燕尾定理与蝴蝶三角形 直线型知识点.
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第二讲燕尾定理与蝴蝶定理
基础知识
之前我们学了一些直线型的皮毛,今天,让我们系统的学习直线型吧!下面是同学们在做题时常用的几条定理或结论。一、同高三角形,鸟头定理和燕尾定理: (1同高三角形面积的比等于底的比;如右图中:
S △ABD : S △ACD = BD : CD
推论1:平行线间同底的三角形面积相等。如图:
361633
⨯⨯
=平方厘米。
例2如图中A、B两点分别是长方形长和宽的中点,那么阴影部
分的面积是长方形面积的___________(填几分之几。(3
8
解:如右图我们把BC连结起来,就可知道S 3是长方形面积一半的一半S 2是长方形面积一半的一半的一半
所以阴影部分的面积就是长方形面积的113488
+=
例3如图,△ABC中,CD =3AD ,EC =3BE ,那△ABO的面积占△ABC面积的________分之_________;
O
C
D A B
O
D
C
A
B
A
C
A
C
S 3
S 2
S 1所以:111
224AOD BOC S S DF AO BE OC DF AO BE OC ∆∆⋅=
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 111
224
AOB COD
S S BE AO DF OC DF AO BE OC ∆∆⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅所以:CO D AO B BO C AO D S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅
E
A
C
B
D O
C A
E
解:
我们先连结
OC ,然后就会发现两个燕尾(下图第2
图,第3图:
然后我们根据燕尾定理可知
1213S S =,1313S S =,所以112311
1337
S S S S ==++++所以△ABO的面积占△ABC面积的
1
7
同一类型的题(如右图所示,我们整理一下会发现:
1
1AOB ABC S EC DC
四、交叉相乘:
如右图所示,对任意凸四边形ABCD有:
CO D AO B BO C AO D S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅(交叉相乘
证明:如图,过点B ,D作AC的高BE ,DF则有:1
2AOD S DF AO ∆=
⋅ 1
2BOC S BE OC ∆=⋅
1
2COD S DF OC ∆=⋅
1
2
AOB S BE AO ∆=⋅
例1三角形ABC的面积为36平方厘米,D上分别为BC、AC边上的三等分点(如图。则三角形ADE的面积为__________平方厘米。
解:因为DC=2BD所以
2
3
ADC ABC S DC S BC ∆∆==因为AE=2EC所以
2
3
ADE ADC S AE S AC ∆∆==所以三角形ADE的面积为22
S AC
∆∆=
两个式子相乘得到:
A D E A
B E
A B E A B C
S S AD AE
S S AB AC
∆∆
∆∆
⋅=
⋅
即:ADE ABC S AD AE
S AB AC
∆∆⋅=
⋅
推论5:燕尾定理:如右两图所示,均有:
ABE ACE S BD
S CD
∆∆=
(因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于BD
BOC AOD S S ∆∆=(蝴蝶三角形
(因为ADC BDC S S ∆∆=,这两个三角形同时减去DOC S ∆就得到了BOC AOD S S ∆∆=
A
B
C
D
A D B
C E
推论4:鸟头定理——如右图所示则有:
ADE ABC S AD AE
S AB AC
∆∆⋅=
⋅
证明:连结BE ,则有:
ADE ABE S AD S AB ∆∆=,ABE ABC S AE
S △ABC = S △ADB = S △AEB (因为它们同底等高
推论2:长方形中以一条边为底,顶点在对边的三角形的面积是此长方形面积的一半。如图: S △ABC = S △BEC = S △BFC = S △BDC =
1
2
S ABDC (因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除2
推论3:梯形中的蝴蝶三角形——梯形中由对角线分成的左右两个三角形面积相等。如图:
==33
S S阴,
做这道题需要同学们对六边形的各条边的长短很了解才行。
B
C
S 7
S 5
S 6
S 4
S 3
S 2
S 1
CD AB
OD OB OC OA == OA OB
AC BD
= 2
2
2
AOB COD S OA OB AB S OC OD CD ∆∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
推论:配合沙漏型的规律,只要知道了梯形被对角线分成的四个三角形中两个不同的三角形的面积,就可以知道每一个三角形的面积,进而知道总面积。如图:
S EA BD
=
++例4
如图,正六边形的面积为6,那么阴影部分的面积是多少?
解:我们添加2条辅助线:观察下图可以看到S 2 =S 3 =S 4 =S 5 =S 6 =S 7
根据“沙漏定理”我们知道
214511
(24
S S S ==+
而12+3+4+511
==
=32
S S S S S ++阴六边形然后可以算出118
CD
二、正方形面积等于对角线的平方除以2.如图: S ABDC =
12S AEFC =12
AC 2
(很明显,大正方形面积是小正方形的两倍,因
为大正方形有4个直角三角形,而小的只有2个
A
B
C
D
EFra Baidu bibliotek
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
E
三、平行线分线段成比例:
“金字塔”和“沙漏”,
如右两图所示:
如果AB与CD平行,那么:
基础知识
之前我们学了一些直线型的皮毛,今天,让我们系统的学习直线型吧!下面是同学们在做题时常用的几条定理或结论。一、同高三角形,鸟头定理和燕尾定理: (1同高三角形面积的比等于底的比;如右图中:
S △ABD : S △ACD = BD : CD
推论1:平行线间同底的三角形面积相等。如图:
361633
⨯⨯
=平方厘米。
例2如图中A、B两点分别是长方形长和宽的中点,那么阴影部
分的面积是长方形面积的___________(填几分之几。(3
8
解:如右图我们把BC连结起来,就可知道S 3是长方形面积一半的一半S 2是长方形面积一半的一半的一半
所以阴影部分的面积就是长方形面积的113488
+=
例3如图,△ABC中,CD =3AD ,EC =3BE ,那△ABO的面积占△ABC面积的________分之_________;
O
C
D A B
O
D
C
A
B
A
C
A
C
S 3
S 2
S 1所以:111
224AOD BOC S S DF AO BE OC DF AO BE OC ∆∆⋅=
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 111
224
AOB COD
S S BE AO DF OC DF AO BE OC ∆∆⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅所以:CO D AO B BO C AO D S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅
E
A
C
B
D O
C A
E
解:
我们先连结
OC ,然后就会发现两个燕尾(下图第2
图,第3图:
然后我们根据燕尾定理可知
1213S S =,1313S S =,所以112311
1337
S S S S ==++++所以△ABO的面积占△ABC面积的
1
7
同一类型的题(如右图所示,我们整理一下会发现:
1
1AOB ABC S EC DC
四、交叉相乘:
如右图所示,对任意凸四边形ABCD有:
CO D AO B BO C AO D S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅(交叉相乘
证明:如图,过点B ,D作AC的高BE ,DF则有:1
2AOD S DF AO ∆=
⋅ 1
2BOC S BE OC ∆=⋅
1
2COD S DF OC ∆=⋅
1
2
AOB S BE AO ∆=⋅
例1三角形ABC的面积为36平方厘米,D上分别为BC、AC边上的三等分点(如图。则三角形ADE的面积为__________平方厘米。
解:因为DC=2BD所以
2
3
ADC ABC S DC S BC ∆∆==因为AE=2EC所以
2
3
ADE ADC S AE S AC ∆∆==所以三角形ADE的面积为22
S AC
∆∆=
两个式子相乘得到:
A D E A
B E
A B E A B C
S S AD AE
S S AB AC
∆∆
∆∆
⋅=
⋅
即:ADE ABC S AD AE
S AB AC
∆∆⋅=
⋅
推论5:燕尾定理:如右两图所示,均有:
ABE ACE S BD
S CD
∆∆=
(因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于BD
BOC AOD S S ∆∆=(蝴蝶三角形
(因为ADC BDC S S ∆∆=,这两个三角形同时减去DOC S ∆就得到了BOC AOD S S ∆∆=
A
B
C
D
A D B
C E
推论4:鸟头定理——如右图所示则有:
ADE ABC S AD AE
S AB AC
∆∆⋅=
⋅
证明:连结BE ,则有:
ADE ABE S AD S AB ∆∆=,ABE ABC S AE
S △ABC = S △ADB = S △AEB (因为它们同底等高
推论2:长方形中以一条边为底,顶点在对边的三角形的面积是此长方形面积的一半。如图: S △ABC = S △BEC = S △BFC = S △BDC =
1
2
S ABDC (因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除2
推论3:梯形中的蝴蝶三角形——梯形中由对角线分成的左右两个三角形面积相等。如图:
==33
S S阴,
做这道题需要同学们对六边形的各条边的长短很了解才行。
B
C
S 7
S 5
S 6
S 4
S 3
S 2
S 1
CD AB
OD OB OC OA == OA OB
AC BD
= 2
2
2
AOB COD S OA OB AB S OC OD CD ∆∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
推论:配合沙漏型的规律,只要知道了梯形被对角线分成的四个三角形中两个不同的三角形的面积,就可以知道每一个三角形的面积,进而知道总面积。如图:
S EA BD
=
++例4
如图,正六边形的面积为6,那么阴影部分的面积是多少?
解:我们添加2条辅助线:观察下图可以看到S 2 =S 3 =S 4 =S 5 =S 6 =S 7
根据“沙漏定理”我们知道
214511
(24
S S S ==+
而12+3+4+511
==
=32
S S S S S ++阴六边形然后可以算出118
CD
二、正方形面积等于对角线的平方除以2.如图: S ABDC =
12S AEFC =12
AC 2
(很明显,大正方形面积是小正方形的两倍,因
为大正方形有4个直角三角形,而小的只有2个
A
B
C
D
EFra Baidu bibliotek
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
E
三、平行线分线段成比例:
“金字塔”和“沙漏”,
如右两图所示:
如果AB与CD平行,那么: