263讲义32简单的线性规划1

x 2y 8
线 性 约 束 条 件
4 4
x y
16 12
x
0
y 0
y
4 3
4
0
8x
将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内
所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y
都是有意义的.
问题：求利润2x+3y的最大值.
11
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:
当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少? 把z=2x+3y变形为y=-3 2x+3 z,这是斜率为-3 2, 在y轴上的截距为z的直线, 3
可行解 ：满足线性约束条
件的解(x，y)叫可行解； 2x+y=3
2x+y=12
可行域 ：由所有可行解组
成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域
(1,1)
(5,2)
6
目标函数所表 示的几何意义 ——在y轴上 的截距或其相 反数。
线性目 标函数
画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；
4）在可行域内求目标函数的最优解 法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的 方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处 取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优 解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。 5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙
种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
把例3的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品
(1件)
4 0 1 2
乙产品
(1件)
0 4 2 3
资源限额
16 12 8
10
解：设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
精品
26332简单的线性规划1
y
5C
B
O1
x=1
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
2.作出下列不 等式组的所表 示的平面区域
x-4y+3=0 x 4 y 3
A
3
x
5
y
25
x 1
5
x
3x+5y-25=0
问题1：x 有无最大（小）值？
当点P在可允许的取值范围变化时,
求 截 距 z的 最 值 ,即 可 得 z的 最 值 . 3
12
问题：求利润z=2x+3y的y 最大值.
x 2y 8
4 4 x y
x y
4
16
3
M（4，2）
12 0
0
4
8x
y 1 x4
2
0
y2x z
Z m a4 x223143 3
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？13
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数
目标函数
问题： （线性目标函数）
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
线性约 束条件
y
象这样关 于x,y一 次不等式 组的约束 条件称为 线性约束 条件
x=1 C 3x+5y-25=0
B
A x-4y+3=0
O
x
5
线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
2x+y=300
A 125
O
300x+900y=112500
C x+2y=250
150 B 250
答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.
当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500. 9 探索结论
例3: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产 品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作 8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
问题2：y 有无最大（小）值？
问题3：2x+y 有无最大（小）值？
2
二.提出问题
把上面两个问题综合起来:
x 4y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
x 1
时,求z的最大值和最小值.
3
思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数 的最大、最小值？
点的可目以y标通函过数比值较大可小行得域到边。界顶
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
5C
x 4 y 3 1.先作出 3 x 5 y 25
x 1 所表示的区域 .
2.作 直 l0:2x 线 y0
x-4y+3=0
3.作 一 组 与l直 0平线行 的 直线l :2x yt,tR
A B
线性约 束条件
x 4y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
最优解
x 1
任何一个满足
时,求z的最大值和最小值.
不等式组的 （x,y）
线性规 划问题
可行域 所有的 可行解
7
线性规划
也可以通过比较可行域边界 顶点的目标函数值大小得到。
例1 解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
x
答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值－3. 当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.
8
探索结论
线性规划
例2 解下列线性规划问题：
求z=300x+900y的最大值和最小值，
使式中x、y满足下列条件：
y
2 x y 300
x 2 y 250
x
0
x+3y=0
y 0
300x+900y=0
列条件：
2x+y=0 y
解第第线 一 二性 步 步xy 规 ： ： 划 在 在yx问 平 可 题面行1 的直域一角内般坐找步标到2x+骤系最y=：中优-3作解O 出所可 对C(行 应12 ,域 的122)； 点x+y；=3 第的三 最步 大y ： 值 解 或方 最1 程小的值最。优解A(，-1,从-1)而求出目标函数B(2,-1)
直线L越往右平移,t 随之增大.
O1
x=1
5
x 以经过点A(5,2)的
3x+5y-25=0
直线所对应的t值
最大;经过点B(1,1)
的直线所对应的t
值最小. 2xy0 Z m 2 a 5 x 2 1 ,Z m 2 2 i n 1 1 4 3
线性 规划
Z=2x+y称为目标函数,(因 这里目标函数为关于x,y的 一次式,又称为线性目标函
变式：求利润z=x+3y的y最大值.
x 2y 8
4 4
x y
16 12
x
0
y 0
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y 1 x4
2
y1x z
33
zm ax23311
14
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格：
2）设好变元并列出不等式组和目标函数
3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；