衡水金卷2019届高三模拟高考密卷文数试题(解析版)

高三年级模拟高考密卷文数试卷
第I卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1.已知集合
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合 A,B,再求 A∩B 得解.
【详解】由题得 A=(-1,2),B=( ,
所以 A∩B= .
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，考查一元二次不等式和对数不等式的解法，意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.已知复数
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
（ 为虚数单位），则 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，求得
，则
，再根据复数的除法运算，即可求解．
【详解】由题意，复数 在复平面内的对应点关于实轴对称，
，则
，
则根据复数的运算，得
.故选 A.
【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．


3.已知
，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知求出 的值，再化简
得解.
【详解】因为
，
所以两边平方得
.
所以
.
故选：A 【点睛】本题主要考查二倍角和诱导公式，考查三角求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理能力.
4.已知直线
是双曲线
的一条渐近线，若 的最大值为 1，则该双曲线离心率的
最大值为（ ）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由题得|k|≤1，即 ，化简不等式即得解.
【详解】由题得|k|≤1，即 ，
所以
所以
.


所以双曲线的离心率的最大值为 . 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理能力.
5.如图是民航部门统计的 2018 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅 度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A. 变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳 B. 天津的变化幅度最大，北京的平均价格最高 C. 北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的平均价格同去年相比有所下降 D. 厦门的平均价格最低，且相比去年同期降解最大 【答案】D 【解析】 【分析】 根据数据统计表逐一分析得解. 【详解】对于选项 A, 变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳,因为它们的涨幅的绝对值最小， 所以该选项是正确的； 对于选项 B, 天津的变化幅度最大,接近 10%，北京的平均价格最高，接近 3000 元，所以该选项是正确的； 对于选项 C, 因为北京的涨幅大于 0，所以北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的涨幅小于 0，所以 深圳的平均价格同去年相比有所下降，所以该选项是正确的； 对于选项 D, 西安的平均价格最低，不是厦门，厦门相比去年同期降解最大，所以该选项是错误的. 故选：D


【点睛】本题主要考查数据统计表，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6.同时满足
A. 【答案】D 【解析】 【分析】 代入逐一验证即可. 【详解】
与 B.
所以
的函数 的解析式可以是（ ）
C.
D.
,
B.
,
所以
C.
,
D.
,
所以 选 D. 【点睛】本题考查函数周期性与对称性判断，考查基本应用求解能力.属基本题.
7.设实数 ， 满足约束条件
，则
的最小值为（ ）
A. -1
B.
C. 0
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 先作出不等式组的可行域，再利用数形结合分析得解.


【详解】
不等式组对应的可行域如图所示，
由题得
，
当直线
经过点 A 时，直线的纵截距最小时，z 最小.
联立直线方程
得 A(1,-1),
所以
的最小值为
.
故选：B 【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.如图是一个几何体的三视图，分别为直角三角形，半圆，等腰三角形，该几何体由一平面将一圆锥截去一 部分后所得，且体积为 ，则该几何体的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C


【解析】 【分析】 由三视图得几何体原图是半个圆锥，圆锥底面半径为 3，求出高为 4，母线长为 5，再计算几何体的表面积 得解. 【详解】由三视图得几何体原图是半个圆锥，圆锥底面半径为 3， 设圆锥的高为 h,则
所以母线为
.
所以几何体的表面积为
.
故选：C 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体的体积和表面积的计算，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.
9.在三棱柱
中， 平面 ，
平面
，则（ ）
A. 直线 与直线 所成的角为
， B.
C. 直线 与直线 所成的角为
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 如图，先找到 的位置 DE,再逐一判断每一个选项得解.
，是
重心，若平面
的


【详解】
如图所示，设 AB=BC=1,则
,
因为 AB||平面
,平面
平面
,AB 平面 ABP,
所以 AB|| ,所以
,
过点 P 作 DE|| ,交 于 D,交 于 E, DE 所在直线就是 .
所以直线 与直线 所成的角为 ，所以选项 A，B 错误；
直线 与直线 由于
所成的角为 ,
或其补角,
所以
，所以选项 C 正确，选项 D 错误.
故选：C 【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，考查异面直线所成的角，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平和分析推理能力.
10.已知函数
的最小正周期为 ，且图象关于直线 对称，若函数
的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则函数 的一个对称中心为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】


【分析】 先根据已知求出函数 f(x)的解析式，再求出函数 g(x)的解析式，再求函数 g（x）的图像的对称中心得解.
详解】由题得
，
因为函数 f(x)的最小正周期为 ，
【所以
因为函数 f(x)的图象关于直线 对称，
所以
.
所以
，
所以
，
令
，
令 k=-1 得函数图像的对称中心为
.
故选：A 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像变换，意在考查学生 对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.已知一个圆柱内接于球 （圆柱的底面圆周在球面上），若球 的体积为 ，圆柱的高为 ，则圆柱的体 积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 先根据已知求出球的半径和圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的体积得解.
【详解】设球的半径为 R,由题得
.
设圆柱底面圆的半径为 r,由题得
所以圆柱的体积为
.


故选：A 【点睛】本题主要考查几何体体积的计算，考查球的内接旋转体问题，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平和分析推理能力.
12.已知函数
A. 【答案】B 【解析】 【分析】 令 f(x)=0,得 图像得解. 【详解】令 f(x)=0,得
在定义域内有零点，则实数 的取值范围为（ ）
B.
C.
D.
，
， ，
，求出函数 g(x)的最大值，结合函数的
所以
，
所以
当 0＜x＜e 时，
，
所以函数 g(x)在（0，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减，
所以
.
当 x 趋近+∞时，g(x)趋近-∞,
因为函数
在定义域内有零点，
所以直线 x=a 和函数 g(x)的图像有交点，
所以
故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推 理能力.


第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.
13.已知向量
，
，
，且
，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量数量积以及向量的模列条件，解方程组得 值，即得结果.
【详解】因为
，， 所 以
，因为
，所以
，
，从而
.
【点睛】本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本应用求解能力.属基本题.
，因此
14.曲线
在点
处的切线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用导数求出切线的斜率，再求切点的坐标，再写出切线方程得解.
【详解】由题意可知，
，
所以
.又因为
，
所以曲线
在
点
处的切线方程为
，
即
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求曲线上一点的切线方程,意在考查学生对这些知识
的理解掌握水平和分析推理能力.
15.若圆 【答案】 【解析】
上恰有 3 个点到直线
的距离都等于 1，则 ________.


【分析】
.先求出圆心的坐标为（-2,0）,半径为 2.再分析已知得到圆心
到直线
得解.
【详解】由题得圆的方程为
，
所以圆心的坐标为（-2,0）,半径为 2.
因为圆
上恰有 3 个点到直线
所以圆心
到直线
的距离为 1，
的距离都等于 1，
即
，解得
的距离为 1，解方程
故答案为： 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16.在如图所示 平面四边形
中，
，
，
，
则 的长为________.
的 【答案】5
【解析】 【分析】 连接 ，求出 的值得解.
，再利用余弦定理求出
，求出
【详解】如图所示，连接 .
，若四边形 的面积为 ， ，再利用面积公式求出 BC


由题可知，
又因为
，所以
.
在
中，由余弦定理，得
，
所以
，
再由余弦定理，得
， ，
所以
，
所以
，
又
，
所以
=5.
【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查三角恒等变换求值，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在递增的正项等比数列 中， 与 的等差中项为 ， 与 的等比中项为 16.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列
的前 项和 .
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】 【分析】
（1）根据已知得到关于公比 和首项 的方程组，解方程组即得数列 的通项公式；（2）
先求出
，再利用分组求和、裂项相消求前 项和 .
【详解】（1）设等比数列 的公比为 .


由题得，
，
即
，
则
，即
，
因为 ，所以 .
又
，且
，
则
，所以
，
所以
.
（2）由（1）可知，
，
所以
.
【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，考查分组求和与裂项相消，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力.
18.如图 1，在菱形 折起到图 2 中
中，延长 点 ，使得
，且所得
是等边三角形.将图 1 中的
沿
的位置，且使平面
平面 ，点 为 的中点，点 是线段 上的一动点.
（1）当
时，求证：平面
平面 ；
（2）是否存在点 ，使四棱锥
的体积是三棱锥
的体积的 5 倍？若存在，求出此时 的值；
若不存在，试说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】 【分析】 （1）先证明
平面 ，再证明平面
平面 ；（2）取 的中点 ，连接 ， ，证明 平
面
.过点 作
交 于点 ，再化简
，即得 的值.


【详解】（1）在图 1 中，四边形
菱形，且
，
是等边三角形，
∴
.
连接 ，则
是等边三角形.
∵ 是 的中点，
∴
，又
，
∴
平面 .
又
，
∴
平面 .
∵
平面
∴ 平面
平面 .
是，
（2）存在点 ，使四棱锥
的体积是三棱锥
的体积的 5 倍.
理由如下：
取 的中点 ，连接 ， ，
则
.
∵ 平面
平面 ，平面
平面
，
∴
平面 .
过点 作
交 于点 ，
则
平面
.
∴
.


令
，得
，
∴
，
∴当
时，四棱锥
的体积是三棱锥
的体积的 5 倍.
【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查空间几何体体积的计算，考查立体几何的探究 性问题的处理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.2019 年 3 月 5 日至 3 月 15 日在北京召开了“两会”，代表们都递交了很多关于国计民生问题的提案， 某媒体为了解民众对“两会”关注程度，随机抽取了年龄在 18-75 岁之间的 100 人进行调查，经统计“45 岁（含）以下”与“45 岁以上”的人数之比为 ，并绘制如下列联表：
关注
不关注
合计
45 岁（含）以下
50
45 岁以上
15
合计
75
100
（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有 的把握认为关注“两会”和年龄段有关？ （2）现从关注“两会”的民众中采用分层抽样的办法选取 6 人对“两会”有关内容问卷调查，再在这 6 人 中选 3 人进行面对面提问，求至少有一个 45 岁以上的人参加面对面提问的概率； （3）小张从“两会”中关注到中国的政策红利，看好中国经济的发展，在 2019 年 3 月某日将股市里的 10 万元分成 4 万元，3 万元，3 万元分别购买了三支股票 ， ， ，其中 涨幅 ， 涨幅 ， 涨幅 ， 求小张当天从股市中享受到的红利（元）.
附：
，其中
.
临界值表：


【答案】（1）列联表见解析，没有；（2） ；（3）3300 元.
【解析】 【分析】 （1）先完成 2×2 列联表，再利用独立性检验判断能否有 的把握认为关注“两会”和年龄段有关；（2） 利 用 古 典 概 型 的 概 率 公 式 求 至 少 有 一 个 45 岁 以 上 的 人 参 加 面 对 面 提 问 的 概 率 ；（ 3 ） 直 接 求
的值得解. 【详解】（1）因为“45 岁（含）以下”与“45 岁以上”的人数之比为 ， 所以“45 岁（含）以下”与“45 岁以上”的人数分别为 60 人与 40 人， 则列联表如下：
所以
6.635，
所以没有 99%的把握认为关注“两会”和年龄段有关.
（2）若从关注“两会”的民众中采用分层抽样的方法选取 6 人，
则选出 45 岁（含）以下有 4 人，分别记为 ， ， ， ，45 岁以上有 2 人，分别记为 1，2，
所以从中选取 3 人的所有情况为：
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共 20 种；
其中至少有一个 45 岁以上的人的情况为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共 16 种.
设至少有一个 45 岁以上的人参加面对面提问为事件 ，
则
.
（3）由题可知，
（万元），
所以小张当天从股市中享受到的红利为 3300 元.
【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和


分析推理能力.
20.已知点 ， 分别是椭圆
的左、右焦点，离心率
，过点 的直线交椭圆
于 ， 两点，
的周长为 8.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 ， 是直线
上的不同两点，若
，求 的最小值.
【答案】（1）
；（2） .
【解析】 【分析】
（1）由题得关于 a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）由题得
再利用基本不等式求 的最小值.
【详解】（1）由题意得
，
，
，即
，
所以 ，
，
.
所以椭圆 的标准方程为
.
（2）由（1）知 ， 的坐标分别为
，
，
设直线
上不同两点 ， 的坐标分别为
，
，
则
，
，
由
，得
，
故
，
不妨设
，
则
，当且仅当
，即
时等号成立，此时
，
所以 的最小值为 . 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查平面向量的数量积的坐标表示和基本不等式求最值，


意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21.已知函数 （1）若曲线
在点
. ）处与 轴相切，求函数
的零点个数；
（2）若
，
，求实数 的取值范围.
【答案】（1）零点个数为 0；（2）a＜0 【解析】 【分析】 （1）先求出 ， ，再求出函数
的单调性，得到 的最大值
小于零，所以函数
的零点个数为 0.（2）等价于当 时，
有解.
【详解】（1）由题知，函数 的定义域为
.
因为
，
所以 又 所以 令
，即 ， ，则 ，
. ，
则
，
当
时，
；
当 时，
.
故 的极大值为
，
即 的最大值小于零，
所以函数
的零点个数为 0.
（2）因为
，
，
所以
有解.
即当 时，
有解.
设


所以
，
所以函数 h(x)在（1，+∞）上单调递减，
所以
，
所以 a＜0.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究不等式的有解
问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分. 选修 4-4：坐标系与参数方程
22.以平面直角坐标系 的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的
极坐标方程为
，曲线 的参数方程为
( 为参数）.
（1）求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程； （2）以曲线 上的动点 为圆心、 为半径的圆恰与直线 相切，求 的最小值.
【答案】（1）
，
；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）直接利用极直互化的公式求直线 的直角坐标方程，利用三角恒等式消参求曲线 的普通方程；（2）设
点 的坐标为
，再利用三角函数的图像和性质求
的最小值.
【详解】（1）由
，
得
，
将
，
代入上式，
得直线 的直角坐标方程为
.
由曲线 的参数方程
（ 为参数），
得曲线 的普通方程为 （2）设点 的坐标为 则点 到直线
. ，
的距离为


（其中
当 时，圆 与直线 相切，
故当
时， 取最小值，
且 的最小值为
.
【点睛】本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查曲线的参数方程的应用，考查三角 函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4-5：不等式选讲
23.已知函数
（1）解不等式
；
（2）当
时，不等式
. 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
；（2） .
【解析】 【分析】
（1）利用零点分类讨论法解不等式
；（2）
可转化为
，即
对
恒成立，即
，再求两个最值即得解.
【详解】（1）由题得，
则
等价于
或
或
解得 或
或
.
所以原不等式的解集为
.
（2）当
时，
，
所以
可转化为
，
即
，
也就是
对
恒成立，


即，
易知，，
所以，则，
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。