柯西积分公式及高阶导数公式
复变函数积分计算
复变函数积分计算方法总结1、 一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分：()CCCf z dz udx vdy i udy vdx =-++⎰⎰⎰若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则：()[()]()Cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2、 柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则：()0Cf z dz =⎰由闭路变形原理可得重要积分：100, 012, 0()n C n dz i n z z π+≠⎧=⎨=-⎩⎰ 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。
3、 柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：00()2()f z dz if z z z πΓ=-⎰高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：()010()2()()!n n f z i dz f z z z n π+Γ=-⎰ 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。
4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分00101()()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz iz z π∞+=-∞=--<=-∑⎰，其中：其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。
当1n =-时，-1次项的系数为11()2Cc f z dz iπ-=⎰，因此1()2Cf z dz ic π-=⎰5、 用留数计算复积分 函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2Cs f z z f z dz iπ=⎰，即洛朗级数展开式中-1次项的系数。
柯西积分公式
2i (e z )(n1)
(n 1)!
z0
2i . (n 1)!
25
例
求积分
C
(
z
1 2)2
z
3
dz.
其中C : (1) z 3 2; (2) z 1 3.
解
函数
(z
1 2)2
z3
有两个奇点z
2
和
z
0,
(1) z 3 2,
仅包含奇点
z
2,
取
z0
z
z
z0
z
d 2
,
1 2, z z0 z d
I
z
ML d 3
,
C
z0 d
D
19
I
z
ML d 3
,
这里 L 为C 的长度.
如果 z 0, 那末 I 0,
f
(
z0
)
lim
z0
f (z0 z) z
f (z0 ) 1 2i
f (z) z z0
dz,
f
( z0
z)
1 2i
C
z
f (z) z0 z
dz,
f (z0 z) f (z0 ) z
1 f (z)
f (z)
2zi C z z0 z dz C z z0 dz,
17
1
f (z)
dz
在z0不 解 析.
C
f (z) z z0
柯西积分公式与高阶导数公式
dz
(n 1,2,3, ),
高阶导数公式
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
进行, f (z0
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
f
(n)(z0 )
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
z
z3 1 2 (z 1)4
dz
2i [z3 3!
1]
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
f(n)(z0 )n!2 i
f (z) C (z z0 )n1
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下
第三讲 柯西积分公式与解析函数的高阶导数
工程数学II 课程教案授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：§3.5 柯西积分公式；§3.6 解析函数的高阶导数．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．熟练掌握柯西积分公式；2．熟练掌握高阶导数公式．教学重点及难点：重点： 柯西积分公式；高阶导数公式．难点： 柯西积分公式．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§3.5 柯西积分公式一、问题的提出0 , .B z B 设为一单连通域为中一点 () , f z B 如果在内解析那末()f z z z -在0.z 不解析0() d ,Cf z z z z -⎰所以一般不为零0.C B z 为内围绕的闭曲线根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. C 积分曲线取作以 00 , ,z z z δδ-=为中心半径为很小的的正向圆周 () ,f z 由的连续性 C 在上0 () ,f z z δ函数的值将随着的缩小而逐渐接近于它在圆心处的值0()d Cf z z z z -⎰00() d .()Cf z z z z δ-⎰将接近于缩小，00()d Cf z z z z -⎰0001()d 2().Cf z z if z z z π==-⎰二、柯西积分公式定理 () , f z D C D 如果函数在区域内处处解析为内的任何一条正向简单闭 0, , , D z C 曲线它的内部完全含于为内任一点那末001()()d .2πCf z f z z iz z =-⎰证 0 () , f z z 因为在连续0,ε∀>则()0,δε∃>0,z z δ-<当时 0()() .f z f z ε-<0 , ():z R R K δ<设以为中心半径为的正向圆周 0 ,z z R C -=全在的内部则()d Cf z z z z -⎰()d Kf z z z z =-⎰000()()()d d KKf z f z f z z z z z z z -=+--⎰⎰000()()2()d Kf z f z if z z z z π-=+-⎰00()()d Kf z f z z z z --⎰00()()d Kf z f z s z z -≤-⎰d 2π.Ks Rεε<=⎰上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.[证毕]柯西积分公式：001()()d 2Cf z f z z iz z π=-⎰关于柯西积分公式的说明:(1) 把函数在C 内部任一点的值用它在边界上的值表示.(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.2π0001()()d .2πi f z f z R e θθ=+⋅⎰三、典型例题例1 441sin 12 (1)d ;(2)d .213z z z z z izz z π==⎛⎫+⎪+-⎝⎭⎰⎰ 求下列积分 解 41s i n (1)d 2z z z izπ=⎰()s i n f z z =因为在复平面内解析 ()s i n f z z =因为在,复平面内解析由柯西积分公式41sin d 2z z z iz π=⎰12sin 2z i ziππ==⋅⋅0;=412(2)d .13z z z z =⎛⎫+⎪+-⎝⎭⎰ 4412d d 13z z z z z z ===++-⎰⎰2122i i ππ=⋅+⋅6.i π=例2 2d .1zz ez z =-⎰计算积分 解 () , zf z e =因为在复平面内解析12 , z z =<位于内由柯西积分公式12d 21zz z z ez i ez π===⋅-⎰2.e i π=例3 2121d .(1)z i z z z -=+⎰计算积分 解21(1)z z =+1()()z z i zi +-1()z z i z i+=-()f z =，1 () , 2f z z i -≤因为在内解析由柯西积分公式2121d (1)z i z z z -=+⎰121()d z i z z i z z i-=+=-⎰12()z ii z z i π==⋅+2122i iπ=⋅.i π=-例4 2223713, ()d , (1)CC x y f z f i zξξξξ++'+==+-⎰设表示正向圆周求解 根据柯西积分公式知, ,z C 当在内时2()2π(371)zf z i ξξξ==⋅++22(371),i z z π=++ ()2(67),f z i z π'=+故 1 , i C +而在内所以(1)2(613).f i i π'+=-+例5 2sin14 d , :(1) 1;12Czz C z z π+=-⎰计算积分其中1(2) 1;2z -=(3) 2.z =解 2112s i n 4(1)d 1z zz z π+=-⎰112s i n 41d 1z zz z z π+=-=+⎰1s i n 421z z i z ππ=-=⋅-;2i =(2)2112sin4d 1z zz z π-=-⎰112sin41d 1z zz z z π-=+=-⎰1sin 421z zi z ππ==⋅+;2i =(3) 由闭路复合定理, 得22sin4d 1z z z z π==-⎰2112sin4d 1z z z z π+=-⎰2112πsin4d 1z zz z -=+-⎰22i i =+.i =课堂练习 23d .(1)zz ez z z =-⎰计算积分 答案 0,1,1z z z ===-有三个奇点 123d (2).(1)zz ez i e ez z π-==+--⎰§3.6 解析函数的高阶导数．一、问题的提出问题: (1) 解析函数是否有高阶导数?(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1) 解析函数有各高阶导数.(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 二、主要定理定理 () , f z n 解析函数的导数仍为解析函数它的阶:导数为()01!()()d (1,2,)2π()n n Cn f z fz z n i z z+==-⎰0 () C f z D z 其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简, 单闭曲线D 而且它的内部全含于证 0 ,z D 设为内任一点根据导数的定义, 0000()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆从柯西积分公式得 001()()d ,2Cf z f z z iz z π=-⎰ 001()()d ,2Cf z f z z z iz z zπ+∆=--∆⎰ 00()()f z z f z z+∆-∆001()()d d ,2C Cf z f z z z zi z z zz z π⎡⎤=-⎢⎥∆--∆-⎣⎦⎰⎰001()d 2()()Cf z z i z z z z z π=---∆⎰220001()1()d d 2()2()()CCf z zf z z z iz z iz z z z z ππ∆=+----∆⎰⎰2001()d 2()()Czf z I z z z z z z π∆=---∆⎰20()1d 2Cz f z s z z z z zπ∆≤---∆⎰() , f z C 因为在上解析,C 所以在上连续 () , f z C 故在上有界 0,M ∃>于是(),f z M ≤使得0 ,d z C 设为从到曲线上各点的最短距离 ,z ∆并取适当地小1 , 2z d ∆<满足0 ,z z d -≥则011 , z z d≤-00z z z z z z --∆≥--∆，012,z z zd≤--∆3,M LI zdπ<∆3,M LI zdπ<∆ .L C 这里为的长度 0,z ∆→如果0,I →那末0000()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆201()d ,2()Cf z z iz z π=-⎰再利用以上方法求极限 000()()lim z f z z f z z∆→''+∆-∆可得0302!()()d .2()Cf z f z z iz z π''=-⎰至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证()010!()()d .2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰ [证毕]高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.三、典型例题例1 , : 1. C z r =>计算下列积分其中为正向圆周522cos (1)d ;(2)d .(1)(1)zCCz ez z z z π-+⎰⎰解 5c o s (1) 1 ,(1)zC z z π=-函数在内处不解析 c o s z C π但在内处处解析 ()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式5cos d (1)Cz z z π-⎰(4)12(cos )(51)!z i z ππ==-5;12i π=-22(2),(1)zeC z i z =±+函数在内的处不解析 C i 在内以为中心作一个1 ,C 正向圆周2 ,i C -以为中心作一个正向圆周1222,,(1)zeC C C z +则函数在由根据复合闭路定理22d (1)zCez z +⎰122222d d (1)(1)zzC C eez z z z =+++⎰⎰122d (1)zC ez z +⎰122()d ()zC ez i z z i +=-⎰22(21)!()z z iie z i π='⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(1),2ii e π-=同理可得 222d (1)zC ez z +⎰ (1),2ii e π--+=于是22d (1)zCez z +⎰(1)2ii e π-=(1)2ii eπ--++(1)()2i ii e ie π-=--2(1)(cos1sin 1)2i π=--1.4i ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭例2 342211cos (1)d ;(2)d (1)zz z z ez z z z z-==++⎰⎰求积分解 3(1) 1 ,z +函数在复平面内解析01 2 ,z z =-≤在内3,n =()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式3421d (1)z z z z =++⎰312[1]3!z i z π=-'''=+2;i π=21cos (2)d zz ez z z-=⎰cos ,zez -函数在复平面内解析00 1 ,z z =≤在内1,n =21cos d zz ez z z-=⎰2(cos )1!zz i ez π-='=2[cos sin ]zzz i ez ez π--==--2.i π=-∙例3 1d .( )z nz e z n z=⎰求积分为整数 解 (1)0,n ≤1 , z n ez z ≤在上解析由柯西－古萨基本定理得1d 0;zn z e z z ==⎰ (2)1,n =由柯西积分公式得1d z nz e z z==⎰2()zz i e π=⋅2;i π=(3)1,n >()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式1d z nz e z z=⎰(1)2()(1)!z n z i e n π-==-2.(1)!i n π=-例4 231 d .(2)Cz z z-⎰求积分:(1)32;(2)13.C z z -=-=其中 解 2312 0,(2)z z z z==-函数有两个奇点和(1)32,z -= 2, z =仅包含奇点31 (),f z z=取231d (2)C z z z -⎰ 321d (2)Cz z z =-⎰ 32211!z i z π='⎛⎫= ⎪⎝⎭3;8i π=-(2)13z -= 2 0 ,z z C ==两个奇点和都含在内12 0 2,C C 作简单闭曲线和分别包含和12 ,C C 和互不包含且互不相交根据复合闭路定理和高阶导数公式,231d (2)Cz z z-⎰ 12232311d d (2)(2)C C z z z zz z=+--⎰⎰12233211(2) d d (2)C Cz zz z zz -=+-⎰⎰ 2322121 2!(2)1!z z i i z z ππ=="'⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3388i i ππ=-0.=作业和思考题：第三章习题 82),4) ,6)；92),4) ,5)．课后小结：（1）柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:001()()d .2Cf z f z z iz z π=-⎰（2）高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式()010!()()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰。
§3.4 柯西积分公式与高阶导数公式
1 f z z z0 f z 0 dz 2 2 i C z z0
2 i z z0 C
f z 解析 f z0
f z f z0 z z0
C D， f z dz 0 z, z0 D, F z f z dz
z C z0
F z f z ,即F z 解析
f z 解析.
证毕.
作业
C0
f z f z0 z z0
ds .
f z 在z0解析
f z f z0 z z0
局部有界,
f z f z0 M 0,当充分小时， M, z z0
1 2 i
Cf z 1 d Nhomakorabea f z0 z z0 2
下面证明n 1 的情形
1 2 i
dz
C
f z 1 dz f z0 dz 2 if z0 2 2 2 i C z z0 z z0
f z
f z z z0 f z0 1 dz 2 C0： z z0 int C 2 i z z0 C0
C
f z dz 柯西积分公式 z z0
1 2 i
C
f z 1 dz f z0 2 i z z0
C
f z 2 i dz f z0 z z0 2 i
C
f z0 1 f z dz dz dz z z0 C 2 i 2 i C z z0
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)
1
2 i
C
f
( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )
f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1
1 2
，2） C
:
z
1
1 2
，3） C :
z
2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
柯西积分公式和高阶导数公式
1 1 1 ∫| = 1 z4 −1 d z =z −1∫| = 1 (z2 +1)(z +1) ⋅ z −1 d z | z −1 | 1 内包含 而函数 2 圆周 在 (z +1)(z +1)
内解析， 内解析， 所以
| z −1 | = 1
∫
1 1 1 d z = 2π i ⋅ 2 |z =1 = 2πi 4 z −1 (z +1)(z +1)
3 2 例6 证明 u (x, y) = y − 3x y 为调和函数， 为调和函数， 并求其共轭
调和函数 v (x, y) 和由它们构成的解析函数. 和由它们构成的解析函数 解：
所以
即 u (x, y) 为调和函数 为调和函数.
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由
得
所以 又由 即 因此 得解析函数
内包含
圆周
f (z) = e z + z 2 在 而函数
f ′(z) = e z + 2z , f ′′(z) = e z + 2 , 内解析， 内解析， f ′′(z) = e z , 所以
e +z 2π i eπ i 2π i dz = ⋅e = ⋅ f ′′′(1) = 4 (z −1) 3! 3 3!
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得， 故
例7 已知一调和函数 v ( x, y) = e ( y cosy + x sin y) + x + y
x
求一解析函数 f (z) = u + iv, 使 f (0) = 0. 解：
得
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3-3柯西积分公式
z0
D
则 0, ( ) 0,
4
当 z z0 时 ,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 C 的内部,
f (z) f (z) dz 则 dz K z z C z z 0 0 f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) dz dz K z z K z z0 0 2if ( z0 )
z 1 2
z 1
2
sin z 4 2 i z 1
2 i; 2
z 1
15
sin z 4 dz , 其中 C : (2) z 1 1 ; 例5 计算积分 2 2 z 1 C sin z 4 sin z z 1 dz 4 dz 解 ( 2) 1 z 1 z2 1 1
z f ( z ) 1 C z z 2 z z z ds 2 0 0
因为 f ( z ) 在 C 上解析, 所以在 C 上连续,
24
故 f ( z ) 在 C 上有界,于是 M 0, 使得 f ( z ) M ,
设 d 为从 z0 到曲线 C 上各点的最短距离,
1 并取 z 适当地小, 满足 z d , 2 1 1 , 则 z z0 d , z z0 d d z z0 z z z0 z , 2 C 1 2 ML , I z 3 , z z0 z d d
6
关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征)
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具)
第二章 柯西定理公式
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
柯西积分公式及高阶导数公式
sin z 4 z 是D内的一个点, C是任意一条含 z 在内部区域
0
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数 ,
sin
z
0
1 f (z) 2 f ( z0 ) dz . C 2πi z z0
z 1
sin z 2 4 i. 2i 2 z 1
f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2πi C ( z z0 )
( n 1,2,3,),
z0
高阶导数公式
C
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f ( n ) ( z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
确定。
说明:
f (z) dz 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 n 1 ( z z0 ) C
柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理 设B为单连通域，则 f (z)在B内解析 Morera定理
C
C
f ( z )dz 0, C为 B内任何一条闭曲线。
则 f (z)在B内解析 。
设B为单连通域， 如f (z)在B内连续， 且对 B内任
何一条简单闭曲线C, 有
f ( z )dz 0,
典型例题
例4. 计算积分
zi
1 1 z z 2 1 dz. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
解 由 Cauchy积分公式 ,
1 f (z) 1 , C是任意一条含 1 z( z i ) z0 是D内的一个点 z0 在内部区域 2 z0 i , z ( z(或可求长 1) ) Jordan z ( z曲线 ,i则 )( z i ) zi 的分段光滑
07柯西积分公式高阶导数公式
z dz= 1 22
C zdz
1 2 i
2
i,
2）
C
z z
dz= C
z dz= 1 44
C
z dz
1 2 i
4
1 i.
2
23 设 u 为区域 D 内的调和函数及 f (z) u i u , 问 x y
f (z)是不是 D 内的解析函数？
作业：第三章习题 7（7）（9）（10），9（5）
第三章 习题选解
3 设 f (z) 在单连通区域 B 内处处解析，C 为 B 内任何一条 正向简单闭曲线，问
C Re f (z)dz 0, C Im f (z)dz 0
是否成立？
错误解法： 根据柯西定理 C f (z)dz 0, 所以 C f (z)dz CRe f (z) i Im f (z)dz C Re f (z)dz i C Im f (z)dz 0
C zdz 2i, 其中C 为正向单位圆周 z 1.
先代入 z 1 , 再应用柯西公式，可得 z
C
z dz
C
1dz z
2 i.
5 计算积分
z
C z dz
的值，其中 C 为正向圆周：
1） z 2. 2） z 4.
利用第 4 题的结果，可得
1）
C
z z
dz= C
2u y2
,
U 2u , V 2u , y xy x yx
可见，U , x
U , y
V , x
V , y
都连续，且满足 C. R. 方程，
故 f (z) 是 D 内的解析函x2
复变函数(3.4.1)--柯西积分公式与高阶导数公式
dz
,
f
( z )
2 2p
1 i
C(zf
(z ) z)3
Hale Waihona Puke dz,LLL
f
(n)(z)
n! 2p i
C
(z
f (z ) z)n+1
dz
.
(1) 解析函数是否存在各阶导数 ? (2) 导数运算可否在积分号下进 行?
数学学院
定理 3.11 （高阶导数公式） 解析函数 f (z) 的导 数仍为解析函数，它的 n 阶导数可表示为
go
x
F
(
z)
C
3z
3 + 7z 2 (z z)2
+
1
dz
,求
F ( 1+
i)
.
8
数学学院
例 7 求积分 例 8 求积分
z
1
e
z
cos z2
z
dz
.
z
2
z3 + 1 (z + 1)4
dz.
例 9 计算下列积分 , 其中 C 是正向圆z r > 1 :
周
( ) � � (1)
2
4 1
dz
其中
C:
（z1+ 1）
1 2
;
（
2
）z 1
1 2
.
（ 3 ）z 2
数学学院
4.2 高阶导数与解析函数的无限可微性
如
果各阶导数
f (z)
存在
,
1 2p i
并
且Czf导(z z)数dz运.
§2.4 柯西公式
举例
sin z (1) ∫= 4 z dz 2π i z 1 1 2 (2) ∫ ( + ) dz z +1 z − 3 z =4
解 : (1) sin z 在 z = 4 的内部及 z = 4 上解析 , 由定理 1 2π i sin z 1 ∫= 4 z dz = 2π i ⋅ 2π i sin z z
∂ nψ ∂t n
n! = 2π i
x
z x ∫ l ( z − x )n+1 x z 2 dz e z
−( z − x ) n +1
n! =e 2π i
d dz = e x n e− x ) n ( ∫ l ( z − x )n+1 dx e z
x
−z
n
n
=x −z
2
2
（2）证明：以 证明：
∂ψ ∂t n
n x2
t = x−zex来自 − z 2代入上式t =0
n! = 2π i
n! ∫ l ( x − z )n+1 d ( − z ) = 2π i
n − z2
∫ ( −1) ( z − x )
l n
e ⋅e
x2
− z2
n +1
dz
n! =e 2π i
z − x t = , z
t=0
并借以证明
∂ψ n ∂t
n
n
t=0
d =e x ne− x ) n ( dx
x
n
解：（1） ：（1
∂ψ n! = n ∂t 2π i
∫
e
l
− ξ x (1− ξ )
(ξ
− t)
(1 − ξ )
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
f
(z0 )
1
2i
f (z) dz
C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
( 3 ) 积分曲线C 可以是解析区域D内部的包含z0的任意曲线
特别地, 若定理中区域D 为圆周C : z z0 rei围成, 则
1
f (z0 ) 2i
f (z)
1
dz
C z z0
2i
2 0
f
(z0 re i re i
C
C1
C2
C（1 z
3z 1 1)( z
3)
dz
3z 1 dz
C2 (z 1)( z 3)
3z 1
3z 1
z 3 dz z 1 dz
C1 z 1
C2 z 3
3z 1 2i 2i 3z 1
z 3 z1
z 1 z3
2i 4i 6i
C1
C2
1
34
例 设 f ( z ) 3 2 7 1 d , C 为正向圆周x2 y2 3
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
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或
C
f (z) z z0
dz
2 π if (z0 )
C
D
z0
证明: 由于f(z)在z0连续,
故任给e >0, 存在d >0, 当|zz0|<d 时, |f(z)f(z0)|<e.
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向), 且 R<d.
f (z) d z f (z) d z f (z0 ) d z f (z) f (z0 ) d z
第三章 复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(
z
而在于通过求导来求积分.
Ñ 例1.
求积分
z
2
(
z z
3 1 1)4
dz
.
解 因为函数 f (z) z3 1在复平面解析,
z0 1在 z 2 内, n=3, 根据 高阶导数公式.
Ñ f
(n)(z0 )
n!
2 i
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
)
d
R
z
0
B
f (z0 ) d z
C z z0
CR z z0
CR z z0
2 π if (z0 ).
定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全 含于D, z0为C内部的任一点, 则
1 f (z)
f (z0 ) 2 π i C z z0 d z.
dz
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
x
zi
ez
Ñ Ñ 同理
ez C2 (z2 1)2 dz
C2
(z (z
i )2 i )2
C z z0
CR z z0
CR z z0
CR
z z0
2 π if (z0 )
f (z) f (z0 ) d z
CR
z z0
Cz R
D
=0
z0
CR
f (z) f (z0 ) d z | f (z) f (z0 ) | d s
CR
z z0
CR | z z0 |
e
d s 2 πe
处不解析.
在C内分别以i 和 -i 为中心作正向圆周 C1y和 C2, 由 复合闭路定理
e 定理2.4 设 C,C1z,C2,L ,Cn是多连通区域D内
段光滑(或C可求( z长2 )Jo1rd)2and曲z线, C1,C2,L ,Cn 都
蜒 在C 的内部, 它们互不包ez含也互不相交, 并且以 ez
且z0
1 f (z)
2) 柯西积分公式的含义 f (z0 ) 2 π i C z z0 d z
函数在C内部任一点的值可用它在边界上的值通过 积分唯一确定。
特别, 如C: |zz0|R, z=z0+Reiq, 则上式成为
要注3)意柯: af西)(z积f0()z分)在公21简π式单0的2π闭应f (曲用z0线: 可CR及e求iq其积)d内分q 部. C解zf析(zz,)0 d z,
b) z0在C的内部.
例1：求下列积分(沿圆周正方向)的值:
1 sin z
z
1)
d z; 2)
d z;
2 π i |z|4 z
|z|2 z 3
3)
|za|a
z2
1
a2
d
z,
(a>0).
2z 1
例2：求
C
ez(z2
d z, z)
其中C为包含圆周|z|=1在内的任意正向简单闭曲线.
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
Ñ z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下
Ñ 进行, f (z0
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
z3 1
z 2 (z 1)4 dz
2i [z3 1]
3!
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
Ñ f
(n)(z0 )
Байду номын сангаас
n!
2 i
f (z) C (z z0 )n1
其中C取正向.
Ñ 例3. 求积分 C
ez z2 1
2
dz, 其中C是正向圆周
z
r
1
解.
函数
(
z
2
ez
1)2
在C内的z i
R CR
f (z) f (z0 ) d z 0
CR
z z0
C
f (z) z z0
dz
2 π if (z0 )
1 f (z)
f (z0 ) 2 π i C z z0 d z
——柯西积分公式
说明:1) 这里的D可为单连通域，也可为多连通域；
只要 f (z)在简单闭曲线C及其所围的区域内解析, 在C的内部, 则柯西积分公式也成立。
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
Ñ f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
Ñ f
LLL
(n)(z0 )
n!
2 i
C
f (z) (z z0 )n1
dz.
高阶导数公式.
定理(高阶导数公式) 设函数f (z)在区域 D内解析,
z0 在D内，C是D内绕z0的任一正向简单闭曲线, 且C 的内部全含于D, 则f (z)在z0处存在各阶导数, 并且
Ñ f
(n)(z0 )
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,3,L ),
高阶导数公式
DC1上,C的2,L解析,C函n 为数C边1 , 界(那z的么2 闭区1域)2含d于z D内.
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
蜒 f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
y
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2