复变函数第八章 场论

其模也正好是这个最大变化率的数值。G称作函数u在给
定点处的梯度，定义如下：
定义3 若在数量场u中的一点M处，存在这样一个矢量G， 其方向为函数u在点M处变化率最大的方向，其模也正好 是这个最大变化率的数值，则称矢量G为函数u在点M处的
梯度，记作gradu，即
grad u
r G

u i u
二、方向导数的定义
讨论函数u=u(x, y)在场中每一点M沿每一方向的变化情况。
设函数u=u(x, y)在点M(x, y)的某一 邻域u(M)内有定义，
如图所示：
Q | MM1 | (x)2 (y)2 ,
且 u u(x x, y y) u(x, y),
考虑 u ,
j u k
x y y
2) 梯度的性质
a. 函数u沿l方向的方向导数等于梯度在
该方向上的投影。
y
u l

gradl
u
b. 函数u中每一点M处的梯度，垂直于过该
o
点的等直面，且指向函数u增大的一方。
由此可知，在等直面上任一点处的单位法矢
量n0，可以用通过该点处的梯度表示如下：
nr 0 grad u | grad u |
u c1 u c2 u c3
等值面
u=c1 u=c2 u= c3
等值线
等值线 在函数 u u(x所, y表) 示的平面数量场中，具有相同c 的点，组成等值线， u(x, y) c
等值面、等值线研究的意义:可以直观的帮助我们了解场中 的物理量的分布情况。例如：
100m
缓
400m
300m 200m
上的任意一点，从点M出发沿C之正向取一点M1，记弧长
M¼M1 Vs。若当M1→M时，比式
l
u s

u(M1) u(M ) M¼M1
的极限存在，则称此极限为函数u在点M
M M1 C M0
处沿曲线C(正向)的方向导数，即
u s

lim
s0
u s

lim
s0
u(M1) u(M1) M¼M1
例如,在直角坐标系下,
A( x,
y,
z)

xy
2
i
x2
yj
zy 2k
如力场,速度场等.
矢量线 在曲线上每一点处,曲线都和对应该点的矢量 相A切.
I
+
XB
如:静电场中的电力线、磁场中的磁力线等等。 矢量线研究的意义: 能够了解矢量场中各点矢量方向以及整 个矢量场的分布.
讨论 矢量线的方程
l x
y
z
u
x
1
y
2
z
21




l M x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 3 2
前面讲的是函数u沿直线的方向导数，此外还需要研究函 数u沿曲线的方向导数，其定义如下：
定义2 若在有向光滑曲线C上取定一点M0作为计算弧长s的 起点，并以C之正向作为s增大的方向。如图所示，M为C
l i 2 j 2k
方向的方向导数.
解: u
x
, u
y
, u
z
x x2 y2 z2 y x2 y2 z2 z x2 y2 z2
l的方向余弦为: cos 1 ,cos u cos u cos u cos
设 M (x, 为y, z矢) 量线上任意一点，其矢径为
r
xi
yj
zk
则微分
dr
dxi
dyj
dzk
（在M处与矢量线相切的矢量）
与在M处的场矢量
A
Axi
Ay
共j 线A。zk
M (x, y, z)
r 0
因此有： dx dy dz Ax Ay Az
u u s l
例4 求函数 u 3x2 y2 在点M(2，3)处沿曲线 y x2 1
朝x增大一方的方向导数。
解： r xi yj xi (x2 1) j
r i 2xj r |M i 2xj i 4 j
cos 1 , cos 4
证明: 由于函数可微，则增量可表示为
u(x x, y y) u(x, y) u x u y o()
x y 两边同除以 , 得到
u(x x, y y) u(x, y) u x u y o()

x y
gradu
P
gradu x
gradu
P
梯度运算的基本公式
1)gradc 0 c 0(c为常数） 2)grad(cu) cgradu cu cu(c为常数）
3)grad(u v) gradu gradv (u v) u v
矢量线的微分方程
例2
求矢量场
A
xy 2i
x2的yj矢 量zy线2k方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dx dy dz Ax Ay Az
dx xy 2

dy x2 y

dz y2z
从而有
dx

xy
2


dy x2 y
dx xy2

dz y2z
解之即得矢量方程
第八章 场论
电工理论与新技术研究所
第八章 场论
1. 场 2. 数量场的方向导数和梯度 3. 矢量场的通量及散度 4. 矢量场的环量及旋度
5 几种重要的矢量场
第一节 场
一、概念
如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一 个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。如 在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布 确定了一个电位场。如果这物理量是数量,就称这个场为数量 场;如果是矢量,就称这个场为矢量场。若该物理量与时间无 关，则该场称为稳定场(静态场)；若该物理量与时间有关， 则该场称为不稳定场(时变场)。
定理2 有向曲线如图所示。
当曲线C光滑，函数u在点M处可微时，函数u沿l方向的方
向导数就等于函数u对s的全导数，即：
u du l ds
l M M1 C
M0
证明:
定理3 若曲线C光滑，在点M处函数u可微，则有
u du s ds
推论 函数u在点M处沿曲线C（正向）的方向导数与函数u在 M处沿切线方向(指向C的正向一侧)的方向导数相等,即
l 0

其中： (x)2 (y)2 (z)2
同理，当函数在此点可微时，函数在该点沿任意方向l的方 向导数都存在，且有：
u u cos u cos u cos .
l x
y
z
例3 求函数 u x2 在y2点 zM2 (1,0,1)处沿
z x
C1x 2 y2

C2
例3 求矢量场
A
xzi
yzj
(x2

y2
)k
通过点M(2,-1,1)
的矢量线方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dx dy dz xz yz (x2 y2 )
由 dx dy xz yz
y C1x
由
dx xz


当M1 沿着l 趋于M 时，
y
•• x
M (x, y)
o
l
M1(x Vx, y Vy)
y
x
lim u(x x, y y) u(x, y) 如果存在，则定义如下：
0

定义1 函数的增量u(x x, y y) u(x, y)与MM1两点间的
的距离 (x)2 (y)2 之比值，当M1沿着l趋于M时， 如果比值的极限存在，则称此极限为函数在点M沿方 向l的方向导数，
二、数量场的等值面、等值线
如果数量场确定了,则场中各点处的场点值u 就确定了,对于静 态场,它只是空间坐标的函数.
u u(x, y, z)
例如,在直角坐标系下,
u(x, y, z) [( x 1)2
5xyz ( y 2)2
z2
]
如温度场,电位场,高度场等.
等值面 数量场中量值相等的点构成的面. u(x, y, z) c
Q u e2 y 1;
x (1,0)
(1,0)
u 2xe2y 2,
y
(1,0)
(1,0)
方向l的方向余弦为：
cos 1 , cos 1
2
2
所以： z 1 1 2 1 1
l
2
22
例2 求函数u(x, y)=x2-xy+y2在点(1,1)沿与x轴方向夹角为α∈ [-π,π]的方向射线l的方向导数。并问在怎样的方向上此方向 导数有: (1) 最大值； (2) 最小值； (3)等于零？
解：ul
(1,1)

ux (1,1) cos


uy (1,1) cos( 2
)

ux (1,1) cos

uy (1,1)sin
(2x y) cos (2y x) sin cos sin
(1,1)
(1,1)
2 sin( )
4
1) ,
实例：一块长方形金属板，四个顶点的坐标分别为：(1,1), (5,1), (1,3), (5,3), 在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受 热。假定板上任一点处的温度与该点到原点的距离成反比。 在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁沿什么方向爬行才能最 快到达较凉快的地方？