2021届江苏省南师附中等四校高三联考数学试卷
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考点：集合的求交运算及元素与集合的关系．
2．
【解析】
试题分析：由 可得 ，所以答案应填： ．
考点：复数的乘、除法运算法则．时， ，所以答案应填： ．
考点：算法流程图的识读及分析、判断能力．
4．
【解析】
试题分析：由频率分布直方图可以看出在 ～ 之间的频率为 ，故 辆汽车在这段时间内以正常速度通过该处有 辆，所以答案应填： ．
4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为 ～ ，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有__________辆．
5．将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 的图象过原点，则 _________．
8．
【解析】
试题分析：由等比数列的性质可知 ，则以 为根的二次方程为 ，解之得 ，注意到公比为整数，所以 ，故 ，所以 ，答案应填： ．
考点：等比数列的通项公式和性质．
9．
【解析】
试题分析：设侧面三角形的高为 ，则 ，解之可得 ，故棱锥的高为 ，所以棱锥的体积为 ，答案应填： ．
考点：正四棱锥的侧面面积和体积公式．
10．
【解析】
试题分析：设圆心为 ，双曲线的一条渐近线方程为 ，则圆心 到渐近线 的距离 ，解之可得 ，故双曲线离心率的取值范围是 ，答案应填： ．
考点：1、点到直线的距离公式；2、圆与直线的位置关系；3、双曲线的渐近线、离心率．
（3）是否存在正整数 ，满足 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知圆上是弧 =弧 ，过点 的圆的切线 与 的延长线交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
22．已知矩阵 的一个特征值 所对应的一个特征向量 ，求矩阵 的逆矩阵 ．
23．在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 为 ．曲线 上的任意一点的直角坐标为 ，求 的取值范围．
【最新】江苏省南师附中等四校高三联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设集合 ， ， ，则实数 的值为________．
2．设复数 满足 （ 是虚数单位），则 ________．
3．下图是一个算法流程图，则输出的 的值是________．
【解析】
试题分析：由题设和偶函数的单调性可知 ，解之得 ，所以答案应填： ．
考点：偶函数的性质、函数单调性的定义及运用．
【易错点晴】本题主要考查的是函数单调性及运用，属于中档偏难题．解题时一定要注意等价转化．解题过程中巧妙地运用了偶函数的一个重要性质 ，从而避免了繁冗的分类讨论,简化了运算的过程．解本题的关键是如何去掉不等式 中的函数符 ,从而进行等价转化获得答案．
24．已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求实数 的值；
（2）求 的最大值．
25．某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：
抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．
（2）若点 都在椭圆 上，且 中点 在线段 （不包括端点）上．
①求直线 的斜率；
②求 面积的最大值．
18．如图， 是海岸线OM，ON的两个码头， 为海中一小岛，在水上旅游线 上，测得 到海岸线 的距离分别为 ， ．
（1）求水上旅游线 的长；
（2）海中 ，且 处的某试验产生的强水波圆 ，生成 小时时的半径为 ．若与此同时，一游轮以 的速度自码头 开往码头 ，试研究强水波是否波及游轮的航行?
15．如图，在四棱锥 中， ，且 ， ，点 在棱 上，且 ．
（1）求证:平面 平面 ；
（2）求证: 平面 ．
二、解答题
16．在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求 的大小；
（2）设 的平分线 交 于 ， 求 的值．
17．在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率 ，且点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
10．已知双曲线 的渐近线与圆 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．
11．若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是________．
12．已知 外接圆 的半径为2，且 ， ，则 ________．
13．已知 为正实数，则 的最小值为________．
14．设 对任意 恒成立，其中 是整数，则 的取值的集合为________．
19．设 ，函数 ，其中 是自然对数的底数，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（1）求实数 的值；
（2）求证:函数 存在极小值；
（3）若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
20．正项数列: ，满足: 是公差为 的等差数列， 是公比为2的等比数列．
（1）若 ，求数列 的所有项的和 ；
（2）若 ，求 的最大值；
6．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则甲获胜的概率是_____
7．设偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围是_______．
8．在等比数列 中，已知 ， ，且公比为整数，则 ________．
9．如图，正四棱锥 的底面一边 长为 ，侧面积为 ，则它的体积为________．
（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；
（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金 元。求 的分布列和 的值。
26．设函数 ，数列 满足： ．
（1）求证: 时， ；
（2）求证: （ ）；
（3）求证: （ ）．
参考答案
1．
【解析】
试题分析：由 可知 或 ，即 ,所以答案应填： ．
考点：频率分布直方图的识读及频率、频数之间的关系和运算求解能力．
5．
【解析】
试题分析：由题设可知 ，由题意 ，即 ，注意到 所以 ，所以答案应填： ．
考点：三角函数的图象和性质、简单三角方程的求解．
6．
【解析】
试题分析：因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概 ，应填 .
考点：概率的求法.
7．
2．
【解析】
试题分析：由 可得 ，所以答案应填： ．
考点：复数的乘、除法运算法则．时， ，所以答案应填： ．
考点：算法流程图的识读及分析、判断能力．
4．
【解析】
试题分析：由频率分布直方图可以看出在 ～ 之间的频率为 ，故 辆汽车在这段时间内以正常速度通过该处有 辆，所以答案应填： ．
4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为 ～ ，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有__________辆．
5．将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 的图象过原点，则 _________．
8．
【解析】
试题分析：由等比数列的性质可知 ，则以 为根的二次方程为 ，解之得 ，注意到公比为整数，所以 ，故 ，所以 ，答案应填： ．
考点：等比数列的通项公式和性质．
9．
【解析】
试题分析：设侧面三角形的高为 ，则 ，解之可得 ，故棱锥的高为 ，所以棱锥的体积为 ，答案应填： ．
考点：正四棱锥的侧面面积和体积公式．
10．
【解析】
试题分析：设圆心为 ，双曲线的一条渐近线方程为 ，则圆心 到渐近线 的距离 ，解之可得 ，故双曲线离心率的取值范围是 ，答案应填： ．
考点：1、点到直线的距离公式；2、圆与直线的位置关系；3、双曲线的渐近线、离心率．
（3）是否存在正整数 ，满足 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知圆上是弧 =弧 ，过点 的圆的切线 与 的延长线交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
22．已知矩阵 的一个特征值 所对应的一个特征向量 ，求矩阵 的逆矩阵 ．
23．在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 为 ．曲线 上的任意一点的直角坐标为 ，求 的取值范围．
【最新】江苏省南师附中等四校高三联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设集合 ， ， ，则实数 的值为________．
2．设复数 满足 （ 是虚数单位），则 ________．
3．下图是一个算法流程图，则输出的 的值是________．
【解析】
试题分析：由题设和偶函数的单调性可知 ，解之得 ，所以答案应填： ．
考点：偶函数的性质、函数单调性的定义及运用．
【易错点晴】本题主要考查的是函数单调性及运用，属于中档偏难题．解题时一定要注意等价转化．解题过程中巧妙地运用了偶函数的一个重要性质 ，从而避免了繁冗的分类讨论,简化了运算的过程．解本题的关键是如何去掉不等式 中的函数符 ,从而进行等价转化获得答案．
24．已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求实数 的值；
（2）求 的最大值．
25．某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：
抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．
（2）若点 都在椭圆 上，且 中点 在线段 （不包括端点）上．
①求直线 的斜率；
②求 面积的最大值．
18．如图， 是海岸线OM，ON的两个码头， 为海中一小岛，在水上旅游线 上，测得 到海岸线 的距离分别为 ， ．
（1）求水上旅游线 的长；
（2）海中 ，且 处的某试验产生的强水波圆 ，生成 小时时的半径为 ．若与此同时，一游轮以 的速度自码头 开往码头 ，试研究强水波是否波及游轮的航行?
15．如图，在四棱锥 中， ，且 ， ，点 在棱 上，且 ．
（1）求证:平面 平面 ；
（2）求证: 平面 ．
二、解答题
16．在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求 的大小；
（2）设 的平分线 交 于 ， 求 的值．
17．在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率 ，且点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
10．已知双曲线 的渐近线与圆 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．
11．若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是________．
12．已知 外接圆 的半径为2，且 ， ，则 ________．
13．已知 为正实数，则 的最小值为________．
14．设 对任意 恒成立，其中 是整数，则 的取值的集合为________．
19．设 ，函数 ，其中 是自然对数的底数，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（1）求实数 的值；
（2）求证:函数 存在极小值；
（3）若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
20．正项数列: ，满足: 是公差为 的等差数列， 是公比为2的等比数列．
（1）若 ，求数列 的所有项的和 ；
（2）若 ，求 的最大值；
6．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则甲获胜的概率是_____
7．设偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围是_______．
8．在等比数列 中，已知 ， ，且公比为整数，则 ________．
9．如图，正四棱锥 的底面一边 长为 ，侧面积为 ，则它的体积为________．
（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；
（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金 元。求 的分布列和 的值。
26．设函数 ，数列 满足： ．
（1）求证: 时， ；
（2）求证: （ ）；
（3）求证: （ ）．
参考答案
1．
【解析】
试题分析：由 可知 或 ，即 ,所以答案应填： ．
考点：频率分布直方图的识读及频率、频数之间的关系和运算求解能力．
5．
【解析】
试题分析：由题设可知 ，由题意 ，即 ，注意到 所以 ，所以答案应填： ．
考点：三角函数的图象和性质、简单三角方程的求解．
6．
【解析】
试题分析：因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概 ，应填 .
考点：概率的求法.
7．