山西省实验中学2020年10月份高二月考数学卷子
山西省山西大学附属中学2020-2021学年高二上学期10月模块诊断数学试题
山西大学附中2020~2021学年高二第一学期10月(总第二次)模块诊断数学试题考试时间：100分钟考试内容：不等式和立体几何部分内容一､单选题1. 已知集合{}3A x N x =∈<，{}260B x x x =--<，则A B =（ ）A. {}23x x -<<B. {}03x x <<C. {}0,1,2D. {}1,2C先求得集合,A B ，由此求得两个集合的交集.由题意得{}{}30,1,2A x N x =∈<=，{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，故{}0,1,2A B =.故选：C易忽略集合M 中x 是自然数． 2. 下列选项中正确的是（ ） A. 若ac bc >，则a b > B. 若a b >，c d >，则ac bd > C. 若a b >，则11a b< D. 若22ac bc >，则a b >D利用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.A ：只有当0c >时，才能由ac bc >推出a b >，故本选项不正确；B ：只有当0,0b d >>时，才能由a b >，c d >推出ac bd >，故本选项不正确；C ：当0,1a b ==-时，显然a b >成立，但是11a b<显然不成立,因此本选项不正确； D ：因为22ac bc >，所以0c ≠，因此本选项正确. 故选：D 故选：C ．依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S=1×1=1，后，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE在左面的投影面积S=B'E'×1=CE×1=CE，左所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选D．属于中档题．10. 若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A. 163πB. 193πC. 1912πD. 43π B依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R ，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×233，所以R 2＝23＋212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1912，则该球的表面积为4πR 2＝193π． 11. 棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，,E F 分别是棱1,AA 1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） A. 22B. 22C. 212+D.2B由题意推出，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径122AD r ==线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径. 由题意可知，球为正方体的外接球. 球中平面11AA DD 所在的截面圆的半径122AD r ==EF ⊂面11AA DD ，∴根据球的性质可得，直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径222r =.故选：B.（在BC 1上取一点与A 1C 构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解． 连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内， 连接A 1C ，长度即是所求．∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 12= ∴矩形BCC 1B 12的正方形；则BC 1＝2； 另外A 1C 1＝AC ＝6；在矩形ABB 1A 1中，A 1B 1＝AB 38BB 12=A 1B 40； 易发现62+22＝40，即A 1C 12+BC 12＝A 1B 2， ∴∠A 1C 1B ＝90°，则∠A 1C 1C ＝135°故A 1C 2211111122135362262522AC C C AC C C cos =+-⋅⋅︒=++⨯⋅⋅= 故答案为B. 二､填空题13. 已知1260x <<，1536y <<，则x y -的取值范围是___________.(-24,45)需将y 的符号转化成-y ，再采用同向可加性进行求解15363615y y <<⇒-<-<-，根据同向可加性，()x y +-满足3612x 1560y -+<-<-+，即(-24,45)x y -∈取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3， ∴EO∥CD，且EO 1CD 12==，FO∥AB，且FO 1AB 2==1，∴∠E OF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角， ∴πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=， 当∠EOF π3=时，△EOF 是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF3∠=时，EF2212π1111cos323=+-⨯⨯⨯=．故答案为1或3．(24613 Sπ=+表；体积683π．旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积．223213+该几何的三视图如下图所示：214282S =⨯π⨯=π半球，()2413613S ππ=⨯+=圆台侧16S π=圆台底故所求几何体的表面积(86131624613S ππππ=++=+表()()2222122443283V πππππ⎡⎤=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦圆台 341162323V ππ=⨯⨯=半球．故所求几何体的体积16682833V V V πππ=-=-=半球圆台． 18. （1）已知a ，b 均为正实数.3ab =，求证()33()36a b a b ++≥；（2）求211x x -->-的解集. （1）证明见解析；（2）{}02x x <<.（1）根据题中条件，直接由基本不等式证明，即可得出结论成立； （2）讨论0x ≤，102x <<，12x ≥三种情况，分别求解，即可得出结果. （1）因为a ，b 均为正实数，且3ab =，2230a b ab ∴+≥=>，当且仅当3a b ==()33332630a b a b +≥=>，当且仅当3a b ==()33()236336a b a b ∴++≥=，当且仅当3a b ==（2）当0x ≤时，不等式211x x -->-可化为11x ->-，解得0x >与0x ≤矛盾，舍去；当102x <<时，不等式211x x -->-可化为311x ->-，解得0x >，所以102x <<； 当12x ≥时，不等式211x x -->-可化为11x -+>-，解得2x <，所以122x ≤<；综上，原不等式的解集为{}02x x <<.【点睛】本题主要考查利用基本不等式证明不等式，考查分类讨论的方法解绝对值不等式，属于常考题型.19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA 是四棱锥P ABCD -的高，且2PA =，E 是侧棱PA 上的中点.（1）求三棱锥P BCD -的体积； （2）求异面直线EB 与PC 所成的角；（1）13；（2）6π.（1）利用13C PBD P BCD BCD V V S PA --==⨯⨯△求解即可（2）连结AC 交BD 于O ，连结OE ，则可证得//PC OE ，所以BEO ∠(或补角)为异面直线EB 与PC 所成的角，由已知条件可得BDE 为等边三角形，再由正三角形的性质可得BEO ∠的值，从而可求得结果（1）因为PA 是四棱锥P ABCD -的高， 所以PA 是三棱锥P BCD -的高，所以11111123323C PBD P BCD BCD V V S PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.（2）连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是AC 的中点，又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ，所以BEO ∠(或补角)为异面直线EB 与PC 所成的角， 因为1AB AD ==，112EA PA ==， 可得2EB ED BD ===，所以BDE 为等边三角形，所以3BED π∠=，又因为O 为BD 的中点，所以6BEO π∠=，即异面直线EB 与PC 所成的角6π.【点睛】此题考查三棱锥体积的求法，考查异成直线所成的角的求法，考查计算能力的推理能力，属于中档题20. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算） （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？（1）()163601y m m m =--≥+； （2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. （1）根据题意0m =时，2x =，求出241x m =-+，进一步求出销售价格8161.5x x+⨯，由利润=销售额-固定成本-再投入成本-促销费，即可求解.（2）由（1）()()161636371011y m m m m m ⎡⎤=--=-++≥⎢⎥++⎣⎦，利用基本不等式即可求解. （1）由题意知，当0m =时，2x =（万件）， 则24k =-，解得2k =，241x m ∴=-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯（元）， ∴2018年的利润()816161.58163601x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+.（2）当0m ≥时，10m +>，16(181)m m ∴++≥=+，当且仅当3m =时等号成立. 83729y ∴≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =万元时，max 29y =（万元）. 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.21. 已知函数21y mx mx =--.（1）若0y <时，对任意的x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围； （2）求关于x 的不等式()2223y m x x <---的解集.（1）(]4,0-；（2）答案见解析.（1）分0m =、0m <、0m >三种情况，结合题意得出关于m 的等式，进而可求得实数m 的取值范围；（2）将所求不等式化简变形为()()3110m x x +-+<⎡⎤⎣⎦，分m 分类讨论，结合二次不等式的解法可得出所求不等式的解集.（1）210mx mx --<对任意的x ∈R 都成立，当0m =时，10-<恒成立；当0m <，240m m ∆=+<，解得40m -<<，原不等式恒成立； 当0m >时，原不等式不恒成立. 综上可得m 的范围是(]4,0-；（2）关于x 的不等式()2223y m x x <---，即为()()23210m x m x +++-<，化为()()3110m x x +-+<⎡⎤⎣⎦，当3m =-时，可得10x +>，解得1x >-，解集为{}1x x >-； 当3m >-，即103m >+，可得()1103x x m ⎛⎫-+< ⎪+⎝⎭，则解集为113x x m ⎧⎫-<<⎨⎬+⎩⎭； 当3m <-时，①若4m =-时，可得()210x +>，解集为{}1x x ≠-； ②若4m <-，即113m >-+，可得()1103x x m ⎛⎫-+> ⎪+⎝⎭，则解集为{1x x <-或13x m >+} ③若43m -<<-，则113m <-+，可得()1103x x m ⎛⎫-+> ⎪+⎝⎭，则解集为{13x x m <+或1x >-} 综上所述，当3m =-时，原不等式的解集为{}1x x >-；当3m >-时，原不等式的解集为113x x m ⎧⎫-<<⎨⎬+⎩⎭；当4m =-时，原不等式的解集为{}1x x ≠-； 当4m <-时，原不等式的解集为{1x x <-或13x m >+}； 当43m -<<-时，原不等式解集为{13x x m <+或1x >-} . 本题考查利用二次不等式恒成立求参数，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.。
山西省忻州实验中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题 Word版含解析
高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 在下列命题中，不是公理的是（ ） A. 平行于同一个平面的两个平面平行B. 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】试题分析：选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的． B,C,D 四个命题是平面性质的三个公理，所以选A ． 考点：点，线，面的位置关系．2.已知点5(sin(),tan )2P παα+在第二象限，则角α的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式与点P 所在的象限，确定角α的取值范围，从而可得角α的终边所在的象限. 【详解】由点5(sin(),tan )2P παα+在第二象限， 即cos ,()tan P αα在第二象限，所以cos 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，由象限符号可知：角α的终边在第三象限.故选：C【点睛】本题考查了诱导公式、三角函数的象限符号，属于基础题.3.已知函数4()1,(0)f x x x x=--<，则此函数的最小值为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 9【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】()444()11125,(0)f x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--=+-+≥+-⋅< ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦， 当且仅当2x =-时取等号， 所以函数的最小值为5. 故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，注意基本不等式使用的条件：“一正”、“二定”、“三相等”，属于基础题.4.等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且171310,a S S ==，则n S 最大时n 的值为（ ） A. 7 B. 10C. 13D. 20【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1176131271322d da a ⨯⨯+=+，求出d ，再利用等差数列的通项公式求出数列的非负数项，即可求解. 【详解】等差数列{}n a 中，由171310,a S S ==， 则1176131271322d d a a ⨯⨯+=+，解得2019d =-， 所以数列为递减数列由()()120202101101191919n a a n d n n ⎛⎫=+-=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 令0n a ≥，解得212n ≤， 所以数列前10项为正数，从第11项开始为负数所以n S 最大时n 的值为10. 故选：B【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式、通项公式，需熟记公式，属于基础题. 5.下列结论正确的是（ ）A. 存在每个面都是直角三角形的四面体B. 每个面都是三角形的几何体是三棱锥C. 圆台上、下底面圆周上各取一点的连线是母线D. 用一个平面截圆锥，截面与底面间的部分是圆台 【答案】A 【解析】 【分析】利用椎体、台体的结构特征即可逐一判断.【详解】对于A ，利用三棱锥P ABC -，满足PA ⊥平面ABC ， 且ABC ∆是以点C 为直角顶点的直角三角形， 如图：则PA AB ⊥，PA AC ⊥，PA BC ⊥，又BC AC ⊥，PA AC A =，PA ，AC ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，BC PC ∴⊥，故三棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∴存在每个面都是直角三角形的四面体.对于B ，根据三棱锥的结构特征，各个面为三角形不一定为三棱锥，两个一样的三棱锥上下拼接成一个六面体，它的每个面都是三角形，故B 错误； 对于C ，以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台，旋转轴叫做圆台的轴，直角梯形上、下底旋转所成的圆面称为圆台的上、下底面， 另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面，侧面上各个位置的直角梯形的腰称为圆台的母线，故C 错误； 对于D ，只有用平行于圆锥底面的平面去截取圆锥， 圆锥底面和截面之间的部分才是圆台，故D 错误； 故选：A【点睛】本题考查了三棱锥、圆台的结构特征，掌握简单几何体的结构特征是解决本题的关键，属于基础题.6.函数21()sin cos 3(cos )2f x x x x =-的最小正周期为（ ） A. 2 B. 1C. 2πD. π【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式、余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用求最小正周期公式即可求解.【详解】21sin 21cos 21()sin cos 3(cos )32222x x f x x x x +⎫=-=-⎪⎭ 13sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 22T ππ∴==.故选：D【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式、正弦型函数的最小正周期公式，需熟记公式，属于基础题.7.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），0145,12ABC AD AB BC ∠====，则该平面图形的面积为（ ）高考资源网（ ） 您身边的高考专家A. 3B. 4 C .322D.324【答案】A 【解析】 【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长度，从而求得平面图形的面积. 【详解】由0145,12ABC AD AB BC ∠==== 根据斜二测画法可知：原平面图形为：下底边长为2，上底为1，高为2的直角梯形， 所以12232S +=⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了斜二测画法中直观图与平面图形中的量的变化，属于基础题. 8.已知两个不同的平面,αβ和两条不重合的直线,m n ，下列四个命题 ①若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则α∥β； ③若m α⊥，m ∥n ，n β⊂，则αβ⊥；④若m ∥α，n αβ=，则m ∥n其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系的判定定理和性质定理，结合选项进行逐个判断即可，同时利用反例进行排除即可求解.详解】对于①：若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥，由线面垂直的判定定理之一可知，故命题为真命题； 对于②：若,m m αβ⊥⊥，则α∥β，由两个平面平行的判定定理之一可知，故命题为真命题； 对于③：若m α⊥，m ∥n ，n α∴⊥，n β⊂，αβ∴⊥ ，故命题为真命题；对于④，如图， 若m ∥α，n αβ=，则m ∥n 不成立，故命题为假命题；综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系，用了线面平行的性质定理，平行与垂直的结论以及面面垂直的判定定理，做这一类题型的关键在于对知识的熟练掌握程度，属于基础题. 9.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积是（ ）A. 6B. 63+C. 3D. 33+【答案】D 【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体为正三棱锥P ABC -，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA PB =2PC ==，根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】由三视图还原几何体，可知该几何体为正三棱锥P ABC -， 且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA PB =2PC ==，该三棱锥的表面积APCBPCABPABCS SSSS=+++111122222222sin 60332222=⨯⨯⨯=故选：D【点睛】本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积，解题的关键是还原出几何体的直观图，考查了空间想象能力，属于基础题. 10.体积为43π的球O 放置在棱长为4的正方体上，且与上表面相切，切点为上表面中心，则球心与下表面围成的四棱锥的外接球半径为（ ） A.103B. 3310C. 803D.643【答案】B 【解析】 【分析】 体积为43π的球O 的半径为1，四棱锥O ABCD -的底面边长为4，高为5，设四棱锥O ABCD -的外接球的半径为R ，利用勾股定理，建立方程，即可求出四棱锥O ABCD -的外接球的半径. 【详解】体积为43π的球O 的半径为1， 四棱锥O ABCD -的底面边长为4，高为5，设四棱锥O ABCD -的外接球的半径为R ，则()()222522R R =-+，解得3310R =. 故选：B【点睛】本题考查了多面体的外接球问题，考查了空间想象能力以及基本运算能力，属于基础题.11.用一平面截正方体，截面可能是①三角形②四边形③五边形④六边形中的（ ） A. ①② B. ①②③C. ①②④D. ①②③④【答案】D 【解析】 【分析】由正方体的结构特征，作出截面即可判断. 【详解】如图所示：故选：D【点睛】本题考查了正方体的结构特征，注意培养空间想象能力，属于基础题.12.已知正ABC ∆的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围是（ ）A.6[,1) B.63[,) C.13[,)2D.16(,]2【答案】B【解析】试题分析：如图所示，设B到平面α，C到平面α的射影，D到平面α的射影分别为E，F，P，设BE a=，CF b=，则2a bDP+=，由题意可知2222244()3()EF AP AD DP a b==-=-+，22221AE AB BE a=-=-，22221AF AC CF b=-=-，∴222AE AF EF+=2221113()2a b a b ba⇒-+-=-+⇒=，由011{112012aaa<<⇒<<<<，∴11222sin33aa aDP aDAPAD++∠===，由函数1()2f x xx=+在12(,]2上单调递减，2[,1)2上单调递增，∴可知，故选B．考点：立体几何综合题．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13.已知直线a ∥b ，且a 在平面α内，则b 与平面α的关系为___________. 【答案】b ∥α或b α⊂ 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【详解】直线a ∥b ，且a ⊂平面α，∴b ∥α或b α⊂.故答案为：b ∥α或b α⊂【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系的判断，解题要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题.14.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是__________． 【答案】②③④ 【解析】还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE⊥MN. 15.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，12,22AB CC ==，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为______. 【答案】1 【解析】 【分析】先证明直线1AC 与平面BED 平行，再将线面距离转化为点面距离，结合三棱锥体积公式，结合等积性求出点面距离即可.【详解】连接AC 交BD 于O 点，因为E 为1CC 的中点，所以有1//OE AC 而OE ⊂平面BED ，所以有1//AC 平面BED ，即直线1AC 与平面BED 的距离为点A 到平面BED 的距离，设为h .在三棱锥E ABD -中，111222223323E ABD ABD V S EC -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 在三棱锥A EBD -中， 122,6,6,2262222EBD BD BE DE S===∴=⨯⨯-=， 所以1122221333A BDE EBD V S h h h -∆=⋅=⨯⋅=⇒=. 故答案为：1【点睛】本题考查了线面距离，考查了转化思想，考查了三棱锥的体积应用，考查了数学运算能力.16.如图，三棱锥S ABC -中2SA SB AC ===，，30ASB BSC CSA ∠=∠=∠=，M N 、分别为SB SC 、上的点，则AMN ∆周长的最小值为___________.【答案】22【解析】【分析】把三棱锥的侧面沿其中一条侧棱展开成平面，在平面中即可求出AMN ∆周长的最小值.【详解】将三棱锥S ABC -侧面沿其中一条侧棱展开成如图所示的平面图形：由30ASB BSC CSA ∠=∠=∠=，所以90ASB BSC C AS SA A ∠+∠+∠∠='=，观察图形可知，当A 、M 、N 三点共线时，AMN ∆周长的最小，此时AMN ∆周长为222222AN MN AM ++=+=. 故答案为：22【点睛】本题考查了空间几何体表面上的最值问题，解题的基本思路是“展开”，将空间几何体的“面”展开铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P =，11A C EF Q =.求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证.【详解】证明：（1）EF 是111D B C ∆的中位线，11//EF B D ∴.在正方体1AC 中，11//B D BD ，//EF BD ∴.,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β.11,Q AC Q α∈∴∈.又Q EF ∈，Q β∴∈，则Q 是α与β公共点，a PQ β∴⋂=.又11,AC R R AC β⋂=∴∈.R a ∴∈，且R β∈，则R PQ ∈，故P Q R ，，三点共线.【点睛】本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.18.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin sin sin sin a c A B b A C +-=-. （1）求角C ；（2）求a b c+的取值范围. 【答案】（1）3C π=(2)(1,2]【解析】试题分析： （1）要求角,只能从sin sin sin sin a c A B b A C+-=-入手,利用正弦定理,将角化为边,得,进而可得三边关系,利用余弦定理即可求角.（2）从a b c+入手,欲找三边关系,用正弦定理将其化简为,将（1）的结论利用起来,代入,同时将代入,使得中只含有,进而根据,讨论a b c +的范围. 试题解析：（1）根据正弦定理有:,化简得,根据余弦定理有, 所以.（2）根据正弦定理将a b c+化简,同时将（1）代入,化简为因为,,所以. 故,的取值范围是 考点：正弦定理的应用(角化边);余弦定理;正弦差角;辅助角公式求范围.19.如图，几何体ABC DEFG -中，平面ABC //平面DEFG ，AD ⊥平面,DEFG AB AC ⊥，DE DG ⊥，EF ∥DG ，且1,2AC EF AB AD DE DG ======.（1）证明：BF ∥平面ACGD（2）求该几何体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】【分析】（1）取DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，证明BF ∥平面ACGD 内的直线AM ，即可证明BF ∥平面ACGD .（2）利用ABC DEFG ADM BEF ABC MFG V V V ---=+直接求出几何体的体积即可.【详解】（1）取DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，则由已知条件可知DEFM 是平行四边形，所以MF ∥DE ，且MF =DE ，又AB ∥DE ，且AB =DE ，MF ∴∥AB ，且MF =AB ，∴四边形ABMF 是平行四边形，即BF ∥AM ，又BF ⊄平面ACGD ，AM ⊂平面ACGD ，所以BF ∥平面ACGD .（2）ABC DEFG ADM BEF ABC MFG V V V ---=+ADM MFG DE S AD S =⨯+⨯11221221422=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、柱体的体积公式，考查了逻辑推理能力，熟记几何体的体积公式，属于基础题.20.如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，22PA AD AB ===，E 为BC 中点.（1）证明：平面PAE ⊥平面PDE ；（2）求异面直线AE 与PD 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】【分析】 （1）由题意可证出DE AE ⊥，利用线面垂直的定义可得PA ⊥DE ，再利用面面垂直的判定定理即可证出.（2）设PA ，AD 的中点分别为M ，N ，连接MN ，NC ，MC ，AC ，从而可得MNC ∠为异面直线AE 与PD 所成角或其补角，在MNC 中，利用余弦定理即可求解.【详解】（1）由题意可知AB =BE =1，2AE =， 同理可得2DE =，所以222AE DE AB +=所以DE AE ⊥，又因为PA ⊥ABCD ，所以PA ⊥DE ，因为PA AE A =，所以DE ⊥平面PAE ，所以平面PAE ⊥PDE（2）设PA ，AD 的中点分别为M ，N ，连接MN ，NC ，MC ，AC.所以，NC ∥AE ，MN ∥PD ，所以MNC ∠为异面直线AE 与PD 所成角或其补角，由题可知2222226MN NC MC MA AC MA AD CD ==+=++=，由余弦定理可得1cos 2MNC ∠=-，所以异面直线AE 与PD 所成角为3π 【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理、求异面直线所成的角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.21.如图①，在正方形ABCD 的各边上分别取,,,E F G H 四点，使::::1:2AE EB AF FD CG GD CH HB ====，将正方形沿对角线BD 折起，如图②（1）证明：图②中EFGH为矩形；（2）当二面角A BD C--为多大时，EFGH为正方形.【答案】（1）证明见解析；（2）当二面角A-BD-C为60时，四边形EFGH为正方形【解析】【分析】（1）根据对应边成比例可得EF∥BD，HG∥BD，从而可得EF∥HG，即四边形EFGH为平行四边形，设O为BD的中点，连接AO，CO，BD，利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AOC，从而可得BD⊥AC，进而可得EF⊥EH，即证.（2）设AB=a，可得2HG a=，由题意只需使EH=HG，根据比例可得2AC a=，由∠AOC为二面角A-BD-C的平面角，AO=CO=AC，即可求得二面角A-BD-C为600. 【详解】（1）因为AE：EB=AF：FD，所以EF∥BD，同理可得，HG∥BD，所以EF∥HG；同理可得EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形，设O为BD的中点，连接AO，CO，BD，BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，故BD⊥AC，又因为BD ∥EF ，AC ∥EH ，所以EF ⊥EH所以EFGH 为矩形（2）设AB =a则23HG a =， 要使四边形EFGH 为正方形，只需使EH =HG22,32EH AC a AC =∴=， 由（1）可知∠AOC 为二面角A -BD -C 的平面角，且AO =CO =AC ，所以，当二面角A -BD -C 为600时，四边形EFGH 为正方形【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面角，解题的关键是作出面面角，属于中档题.22.如图，矩形CDPE 垂直于直角梯形ABCD ，090ADC BAD ∠=∠=，F 为PA 中点，2PD =，112AB AD CD ===.（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）线段EF 上是否存在点Q ，使CQ 与平面ABCD 334？若存在，请求出FQ 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；19FQ =【解析】【分析】 （1）连接PC ，与DE 交与点N ，连接FN ，可证出FN ∥AC ，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）存在，Q 为EF 的中点，过F 作FM ⊥AD 与M ，连接MC ，取MC 的中点G ，连接QG ，由题中条件，求出324QG =，连接CQ ，可得∠QCG 为直线CQ 与平面ABCD 所成的角，在CQG ∆中，即可求解.【详解】（1）连接PC ，与DE 交与点N ，连接FN在三角形PAC 中，FN 为中位线，所以FN ∥AC ， AC ⊄平面DEF ，FN ⊂平面DEF所以，AC ∥平面DEF（2）存在，Q 为EF 的中点.过F 作FM ⊥AD 与M ，连接MC ，取MC 的中点G ，连接QG在三角形CDM 中，由条件可知，1717,CM CG ==， 在梯形CEFM ，QG 为中位线，所以324QG =连接CQ ，则∠QCG 为直线CQ 与平面ABCD 所成的角，323344tan 17QCG ∠==，所以存在点Q 满足条件， 192FE FQ ==.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、根据线面角求线段长度，考查了考生的空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中档题.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。
2020-2021学年山西大学附中高二10月月考数学试卷
2020-2021学年山西大学附中高二10月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.3．已知直线a //平面α，直线b ⊂平面α，则（ ）A ．a //bB ．a 与b 异面C ．a 与b 相交D ．a 与b 无公共点4．圆锥的高扩大为原来的2倍，底面半径缩短为原来的12，则圆锥的体积（ ） A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的12 C ．缩小为原来的16D ．不变 5．如图，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为 1 的正方形，则原图形的周长为（ ）A ．B ．6C ．8D ．2+6．如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）.A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1D ．直线B 1C 1 7．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22ABC AA BC BAC π=∠=，，,此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A.323π B.16π C.253π D.312π 8．正方体1111D ABC A B C D - 中，,E F 分别为1,AB B C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．2 BC ．12D ．229．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， E F ，是侧面对角线1BC ， 1AD 上一点，若1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）A ．12B ．34C ．2D ．32- 10．已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）35 7 D.34 11．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45 12．如图所示，三棱锥P ABC -的高8PO =，3AC BC ==，30ACB ∠=︒，,M N 分别在BC 和PO 上，且CM x =，2((0,3])PN x x =∈，图中的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与x 的变化关系，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 13．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为和,侧棱长为,则其表面积为__________.14．图3中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm ．15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.16．如图，在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中,,,3,2,22,45AD DC AD BC AD CD AB DAB ⊥===∠=, 四边形绕着直线AD 旋转一周.（1）求所成的封闭几何体的表面积；（2）求所成的封闭几何体的体积.18．如图，在三棱锥P −ABC 中，E,F,G,H 分别是AB,AC,PC,BC 的中点，且PA =PB,AC =BC .（1）证明：AB ⊥PC ；（2）证明：平面PAB ∥平面FGH .19．如图，四边形ABEF 是等腰梯形，,2,42,22AB EF AF BE EF AB ====，四边形 ABCD 是矩形，AD ⊥平面ABEF ，其中,Q M 分别是,AC EF 的中点，P 是BM 的中点.（1）求证:PQ 平面BCE ；（2）AM ⊥平面BCM .20．在正方体1111D ABC A B C D -中,,E G H 分别为111,,BC C D AA 的中点.BDD B；（1）求证：EG平面11B H与EG所成的角.（2）求异面直线1-中，底面ABCD是平行四边形，21．如图，在四棱锥P ABCD∠===为AC的中点，PO⊥平面ABCD，2, ADC AD AC O45,1,=为PO M BD的中点.（1）证明: AD⊥平面PAC；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.参考答案1．A【分析】根据圆柱、圆锥与圆台的定义，判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体的形状，进而可得结果.【详解】解：B 中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C 中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D 中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；A 中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.故选：A.【点睛】本题主要考查旋转体的基本定义，考查了空间想象能力，属于基础题.2．C【解析】试题分析：由题意得，A 中，圆锥的侧面展开图是一个扇形，所以不正确；B 中棱柱的两个底面是全等的多边形，其余各面应为平行四边形，所以不正确；D 中过棱台侧面上一点，只有一条母线，所以不正确，故选C.考点：几何体的结构特征.3．D【解析】试题分析：由题意可知直线与平面无公共点,所以平行或异面,所以两者无公共点. 考点：线面位置关系,两直线位置关系.4．B【分析】设变化前圆锥的高为h ，半径为r ，变化后，高为2h ，半径为12r ，利用锥体体积公式计算出体积与原体积对比即可得到结果．【详解】 圆锥的体积21133V Sh r h π==，高扩大为原来的2倍，底面半径缩短为原来的12，则其体积变为221112326V r h r h ππ'⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，故体积缩小为原来的12. 【点睛】本题考查锥体体积公式的应用．5．C【解析】试题分析：因为四边形ABCD 的直观图是一个边长为1的正方形，所以原图形为平行四边形，一组对边为1，另一组对边长为3=，所以圆图形的周长为()2138+=，故选C.考点：平面图形的直观图.6．D【解析】试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 中的直线与EF 都是异面直线，故选D ．【考点】异面直线【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.7．A【解析】试题分析：直三棱柱111ABC A B C -的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以ABC ∆中，2BAC π∠=，所以下底面ABC ∆的外心P 为BC 的中点，同理，可得上底面111A B C ∆的外心Q 为11B C 的中点，连接PQ ，则PQ 与侧棱平行，所以PQ ⊥平面ABC ，再取PQ 的中点O ，可得点O 到111,,,,,A B C A B C 的距离相等，所以O 点是三棱柱111ABC A B C -的为接球的球心，因为直角POB ∆中，111122BP BC PQ AA ====，所以2BO ==，即外接球的半径2R =，因此三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为3344322333V R πππ==⨯=，故选A.考点：组合体的结构特征；球的体积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.8．D【详解】取BC 的中点O ，连接OE ，因为F 是1B C 的中点，所以1//OF B B ，所以FO ⊥平面ABCD ，所以EFO ∠是EF 与平面ABCD 所成的角，设正方体的棱长为2，则1,2FO EO ==所以EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为22. 故选：D.考点：直线与平面所成的角.9．B【解析】试题分析：在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，11BC AD ==AF x =，x =解得x =，即菱形1BED F=，则1BED F 在底面ABCD 上的投影四边形是底边为34，高为1的平行四边形，其面积为34，故选B.考点：平面图形的投影及其作法.10．D【解析】 试题分析：设BC 的中点为D ，连接11,,A D AD A B ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与 1CC 所成的角，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为1，则1131,,222AD A D A B ===，由余弦定理，得11132cos 24θ+-==，故选D. 考点：异面直线所成的角.11．C【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC 、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断．【详解】因为截面PQMN 是正方形，所以PQ ∥MN 、QM ∥PN ，则PQ ∥平面ACD 、QM ∥平面BDA ，所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确；综上C 是错误的．故选C ．【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定，考查了异面直线所成角的定义及求法，属于基础题．【分析】由8,2PO PN x ==，则CM x =，可得82NO x =-，求出34AMC ABC CM S S x BC ∆∆=⋅=，可得211(2)4(4)(03)322N AMCAMC x V ON S x x x -∆--+=⋅=-=<≤，从而可得结果. 【详解】因为8,2PO PN x ==，所以82NO x =-，因为PO ⊥面ABC ，而N 在PO 上，所以NO ⊥面ABC ，因为3,30AC BC ACB ==∠=，所以19sin 24ABC S AC BC ACB ∆=⋅⋅∠=， 因为CM x =，所以34AMC ABC CM S S x BC ∆∆=⋅=， 从而可得211(2)4(4)(03)322N AMC AMC x V ON S x x x -∆--+=⋅=-=<≤， 函数图象是开口向下的抛物线一部分，故选A.【点睛】本题主要考查棱锥的体积、空间线面关系，考查了函数的图象，考查了空间想象能力函数思想的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于难题.13．12320+【解析】试题分析：如图所示，,M N 分别为上下底面的中心，取上下底面边的中点,E F ，则EF 为侧面的斜高，作EP ⊥底面，则P 在NF 上，在直角EFP ∆中，22213EF =-=，所以表面积为 14(24)32244123202S =⨯+⨯+⨯+⨯=+，考点：棱台的表面积的求解.【分析】根据三视图确定几何体为三棱锥，由锥体的体积公式可得结果.【详解】 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面积为156152⨯⨯=， 高为h ，所以1152043h h ⨯⨯=⇒=，故答案为：4.【点睛】本题主要考查三视图的应用以及锥体的体积公式，属于基础题.15．649π 【解析】试题分析：设球心,O ABC ∆外接圆的圆心为O '，设该球的半径为2r ，则OO r '=，所以O A '=，因为2AB BC CA ===，所以223O A '==，所以233r =⇒=，所以423r =，所以球的表面积为24644()39ππ=. 考点：球的体积和表面积.【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.16．⎣⎦ 【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以//MN EF ，又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ；因为11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，又1A N MN N =，所以1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在直角11A B M ∆中，12A M ===，同理，在直角11A B N ∆中，求得1A N =所以AMN ∆为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于,M N 处时1A P 最长，14AO ===，112A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是42⎡⎢⎣⎦，.考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.17．（1）(8π+；（2）203π. 【解析】试题分析：由题意可知，四边形绕着直线AD 旋转一周所形成的封闭几何体为一个底面半径为2，母线为1的圆柱及一个底面半径为2，高2为的圆锥的组合体；（1）直接由多面体的表面积公式得出答案；（2）求出圆柱与圆锥的体积作和，即可得出答案.试题解析：（1）由题意得，旋转后图象如图(21221222228422S ππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+. （2）22120212233V πππ=⨯+⨯=. 考点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积.18．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明AB ⊥面PEC ，即可证明：AB ⊥PC ； （Ⅱ）根据面面平行的判定定理即可证明平面PAB ∥平面FGH ．解：（Ⅰ）证明：连接EC ，则EC ⊥AB又∵PA=PB ，∴AB ⊥PE ，∴AB ⊥面PEC ，∵BC ⊂面PEC ，∴AB ⊥PC（Ⅱ）连结FH ，交于EC 于O ，连接GO ，则FH ∥AB在△PEC 中，GO ∥PE ，∵PE∩AB=E ，GO∩FH=O∴平面PAB ∥平面FGH考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）连结AE ，可知AE 过P ，因为,P Q 分别为,AE AC 中点，接证明//PQ 平面BEC ；（2）由AD ⊥平面ABEF ，则AD AM ⊥,又BC AM ⊥，利用勾股定理，即可利用直线与平面垂直的判定定理，即可证得AM ⊥平面BCM .试题解析：（1） 如图，连结AE ，可知AE 一定过P .,P Q 分别为,AE AC 中点PQ CE ∴，又PQ ⊄面,BCE CE ⊂面,BCE PQ ∴平面BEC .（2）AD ⊥平面,ABEF AD AM ∴⊥,又,AD BC BC AM ∴⊥， 又222AM BM AB +=,即AM BM ⊥,又,BM BC B AM =∴⊥面BCM .考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.20．（1）证明见解析；（2）90.【解析】试题分析：（1）连结AC 交BD 于O 连结,DO OE ，证明四边形1OEGD 为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理，即可证明EG 平面11BDD B ；（2）延长DB 于M ，使12BM BD =,连结11,,B M HM HB M ∠为所求角，在1HB M ∆中，即可求得异面直线1B H 与 EG 所成的角.试题解析：证明：（1）连结AC 交BD 于O 连结11,,,2DO OE OE CD OD D G ∴四边形1OEGD 为平行四边形 1EG OD ∴,又EG ⊄面111,BDD B OD ⊂面11,BDD B EG ∴平面11BDD B .（2）延长DB 于M ，使12BM BD =,连结11,,B M HM HB M ∠为所求角.设正方体边长为1,则111651011cos 02B M B H AM HM HB M ====∴∠=, 1B H ∴与EG 所成的角为90.考点：直线与平行的判定；异面直线所成的角的计算.【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明、空间中异面直线所成的角的计算，其中解答中涉及到平行四边形的性质、正方体的结构特征、解三角形的相关知识的应用，着重考查了学生的空间想象能力以及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中根据异面直线所成的角找到角1HB M ∠为异面直线所成的角是解答的一个难点，属于中档试题.21．（1）证明见解析；（225. 【解析】 试题分析：（1）由得出90DAC ∠=，易得PO ⊥平面ABCD ，根据PO AD ⊥，即可证明AD ⊥平面PAC ；（2）连结 DO ，取DO 中点N ，连结MN ，由PO ⊥平面ABCD ，得出MN ⊥平面ABCD ，从而得出MAN ∠为所求线面角，即可求解直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.试题解析：证明:（1） ,45,90AD AC ACD ADC DAC =∴∠=∠=∴∠=,又PO ⊥平面,ABCD PO AD ∴⊥,又,POAC O AD =∴⊥平面PAC . （2）连结 DO ，取DO 中点N ，连结,MN PO ⊥平面,ABCD MN ∴⊥平面ABCD MAN ∠，为所求线面角， 151251,tan 22AN DO MN PO MAN ====∴∠=. 考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、直线与平面所成角的求解，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定定理与性质定理、直线与平面所成角的求解等知识点综合考查，解答中熟记直线与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的定义，找出线面角是解答的关键，注重考查了学生的空间想象能力和推理与论证能力，属于中档试题.。
2020山西省实验中学高一10月数学月考题
山西省实验中学2020—2021学年度第一学期第二次月考试题（卷）高一年级数学卷面总分值100分考试时间90分钟命题人：高一数学组审核人：高一数学组第一卷（客观题）一、单选题(本题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．)1.满足条件{1,2,3,4}⊆M ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．52.若a <0，－1<b <0，则下列不等式中正确的是()A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a3.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是()A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)4.若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是()A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]5.若函数f (x )的定义域为[0,3]，则函数(2)3f x x 的定义域为()A ．－32B ．－34C ．－32或－34 D.32或－34二、多选题(本题共4个小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的不得．下列选项中所给图象是函数图象的为()．下列选项中，能使b a ＋a b ≥2成立的条件有()>0 B.ab <0 C.a >0，b >0 D.a <0，b <0．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，都有112()(f x f x x x --x )＝2x B.f (x )＝x 2＋4x ＋3x )＝－3x ＋1D ．f (x )＝x ＋1x 已知集合2{|0,0}x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（）A.224a b -≤B.21+4a b ≥C.若不等式20x ax b +-<的解集为12{|}x x x x <<，则120x x >D.若不等式2x ax b c ++<的解集为12{|}x x x x <<，且12||4x x -=，则1c =第二卷（主观题）三、填空题(本题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)15.()f x 为(0,)+∞上的增函数，且对任意(0,)x ∈+∞，都有2(())1f f x x+=-，则(1)f =____．16.当11x -≤≤时，不等式2ax 2＋2x －3<0恒成立，则实数a 的取值范围是________．A B C D四、解答题(本题共4个小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分8分)设集合{|121}A x a x a =-<<+，{|03}B x x =<≤,U R =.（1）若a =12，求A B ⋃,()U A C B ⋂;（2）若()U A C B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分8分)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋b>0的解集为{x|x<1或x>2}．(1)求a ，b 的值；(2)当c ∈R 时，解关于x 的不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0(用c 表示)．19.(本小题满分8分)某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m(mg)的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(mg·L－1)满足y＝mf(x)，其中f(x)0<x≤4，x>4.当药剂在水中释放的浓度不低于4mg·L－1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4mg·L－1且不高于10mg·L－1时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为4mg，问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．。
山西省2020学年高二数学上学期10月联合考试试题理(含解析)
】
设
向
量
a
x1, y1, z1, b
则
r
r
x1
x2, y1
y2, z1
z2
.
a + b =
7.在三棱柱
ABC
A1B1C1
VB1
ABC1
()
中，VABC
A B C
1
1
1
1
1
C.
1
D.
1
A.
B.
3
6
8
2
【答案】C
【分析】
【剖析】
利用等体积转变法， 则有VB1ABC1
VC1
ABB1
，又CC1
P平面ABB1,所以点C, C1到平面ABB1的
二、填空题：本大题共
4小题，每题
第Ⅱ卷
5分，共
20分．将答案填在答题卡中的横线上．
13.在空间直角坐标系
O
xyz中，点A 5, 3,1对于
y轴的对称点的坐标为
______．
【答案】
5,3,1
【分析】
【剖析】
点A对于
y轴的对称点
,则纵坐标不变，其他坐标变成相反数即可
.
【详解】点
A 5, 3,1对于
y轴的对称点的坐标为
S直观图=2S原图形．
4
5.设 ，
为两个不一样的平面，
m，n为两条不一样的直线，则以下判断正确的选项是()
A.若n
，m
，则m
n
B.若∥
，m
，则m
C.若
，I
l，m
l，则m
D.若m Pn，m P
，则n P
【答案】B
【分析】
山西省高二数学10月月考试卷
山西省高二数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）对x1＞x2＞0，0＜a＜1，记y1= + ，y2= + ，则x1x2与y1y2的关系为（）A . x1x2＞y1y2B . x1x2=y1y2C . x1x2＜y1y2D . 不能确定，与a有关2. （2分） (2020高三上·正定月考) “ ，或”的否定是（）A . ，且B . ，且C . ，或D . ，或3. （2分） (2017高一下·鹤岗期末) 已知正实数满足，则的最大值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·银川模拟) 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（）B .C .D .5. （2分） (2017高三上·张家口期末) 已知双曲线C的焦点为F1 ， F2 ，点P为双曲线上一点，若|PF2|=2|PF1|，∠PF1F2=60°，则双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .6. （2分）设等差数列的前n项和为是方程的两个根，则等于（）A .B . 5C .D . -57. （2分） (2020高二下·天津期中) 已知函数的图象为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A .B .D .8. （2分）不等式对恒成立，则k的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·漳州模拟) 已知双曲线的离心率为，一条渐近线为l，抛物线的焦点为F，点P为直线l与抛物线异于原点的交点，则（）A . 3B . 4C . 6D . 510. （2分） (2019高二上·浠水月考) 已知双曲线上一点到左焦点的距离为6，则它到右焦点的距离为（）A . 10B . 2C . 10或2D . 10或6二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2020高一下·七台河期中) 已知等比数列的公比为正数，且，，则________.12. （1分） (2019高二上·葫芦岛月考) 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是________.13. （1分） (2018高二上·南通月考) 已知直线与椭圆交于两点（直线的斜率大于0），且，若的面积为，则直线的方程为________．14. （1分） (2019高三上·南京月考) 已知，，且，则的最大值为________.15. （1分） (2016高二上·陕西期中) 已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：（a＞b ＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆Γ的离心率为________．三、解答题 (共5题；共40分)16. （5分） (2019高一下·包头期中) 已知函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若，求关于的不等式的解集．17. （10分）已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这个数列．18. （5分）(2014·新课标I卷理) 已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（1）证明：an+2﹣an=λ（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．19. （10分） (2018高二下·陆川月考) 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问:在轴上是否存在定点 ,使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在,请说明理由.20. （10分）(2018·河北模拟) 已知点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点.（1）若直线的斜率为1，，求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴交于点，，求的值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共40分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
山西省实验中学2020-2021学年高二上学期第三次月考数学(理)试题
山西省实验中学2020-2021学年度第一学期第三次月考试题（理）高二数学总分100分 时间90分钟一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线2228x y -=的实轴长是A. 2B.C. 4C试题分析：双曲线方程变形为22148x y -=，所以28b b =∴=2b =考点：双曲线方程及性质2. 抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上且其横坐标为4，则AF =（ ）A. B. 5 C. 4 D. 3B本题首先可以根据抛物线方程确定焦点F ，然后根据横坐标为4确定点A 坐标，最后根据两点间距离公式即可得出结果.因为抛物线方程为24y x =，所以焦点()1,0F ， 因为点A 在抛物线上且其横坐标为4， 所以244y ，解得4y =或4-，点A 坐标为()4,4或()4,4-，取()4,4A ，则5AF ==；取()4,4A -，则5AF ==，故选：B.3. “35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B先根据椭圆知识求出方程22153x y m m +=-+表示椭圆的充要条件，再根据必要不充分条件的概念可得结果.因为方程22153x ym m +=-+表示椭圆的充要条件是503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，即35m -<<且1m ≠，故“35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.本题考查了椭圆的标准方程，考查了必要不充分条件，属于基础题.4. 若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等D09k <<，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-的实半轴长为5，，焦距为=离双曲线221259x y k -=-，虚半轴长为3， 焦距为=， 因此，两双曲线的焦距相等，故选D.5. 已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A. (B. (C. (D. ( A由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF ⋅=0000(3,)(3,)x y x y ---⋅--=2220003310x y y +-=-<，解得03333y -<<，故选A .考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.6. 若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是（ ） A. 2 B.C.D. 3A由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，可将问题转化为抛物线焦点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离求解.由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离， 由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离， 点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和， 等于点P 到焦点的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为 点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝02237234+=+故选：Ａ本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及点到直线距离公式，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.7. 设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5A准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8. 斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为（ ）A. 2B.55C.105D.8105C设直线l 的方程为y x t =+，联立方程，结合韦达定理和弦长公式，求得24255AB t =-，即可求得弦长的最大值，得到答案.设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，直线l 的方程为y x t =+，由2244y x t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得22584(1)0x tx t ++-=， 则2121284(1),55t t x x x x -+=-=，所以12AB x =-=25t ==-，当0t =时，max 5AB =.故选：C. 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，结合根与系数的关系，以及弦长公式，准确运算解答的关键，着重考查推理与运算能力.9. 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为A. 2B. 3C. 6D. 8C由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)， 则OP FP ⋅＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝20x ＋x 0＋20y ∵P 为椭圆上一点，∴204x ＋203y ＝1.∴OP FP ⋅＝20x ＋x 0＋320(1)4x -＝204x ＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2.∴OP FP ⋅的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.10. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为 F ，点M 在 C 上，5MF =，若以 MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为（ ） A. 24y x =或 28y x = B. 22y x =或 28y x =C. 24y x =或 216y x =D. 22y x =或 216y x = C∵抛物线C 方程为22(0)y px p =>,∴焦点(,0)2pF ，设(,)M x y ,由抛物线性质52pMF x =+=,可得52p x =-，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52， 由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.11. 已知椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=（ ）D利用直线过椭圆的焦点坐标，可得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和112F B AF =的条件，建立a b c 、、的关系式，进而求椭圆的离心率即可．椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+ 联立直线与椭圆方程22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +++-=（） 因为直线交椭圆于A ，B ，设1122Ax y B x y （，），（，） 由韦达定理可得22222121222222y y ,y y cb c b a b a b a b-+=-=++ 且112F B AF =，可得212y y =-，代入韦达定理表达式可得2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++ 即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭化简可得229c 2a =所以c e a ==故选：D ． 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．12. 抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线E 上的两个动点，且满足23AFB π∠=．过弦AB 的中点M 作抛物线E 准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB 的最大值为( )A【分析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF ．由抛物线定义得2|MN |＝a +b ，由余弦定理可得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ，进而根据基本不等式，求得|AB |的取值范围，从而得到本题答案． 设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP | 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ．由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos120°＝a 2+b 2+ab 配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ，又∵ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）214-（a +b ）234=（a +b ）2得到|AB |32≥（a +b ）．所以()()1323a b MN AB a b +≤=+，即MN AB 的最大值为33．故选A ．本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求MN AB的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆方程为_____．221106y x += 设椭圆方程为221mx ny +=（0m >,0n >,且m n ≠）,将两点坐标代入椭圆方程，求出,m n 即可.设椭圆方程为221mx ny +=（0m >,0n >,且m n ≠）.椭圆经过两点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则925144351m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得16110m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以所求椭圆方程为221106y x +=.故答案为：221106y x +=14. 设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF -的最小值为________．5-()23,0F ，122210,5PF PF a MF +====，()12221010105105PM PF PM PF PM PF MF ∴-=--=+-≥-=-=-，当且仅当三点2,,M F P 共线时取等号，故答案为5-.15. 已知椭圆22:1(0)2x y E m m m+=>的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的方程为__．221189x y +=由题意可知，点F ，0)，所以直线AB的斜率为k =，设A ，B 两点的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，利用点差法可得，1212121212()2y y x x k x x y y -+=-==-+，从而求得m 的值，再代入椭圆E 的方程中即可得解．由题意可知，点F 0)，所以直线AB的斜率为k = 设A ，B 两点的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则221122221212x y mm x y m m⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，整理得，121212121212()2(1)22y y x x x x y y -+⨯=-=-=-+⨯-⨯，所以12k ==，解得9m =， ∴椭圆E 的方程为221189x y +=．故答案为：221189x y +=． 【点评】本题考查求椭圆的方程，合理运用点差法是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e的取值范围为，直线1y x =-+交椭圆于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ON ⊥，则椭圆长轴长的取值范围是______．设(),M x y ，()22,N x y ，联立222211y x x y a b =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩和韦达定理求出22221a b a =-，再根据e ∈，求出椭圆长轴长的取值范围.联立222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()222222220a b x a x a a b +-+-=设(),M x y ，()22,N x y ，则212222a x x a b +=+，2221222a ab x x a b -=+由OM ON ⊥，则()()()12121212121211210OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++=即22222222210a a b a a b a b--+=++，化简得22221a b a =-，c e a ==，222222212111121a b a e a a a -∴=-=-=--,3e ⎢⎣∈，211,32e ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，即221111121,,21322123a a ⎡⎤⎡⎤-∈⇒∈⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2235321,2,242a a ⎡⎤⎡⎤⇒-∈⇒∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得：22a ∈⎣⎦，2a ∴∈所以椭圆长轴长的取值范围是故答案为：思路点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知直线l ：2y x m =+，椭圆C ：22142x y +=.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．（1）m -<<2）m =±3）m <-m >先联立直线l 与椭圆C 的方程得到2298240x mx m ++-=,将公共点的个数转化为方程解的个数问题,利用∆与0的关系进行处理即可将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,得方程组222142y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,整理得2298240x mx m ++-=①,()()222849248144m m m ∆=-⨯⨯-=-+,（1）当0∆>,即3232m -<<时,方程①有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实解,这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点；（2）当0∆=,即32m =±时,方程①有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点,即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点； (3)当∆<0,即32m <-或32m >时,方程①没有实数根,可知原方程组没有实数解,这时直线l 与椭圆C 没有公共点本题考查已知直线与椭圆的位置关系求参数问题,考查转化思想18. 如图，已知1F 、2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=．求：（1）双曲线的离心率： （2）双曲线的渐近线方程． （13；（2）2y x =.（1）由题意知在21Rt PF F 中，1211243cos 3F F c PF PF F ∠==，2112323cPF PF ==，结合双曲线定义知122PF PF a =－232a =，进而得到离心率；（2）对于双曲线的性质，2221b c a c a a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，代入离心率即可求得结果．（1）2190PF F ∠=︒，1230PF F ∠=︒，在21Rt PF F 中，12112243cos cos303F F c c PF PF F ∠===，2112323cPF PF ==，由双曲线定义知122PF PF a =－，即2323c a =，3c a =，所以双曲线的离心率3e =．（2）对于双曲线，有222c a b =+，22b c a ∴=-．2221312b c a c a a a -⎛⎫∴==-=-= ⎪⎝⎭． 所以双曲线的渐近线方程为2y x =±．关键点点睛：本题考查双曲线的定义及简单几何性质，求双曲线渐近线方程的思路与方法，恰当利用几何条件时解题的关键，属于一般题. 19.已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值. （Ⅰ）焦点坐标为(3,0),(3,0).-，离心率为32c e a ==（Ⅱ）. |AB|的最大值为2 试题分析：（1）先由椭圆的标准方程求出值，再利用求出值，进而写出焦点坐标和离心率；（2）先讨论两种特殊情况（点在圆上，即斜率不存在的情况），再设出切线的点斜式方程，利用直线与圆相切得到与的关系，再联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系和弦长公式得到关于的关系式，再利用基本不等式进行求解．试题解析：（1）由已知得：2,1a b ==，所以223c a b =-=．所以椭圆G的焦点坐标为(0)，．离心率为c e a ==（2）由题意知：1m ≥．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A ，B的坐标分别为，(1,，此时AB =．当1m =-时，同理可得AB =．当1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-．由22(){14y k x m x y =-+=，得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则2122814k m x x k +=+，22122414k m x x k =+． 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+．所以AB ===，由于当1m =±时，AB =，所以AB =，(,1][1,)m ∈-∞-⋃+∞．因为23AB m m==≤+，且当m =2AB =， 所以AB最大值为2．考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．直线与圆的位置关系． 【易错点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题；在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况，导致结果错误不得分或步骤不全而失分，如本题（2）中，当斜率不存在时的直线，即切线l 的方程为1x =的情况．20. 如图，椭圆C ：()221212x y m m m +=>+-的离心率32e =，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，又P ，M ，N 为椭圆C 上非顶点的三点.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .（1）求椭圆C 的方程，并求12k k ⋅的值；（2）若//AP ON ，//BP OM ，判断OMN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.（1）椭圆C 的方程为2214x y +=，1214k k ⋅=-；（2）为定值，且定值为1.（1）结合已知条件，利用2222,,cc a b e b a c a=-==-求得,,c a b 的值，由此求得椭圆C 的方程.设出P 点坐标，结合P 在椭圆上，化简求得12k k ⋅的值.（2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，联立直线MN 的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，由14AP BP k k ⋅=-求得,k t 的关系式，利用弦长公式求得MN ，求得O 到直线MN 的距离d ，由此求得OMN 的面积为定值1. （1）由题意得()()123c m m =+--=32c e a ==，所以2a =，221b a c -=， 即椭圆C ：2214x y +=.设()00,P x y ，则222200001144x x y y ==-+⇒，又()2,0A -，()2,0B ，则()()20201220001142244x y k k x x x -⋅===--+-. （2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，22,1,4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x ktx t ⇒+++-=， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+，()()12121212121211404044AP BP y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=，()()22121241440k x x kt x x t ++++=，()22222448414404141t ktk kt t k k -+⋅-⋅+=++即()()()2222224144324410k t k t t k +--++=，即2281640t k --=22241t k ⇒-= 22241t k ⇒=+，MN ==========O 到直线MN 的距离d =所以112OMNS=⋅==.∴OMN 的面积为定值1.本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形的面积问题，考查运算求解能力，属于难题.。
山西省实验中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题
故选B．
12．B
【详解】
由题意知函数y＝ ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ ex上点的最小距离的2倍．设y＝ ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则 ，∴x0＝ln 2，y0＝1，
3．直线 是曲线 的一条切线，则实数 的值为（ ）
A．-1B． C． D．1
4．设曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则函数 的部分图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
5．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A． B． C． D．
6．函数 的定义域为 ，其导函数 在 的图象如图所示，则函数 在 内的极小值点个数为（）
山西省实验中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数 ，则 （）
A． B． C． D．
2．设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （）
A．2B． C． D．
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
（Ⅱ）若，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的利润最大，并求最大值.
2020届山西省实验中学高三上学期10月月考数学(文)试题(解析版)
2020届山西省实验中学高三上学期10月月考数学（文）试题一、单选题1．已知sin 25παπα⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，，，则tan α= A ．12-B ．2C ．12D ．2-【答案】A【解析】先利用平方关系求出cos α的值，再求tan α的值得解. 【详解】因为2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以cos =α-=， 所以sin 1tan cos 2ααα==-. 故选：A 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．下列函数中存在最大值的是 A ．322y x x =- B ．2423y x x =-- C ．423y x x =- D ．n 1l y x x=+【答案】B【解析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】对于选项A,显然当x →+∞时，,y x →+∞→-∞时，y →-∞，所以没有最大值，所以该选项是错误的；对于选项B, 24422223(2)3(1)4y x x x x x =--=--+=--+，所以函数的最大值是4，所以该选项是正确的；对于选项C, 423y x x =-,当x →+∞时，y →+∞，所以函数没有最大值，所以该选项是错误的； 对于选项D, n 1l y x x=+,当x →+∞时，y →+∞，所以函数没有最大值，所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3．函数()sin(2)5f x x π=-的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 【答案】C【解析】直接利用正弦函数的最小正周期公式求解. 【详解】由题得函数的最小正周期为2=2ππ. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 4．已知a 为函数()312f x x x =-的极小值点，则a =（ ）A ．－4B ．－2C ．4D ．2【答案】D【解析】利用导数研究函数的极值得解. 【详解】由题得2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-， 令()0,22f x x x '=∴=-=或，所以函数的增区间为,2),(2,)-∞-+∞（，减区间为（-2,2）, 所以函数的极小值点为x=2. 所以a=2. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．记()cos 80k -︒=，那么tan100︒=（ ）A ．k- B ．kC ．D ．【答案】A【解析】试题分析：80sin ︒，所以801008080sin tan tan cos ︒︒=-︒=-︒k-＝ A. 【考点】弦切互化.6．函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数 ( ) A.π3π(,)22B.(π,2π)C.3π5π(,)22D.(2π,3π)【答案】B【解析】求()'f x 后令()'0f x <可得函数的单调间区间，逐一比较可得正确选项. 【详解】令()cos sin f x x x x =-，则()'co s s i n c o s s i n f x x x x x x x=--=-，令()'0f x >，可得()2,22,x k k k N ππππ∈++∈或()22,2,x k k k N ππππ∈----∈， 故选B. 【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤.7．若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】求出导函数，导函数为奇函数的符合题意．A 中为奇函数，B 中 非奇非偶函数，C 中为偶函数，D 中+1非奇非偶函数．故选A ． 【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质． 8．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.9．在ABC ∆中，AM 为BC 边上的中线，点N 满足12AN NM =，则BN =uuu r A ．1566AC AB - B ．5166AC AB - C ．1566AC AB +D ．5166AC AB +【答案】A【解析】利用平面向量的加法和减法法则求解. 【详解】由题得12121()()23232BN BM MN BC MA AC AB AB AC =+=+=--⨯+ =1566AC AB -. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．已知函数()()x cos x 0f x ωωω=+>最小正周期为π，则函数()f x 的图A.关于直线12x π=对称B.关于直线512x π=对称 C.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】分析：先化简函数f(x)=2sin()6wx π+,再根据周期求出w ，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得f(x)=2sin()6wx π+，因为2,2,()2sin(2).6w f x x w πππ=∴=∴=+对于选项A,把12x π=代入函数得(=2sin()21266f πππ+=≠±），所以选项A是错误的； 对于选项B, 把512x π=代入函数得55(=2sin()021266f πππ+=≠±），所以选项B 是错误的； 对于选项C,令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-无论k 取何整数，x 都取不到12π,所以选项C 是错误的. 对于选项D, 令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-当k=1时，512x π=，所以函数的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.11．已知曲线()y f x =在()()5,5f 处的切线方程是5y x =-+，则()5f 与()'5f 分别为( ) A.5，1- B.1-，5 C.1-，0 D.0，1-【答案】D【解析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5， 得到纵坐标即f （5）． 【详解】由题意得f （5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．12．若P 是函数()ln f x x x =图像上的动点，已知点0,1A -（），则直线AP 的斜率的取值范围是A ．[)1+∞， B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【答案】A【解析】设函数()f x xlnx =图象上的动点0(P x ，0)y ，利用斜率公式表达直线AP 斜率0001x lnx k x +=；令1()xlnxh x x+=；求函数()h x 的最值可得k 的范围． 【详解】P 是函数()f x xlnx =图象上的动点，点(0,1)A -，设0(P x ，0)y ，00x >，则：000y x lnx =，则直线AP 斜率001x lnx k x +=； 令1()xlnxh x x+=；求函数()h x 的最值可得k 的范围， 22(1)(1)1()x lnx xlnx x h x x x+-+-'==；当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增； 当01x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减； 所以函数()h x 的最小值为：h （1）1=； 所以：()1h x …， 即：1k …，直线AP 斜率的取值范围是[1，)+∞ 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想，转化思想的应用，考查计算能力．二、填空题13．函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=++-的振幅是________。
山西省实验中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学(理)试题
山西省实验中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥B ．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D ．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱2．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βB ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l ⊥平面γC ．不存在四个角都是直角的空间四边形D ．空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行直线可能变成相交的直线 3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403B ．803C ．40D ．804．如图，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为 1 的正方形，则原图形的周长为（ ）A ．B ．6C ．8D ．2+5．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， E F ，是侧面对角线1BC ， 1AD上一点，若1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）A ．12B ．34C D 6．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,棱长为1,E F 、分别为11C D 与AB 的中点,1B 到平面1A FCE 的距离为A ．5B ．5C ．2D ．37．直四棱柱1111ABCD A B C D -的半球SO ，四边形ABCD 为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB 的长是（ ）A ．1BCD ．28．如图,在直三棱柱111ABC A B C -中， 1,2,AB AC AB AA AC ⊥===过BC 的中点D 作平面1ACB 的垂线，交平面11ACC A 于E ，则BE 与平面11ABB A 所成角的正切值为（ ）A ．5B ．10C ．10D ．5二、填空题9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．10．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则cos α=_____．11．平面α内的60MON ∠=,PO 是α的斜线，345PO POM PON =∠=∠=，，那么点P 到平面α的距离为__________．12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）. ①当102CQ时，S 为四边形；②当12CQ 时，S 为等腰梯形；③当34CQ 时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R =；④当314CQ 时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S 的面积为2.13．如图，在三棱锥P ABC -中，1AC BC CP ===，且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABC ，过P 作截面分别交,AC BC 于,E F ，且二面角P EF C --的大小为60，则截面PEF 面积的最小值为 .14．Rt ABC ∆中CA CB ==,M 为AB 的中点，将ABC ∆沿CM 折叠，使AB 、之间的距离为1，则三棱锥M ABC -外接球的体积为__________．15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AB 的中点，N 为1BB 的中点，O 为平面11BCC B 的中心，过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q ，则PQ 的长为__________．16．如图，在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.三、解答题17．（本小题共12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点D 是AB 的中点，（1）求证：CD ⊥平面11A ABB ；（2）求证：1//AC 平面1CDBAB 1A 1C1BDC18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G 为线段PC 上的点．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若G 是PC 的中点，求DG 与PAC 所成的角的正切值；（Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求的值．19．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//,90AB CD DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）求二面角A CM B --的余弦值.参考答案1．D【解析】选项A,棱锥的定义是如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,选项错误;选项B,棱台是由棱锥被平行于地面的平面所截而得, 而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体也有可能不是棱台,如图所示,选项错误;选项C,棱锥的各个侧面都是等边三角形，顶角都是60度,360660︒=︒,即这个棱锥不可能为六棱锥,选项错误;选项D, 若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的两边垂直，则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，选项正确;故选D.2．D【解析】选项A, 假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；选项B, 由面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l 平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立； 选项C,假设存在四个角都是直角的空间四边形A-BCD,则,,AD AB AD CD ⊥⊥AD 为AB,CD 的公垂线, ,,BC AB BC CD ⊥⊥BC 为AB,CD 的公垂线,这与公垂线的性质矛盾,故命题正确;选项D, 空间图形经过中心投影后，直线是直线或者点，平行直线投影后可能是平行直线，重合直线，或者是两个点，不可能相交,命题错误;故选D.3．A【解析】该几何体为四棱锥,如图所示,其中SA ⊥平面ABCD,SA=4,底面ABCD 是直角梯形,4,1,4,AD BC AB ===该几何体的体积为1144044323V +=⨯⨯⨯=,故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4．C【解析】试题分析：因为四边形ABCD 的直观图是一个边长为1的正方形，所以原图形为平行四边形，一组对边为1，另一组对边长为3=，所以圆图形的周长为()2138+=，故选C.考点：平面图形的直观图.5．B【解析】试题分析：在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中， 11BC AD ==AF x =，x =解得x =，即菱形1BED F =，则1BED F 在底面ABCD 上的投影四边形是底边为34，高为1的平行四边形，其面积为34，故选B.考点：平面图形的投影及其作法.6．D【解析】设点1B 到平面1A FCE 的距离为h ．∵正方体棱长为1，∴1122A F FC A C EF ====， ∴11112611311222A CF AB FS S =⨯⨯==⨯⨯=， 又1111B A CF C A B F V V --=，∴1111332=⨯⨯，解得h =即点1B 到平面1A FCE ．选D ． 点睛： 在空间中求点到面的距离时可利用空间向量进行求解，即将距离问题转化为向量的运算问题处理．另外也可利用等积法求解，解题时可将所求的距离看作是一个三棱锥的高，求出其体积后；将此三棱锥的底面和对应的高改换，再次求出其体积．然后利用同一个三棱锥的体积相等建立关于所求高为未知数的等式，解方程求出未知数即可得到所求的高．7．D【解析】设四棱柱底面边长为a,高为b (0b <<,则2222a b ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,即2262a b =-,四棱柱的体积为()23262,61V a b b b V b '==-=-,令0V '=,解得b=1,则函数在()0,1上单调递增,在(上单调递减,所以b=1,a=AB=2时体积最大,故选D.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解．8．C【解析】试题分析：连接及交点为，连接，由图形易知面，，故面，故与点重合，取中点,连接和，有几何关系易判断为BE 与平面11ABB A 所成角，，，故，故选项为C.考点：直线与平面所成的角.9．2π 【详解】试题分析：分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2DA =，则()()()112,0,2,0,1,0,2,1,2A M A M =--， ()()()()1112,1,20,2,10,2,1,0,2,1cos ,0A M DNN DN AM DN A M DN AM DN --⋅=∴〈〉===1AM DN ⊥，即异面直线A 1M 与DN所成角的大小是2π 考点：异面直线所成的角10．60°【解析】略11【解析】由最小角定理可得:cos cos ?cos ,,cos 2POM POH MOH POH POH ∠=∠∠=∠∠=,sin ?sin 3POH PH PO POH ∠=∴=∠==点P 到平面α故12．①②③⑤【详解】②当CQ =12时，即Q 为CC 中点，此时可得PQ ∥AD ，AP =QD = = ，故可得截面APQD 为等腰梯形，S 等腰梯形，故②正确；①由如图当点Q 向C 移动时，满足102CQ ，只需在DD 上取点M 满足AM ∥PQ ，即可得截面为四边形APQM ， 如图所示，S 是四边形，故①正确；③当CQ =34时，如图，延长DD 至N ，使DN =12，连接AN 交AD 于S ，连接NQ 交CD 于R ，连接SR ，可证AN ∥PQ ，由△NRD ∽△QRC ，可得CR ：DR =CQ ：DN =1：2，故可得CR =13，故③正确；④由③可知当34＜CQ ＜1时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然如图所示的APQRS ，如图S 是五边形，故④不正确；⑤当CQ =1时，Q 与C 重合，取AD 的中点F ，连接AF ，可证PC ∥AF ，且PC =AF ，可知截面为APCF 为菱形，故其面积为12AC •PF =122= ，如图S 是菱形，面积为22=，故⑤正确，故答案为①②③⑤．考点：正方体的性质.13．23【解析】试题分析：过P 做PG ⊥EF ，垂足为G ，连接CG 则由三垂线定理可得EF ⊥CG ，∴∠PGC 即为二面角角P-EF-C 的平面角，∴∠PGC=60°，PC=1，∴在三角形PEF 斜边EF 边上的高为，，设CE=a ，CF=b ，则，在三角形CEF 中，ab=3≥∴ab≥3，∴23ab ≥,∴三角形PEF 的面积为12233ab ⨯=≥,故截面PEF 面积的最小值为23考点：本题考查了二面角的应用．点评：解决此类问题的关键是利用三垂线定理作出二面角，然后利用基本不等式求出最值即可14．54【解析】Rt ABC ∆中, 2CA CB AB ==∴=,又M 为AB 的中点，1MA MB MC ∴===,故对折后三棱锥M-ABC 的底面为边长为1的等边三角形,如图所示, 其外接球可化为以MAB 为底面,以MC 为高的正三棱柱的外接球,设三棱锥M-ABC 外接球的球心为O,则球心到MAB的距离1122d MC ==,平面MAB 的外接球半径r =,故三棱锥M-ABC 外接球的半径R ===则体积为334433V R ππ=== 54,故填54.15．3【解析】连接ON ，由ON∥AD 知，AD 与ON 确定一个平面α．又O 、C 、M 三点确定一个平面β（如图所示）．∵三个平面α，β和ABCD 两两相交，有三条交线OP 、CM 、DA ，其中交线DA 与交线CM 不平行且共面．∴DA 与CM 必相交，记交点为Q ，∴OQ 是α与β的交线．连接OQ 与AN 交于P ，与CM 交于Q ，故直线OPQ 即为所求作的直线．在Rt APQ ∆中, 1AQ =,又APQ OPN ∆~∆,2,AP AQ AN AP PQ PN NO ∴===∴=∴==.16．42⎡⎢⎣⎦， 【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以//MN EF ，又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ；因为11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，又1A N MN N =，所以1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在直角11A B M ∆中，12A M ===，同理，在直角11A B N ∆中，求得1A N =所以AMN ∆为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于,M N 处时1A P 最长，14AO ===，112A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是42⎡⎢⎣⎦，.考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.17．(1)见解析；（2）见解析。
2020届山西省实验中学高三上学期10月月考数学(文)试题(解析版)-含答案
2020届山西省实验中学高三上学期10月月考数学（文）试题一、单选题1．已知sin 25παπα⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，，，则tan α= A ．12-B ．2C ．12D ．2-【答案】A【解析】先利用平方关系求出cos α的值，再求tan α的值得解. 【详解】因为2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以cos =α-=， 所以sin 1tan cos 2ααα==-. 故选：A 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．下列函数中存在最大值的是 A ．322y x x =- B ．2423y x x =-- C ．423y x x =- D ．n 1l y x x=+【答案】B【解析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】对于选项A,显然当x →+∞时，,y x →+∞→-∞时，y →-∞，所以没有最大值，所以该选项是错误的；对于选项B, 24422223(2)3(1)4y x x x x x =--=--+=--+，所以函数的最大值是4，所以该选项是正确的；对于选项C, 423y x x =-,当x →+∞时，y →+∞，所以函数没有最大值，所以该选项是错误的； 对于选项D, n 1l y x x=+,当x →+∞时，y →+∞，所以函数没有最大值，所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3．函数()sin(2)5f x x π=-的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 【答案】C【解析】直接利用正弦函数的最小正周期公式求解. 【详解】由题得函数的最小正周期为2=2ππ. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 4．已知a 为函数()312f x x x =-的极小值点，则a =（ ）A ．－4B ．－2C ．4D ．2【答案】D【解析】利用导数研究函数的极值得解. 【详解】由题得2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-， 令()0,22f x x x '=∴=-=或，所以函数的增区间为,2),(2,)-∞-+∞（，减区间为（-2,2）, 所以函数的极小值点为x=2. 所以a=2. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．记()cos 80k -︒=，那么tan100︒=（ ）A ．k- B ．kC ．D ．【答案】A【解析】试题分析：80sin ︒，所以801008080sin tan tan cos ︒︒=-︒=-︒k-＝ A. 【考点】弦切互化.6．函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数 ( ) A.π3π(,)22B.(π,2π)C.3π5π(,)22D.(2π,3π)【答案】B【解析】求()'f x 后令()'0f x <可得函数的单调间区间，逐一比较可得正确选项. 【详解】令()cos sin f x x x x =-，则()'co s s i n c o s s i n f x x x x x x x=--=-，令()'0f x >，可得()2,22,x k k k N ππππ∈++∈或()22,2,x k k k N ππππ∈----∈， 故选B. 【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤.7．若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】求出导函数，导函数为奇函数的符合题意．A 中为奇函数，B 中 非奇非偶函数，C 中为偶函数，D 中+1非奇非偶函数．故选A ． 【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质． 8．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.9．在ABC ∆中，AM 为BC 边上的中线，点N 满足12AN NM =，则BN =uuu r A ．1566AC AB - B ．5166AC AB - C ．1566AC AB +D ．5166AC AB +【答案】A【解析】利用平面向量的加法和减法法则求解. 【详解】由题得12121()()23232BN BM MN BC MA AC AB AB AC =+=+=--⨯+ =1566AC AB -. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．已知函数()()x cos x 0f x ωωω=+>最小正周期为π，则函数()f x 的图A.关于直线12x π=对称B.关于直线512x π=对称 C.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】分析：先化简函数f(x)=2sin()6wx π+,再根据周期求出w ，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得f(x)=2sin()6wx π+，因为2,2,()2sin(2).6w f x x w πππ=∴=∴=+对于选项A,把12x π=代入函数得(=2sin()21266f πππ+=≠±），所以选项A是错误的； 对于选项B, 把512x π=代入函数得55(=2sin()021266f πππ+=≠±），所以选项B 是错误的； 对于选项C,令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-无论k 取何整数，x 都取不到12π,所以选项C 是错误的. 对于选项D, 令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-当k=1时，512x π=，所以函数的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.11．已知曲线()y f x =在()()5,5f 处的切线方程是5y x =-+，则()5f 与()'5f 分别为( ) A.5，1- B.1-，5C.1-，0D.0，1-【答案】D【解析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5， 得到纵坐标即f （5）． 【详解】由题意得f （5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．12．若P 是函数()ln f x x x =图像上的动点，已知点0,1A -（），则直线AP 的斜率的取值范围是A ．[)1+∞， B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【答案】A【解析】设函数()f x xlnx =图象上的动点0(P x ，0)y ，利用斜率公式表达直线AP 斜率0001x lnx k x +=；令1()xlnxh x x+=；求函数()h x 的最值可得k 的范围． 【详解】P 是函数()f x xlnx =图象上的动点，点(0,1)A -，设0(P x ，0)y ，00x >，则：000y x lnx =，则直线AP 斜率001x lnx k x +=； 令1()xlnxh x x+=；求函数()h x 的最值可得k 的范围， 22(1)(1)1()x lnx xlnx x h x x x+-+-'==；当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增； 当01x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减； 所以函数()h x 的最小值为：h （1）1=； 所以：()1h x …， 即：1k …，直线AP 斜率的取值范围是[1，)+∞ 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想，转化思想的应用，考查计算能力．二、填空题13．函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=++-的振幅是________。
山西大学附属中学校2024年高二10月月考数学答案
山西大学附中2024～2025学年第一学期高一（10月）月考（总第一次）数学评分细则一．选择题：1234567891011A DBAABCDABCBDABD三．填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12．21,10x x ∃≥-≥13．1314.12a ≥-四．解答题：（本题共4小题，共49分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
）15.(本小题12分)集合{}{}1213A x x B x x =-<<=<≤，，所以{|13}A B x x ⋃=-<≤,………4分{|12}A B x x =<< ，………8分{|12}R C A x x x =≤-≥或，则R (){|23}A B x x =≤≤ðI .………12分16.(1）由题知，{}13A x x =-<<………1分①若,22C m m =∅-≥+则，得0m ≤；………2分②若0,2123m C m m >⎧⎪≠∅-≥-⎨⎪+≤⎩则，得01m <≤………4分由①②可得：1m ≤………5分（2）()(){}10B x x a x a =++-<，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，………6分当1a a -<-时，即12a >时，(),1B a a =--，此时113a a -≤-⎧⎨-≥⎩且等号不同时成立，解得4a ≥，又12a >，所以[)4,a ∞∈+；………8分当1a a ->-时，即12a <时，()1,B a a =--，此时113a a -≤-⎧⎨-≥⎩且等号不同时成立，解得3a ≤-，又12a <，所以(],3a ∞∈--；………10分当1a a -=-时，即12a =，B =∅，不合题意舍；………11分综上所述，(][),34,a ∞∞∈--⋃+．………12分17.（1）设该种玻璃的售价提高到()25x x ≥欧元/平方米，则有()802252000x x --≥⎡⎤⎣⎦，………2分解得：2540x ≤≤，………4分所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.………5分（2）()25200050026003mn m m ³+++-，………7分整理得：25150023mn m m ³++，除以m 得：1500523n m m ³++，………8分由基本不等式得：15005221023n m m+=，………10分当且仅当150053m m =，即3025m =>时，等号成立，………11分所以该种玻璃的销售量n 至少达到102万平方米时，才可能使2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和，此时的售价为30欧元/平方米.………12分18.（1）若5n =，有{}51,2,3,4,5S =，由{}1,2,3,5A =，则{}*1,2,3,4A =，满足{}5*5A S = ，集合A 是5S 的恰当子集；………3分（2）{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，则{}*1,2,3,4,5,6A =，………4分*716A -=∈，由*5A ∈则75a -=或15b -=，………5分75a -=时，2a =，此时5b =，{}1,2,5,7A =，满足题意；………6分15b -=时，6b =，此时3a =，{}1,3,6,7A =，满足题意；………7分2a =，5b =或3a =，6b =.………8分（3）若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，当10n =时，{}1,2,3,7,10A =，有{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，满足{}0*110A S = ，所以{}1,2,3,7,10A =是10S 的恰当子集，………10分当11n =时，若存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，则需满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，由*10A ∈，则有1A ∈且11A ∈；由*9A ∈，则有2A ∈或10A ∈，2A ∈时，设{}()1,2,,,11310A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；当10A ∈时，设{}()1,,,10,1129A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；，因此不存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，………12分所以存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，n 的最大值为10.………13分。
高二数学第一次月考试卷及答案
高二数学月考试卷答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有15位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．515种B．155种C．50种D．50625种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有515种可能的下车方式，故选A.【答案】A2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选C.【答案】C3．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】B4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.04B．0.16C．0.24D．0.96【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】D5．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－x－128，x∈R，则其标准差为()A．1B．2C．4D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝122πe－x－128知σ＝2.【答案】B6．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16B．11C．2.2D．2.3【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】A7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】D8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140B．240C．360D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】B9．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p 的值为()【导学号：97270066】A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由二项分布的均值与方差性质得＝2.4，1－p＝1.44，＝6，＝0.4，故选B.【答案】B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()A.16B.18C.112D.124【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A44A22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝1 12 .【答案】C11．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况概率方案盈利(万元)S i PiA1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A 1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C.【答案】C12.如图12，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．264种B．360种C．1240种D．1920种【解析】由于A 和E 或F 可以同色，B 和D 或F 可以同色，C 和D 或E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C 13C 12A 55种；当五种颜色选择四种时，选法有C 45C 13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有C 35×2×A 33种，所以不同的涂色方法共C 13C 12A 55＋C 45C 13×3×A 44＋C 35×2×A 33＝1920.故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25615．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9的3次方×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1的4次方.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中恰好击中目标3次的概率应为C34×0.93×0.1＝0.93×0.4，只有①③正确．答案：①③16.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400<X<450)＝0.3，则P(550<X<600)＝________.【解析】由下图可以看出P(550<X<600)＝P(400<X<450)＝0.3.【答案】0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10x n ＝C 2xn ，x ＋1n ＝113C x －1n，试求x ，n 的值.【解】∵C x n ＝C n －x n ＝C 2xn ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！x ＋1！n －x －1！＝113·n ！x －1！n －x ＋1！，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．18．(本小题满分12分)要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X 1的分布列为X 15678910P 0.030.090.200.310.270.10同学乙击目标的环数X 2的分布列为X 256789P 0.010.050.200.410.33(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手解：（1）EX 1＝，EX 2＝=8DX 1=1.50DX 2=0.8两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。
山西省阳泉市数学高二上学期理数10月月考试卷
山西省阳泉市数学高二上学期理数10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·成都月考) 若P点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，且,则的面积为（）A . 2B . 1C .D .2. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知圆，则通过原点且与圆相切的直线方程为（）．A .B .C .D .3. （2分）某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台设备A、每台设备B上加工1件甲产品所需工时分别为1h和2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h和1h，A设备每天使用时间不超过4h，B设备每天使用时间不起过5h，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是（）A . 18万元B . 12万元C . 10万元D . 8万元4. （2分） (2019高二上·双流期中) 直线l：3x-y-6=0被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长是（）A . 10B . 5C .D .5. （2分） (2018高二下·哈尔滨月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2 ，点M在该椭圆上，且 ,则点M到x轴的距离为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·铜陵期中) 如图，在长方形ABCD中，AB= ，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A .B .C .D .7. （2分）已知实数x、y满足，在区间（0，5）内任取两数a、b．则目标函数z=ax+by的最小值大于2 的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）直线与圆交于E,F两点，则EOF（O是原点）的面积为（）A .B .C .D .9. （2分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（）A . 2B . 410. （2分）下面四个命题：①若直线平面，则内任何直线都与a平行；②若直线平面，则内任何直线都与a垂直；③若平面平面，则内任何直线都与平行；④若平面平面，则内任何直线都与垂直。
【月考试卷】2020届山西省实验中学高三上学期10月月考数学(文)试题 (含答案)
2020届山西省实验中学高三上学期10月月考数学（文）试题一、单选题1．已知sin 25παπα⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，，，则tan α= A ．12-B ．2C ．12D ．2-【答案】A【解析】先利用平方关系求出cos α的值，再求tan α的值得解. 【详解】因为2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以cos =α-=， 所以sin 1tan cos 2ααα==-. 故选：A 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．下列函数中存在最大值的是 A ．322y x x =- B ．2423y x x =-- C ．423y x x =- D ．n 1l y x x=+【答案】B【解析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】对于选项A,显然当x →+∞时，,y x →+∞→-∞时，y →-∞，所以没有最大值，所以该选项是错误的；对于选项B, 24422223(2)3(1)4y x x x x x =--=--+=--+，所以函数的最大值是4，所以该选项是正确的；对于选项C, 423y x x =-,当x →+∞时，y →+∞，所以函数没有最大值，所以该选项是错误的； 对于选项D, n 1l y x x=+,当x →+∞时，y →+∞，所以函数没有最大值，所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3．函数()sin(2)5f x x π=-的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 【答案】C【解析】直接利用正弦函数的最小正周期公式求解. 【详解】由题得函数的最小正周期为2=2ππ. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 4．已知a 为函数()312f x x x =-的极小值点，则a =（ ）A ．－4B ．－2C ．4D ．2【答案】D【解析】利用导数研究函数的极值得解. 【详解】由题得2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-， 令()0,22f x x x '=∴=-=或，所以函数的增区间为,2),(2,)-∞-+∞（，减区间为（-2,2）, 所以函数的极小值点为x=2. 所以a=2. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．记()cos 80k -︒=，那么tan100︒=（ ）A ．k- B ．kC ．D ．【答案】A【解析】试题分析：80sin ︒，所以801008080sin tan tan cos ︒︒=-︒=-︒k-＝ A. 【考点】弦切互化.6．函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数 ( ) A.π3π(,)22B.(π,2π)C.3π5π(,)22D.(2π,3π)【答案】B【解析】求()'f x 后令()'0f x <可得函数的单调间区间，逐一比较可得正确选项. 【详解】令()cos sin f x x x x =-，则()'co s s i n c o s s i n f x x x x x x x=--=-，令()'0f x >，可得()2,22,x k k k N ππππ∈++∈或()22,2,x k k k N ππππ∈----∈， 故选B. 【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤.7．若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】求出导函数，导函数为奇函数的符合题意．A 中为奇函数，B 中 非奇非偶函数，C 中为偶函数，D 中+1非奇非偶函数．故选A ． 【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质． 8．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.9．在ABC ∆中，AM 为BC 边上的中线，点N 满足12AN NM =，则BN =uuu r A ．1566AC AB - B ．5166AC AB - C ．1566AC AB +D ．5166AC AB +【答案】A【解析】利用平面向量的加法和减法法则求解. 【详解】由题得12121()()23232BN BM MN BC MA AC AB AB AC =+=+=--⨯+ =1566AC AB -. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．已知函数()()x cos x 0f x ωωω=+>最小正周期为π，则函数()f x 的图A.关于直线12x π=对称B.关于直线512x π=对称 C.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】分析：先化简函数f(x)=2sin()6wx π+,再根据周期求出w ，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得f(x)=2sin()6wx π+，因为2,2,()2sin(2).6w f x x w πππ=∴=∴=+对于选项A,把12x π=代入函数得(=2sin()21266f πππ+=≠±），所以选项A是错误的； 对于选项B, 把512x π=代入函数得55(=2sin()021266f πππ+=≠±），所以选项B 是错误的； 对于选项C,令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-无论k 取何整数，x 都取不到12π,所以选项C 是错误的. 对于选项D, 令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-当k=1时，512x π=，所以函数的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.11．已知曲线()y f x =在()()5,5f 处的切线方程是5y x =-+，则()5f 与()'5f 分别为( ) A.5，1- B.1-，5C.1-，0D.0，1-【答案】D【解析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5， 得到纵坐标即f （5）． 【详解】由题意得f （5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．12．若P 是函数()ln f x x x =图像上的动点，已知点0,1A -（），则直线AP 的斜率的取值范围是A ．[)1+∞， B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【答案】A【解析】设函数()f x xlnx =图象上的动点0(P x ，0)y ，利用斜率公式表达直线AP 斜率0001x lnx k x +=；令1()xlnxh x x+=；求函数()h x 的最值可得k 的范围． 【详解】P 是函数()f x xlnx =图象上的动点，点(0,1)A -，设0(P x ，0)y ，00x >，则：000y x lnx =，则直线AP 斜率001x lnx k x +=； 令1()xlnxh x x+=；求函数()h x 的最值可得k 的范围， 22(1)(1)1()x lnx xlnx x h x x x+-+-'==；当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增； 当01x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减； 所以函数()h x 的最小值为：h （1）1=； 所以：()1h x …， 即：1k …，直线AP 斜率的取值范围是[1，)+∞ 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想，转化思想的应用，考查计算能力．二、填空题13．函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=++-的振幅是________。