC-= 【解析】选项A ：根据向量加法运算法则，AB AC BC +≠，故错误；选项:B AB CB AB BC AC +=-≠，故错误；选项C ：根据向量加法法则，AB CB AB BC AC -=+=．故正确；选项D ：根据向量减法法则，AB AC CB BC -==-，故错误．故选：C ．9．（2022春•东城区校级期中）在平行四边形ABCD 中，BC CA AB ++=．【解析】0BC CA AB BC CB ++=+=，故答案为：0．10．（2021春•海淀区期中）(MB BA BO OM -++=)A ．ABB ．BAC ．MBD ．BM【解析】因为：MB BA BO OM OM MB BO BA AB -++=++-=，故选：A ．11．（2017秋•西城区校级期中）ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 的中点分别是D ，E ，F ，则(BE CF +=)A ．BCB ．12AD C ．AD- D ．12BC-【解析】如图，ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 的中点分别是D ，E ，F ；∴()()BE CF BC CE CB BF +=+++ CE BF =+ 1122CA BA =+1()2AB AC =-+AD =- ．故选：C ．12．（2023•城中区期中）在平行四边形ABCD 中，1(2AC AB -=)A ．BDB ．DBC ．12BDD ．12DB【解析】如图，111111()()222222AC AB BC BA AB BC BA BC BA BD -=--=+=+=．故选：C ．13．（2023春•海淀区校级期中）在四边形ABCD 中，(AB AD CD -+= )A ．BCB ．CBC ．ADD ．DA【解析】在四边形ABCD 中，AB AD CD CD DB CB -+=+=．故选：B ．14．（2022春•兰州期中）化简AB BC AD +-等于()【解析】AB BC AD AC AD DC +-=-=．故选：B ．15．（2023春•海淀区校级期中）化简AC DE EB AB ++-=．【解析】AC DE EB AB DE EB BA AC DC ++-=+++=．故答案为：DC．16．（2021春•丰台区期中）在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 和BD 的交点，则(AO OD DC +-= )A ．ACB ．CAC ．BDD ．DB【解析】四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =，∴AO OD DC AD DC BC CD BD +-=-=+= ．故选：C ．17．（2017秋•西城区期中）如图，在矩形ABCD 中，(AO OB AD ++=)A ．AB B ．AC C ．AD D ．BD【解析】在矩形ABCD 中，AD BC = ，则AO OB AD AO OB BC AO OC AC ++=++=+= ，故选：B ．18．（2014•余杭区期中）如图，正六边形ABCDEF 中，(BA CD EF ++=)【解析】正六边形ABCDEF 中， CD AF = ，EF CB = ；∴BA CD EF BA AF CB ++=++ CB BA AF =++ CF = ．故选：D ．19．（2023春•宾县校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，1(2BD AD -=)A ．CAB ．ACC ．12ACD ．12CA【解析】111111()()222222BD AD BA AD AD BA AD AB AD CA -=+-=-=-+=．故选：D ．20．（2023春•朝阳区校级期中）设如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是()A ．AB CD = B ．AB DA BD +=C ．0AD BC += D ．AB AD DB-= 【解析】由于在平行四边形ABCD 中，根据平行四边形的性质：所以AB DC = ，AB DA AB AD DB +=-= ，0AD CB +=，故选：D ．21．（2022秋•西城区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，(AC AB -=)A ．CB B ．ADC ．BD D ．CD【解析】在平行四边形ABCD 中，AC AB BC AD -==．故选：B ．22．（2018秋•西城区期中）如图，在ABC ∆中，D 是BC 上一点，则(AB BC AD +-=)A ．BDB ．DBC ．CD D ．DC【解析】AB BC AD AC AD DC +-=-=．故选：D ．共线向量定理的应用23．（2019秋•西城区校级期中）“向量a与向量b 共线”是“存在R λ∈，使得a b λ= ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若存在R λ∈，使得a b λ= ”，则向量a与向量b 共线，即必要性成立，当b 为零向量时，a 为非零向量时，满足向量a与向量b 共线”但不存在R λ∈，使得a b λ= ”成立，即充分性不成立，故“向量a与向量b 共线”是“存在R λ∈，使得a b λ= ”的必要不充分条件，故选：B ．24．（2019•昌平区期中）设a ，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ= ”是“||||||a b a b +=+ ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若“||||||a b a b +=+”，则平方得2222||2||||||2||||a a b b a b a b +⋅+=++⋅，即||||a b a b ⋅=⋅ ，即||||cos a b a b a ⋅=< ，||||b a b >=⋅ ，则cos a <，1b >= ，即a < ，0b >= ，即a，b 同向共线，则存在实数λ，使得a b λ= ，反之当a <，b π>= 时，存在0λ<，满足a b λ= ，但“||||||a b a b +=+ ”不成立，即“存在实数λ，使得a b λ=”是“||||||a b a b +=+ ”的必要不充分条件，故选：B ．25．（2020秋•宜春期中）设a ，b 为非零向量，则“||||||a b a b +=+ ”是“a与b 共线”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】因为a，b 为非零向量，由||||||a b a b +=+ 两边平方可得，|||a b a b ⋅= ，故夹角0θ=，即a与b 共线，当a与b 共线时，夹角0θ=或π，此时||||||a b a b +=+ 不一定成立．故选：A ．26．（2021春•鼓楼区校级期中）向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量a b λ+ 与c共线，则实数λ=．【解析】建立如图所示平面直角坐标系，取小正方形的边长为1，则(1,1)a = ，(0,1)b =- ，(2,1)c =，∴(,1)a b λλλ+=-，向量a b λ+ 与c共线，2(1)0λλ∴--=，2λ∴=．故答案为：2．27．（2020春•商丘期中）已知非零向量a、b ，且2AB a b =+ ，56BC a b =-+ ，72CD a b =- ，则一定共线的三点是()A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D【解析】由向量的加法原理知5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=，又两线段过同点B ，故三点A ，B ，D 一定共线．故选：A ．28．（2021•临汾期中）已知5AB a b =+ ，28BC a b =-+，3()CD a b =- ，则()A ．A 、B 、D 三点共线B ．A 、B 、C 三点共线C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、C 、D 三点共线【解析】(28)3()5BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+，又5AB a b =+，所以AB BD = ，则AB 与BD 共线，又AB 与BD有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．故选：A ．29．（2022春•丰台区期中）已知a，b 是两个不共线的向量，若向量a tb - 与向量2a b + 共线，则实数t 等于()A ．12-B ．1-C ．0D ．2-【解析】向量a tb - 与向量2a b +共线，∴存在实数k 使得(2)a tb k a b -=+，化为：(12)()k a t k b -=+，a，b 是两个不共线的向量，120k ∴-=，0t k +=，则实数12t =-，故选：A ．30．（2023秋•海淀区期中）已知非零向量12()a x e e =+，12b e ye =+ ，其中1e ，2e 是一组不共线的向量．能使得a与b 的方向相反的一组实数x ，y 的值为x =，y =．【解析】因为非零向量12()a x e e =+，12b e ye =+ ，其中1e ，2e 是一组不共线的向量，若使得a与b 的方向相反，则存在实数λ，使得(0)a b λλ=< ，即1212()()x e e e ye λ+=+ ，由平面向量基本定理可得，x λ=，x y λ=，解得x λ=，1y =，取1λ=-，1y =时，符合题意．故答案为：1-，1．向量的线性表示31．（2020秋•朝阳区期中）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点．若AB a = ，AD b =，则(AC = )A ．32a b -B ．2a b -C ．2a b-+D ．1122a b+ 【解析】 AB a = ，AD b =，∴BD AD AB b a =-=- ，D 是BC 的中点，∴DC BD b a ==- ，∴2AC AD DC b b a b a =+=+-=- ，故选：C ．32．（2019春•安徽期中）ABCD 中，E 为CD 中点，F 为BE 中点，则(AF =)A ．1122AB AD+B ．1324AB AD+C ．34AB AD+D ．3142AB AD+【解析】如图，根据题意：111()222AF AB BE AB BC CD =+=++11312442AB AD AB AB AD =+-=+ ．故选：D ．33．（2011•封开县期中）已知AM 是ABC ∆的BC 边上的中线，若AB a = 、AC b =，则AM 等于()A ．1()2a b - B ．1()2a b -- C ．1()2a b + D ．1()2a b -+ 【解析】因为AM 是ABC ∆的BC 边上的中线，∴BM MC =又 AM AB BM =+ ①AM AC CM =+ ②①+②：2AM AB AC =+∴1()2AM a b =+ ．故选：C ．34．（2020春•海淀区校级期中）如图所示，已知OA a = ，OB b = ，OC c = ，OD d = ，OE e =，OF f = ，试用a、b 、c 、d 、e 、f 表示下列各式：（1）AD AB - ；（2）AB CF + ；（3）EF CF - ．【解析】（1）()()AD AB OD OA OB OA OD OB d b -=---=-=-；（2）()()AB CF OB OA OF OC b a f c +=-+-=-+- ；（3）()()EF CF OF OE OF OC OC OE c e -=---=-=- ．根据向量的线性运算求参数35．（2017秋•东城区校级期中）在三角形ABC 中，D 为BC 边上中点，AB AC AD λ+=，则λ=．【解析】在平面ABC 内找一点E ，使ABEC 为平行四边形，则2AB AC AE AD +== ，又AB AC AD λ+=，则2λ=，故答案为：2．36．（2019•东城区期中）设E 为ABC ∆的边AC 的中点，BE mAB nAC =+，则m ，n 的值分别为()A ．11,2-B ．1,12-C ．1,12-D ．11,2【解析】E 为ABC ∆的边AC 的中点，∴1122BE BA AC AB AC =+=-+，又BE mAB nAC =+ ，则1m =-，12n =，故选：A ．37．（2015•石景山区期中）如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c满足(,)c xa yb x y R =+∈ ，则xy=．【解析】将向量a，b ，c 放入坐标系中，则向量(1,2)a = ，(2,1)b =- ，(3,4)c =， c xa yb =+，(3∴，4)(1x =，2)(2y +，1)-，即2324x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则112x y =，故答案为：112．38．（2021•海淀区期中）在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈ ．若32λμ+=，则||(||CD AB = )A ．13B ．12C ．1D ．2【解析】如图所示，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．∴四边形AECD 是平行四边形．∴AC AE AD =+ ，又(,)AC AB AD R λμλμ=+∈．1μ∴=，AE AB λ=，又32λμ+=，12λ∴=．则||||12||||CD AE AB AB ==．故选：B ．39．（2023春•东城区校级期中）在平行四边形ABCD 中，||||BA BC BA BC +=-，则平行四边形ABCD 一定是()A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定【解析】由||||BA BC BA BC +=- ，得||||BD CA =，所以四边形ABCD 为矩形．故选：B ．40．（2023春•盱眙县期中）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若||4BC =，||||AB AC AB AC +=- ，则||AM = ．【解析】 ||||AB AC AB AC +=-，∴以AB 和AC为邻边的平行四边形是一个矩形，根据矩形的对角线相等且互相平分，∴11||||4222AM BC ==⨯= ，故答案为：241．（2023秋•朝阳区期中）已知平面内四个不同的点A ，B ，C ，D 满足22BA DB DC =- ，则||(||AC BC =)A ．23B ．32C ．2D ．3【解析】22BA DB DC =-，∴2()2BC CA DC CB DC +=+- ，即3BC AC =，3||||BC AC = ，||3||AC BC = ．故选：D ．42．（2023•佛山期中）已知非零向量a，b ，则“||||a b b -= ”是“20a b -= ”成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若非零向量a，b 满足20a b -= ，则a b b -= ，||||a b b -= ，故“||||a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若||||a b b -= ，两边同时平方可得，220a a b -⋅=，(2)0a a b ⋅-= ，令(1,0)a = ，11(,)22b =- 时，满足非零向量a ，b且2(0,1)a b -= ，(2)0a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠ ．故“||||a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，综上所述，“||||a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要不充分条件．故选：B ．43．（2020秋•潍坊期中）已知点G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA PB PC PD +++等于()A ．4PGB ．3PGC ．2PGD ．PG【解析】如图，PA PG GA =+ ，PC PG GC =+ ，PB PG GB =+ ，PD PG GD =+，∴4()()4PA PB PC PD PG GA GC GB GD PG +++=++++= ．故选：A ．44．（2022春•丰台区期中）一条河两岸平行，河的宽度为2402知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟123米，水流速度大小为每分钟12米．①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为每分钟米；②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸需要分钟．【解析】①由题意作图如下，22(123)1224m +=，②由题意作图如下，22(123)122m -=，240220122=分钟，故答案为：①24，②20．。

2022年全国各地自招数学好题汇编之专题20 平面向量(word版含答案)

专题20 平面向量一．选择题（共1小题）1．（2018秋•松江区期中）已知，是两个非零向量，是一个单位向量，下列等式中正确的是（）A．＝B．＝C．||＝D．||＝二．填空题（共5小题）2．（2021•宝山区校级自主招生）已知△ABC，＝，＝，边BC上有点P1、P2、P3…P22，使得BP1＝P1P2＝P2P3＝…P22C，则+ + + …＝++++++++++++++++．3．（2016•宝山区校级自主招生）在△ABC中，设，，P是中线AE与中线CF 的交点，则＝++++++++++++++++．（用表示）4．（2014•宝山区校级自主招生）如图，在△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，＝a，＝b，则＝++++++++++++++++．5．（2021春•虹口区校级期末）如图，平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角均为120度，则＝++++++++++++++++．6．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，点E、F分别是AB、CD中点．若＝、则＝++++++++++++++++（用向量、表示）；若||＝4，||＝3，则| |＝++++++++++++++++．三．解答题（共13小题）7．（2019•湖北自主招生）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2），试求f（2）的值；（2）作n个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（n），试求f（n）的值；（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2×3），试求f（2×3）的值；（4）作m×n个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（m×n），试求f（m×n）的值．8．（2011•瓯海区校级自主招生）先阅读短文，再解答短文后面的问题．在几何学中，通常用点表示位置，用线段的长度表示两点间的距离，用一条射线表示一个方向．在平面内，从一点出发的所有射线，可以用来表示平面内的各个不同的方向．在线段的两个端点中，我们规定一个顺序：A为始点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向．具有方向的线段，叫做有向线段．通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为始点，以B为终点的有向线段记作．应注意，始点一定要写在终点的前面．已知有向线段，线段AB的长度叫做有向线的长度（或模），的长度记作||．有向线段包含三个要素：始点、方向和长度．知道了有向线段的始点，它的终点就被方向和长度所唯一确定．解答下列问题：（1）如果两条有向线段的长度相同，始点的位置相同，那么它们的终点位置是否相同？为什么？（2）如果两条有向线段的方向相同，始点的位置相同，那么它们的终点位置是否相同？为什么？（3）在平面直角坐标系中画出下列有向线段（有向线段与轴的长度单位相同）：①||＝，与x轴的负半轴的夹角是45°，且与y轴的正半轴的夹角是45°，求终点A的坐标；②的终点B的坐标为（3，），求它的模及它与x轴的正半轴的夹角；（4）已知点M、A、P在同一直线上；那么一定成立吗？请在图中画出图形并加以说明．9．（2011•长沙校级自主招生）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2），试求f（2）的值；（2）作n个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（n），试求f（n）的值；（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2×3），试求f（2×3）的值；（4）作m×n个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（m×n），试求f（m×n）的值．10．（2021春•黄浦区期末）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上．（1）填空：＝++++++++++++++++.﹣＝++++++++++++++++；（2）求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）11．（2018春•黄浦区期末）如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AB上，设＝，＝，＝，再用图中的线段作向量，（1）写出与平行的向量++++++++++++++++．（2）试用向量、、表示向量、+.＝++++++++++++++++；＝++++++++++++++++．（3）求作．12．（2018春•浦东新区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD 上的两点，且BE＝DF，＝，＝，＝．（1）用向量、、表示下列向量：向量＝++++++++++++++++，向量＝++++++++++++++++，向量＝++++++++++++++++；（2）求作：．13．（2017秋•铜梁区期末）我们规定：若＝（a，b），＝（c，d），则*＝ac bd，如＝（2，3），＝（4，5），则*＝2×4 3×5＝23．（1）设＝（x2，﹣4），＝（﹣2，x﹣1），且•＝﹣26，求实数x的值．（2）设＝（x﹣a，1），＝（x﹣a，x 2），且关于x的函数y＝*的图象与一次函数y＝2x 3的图象有两个不相同的交点，求a的取值范围．14．（2017秋•海安市校级月考）我们规定：若＝（a，b），＝（c，d），则＝ac bd．如＝（1，2），＝（3，5），则＝1×3 2×5＝13．（1）已知＝（2，4），＝（2，﹣3），求；（2）已知＝（x 2，1），＝（x﹣2，3x﹣1）．①求y＝．②判断y1＝的函数图象与一次函数y2＝x 3的图象是否有公共点，若有，请求出公共点的坐标，若没有，请说明理由．③直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．15．（2016•闸北区一模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E是边BC 的中点，联结DE交AC于点G．设＝，＝，（1）试用、表示向量；（2）试用、表示向量．16．（2015秋•闵行区期末）如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD 和边AB的中点，设＝，＝．（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）（2）画出向量分别在，方向上的分向量．17．（2013•闸北区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别在边AO和边OD上，且AM＝AO，ON＝OD，设＝，＝，试用、的线性组合表示向量和向量．18．（2010秋•长宁区期末）如图，在边长为l的小正方体组成的网格中，小正方体的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在网格中确定一点D，使得＝（只要画出向量，不必写作法）；（2）若E为BC的中点，则tan∠CAE＝++++++++++++++；（3）在△ACD中，求∠CAD的正弦值．19．（2017秋•虹口区校级月考）如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝．（1）当＝2时，＝++++++++++++++++；（用与表示）（2）当＝时，＝++++++++++++++++；（3）在原图上作出在、上的分向量．专题20 平面向量一．选择题（共1小题）1．【解答】解：A、得出的是a的方向不是单位向量，故错误；B、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误；C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D、符合向量的长度及方向，故正确；故选：D．二．填空题（共5小题）2．【解答】解：如图，设＝，则有•＝（）（ 2）•（ 22）＝22 23×11，∵ 23＝，∴•＝11 11 23×11＝11 11（ 23）＝11 11，故答案为：11 11．3．【解答】解：∵，AE是△ABC的中线，∴＝＝﹣＝﹣，∵，∴＝＝﹣，∵P是中线AE与中线CF的交点，∴＝＝（﹣）＝﹣，∴＝＝﹣﹣＝﹣．故答案为：﹣．4．【解答】解：连接DE，∵＝，＝，∵D为AC的中点，∴＝＝，∴＝﹣＝﹣，∵在△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴△PED∽△PCB，∴DP：PB＝DE：BC＝1：2，∴＝＝（﹣）＝﹣．故答案为：﹣．5．【解答】解：延长AO到T，使得OT＝OA，连接TB．∵＝，∴＝＝，∵OB＝OT，∠BOT＝60°，∴△OBT是等边三角形，∴∠T＝∠TOC＝60°，∴BT∥OC，BT＝OC，∴＝，∴＝，故答案为：．6．【解答】解：①取AD的中点G，连接EG、GF．∵AE＝EB，AG＝GD，∴GE∥BD，GE＝DB，∴＝，同法可得：＝，∵＝＝﹣，②∵||＝4，||＝3，∴AC＝4，BD＝3，∵GE＝，EG＝2，∵EG∥BD，FG∥AC，AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∴EF＝＝，∴||＝，故答案为﹣，．三．解答题（共13小题）7．【解答】解：（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）＝14；（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，∵f（1）＝6×1 2＝8，f（2）＝6×2 2＝14，f（3）＝6×3 2＝20，f（4）＝6×4 2＝26，∴f（n）＝6n 2；（3）f（2×3）＝34；（4）∵f（2×2）＝24，f（2×3）＝34，f（2×4）＝44，f（3×2）＝34，f（3×3）＝48，f（3×4）＝62+∴f（m×n）＝2（m n） 4mn．8．【解答】解：（1）它们的终点位置不一定相同．∵有向线段包含三个要素：始点、方向和长度，知道两条有向线段的长度相同，始点的位置相同，但不知道它们的方向是否相同，∴它们的终点位置不一定相同；（2）它们的终点位置不一定相同．∵有向线段包含三个要素：始点、方向和长度，知道两条有向线段的方向相同，始点的位置相同，但不知道它们的长度是否相同，∴它们的终点位置不一定相同；（3）①如图：∵确与x轴的负半轴的夹角是45°，且与y轴的正半轴的夹角是45°，∴点A位于第二象限，∴点A的横坐标为：﹣2•cos45°＝﹣2，点A的纵坐标为：2•sin45°＝2．∴点A的坐标为（﹣2，2）；②∵的终点B的坐标为（3，），∴OC＝3，BC＝，∴tan∠BOC＝＝，∴∠BOC＝30°，∴||＝＝2；∴它的模及为2，与x轴的正半轴的夹角为30°；（4）若M、A、P在同一直线上，不一定成立．如图甲：成立，如图乙：不成立．∴若M、A、P在同一直线上，不一定成立．9．【解答】解：（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）＝14；（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，∵f（1）＝6×1 2＝8，f（2）＝6×2 2＝14，f（3）＝6×3 2＝20，f（4）＝6×4 2＝26，∴f（n）＝6n 2；（3）f（2×3）＝34；（4）∵f（2×2）＝24，f（2×3）＝34，f（2×4）＝44，f（3×2）＝34，f（3×3）＝48，f（3×4）＝62+∴f（m×n）＝2（m n） 4mn．10．【解答】解：（1）＝，∵＝，∴﹣＝﹣＝；故答案为：；．（2）如图，即为所求．11．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴与平行的向量有：、和．故答案是：、和．（2）＝﹣＝﹣，即；＝﹣＝﹣，即．故答案是：﹣，﹣；（3）∵，∴为所求作向量．12．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠CBE，∵DF＝BE，∴△ADF≌△CBE，∴∠AFD＝∠CEB，AF＝CE，∴∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴＝﹣＝﹣＝﹣，＝＝﹣，＝＝﹣，故答案为﹣，﹣，﹣．（2）延长EC到K，使得CK＝EC，连接BK，则向量即为所求；13．【解答】解：（1）∵＝（x2，﹣4），＝（﹣2，x﹣1），且•＝﹣26，∴﹣2x2﹣4（x﹣1）＝﹣26，∴x1＝﹣5，x2＝3，（2）由题意：y＝（x﹣a）2x 2，由，消去y得到，x2﹣（2a 1）x a2﹣1＝0，∵关于x的函数y＝*的图象与一次函数y＝2x 3的图象有两个不相同的交点，∴Δ＞0，∴[﹣（2a 1）]2﹣4×1×（a2﹣1）＞0，∴a＞﹣．14．【解答】解：（1）＝2×2 4×（﹣3）＝﹣8；（2）①y＝（x 2）（x﹣2） 1×（3x﹣1）＝x2 3x﹣5；②依题意得：，解得，，所以y1＝的函数图象与一次函数y2＝x 3的图象有公共点，公共点的坐标为（﹣4，﹣1），（2，5）；③如图所示，当y1≥y2时，x≤﹣4或x≥2．15．【解答】解：（1）∵＝，＝，∴＝＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝（）＝；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADG∽△CEG，∴AG：CG＝AD：CE，∵点E是边BC的中点，∴AD：CE＝2：1，∴AG：CG＝2：1，∴AG：AC＝2：3，∴＝＝，∴＝﹣＝﹣＝﹣．16．【解答】解：（1）∵点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，∴＝＝﹣，＝＝，∴＝＝﹣；（2）如图：与即为所求．17．【解答】解：根据平行四边形法则，＝＝，∵平行四边形ABCD，∴AO＝AC，∴＝＝（），∵AM＝AO，∴OM＝AO，∴＝﹣，∴＝﹣×（）＝﹣﹣；∵AM＝AO，ON＝OD，∴＝＝，∴MN∥AD，∴＝＝，∴＝，又∵平行四边形ABCD，∴＝＝，∴＝．18．【解答】解：（1）如图：点D即为所求；（2）如图：根据题意可知：tan∠CAE＝＝．故答案为：；（3）根据题意得：AC＝＝，DC＝，AD＝，∴△ACD不是直角三角形，作DM⊥AC于M，S△ADC＝S梯形AFNC﹣S△AFD﹣S△CND，＝（AF CN）•FN﹣AF•DF﹣DN•CN，＝×（4 2）×5﹣×4×4﹣×2×1，＝6，S△ADC＝•AC•DM＝××DM＝6，∴DM＝，在Rt△ADM中，sin∠CAD＝＝÷＝．19．【解答】解：（1）∵＝＝﹣，∵BM：CM＝2，∴＝（﹣），∴＝＝﹣＝．故答案为．（2）∵＝＝，∴＝（﹣）＝，∴BM：BC＝3：7，∴BM：MC＝3：4，故答案为．（3）如图所示：在、上的分向量分别为，．。

高中数学平面向量竞赛试题

高三向量一、自主招生与竞赛知识1、三角形的心（1）重心（2）垂心（3）内心（4）外心例1（2010·湖北高考理科·Ｔ5）已知△ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5例2（河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试）已知点G 是ΔABC的重心，A ∠ = 1200，= -2,则的最小值是A.33 B. 22C. 32D. 43例3（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（A ）重心外心垂心（B ）重心外心内心（C ）外心重心垂心（D ）外心重心内心例4 O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若()()()()0PB PC OB OC PC PA OA OC -+=-+=，则O 是ABC ∆的______心.例5三个不共线的向量,,,OA OB OC满足0AB CA BA CB CA BC OA OB OC AB CA BA CB CA BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则O 为ABC ∆的______心.例6 已知ABC ∆内一点O 满足关系230OA OB OC ++=，试求::BOC COA AOB S S S ∆∆∆的值例7 （2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ8）在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b , 1,2a b ==，则CD =（）（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b2、定比分点公式例1 已知()0,0A ，()4,8B ，()6,4C -，点M 分AB 的比为3，N 为边AC 上的一点，且AMN ∆的面积是ABC ∆面积的一半，求点N 的坐标.例2 ABC ∆的三个顶点坐标是()1,2A ，()4,1B ，()4,4C ，D 为边AB 上的一点，且DE ∥BC ，交AC 于点E ，若DE 把ABC ∆分成面积相等的两部分，求点D 的坐标.3、自主招生题目欣赏例1 (2008南京大学)在ABC ∆中任取一点O ，求证：0BOC COA AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=例 2 (2010北京大学)已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，OP tOA =，()1OQ t OB =-，PQ 在0t 时取得最小值.问当0105t <<时，θ的范围.二、高考热点 1、平面向量的拆分例1 (2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T7)设D 为△ABC 所在平面内一点,=3,则 ( )A.AC AB AD 3431+-=B. AC AB AD 3431-=C. AC AB AD 3134+=D. AC AB AD 3134-=例2（2015·四川高考理科·T7）设四边形ABCD 为平行四边形，||6AB =，||4AD =。

专题07 平面向量-【中职专用】河南省近十年对口高考数学真题分类汇编(解析版)

专题07平面向量1.（2021年河南对口高考）已知向量(2,3)a =- ，向量(,6)b x =- ，若a b ⊥，则x 的值为（）A.4B.4- C.9D.9-【答案】D【解析】若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，23(6)0x -+⨯-=，9x =-，故选D.2.（2021年河南对口高考）已知a ，b 是单位向量，夹角为60︒，则a b +=.【答案】【解析】因为a ，b是单位向量，夹角为60︒，所以a b +== 3.（2021年河南对口）已知向量()1,3m = ，(1,1)n =-，则||m n -= （）AB ．C ．4D ．8【答案】B【解析】因为()1,3m = ，()1,1n =-，则(2,2)m n -= ，所以||m n -== B .4.（2020年河南对口高考）已知向量(2,1)a =- ，(3,4)b =- ，则a 与a b +的夹角为（）A.4πB.3π C.2π D.34π【答案】D【解析】a == (2)31(4)10a b ⋅=-⨯+⨯-=- ，2()5a a b a a b +=+⋅=-，a b +=()cos 2a a b a a bθ+==-+，所以夹角为34π，故选D.5.（2020年河南对口高考）已知向量(1,2)a = ，(3,)b k =- ，a b，则=k .【答案】6-【解析】因为a b，所以1230k ⨯+⨯=，6k =-，故答案为6-.6.（2020年河南对口）已知向量a ，b 满足2a = ，1a b ⋅= ，且a 与b的夹角为60︒，则b 的值为.【答案】1【解析】由题意可知，1cos 60212a b a b b ⋅=⋅︒=⋅= ，解得1b = ，故答案为1.7.（2019年河南对口高考）已知(2,1)A ，(1,3)B -，(3,4)C ，则AB AC ⋅=（）A.4-B.4C.3- D.3【答案】D【解析】(3,2)AB =- ，(1,3)AC = ，31233AB AC ⋅=-⨯+⨯=，故选D.8.（2019年河南对口高考）若向量(1,2)a = ，(3,1)b =- ，则()()a b a b ⋅-=.【答案】(4,1)--【解析】1(3)211a b ⋅=⨯-+⨯=- ，(4,1)a b -= ，所以()()(4,1)a b a b ⋅-=--，故答案为：(4,1)--.9.（2019年河南对口）已知向量a ，b的夹角为60°，1a = ，2b = ，则2a b -= （）A ．1B ．CD ．2【答案】D【解析】∵向量a ，b的夹角为60°，且1a = ，2b = ，∴12cos601a b ⋅=⨯⨯︒= ，∴22a b -= ，故选D ．10.（2018年河南对口高考）下列命题中，正确的是（）A.若→→=b a ，则→→=ba B.若→→=b a ，则→a 与→b 是平行向量C.若→→>b a ，则→→>ba D.若→→≠b a ，则向量→a 与→b 不共线【答案】B【解析】向量相等包含两层含义，一个是方向相同，一个是大小相等，两个向量是不能比较大小的，只有向量的模长可以比较大小，所以应选B.11.（2018年河南对口高考）若向量)1,2(-=→a ，)3,1(=→b ，→→→+=b a c 2，则=→c .【答案】(0,7)【解析】2(2,1)(2,6)(0,7)c a b →→→=+=-+=，故答案为：(0,7).12.（2018年河南对口）已知平面向量()2,1a =，()1,1b =-r ，若a b λ- 与a b + 垂直，则λ=.【答案】2【解析】()()()()()2210a b a b a b a b a a b b λλλλ-⊥+⇒-⋅+=+-⋅-= ，因为()2,1a = ，()1,1b =-r ，所以25a =，22b = ，1a b ⋅= ，所以()5120l l +--=，解得2λ=，故答案为2.13.（2017年河南对口高考）“向量0a b +=”是a b“”=A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】两向量相加为零向量，说明两向量是相反向量，模的大小相等方向相反，所以0a b +=能推出a b =，但a b=推不出0a b +=，故选A.14.（2017年河南对口高考）已知()()1,3,2,1A B AB，则--=.【答案】5【解析】(3,4)AB =-- ，5AB ==，故答案为：5.15.（2017年河南对口）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos 5A =.(1)若ABC ∆的面积为3，求AB AC的值；(2)设2sin ,1,cos ,cos 22B B m n B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且//m n ，求cos C 的值.【答案】(1)92；(2)10【解析】解：(1)因为3cos 5A =，所以4sin 5A =，则12||||sin ||||325ABC S AB AC A AB AC ∆=== ，即15||||2AB AC = ，又3cos 5||||AB ACA AB AC ==，所以92AB AC = .(2)因为//m n ，所以2sin cos cos 22B B B =，即sin cos B B =，所以4B π=，所以cos cos()cos cos sin sin 10C A B A B A B =-+=-+=.16.（2016年河南对口高考）设向量(2,1)AB = ，(1,)AC a = ，且AB AC ⊥，则a 的值是（）A.12B.12-C.2-D.2【答案】D【解析】因为(2,1)AB = ，(1,)AC a = ，且AB AC ⊥ ，所以20AB AC a ⋅=+=，2a =-，故选D.17.（2016年河南对口）已知向量(1,1),(1,3)a b =-=- ，则(2)a a b ⋅+=r r r（）A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】A【解析】由题意，向量(1,1),(1,3)a b =-=- ，可得22,1(1)(1)34a a b =⋅=⨯-+-⨯=-，所以2(2)22240a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯-=，故选A .18.（2016年河南对口）已知向量()1,2AB =- ，()2,AC x = ，若AB AC ⊥，则BC =.【解析】()1,2BC AC AB x =-=+ ，AB AC ⊥ ，220AB AC x ∴⋅=-= ，解得：1x =，()1,3BC ∴=，BC ∴= .19.（2015年河南对口高考）若向量()2,1=a ,()1,1-=b ,则2a b +等于（）A．()3,3B．()3,3-C．()3,3-D．()3,3--【答案】D【解析】2(2,4)(1,1)(3,3)a b +=+-=，故选D.20.（2015年河南对口高考）已知向量()0,3=a ，()1,1-=b，则=.【答案】2【解析】3a ==，b == ，3(1)013a b ⋅=⨯-+⨯=-，2cos ,2a b a b a b⋅===-，故答案为：22.21.（2015年河南对口高考）已知()()()0,3,3,2,2,1C B A ，求证：AC AB ⊥.【答案】证明见解析【解析】证明：因为(1,1)AB = ，(2,2)AC =- ，12120AB AC ⋅=⨯-⨯= ，所以AB AC ⊥，即AC AB ⊥.22.（2014年河南对口高考）已知向量(3,1)a - =，(1,2)b -- =，(1,1)c - =，则a b c ++ 模长等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】(3,4)a b c ++=-，5a b c ++= ，故选A.23.（2014年河南对口高考）向量a 的模为3，向量b 的模为2，二者的夹角为60，则二者的内积等于.【答案】3【解析】因为3a = ，2b = ，,60a b =︒ ，所以cos ,32cos 603a b a b a b ⋅==⨯︒=，故答案为：3.24.（2014年河南对口高考）下列命题中，正确的是（）A ．若a ∥b ，则a 与b方向相同或相反B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D ．若a b = ，b c = ，则a c= 【答案】D【解析】由于零向量的方向是任意的，取0a =，则对于任意向量b ，都有a ∥b ，知A 错；取0b = ，则对于任意向量a ，c 都有a ∥b ，b ∥c ，但得不到a ∥c，知B 错；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C 错；由两向量相等的概念知D 正确，故选D ．25.（2013年河南对口高考）已知向量(3,2)a =- ，(1,1)b =- ，则32a b +等于（）A ．(7,4)-B ．(7,4)C ．(7,4)--D ．(7,4)-【答案】D【解析】32(9,6)(2,2)(7,4)a b +=-+-=-，故选D.26.（2013年河南对口高考）若向量(1,3)a =- 与向量(2,)b m =平行，则m =．【答案】6-【解析】因为向量(1,3)a =- 与向量(2,)b m =平行，所以1230m ⨯+⨯=，6m =-，故答案为：6-.27.（2013年河南对口高考）已知(1,2)a =- ，(2,1)b =- ，证明：4cos ,5a b = ．【答案】证明见解析【解析】证明：a ==，b ==(1)(2)214a b ⋅=-⨯-+⨯= ，所以4cos ,5a ba b a b⋅===，得证.28.（2012年河南对口高考）已知向量(1,2)a = ，(2,1)b =- ，则a ，b之间的位置关系为（）A ．平行B ．不平行也不垂直C ．垂直D ．以上都不对【答案】C【解析】因为(1,2)a = ，(2,1)b =- ，1(2)210a b ⋅=⨯-+⨯= ，所以a b ⊥，故选C.29.（2012年河南对口高考）已知两点()3,4A -和()1,1B ，则AB =.【答案】5【解析】因为()3,4A -和()1,1B ，所以(4,3)AB =-，5AB == ，故答案为：5.30.（2012年河南对口）已知向量a ，b 满足||1a =，||b = ()a a b ⊥- ，则a 与b 的夹角是.【答案】4π【解析】由()a a b ⊥- ，得2()0a a b a a b ⋅-=-⋅= ，所以21a b a ⋅==，所以cos ,2a b a b a b ⋅==⋅，所以,4a b π= ，故答案为4π.。

2024年高一数学真题分类汇编(北京专用)平面向量最值与范围问题4种常考题型归类(解析版)

专题04平面向量最值与范围问题4种常考题型归类平面向量基本定理的最值问题1．（2022春•海淀区校级期中）已知单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅=- ，若非零向量12a xe ye =+，其中x ，y R ∈，则||||x a 的最大值为()A ．43B ．23C ．22D 【解析】因为单位向量1e ，2e满足1212e e ⋅=- ，所以1e < ，223e π>= ，设1(1,0)e = ，21(2e =- ，2，所以12(1a xe ye x =+= ，10)(2y +-，(22y x =-，)2y ，所以||a ==，所以||||x a ==当0x =时，||0||x a = ，当0x ≠时，||||x a =令y t x=，则221331()244t t t -+=-+ ，，所以||||x a故选：D ．2．（2022春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+ ，则14m n+的最小值是()A ．4B ．9C ．8D ．13【解析】D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线， AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14144()559n m m n m n m n m n+=++=+++= ，当且仅当4n m m n =，即2n m =，又1m n += ，13m ∴=，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9．故选：B ．3．（2023春•海淀区校级期中）如图，在ABC ∆中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAB y AC +=+，则x y +=，14x y+的最小值为．【解析】设AD mAB nAC =+ ，AE AB AC λμ=+，B ，D ，E ，C 四点共线，1m n ∴+=，1λμ+=， AD AE xAB y AC +=+ ，2x y ∴+=，∴141141419()()(5)(52222y x x y x y x y x y +=++=+++= ，当且仅当4y x x y =，即23x =，43y =时等号成立，所以14x y +的最小值为92．故答案为：2；92．4．（2022春•丰台区校级期中）已知O 为ABC ∆的外心，且BO BA BC λμ=+．①若90C ∠=︒，则λμ+=；②若60ABC ∠=︒，则λμ+的最大值为．【解析】①若90C ∠=︒，则O 是斜边AB 的中点，如图①所示；∴12BO BA = ，12λ∴=，0μ=，12λμ∴+=；②设ABC ∆的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，60ABC ∠=︒ ，120AOC ∴=︒，设(1,0)A ，1(2C -，2，(,)B x y ，则(1,)BA x y =-- ，1(2BC x =--)y -，(,)BO x y =-- ，BO BA BC λμ=+ ，∴1(1)()2()2x x x y y y λμλμ⎧--+=-⎪⎪⎨⎪-+-=-⎪⎩，解得12121x y λμλμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩，B 在圆221x y +=上，2221())(1)2λμλμ∴-+=+-，22()1(32λμλμλμ+-+∴= ，∴2121()()0433λμλμ+-++ ，解得23λμ+ 或2λμ+ ，B 只能在优弧 AC 上，23λμ∴+ ，即λμ+得最大值为23．故答案为：（1）12，（2）23．5．（2018秋•顺义区校级期中）已知向量(cos ,sin )a θθ=，(sin ,0)b θ= ，其中R θ∈．（Ⅰ）当a b ⊥时，求θ的值；（Ⅱ）当2πθ=时，已知(c xa yb x =+ ，y 为实数），且||2c = ，求xy 的最大值．【解析】（Ⅰ） a b ⊥ ，∴sin cos 0a b θθ⋅==，sin 20θ∴=，即2k θπ=，k Z ∈，∴,2k k Z πθ=∈．（Ⅱ）当2πθ=时，(cos ,sin )(0,1)a θθ== ，(sin ,0)(1,0)b θ== ，(0,1)(1,0)(,)c xa yb x y y x =+=+=，||2c =，224x y ∴+=，∴2222x y xy += ，当且仅当x y ==时等号成立，xy ∴的最大值为2．6．（2022春•西城区校级期中）已知点(0,2)A ，(1,3)B ，(3,)C m 满足||||BA BC BA BC +=-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设O 为坐标原点，动点P 满足OP OA AB λ=+，求当||OP 取最小值时点P 的坐标．【解析】（Ⅰ）(0,2)A ，(1,3)B ，(3,)C m ，∴(1,1)BA =-- ，(2,3)BC m =-，||||BA BC BA BC +=- ，∴(1)2(1)(3)0BA BC m ⋅=-⨯+--=，解得1m =；（Ⅱ）(0,2)A ，(1,3)B ，∴(0,2)OA = ，(1,1)AB =， (,2)OP OA AB λλλ=+=+，||OP ∴==故当1λ=-时，||OP取得最小值，此时，(1,1)P -．平面向量的数量积的最值问题7．（2023春•东城区校级期中）已知等边ABC ∆的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则MD MC ⋅的最大值为，最小值为．【解析】以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，等边ABC ∆的边长为2，D 为边BC 的中点，(1,0)A ∴-，B ，(1,0)C ，1(22D ，设点M 的坐标为(,0)M x ，11x -，∴(1,0)MC x =- ，1(2MD x =- ，∴2131(1)()222MD MC x x x x ⋅=--=-+ ，设231()22f x x x =-+，11x -，函数()f x 的对称轴为34x =，()f x ∴在区间3[1,]4-单调递减，在区间3[,1]4单调递增，当1x =-时，()(1)3max f x f =-=，当34x =时，31()(416min f x f ==-．故答案为：3，116-．8．（2023春•昌平区校级期中）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，AB OP ⋅的值为；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值为．【解析】矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，||||cos 212AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯=；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值，||||cos AB OP AB OP POB ⋅=∠ ，P 应该在线段AD 上，此时||||cos 2(1)2AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯-=-；故答案为：2；2-．9．（2023春•海淀区校级期中）在OAB ∆中，2OA OB ==，AB =，若动点P 在线段OA 上运动，则PA PB ⋅的最小值为()A ．94-B ．94C ．34D ．34-【解析】OAB ∆中，2OA OB ==，AB =由余弦定理得，22244121cos 22222OA OB AB AOB OA OB +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以23AOB π∠=，建立平面直角坐标系，如图所示：设(,0)P x ，[0x ∈，2]，(2,0)A ，(B -，所以(2,0)PA x =- ，(1PB x =--，计算2219(2)(1)2()24PA PB x x x x x ⋅=---=--=-- ，当12x =时，PA PB ⋅ 取得最小值为94-．故选：A ．10．（2023春•西城区校级期中）已知点P 是边长为1的菱形ABCD 内一动点（包括边界），60DAB ∠=︒，则AP AB ⋅的最大值为()A B ．32C ．1D ．34【解析】以菱形ABCD 的对角线BD 所在直线为x 轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得2A ，1(2B -，0)，(0,2C -，1(2D ，0)，则1(2AB =- ，，设(,)P x y ，(,AP x y =- ，1324AP AB x ⋅=--+ ，作出直线33y x =，平移，经过点C 时，1322x y --取得最大值34，则122x y =--的最大值为32．故选：B ．11．（2022春•西城区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB⋅的值为，DE AC ⋅的最大值为．【解析】2()||01DE CB DA AE CB DA CB AE CB DA ⋅=+⋅=⋅+⋅=+=，点E 是AB 边上的动点，∴设AE AB λ=，[0λ∈，1]，∴22()()()()(1)01DE AC AE AD AB AD AB AD AB AD AB AB AD AD λλλλ⋅=-⋅+=-⋅+=+-⋅-=+- ，在[0λ∈，1]上单调递增，∴当1λ=时，DE AC ⋅取得最大值，为0．故答案为：1；0．12．（2021春•昌平区校级期中）已知矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，E 为BC 边的中点，F 为CD 边上的动点（可以与端点重合），则AE ED ⋅=，AF AE ⋅的最大值为．【解析】如图，建立直角坐标系，则(2,2)E ，(0,4)D ，(,4)F x ，[0x ∈，2]，所以(2AE ED ⋅=，2)(2⋅-，2)0=，当F 在C 处时，AF AE ⋅的最大值为(2，2)(2⋅，4)12=．故答案为：0；12．13．（2018秋•通州区期中）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为．【解析】以AB 、AD 所在直线为x 轴、y 轴，建立坐标系如图可得(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D 设(,0)E x ，其中01x(,1)DE x =- ，(1,0)DC =，∴1(1)0DE DC x x ⋅=⋅+-⋅=，点E 是AB 边上的动点，即01x，x ∴的最大值为1，即DE DC ⋅的最大值为1故答案为：114．（2023春•东城区校级期中）如图，在平面四边形ABCD 中，90CDA CBA ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，若点E 为CD 边上的动点，则AE BE ⋅的最小值为．【解析】以D 点为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图平面直角坐标系，则(1,0)A ，3(22B ，C ，设点E 坐标为(0,)E t ，则t ∈，(1,)AE t =- ，3(,2BE t =-- ，∴223321(1,)(,(2216AB BE t t t t ⋅=-⋅--=-+=-+ ，∴当34t =时，21()16min AB BE ⋅= ．故答案为：2116．15．（2021春•丰台区期中）梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，90BAD ∠=︒，点P 在线段BC 上运动．（1）当点P 是线段BC 的中点时，BC AP ⋅=；（2）PB AP ⋅的最大值是．【解析】（1）根据题意，如图，建立坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(0,1)D ，(1,1)C ，点P 是线段BC 的中点，则3(2P ，1)2，(1,1)BC =- ，3(2AP = ，1)2，则31(1)1122BC AP ⋅=-⨯+⨯=- ；（2）(2,0)B ，(1,1)C ，直线BC 的方程为2x y +=，设P 的坐标为(,)m n ，则2m n +=，(01)n ，(2,)PB m n =-- ，(,)AP m n =则222111(2)222()222PB AP m m n n n n ⋅=--=-+=--+ ，即PB AP ⋅ 的最大值是12．故答案为：（1）1-；（2）12．16．（2021春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，45A ∠=︒，M 是AB 的中点，若||||2AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值是78．【解析】在ABC ∆中，45A ∠=︒||||2BC ==，45C ∴∠=︒，90B ∠=︒，ABC ∴∆是等腰直角三角形，||AC =，如右图所示，以AC 所在的直线为x 轴，以AC 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则(A ，0)，B ，(2M -，)2，设(,0)D t ，[t ∈，则(DB t =- ，(2DM t =-- ，)2，∴22227()()2248DB DM t t t ⋅=---+=++ ，[t ∈，∴当24t =时，DB DM ⋅ 取最小值78，故答案为：78．17．（2023春•海淀区校级期中）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE BC λ= ，DF DC μ= ．若23λμ+=，则AE AF ⋅ 的最小值为．【解析】如图，,BE BC DF DC λμ== ，且23λμ+=，∴()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ ()()()()AB BC AD DC AB AD AD AB λμλμ=+⋅+=+⋅+ 22(1)||||AB AD AD AB λμλμ=+⋅++18(1)22()4()2(1)23λμλμλμ=+⨯⨯⨯-++=-++，由题意可得，λ，0μ>， 23λμ+=，∴21()29λμλμ+= ，则202(1)9λμ-+-，∴842(1)39λμ-++ （当且仅当13λμ==时等号成立），∴AE AF ⋅ 的最小值为49．故答案为：49．18．（2023春•海淀区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为1，点P 是对角线BD 上任意一点，则AP BD ⋅的取值范围为()A ．11[,]22-B ．22[]22C ．[1-，1]D ．[【解析】设BP BD λ=，则01λ，()(1)AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD λλλλ=+=+=+-=-+ ，BD AD AB =-，所以[(1)]()AP BD AB AD AD AB λλ⋅=-+⋅- ，又||||1,0AD AB AB AD ==⋅=，所以(1)21AP BD λλλ⋅=--+=-，又01λ ，所以[1,1]AP BD ⋅∈-．故选：C ．19．（2023秋•大兴区期中）已知等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，则EF EA ⋅=；若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则EM EN ⋅的最小值为．【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以(2,0)B -，(2,0)C ，(0A ，，(E -，F ，所以(2,0)EF = ，EA =，所以2102EF EA ⋅=⨯+=；不妨设M 在N 的左边，则设(M m ，0)(21)m - ，则(1,0)N m +，所以(1,EM m =+ ，(2,EN m =+，所以22311(1)(2)335(24EM EN m m m m m ⋅=+++=++=++ ，所以当32m =-时，EM EN ⋅ 有最小值为114．故答案为：2；114．20．（2021春•海淀区校级期中）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB =- ，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN的最小值为．【解析】以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，60B ∠=︒ ，3AB =，3(2A ∴，6BC = ，(6,0)C ∴， AD BC λ=，//AD BC ∴，设0(D x ，∴03(2AD x =- ，0)，3(2AB =- ，332-，∴0333()0222AD AB x =--+=- ，解得052x =，5(2D ∴，∴(1,0)AD = ，(6,0)BC =，∴16AD BC = ，16λ∴=，||1MN =，设(,0)M x ，则(1,0)N x +，其中05x，∴5(2DM x =- ，，3(2DN x =- ，，∴2253272113()()4(2)22422DM DN x x x x x =--+=-+=-+ ，当2x =时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．21．（2022春•海淀区校级期中）已知向量(cos ,sin )a x x =，1(,)22b =- ，函数()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小值正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）求函数()f x 在[6π，]π的最大值及对应的x 值．【解析】（1）1()cos sin()26f x a b x x x π=⋅=-+=-，则2T π=；（2）令22262k x k πππππ-+-+ ，解得[23x k ππ∈-+，22]()3k k Z ππ+∈；所以函数()f x 的单调递增区间为：[23k ππ-+，22]()3k k Z ππ+∈；（3）当[6x π∈，]π时，([06x π-∈，5]6π，则()[0f x ∈，1]．()f x ∴的最大值为1，此时62x ππ-=，即23x π=．平面向量的模的最值问题22．（2021春•海淀区校级期中）已知O ，A ，B ，C ，D 在同一平面内，||||||||1OA OB OC OD ====，且0OA OB ⋅=，则||AC BD + 的最大值为()A ．B ．2+C ．1D ．4【解析】 0OA OB ⋅= ，∴OA OB ⊥，又||||1OA OB == ，||OA OB ∴+= ．|||||()|AC BD OC OA OD OB OC OD OA OB +=-+-=+-+，当OC 、OD 与OA OB +反向时，||AC BD + 取得最大值2+故选：B ．23．（2021春•丰台区期中）已知平面上的两个单位向量a ，b 满足45a b ⋅= ，若m R ∈，则||a mb + 的最小值为()A ．52B ．25C ．53D ．35【解析】 4||||1,5a b a b ==⋅= ，∴||a mb +==== ，∴45m =-时，||a mb + 取最小值35．故选：D ．24．（2023春•东城区校级期中）已知平面向量a ，b的夹角为120︒，且||2a = ，||4b = ，则a b ⋅ 的值为，||()a tb t R -∈的最小值为．【解析】因为平面向量,a b的夹角为120︒，且||2,||4a b == ，所以1||||cos12024()42a b a b ⋅=︒=⨯⨯-=-，||a tb -====所以当14t =-时，||()a tb t R -∈ ，故答案为：-．25．（2023春•东城区校级期中）若向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||||a b a b ++-的最小值为()A ．52B ．2C ．1D ．12【解析】设a OA =，b OB = ，c OC = ，设M 为AB 的中点，已知向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||1OC = ，CA CB ⊥ ，则||||2||||2||2||2(||||)2||2a b a b OM BA OM CM OM CM OC ++-=+=+=+=，当且仅当O 在线段CM 上时取等号，即||||a b a b ++-的最小值为2．故选：B ．26．（2021秋•朝阳区期中）如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，1AD =，2BC =，P 是线段AB 上的动点，则|4|PC PD +的最小值为()A ．35B ．6C ．5D ．4【解析】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)B ，(2,0)C ，设(0,)A m ，(1,)D m ，(0,)P y ，所以(2,)PC y =- ，(1,)PD m y =-，所以4(6,45)PC PD m y +=-，所以|4|PC PD +=当450m y -=，即15AP AB =时，|4|PC PD + 取得最小值，为6．故选：B ．27．（2021春•东城区校级期中）已知平面向量(3,4)a = ，(9,)b x = ，(4,)c y =，且//a b ．（Ⅰ）求||b c +的最小值；（Ⅱ）若a c ⊥ ，求2m a b =- 与n a c =+的夹角．【解析】（1） (3,4)a =，(9,)b x = ，//a b ．3360x ∴-=，解得12x =，∴(9,12)b =，(4,)c y =，∴(13,12)b c y +=+，||b c ∴+=∴当12y =-时，||b c +取得最小值为13．（2）若a c ⊥，则1240a c y ⋅=+= ，3y ∴=-，∴(4,3)c =-，2(3,4)m a b =-=-- ，(7,1)n a c =+=∴25m n ⋅=- ，||5m =，||n = m 与n的夹角为θ，则cos ||||2m n m n θ⋅=== ，[0θ∈ ，]π，34πθ∴=，即2m a b =- 与n a c =+的夹角为34π．28．（2022春•海淀区校级期中）已知三角形ABC ，(2,5)A -，(1,1)B ，(2,3)C ，（1）BC =，写出一个与BC 垂直的非零向量n =；（坐标形式）（2）求cos B ；（3）若CD AB ⊥于D ，求CD ；（4）当||CB k BA +最小时，k =．【解析】（1）三角形ABC ，(2,5)A -，(1,1)B ，(2,3)C ，(1,2)BC OC OB =-=，设与BC 垂直的非零向量(,)n x y =，则(x ，)(1y ⋅，2)20x y =+=，令2x =，得1y =-，∴(2,1)n =-．（2）(3,4)BA =- ，(1,2)BC =，cos cos ,||||BA BC B BA BC BA BC ⋅∴=<>====⋅（3）cos B =sin B ∴=sin 2CD CB B ==；（4）(1CB k BA +=-，2)(3k +-，4)(13k =--，24)k -+，∴||CB kBA +==当10122255b k a -=-=-=⨯时，||CB k BA + 最小为2．故答案为：（1）(1,2)；(2,1)-；（23）2；（4）15．29．（2023春•西城区校级期中）已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，{1i λ∈-，1}，(1i =，2，3，4，5，6)，则123455||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是，最大值是．【解析】建立如图平面直角坐标系，由矩形ABCD ，得AC AB AD =+ ，BD AD AB =-，则123455||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++，1356|()(2λλλλ=-+-，24560)()(0λλλλ+-++，1)|，1356|(2()λλλλ=-+-，2456())|λλλλ-++，=则当13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=时，取得最小值为0，当21λ=，41λ=-，51λ=，61λ=-，11λ=，31λ=-时，即13564λλλλ-+-=，24562λλλλ-++=，=．故答案为：0；．30．（2022春•朝阳区校级期中）已知两个向量(1,2),(3,2)a b ==- ．（1）求||b 以及与a b + 垂直的单位向量；（2）当实数k 取何值时，向量4a kb + 与ka b + 方向相反？（3）若c a xb =+ （其中)x R ∈，求||c 的最小值．【解析】（1）向量(1,2),(3,2)a b ==- ．∴由模长公式得||b = ，(2,4)a b +=- ，设该单位向量的坐标为(,)x y ，则2401x y -+=⎧=，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴与a b +垂直的单位向量为或(．（2）4(43,82)a kb k k +=-+ ，(3,22)ka b k k +=-+ ，当向量4a kb + 与ka b + 共线时，(43)(22)(82)(3)0k k k k -+-+-=，解得2k =或2k =-，当2k =时，4(2,12)a kb +=- ，与(1,6)ka b +=- 同向，不合题意；当2k =时，4(10,4)a kb += ，与(5,2)ka b +=-- 反向，符合题意，2k ∴=．（3）(13,22)c a xb x x =+=-+，||c == 由二次函数的性质，△2241350=-⨯⨯<，213250x x ∴++>，当113x =-时，||c取最小值，||13c = ，||c ∴31．（2021春•延庆区期中）已知1e ，2e 是两个单位向量，122a e e =- ，12sin b e e θ=+ ，123cos c e e =+ ，[0θ∈，2]π．（Ⅰ）若//a b ，求θ；（Ⅱ）若2a e ⊥ ，求||a b + 的最大值及相应的θ值；（Ⅲ）若12e e ⊥ ，1()()2a b a c -⋅-=- ，求证：tan 1θ=-．【解析】（Ⅰ）因为//a b ，所以1sin 21θ=-，故1sin 2θ=-，又因为[0θ∈，2]π，所以766ππθπ=+=，或11266ππθπ=-=．（Ⅱ）由于2a e ⊥ ，所以122(2)0e e e -⋅= ，即212220e e e ⋅-= ，又12||||1e e == ，所以1212e e ⋅= ，所以22222121212()(3(sin 1))9(sin 1)6(sin 1)a b e e e e e e θθθ+=+-=+-+⨯-⨯⋅ 2219(sin 1)6(sin 1)sin sin 72θθθθ=+-+⨯-⨯=++⋯⋯①，由于[0θ∈，2]π，所以sin [1θ∈-，1]，所以当sin 1θ=时，即2πθ=时，①式的最大值等于9，所以当2πθ=时，||a b += 3．（Ⅲ）证明：因为12e e ⊥ ，所以120e e ⋅= ，所以，1212()()[(1sin )][(1cos )]a b a c e e e e θθ-⋅-=+--⋅-+-- 221212(1sin )(1cos )(1cos 1sin )e e e e θθθθ=-+----+--++⋅ 1(1sin )(1cos )sin cos sin cos θθθθθθ=-+----=++，所以1sin cos sin cos 2θθθθ++=-，令sin cos t θθ+=，则22(sin cos )t θθ+=，21sin cos 2t θθ-=，所以21122t t -+=-，所以220t t +=，解得0t =，或2t =-，又因为sin cos )4t πθθθ=+=+，所以[t ∈，故舍去2t =-，所以0t =，即sin cos 0θθ+=，显然cos 0θ≠，所以tan 1θ=-．平面向量夹角的最值问题32．（2023春•海淀区校级期中）已知向量(,2)a x x = ，(3,2)b x =- ．（Ⅰ）若a 与b 共线，求实数x 的值；（Ⅱ）若a 与b 的夹角是钝角，求实数x 的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为a 与b 共线，且(,2)a x x = ，(3,2)b x =- ，所以22(3)x x x =⋅-，即2620x x +=，解得103x =-或．（Ⅱ）因为a 与b 的夹角是钝角，所以0a b ⋅< ．即2340x x -+<，解得0x <或43x >．检验，由（Ⅰ）知，当13x =-时，a 与b 方向相反，夹角为平角，所以，x 的取值范围是114(,(,0)(,)333-∞--+∞ ．33．（2022春•西城区校级期中）如图，ABC ∆是边长为2的等边三角形，P ，Q 分别为AB ，AC上的点，满足AP AB λ= ，)AQ AC λ=- ，其中[0λ∈，1]．（1）PQ BC ⋅ 的值为；（2）向量PQ ，BC 的夹角α的取值范围是．【解析】（1）221()()[(1)]()(1)4(1)22422PQ BC AQ AP AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB λλλλλλ⋅=-⋅-=--⋅-=--⋅+=--⨯⨯+= ；（2||PQ = ，又[0λ∈，1]，∴||[1,2]PQ ∈ ，又||2BC = ，由（1）知2PQ BC ⋅= ，∴PQ ，BC 的夹角α满足：1cos ||||||PQ BC PQ BC PQ α⋅==⋅ ，又||[1,2]PQ ∈ ，∴1cos [,1]2α∈，([0,])απ∈，∴[0,3πα∈．故答案为：2；[0,]3π．34．（2022春•西城区校级期中）已知在同一平面上的三个单位向量a ，b ，c ，它们相互之间的夹角均为120︒，且||1ka b c ++> ，则实数k 的取值范围是．【解析】根据题意，||||||1a b c === ，a < ，b b >=< ，c c >=< ，120a >=︒ ；∴111cos1202a b b c c a ===⨯⨯︒=- ；∴22222()222ka b c k a b c ka b ka c b c++=+++++ 2111112()2()2()222k k k =+++⨯-+⨯-+⨯-2211k k =-+>，即220k k ->；0k ∴<或2k >；k ∴的取值范围是(-∞，0)(2⋃，)+∞．故答案为：(-∞，0)(2⋃，)+∞．35．（2021春•朝阳区校级期中）已知点(0,1)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，平面区域P 是由所有满足(2,2)AM AB AC m n λμλμ=+<< 的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为．【解析】设(,)M x y ，(3,1)AB = ，(1,3)AC =．||||AB AC == ．3cos ,5||||AB AC AB AC AB AC <>== ，4sin ,5AB AC ∴<>= ．令2AM AB = ，2AN AC = ，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMEN ，令AP mAB = ，AQ nAC = ，以AP ，AQ 为邻边作平行四边形APGQ ，(2,2)AM AB AC m n λμλμ=+<< ，∴符合条件的M 组成的区域是平行四边形EFGH ，如图所示．∴42)2)165m n --⨯=．即(2)(2)2m n --=．2(4)(2)(2)4m n m n +--- ，2(4)24m n +-∴ ，解得4m n ++．故答案为：4+．36．（2022春•顺义区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的中点，则DE CB⋅ 的值为，若点E 是AB 边上的动点，则||DE AC ⋅ 的最大值为．【解析】 ||(||cos ,)DE CB CB DE CB DE ⋅=⋅<> ，由向量投影的定义可知：||cos ,||DE CB DE BC <>= ，∴2||1DE CB BC ⋅== ，|||||||cos ,|DE AC AC DE AC DE ⋅=<> ，设AC 与BD 交于H ，由向量投影的定义可知：当E 与A 重合时，|||cos ,|DE AC DE <> 取得最大值2||2AH =，又易知||AC =∴||DE AC ⋅ 的最大值为2||||12AC AH ⋅==．故答案为：1；1．37．（2022春•大兴区期中）已知单位向量1e ，2e 的夹角为2π，且12a xe ye =+ （其中x ，)y R ∈．当1x y ==时，1a e ⋅=；当12//()a e e + 时，1||a e - 的最小值是．【解析】当1x y ==时，则12a e e =+ ，则21121112()1a e e e e e e e ⋅=+⋅=+⋅= ；当12//()a e e + 时，则12()a e e λ=+ ，则112(1)a e e e λλ-=-+ ，则1||a e -=== ，则12λ=时，1||a e - ，故答案为：1；22．38．（2022秋•北京期中）已知点A ，B ，C 在以坐标原点为圆心的单位圆上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++ 的最大值为()A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】由于点A ，B ，C 在单位圆上运动，且AB BC ⊥，则AC 为直径，于是2(4,0)PA PC PO +==- ，设(cos ,sin )B x x ，则(cos 2,sin )PB x x =- ，于是|||(cos 6PA PB PC x ++=- ，sin )|7x ====，当且仅当cos 1x =-取等号，故||PA PB PC ++ 的最大值为：7．故选：B ．39．（2023春•朝阳区校级期中）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A ，B 两点间的距离为2，点P 为 AB 上的一点，则()PA PB PC ⋅+ 的最小值为．【解析】设D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如图所示，则22()22()()2()()2()PA PB PC PA PD PE EA PE ED PE EA PE EA PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=+⋅-=- ，在正三角形ABC 中，AD ===所以AE DE ==所以2223()2()22PA PB PC PE EA PE ⋅+=-=- ，因为CE ===所以||2||2min PE CE =-=-所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为：2237322(2)10222PE -=--=-故答案为：10-．40．（2021春•石景山区校级期中）已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，且||||||a b c >> ，则a b ⋅ ，b c ⋅ ，c a ⋅ 中最小的值是()A ．a b ⋅ B ．b c ⋅ C ．c a ⋅ D ．无法确定【解析】由向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，且||||||a b c >> ，则20a a b a c +⋅+⋅= ，20a b b b c ⋅++⋅= ，20a c b c c ⋅+⋅+= ，所以2a a b a c =-⋅-⋅ ，2b b a b c =-⋅-⋅ ，2c c a c b =-⋅-⋅ ，因为222a b c >> ，所以a b a c b a b c c a c b -⋅-⋅>-⋅-⋅>-⋅-⋅ ，整理得a b a c b c ⋅<⋅<⋅ ．故选：A ．41．（2022春•朝阳区校级期中）若24AB AC AB ⋅== ，且||1AP = ，则||AB = ，CP AB ⋅ 的最大值为．【解析】因为24AB = ，所以||2AB = ，因为()4||||cos CP AB AP AC AB AP AB AC AB AP AB AB AC AP AB AP AB AP ⋅=-⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=⋅⋅< ，412cos AB AP >-=⋅⋅< ，42cos AB AP >-=< ，42AB >-- ，当AP < ，0AB >= 时，等号成立．所以CP AB ⋅ 的最大值是2-，故答案为：2；2-．42．（2022春•西城区校级期中）已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．①若3AB AC = ，则AB CD = ；②AP AB AD =+ ，则||AP 的最大值为．【解析】① 3AB AC = ，C ∴为AB 的靠近A 的三等分点，3322AB BC ∴==，1122AC BC ==，AD AB ⊥ ，1CD =，60ACD ∴∠=︒，∴331cos12024AB CD =⨯⨯︒=- ．②1CB CD == ，C ∴位于BD 的中垂线上，∴当C 为BD 的中点时，BD 取得最大值2．AB AD ⊥ ，||||||2AP AB AD AB AD BD ∴=+=-= ．43．（2022春•海淀区校级期中）如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 点在正方形内（含边界），且||||AP AB = ．①若||||BP AB = ，则AP BP ⋅ 的值是；②若向量AC DE AP λμ=+ ，则λμ+的最小值为．【解析】①：由已知得AB AP BP ==，故三角形ABP 为边长为1的等边三角形，故111cos 602BP AB ⋅=⨯︒= ．②：由已知，如图建立平面直角坐标系：由正方形的边长为1，(0,0)A ，(1,1)C ，(0,1)D ，1(,0)2E ，(cos ,sin )P αα，02πα ．由向量AC DE AP λμ=+ 得，(1，11)(,1)(cos 2λμα=-+，sin )α，得：11cos 21sin λμαλμα⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得3sin 2cos μαα=+，2sin 2cos sin 2cos ααλαα-=+．则2sin 2cos 3sin 2cos ααλμαα-++=+，[0,]2πα∈．令2sin 2cos 3()sin 2cos f ααααα-+=+，[0,2πα∈．故266sin 3cos ()(sin 2cos )f ααααα-+'=+，显然，分子66sin 3cos 0αα-+ 在[0，2π上恒成立，故()0f α' 恒成立，即()f α在[0，]2π上单调递增，故1()(0)2min f f α==．λμ+取最小值12．故答案为：12，12．44．（2023秋•东城区校级期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O 的半径为2，圆O 的直径//MN CD ，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅ 的最小值为．【解析】如图，连结PO ，显然OM ON =- ，则222()()()()4PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，点P 在正六边形ABCDEF 的边上运动，O 是其中心，因此||PO 的最小值等于中心O 到正六边形的边的距离，又中心O 到正六边形的边的距离为342⨯=，所以PM PN ⋅ 的最大值为248-=．故答案为：8．45．（2023春•西城区校级期中）正ABC ∆的边长为1，中心为点O ，过O 的动直线l 与边AB 、AC分别相交于点M 、N ，AM AB λ= ，AN AC μ= ，BD DC = ，0λμ≠，给出下列四个结论：①1133AO AB AC =+ ；②若2AN NC = ，则14AD NC ⋅=- ；③11λμ+不是定值，与直线l 的位置有关；④AM AN ⋅ 的最小值为29．其中所有正确结论的序号是．【解析】 BD DC = ，D ∴为BC 的中点，则11111()22222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，O 为正ABC ∆的中心，∴211333AO AD AB AC ==+ ，故①正确；若2AN NC = ，则13NC AC = ，211||||cos 122AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯= ，∴2111111()()223664AD NC AB AC AC AB AC AC ⋅=+⋅=⋅+= ，故②错误；M ，O ，N 三点共线，设()MO tMN t R =∈ ，即()AO AM t AN AM -=- ，∴(1)AO t AM t AN =-+ ，AM AB λ= ，AN AC μ= ，∴11113333AO AB AC AM AN λμ=+=+ ， AM 、AN 不共线，∴由平面向量基本定理可得11313t t λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11133λμ+=，∴113λμ+=，故③错误；过O 的动直线l 与边AB 、AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ= ，AN AC μ=，01λ∴< ，01μ<，由113λμ=+49λμ ，当且仅当23λμ==时，等号成立，12||||cos 329AM AN AB AC AB AC AB AC πλμλμλμλμ⋅=⋅=⋅=⋅= ，当且仅当23λμ==时等号成立，故AM AN ⋅ 的最小值为29，故④正确．故答案为：①④．46．（2023春•西城区校级期中）已知向量(cos ,sin )a x x =，(2cos )b x x = ．（1）若[0x ∈，]π，当//a b 时，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅ ．（ⅰ）求()f x 的最小正周期；（ⅱ）当[0x ∈，]m 时，()f x 可以取得2次最大值，求m 的取值范围．【解析】（1）由题设22sin cos x x x =21)sin 2x x +=，所以sin 222sin(2)3x x x π=-=sin(2)3x π-=，由52[,]333x πππ-∈-，故233x ππ-=或2233x ππ-=，则3x π=或2x π=．（2）由2()2cos cos cos 2212sin(2)16f x x x x x x x π=+=++=++，()()i f x 的最小正周期22T ππ==；()ii 由题设[0x ∈，]m 可得2[66x ππ+∈，2]6m π+，因为()f x 可以取得2次最大值，所以5226m ππ+ ，故76m π ，故m 的取值范围为7{|}6m m π ．。

完整版)平面向量历年高考题汇编——难度高

完整版)平面向量历年高考题汇编——难度高1.题目中给出了两个命题p和q，要求判断哪个是真命题。

p是关于向量a、b、c的等式，q是关于向量a、b、c的平行关系。

因为p和q都是关于向量a、b、c的命题，所以可以将它们合并成一个命题，即“若a·b＝，b·c＝，且a∥b，b∥c，则a·c＝”。

然后通过代入向量的坐标进行计算，可以得出a·c ＝，因此命题p和q都是真命题，答案为B。

2.已知AO＝(AB＋AC)，需要求出∠BAC的大小。

可以通过向量的几何意义进行推导，将向量AB和AC分别平移至点O，得到向量AO＝AB＋AC，这说明向量AO是向量AB和AC的合成向量。

根据三角形余弦定理，有cos∠BAC＝(AB·AC)/(AB*AC)，化简后得到cos∠BAC＝1/2，所以∠BAC ＝60°，答案为60.3.首先计算出向量a和向量b的夹角θ，有cosθ＝a·b/(|a||b|)，代入向量的坐标计算得到cosθ＝9/(√5*√21)，然后可以根据向量的线性运算得到向量c＝(m+4.2m+4)，并且c与a的夹角等于θ，c与b的夹角也等于θ。

根据向量的数量积公式，有cosθ＝c·a/(|c||a|)＝(m+6)/(√[(m+4)²+(2m+4)²]*√5)，代入cosθ的值计算得到m＝-2，因此答案为A。

4.根据中线定理，有EB＝FC＝AB/2，因此EB＋FC＝AB＝11，答案为A。

5.根据平行四边形对角线的性质，有OA＋OC＝OB＋OD＝2OM，因此OA＋OB＋OC＋OD＝4OM，答案为4OM。

6.根据向量的数量积公式，有a·b＝|a||b|cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。

因为a＝1，|b|≤1，所以a·b＝|b|cosθ≤cosθ。

根据平行四边形面积公式，有|a×b|＝|a||b|sinθ/2，因此|a×b|≤|a||b|/2＝1/2.将a＝1，b＝1/2代入可得cosθ≥1/4，因此-3π/4≤θ≤3π/4，答案为[-3π/4.3π/4]。

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历年自主招生试题分类汇编——平面向量
4．（2010年北约）向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，
01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当01
05t <<时，夹角的取值范围．
（25分）【解析】不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令
2
22()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．
其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1
154cos 3
αα+-+≤≤．
当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<
．当12cos 1054cos α
α
+-<+≤
时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．
于是夹角的范围为2[,]23
ππ
．
（4）（2012年华约）向量a e ≠，||1e =。

若,||||t R a te a e ∀∈-≥+，则（）
(A) a e ⊥ (B) ()a a e ⊥+ (C) ()e a e ⊥+ (D) ()()a e a e -⊥+
解析：由于,||||t R a te a e ∀∈-≥+，那么22||||a te a e -≥+，即22
()()a te a e -≥+ ，从
而有
2222
2
22e t a et a e a e a -⋅+≥+⋅+
即t R ∀∈，2
2120t a et a e -⋅--⋅≥，因此24()4(12)0a e a e ⋅++⋅≤，得到2
(1)0a e ⋅+≤，即1a e ⋅=-。

因此有
2
()||110e a e e a e ⋅+=⋅+=-+=，从而()e a e ⊥+。

选C 7、（2011年华约）已知向量3131
(0,1),(,),(,),(1,1)2222
a b c xa yb zc ==-
-=-++=则222x y z ++ 的最小值为(
)
43
A1B C D 232
解：由(1,1)xa yb zc ++=得
1)122211222
y z y z y z y z x x ⎧⎧-+=--=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩，由于222222
()()2
y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y
+ z ，y - z
三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧
-=⎪
⎨⎪+=-⎩
，代入
222222
()()2
y z y z x y z x ++-++=+
22222824
2(1)343()3333
x x x x x =+-+=-+=-+，答案B
2．（2010年华约）设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为
（ D ）
（A ）2 （B
（C ）1 （D
4.(填空)12,n n 是两个夹角为θ的单位矢量.以12,n n 为基底的坐标系中1222(,),(,)A x y B x y ,求
||AB .
【解】以1n 方向为x 轴建立直角坐标系,
于是,A B 的直角坐标为111222(cos ,sin ),(cos ,sin )x y y x y y θθθθ++,则
222121212||(cos cos )(sin sin )AB x x y y y y θθθθ=-+-+-
2212121212()()2()()cos x x y y x x y y θ=-+-+--,
于是||AB =1、
（2013年卓越联盟）设点O 在ABC △的内部，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，且21OD OE +=，则23OA OB OC ++= ．
答案:（理科）2． 2、
（2013年卓越联盟）设点O 在ABC △内部，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，且232OA OB OC ++=，则2OD OE += ．
答案:（文科）1．
（4）（2012年卓越联盟）已知ABC ∆中，o 90A ∠=，4BC =，点A 是线段EF 的中点，2EF =，若EF 与BC 的夹角为o 60，则BE CF = 。

【解答】根据条件知()()BE CF BA EA CA FA BA CA BA FA EA CA EA FA ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅ ()
011114cos6011EA CA BA EA EA BA CA EA BC =-⋅+⋅-=⋅--=⋅-=⨯⨯︒-=。

(1) （2011年卓越联盟）向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( B )
(A )
6
π
(B )
3
π
(C )
23
π (D )
56
π。