高斯的正十七边形
正十七边形作图
1. 如圖, 以 O 為圓心作圓，過 O 作直徑 AC; 2. 過 O 作 AC 的垂線，交圓於 B; 3. 在 OB、OC 上 分別 截 取 I、D 使 得 OI = 1 1 OA, OD= OA; 4 16 4. 以 D 為 圓 心, DI 為 半 徑 作 圓,分 別 交 OA、OC 於 W1 , W2 ; 5. 以 W1 為 圓 心, W1 I 為 半 徑 作 弧,交 W1 A 於 E1 ; 6. 以 W2 為 圓 心, W2 I 為 半 徑 作 弧,交 W1 A 於 E3 ; P5
m
4. 在邊數不超過 100 的正多邊形中，僅用尺規 作 圖 的 有 24 個 。 它 們 分別 是: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96 邊形。 1
4.3
+
B P4
+ +
P3 P2
+
P7
+
P1 K P8 C P9
+ + + + + + + P11 + P12 + + +
I
+
N5 F
+
O E
N3
+
A
P16
P10
P15
+
P14
P13
3
4.5
正 十 七 邊 形 作 圖 :方法(三 )
1. 如圖, 以 O 為圓心作圓，作兩條彼此正交的直徑 AB 和 CD; 2. 過 A 與 D 分別作切線交於 S; 1 3. 在 AS 上取點 E 使得 AE = AS ; 4 4. 以 E 為圓心, OE 為半徑,作弧交 AS 於 F, F’; 5. 以 F 為圓心, OF 為半徑,作弧交 AS 於 H; 6. 以 F’ 為圓心, OF’ 為半徑,作弧交 AS 於 H’; 7. 過 H 作 AH 的垂線交 OC 的延線於 T; 8. 延長 HT 至 Q, 使得 TQ = AH’; 9. 以 BQ 為直徑,作圓交 CT 於 M; 10. 作 OM 的中垂線, 交圓於 P; 11. 以 P 為圓心, PC 為半徑,在圓周上靠 B 的一邊截取 P1 點; 12. 從 P1 出發在圓周上以 P P1 為半徑截取 P2 , P3 , · · · , P15 作為正十七邊形的各頂點。 B
数学家高斯正17边形的故事
数学家高斯正17边形的故事朋友，今天我跟你唠唠咱数学界的一个传奇人物——高斯和他的正17边形。
说起高斯啊，他那脑子聪明得像开了光似的。
话说有一天，这高斯才20岁，正值人生的大好年华。
你可能在琢磨，这大数学家难道青春期不折腾点别的么？嘿，他可不走寻常路，偏偏在数圈儿里找乐子。
听说那年春天，花儿正开得烂漫，高斯突然眉头一挑，心里头就有了个大想法：我得解开这17边形的秘密啊！这正17边形，可是个难啃的硬骨头呀。
之前的数学家们都抓耳挠腮，愁着哪里下手。
不过，高斯这小子不一般，他的聪明劲儿就像老张头果园里的水蜜桃一样，透着灵光闪闪。
一天傍晚，他一个人在屋里来回踱步，心思深沉，就像个大哲学家思考人生。
就在这会儿，他的灵光乍现，像水蜜桃熟透了，突然间“啪”地掉下来开花。
高斯用他的绝顶聪明，找到了一种能构造正17边形的方法！朋友，你知道吗？这可是从古希腊起，经过了一千多年的数学难题啊。
我当时要是在现场，简直要为他拍手叫绝。
高斯这小子厉害吧，解开个17边形，不光是数学上的伟大突破，还让其他数学家都倒吸一口凉气。
他那时候心情就跟村儿里过大年的时候似的，特别的喜气洋洋。
当然了，这故事不仅仅是个关于几何的胜利，更是高斯这人，不管多难的题，敢于挑战的勇气和信心。
他用这种精神灌注到整个数学界，引得后来的学者们纷纷效仿。
想想看，就像高斯打破了人们对几何的禁锢，人生也得学会打破束缚，就如同品尝一个不同寻常的水蜜桃，你永远不知道会爆出什么样的惊喜。
至于正17边形怎么画呢，嘿，咱就交给那些数学高手们去琢磨吧，咱就享受这傻乐呵的快乐就好啦。
朋友，你要是对数学或者高斯这小子的其他故事有兴趣，也欢迎来跟我一起聊聊。
咱也许不能像高斯那样聪明绝顶，但一定能从这些传奇故事里汲取到些许智慧，过好咱自己的小日子。
高斯与正十七边形
高斯与正十七边形数学就象一棵美丽的星球，他那博大精深、简明透彻的数学美就是他的引力场。
许许多多人类的精英被他的引力所吸引，投入他的怀抱为他献出了自己毕生的精力。
被誉为“数学王子”的伟大数学家高斯就是其中之一。
高斯是个数学天才，幼年时巧妙地计算1＋2＋3＋…＋100为101×50＝5050的故事几乎尽人皆知。
其实，学生日期的高斯不仅数学成绩优异，而且各科成绩都名列前茅。
小学毕业后，高斯考了文科学校。
由于他古典文学成绩突出，入学后直接上了二年级。
两年以后高斯又升入了高中哲学班。
15岁时，高斯在一位公爵的资助下上了大学－卡罗琳学院。
在那里，他掌握了希腊文、拉丁文、法文、英文有丹麦文，又学会了代数、几何、微积分。
语言学和数学是他最喜爱的两门课程。
18岁时，高斯进入了哥廷根大学深造。
这时，高斯面临着一个非常痛苦的选择：是把语言学作为自己的终生事业？还是把数学作为自己的终生事业？两棵下不了决心进行最后的选择。
后来，一次数学研究上的突破改变了两个引力场的均衡。
高斯终于下定决心，飞向了数学之星。
事情是这样的，尺规作图是几何学的重要内容之一，从古希腊开始，人们一直认为正多边形是最美的图形，因此，用尺规作图法能够作出哪些正多边形，历来就是一个极具魅力的问题。
到高斯的时代，人们已经解决了边数是n 23•、n 24•、n 25•、n 253••（=n 0,1，2,3……）的正多边形的尺规作图问题。
但是，还没有人能作出正7边形、正11边形、正17边形等等。
很多人认为，当边数是大于5的素数时，那样的正多边形是不可以用尺规作图完成的。
高斯一直对正多边形尺规作图问题非常着迷。
经过持久地，如醉如痴的思考与画图，于1796年3月30日，19岁的高斯出人意料地作出了正17边形。
并且，他把正多边形作图问题与高次方程联系起来，彻底解决了哪些正多边形能作出，哪些正多边形不能作出。
他证明了一切边数形如122+t（=t 0,1，2,3，……）的正多边形都只可以作出，而边数为7、11、14，……的正多边形是作不出的。
历史名人故事：高斯
历史名人故事：高斯高斯求和故事：1785年，8岁的小高斯在德国农村的一所小学里念一年级。
数学老师是城里来的。
他有一个偏见，总觉得农村孩子不如城里孩子聪明。
不过，他对孩子们的学习，还是严格要求的。
他最讨厌在课堂上不专心听讲、爱做小动作的学生，常常用鞭子敲打他们。
孩子们很爱听他的课，因为他经常讲一些非常有趣的东西。
有一天，他出了一道算术题。
他说：“你们算一算，1加2加3，一直加到100等于多少?谁算不出来，就不准回家吃饭。
”说完，他就坐在椅子上，用目光巡视着趴在桌上演算的学生。
不到一分钟的工夫，小高斯站了起来，手里举着小石板，说：“老师，我算出来了……”没等小高斯说完，老师就不耐烦的说:“不对!重新再算！”小高斯很快的检查了一遍，高声说:“老师，没错！”说着走下座位，把小石板伸到老师面前。
老师低头一看，只见上面端端正正的写着“5050"，不禁大吃一惊。
他简直不敢相信，这样复杂的数学题，一个8岁的孩子，用不到一分钟的时间就算出了正确的得数。
要知道，他自己算了一个多小时，算了三遍才把这道题算对的。
他怀疑以前别人让小高斯算过这道题。
就问小高斯:“你是怎么算的?”小高斯回答说：“我不是按照1, 2, 3的次序一个一个往上加的。
老师，你看，一头一尾的两个数的和都是一样的:1加100是101, 2加99时101, 3加98也是101.....一前一后的数相加，一共有50个101, 101乘50，得到5050。
”小高斯的回答使老师感到吃惊。
因为他还是第一次知道有这种算法。
他惊喜的看着小高斯，好像刚刚才认识这个穿着破烂不堪的，砌砖工人的儿子。
不久，老师专门买了一本数学书送给小高斯，鼓励他继续努力，还把小高斯推荐给当地教育局，使他得到免费教育的待遇。
后来，小高斯成T世界著名的数学家。
人们为了纪念他，把他的这种计算方法称为“高斯定理”。
这个计算题相信大家在数学学习中都有所涉猎了，这还只是高斯其中一个较小的成就，他在数学上的成就颇多。
解读数学王子高斯正十七边形的作法-上
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法（上）江苏省泰州市朱庄中学曹开清 225300一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1＋2＋3＋4＋5＋……＋98＋99＋100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 ＋2 ＝3，3＋3＝6，6＋4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
GAUSS与正十七边形
GAUSS与正十七边形用直尺和圆规作出圆内接正七、正九、正十一、正十三、正十七边形, 是从古希腊以来两千多年悬而未决的著名数学难题; 它困扰了许多著名的数学家,有的甚至为之付出终身的努力,却毫无所获. 但是,此难题却被18岁的高斯在1796年3月30日功克.高斯是18~19世纪最伟大的数学家, 近代数学的奠基人之一. 他被称为〝数学王子〞, 〝数学巨人〞. 假设说世界上有神童的话, 那么高斯就是其中的一位. 听说他三岁就发现了他父亲算帐时出现的错误, 10岁时已表现出超群的数学思想才干.有一次,教员出了一道题: 把1到100的整数全部加起来. 其他同窗都拿起笔来一个一个地加, 高斯却坐在那一动也不动. 教员走到跟前问他为什么不做, 他却立刻报出了答案: 5050. 他的做法是: 把1和100相加得101, 2和99相加也是101, 3和97相加还是101; 如此下去, 共有50个101. 因此, 得数为101×50 = 5050. 教员慨叹地说〝他曾经超越我了, 我没有什么可以教他的了〞.15岁时, 高斯进入了卡罗琳学院, 学习了牛顿, 拉格郎日, 欧拉等人的著作, 很快掌握了微积分实际.18岁时, 高斯进入哥廷根大学. 在一次偶然的阅读中, 他知道了用直尺和圆规作出圆内接正七边形的难题. 这使他十分着迷, 并决计要功克它. 他首先查找出先人的作图方法, 细心研讨他们失败的缘由, 经过半年多的努力, 他终于作出了正七边形; 接着, 正九、正十一、正十三边形都被他逐一克制. 没多久, 正十七边形也被他功克.面对第一次取得的成功, 高斯异常兴奋, 决计把自己的终身献给数学. 1801年, 他宣布了<<算术研讨>>,论述了数论和初等代数的一些效果. 高斯对数学的研讨触及很多方面,除了在复变函数\\统计数学\\椭圆函数论上有突出贡献外, 他在向量剖析\\正态散布的正轨曲线\\质数定理的验算研讨上也取得了效果.在高斯逝世后, 哥廷根大学为他建造了一个以正十七边形棱柱为底座的纪念像, 以纪念他终身中的第一个严重发现.。
正十七边形尺规作图与详解
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一.高斯的传奇故事高斯）,德国数学家.物理学家.天文学家.有一天,年幼的高斯在一旁看著作水泥工场领班的父亲盘算工人们的周薪.父亲算了好一会儿,终于将成果算出来了.可是切切没想到,他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸,你算错了,总数应当是……”父亲觉得很惊奇,赶忙再算一遍,成果证实高斯的答案是对的.这时的高斯只有3岁！高斯上小学了,教他们数学的先生布特勒(Buttner)是一个立场良好的人,他授课时从不斟酌学生的接收才能,有时还用鞭子奖励学生.有一天,布德勒让全班学生盘算 1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和,并且威逼说：“谁算不出来,就不准回家吃饭！”布德勒说完,就坐在一旁独自看起小说来,因为他认为,做如许一道标题是须要些时光的.小同伙们开端盘算：“1 + 2 ＝3,3+3＝6,6+4＝10,……”数越来越大,盘算越来越艰苦.但是不久,高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边.高斯说：“先生,我做完了,你看对不合错误？“做完了？这么快就做完了？确定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬,挥挥手说：“错了,错了！归去再算！”高斯站着不走,把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的.”布德勒昂首一看,大吃一惊.小石板上写着 5050,一点也没有错！高斯的算法是 1 ＋ 2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋ 2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯其实不知道,他用的这种办法,其实就是古代数学家经由长期尽力才找出来的求等差数列和的办法,那时他才八岁！1796年的一天,德国哥廷根大学.高斯吃完晚饭,开端做导师给他单独安插的三道数学题.前两道题他不费吹灰之力就做了出来了.第三道题写在另一张小纸条上：请求只用圆规和没有刻度的直尺,作出一个正十七边形.这道题把他难住了——所学过的数学常识竟然对解出这道题没有任何帮忙.时光一分一秒的曩昔了,第三道题竟毫无进展.他绞尽脑汁,测验测验着用一些超通例的思绪去追求答案.当窗口露出曙光时,他终于解决了这道难题. 当他把功课交给导师时,觉得很忸捏.他对导师说：“您给我安插的第三道题,我竟然做了整整一个彻夜,……”导师看完功课后,冲动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年汗青的数学悬案！阿基米得没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你是一个真正的天才！”本来,导师也一向想解开这道难题.那天,他是因为拿错了,才将写有这道标题标纸条交给了学生. 在这件工作产生后,高斯曾回想说：“假如有人告知我,那是一道千古难题,我可能永久也没有信念将它解出来.”1796年3月30日,当高斯差一个月满十九岁时,在期刊上揭橥《关于正十七边形作图的问题》.他显然以此为骄傲,还请求今后将正十七边形刻在他的墓碑上.然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形,而刻着一颗十七角星,本来是负责刻纪念碑的镌刻家认为：“正十七边形和圆太像了,刻出来之后,每小我都邑误认为是一个圆.”1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章.上面刻着：“汉诺威王乔治V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”,自那之后,高斯就以“数学王子”着称于世.二.高斯正十七边形尺规作图的思绪（这里是纯三角法）作正十七边形的症结是作出cos 172π,为此要树立求解cos 172π的方程.设正17边形中间角为α,则17α＝2π,即16α＝2π－α故sin16α＝－sinα ,而sin16α＝2sin8α cos8α＝4sin4α cos4α cos8α＝8 sin2α cos2α cos4α cos8α＝16 sinα cosα cos2α cos4α cos8α因sinα ≠0,双方除以sinα,有16cosα cos2α cos4α cos8α＝－1由积化和差公式,得4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1睁开,得4(cosα cos4α＋cosα cos12α＋cos3α cos4α＋cos3α cos12α)＝－1 再由积化和差公式,得2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(cosα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1留意到 cos11α＝cos6α,cos13α＝cos4α,cos9α＝cos8α,cos15α＝cos2α,有2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1设 a ＝2(cosα+ cos2α+cos4α+ cos8α),b ＝2(cos3α+ cos5α+cos6α+ cos7α),则 a ＋b ＝－1又ab ＝2(cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α)·2(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＝4cosα(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos2α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos4α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos8α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)再睁开之后共16项,对这16项的每一项运用积化和差公式,可得：ab ＝2 [(cos2α＋cos4α)＋(cos4α＋cos6α)＋(cos5α＋cos7α)＋(cos6α＋cos8α)＋(cosα＋cos5α)＋(cos3α＋cos7α)＋(cos4α＋cos8α)＋(cos5α＋cos9α)＋(cosα＋cos7α)＋(cosα＋cos9α)＋(cos2α＋cos10α)＋(cos3α＋cos11α)＋(cos5α＋cos11α)＋(cos3α＋cos13α)＋(cos2α＋cos14α)＋(cosα＋cos15α)]留意到cos9α＝co s8α,cos10α＝cos7α, cos11α＝cos6α,cos13α＝cos4α,cos14α＝cos3α,cos15α＝cos2α,有ab ＝2×4(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－4因为cosα＋cos2α＋cos8α＝(cos172π＋cos 174π)＋cos 1716π ＝2cos 17πcos 173π－cos 17π＝2cos 17π(cos 173π－21) 又 0 < 173π < 3π < 2π所以cos 173π> 21即cosα＋cos2α＋cos8α > 0 又因为 cos4α＝cos 178π> 0所以 a ＝cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α > 0又 ab ＝-4< 0所以有a > 0, b< 0可解得a ＝2171+-,b ＝2171-- 再设c ＝2(cosα＋cos4α),d＝2(cos2α＋cos8α),则c+d ＝acd ＝2(cosα+ cos4α)·2(cos2α+ cos8α)＝4 (cosαcos2α＋cosαcos8α＋cos4αcos2α＋cos4αcos8α)＝2 [(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos9α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos12α)]留意到cos9α＝cos8α, cos12α＝cos5α,有cd ＝2[(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos8α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos5α)]＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α) ＝-1因为 0 < α < 2α < 4α < 8α < π所以 cosα > cos2α,cos4α > cos8α两式相加得 cosα＋cos4α> cos2α＋cos8α或2(cosα＋cos4α)> 2(cos2α＋cos8α)即 c > d,又 cd＝-1 < 0所以有c > 0, d < 0可解得c＝24 2++aa,【 d＝24 2+-aa】相似地,设e＝2(cos3α＋cos5α),f＝2(cos6α＋cos7α)则e+f＝bef＝2(cos3α＋cos5α)·2(cos6α＋cos7α)＝4(cos3αcos6α＋cos3αcos7α＋cos5αcos6α＋cos5αcos7α)＝2 [(cos3α＋cos9α)＋(cos4α＋cos10α)＋(cosα＋cos11α)＋(cos2α＋cos12α)]留意到cos9α＝cos8α,cos10α＝cos7α, cos11α＝cos6α,cos12α＝cos5α,有ef＝2[(cos3α＋cos8α)＋(cos4α＋cos7α)＋(cosα＋cos6α)＋(cos2α＋cos5α)]＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝-1因为0 < 3α < 5α < 6α < 7α < π所以有cos3α > cos6α,cos5α > cos7α两式相加得cos3α＋cos5α> cos6α＋cos7α2(cos3α＋cos5α)> 2(cos6α＋cos7α)即 e > f,又 ef＝-1 < 0所以有 e > 0, f < 0可解得e ＝242++b b ,【f ＝242+-b b 】 由c ＝2(cosα＋cos4α),得cosα＋cos4α＝2c,即cos 172π＋cos 178π＝2ce ＝2(cos3α＋cos5α),运用积化和差公式,得cosαcos4α＝4e,即cos 172πcos 178π＝4e因为0<172π<178π<2π,所以cos 172π>cos 178π>0 所以cos 172π＝442e c c -+,【cos 178π＝442e c c --】 于是,我们得到一系列的等式：a ＝2171+-,b ＝2171--,c ＝242++a a ,e ＝242++b b , cos 172π＝442e c c -+ 有了这些等式,只要依次作出a.b.c.e,即可作出cos172π.步调一：给一圆O,作两垂直的半径OA.OB,作C 点使OC ＝1/4OB,作D 点使∠OCD ＝1/4∠OCA,作AO 延伸线上E 点使得∠DCE ＝45度.步调二： 作AE 中点M,并以M 为圆心作一圆过A 点,此圆交OB 于F 点,再以D 为圆心,作一圆过F 点,此圆交直线OA 于G4和G6两点.步调三：过G4作OA 垂直线交圆O 于P4,过G6作OA 垂直线交圆O 于P6,则以圆O 为基准圆,A 为正十七边形之第一极点P4为第四极点,P6为第六极点.衔接P4P6,以1/2弧P4P6为半径,在圆上不竭截取,即可在此圆上截出正十七边形的所有极点.汗青最早的十七边形画法创造工资高斯.高斯(1777~1855年),德国数学家.物理学家和天文学家.在童年时期就表示出不凡的数学天才.三岁学会算术,八岁因发明等差数列乞降公式而深得先生和同窗的钦佩.1799年以代数根本定理的四个英俊证实获得博士学位.高斯的数学成就普遍各个范畴,个中很多都有着划时期的意义.同时,高斯在天文学.大地测量学和磁学的研讨中也都有出色的进献.1801年,高斯证实：假如k是质数的费马数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本身就是依据这个定理作出了正十七边形,解决了两千年来悬而未决的难题.道理当时,假如高斯的先生告知了高斯这是道2000多年没人解答出来的标题,高斯就不会画出这个正十七边形.这说清楚明了你不怕艰苦,艰苦就会被霸占,当你害怕艰苦,你就不会成功.正十七边形的证实办法正十七边形的尺规作图消失之证实:设正17边形中间角为a,则17a=360度,即16a=360度-a故sin16a=-sina,而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,双方除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1留意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有:x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)经盘算知xy=-1又有x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+根号17)/4y1+y2=(-1-根号17)/4最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法(上)精品文档7页
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
一个漂亮的证明与作图：高斯的正十七边形
⼀个漂亮的证明与作图：⾼斯的正⼗七边形⼀天晚上，19岁正读博的⾼斯的导师由于疏忽将两千多年未解决的⼀个问题——尺规做正⼗七边形留给了⾼斯，⾼斯优哉游哉得咬着笔头写着作业，然后表情严肃起来，妈的这题有点BT啊！想啊想，通宵⼀晚，伴着拂晓的晨光，⾼斯铅笔⼀扔，胸⼝长舒⼀⼝⽓。
⼼说，唉，最近智商⼜下降了，想我9岁算1+2+3……+100也没⽤这么长时间啊，这么个破题居然花了⼀晚上时间！第⼆天拿给博导，博导惊了，对他说，这可是阿基⽶德⽜顿都没做出来的题啊！你真是个天才啊！下⾯附上作图步骤和证明。
⾸先基于这样⼀个简单的定理，⼀直线段a、b，则对于线段c满⾜c^2 + ac + b = 0(c是实根，线段长肯定是实数)，我们是能够做出c的。
这个定理采⽤的⼀个基本思路就是利⽤代数⽅法去建⽴起线段之间的联系，⽽这也是求得cos(2π/17)的核⼼思想。
令： a = 2(cos(2π/17) + cos(4π/17) + cos(8π/17) + cos(16π/17)) ①a1 = 2(cos(6π/17) + cos(10π/17) + cos(12π/17) + cos(14π/17)) ②通过和差化积、诱导公式，我们会得到a + a1 = -1 , a*a1 = -4，可通过还原建⽴⼀元⼆次等式，利⽤上述定理，可做长度为a、a1的线段。
令： b = 2(cos(2π/17) + cos(8π/17)) ③b1 = 2(cos(4π/17) + cos(16π/17)) ④通过和差化积、诱导公式，我们会得到b + b1 = a , b*b1 = -1，可做长度为b、b1的线段。
令： c = 2(cos(6π/17) + cos(10π/17)) ⑤c1 = 2(cos(12π/17) + cos(14π/17)) ⑥通过和差化积、诱导公式，我们会得到c + c1 = a1 , c*c1 = -1，可做长度为c、c1的线段。
高斯的作业：如何用尺规画十七边形？
⾼斯的作业：如何⽤尺规画⼗七边形？⼏⽇前天纵君（SKYLABS）和孩⼦曾经讲过伽利略著名的⽐萨斜塔⼩球落体试验，因此特别整理了《逻辑的胜利：⽐萨斜塔的⼩球落体试验》这篇⽂章给⼤家。
今天这篇关于“⾼斯”的⽂章，其实也来⾃与我给孩⼦讲的另外⼀个故事。
关于少年学霸⾼斯，有⼀个著名的段⼦是说他在读书时，有⼀次⽼师例⾏给他布置了三道课后作业题。
前两道题在两个⼩时内就边形。
19岁的⾼斯感到⾮常吃要求只⽤圆规和⼀把没有刻度的直尺，画出⼀个正17边形顺利完成了。
第三道题写在另⼀张⼩纸条上：要求只⽤圆规和⼀把没有刻度的直尺，画出⼀个正⼒。
时间⼀分⼀秒的过去了，第三道题竟毫⽆进展。
这位青年绞尽脑汁，但他发现，⾃⼰学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
但困难激起了他的⽃志终于当窗⼝露出曙光时，青年长舒了⼀⼝⽓，他终于结完了这道难题。
当⾼斯见到⽼师时，他有些内疚和⾃责的对⽼师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整⼀个通宵，我辜负了您对我的栽培……”。
⽼师接过学⽣的作业⼀看，当即惊呆了。
导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了⼀桩有两千多年历史的数学悬案！阿基⽶德没有解决，⽜顿也没有解决，你竟然⼀个晚上就解出来了。
你是⼀个真正的天才！”原来⽼师也⼀直想解开这道难题。
那天，他是因为失误，才将写有这道题⽬的纸条交给了学⽣。
据说⾼斯也视此为⽣平得意之作，还交待了要把正⼗七边形刻在他的墓碑上，但后来负责刻碑的⼈认为正⼗七边形实在和圆太像了，不容易分辨。
因此其⽤了多⾓形加以代替，以⽰纪念⾼斯的成就。
天纵君这⾥也特别找到了⾼斯墓地的照⽚，传说是否如此？⼤家可以仔细找找看看。
最后让我们⼀起⽤动图的⽅式，去欣赏⼀下这个经典⽽优美的尺规作图。
这样的尺规作图是如此经典⽽美丽，以⾄于它让我们深切的感受到了⼈的智慧所能达到的极限，体会到了⽤孩童都能看懂的⽅法和技巧去实现⼀个绚烂⽽复杂的架构。
由衷的向⾼斯、以及所有伟⼤的科学前辈们致敬！。
正十七边形尺规作图与详解.docx
实用标准文档解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯 (Carl Friedrich Gauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工的父算工人的周薪。
父算了好一会儿，于将果算出来了。
可是万万没想到，他身来幼嫩的童音：“爸爸，你算了，数是⋯⋯”父感到很惊异，赶忙再算一遍，果高斯的答案是的。
的高斯只有 3 ！高斯上小学了，教他数学的老布特勒(Buttner)是一个度劣的人，他从不考学生的接受能力，有用鞭子学生。
有一天，布德勒全班学生算1+2+3+4+5+⋯⋯+98+99+100＝？的和，并且威：“ 算不出来，就不准回家吃！”布德勒完，就坐在一旁独自看起小来，因他，做一道目是需要些的。
小朋友开始算：“ 1 + 2＝3，3+3＝6，6+4＝10，⋯⋯”数越来越大，算越来越困。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身。
高斯：“老，我做完了，你看不？“做完了？么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒都没抬，手：“ 了，了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸：“我个答案是的。
”布德勒抬一看，大吃一惊。
小石板上写着5050 ，一点也没有！高斯的算法是1＋ 2 ＋ 3＋⋯⋯＋ 98 ＋99 ＋ 100100＋99 ＋98＋⋯⋯＋3＋ 2＋1101＋ 101 ＋ 101 ＋⋯⋯＋101 ＋101 ＋ 101 ＝101 ×100 ＝1010010100 ÷2＝ 5050高斯并不知道，他用的种方法，其就是古代数学家期努力才找出来的求等差数列和的方法，那他才八！1796 年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚，开始做他独布置的三道数学。
前两道他不吹灰之力就做了出来了。
第三道写在另一小条上：要求只用和没有刻度的直尺，作出一个正十七形。
道把他住了——所学的数学知竟然解出道没有任何帮助。
一分一秒的去了，第三道竟毫无展。
正十七边形的画法及证明
正十七边形的画法及证明1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。
前两道题在两个小时内就顺利完成了。
第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
他感到非常吃力。
时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。
这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。
见到导师时，青年有些内疚和自责。
他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。
他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。
但是，我花了整整一个通宵。
”导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。
青年很快做出了一上正17边形。
导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。
你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。
那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。
每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。
”这位青年就是数学王子高斯。
高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
关于正十七边形的高斯画法有一个定理在这里要用到的：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
小学议论文作文：读《高斯的边形》有感7
读《高斯的17边形》有感
在一百多年前，一个数学天才--高斯，曾破解了这样一道千年难题，用一把圆规和一把没有刻度的尺子，画出一个正十七边形。
这道题阿基米德没得解，牛顿没得解，可高斯却把他做出来了。
原来是高斯的指导老师误出了这道题，不然如果高斯知道这是一道千年难题，一定会丧失自信，做不出这道题。
这便是自信的力量。
正如美国一句人人皆知的名言：喷泉的高度永远超不过它的源头，一个人的成就永远不会超过他的信念。
有些事情当我们不知道她有多难时，相信自己往往做得更好！
由此可见，真正的困难并非困难本身，而是我们是否敢于面对困难，战胜自我，超超越自我，这样才谈得上战胜困难。
可美国总统尼克松却恰恰相反，他因为缺乏自信，让手下在竞争对手住的酒店的房间里安装了窃听器，事后却一再推卸责任。
于是，在竞选成功后不久便不得不被迫辞职。
本来稳操胜券的尼克松，因为缺乏让自信惨败。
尼克松之所以惨败是因为他缺乏自信，我们应该从中吸取教训。
因为没有自信的人就像没有灵魂的躯壳，就算成功了，也会在不久后堕落。
人生的艺术，是自信的艺术；成功的艺术，也是自信的艺术。
让我们带着自信远航。
正17边形尺规作图研究的历史回顾
正17边形尺规作图研究的历史回顾正17边形尺规作图研究的历史回顾古代数学家很早就解决了正3、4、5、15边形，以及和（n为非负整数）边形的尺规作图问题。
但是直到19世纪末的这2000年间，竟然没有进展。
1796年，当高斯19岁，还是一个学生的时候，证明了仅当边数为（圆括号中为素数，为非负整数）时，正k边形可用尺规作出。
特别是，正17边形，可用尺规作出。
尔后，人们热衷于研究具体的作图方法。
兹对这一过程加以回顾。
1.我们先给出两种具体的作图方法，供大家赏析。
第一个方法：改编自考克赛特（H.Coxeter）的《几何引论》一书：[1]作⊙O(OA),作半径OB⊥OA,作AC交OB于C,使OC= ,作∠OCD= ,且∠ECD=45°.以EA为直径作半圆，交OB于F,作⊙D(OF)交OA于H和G,过H、G作OA的垂线，交大圆O于P、Q.令点R平分,则PR和RQ就是正17边形的一边。
正257边形和正65537边形的作法，人们也已知道。
第2个方法：是由一个叫约翰•路利（John Lowry）的人，在1819年给出的，他的证明在当年《数学博览》杂志上，占去9页之多[2]：在半圆O的半径OC上，求出中点Q，并在垂直于该半径的直径AB上，自圆心O截取OD=，作DF=DE=DQ，作EG=EQ，FH=FQ，再作OK为OH与OQ的比例中项。
过K作KM//AB,而与罩住OG的半圆周相交于M.作MN//OC,与⊙O交于N.则就是圆周长的。
2.第3个方法：[3]来自《数学通讯》1954年5月号，欧阳琦的文章：“正十七边形作图法”。
要作正17边形，无异于要把圆周17等分。
假定Ak(k=0,1,…,16)依次是单位圆上17个等分点。
作直径A0A，连AAk,命A0Ak=ak,则显然，（1）易见，除a0外只要求出al中的任何一个，则问题解决。
高斯数学家十七边形的故事
高斯数学家十七边形的故事高斯是一位天才的数学家和物理学家，他在数学领域做出了许多重要的贡献。
其中之一就是他发现了如何用尺规作图来构造一个完美的十七边形。
尺规作图是古希腊数学中研究平面上的几何形状和构造的方法。
它只允许使用直尺和圆规这两种工具，并且规定只能进行有穷次的操作。
古希腊数学家一直努力寻求用尺规作图来构造特定形状，但一直没有成功。
直到高斯出现。
高斯在十七岁时，他的老师给他布置了一个作业，要求他使用尺规作图来构造一个十七边形。
许多学生都觉得这是不可能完成的任务，但高斯并没有放弃。
首先，高斯使用圆规以O为圆心，作一条半径为OA的大圆。
然后在圆上选择一点B，与O之间连线为OB。
接下来，他用圆规以O为圆心，OB为半径作一条小圆，让它与大圆交于点C和D。
接着，高斯作了线段OC和OD，并且用圆规以OC为半径作一个圆，让它与大圆交于点E和F。
然后他继续作线段OE和OF，并用圆规以OE为半径作一个圆，这次交点是G和H。
高斯一直持续这样的操作，直到他完成了一圈下来，回到了起点。
当高斯完成最后一个圆的作画操作时，他惊奇地发现，最终产生的形状是一个完美的十七边形。
他成功地用尺规作图构造了这个看似不可能的图形。
这个发现使得高斯闻名于世。
尽管这个构造方式比较复杂，但它向人们展示了尺规作图的潜力和可能性。
高斯的成就不仅仅在于他构造了一个十七边形，更重要的是他为后来的数学家们开辟了一条广阔的道路。
高斯数学家十七边形的故事告诉我们，数学是一个充满了惊喜和可能性的领域。
只要我们保持坚持和创造力，就有可能解决看似不可能的问题。
这也是高斯在数学领域取得巨大成功的原因之一。
因此，我们应该向高斯这位伟大的数学家致敬，并在学习数学的道路上继续追求卓越。
无论是解决几何问题还是其他数学难题，只要我们勇于挑战，用心思考，就一定能够找到解决的方法。
高斯和他的正十七边形
导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对 青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，
回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”导师请他
坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再
做出一个正17边形。青年很快做出了一个正17边形。
导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多 年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟 然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”
原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写
有这道题目的纸条交给了学生。每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：
“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远
也没有信心将它解出来”。这位青年就是数学王子高斯。
这个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平
得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来
尺规作图对于学过几何的人来说都不陌生，它是指用没有 刻度的直尺和圆规作图。你也许可以用尺规作图作出正三
角形、正方形、正六边形等，但是你有没有想过用尺规作
图作正十七边形，甚至正十七边能不能用尺规作图作出来。
其实这一问题早在1796年就由德国著名的数学家高斯在他
19岁时解决，这其中还有一段趣闻:，一个很有数学天赋的 19岁青 年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。 前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条 上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。他 感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这 位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开 这道题都没有任何帮助。困难反而激起了他的斗志：我一定要把它 做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着 用一些超常规的思路去寻求答案。 当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难 题。见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布 置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽 培……”