高等数学习题九课后答案

习题九
1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：
(1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π
4
t =;
(2)x 2+y 2+z 2
=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).
解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π
4
t =
的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭
当π4t =
时， ,,222a b c x y z === 切线方程为
2220a b c x y z a c
---==-. 法平面方程为
0()0.222a b c a c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即 22
022
a c ax cz --+=.
（2）联立方程组
2226
x y z x y z ⎧++=⎨
++=⎩ 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得
d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x
y z x x
⎧
+⋅+⋅=⎪⎪⎨
⎪++=⎪⎩ 解得
d d ,,d d y z x z x y
x y z x y z
--==--
在点M 0（1，-2，1）处，
00
d d 0,1d d M M y z
x x ==- 所以切向量为{1，0，-1}.
故切线方程为
121
101
x y z -+-==
- 法平面方程为
1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0
即x -z =0.
(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得
d d 22,21d d y z
y m z x x ==- 于是
d d 1
,d d 2y m z x y x z
==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0
011,,2m
y z ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故切线方程为
00000
,112x x y y z z m y z ---==-
法平面方程为
00000
1()()()02m x x y y z z y z -+
---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin 2
t
在
相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。

解：1cos ,sin ,2cos 2
t
x t y t z '''=-==,
在t 处切向量为{}
1cos ,sin ,2cos 2
t
T t t =-u r ,
已知平面的法向量为{1n =r
.
且T u r ∥n r ,
故2cos 1cos sin 11
t
t t
-==解得π2t =
，相应点的坐标为π1,1,2⎛- ⎝.
且{1,1T =u r
故切线方程为
π1
1211x y -
+-==
法平面方程为
π
1102
x y z -
++--= 即
π042x y ⎛⎫
+-=+ ⎪⎝⎭
.
3. 证明：螺旋线x = acost, y = asint, z = bt 的切线与z 轴形成定角。

证明：sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为
{sin ,cos ,}T a t a t b =-u r
.
与z 轴同向的单位向量为
{0,0,1}k =r
两向量的夹角余弦为
cos θ=
=
为一定值。

故螺旋线的切线与z 轴形成定角。

4. 指出曲面z = xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。

解：z x =y , z y =x .
曲面法向量为{}1,,1n y x =-u r
.
已知平面法向量为{}21,2,1n =-u u r
.
且1n u r ∥2n u u r ，故有112
y x ==--
解得x =2,y =-1,此时，z =-2.
即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为
212
121
x y z -++==--. 切平面方程为
-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0
即 x -2y +z -2=0. 5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：
(1)z = x 2+y 2,点M 0(1,2,5);
(2)z = arctan y
x ,点M 0(1,1,π4);
解：（1）00
2, 4.22y
x
m m m m z z y x ====
故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为
z -5=2(x -1)+4(y -2).
即 2x +4y -z =5. 法线方程为
125
241x y z ---==
- （2）0
22
22
1
1,.2
2
y
x
m m m m y
x z z x y x y -
==-=
=++ 故曲面在点M 0(1,1,
π
4
)的切平面方程为 z -π4=-12 (x -1)+1
2
(y -1). 法线方程为
π11411122
z x y -
--==--.
6. 证明：曲面xyz = a 3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。

证明：设 F (x ,y ,z )=xyz -a 3. 因为 F x =yz ,F y =xz ,F z =xy ,
所以曲面在任一点M 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程为
y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0.
切平面在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为
33000000
1119132727.
3336622
V z x y z a a x y ⎡⎤=⋅==⨯=⋅⎢⎥⎣⎦
它为一定值。

7.解：平面∏与曲面22z x y =+在(1,2,5)-的切平面的法向量为
}{}{002,2,12,4,1n x y =-=--r
从而平面∏的方程为：2450x y z ---=
又l 的方向向量为110(1)11
i j k s i j a k a ==-++--r r r r r r r
由0n s ⋅=r r
求得5a =-
在l 上取一点，不妨取01x =求得00(1).53y b z b =-+=+ 由于000(,,)x y z 在平面∏上，代入平面方程中可求得2b =-. 8. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ
,,343
αβγ===的方向导数。

解：
(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)
cos cos cos u u u u
y l x z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂
22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ
cos cos cos 5.(2)()(3)343
xy xz y yz z xy =++=---
9. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。

解：{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r
AB u u u r
的方向余弦为
4312cos ,cos ,cos 131313
αβγ=
== (5,1,2)
(5,1,2)
(5,1,2)(5,1,2)
(5,1,2)(5,1,2)
2105
u yz x u xz y u xy
z
∂==∂∂==∂∂==∂ 故
4312982105.13131313
u l ∂=⨯+⨯+⨯=∂ 10. 求函数22221x y z a b ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线
方向的方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为
2222220,x y b x y y a b a y
''+==-
所以在点处切线斜率为
2.b y a a '
==- 法线斜率为cos a b
ϕ=.
于是tan sin ϕϕ== ∵
2222,,z z x y x a y b
∂∂=-=-∂∂
∴
2222z l
a b ⎛∂=-
-=
∂⎝ 11.研究下列函数的极值： (1) z = x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2) z = e 2x (x +y 2+2y ); (3) z = (6x －x 2)(4y －y 2); (4) z = (x 2+y 2)2
2()
e x
y -+;
(5) z = xy (a －x －y ),a ≠0.
解：（1）解方程组2
2
360
360x y
z x x z y y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).
z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6
在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0.
在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.
(2)解方程组22
2e (2241)02e (1)0
x x
x
y z x y y z y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩ 得驻点为1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x
yy z x y y z y z =+++=+=
在点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
.
(3) 解方程组22
(62)(4)0
(6)(42)0
x y z x y y z x x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩ 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).
Z xx =－2(4y -y 2), Z xy =4(3－x )(2－y ) Z yy =－2(6x －x 2)
在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36.
在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.
(4)解方程组2
2
22()22()22
2e
(1)02e
(1)0x y x y x x y y x y -+-+⎧--=⎪⎨--=⎪⎩
得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=1，
在点P 0处有z =0，而当（x ,y ）≠(0,0)时，恒有z >0， 故函数z 在点P 0处取得极小值z =0. 再讨论函数z =u e -u
由d e (1)d u z u u -=-，令d 0d z u
=得u =1, 当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d z
u
>,
由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有
2
222()
1()e e x
y z x y -+-=+≤.
故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -1
(5)解方程组(2)0
(2)0
x y z y a x y z x a y x =--=⎧⎨=--=⎪⎩
得驻点为 12(0,0),,33a a P P ⎛⎫
⎪⎝⎭
z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .
故z 的黑塞矩阵为 222222y
a x y H a x y
x ---⎡⎤=⎢⎥---⎣⎦ 于是 122033(),().023
3a
a a H P H P a a a ⎡⎤
--
⎢⎥⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-
-⎢⎥⎣⎦ 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，
H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3
,2733a
a a z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,
H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3
,27
33a
a a z ⎛⎫= ⎪⎝⎭.
12. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。

解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得
484,281
281
z x z z y x z x y z x ∂--∂-==∂+-∂+- 令
0,0,z z x y ∂∂==∂∂解得0,2
x y z ==-, 将它们代入原方程，解得162,7
x x =-=
. 从而得驻点16(2,0),,07⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
2
22
2
2222
(281)(48)4828(281)428,(281)
4(281)8
.
(281)
z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z
y
y
z x ∂∂⎛⎫⎛⎫+-++--+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭=
∂+-∂⎛⎫+ ⎪∂∂⎝⎭=∂∂++∂-+--∂∂=∂+-
在点（-2，0）处，44
1,,0,,1515
Z A B C ==
==B 2-AC <0，因此函数有极小值z =1. 在点16,07⎛⎫
⎪⎝⎭
处，82828,,0,,7105105Z A B C =-=-
==-B 2-AC <0，函数有极大值
87
z =-.
13. 在平面xOy 上求一点，使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离的平方之和为最小。

解：设所求点为P (x ,y )，P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |，到直线x +2y -16=0的距离为
=
距离的平方和为
2221
(216)5
z x y x y =+++-
由22(216)0542(216)0
5z x x y x z y x y y
∂⎧=++-=⎪∂⎪⎨∂⎪=++-=∂⎪⎩ 得唯一驻点816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,因实际问题存在最小值，故点816,55⎛⎫
⎪⎝⎭
即为所求。

14. 求旋转抛物面z = x 2+y 2与平面x +y -z =1之间的最短距离。

解：设P （x ,y ,z ）为抛物面上任一点.则点P 到平面的距离的平方为
2(1)3x y z d +--=,即求其在条件z = x 2+y 2下的最值。

设F （x ,y ,z ）
=
2
22(1)()3
x y z z x y λ+--+-- 解方程组22
2(1)2032(1)203
2(1)
03x y
z x y z F x x y z F y x y z F z x y
λλλ+--⎧=-=⎪⎪
+--⎪=-=⎪⎨⎪-+--=
+=⎪⎪
⎪=+⎩ 得1
2
x y z ===
1
== 15. 抛物面z = x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最
短距离。

解：设椭圆上的点为P （x ,y ,z ），则
|OP |2=x 2+y 2+z 2.
因P 点在抛物面及平面上，所以约束条件为
z =x 2+y 2， x +y +z =1
设F （x ,y ,z ）= x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1)
解方程组12121222220220
201
x y
z F x x F y y F z z x y x y z λλλλλλ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪
=++=⎨⎪=+⎪⎪++=⎩
得
2x y z ==
= 由题意知，距离|OP |有最大值和最小值，且
(
22
222
292x y z OP =++=+=m .
16. 在第I 卦限内作椭球面
222
222
1x y z a b c ++= 的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

解：令222
222(,,)1x y z F x y z a b c
=++-
∵222222,,,x y z x y z
F F F a b c
=
== ∴椭球面上任一点0000(,,)P x y z 的切平面方程为
000
000222
222()()()0.x y z x x y y z z a b c -+-+-= 即 000222 1.x x y y z z
a b c
++=
切平面在三个坐标轴上的截距分别为222
000,,a b c x y z ，因此切平面与三个坐标面所围
的四面体的体积为
222222
000000
166a b c a b c V x y z x y z =⋅⋅⋅=
即求2226a b c V xyz =在约束条件222
2221x y z a b c
++=下的最小值，也即求xyz 的最大值问
题。

设 222222(,,)1x y z x y z xyz a b c λ⎛⎫
Φ=+++- ⎪⎝⎭
,
解方程组2
2
2222
22220,20,20,
1.
x
y z x yz a x xz b x xy c x y z a b c λλλ⎧
Φ=+=⎪⎪
⎪Φ=+=⎪⎨⎪Φ=+=⎪⎪⎪++=⎩
得x y z =
==.
故切点为，此时最小体积为
222.26a b c V abc a b c ==
*
17. 设空间有n 个点，坐标为(,,)(1,2,,)i i i x y z i n =L ,试在xOy 面上找一点，使此
点与这n 个点的距离的平方和最小。

解：设所求点为P （x ,y ,0），则此点与n 个点的距离的平方和为
222222*********
2
2
1212222222222121212()()()()()()2()2()
()()()
n n n n n n n n S x x y y z x x y y z x x y y z nx x x x x ny y y y y x x x y y y z z z =-+-++-+-+++-+-+=-++++-+++++++++++++++ L L L L L L
解方程组121222()022()0x n y n S nx x x x S ny y y y =-+++=⎧⎨=-+++=⎪⎩L L
得驻点1212n n x x x x n
y y y y n +++⎧=⎪⎪⎨+++⎪=⎪⎩
L L
又在点1111,n
n i
i i i x y n n ==⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑∑处
S xx =2n =A , S xy =0=B , S yy =2n =C B 2-AC =-4n 2<0, 且A >0取得最小值. 故在点1111,n
n i i i i x y n n ==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑处，S 取得最小值.
即所求点为1111,,0n n i i i i x y n n ==⎛⎫
⎪⎝⎭
∑∑.
*
产量x (310件) 40 47 55 70 90 100 利润y (310元)
32
34
43
54
72
85
解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设
f (x )=ax +b ，求[]6
2
1
()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组
666
2
111
66
1
1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得
2983440224003
4026320a b a b +=⎧⎨
+=⎩
解得 a =, b =
即 y =当x =120时，y =(310元).。