一元二次方程与二次函数

一元二次方程与二次函数复习
一、一元二次方程（ ax2 bx c 0(a 0)
1. 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0) 与 判 别 式 b2 4ac ： 若
0 ，则一元二次方程有 2 个不同的实数根 x1, x2 ，若 0 ，则一元二
次方程有 1 个的实数根，若 0 ，则一元二次方程没有的实数根。
2a ( b , 4ac b2 )
2a 4a
2
3.相关练习
(1).作出下列二次函数的图象，并标出顶点、对称轴、与 x 轴的交点。
① y x2 2x 3
② y x2 2x 3
③ y 2x2 x 3
④ y 9x x2
⑤ y 3x2 12 x 12
⑥ y 4x2 4x 1
(2).求下列函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的最值.
① y x2 2x 3 , x 2,5
② y x2 2x 3 , x 3,0
③ y x2 2x 3 , x 2,4
④ y 2x2 x 3 , x 1,4
(3).根据下列条件,求二次函数的解析式. ①图象经过(1,-2),(0,-3),(-1,-6);
① x2 3x 10 0
②12x2 31x 20 0
③ 2x2 5x 3 0
④ 2x2 7x 3 0
⑤ x2 2x 3 0
⑥ x2 6x 5 0
（4）方程 kx2 4x 1 0 的两根之和为-2，则 k
（6）以-3 和 1 为根的一元二次方程是
（5）方程 2x2 x 4 0 的两根分别是 x1, x2 ，则 x12 x22 二、二次函数 y ax2 bx c(a 0)
②当 x 3 时，函数有最小值 5，且经过点（1，11）； ③图象与 x 轴交于两点（1 2 ，0）和（1 2 ，0），并与 y 轴交于
点（0，-2）.
3
， x1x2
4.相关练习： （1）用公式法解下列方程
，这一关系韦达定理。
① 3x2 7x 10 0 ② 2x2 x 3 0 ③ 4x2 4x 15 0
（2）用配方法解下列方程
① x2 2x 3 0
② x2 4x 9 0
1
③ x2 6x 5 0
（3）用十字相乘法解下列方程
2. 一元二次方程的解法：
（1）公式法： x b b2 4ac 2a
（2）配方法
（3）十字相乘法：对于方程 ax2 bx c 0(a 0) ，把系数 a 分解成两
个因数 a1 、a2 的的积，即有 a a1a2 ，把常数 c 分解成两个两个因数 c1 、c2
的积，即有 c c1c2 ，使得系数 b 有 b a1c2 a2c1 ，这种方法通常借助于
1.二次函数的解析表达式有:
①一般式 y ax2 bx c(a 0)
②顶点式 y a(x k)2 m(a 0) ，其中 (k, m) 是其图象的顶点坐标。
③零点式 y a(x x1 )( x x2 )(a 0) ，其中 x1, x2 是其图象与 x 轴两交
点的坐标。
2.二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，当 a 0 图象开 口 向上，当 a0 图 象开 口向 下，对称 轴 x b ，顶 点坐 标
如图所示的“十”字，多次观察尝试完成。
那 么 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) 0
3. 韦达定理
从而得 x1
c1 a1
, x2
c2 a2
若 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0) 有 两 个 实 数 根 x1, x2 ， 则 有
x1 x2