泰勒公式在一类导数问题中的应用
泰勒公式的应用范文
泰勒公式的应用范文泰勒公式是一种在微积分中用来近似计算函数值的方法。
它将一个函数表示为一个无穷级数的形式，使得我们可以通过计算级数中的有限项来近似计算函数的值。
泰勒公式广泛应用于数学、物理学、工程学和计算机科学等领域，并对数值计算和数学建模等重要任务具有重要意义。
以下将介绍泰勒公式在这些领域的一些应用。
一、在数学领域的应用：1.函数近似：泰勒公式可用于近似计算一个函数在其中一点的函数值，特别是在点附近的小区间内。
这对于无法直接计算的复杂函数或含有未知变量的函数是非常有用的。
2.导数和高阶导数的计算：泰勒公式可以通过计算级数中的有限项来近似计算一个函数在其中一点的导数。
这对于无法直接计算导数或高阶导数的函数是非常有用的。
3.极限计算：泰勒公式提供了一种计算函数在一个点的极限的方法，特别是对于无法直接计算的函数或复杂函数而言。
二、在物理学领域的应用：1.运动学和动力学：泰勒公式可用于近似计算运动学和动力学中各种物理量的变化率，如速度、加速度和力。
2.波动学：泰勒公式可以近似计算波函数随时间和位置的变化，从而帮助解决波动学相关的问题，如声波、光波和电磁波等。
3.热力学：泰勒公式可用于计算物体在热力学过程中的温度、能量和熵等的变化。
三、在工程学领域的应用：1.信号处理：泰勒公式可以用于近似表示信号在时间域和频域中的变化，从而帮助处理和分析各种类型的信号。
2.控制理论：泰勒公式可用于近似表示控制系统中各种变量的变化，从而帮助设计和优化控制器，以实现稳定和可靠的系统性能。
3.电路分析：泰勒公式可用于近似计算电路中各种元件的电压、电流和功率等的变化，特别是在非线性电路和非稳态电路的分析中。
四、在计算机科学领域的应用：1.数值计算：泰勒公式可用于近似计算各种数学函数的值，从而帮助实现高效和准确的数值计算方法，如数值积分、数值微分和数值优化等。
2.图像处理：泰勒公式可以用于近似表示图像中各个像素值的变化，从而帮助实现图像增强、图像压缩和图像恢复等处理算法。
泰勒公式在考研数学的常见应用
泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式在解题中的妙用——从几道数学考研题说起泰勒公式是数学分析中的重要工具之一，它反映了函数在某一点处的局部行为。
在很多数学问题中，泰勒公式的应用可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到更简洁高效的解题方法。
本文将从几道数学考研题入手，详细阐述泰勒公式在解题中的应用，同时介绍一些应用技巧和注意事项，并进一步拓展泰勒公式在更高维度和更复杂问题中的应用。
求limx→0(1+x+x2/2−−−−−−−√)−1x−−−−−−−−−−−−−−−√ex−1ex−1这道考研题中，我们可以将函数f(x)=(1+x+x2/2)−−−−−−−−−−−−−−−√ex −1在x=0处展开成泰勒级数，然后利用级数求和的方法得到答案。
具体步骤如下：f(x)=ex−1+xex−1+x22ex−1=(x+1)+x22+O(x3)因此，limx→0f(x)=limx→0(x+1)+limx→0x22+O(x3)=12+1+0=32这道考研题可以利用泰勒公式将sinxx展开成幂级数，然后求导n 次得到答案。
具体步骤如下：y=sinxx=∑k=0∞(−1)k×x2k+O(x3)y(n)=∑k=n∞(−1)k×2k×x2k−n+O(x3)因此，y(n)(0)=∑k=n∞(−1)k×2k×1=(−1)n×2n×1=2n×(−1)n证明：(1+x)ln(1+x)−xx=O(x3)这道考研题可以利用泰勒公式将等式中的函数展开成幂级数，然后进行恒等变形得到答案。
具体步骤如下：f(x)=(1+x)ln(1+x)−xx=(1+x)(ln1+ln(1+x))−xx=x+x2+O(x3)−ln(1+x)+O(x3)=O(x3)因此，f(x)(0)=0+0+…=0，即(1+x)ln(1+x)−xx=O(x3)成立。
泰勒公式在很多数学问题中都有着广泛的应用，例如在微积分、线性代数、概率论等领域。
taylor公式及其应用
taylor公式及其应用Taylor公式是数学中的一个重要理论，它是将某个函数在某点附近展开成无限项的多项式，并且可以用于各个数学领域中的求解问题。
下面我们将对Taylor公式及其应用进行详细介绍。
一、Taylor公式的定义Taylor公式是将一个函数在某一点附近展开成一个无限项的多项式的表达式。
它的一般形式为：f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n其中f(x)表示原函数，x表示自变量的值，a表示展开中心，f^{(n)}(a)表示在a点处的n阶导数，n!表示n的阶乘，(x-a)^n表示自变量与展开中心的差的n次方。
二、Taylor公式的应用1. 函数求导很多函数的求导运算可以通过Taylor公式来解决。
比如f(x)的导函数为f'(x)，那么可以通过Taylor公式展开f(x)，然后求导得到f'(x)的表达式。
2. 函数逼近Taylor公式可以用于对函数进行逼近，在某一点附近用一条直线或曲线去逼近函数的值。
这个近似值可以用来进行数值计算，比如在数值方法中应用广泛。
3. 函数的错误估计Taylor公式中每一项的误差都会随着项数的增加而逐渐减小。
因此，可以通过Taylor公式来估计某个函数的误差范围，从而优化数值计算的结果。
4. 求函数值通过Taylor公式展开，可以用少量的计算得到特定点的函数值。
这在某些数值计算领域中非常有用，比如计算机图形学中的三维曲面绘制。
5. 解微积分方程在微积分领域中，有很多微积分方程难以用解析法求解。
而Taylor公式可以通过展开式子，求取高阶导数来求解微积分方程。
以上就是Taylor公式及其应用的详细介绍。
在数学领域中，Taylor公式的应用非常广泛，具有较高的实用性和理论性。
泰勒公式的证明及推广应用
泰勒公式的证明及推广应用泰勒公式是一种用于近似计算函数的工具，它将函数表示为无穷级数的形式。
这个公式是由英国数学家布鲁诺·泰勒（Brook Taylor）在18世纪提出的。
在本文中，我们将简要介绍泰勒公式的证明，并探讨一些关于泰勒公式的推广应用。
证明泰勒公式的一种常用方法是使用数学归纳法。
我们可以根据函数的导数逐次展开来得到一般形式的泰勒公式。
假设函数f(x)的n次导数在区间[a,b]内连续，以及f(x)的(n+1)次导数在区间[a,b]内存在。
我们可以得到以下泰勒公式的一般形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rⁿ(x)其中，Rⁿ(x)是余项，它可以表示为(fⁿ⁺¹(z)(x-a)ⁿ⁺¹)/(n+1)!，其中a<z<x。
余项Rⁿ(x)可以用于估计泰勒级数的误差，并在实际应用中对所得近似值进行修正。
泰勒公式可以应用于各种数学和物理问题中。
下面是一些泰勒公式的推广应用的例子：1.近似计算：泰勒公式可以用于近似计算复杂函数的值。
通过截断级数，我们可以得到一个有限项的泰勒多项式，用于计算函数在其中一点的近似值。
2.数值积分：通过将函数展开为泰勒级数，并对级数进行求和，我们可以将函数的积分转化为级数的求和。
这种方法广泛应用于数值积分的算法中。
3.近似求解微分方程：很多微分方程难以找到解析解，但可以使用泰勒公式来近似求解。
通过将微分方程转化为泰勒级数，并截断级数至有限项，我们可以得到一个逼近解。
4.反函数的泰勒展开：泰勒公式不仅适用于函数的展开，也适用于反函数的展开。
通过将函数和它的逆函数展开为泰勒级数，并对级数进行求和，我们可以得到函数的反函数的泰勒展开。
在实际应用中，泰勒公式的推广应用不仅局限于以上几个领域。
它可以使用在各种数学和物理问题中，包括信号处理、金融工程、计算机图形学等。
泰勒公式及其应用
第一章 绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.第二章 泰勒公式1.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数f .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()[()]n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们. 当n =1时，有1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.1.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+（ξ也可以写成00()x x x θ+-）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究. 1.3泰勒公式的定义（1）带有佩亚诺(Peano )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数, 则对此邻域内的点x ,有()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-当00x =时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin )公式.即()(1)21(0)(0)(0)()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+（2）带有拉格朗日(Lagrange )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有1n +阶导数, 则对此邻域内的点x , 有()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+(ξ介于0x 与x 之间）第三章 泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限. 例1 求224cos limx x x ex -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单. 解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+- 441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112lim lim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x e x-→-.解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可.24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x→-+= 112=- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单. 2.2利用泰勒公式进行近似计算例1 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值i ，并估计误差. 解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯. 必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.如在ln(1)x +的泰勒多项式中令x =1，取它的前10项计算ln 2的近似值，得到111111111ln 212345678910≈-+-+-+-+-=0.645 634 92…而ln 2=0.693 147 28…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如1lnln(1)ln(1)1xx x x+=+--- 23223221()232232n n nx x x x x x x x o x n n ⎡⎤⎡⎤=-+--------+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦352122()3521n nx x x x o x n -⎡⎤=+++++⎢⎥-⎣⎦， 令1,3x =只取前两项便有3111ln 22()333⎡⎤≈+=⎢⎥⎣⎦0.69135…,取前四项则可达到3571111111ln 22()()()3335373⎡⎤≈+++⎢⎥⎣⎦=0.693 124 75…,效果比前面好得多.例2 当x 很小时，推出331111x x x x +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的简单的近似公式. 解： 当x 很小时，111133331122111111x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2224[1][1]3(1)3(1)3(1)x x xx x x ≈+--=--- 43x≈2.3在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例1 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+- 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.2.4泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下. 若对于某个值a ，按参数h 算出的近似值1()a h 可以展开成231123()a h a c h c h c h =++++（*）（这里先不管i c 的具体形式），那么按参数2h 算出的近似值1()2h a 就是231123111()2248h a a c h c h c h =++++ (**)1()a h 和1()2ha 与准确值a 的误差都是()o h 阶的.现在，将后(**)式乘2减去（*）式，便得到11232232()()2()21ha a h a h a d h d h -==+++-也就是说，对两个()o h 阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有2()o h 阶的近似值2()a h .这样的过程就称为外推.若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从2()a h 出发再次外推，22343344()()2()41ha a h a h a e h e h -==+++-，得到3()o h 阶的近似值3()a h .这样的过程可以进行1k -步，直到11112()()2()()21k k k k k k ha a h a h a o h -----==+-， 满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.例 1 单位圆的内接正n 边形的面积可以表示为1()sin(2)2S h h hπ=， 这里1h n=,按照泰勒公式351(2)(2)()223!5!h h S h h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦246123c h c h c h π=++++因此，其内接正2n 边形的面积可以表示为351()()()23!5!h h h S h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦24612314c h c h c h π=++++，用它们作为π的近似值，误差都是()o h 量级的.现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：4()()()()22()()4123h hS S h S S h h S h S --==+- 那么通过简单的计算就可以知道4623()S h d h d h π=+++2h 项被消掉了！也就是说，用()S h 近似表示π，其精度可以大大提高.2.5求曲线的渐近线方程若曲线()y f x =上的点(,())x f x 到直线y ax b =+的距离在x →+∞或x →-∞时趋于零，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.当0a =时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线的充分必要条件为lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=如果y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线，则()()lim 0x f x ax b x →+∞-+=（或()()lim 0x f x ax b x→-∞-+=）. 因此首先有()lim x f x a x →+∞=（或()lim x f x a x→-∞=）. 其次，再由lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=（或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=）可得 lim [()]x b f x ax →+∞=-（或lim [()]x b f x ax →-∞=-） 反之，如果由以上两式确定了a 和b ，那么y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.中至少有一个成立，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线，当0a =时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果()f x 在x 趋于某个定值a 时趋于+∞或-∞，即成立lim ()x f x →∞=±∞则称直线x a =是()f x 的一条垂直渐近线.注意，如果上面的极限对于x →∞成立，则说明直线y ax b =+关于曲线()y f x =在x →+∞和x →-∞两个方向上都是渐近线.除上述情况外，如果当x a +→或a -时，()f x 趋于+∞或-∞，即lim ()x a f x +→=±∞或lim ()x a f x -→=±∞，则称直线x a =是曲线()y f x =的一条垂直渐近线.例1 求 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程. 解： 设 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程为y ax b =+，则由定义 2(1)1lim lim 3(1)3x x y x a x x x →∞→∞-===+ 2(1)lim[]3(1)x x b ax x →∞-=-+ 2(1)1l i m []3(1)3x x x x →∞-=-+ =131lim 131x x x →∞-+=-+ 由此13x y =-为曲线y =2(1)3(1)x x -+的渐近线方程。
一阶泰勒公式其应用
一阶泰勒公式其应用1.带有皮亚诺余项的泰勒公式定理1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数,则有0()()0(())n n f x T x x x =+-,即()000000()()()()()()0(())1!!n n nf x fx f x f x x x x x x x n '=+-++-+- （1）即函数f 在点0x 处的泰勒公式；()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式的余项. 2.带有Lagrange 型余项的Taylor 公式定理2（泰勒） 若函数f 在[a,b]上存在直到n 阶的连续导函数,在(a,b)内存在n ＋1阶导函数,则对任意给定的0,[,]x x a b ∈,至少存在一点(,)a b ξ∈使得：()(1)1000000()()()()()()()()1!!(1)!n n nn f x fx ff x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+ 2）3、 函数的Maclaurin 公式210()2!!nxnxxex x n =+++++352112s in (1)0()3!5!(21)!m m mxxxx x xm --=-+++-+-24221c o s 1(1)0()2!4!(2)!mmm xxxx xm +=-+++-+231ln (1)(1)0()23nn nxxxx x x n-+=-+++-+2(1)(1)(1)(1)10()2!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++2110()1nnx x x x x=+++++-4、应用(1) 把函数)(x f 展开成n 阶Maclaurin 公式例１ 把函数2sin )(x x f =展开成含14x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 ) (!7!5!3sin 7753x xxxx x +-+-=,) (!7!5!3sin 141410622xxxxxx+-+-=.例２ 把函数x x f 2cos)(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 ) (!6!4!21cos 6642x xxxx +-+-=,), (!62!34212cos 66642x x x x x +-+-= (注意, 0),()(≠=k x kx )∴ ) (!62!321)2cos 1(21cos665422x x x xx x +-+-=+=.（２）求)(x f 的n 阶导数例３ )1ln()(2x x x f +=，求)3)(0()(≥n fn .)(022))(022()1ln()(4322222nnn n x n xxxxn xxx x x x x f +-++-=+-++-=+=--又)(0!)0(!1)0()0()()(nnn x xn fx f f x f +++'+=所以，21!)0()(-=n n fn ，2!)0()(-=n n fn(３)利用Taylor 公式求极限例４ 求极限 ) 0 ( ,2lim2>-+-→a xa ax xx .解 ) (ln2ln 1222ln x a xa x eaax x+++==,) (ln2ln 1222x a xa x ax++-=-;). (ln2222x a x a a x x +=-+-∴ a xx a x xa ax x xx 2222202ln) (lnlim2lim=+=-+→-→ .例５ 求极限011lim(c o t )x x xx→-.解 0111sin c o s lim(c o t )limsin x x x x x x x xxx x→→--=32323()[1()]3!2!limx xxx x x x xοο→-+--+=33311()()12!3!lim3x x x xο→-+==.(３)利用Taylor 公式求证明题例６ 设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且()()0f a f b ''==,则存在(,)a b ξ∈,使得24()()()()f f b f a b a ξ''≥--.证明(,)x a b ∀∈,将函数()f x 在点a 与点b 处T a y lo r 展开21()()()()()()2!f f x f a f a x a x a ξ'''=+-+-,1a xξ<<,22()()()()()()2!f f x f b f b x b x b ξ'''=+-+-,2x bξ<<.令2a b x +=代入得：21()()()()22!4f a b b a f f a ξ''+-=+,22()()()()22!4f a b b a f f b ξ''+-=+,上述二项相减,移项并取绝对值得221()()()()()42f f b a f b f a ξξ''''---=2221()()()()()424f f b a b a f ξξξ''''+--''≤≤,其中,12()m ax {(),()}f f f ξξξ''''''=,取24()()()()f f b f a b a ξ''≥--.。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！引言在我们解决一些数学问题中，泰勒公式是一个极为有用的公式。
当解决某些比较复杂的函数时，泰勒公式可以把这些复杂的函数近似的表示为一种简单的多项式函数，这会使我们减少了许多不必要的麻烦，起到事半功倍的作用。
泰勒公式是我们解决一些代数和数值计算发挥了决定性的作用。
本文通过对其定义及其展开式、常见的展开式和余项进行介绍，总结泰勒公式在解决许多数学问题中常见的应用，即求函数的极限、在等式与不等式方面、在近似计算上、在证明中值公式中、判断级数及积分收敛中、求函数高阶导、判断函数的极值点中、在界的估计方面、求行列式的值方面的应用[2-16]，并通过例题对其应用进行解释说明。
第一章泰勒公式泰勒公式的背景及意义英国著名的数学家布鲁克•泰勒，是十八世纪早期英国牛顿学派的杰出代表人物之一，1685年出生于米德尔赛克斯的埃德蒙，泰勒公式得名于他。
泰勒一生中有许多著作，其中主要的著作是《正和得增量方法》，书中描述了他在1712年7月给他的老师梅钦（数学家，天文学家）信中首先提出的著作定理——泰勒公式[1]。
在数学分析中，对于我们解决某些问题，比如我们常常会碰到一些比较复杂的函数，为了解决此类问题，可以利用泰勒公式将复杂的问题变成简单的作用，将这些复杂的函数转化为常见的、简单的多项式，这样我们就能够更简便的解决出问题。
可以看出这对某些函数值的计算和函数形态的研究都具有极为重要的意义。
泰勒公式的意义是：一个多项式，它是函数关于的n次多项式，用它与函数作差后所得的是比高阶的无穷小，并给出其误差，这样就为研究和计算一些比较复杂的函数和估计误差提供了有效的方法。
泰勒公式是由关于的n次多项式以及余项组成的，下面来探讨一下：当时，有是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点的一次密切[2]。
一元函数的泰勒展开式及其应用
一元函数的泰勒展开式及其应用泰勒展开式是数学分析中的重要工具，用于将一个函数在某一点附近进行近似表示。
它是一种基于函数的导数值的近似值来表示函数值的方法。
泰勒展开式广泛应用于微积分、物理学、工程学等领域。
一元函数的泰勒展开式可由泰勒公式得出，其一般形式为：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n + R_n\]其中，\[f'(a)\]表示函数\[f(x)\]在点\[a\]处的一阶导数，\[f''(a)\]表示二阶导数，以此类推，\[R_n\]表示余项。
当余项\[R_n\]趋近于零时，泰勒展开式逐渐逼近原函数的值。
泰勒展开式的应用十分广泛。
下面将重点介绍几个常见的应用场景。
1. 近似计算泰勒展开式可以用于近似计算函数值。
例如，当函数较复杂或难以直接计算时，可以利用泰勒展开式将其转化为一个简化的形式，从而更容易进行数值计算。
例如，对于函数\[sin(x)\]，我们可以在\[x = 0\]处展开，得到\[sin(x)\]的泰勒展开式为：\[sin(x) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\cdots\]通过截取有限项来计算\[sin(x)\]的近似值，可以在一定程度上减少计算的复杂度。
2. 函数逼近泰勒展开式也可以用于函数逼近。
对于一个不易求解的函数\[f(x)\]，我们可以选择合适的展开点\[a\]，并截取展开式中的有限项，从而构建一个逼近函数\[g(x)\]。
通过选择适当的截取项数，逼近函数\[g(x)\]能较好地近似原函数\[f(x)\]，在实际问题中可以简化计算或分析。
一类考研题型的万能解法——泰勒公式
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）， 这里
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＝ Leabharlann 触之 间， （ ） 称为拉格朗Ｅ ｔ 余项。这就是函数 ） 在 ＝ 。 点附近的关于 的幂函数展开式 ， 也叫泰勒公式。 余项还可以表示为 Ｒ （ ）＝０ （ — 。 ） ， 称为皮亚诺余项 。由泰勒定理知 ：
ｆⅣ／． ．、 ｎ ）， 、
第。 卷
Ｖｏ ｌ ３ １
．
第 ７期
成都师范学 院学报
Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬ ＯＦ Ｃ ＨＥＮ ＧＤＵ ＮＯ ＲＭＡＬ ＵＮ Ｉ ＶＥ ＲＳ ｒｒ ｒ ｒ Ｙ Ｙ
２ ｏ１ ５ ￣ ７月 Ｊ ｕ １ ． ２ ０ｌ ５
．
一
类 考 研 题 型 的 万 能解 法
例１ ［ ６ ］ 设 ） 在［ ０ ， １ ］ 上有连续的二阶导数 ， ０ ）＝ １ ）＝０， ａ ｒ ｉ ｎ ． ）＝一１， 求证 ： ｍ ａ ｘ ｆ” （ ） ８
分析 ： 在题 目中出现 了二 阶导数 ， 则在 证 明过程 中 ， 我 们 写 出函数 厂 （ ）带拉 格 朗 日型余项 的一 阶泰 勒 公 式， 并 综合 利用证 明思 路 （ １ ） 和（ ２ ） 进行 解题 。 证明 ： 设 ） 在 ＝ａ处 取最小 值 所 以厂 （ ａ ）＝一１， 厂 （ 口 ）＝０ 由泰勒 公 式知 ，
作者简介 ： 王 万 禹（ １ ９ ８ ６ 一） ， 男， 成都 人 ， 讲师 ， 硕 士， 研 究方向： 应用数学 ；
张玉林（ １ ９ ８ ４ 一） ， 女， 济南人 ， 讲师 ， 博 士， 研 究方向： 代数论。
１ ０ ４
第３ ｌ卷（ 总第 ２ ６ ９期 ）
王万 禹 ， 张玉林 ： 一类考研题型 的万 能解法
泰勒公式的基本概念和应用
泰勒公式的基本概念和应用泰勒公式是一种用于描述函数的近似方法，通过在某个点处对函数进行不断求导，求出函数在该点处的各阶导数，然后利用这些导数来构造一个多项式近似函数。
泰勒公式可看作是函数的泰勒级数展开式的一个特例，而泰勒级数是一类函数级数，能够用来表示函数在一个点附近的局部信息。
一、基本概念泰勒公式的基本形式如下：$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$其中，$f^{(n)}(a)$ 表示 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘。
泰勒公式主要用于对函数在某个点的局部近似，即在 $x=a$ 处对 $f(x)$ 进行展开。
若 $a=0$，则展开式称为麦克劳林级数。
泰勒公式的应用非常广泛，如计算机图形学中的三维模型表面细分算法（Subdivision Surface）、数值分析中的数值积分和数值微分等。
二、应用举例1. 计算三角函数三角函数 $\sin x$ 和 $\cos x$ 在 $x=0$ 处的泰勒级数分别为：$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+···$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+···$对于一个给定的 $x$ 值，我们可以通过计算级数的一部分来计算三角函数的值。
例如，使用 $\sin x$ 的前 $5$ 个项来计算$\sin(2)$，我们有：$\sin 2=2-\frac{2^3}{3!}+\frac{2^5}{5!}-\frac{2^7}{7!}≈0.909`2. 计算指数函数指数函数 $e^x$ 的泰勒级数为：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+···$同样地，我们可以使用级数的前 $n$ 项来计算 $e^x$ 的近似值，以得到 $e$ 的近似值。
泰勒公式(Taylor'stheorem)在高考中的应用之终极版
摘要（Abstract）：对历年以来高考数学导数题（主要是全国卷，因为笔者今年高考考全国卷）进行了研究，进行了导数题题设题背景的调查，发现大多导数题题设背景是由泰勒（Taylor）展开式（实则为麦克劳林（Maclaurin）展开式，由于笔者很喜欢霉霉，故称之为泰勒）进行变形、赋值、换元、放缩、累加、累乘等变换的方法衍生出来的。
关键词（Key words）:•泰勒展开式•放缩引言（Introduction）：高等数学中，e^{某} 的幂级数展开式是像霉霉一样特别优美。
具体表现为通过泰勒展开式能将一些较为复杂的函数e^{某} ,\ln(1+某)用较为简单的函数1+某,某-\frac{某^{2}}{2} （二阶展开式）表示之。
这颇有一番以直代曲的韵味。
上图为f(某)=e^{某} (yellow )和它在某=0处的线性逼近P_{1}=1+某（blue ），通俗来说就是f(某)=e^{某} 在某=0处的切线方程为P_{1}=1+某。
由上图可直观感知到一个重要的不等关系：e^{某}\geq 1+某 (某\in R)，可以毫不夸张的说，高考导数涉及到的以泰勒展开式为题设背景的题都是以这个重要不等式变换而来的。
例如：•15年福建卷理20题•14年全国卷新课标I理21题•14年全国卷新课标III理22题•13年全国卷新课标II理21题•13年辽宁卷理21题•12年辽宁卷理21题•11年全国卷新课标II文导数题•10年全国大纲卷22题•07年辽宁卷理22题•06年全国卷II22题可见，以泰勒展开式为背景命制的导数题的地位在高考压轴题中还是较高的。
当然，有关试题并一一例举完，读者可以把自己做过的有关试题的出题处在评论区向大家分享。
在未了解泰勒展开式之前，解决相关导数题时往往采用不等式和导数为工具，进行逻辑推理来解决问题。
正所谓：“会当凌绝顶，一览众山小”，如果没有站在相应高等数学知识的高度，那么很难轻松地看透问题的本质。
《高等数学》课程中泰勒公式的应用
《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的数学工具，它是数学中用来近似计算的一种方法。
泰勒公式的应用涉及到很多方面，下面将讨论一些常见的应用。
1. 函数的近似计算：泰勒公式可以用来对函数进行近似计算，在给定的点附近用一个多项式来近似表示函数的值。
我们可以用泰勒公式来近似计算三角函数、指数函数等复杂函数在某个点的值，从而在数值计算时得到较为准确的结果。
2. 极值问题：泰勒公式可以用来解决极值问题。
对于一个函数，在极值点附近，其函数值相对于极值点的位置是一个关键因素。
通过泰勒公式，我们可以计算函数在极值点附近的表现，从而判断函数在极值点附近的走势。
3. 曲线拟合：泰勒公式可以用来进行曲线拟合。
当我们有一些离散的数据点，想要找到一个函数曲线来拟合这些点时，可以利用泰勒公式来实现。
通过构建泰勒多项式，我们可以将一条曲线与离散数据点进行匹配，从而达到拟合的效果。
4. 数值逼近：泰勒公式可以用来进行数值逼近。
当一个函数在某个点的导数很难计算时，可以利用泰勒公式来逼近这个导数的值。
将泰勒公式展开到适当的阶数，可以得到一个近似值，用来代替实际值进行计算。
5. 工程应用：泰勒公式在工程中有很多实际应用。
在电子电路中，可以利用泰勒公式对电路中的信号进行近似计算，从而优化电路的设计。
在材料力学中，可以利用泰勒公式进行应力分析和变形分析，从而提高材料的性能和使用效果。
泰勒公式作为数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域。
通过泰勒公式，我们可以对复杂的函数进行近似计算，解决一些数值计算中的难题，同时还可以优化工程设计和提高产品性能。
了解和掌握泰勒公式的应用是非常有意义的。
高等数学课件：专题五 泰勒公式与导数应用
例10.证明：当x 0时，x2 1 ln x
例11.证明:1 x ln( x 1 x2 ) 1 x2 , x 0
五.求极值与最值 求极值步骤：(1)找到可疑的极值点（包括驻点及不可导点） (2)利用第一或第二充分条件判定
例12.设y y(x)由方程2 y 2 y 2xy x 1所确定，试求 它的驻点，并判别它是否有极值点？如果是，
3
(1 y2 ) 2
,曲率半径 1
K
( x0 , y0 )
8.渐近线：
垂直渐近线: x
x0
,
lim
x x0
f
(x) 或 lim x x0 -
f (x)
水平渐近线：y y0，lxim f (x) y0
斜渐近线：y ax b, a lim f (x) ,b lim[ f (x) ax]
(
x
x0
)
n1
,
(在x0与x之间)
麦克劳林公式：x0 0
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
f (n) (0) n!
xn Rn (x)
其中Rn (x)
f (n1) (x) xn1, (0
(n 1)!
1)
常见的展开式 :
ex 1 x x2 xn e xn1，
以x2代替x
sin x2 x2 x6 x10 (1)n1 x4n2 o(x4n )
3! 5!
(2n 1)!
2.洛必达法则，必须将未定式扩展性转化为基本型
0, 0
3.导数的几何意义：f (x0)为曲线y f (x)在M (x0, f (x0 ))处
例谈泰勒展式在高中函数与导数中的应用
三、如何开发生活化小学语文隐性课程 1. 提升教师主动开发隐性课程的意识 教师开发隐性课程的意识不强是隐性课程开发程度不足的最 重要的原因之一。学校可以通过邀请专家来学校讲学、讲座、座 谈等形式，向教师普及小学语文隐性课程的知识，树立教师开发 隐性课程的意识。同时，鼓励教师间多交流、说自己的发隐性课 程的经验和不足，让教师在理解小学语文隐性课程意义和内容的 基础上主动去研究和探索开发隐性课程。 2. 营造小学语文隐性课程开发氛围 建议教师和学生一起，将校园的环境建设的更好。如让小学 生参与到标语的学习和投票选择中，让学生在充分理解这些名人 警句的同时票选出人气最高的名言警句并粘贴在教室中 ；让学生 参与到种花种树种，美化校园环境的同时也让小学生学会爱护植 物 ；鼓励学生参与到教室的布置当中，集思广益创设有自己班级
ħ ex ! (x 1) 令 x 2i ，则 ei ! 2i 1 （ x ! 1 ）
ħ
n
3 (1
i1
2i )
3 e n 2i
i1
在不等式两边同取对数即化
ln
n
3(1
i1
1 2i
)
<
n
ln 3 e2i i1
1 (1)n 1 2
ln
n
3 (1
i1
1 2i
)
ln
n
3
i1
针对比较难的教学问题，教师不能立即告诉学生答案，这种 直奔结论的解疑方法是非常不可取的，会让学生的思维凝固，让 其无法动脑思考。教师需要对此引起足够的重视，在实际讲述过 程中，要将较难的问题分成不同层次组织教学，通过循序渐进的 教学引导，才能够帮助学生解决问题获取答案。
泰勒公式与导数的应用
泰勒公式与导数的应用泰勒公式和导数都是微积分中的重要概念，它们在数学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
本文将分别介绍泰勒公式和导数的基本概念，并讨论它们在数学和实际问题中的应用。
一、泰勒公式泰勒公式是对函数进行近似的一种方法。
给定一个充分光滑的函数f(x)，泰勒公式可以给出函数在其中一点a附近的展开式。
具体而言，泰勒公式可以用以下形式表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数，R_n(x)表示剩余的误差项。
泰勒公式是针对泰勒级数的截断形式，泰勒级数可以展开到无穷项，但在实际应用中，往往只需要考虑有限项即可。
截断误差R_n(x)表示由于截断到第n项而产生的误差，当n越大，截断误差越小，展开式越接近原函数。
泰勒公式在数学领域中有广泛的应用，尤其是在函数的近似计算和数值方法中。
例如，通过泰勒公式，我们可以将复杂的函数进行线性近似，从而简化计算。
此外，泰勒公式也为高阶导数的计算提供了一种方法，通过对函数展开，可以逐级求导得到需要的导数。
在物理学和工程学中，泰勒公式也有着重要的应用。
例如，我们可以利用泰勒公式对物体的运动进行描述，从而预测物体在其中一时刻的位置和速度。
此外，在电路分析和信号处理中，泰勒公式常常用于信号的近似和滤波。
导数是微积分中的基本概念，表示函数在其中一点的变化率。
导数可以用以下形式表示：f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，h表示自变量x的增量。
导数在数学中有着广泛的应用。
泰勒公式的几种证明及应用
泰勒公式的几种证明及应用摘要：泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在理论上和使用上都有很重要的作用.本文将运用分析法或数学归纳法对带有佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项这三种带有不同型余项的泰勒公式进行简单易懂的证明，从而能更好地理解泰勒公式的内容及性质.在深刻理解的基础上，对泰勒公式在高等数学中有关近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题、证明等式或不等式和关于界的估计等方面的应用给予一定的介绍，然后分别给出例题.关键词：泰勒公式 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 积分型余项 应用Several Proofs and Applications of Taylor FormulaAbstract: Taylor formula is an important formula in higher mathematics, it plays a very important role intheoretical and methodological. In order to better understand the content and nature of Taylor formula, this article will use the method of analysis or mathematical induction to prove three different kinds of Taylor formula with remainder terms: Peano remainder term, Lagrange remainder term, and Integral remainder term. On the basis of deep understanding, then the article gives some introductions about the applications of Taylor formula in these aspects: approximate calculation and error estimation, work out limit, research problem of function’s extreme value, the proving of equality or inequality, and about boundary estimate, also supported by examples.Keywords: Taylor formula; Peano remainder term; Lagrange remainder term; Integral remainder term;application1. 引言大家都知道，多项式函数是各类函数中结构较简单、计算较方便的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.可以看到用00()()()f x f x x x '+-这个)(0x x -的一次多项式近似代替)(x f 且求其在0x 附近的函数值是很方便的，但是它的精确度往往并不能满足我们的实际需求，这就要求我们能够找到一个关于)(0x x -的n 次多项式.由此，著名数学家泰勒在1912年7月给其老师梅钦的信中提出了著名的定理——泰勒定理，用泰勒公式可以很好地解决用多项式近似代替某些较复杂函数这类复杂的问题.2.泰勒公式的证明泰勒公式有几种不同的形式，在这里我们将对三种带有不同型余项的泰勒公式给予逻辑严谨、简单易懂的证明. 2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1[1] 若函数f 在点o x 存在直至n 阶导数，则有()()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-证：设()()()()()()()()200000002!!n n n f x f x T f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-（1） ()()n n R f x T x =- ()0()nn Q x x x =-现在只要证 ()()0lim0n x x nR x Q x →=由关系式（1）可知()()()()0000n n n n R x R x R x '====并易知()()()()10000,n n n n Q x Q x Q x -'==== ()()0!n n Q x n =因为()()0n f x 存在，所以在点o x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数.于是，当()0x U x ︒∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得 到 ()()()()()()()()0011lim lim lim n n n n n x x x x x x n nn R x R x R x Q x Q x Q x --→→→'===' ()()()()()()()()()110000lim12n n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=--()()()()()()0110001lim !n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦0= 所以有()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-则此式得证.2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理2[2] 设函数f 在某个包含0x 的开区间),(b a 中有1到n +1阶的各阶导数，则(),x a b ∀∈，有()()()()()()()()()200000002!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-()()()()1101!n n f x x n ξ+++-+ （2）其中ξ是介于0x 与x 之间的某个点，当0x 固定之后，ξ只与x 有关. 证：(2)式可以改写成()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ⎡⎤'''-+-+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()1101!n n f x x n ξ++=-+ 或者()()()()(1)101!n n n R x f n x x ξ++=+-. （3） 为了证明（3）式，我们对于（3）式左端连续运用柯西中值定理（已推出()()()()0000n n n n R x R x R x '====）： ()()()()()()()()011100101n n nn n nR x R x R x R x x x x n x ξξ++'-==--+-()()()()()()()1021102011nn nnn R R x R n xn n x ξξξξ-''''-==+-+-()()()()201201nn n R R x n n x ξξ-''''-==+-()()()()0231n n n n R n n x ξξ=⋅+-()()()()()()00231n n n n n n R R x n n x ξξ-=⋅+-()()()11!n n R n ξ+=+ （4）在此推导过程中，1ξ是介于0x 与x 之间的某个点；2ξ是介于0x 与1ξ之间的某个点，，ξ是介于0x 与n ξ之间的点.因而，ξ介于0x 与x 之间. 又注意到 ()()()()11n n n R f ξξ++= ，所以（4）式就可以得到（3）式 ，进而推出（2）式. 即定理得证.在这里定理1和定理2我们都是用分析法来证明的，实际上，我们还可以用递推法或数学归纳法来进行证明，下面的定理3我们就是用数学归纳法来证明的. 2.3带有积分型余项的泰勒公式定理3[3] 设函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内有n +1阶连续导函数，则()()()()()()()()()200000002!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-()()()011!x nn x f t x t dt n ++-⎰ ，0[,].t x x ∈ （5） 证：从已知条件可知()1,,,n f f f +'在0[,]x x 上是连续的.那么我们有()()()00x x f x f x f t dt '-=⎰ （6） 在（6）中令(),()u f t v x t '==-- 则(),du f t dt dv dt ''==.利用分部积分公式 我们就有()()()()()0||xxx xx x x x x x f t dt uv vdu f t x t x t f t dt ''''=-=--+-⎰⎰⎰（7）结合（6）式和（7）式得到()()()()()()0000x x x t f f x f d x x t x f x t '''=---+⎰这就是1n =时的情形，符合公式（5）.我们同理可容易看出2n =时也成立. 假设1n -（此时指的是2n ≥的情形）时仍然可以得到（5）式是成立的， 即是有()()()()()()()()()()1200000002!1!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n -'''-=-+-++--()()()()0111!x n n x x t f t dt n -+--⎰ （8） 在（8）式中令()()(),!n n x t u ft v n -==- 则()()()()11,1!n n x t du f t dt dv dt n -+-==-. 利用推广分部积分公式我们就有()()()()011!n xn x x t f t dt n ---⎰()()()()()()01!!xn n nxn x x x t x t f d n t f n t t +--=-+⎰()()()()()()0100!!nxn nn x x t x f x x n dt n f t +--=+⎰（9） 将（9）式代入（8）式得到（5）式，即在n 的情形下（5）式仍然成立. 故证得此泰勒公式成立.定理3运用分部积分法的推广公式结合数学归纳法来证明的，但实际上定理3也是可以用分析法来证明的.经过三个定理的证明我们可以清楚地看到这几种带不同型余项的泰勒公式是可以相互转化的，例如：在定理3中存在),(0x x ∈ξ有由推广的积分第一中值定理得到=)(x R ()()()011!x nn x f x t dt n ξ+-⎰=10)1())(()!1(1++-+n n x x f n ξ.这就转化成了定理2中的余项形式，这就是说带有积分型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式是可以相互转化的，经过实际演算我们还可以很容易地得到其它几种型余项的泰勒公式之间的相互转化.那么也可以说只需要知道其中一种余项的泰勒公式的证明，我们就可以轻松证明出其它型余项的泰勒公式，当然这其中也包括很重要的带有柯西型余项的泰勒公式.3.泰勒公式的应用泰勒公式是解决高等数学问题的很重要的工具，但是很多同学仅仅对泰勒公式的展开式比较熟悉，而对泰勒公式的其它应用方法没有深入的了解.实际上，泰勒公式在近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题等问题的解决过程中也有很重要的应用.下面举几个例子进行阐述. 3.1近似计算及误差估计例1.=3273=，所以可以设()f x = 先求027x =处()f x 的三阶泰勒公式：因 ()2313f x x -'=，()5329f x x -''=-，()831027f x x -'''=. 所以得(27)3f = ， 31(27)3f '= ， 72(27)3f ''=- ， 1110(27)3f '''= 及 11(4)3480()3fx x -=- ，故23411371243115803(27)(27)(27)(27).3334!3[27(27)]x x x x x θ=+---+---⋅+-其中()0,1θ∈， 又30x =， 于是43114380||(3027)4!3[27(27)]R x θ=-⋅+-454111280103 1.88104!333-<⋅=≈⨯⋅⋅2591153333≈+-+30.1111110.0041150.000254≈+-+ 3.10725=计算时，分数化小数取六位小数，合起来误差不超过50.310,-⨯再加上余项误差，总误差不超过52.210.-⨯用多项式逼近函数进行近似计算是泰勒公式的重要应用，且应用高阶导数可以进一步精确地求出近似值，减小误差.本题用已知函数的泰勒公式的值（其项数可根据实际需要取），作为已知函数的近似值，用来进行近似计算，且用泰勒公式的余项来估计所产生的误差.一般如果对我们已经确定的n ，我们先令M x f n ≤+|)(|)1(，则有估计误差110)1()!1()()!1()(||+++-+≤-+=n n n n x x n Mx x n f R ξ.3.2求极限例2：求()2220112lim cos sin x x x x e x→+-- 的极限值.解： 在这里由于22~sin x x ，把其它各项分别展开成带有佩亚诺型余项的泰勒公式，则有)(8121114422x o x x x +-+=+，那么分子变为244111()28x x o x +=+， 分子式4=n ,则分母中可以将括号里展开成2=n 的情形，即有)(211cos 32x o x x +-= ， )(1222x o x e x ++= ， 则有 )(23cos 222x o x e x x +-=-，所以此求极限的式子可以简化为244220022211()1182lim lim 312(cos )sin ()2x x x x o x x x e x x o x x →→++==-⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦. 故所求极限值是121-. 对于求0型的极限问题，常可以用洛必达法则，但对于像此例这种要连求几次导数，运算非常麻烦的情形我们可以考虑用带有佩亚诺型余项的泰勒公式加以解决.由此例可以看出泰勒公式是进行无穷小量分析比较的一个非常精细的工具.有些求极限的问题并非0型的，我们仍然需要用到泰勒公式去求极限，如下例：例3：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 2 的极限值.解：因为⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+221121111ln x o x x x ，)(∞→x ，所以得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 22211lim 12x o x x →∞⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦12=得到极限值是12.3.3研究函数的极值问题在研究函数的极值问题时我们往往也可以应用泰勒公式达到化整为零、快速解题的效果.例4：设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导数，在0x 处n 阶可导，且0)(0)(=x f k)1,,2,1(-=n k ，0)(0)(≠x fn ，证明:若n 为偶数，则0x 是)(x f 的极值点；若n 为奇数，则)(x f 在0x 处不取极值.证:由定理1我们知道f 在点0x 处的n 阶泰勒公式即为()()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-又由题目条件可以看到0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ，则上式可以简化成))(())((!1)()(000)(0n n n x x o x x x f n x f x f -+-+=，因此有n n x x o x f n x f x f )()1()(!1)()(00)(0-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=- （10）又因为0)(≠n f，故存在正数δδ'≤，当);(0δ'∈x U x 时，)(!10)(x f n n 与)1()(!10)(o x f n n +同号.所以， 若n 为偶数，则当0)(0)(<x f n 时（10）式取负号，从而对任意);(0δ'∈x U x 有)()(0x f x f <，则此时f 在0x 处取得极大值；同理0)(0)(>x fn 时f 在0x 处取得极小值. 故若n 为偶数，0x 是)(x f 的极值点.若n 为奇数，则任取),(001δ'+∈x x x ，),(002x x x δ'-∈，且0)(01>-n x x ，0)(02<-n x x 当0)(0)(<x f n 时，有)()()(201x f x f x f << ，在0x 处取不到极值；同理当0)(0)(<x f n 时也在0x 处取不到极值.故若n 为奇数，)(x f 在0x 处不取极值.题目中提到了几阶导数的问题，而我们有时感觉到无从下手，此时我们就应该想到应用泰勒公式，常常能达到意料不到的效果，事半功倍. 3.4证明等式或不等式证明等式或不等式的方法有很多种，但是在含有一阶以上的导数时一般可运用泰勒公式进行证明.3.4.1证明等式问题例5：证明：若()f x 在[,]a b 上有n 阶导数存在，且()()()()()()10n f a f b f b f b f b -'''======，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()0n f ξ=.证：由于()f x 在[,]a b 上有n 阶导数，故可在x b =处展成1-n 阶泰勒公式()()()()()()1112()()()()()().2!(1)!!n n n n f b f f b f x f b f b x b x b x b x b n n ξ--'''=+-+-++-+-- 其中1ξ在x 与b 之间. 又因为()()()()()10,n f b f b f b f b -'''=====故由上式可得()()()()11!nn f x f x b n ξ=-. 当x a =时，有()()()()()1,!nn f a f a b a b n ξξ=-<<.又()()0,0,nf a a b =-≠故知在(),a b 内必有一点,ξ使得()()0.nf ξ=3.4.2证明不等式问题例6：证明：若函数()f x 在[,]a b 上存在二阶导数，且()()0f a f b ''==，则在(),a b 内存在一点c ，使()()()()24||||f c f b f a b a ''≥--.证：将2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭分别在点a 和点b 展成泰勒公式，并注意()()0f a f b ''==，有()()211,22!22f a b b a a b f f a a ξξ''+-+⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()()222,22!22f a b b a a b f f b b ξξ''+-+⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令 ()()()12||max{||,||}f c f f ξξ''''''=.则 ()()()()||22a b a b f b f a f b f f f a ++⎛⎫⎛⎫-≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22212222f f b a b a ξξ''''--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2211||||24b a f f ξξ-⎡⎤''''=+⎢⎥⎣⎦ ()()2||4b a fc -''≤即()()()()24||||f c f b f a b a ''≥--.由例4、例5可以看出用泰勒公式证明问题这类题目中往往涉及函数的高阶导数.应用的关键在于如何选择要展开的函数，在哪一点展开，以及展开的次数（一般比最高阶导数低一阶）等，这些都要根据题设的条件进行具体问题具体分析. 3.5关于界的估计泰勒公式在有关界的估计方面的应用也是非常巧妙的.例7：设函数f 在(,)-∞+∞上有三阶导数，如果()f x 与()f x '''有界，试证()f x '与()f x ''也有界.证： 设 ()0||,f x M ≤ ()3||,()f x M x '''≤-∞<<+∞， 其中03,M M 都是常数.将f 在任意一点x 处展开成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式 即有()()()()()()()()()()111,26111,26f x f x f x f x f f x f x f x f x f ξη''''''+-=++''''''--=-+-其中()(),1,1,x x x x ξη∈+∈-.以上两式加减分别得到 ()()()112f x f x f x ++--()()()1[],6f x f f ξη''''''''=+-()()()()()1112[],6f x f x f x f f ξη'''''''+--=++ 由以上两式分别得到 ()()()()()()1||112[]6f x f x f x f x f f ξη''''''''=++---- 0314,3M M ≤+ ()()()()()1|2|11[]6f x f x f x f f ξη'''''''=+---+ 03123M M ≤+， 即()f x '与()f x ''在(,)-∞+∞上也有界.4.总结从泰勒公式在微积分的重要地位可以看出对泰勒公式进行证明是非常有必要的，进一步加深了我们对泰勒公式的理解及应用.通过上述证明及应用举例，我们能够知道：①泰勒公式是应用高阶导数研究函数性态的工具，凡是已知函数()f x 的高阶导数研究函数()f x 的性态都要应用泰勒公式；②泰勒公式有两种不同类型的余项：一种是定性的，如佩亚诺型余项；一种是定量的，如拉格朗日型余项等.参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2001.134-140页.[2] 韩云端，扈志明. 微积分教程（上）[M].北京：清华大学出版社，1999.188-203页.[3] S.I.Grossmon ，周性伟.微积分及其应用[M].天津：天津科学技术出版社，1988. 51-56页.[4] 蔡光兴，李德宜.微积分（经管类）[M].北京：科学出版社，2004.127页.[5] 王元殿.带不同型余项泰勒公式的证明[J].电大理工，2000，第205期：36-38页.[6] 同济大学数学系.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，2007.139-145页.[7] 王素芳，陶荣，张永胜.泰勒公式在计算及证明中的应用[N].洛阳工业高等专科学校学报，2003-6-第13卷第2期.[8] 耿晓哲.Taylor公式及其应用[J].潍坊高等职业技术教育,2009,第5卷第3期：45页.[9] 刘云，王阳，崔春红.浅谈泰勒公式的应用[N].和田师范专科学院学报，2008-7-第28卷第1期.[10] 董斌斌.泰勒公式及其在解题中的应用[J].科技信息，2010，第31期：243页.[11] 郭顺生，微积分入门指导（一元函数部分）[M].河北：河北人民出版社，1985.247-266页.[12] 刘红艳.一元泰勒公式在解题中的应用[J].林区教学，2008，第8期：140-141页.[13] 刘玉琏，杨奎元，吕凤. 数学分析讲义学习指导书——附解题方法提要[M].北京：高等教育出版社，1787.225-232页.[14] 潘劲松.泰勒公式的证明及应用[N].廊坊师范学院学报，2010-4-第10卷第2期.。
专题7 泰勒公式及其应用
x→0
x4
[− 1 ] 12
【例 2】设
f
(x)
在
x
=
0
的某邻域内二阶可导，且
lim⎜⎛ x→0⎝
sin 3x x3
+
f (x) x2
⎟⎞ ⎠
=
0
（1）求 f (0), f ′(0), f ′′(0);
[ f (0) = −3, f ′(0) = 0, f ′′(0) = 9]
3
（2）求
lim⎜⎛ x→0 ⎝
（2） limθ (x) = 1 .
x→0
2
【证】（1）任给非零 x ∈ (−1,1) ，由拉格朗日中值定理得
f (x) = f (0) + xf ′(θ (x)x) (0 < θ (x) < 1).
因为 f ′′(x) 在 (−1,1) 内连续且 f ′′(x) ≠ 0 ，所以 f ′′(x) 在 (−1,1) 内不变号，不妨设
常称 Rn ( x) = o(( x − x0 )n ) 为皮亚诺型余项.
若 x0 = 0 ，则得麦克劳林公式：
f ( x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + L + f (n) (0) xn + o( xn ).
2!
n!
定理 2（拉格朗日型余项泰勒公式）
设函数 f (x) 在含有 x0 的开区间 (a,b) 内有 n + 1阶的导数，则当 x ∈ (a,b) 时有
f (x) =
f ( x0 ) +
f ′( x0 )( x − x0 ) +
f
′′( x0 2!
)
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2019年第9期中学数学研究•45•
取兀°=ln(一-1)>-Ina,则f(x0)=ae2x()+(a-a
2)e XQ-x>ae~x i+(a-2)e x°-e x°=ae2x°4-(a-
3)評=0.
由于几”仏)=/(In—)<0,所以/■(%)在(In
a
丄，+ 8)有一个零点.
a
当光丘(一8,0)时,0<e x<1,则(°一2)< (a-2)e x<0,所以/(光)=ae2x+(a-2)e x-x> (a-2)e x-x-(a-2)-x.
令(a-2)-光MO,得兀Wa-2.取街=a-2 <0<In—,则/"(衍)二4-(a-2)e X1->(a a
-2)-(a-2)=0,又=/(ln-)<0.
a
故/(光)在(-oo,In丄)有一个零点.
a
参考文献
［1］李素波.浅析放缩法在应用零点存在判定定理时的作用［J］.中国数学教育,2016(10)=53-57.
泰勒公式在一类导数问题中的应用福建省泉州第五中学(362000)王文佳杨苍洲
导数问题中参数范围的确定、分类讨论时界点的寻找，及如何恰当的构造函数是导数部分的难点，也是高考及各级模拟考常考的难点和热点•其中，大多数时候我们对自己所构造的函数有一种“不信任”，即不确定其是否会达到我们所预想的效果.究其原因是忽略了一元函数泰勒展式在解决含参数问题中的重要作用.本文以高频出现的指数函数/(%) =『为例，说明在一类问题中如何应用泰勒公式快速的确定参数范围，同时阐明此类问题中构造函数的隐含理论支撑之所在.
1-函数/(%)=e*在％°处的泰勒公式
函数/(%)在处的泰勒展开式：/(%)=/(%o) +f(%0)(x-%)+"(力-«0)2+••-+，J
(%_兀0)口+0((%-A；0)n).
特别地，当/"(%)二『，光0二0时,『二1+%+齐
n X
+…+石+•••■
2.用泰勒展开式预测参数的取值范围
例1(2010新课标全国理科21)设函数/■(%) x12
=e-1-x-ax.
(I)若。
二0,求/■&)的单调区间；
(II)若当光三0时/(兌)三0,求a的取值范围.
解析：(I)略；(H)先证当兀时M1+ %2
光+亍
构造函数g(光)二『-(1+兌+专■)(心0),则g，(%)=e x_1-x,g\x)=e x-1M0,所以g'(x)
为［0,+00)上的单调递增函数，从而有g'(%)> g(0)二0,从而g(%)为［0,+00)上的增函数，所以
g(光)M g(0)二0,即e x1+X+牙(当且仅当%二0时，等号成立)，得证.
由e x-1-x-ax2M0等价于『-(1+%+牙) +(-a+/孑0.显然，当a W+时，上式恒成立.
下证：当a>y时，上式不恒成立.由f(兀)二b -1-2ax,f(x)=e x-2a,所以当兌丘(0,ln2a)时，fM<0,/(^)单调递减，故f g</(0)二0,此时/(光)在<0,ln2a)单调递减，所以/(光)<7(0)= 0,故e”一1一光一伉/》0在［0,+oo)时不恒成立.
综上所述,a W
评注：(i)关于构造函数gd),由于原题目中最高次项为兌$，所以只取函数y-e的泰勒展式前三项，即到二次项；
(ii)关于函数呂(光)的值域，由其泰勒展式可知g(兀)一定非负，所以可大胆证明g(光)M0；
(iii)关于参数在另一半取值不合题意的讨论,
•46•中学数学研究2019年第9期
主要就是寻找导函数零点的问题，然后利用函数单调性说明此种情况不合题意.
例2(北京四中2018-2019学年高三上学期理科期中考试)已知函数/'(%)=e3x-1-3x-ax2, a e.R.
(I)当a=0时，证明：当时,/(%)MO；
(II)当％MO时，代x)NO恒成立，求a的取值范围
解析：(I)略;(H)记g&)=fg=3e"-3-2ax,则g'(力)=9e3x-2a.
①当aW译时，由心0,知gj)NO,所以y
=g{x)在x e[0,+oo)时单调递增，所以g(%)M g(0)=O,Bpf(x)Nf(O)=0,所以y=f(x)在％e[0,+8)时单调递增，所以/■(小M/(0)=0；
②当a>号~时，令g'(%)=0,得%o=*l n乎,
当x e[0,%]时,g'(x)<g r(x0)=0,所以y= g(x)在％e[0,宓]上单调递减，所以gO)<g(0) =0,即/(%)</(0)=0,所以y=f(x)在xe(0,力。
)上单调递减，所以/(%)</(0)=0,与题设矛盾.综上a W号
以上为原题给出的标准答案，如果我们用泰勒公式构造函数，即在(2)式中用3%代替孔即在例1中用3%代替力，立刻可得a W
例3(安徽屯溪一中高二理科期考)已知函数代x)=e x-1-x-ax'.
(I)当a=0时，求证/(%)M0；
(n)当％mo时，若不等式/■(%)M0恒成立，求实数a的取值范围；
(皿)若x>0,证明(e-1)ln(%+1)>x.
解析：(I)略；(H)与前面例1几乎完全一致，过程略；
(皿)由(H)可知，当a=~y，x>0时,e">1 +%+£，即『-1>x+y=亡尹，欲证不等式
3-1)ln(%+1)>x,只需证明e x-1>諾只需证明T>册ry，只需证
ln(%+1)>'%设尸(兀)=ln(%+1)一彳光则
%+2x+2
F'(")=7ZT-(二2)2=仏+1)1+2产所
以当X>0时,"(％)>0恒成立，且F(0)=0,即F仏)>0恒成立.原不等式得证.
综合以上问题我们已经发现：
(i)参数的界点即为函数泰勒展式对应项系数•如此我们得到一个可以快速确定参数范围的方法•其次，作为一种经验，我们习惯性想到不等式『>1+%,其本质也是泰勒公式的一个应用，但在本题中是行不通的，现通过例1的介绍，以泰勒公式作为理论依据，在例3(皿)中，即便没有(H)做铺垫,看到不等式(e1-l)ln(x+1)>/右端二次项，也会想到巧用不等式e">1+%+£.
(ii)泰勒公式为我们提供了用多项式替换超越式的思想及具体方法.
3.结束语
泰勒公式是一个用函数在某点处的信息描述其附近取值的情况的公式，其实是用可导函数的各阶导数值做系数构建多项式来近似函数在某点邻域中的值，高中阶段常用的即为本文开篇提到的函数/(%)=e"在％处的泰勒公式或它们的变式，在构造函数的过程中老师们也往往较为生硬的告诉学生只有这样构造才能做出来，导致一种学生只知其然，不知其所以然的局面.泰勒公式给我们的启发之一是函数的构造变得不再生硬，有血有肉；启发之二是可以作为讨论参数分界点的一个指导.
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育社
出版社,2001：134-139.。