中考数学规律探索问题试题汇编

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中考数学规律探索题中考找规律题目有答案

中考规律探索1以下为全部整理类型;规律探索共两套试题;供参考学习使用一．选择题1．观察下列等式：31＝3;32＝9;33＝27;34＝81;35＝243;36＝729;37＝2187… 解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是 A ．0 B ．1 C ．3 D ．72. 把所有正奇数从小到大排列;并按如下规律分组：1;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;23;25;27;29;31;…;现用等式A M =i;j 表示正奇数M 是第i 组第j 个数从左往右数;如A 7=2;3;则A 2013= A ．45;77 B ．45;39 C ．32;46 D ．32;233.下表中的数字是按一定规律填写的;表中a 的值应是．4.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成;其中第1个图形的面积为2cm 2;第2个图形的面积为8 cm 2;第3个图形的面积为18 cm 2;……;第10个图形的面积为 A ．196 cm 2B ．200 cm 2C ．216 cm 2D ． 256 cm 25．如图;动点P 从0;3出发;沿所示的方向运动;每当碰到矩形的边时反弹;反弹时反射角等于入射角;当点P 第2013次碰到矩形的边时;点P 的坐标为 A 、1;4 B 、5;0 C 、6;4 D 、8;36．如图;下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律;图形中M 与m 、n 的关系是A ． M=mnB ． M=nm+1C ．M=mn+1D ．M=mn+17．我们知道;一元二次方程12-=x 没有实数根;即不存在一个实数的平方等于-1;若我们规定一个新数“”;使其满足12-=i 即方程12-=x 有一个根为;并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算;且原有的运算律和运算法则仍然成立;于是有,1i i =12-=i ;,).1(23i i i i i -=-=⋅=.1)1()(2224=-==i i 从而对任意正整数n;我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i 那么;20132012432i i i i i i +⋅⋅⋅++++的值为A ．0B ．1C ．-1D ．8．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成;其中第①个图形有1颗棋子;第②个图形一共有6颗棋子;第③个图形一共有16颗棋子;…;则第⑥个图形中棋子的颗数为A ．51B ．70C ．76D ．81图① 图②图③···第8题图二．填空题1．观察下列图形中点的个数;若按其规律再画下去;可以得到第n个图形中所有的个数为用含n的代数式表示．2．如图;在直角坐标系中;已知点A﹣3;0、B0;4;对△OAB连续作旋转变换;依次得到△1、△2、△3、△4…;则△2013的直角顶点的坐标为．3．如图;正方形ABCD的边长为1;顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1;由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…;以此类推;则第六个正方形A6B6C6D6周长是．4．直线上有2013个点;我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点;经过3次这样的操作后;直线上共有个点．5．如图;古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1;5;12;22…为五边形数;则第6个五边形数是．6 ．如图;是用火柴棒拼成的图形;则第n个图形需根火柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…;则1+3+5+…+2013的值是．8．如图12;一段抛物线：y＝－xx－30≤x≤3;记为C1;它与x轴交于点O;A1；将C1绕点A1旋转180°得C2;交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3;交x 轴于点A3；……如此进行下去;直至得C13．若P37;m在第13段抛物线C13上;则m =_________．9.直线上有2013个点;我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点;经过3次这样的操作后;直线上共有个点. 10．观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25;15×15=1×2×100+25;25×25=2×3×100+25;35×35=3×4×100+25;…………请猜测;第n个算式n为正整数应表示为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列;则位于第7行、第7列的数x是__ __．12、如下图;每一幅图中均含有若干个正方形;第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去;则第6幅图中含有个正方形；••••••①②③13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆; 第2个图形有10个小圆; 第3个图形有16个小圆; 第4个图形有24个小圆; ……;依次规律;第6个图形有个小圆． 14.已知一组数2;4;8;16;32;…;按此规律;则第n 个数是． 15、我们知道;经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bxa ≠0 1对于这样的抛物线：当顶点坐标为1;1时;a ＝__________；当顶点坐标为m ;m ;m ≠0时;a 与m 之间的关系式是__________；2继续探究;如果b ≠0;且过原点的抛物线顶点在直线y ＝kxk ≠0上;请用含k 的代数式表示b ；3现有一组过原点的抛物线;顶点A 1;A 2;…;A n 在直线y ＝x 上;横坐标依次为1;2;…;n 为正整数;且n ≤12;分别过每个顶点作x 轴的垂线;垂足记为B 1;B 2;…;B n ;以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ;若这组抛物线中有一条经过D n ;求所有满足条件的正方形边长．16．如图;所有正三角形的一边平行于x 轴;一顶点在y 轴上;从内到外;它们的边长依次为2;4;6;8;…;顶点依次用1A 、2A 、3A 、4A 、…表示;其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、…均相距一个单位;则顶点3A 的坐标是 ;22A 的坐标是．第16题图17．如图;已知直线l ：y=33x ;过点A 0;1作y 轴的垂线交直线l 于点B ;过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1;过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去;则点A 2013的坐标为．18、如图;在平面直角坐标系中;一动点从原点O 出发;按向上;向右;向下;向右的方向不断地移动;每移动一个单位;得到点A 1 0;1;A 21;1;A 31;0;A 42;0;…那么点A 4n ＋1n 为自然数的坐标为用n 表示19．当白色小正方形个数n 等于1;2;3…时;由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________．用n 表示;n 是正整数20. 2013 衢州4分如图;在菱形ABCD 中;边长为10;∠A=60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点;可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点;可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点;可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…．则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是．21.一组按规律排列的式子：ａ２;43a ;65a ;87a ;….则第n 个式子是________22.观察下面的单项式：a;﹣2a 2;4a 3;﹣8a 4;…根据你发现的规律;第8个式子是． 23.如图;已知直线l ：y=x;过点M2;0作x 轴的垂线交直线l 于点N;过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x轴的垂线交直线l 于N 1;过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2;…；按此作法继续下去;则点M 10的坐标为．24.为庆祝“六一”儿童节;某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律;摆第n图;需用火柴棒的根数为．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、n+12 2、8052;0 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、 2 9、16097 10、10n-1+52=100nn-1+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、1－1；a ＝－1m或am ＋1＝0；2解：∵a ≠0 ∴y ＝ax 2＋bx ＝ax ＋2b a2－24b a ∴顶点坐标为－2ba;－24b a∵顶点在直线y ＝kx 上∴k －2ba＝－24b a∵b ≠0 ∴b ＝2k3解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上 ∴可设A n 的坐标为n ;n ;点D n 所在的抛物线顶点坐标为t ;t由12可得;点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正方形 ∴点D n 的坐标为2n ;n∴－1t2n 2＋2×2n ＝n∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数;且t ≤12;n ≤12∴n ＝3;6或9∴满足条件的正方形边长为3;6或916、0;31-;－8;－8. 17、()()201340260,40,2或注：以上两答案任选一个都对18、2n;1 19、n 2+4n 20、20；21、221na n n 为正整数22、-128a 8 23、884736;0 24、6n+2规律探索21、我们平常用的数是十进制数;如2639=2×103+6×102+3×101+9×100;表示十进制的数要用10个数码又叫数字：0;1;2;3;4;5;6;7;8;9..在电子数字计算机中用的是二进制;只要两个数码：0和1..如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5;10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23;那么二进制中的1101等于十进制的数 ..2、从1开始;将连续的奇数相加;和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始;将前10个奇数即当最后一个奇数是19时;它们的和是 .. 3、小王利用计算机设计了一个计算程序;输入和输出的数据如下表：输入 (1)2345… 输出……那么;当输入数据是8时;输出的数据是A 、618B 、638C 、658D 、6784、如下左图所示;摆第一个“小屋子”要5枚棋子;摆第二个要11枚棋子;摆第三个要17枚棋子;则摆第30个“小屋子”要枚棋子.5、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子;观察图形的变化规律;写出第n 个小房子用了块石子6、如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去;那么通过观察;可以发现：1第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；2第n 个“上”字需用枚棋子..7、如图一串有黑有白;其排列有一定规律的珠子;被盒子遮住一部分;则这串珠子被盒子遮住的部分有_______颗.(1)(2)(3)第4题第7题图⑴ ⑵ ⑶1 2 348、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有个点;第n 个图形中有个点.. 9、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图2比图1多出2个“树枝”；图3比图2多出5个“树枝”；图4比图3多出10个“树枝”；照此规律;图7比图6多出个“树枝”..10、观察下面的点阵图和相应的等式;探究其中的规律：1在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；2通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式_____________________..11、用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形;则第n 次所搭图形的周长是_______________cm 用含n 的代数式表示..12、如图;都是由边长为1例如第1个图形的表面积为6个平方单位;第2个图形的表面积为18个平方单位;第3个图形的表面积是36..个图形的表面积个平方单位13、图1是一个水平摆放的小正方体木块;图2、3是由这样的小正方体木块叠放而成;按照这样的规律继续叠放下去;至第七个叠放的图形中;小正方体木块总数应是A 25B 66C 91D 12014、如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体;图⑴中有1个立方体;图⑵中有4个立方体;图⑶中有9个立方体;……按这样的规律叠放下去;第8个图中小立方体个数是 .15、图1是棱长为a 的小正方体;图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放;由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n 层;第n 层的小正方体的个数为s ．解答下列问题：1按照要求填表：2写出当n =10时;s= ．16、如图用火柴摆去系列图案;按这种方式摆下去;当每边摆10根时即10 n 时;需要的火柴棒总数为根；n1 2 3 4… s 1 3 6……………①1=12； ②1+3=22；③1+3+5=32； ④ ；⑤ ；第 ··· ···图1 图2 图3B 17、用火柴棒按如图的方式搭一行三角形;搭一个三角形需3支火柴棒;搭2个三角形需5支火柴棒;搭3个三角形需7支火柴棒;照这样的规律下去;搭n 个三角形需要S 支火柴棒;那么用n 的式子表示S 的式子是 _______ n 为正整数．18、;请观察下图：则第n 个图形中需用黑色瓷砖 ____ 19题图19、如图;用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面;观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时;白色瓷砖为块；当白色瓷砖为n 2n 为正整数块时;黑色瓷砖为块．20、观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形;寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体;其中1个看得见;0个看不见；如图2中：共有8个小立方体;其中7个看得见;1个看不见；如图3中：共有27个小立方体;其中有19个看得8个看不见；……;则第6个图中;看不见的小立方体有个..21、下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的． 1观察图形;填写下表：2推测第n 个图形中;正方形的个数为________;周长为______________都用含n 的代数式表示．22、观察下图;我们可以发现：图⑴中有1个正方形；图⑵中有5个正方形;图⑶中共有14个正方形;按照这种规律继续下去;图⑹中共有_______个正方形..23、某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的;现要在园地上建一个花坛阴影部分使花坛面积是园地面积的一半;以下图中设计不合要求．．．．的是第22题图 24;25<1>、 <3>26、2次把第1次铺的完全围起来;如图2；第3次把第23；…依此方法;第n 次铺完后;用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块块数为 . n 为正整数27、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律;拼成若干个图案： ⑴ 第4个图案中有白色地面砖块； ⑵ 第n 个图案中有白色地面砖块..28、分析如下图①;②;④中阴影部分的分布规律;按此规律在图③中画出其中的阴影部分.29、将一圆形纸片对折后再对折;得到图2;然后沿着图中的虚线剪开;得到两部分;其中一部分展开后的平面图形是30．如图1;小强拿一张正方形的纸;沿虚线对折一次得图2;再对折一次得图3;然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角;再DCB打开后的形状是A B C D31、用一条宽相等的足够长的纸条;打一个结;如图１所示;然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图２所示的正五边形ＡＢＣＤＥ;其中∠ＢＡＣ＝度.32、如图;一张长方形纸沿AB 对折;以AB 中点O 为顶点将平角五等分;并沿五等分的折线折叠;再沿CD 剪开;使展开后为正五角星正五边形对角线所构成的图形.则∠OCD 等于A ．108°B ．144°C ．126°D ．129°33、如图;把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是A B C D 第35题图34、将一张长方形的纸对折;如图5所示可得到一条折痕图中虚线. 继续对折;对折时每次折痕与上次的折痕保持平行;连续对折三次后;可以得到7条折痕;那么对折四次可以得到条折痕 .如果对折n 次;可以得到 _____________条折痕 ..35、观察图形：图中是边长为1;2;3 …的正方形：当边长n ＝1时;正方形被分成2个大小相等的小等腰直角三角形；当边长n ＝2时;正方形被分成8个大小相等的小等腰直角三角形；当边长n ＝3时;正方形被分成18个大小相等的小等腰直角三角形；以此类推：当边长为n 时;正方形被分成大小相等的小等腰直角三角形的个数是 ..36、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图;是一个正方体的平面展开图;若图中的“似”表示正方体的前面; “锦”表示右面; “程”表示下面.则“祝”、 “你”、“前”分别表示正方体的___________________.37、如图是一块长方形ABCD 的场地;长AB =102m;宽AD =51m;从A 、B 两处入口的中路宽都为1m;两小路汇合处路宽为2m;其余部分种植草坪;则草坪面积为A5050m 2 B4900m 2 Ｃ5000m 2Ｄ4998m 238、读一读;想一想;做一做：国际象棋、中国象棋和围棋号称为世界三大棋种.国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格;而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×4的小方格棋盘;图中的“皇后Q ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.① 在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q ”;她所在的位置可用“2;3”来表示;请说明“皇后Q ”所在的位置“2;3”的意义;并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q ”所控制的四个位置.②如图丙也是一个4×4的小方格棋盘;请在这个棋盘中放入四个“皇后Q ”;使这四个“皇后Q ”之间互不受对方控制在图丙中的某四个小方格中标出字母Q 即可._沿虚线剪开程前你祝似锦 AS D S CSB S 图１DEBA图２3 甲行乙3丙参考答案1、132、1003、C4、1795、 3n+1-3+nn+1或n+12+2n-16、118、22 24n+27、278、31;n2-n-19、8010、1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52；1+3+5+……+2n-1=n2 11、 4n 12、9013、C 14、64 5、110 21+2+3+……+n=nn+1/2 16、16517、s=2n+1 18、4n+6 19、16;4n+420、125 21、113、18；28、38； 25n+3;10n+8 22 、9123、B 24、B 25、A 26、8n-6 27、118 ；24n+228、29、C30、 C31、3632、A 33、C34、15 ；2n-1 35、 2n2 36、后面、上面、左面 37、C38、1 1;1;3;1;4;2;4;4；2。

含答案中考数学复习专题六规律探索题

专题六规律探索题类型一数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六规律探索题类型一数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875，即点B 21的纵坐标为3875.。

2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)专题29 规律探究题(共26题)(解析版)

专题29规律探究题（26题）一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．根木棍，【详解】解：第①个图案用了459根木棍，第②个图案用了45214根木棍，第③个图案用了45319根木棍，第④个图案用了45424……，根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.A ．40452B ．2023【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段1114(1)22n n AD AA n ，n BAA ．202340aB ．2024a 【答案】B【分析】利用图形寻找规律2n A【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a ；第2圈有8个点，即2A 到 91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到 252,2A ，；依次类推，第n 圈， 211,1n A n n ；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且 202522,22A ，则 202320,22A 即2023202242a ，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且 202421,22A ，即2024212243a ，故B 选项正确；第n 圈， 211,1n A n n ，所以2122n a n ，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．C H【答案】1226【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．CH，【详解】解：甲烷的化学式为4【答案】66n /66n【答案】22n 【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221 ，第2个图案中有6个白色圆片62【答案】22n n /22n n 【分析】根据题意得出 14143n a n n ，进而即可求解．【详解】解：依题意， 1231,5,9,14143n a a a a n n ，，a a a a 2143212n n n n n n【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标，从而可计算出123n S S S S 的值．【详解】当1x 时，1P 的纵坐标为8当2x 时，2P 的纵坐标为4，当3x 时，3P 的纵坐标为83，【答案】221,22n n n n 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，个数为： 11n n ，第n 个数对的第二个位：【答案】2023,1 【分析】将四分之一圆弧对应的A 律即可．【详解】∵A 点坐标为 1,1，且A ∴1A 点坐标为 2,0，又∵2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转【答案】2022313 【分析】分别求出点点1B 的横坐标是到规律，得到答案见即可．【详解】解：当0y ，033x ∴点 11,0A ,【答案】2023,3 【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．【详解】解：由图形可得： 2352,0,3,0,A A A 如图：过1A 作1A B x 轴，【答案】202223【分析】过点1A作1A M x轴，交直线130AOM，再根据等边三角形的性质、12,0A ∵，12OA ，当2x 时，233y ，即M【答案】404623【分析】解直角三角形得出AOB 222ABC A B C ∽，得出111A B C S 2222n n n n n A B C ABC ABC S S S ，从而得出【详解】解：∵22OB ，。

中考数学专题训练：规律探索——数式规律(附参考答案)

中考数学专题训练：规律探索——数式规律（附参考答案）1．按一定规律排列的单项式：a，√2a2，√3a3，√4a4，√5a5，…，第n个单项式是( ) A．√n B．√n−1a n-1C．√n a n D．√n a n-12．在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12……则第2 023次输出的结果为( )A．6 B．3C．622 021D．322 0223．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是( )A．2 025 B．2 023C．2 021 D．2 0194．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为( )A．100 B．121C．144 D．1695．按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( ) A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．(n＋1)2a n6．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a－b－c的值是( )A．62 B．64C．－66 D．－1907．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是______________．8．根据图中数字的规律，则x＋y的值是_______．.例9．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f(a)＝3a＋1；若a为偶数，则f(a)＝a2＝5.若a1＝8，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)，a4＝f(a3)，…，如f(15)＝3×15＋1＝46，f(10)＝102依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，…，(n为正整数)，a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝__________．参考答案1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．(10，18) 8．593 9．4 725。

中考数学规律探索型问题专项训练.docx

中考数学规律探索型问题专项训练规律明显数数看看定有发现例1、如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5例2、观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+......+8”（"是正整数）（1） 1+8=? 的结果为（）o练习1、用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个.则第"个图案中正三角形的个数为—o练习2、、如图9,在锐角Z40B 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条练习3、在图（1）中，Ai 、Bi 、C I 分别是AABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，在图（2）中，处、B 2. C?分练习4、在中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实:个，则第"幅图中共有—个。

<^>第1幅AiBi 的中点，…人按此规律，则第n 个图形中年行四边形的个数共有.个。

第2幅第3幅第"幅(2) 1+8+16=?(3)1+8+16+24=?第一个图案第二个图案第三个图案图9(1)⑵⑶是正整数）。

3练习5、如图，AABC 的面积为1,分别取AC 、BC 两边的中点A 、B-则四边形A.ABB,的面积为才，再分二、规律隐含算算数量待发现例3、如图，在AABC 中，ZA=« . ZABC 与ZACD 的平分线交于点A“得ZA 1； ZAjBC 与ZA 】CD 的平分线相交于点A2,得ZA 2; ……；ZA2009BC 与ZA2009CD 的平分线相交于点A2010,得ZA2010，则"2010= __________ -AAi A 2图1图 2图311亠AO 2⑴当时，有=（如图1）； AC 2 1 + 1 AD 3 2 + 1AF 1 1 亠AO 2 ? ⑵当时，有卞（如图2）; AC 3 1 + 2 AD 4 2 + 2AF 1 1 亠AO 2 ⑶当时，有K（如图3）; AC 4 1 + 3 AD 5 2 + 3AE~AC的一般结论，并给出证明（其中n图4在图4中，当 + 时，参照上述研究结论，请你猜想用"表示專 1 + 7? AD练习1 •如图，n+1个上底、两腰长皆为1,下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形PMNN 面积为J可得Sn =练习2、如图，已知RtAABC中，AC=3, BC=4,过直角顶点C作CAi丄AB,垂足为Ai,再过A】作AQi丄BC,垂足为Ci,过©作GA?丄AB,垂足为A?,再过A?作A2C2±BC,垂足为C2,这样一直做下去，得到了一组线段CAi, A1C1, C1A2, A2C2, .... AnCn,则AnCn = ______________ o练习3、如虱如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去，…，已知正方形ABCD的面积必为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为巧, 小…片（n为正整数），那么第8个正方形的面积 = ______________ .练习4、如图，Z4OB = 30。

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。

安徽省2023中考数学题型5规律探索题习题

题型五规律探索题高分帮类型1数与式的规律探索1.[2021山东济宁]按规律排列的一组数据:12,35,,717,926,1137,…,其中□内应填的数是 (D)A.23B.511C.59D.122.[2021湖北随州]根据图中数字的规律,若第n 个图中的q=143,则p 的值为 (B)A.100B.121C.144D.1693.[2021湖南怀化]观察等式:2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2,….已知按一定规律排列的一组数:2100,2101,2102,…,2199.若2100=m ,用含m 的代数式表示这组数的和是 m 2-m . 4.[2014安徽,16]观察下列关于自然数的等式: 32-4×12=5;① 52-4×22=9;② 72-4×32=13;③ …根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:92-4×( 4 )2=( 17 );(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示),并验证其正确性. 解:(1)4 17(2)第n 个等式为(2n+1)2-4×n 2=4n+1.因为左边=4n 2+4n+1-4n 2=4n+1=右边, 所以第n 个等式成立.5.[2021合肥包河区一模]观察下列等式: 第1个等式:1+11=43×(1+12);第2个等式:1+12=98×(1+13); 第3个等式:1+13=1615×(1+14);第4个等式:1+14=2524×(1+15);……根据你观察到的规律,解决下列问题: (1)请写出第5个等式: 1+15=3635×(1+16) ; (2)请写出第n 个等式: 1+1n =(n +1)2(n +1)2-1×(1+1n +1) (用含n 的等式表示),并证明.(1)1+15=3635×(1+16)(2)1+1n =(n +1)2(n +1)2-1×(1+1n +1)证明:右边=(n +1)2n (n +2)×n +2n +1=n +1n =1+1n=左边, ∴等式成立.6.观察以下等式:第1个等式:(1-12)÷16=3; 第2个等式:(1-13)÷412=2; 第3个等式:(1-14)÷920=53; 第4个等式:(1-15)÷1630=32;第5个等式:(1-16)÷2542=75; ……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第7个等式: (1-18)÷4972=97 ;(2)写出你猜想的第n 个等式(n 为正整数),并证明. (1)(1-18)÷4972=97(2)(1-1n +1)÷n 2(n +1)(n +2)=n +2n .证明:左边=(1-1n +1)÷n 2(n +1)(n +2)=n n +1·(n +1)(n +2)n 2=n +2n =右边. 7.[2021合肥庐阳区二模]阅读下面内容,并将问题解决过程补充完整.√2+1=√2-(√2+√1)(√2-√1)=√2-1; √3+√2=√3-√2)(√3+√2)(√3-√2)=√3-√2; …√100+√99=√100-√99)(√100+√99)(√100-√99)=√100-√99.由此,我们可以解决下面这个问题:S=1+√2+√3+…+√100,请求出S 的整数部分.解:S=1+√2+√3+…+√100=21+1+√2+√2+√3+√3+…+√100+√100<21+1+1+√2+√2+√3+…+√99+√100=1+2(√2-1+√3-√2+…+√100-√99)=19,S=1+√2+√3+…+√100=21+1+√2+√2+√3+√3+…+√100+√100> √2-1+√3-√2+…+√101-√100)=2(√101-1)>18,∴S的整数部分是18.类型2图形中的规律探索8.[2021广西玉林]观察下列树枝分杈的规律图,若第n个图树枝数用Y n表示,则Y9-Y4=(B)A.15×24B.31×24C.33×24D.63×249.[2021湖南常德]如图中的三个图形都是由边长为1的小正方形组成的网格,其中第一个图形有1×1个小正方形,所有线段的和为4,第二个图形有2×2个小正方形,所有线段的和为12,第三个图形有3×3个小正方形,所有线段的和为24,按此规律,则第n个图形中所有线段的和为2n(n+1).(用含n的代数式表示)10.[2013安徽,18]我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2),图(3)……图(1)图(2)图(3)(1)观察以上图形并完成下表:图形的名称基本图的个数特征点的个数图(1) 1 7图(2) 2 12图(3) 3 17图(4) 4 22………猜想:在图(n)中,特征点的个数为5n+2(用含n的式子表示).(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1= √3;图(2013)的对称中心的横坐标为2013√3.图(n)11.[2021合肥蜀山区一模]观察与思考:我们知道,1+2+3+…+n=n(n+1),那么13+23+33+…+n3的结果等于多少呢?2请你仔细观察,找出下面图形与算式的关系,解决下列问题:…13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102(1)推算:13+23+33+43+53= 152;(2)概括:13+23+33+…+n3= [n(n+1)2]2;(3)拓展应用:求13+23+33+…+10031+2+3+…+100的值.解:(1)15 (2)[n(n+1)2]2(3)13+23+33+…+1003 1+2+3+…+100=[100×(100+1)2]2 100×(100+1)2=100×(100+1)2=5050.12.[2016安徽,18](1)观察下列图形与等式的关系,并填空:(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中“”的个数,用含有n的代数式填空:1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1= 2n2+2n+1.13.[2020合肥蜀山区模拟]如图,已知正方形ABCD内部有若干个点,则用这些点以及正方形ABCD的顶点A,B,C,D的连线把原正方形分割成一些三角形(线不交叉,三角形不重叠).(1)填写下表:正方形ABCD内点的个数1 2 3 4 …n分割后三角形的个数4 6 8 10 …2(n+1)(2)原正方形能否被分割成2021个三角形?若能,求此时正方形ABCD内部有多少个点;若不能,请说明理由.解:(1)补全表格如下.正方形ABCD 内点的个数 1 2 3 4 … n 分割后三角形的个数4 6 8 10 … 2(n+1)(2)不能.设点数为n ,则2(n+1)=2021, 解得n=20192.∵20192不是整数,∴不能被分割成2021个三角形.【参考答案】题型五规律探索题1.D 观察该组数据,第n 个式子的分子为2n-1,分母为n 2+1,当n=3时,2n -1n 2+1=510=12.故选D . 2.B 由题图可知,p=n 2,q=(n+1)2-1.∵q=143,∴(n+1)2-1=143,∴n=11,∴p=n 2=112=121. 3.m 2-m 由题意可知2+22+23+24+…+2198+2199=2200-2①,2+22+23+24+…+298+299=2100-2②,由①-②,得2100+2101+…+2198+2199=(2200-2)-(2100-2)=2200-2100=(2100)2-2100=m 2-m. 4~7.略8.B 9.2n (n+1)10.(1)22 5n+2 (2)√3 2013√3 11.略12.(1)42 n 2 (2)2n+1 2n 2+2n+1 13.略。

2024辽宁中考数学二轮专题训练题型四规律探索题 (含答案)

2024辽宁中考数学二轮专题训练题型四规律探索题类型一图形递推变化典例精讲例1如图，∠MON ＝45°，正方形ABB 1C ，正方形A 1B 1B 2C 1，正方形A 2B 2B 3C 2，正方形A 3B 3B 4C 3，…，的顶点A ，A 1，A 2，A 3，…，在射线OM 上，顶点B ，B 1，B 2，B 3，B 4，…，在射线ON 上，连接AB 2交A 1B 1于点D ，连接A 1B 3交A 2B 2于点D 1，连接A 2B 4交A 3B 3于点D 2，…，连接B 1D 1交AB 2于点E ，连接B 2D 2交A 1B 3于点E 1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD 与△B 1DE 的面积之和为S 1，△A 1C 1D 1与△B 2D 1E 1的面积之和为S 2，△A 2C 2D 2与△B 3D 2E 2的面积之和为S 3，…，若AB ＝2，则S n 等于______．(用含有正整数n 的式子表示)例1题图基本模型【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出S 1，S 2，S 3的面积可类比出S n 的面积．①求S 1的面积：根据题意可得：∠AOB ＝45°，∠ABO ＝90°，∴OB ＝AB ，∵AB ＝AC ＝B 1C ＝BB 1＝______，AB ∥A 1B 1，∴A 1B 1＝2AB ＝________，∴A 1B 1＝A 1C 1＝B 2C 1＝B 1B 2＝________，∵AC ∥ON ，∴CD DB 1＝AC B 1B 2＝____，∴CD ＝________B 1C ＝________，B 1D ＝__________B 1C ＝__________．同理可得，B 2D 1＝________B 2C 1＝________．∵B 1D ∥B 2D 1，∴DE B 2E ＝B 1D B 2D 1＝________，∴S △B 1DE ＝________S △B 1B 2D ＝________，∵S △ACD ＝____，∴S 1＝________；②求S 2，S 3，…的面积：A 2B 2＝________，S △B 2D 1E 1＝________S △B 2B 3D 1＝________，∵S △A 1C 1D 1＝________，∴S 2＝________；S 3＝________；③总结，类比可得：S n ＝________．例2如图，在平面直角坐标系中，△ABC ，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3，…，△A n B n C n 都是等腰直角三角形，点B ，B 1，B 2，B 3，…，B n 都在x 轴上，点B 1与原点重合，点A ，C 1，C 2，C 3，…，C n 都在直线l ：y ＝13x ＋43上，点C 在y 轴上，AB ∥A 1B 1∥A 2B 2∥…∥A n B n ∥y 轴，AC ∥A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n ∥x 轴，若点A 的横坐标为－1，则点C n 的纵坐标是________．例2题图基本模型【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出点C 1，C 2，C 3，C 4的纵坐标可类比出点C n 的纵坐标．①求点C 1的坐标：∵点C 1在直线y ＝13x ＋43上，∴设点C 1的坐标为(t ，______)．∵△B 1B 2C 1是等腰直角三角形，且点B 1与原点O 重合，∴B 1B 2＝B 2C 1，即t ＝______，解得t ＝2.∴点C 1的纵坐标为________；②求点C 2，C 3，C 4的坐标：设点C 2的坐标为(m ，______)，∵△B 2B 3C 2是等腰直角三角形，∴m －2＝________，解得m ＝________，∴点C 2的纵坐标为________．同理可得，点C 3的纵坐标为_________；点C 4的纵坐标为________；③总结，类比可得：点C n 的纵坐标为________．辽宁近年中考真题精选1.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1,BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为_________________________．(用含正整数n 的式子表示)第1题图基本模型：____________________2.如图，在△A 1C 1O 中，A 1C 1＝A 1O ＝2，∠A 1OC 1＝30°，过点A 1作A 1C 2⊥OC 1，垂足为C 2，过点C 2作C 2A 2∥C 1A 1交OA 1于点A 2，得到△A 2C 2C 1；过点A 2作A 2C 3⊥OC 1，垂足为C 3，过点C 3作C 3A 3∥C 1A 1交OA 1于点A 3，得到△A 3C 3C 2；过点A 3作A 3C 4⊥OC 1，垂足为C 4，过点C 4作C 4A 4∥C 1A 1交OA 1于点A 4，得到△A 4C 4C 3；…；按照上面的作法进行下去，得到△A n ＋1C n ＋1C n 的面积为________．(用含正整数n 的代数式表示)第2题图基本模型：__________________3.如图，等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥A 1C 2于D 1，在C 1C 2的延长线上取点C 3，使D 1C 3＝D 1C 1，连接D 1C 3，以C 2C 3为边作等边△A 2C 2C 3；作C 2D 2⊥A 2C 3于D 2，在C 2C 3的延长线上取点C 4，使D 2C 4＝D 2C 2，连接D 2C 4，以C 3C 4为边作等边△A 3C 3C 4；…；且点A 1，A 2，A 3，…都在直线C 1C 2同侧，如此下去，则△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4，…，△A n C n C n ＋1的周长和．．．为________．(n ≥2，且n 为整数)第3题图基本模型：__________________4.如图，点B 1在直线l ：y ＝12x 上，点B 1的横坐标为2，过B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为________(结果用含正整数n 的代数式表示)．第4题图基本模型：__________________5.如图，直线l 1的解析式是y ＝33x ，直线l 2的解析式是y ＝3x ，点A 1在l 1上，A 1的横坐标为32，作A 1B 1⊥l 1交l 2于点B 1，点B 2在l 2上，以B 1A 1，B 1B 2为邻边在直线l 1，l 2间作菱形A 1B 1B 2C 1，分别以A 1，B 2为圆心，以A 1B 1为半径画弧得扇形B 1A 1C 1和扇形B 1B 2C 1，记扇形B 1A 1C 1与扇形B 1B 2C 1重叠部分的面积为S 1；延长B 2C 1交l 1于点A 2，点B 3在l 2上，以B 2A 2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2；…；按照此规律继续作下去，则S n＝__________________________(用含有正整数n的式子表示)．第5题图基本模型：________________针对训练1.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．将△OAB进行n次变换得到△OA n B n，则△OA n B n 的面积为________．第1题图2.如图，∠MON＝30°，点A1在ON上，点C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于点B1，以A1B1和B1C1为邻边作矩形A1B1C1D1，点A1，A2关于点B1对称，A2C2∥A1C1交OM 于点C2，C2B2⊥ON于点B2，以A2B2和B2C2为邻边作矩形A2B2C2D2，连接D1D2，点A2，A3关于点B2对称，A3C3∥A2C2交OM于点C3，C3B3⊥ON于点B3，以A3B3和B3C3为邻边作矩形A3B3C3D3，连接D2D3，…，依此规律继续下去，则D2021D2022＝________．第2题图3.如图，直线y＝－x＋1分别交x轴、y轴于点A、B，点O1、A1分别是BO、BA的中点，连接A1O1、AO1；O2、A2分别是BO1、BA1的中点，连接A2O2、A1O2，…，按此规律进行下去，则S△A n A n＋1O n＋1的面积是________．第3题图4.如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，则△A n A n＋1A n＋2的面积等于________．第4题图5.如图，n个腰长为1的等腰直角三角形(Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3，…)有一条腰在同一直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，…，则S n＝________．(用含n的代数式表示)第5题图6.如图，分别过x 轴上点A 1(1，0)，A 2(2，0)，…，A n (n ，0)作x 轴的垂线，与反比例函数y ＝6x(x ＞0)的图象的交点分别为B 1，B 2，…，B n ，若△A 1B 1A 2的面积为S 1，△A 2B 2A 3的面积为S 2，…，△A n B n A n ＋1的面积为S n ，则S n ＝________．(用含n 的式子表示)第6题图7.已知直线m ：y ＝12x ＋12与直线n ：y ＝－12x ＋12交于点A ，直线n 与x 轴交于点B 1，过B 1作B 1C 1⊥x 轴，交直线m 于点C 1，作菱形AB 1D 1C 1得点D 1，过D 1作B 2C 2⊥x 轴，分别与直线n 和直线m 交于点B 2，C 2，作菱形AB 2D 2C 2得点D 2，过点D 2作B 3C 3⊥x 轴，分别与直线n 和直线m 交于点B 3，C 3，作菱形AB 3D 3C 3得点D 3，…，设△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，依次类推，则△B 2022C 2022D 2022的面积S 2022的值是________．第7题图8.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，作BC 1⊥AC ，垂足为C 1，作CB 1⊥AB ，垂足为B 1，BC 1与CB 1交于点A 1；作B 1C 2⊥AC ，垂足为C 2，作C 1B 2⊥AB ，垂足为B 2，B 1C 2与C 1B 2交于点A 2；作B 2C 3⊥AC ，垂足为C 3，作C 2B 3⊥AB ，垂足为B 3，B 2C 3与C 2B 3交于点A 3；…；若△A 1BC 的面积为1，则四边形A n B n A n ＋1C n 的面积为________．第8题图9.如图，∠MON＝90°，点A1，A2，A3，….A n＋1在射线OM上，点B1，B2，B3，…，B n＋1在射线ON上，连接A1B2，A2B1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，A1B2∥A2B3∥A3B4…∥A n B n＋1，A2B1∥A3B2∥A4B3…∥A n＋1B n，A1B2与A2B1相交于点C1，A2B3与A3B2相交于点C2，A3B4与A4B3相交于点C3，…，A n B n＋1与A n＋1B n相交于点C n，OA1＝OB1＝1，则四边形A n C n B n O的周长为________．第9题图10.如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…的顶点A，A1，A2，A3，…在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DED1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…，若AB＝2，则S n等于________．(用含有正整数n的式子表示)第10题图11.正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝－x＋2和x＝1上，且A1在x轴上，则点C2022的横坐标是________．第11题图12.如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，直线l：y＝33x＋33与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2，以此类推，则点C2022的纵坐标是________．第12题图类型二图形周期变化典例精讲例3如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O 是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．例3题图【解题步骤】①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．辽宁近年中考真题精选1.如图①，边长为1的正三角形ABC放置在边长为2的正方形内部，顶点A在正方形的一个顶点上，边AB在正方形的一边上，将△ABC绕点B顺时针旋转，当点C落在正方形的边上时，完成第1次无滑动滚动(如图②)；再将△ABC绕点C顺时针旋转，当点A落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动(如图③)；…；每次旋转的角度都不大于120°，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为________．第1题图针对训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内有一条折线，构成这条线段的端点的坐标是这样的：A1(1，1)、A2(1，2)、A3(2，2)、A4(2，3)、A5(3，3)、A6(3，4)、A7(4，4)，…，依此规律，点A71的坐标为________．第1题图2.如图，多边形A1A2A3A4A5A6、多边形A7A8A9A10A11A12、…、多边形A6n－5A6n－4A6n－3A6n－2A6n A6n(n为正整数)均为正六边形，它们的边长依次是2、4、…、2n，顶点A6、A12、…、A6n －1均在x轴上，点O是所有正六边形的中心，则A2021的坐标是________．第2题图3.如图，四边形OA1B1C1是边长为1的正方形，点A1、C1分别在x轴、y轴的负半轴上，连接OB1，以OB1的长为边长向右侧作正方形OA2B2C2，点A2在y轴的负半轴上，点C2在x轴的正半轴上，连接OB2，以OB2的长为边长向上方作正方形OA3B3C3，点A3、C3分别在x轴、y轴的正半轴上，…，按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为________．第3题图4.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则点A30的坐标是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰Rt△OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰Rt△OA3A4，…，依此规律，得到等腰Rt△OA2021A2022，则点A2022的坐标为________．第5题图6.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．第6题图7.如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n BA n，则A2020的横坐标为________．－1第7题图参考答案类型一图形递推变化典例精讲例17×22n－19【解题步骤】①2，4，4，12，13，23，23，43，23，83，12，13，13×12×43×4＝89，12×2×23＝23，23＋89＝149；②8，13，13×12×83×8＝329，12×4×43＝83，83＋329＝569，2249；③7×22n －19.例23n －12n －2【解题步骤】①13t ＋43，13t ＋43，2；②13m ＋43，13m ＋43，5，3，92，274；③3n －12n －2.辽宁近年中考真题精选1.2n ＋12n 【解析】设AB ＝CD ＝a ，AD ＝CB ＝EA ＝b ，则DE ＝2b ，DF 1＝CF 1＝12a ，CF 2＝14a ，CF 3＝18a ，∴S △EF 1B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 1－S △CBF 1＝12(2b ＋b )a －12×2b ×12a －12×12ab ＝34ab ＝34×2＝32；S △EF 2B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 2－S △CBF 2＝12(2b ＋b )a －12×2b ×34a －12×14ab ＝58ab ＝58×2＝54；S △EF 3B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 3－S △CBF 3＝12(2b ＋b )a －12×2b ×78－12×18ab ＝916ab ＝916×2＝98；…；由面积变化规律可知S △EF n B ＝2n ＋12n .基本模型：2.34n 【解析】∵A 1O ＝A 1C 1＝2，∠A 1OC 1＝30°，A 1C 2⊥OC 1，∴A 1C 2＝12A 1O ＝1，C 1C 2＝C 2O ＝3，又∵A 2C 3⊥OC 1，∴A 2C 3∥A 1C 2，∴A 2C 3是△A 1C 2O 的中位线，∴A 2C 3＝12A 1C 2＝12，S △A 2C 2C 1＝12C 1C 2·A 2C 3＝34；以此类推，S △A 3C 3C 2＝342；S △A 4C 4C 3＝343；…；∴S △A n ＋1C n ＋1C n ＝34n.基本模型：3.2n －12n －1【解析】∵△A 1C 1C 2是等边三角形，∴∠A 1C 2C 1＝60°，∵C 1D 1⊥A 1C 2，∴D 1C 2＝12C 1C 2，∠D 1C 1C 2＝30°，∵C 1D 1＝D 1C 3，∴∠D 1C 3C 2＝∠D 1C 1C 2＝30°，∴∠C 2D 1C 3＝∠C 2C 3D 1＝30°，∴C 2C 3＝C 2D 1＝12C 1C 2，∴C △A 2C 2C 3＝12C △A 1C 1C 2＝12，同理C △A 3C 3C 4＝12C △A 2C 2C 3＝122，∴△A n C n C n ＋1的周长为12n －1，∴这些三角形的周长和为1＋12＋122＋…＋12n －1＝2n －12n －1.基本模型：4.7×3n －12n 【解析】如解图，过点B 1作B 1M ⊥x 轴于点M ，过点C 1作C 1N ⊥x 轴于点N ，∵点B 1的坐标为(2，1)，∴点M 的坐标为(2，0)，即B 1M ＝1，OM ＝2，由△A 1MB 1∽△B 1MO可得A 1M ＝12，又∵△C 1NA 1≌△A 1MB 1，∴A 1N ＝1，C 1N ＝12，∴点C 1的横坐标为72；同理可得，点C 2的横坐标为72×32；点C 3的横坐标为72×(32)2；…；∴点C n 的横坐标为7×3n －12n .第4题解图基本模型：5.(π3－32)×(32)2n －2【解析】∵直线l 1∶y ＝33x ，∴∠A 1Ox ＝30°，∵直线l 2∶y ＝3x ，∴∠B 1Ox ＝60°，∴∠A 1OB 1＝30°.∵A 1B 1⊥l 1，∴∠OB 1A 1＝60°，∵四边形A 1B 1B 2C 1是菱形，∴A 1C 1∥B 1B 2，∴∠B 1A 1C 1＝∠A 1B 1O ＝60°，∵A 1B 1＝A 1C 1，∴△A 1B 1C 1是等边三角形，∴S 1＝2(S 扇形A 1B 1C 1－S △A 1B 1C 1).∵点A 1的横坐标为32，∴点A 1的纵坐标为32，OA 1＝3.如解图，过点A 1作A 1D ⊥x 轴于点D ，则△A 1OB 1∽△DOA 1，∴A 1B 1DA 1＝A 1O DO ，即A 1B 132＝332，∴A 1B 1＝1，∴S 1＝2×(π6－34)＝π3－32.在△A 2A 1C 1中，A 1C 1＝A 1B 1＝1，∠C 1A 1A 2＝30°，∴A 2C 1＝12A 1C 1＝12，∴A 2B 2＝A 2C 1＋B 2C 1＝32，∴S 2＝2[(π6×(32)2－12×32×(32)2]＝(π3－32)×(32)2，同理S 3＝(π3－32)×(32)4，S 4＝(π3－32)×(32)6，∴S n ＝(π3－32)×(32)2(n －1)＝(π3－32)×(32)2n －2.第5题解图基本模型：针对训练1.3·2n 【解析】∵A ，A 1，A 2…A n 都在平行于x 轴的直线上，点的纵坐标都相等，∴A n 的纵坐标是3，这些点的横坐标有一定的规律A n ＝2n ；B ，B 1，B 2，…，B n 都在x 轴上，B n 的纵坐标是0，这些点的横坐标也有一定的规律B n ＝2n ＋1，点A n 的坐标是(2n ，3)，B n 的坐标是(2n ＋1，0)，∴△OA n B n 的面积＝12×3×OB n ＝3·2n .2.22020·7【解析】由题意得D 1D 2＝22＋（3）2＝7＝20·7，D 2D 3＝42＋（23）2＝27＝21·7，D 3D 4＝82＋（43）2＝47＝22·7，…，∴D n D n ＋1＝2n －1·7.∴D 2021D 2022＝22020·7.3.122n ＋3【解析】把x ＝0代入y ＝－x ＋1得，y ＝1，∴OB ＝1，把y ＝0代入y ＝－x ＋1得，x ＝1，∴OA ＝1，∴OA ＝OB ，∵点O 1、A 1分别是BO 、BA 的中点，∴OO 1＝12OB ＝12，O 1A 1是△OAB 的中位线，∴O 1A 1∥OA ，O 1A 1＝12OA ＝12，如解图，连接OA 1，O 1A 2，∵O 1A 1∥OA ，∴S △AO 1A 1＝S △OO 1A 1＝12×12×12＝123，同理，O 2A 2＝12O 1A 1＝14，O 2O 1＝12BO 114，S △A 1O 2A 2＝S △O 1O 2A 2＝12×14×14＝125，…，∴S △A n A n ＋1O n ＋1＝122n ＋3.第3题解图4.2n －1【解析】设△AA 1A 2、△A 1A 2A 3、△A 2A 3A 4的面积分别为S 1、S 2、S 3，∵四边形OAA 1B 1是正方形，∴OA ＝AA 1＝A 1B 1＝1，∴S 1＝12，∵∠OAA 1＝90°，∴OA 21＝12＋12＝2，∴OA 2＝A 2A 3＝2，∴S 2＝1，同理可求：S 3＝2，S 4＝4，…，∴S n ＝2n －2，∴△A n A n ＋1A n ＋2的面积S n ＋1＝2n －1.5.n2n ＋2【解析】如解图，连接B 1B 2，B 2B 3，B 3B 4，∵n 个腰长为1的等腰三角形有一条腰在同一直线上，∴B 1B 2＝B 2B 3＝B 3B 4＝1，∴△A 1B 1B 2的面积＝12，∵B 1B 2∥AA 4，∴B 1B 2AA 1＝1，B 2B 3AA 2＝12，B 3B 4AA 3＝13，∴S 1＝12×11＋1＝14，∵S 2＝12×21＋2＝13，S 3＝12×33＋1＝38，∴S n ＝12×n n ＋1＝n 2n ＋2.第5题解图6.3n【解析】如解图，分别连接OB 1，OB 2，…，OB n ，∵点A 1(1，0)，A 2(2，0)，…，A n (n ，0)，∴OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝…，∵B 1，B 2，…，B n 在反比例函数y ＝6x(x ＞0)的图象上，∴S △A n OB n ＝12×6＝3，∴S 1＝S △A 1OB 1＝3，S 2＝12S △A 2OB 2＝32，S 3＝13S △A 3OB 3＝33，…，S n ＝1n S △A n OB n ＝3n .第6题解图7.24041【解析】由12x ＋12＝－12x ＋12得x ＝0，则A (0，12)，令y ＝0，由y ＝－12x ＋12＝0得x ＝1，则B 1(1，0)，C 1(1，1)，∴B 1C 1＝1，如解图，连接AD 1，D 1D 2，D 2D 3，由菱形的对称性可得AD 1＝2，∴S 菱形AB 1D 1C 1＝12AD 1·B 1C 1＝12×2×1＝1，∴S 1＝12S 菱形AB 1D 1C 1＝12，把x ＝2分别代入y ＝12x ＋12与y ＝－12x ＋12得y ＝32和y ＝－12，∴B 2(2，－12)，C 2(2，32)，∴B 2C 2＝2，由菱形的对称性得AD 2＝4，∴S 2＝12S 菱形AB 2D 2C 2＝12×12×4×2＝2，把x ＝4分别代入y ＝12x ＋12与y ＝－12x ＋12得y ＝52和y ＝－32，∴B 3(4，－32)，C 3(4，52)，∴B 3C 3＝4，由菱形的对称性得AD 3＝8，∴S 3＝12S 菱形AB 3D 3C 3＝12×12×8×4＝8，同理可得S 4＝32，S 5＝128，…，由上可知S n ＝22n －3，∴S 2022＝24041.第7题解图8.3n22n －1【解析】∵∠A ＝30°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝75°，∵BC 1⊥AC ，∴∠CBA 1＝15°，同理可得∠BCB 1＝15°，∴∠CA 1C 1＝30°，A 1B ＝A 1C ，∴CC 1＝12A 1C ，∵△A 1BC 的面积为1，∴12A 1B ·CC 1＝1，即12A 1C ·12A 1C ＝1，∴A 1C ＝2，∴A 1C 1＝32A 1C ＝3，∵A 1C 1⊥AC ，B 1A 2⊥AC ，∴A 1C 1∥B 1A 2，同理，A 1B 1∥A 2C 1，∴四边形A 1B 1A 2C 1是平行四边形，∵∠B 1BC ＝∠C 1CB ，∠BB 1C ＝∠CC 1B ＝90°，BC ＝CB ，∴△BB 1C ≌△CC 1B (AAS)，∴BC 1＝CB 1，∵A 1B ＝A 1C ，∴A 1B 1＝A 1C 1，∴四边形A 1B 1A 2C 1是菱形，∴A 1C 1＝A 2C 1，∵CB 1∥C 1B 2，∴∠A 2C 1A 1＝∠CA 1C 1＝30°，如解图，过点A 1作A 1M ⊥A 2C 1于M ，∴A 1M ＝12A 1C 1＝123，∴菱形A 1B 1A 2C 1的面积＝A 2C 1·A 1M ＝32＝3122×1－1；同理可得，菱形A 2B 2A 3C 2的面积＝98＝3222×2－1；菱形A 3B 3A 4C 3的面积＝2732＝3322×3－1；…；由上可知四边形A n B n A n ＋1C n 的面积＝3n 22n －1.第8题解图9.2(3)n 【解析】∵OA 1＝OB 1＝1，∠A 1B 2O ＝∠B 1A 2O ＝30°，∴OA 2＝1tan ∠OA 2B 1＝1tan30°＝3，∴A 1A 2＝OA 2－OA 1＝3－1，∵∠A 1B 2O ＝∠B 1A 2O ＝30°，∴∠B 2A 1O ＝60°，∵∠B 2A 1O ＝∠B 1A 2O ＋∠A 1C 1A 2，∴∠A 1C 1A 2＝30°，∴∠B 1A 2O ＝∠A 1C 1A 2＝30°，∴A 1A 2＝A 1C 1＝3－1，同理OB 2＝3，B 1B 2＝B 1C 1＝3－1，∴四边形A 1C 1B 1O 的周长为1＋1＋3－1＋3－1＝23，∵A 1B 2∥A 2B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OA 1B 2＝∠OA 2B 3，∠OB 1A 2＝∠OB 2A 3，∴四边形OA 1C 1B 1∽四边形OA 2C 2B 2，且相似比为OA 2OA 1＝3，同理四边形OA 2C 2B 2∽四边形OA 3C 3B 3，且相似比为3；以此类推，四边形OA n －1C n －1B n －1∽四边形OA n C n B n ，且相似比为3；∴四边形OA 1C 1B 1∽四边形OA n C n B n ，且相似比为(3)n －1，∴四边形OA 1C 1B 1的周长四边形OA n C n B n 的周长＝1（3）n －1，∴四边形A n C n B n O 的周长为23×(3)n －1＝2(3)n .10.19×4n ＋2【解析】设△ADC 的面积为S ，由题意得，AC ∥B 1B 2，AC ＝AB ＝2，B 1B 2＝4，∴△ACD ∽△B 2B 1D ，∴S △ADC S △B 1B 2D ＝(AC B 1B 2)2＝14，∴S △B 1B 2D ＝4S ，∵CD DB 1＝AC B 1B 2＝12，CB 1＝2，∴DB 1＝43，同理D 1B 2＝83，设△B 1DE 的边B 1D 上的高为h 1，△B 2D 1E 的边B 2D 1上的高为h 2，∵B 1D ∥B 2D 1，∴△B 1DE ∽△D 1B 2E ，∴h 1h 2＝B 1D B 2D 1＝4383＝12，又∵h 1＋h 2＝4，∴h 1＝43，S 1＝12(B 1B 2)2－12B 1D ·h 1＝19×43，同理可得S 2＝19×44，…，S n ＝19×4n ＋2.11.22021＋1【解析】如解图，令y ＝0，则y ＝－x ＋2＝0，得x ＝2，∴点A 1的坐标为(2，0)．令x ＝0，则y ＝－x ＋2＝2，∴M (0，2)，∴OM ＝OA 1＝2，∴∠MA 1O ＝45°，∴∠A 1PN ＝45°，∵四边形A 1B 1C 1A 2为正方形，∴∠MA 1B 1＝90°，∴∠NA 1B 1＝45°，∴∠A 1B 1N ＝45°，∴A 1N ＝B 1N ＝2－1＝1，∴A 1P ＝A 1B 1＝A 1A 2＝A 2C 1＝B 1C 1＝2，B 1(1，－1)，如解图，连接A 2B 1，A 1C 1，则∠A 1B 1A 2＝∠C 1A 1B 1＝45°，∴∠A 2B 1N ＝∠C 1A 1N ＝90°，∴点C 1的横坐标与A 1的横坐标相等为2，A 2与B 1的纵坐标相等为－1，当y ＝－1时，y ＝－x ＋2＝－1，得x ＝3，∴点A 2的坐标为(3，－1)．∵四边形A 2B 2C 2A 3为正方形，∴∠PA 2B 2＝90°，∵∠A 1PN ＝45°，∵A 2B 2＝A 2P ＝22，∴PB 2＝2A 2B 2＝4，∴B 2(1，－3)，如解图，连接A 3B 2，A 2C 2，则A 3B 2∥x 轴，A 2C 2∥y 轴，∴点C 2的横坐标与A 2的横坐标相等为3，A 3与B 2的纵坐标相等为－3，当y ＝－3时，y ＝－x ＋2＝－3，得x ＝5，∴点A 3的坐标为(5，－3)．∴点C 3的横坐标为5.同理可得，C 4的横坐标为9，C 5的横坐标为17，…，由上可得规律，C n 的横坐标为2n －1＋1(n ≥2)，∴点C 2022的纵坐标为22021＋1.第11题解图12.22023－363【解析】∵直线l ：y ＝33x ＋33与x 轴交于点B ，∴B (－1，0)，∴OB ＝1，∵A (－2，0)，∴OA ＝2，∴AB ＝1，∵△ABA 1是等边三角形，∴A 1(－32，32)，把y ＝32代入y ＝33x ＋33，求得x ＝12，∴B 1(12，32，∴A 1B 1＝2，设C 1到x 轴的距离为h 1，C 1到A 1B 1的距离为h 1′，∴h 1＋h 1′＝yA 1＝123，∵A 1B 1//AB ，∴△A 1B 1C 1∽△BAC 1，∴h 1h 1′＝BA A 1B 1＝12，∴h 1＝13(h 1＋h 1′)＝13×123＝163，∴C 1的纵坐标为163；∵A 1B 1＝2，∴A 2(－12，332，将y ＝332代入y ＝33x ＋33中，得33x ＋33＝332，求得x ＝72，∴B 2(72，332)，∴A 2B 2＝4，设C 2到A 1B 1的距离为h 2，C 2到A 2B 2的距离为h 2′，∴h 2＋h 2′＝12A 1B 1·3＝3，∵A 1B 1//A 2B 2，∴△A 1B 1C 2∽△B 2A 2C 2，∴h 2h 2′＝A 1B 1A 2B 2＝12，∴h 2＝13(h 2＋h 2′)＝13×3＝133，∴C 2的纵坐标为yA 1＋h 2＝123＋133＝563；同理可得，C 3的纵坐标为1363；C 4的纵坐标为2963；…，∴C n 的纵坐标为2n ＋1－36 3.∴点C 2022的纵坐标是22023－363.第12题解图类型二图形周期变化典例精讲例3(0，4483)【解题步骤】①3；②3，672,672；③3，233，433，23，(0，4483)辽宁近年中考真题精选1.560π【解析】第一次操作：A 点运动路径长为l 1＝120×π×1180＝23π，第二次操作：A 点运动路径长为l 2＝30×π×1180＝16π，第三次操作：A 点运动路径长为l 3＝0，第四次操作：A 点运动路径长为l 4＝30×π×1180＝16π，第五次操作：A 点运动路径长为l 5＝120×π×1180＝23π，第六次操作：A 点运动路径长为l 6＝0，第七次操作：A 点运动路径长为l 7＝120180×π×1＝23π，…，以此类推，不难发现每三次操作，A 点的运动路径总长相同，即为l ＝23π＋16π＋0＝56π，又∵2016÷3＝672刚好整除，∴A 点的运动总路径长为l 总＝672×56π＝560π.针对训练1.(36，36)【解析】观察这些端点的坐标，有以下规律：当n 为奇数时，第n 个点的坐标为(n ＋12，n ＋12)；当n 为偶数时，第n 个点的坐标为(12n ，12n ＋1)．由此可知，点A 71的坐标为(36，36)．2.(337，－3373)【解析】观察图形可知，六边形的顶点是6个为一个循环，∵2021÷6＝336……5，∴点A 2021是第337个正六边形的顶点，且在第四象限，如解图连接OA 5，A 5，A 11，并延长至A 2021，∵点O 是所有正六边形的中心，易得△OA 5A 6、△OA 11A 12…，都是等边三角形，∴OA 5＝2、OA 11＝4、…，OA 2021＝337×2＝674，作A 2021P ⊥x 轴于点P ，∵∠A 2021OP ＝60°，∴A 2021P ＝OA 2021·sin60°＝3373，OP ＝OA 2021·cos60°＝337，∴点A 2021的坐标是(337，－3373)．第2题解图3.(－21010，－21010)【解析】由题意得，点B 1，B 2，B 3，B 4分别在第三象限，第四象限，第一象限，第二象限的角平分线上，且点B 5与点B 1在一条直线上，∴周期为4.∵2021÷4＝505……1，∴点B 2021在第三象限的角平分线上．∵四边形OA 1B 1C 1是边长为1的正方形，∴OA 1＝1，∴OB 1＝2.∵正方形OA 2B 2C 2的边长等于OB 1，∴OA 2＝2，∴OB 2＝2OA 2＝2＝(2)2.∵正方形OA 3B 3C 3的边长等于OB 2，∴OA 3＝2，∴OB 3＝2OA 3＝22＝(2)3.同理可得，OB 2021＝(2)2021，∴点B 2021的横坐标为－(2)2021×cos45°＝－（2）20222＝－210112＝－21010，纵坐标为－(2)2021×sin45°＝－（2）20222＝－210112＝－21010，∴点B 2021的坐标为(－21010，－21010)．4.(－42，42)【解析】观察题图可知，每4个点在一个图上，∴周期为4，∵30÷4＝7……2，∴A 30在直线y ＝－x 上，且在第二象限第8个圆上，即射线OA 30与x 轴的夹角是45°，∵在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，∴OA 30＝8，如解图，OA ＝8，∠AOB ＝45°，∵sin45°＝AB 8，cos45°＝OB 8，∴AB ＝42，OB ＝42，∵A 30在第二象限，∴A 30的横坐标是－42，纵坐标是42，即A 30的坐标是(－42，42)．第4题解图5.(－21010，－21010)【解析】∵等腰Rt △OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1＝A 1A 2＝1＝(2)°，以OA 2为直角边作第二个等腰Rt △OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰Rt △OA 3A 4，…，∴OA 1＝1＝(2)°，OA 2＝2，OA 3＝(2)2，…，OA 2022＝(2)2021，∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，2022÷8＝252……6，∴点A 2022在第三象限对角线上，∵OA 2022＝(2)2021，∴点A 2022的坐标为(－21010，－21010)．6.(52，－5132)【解析】观察，发现规律：A 2(2，3)，A 4(52，－332)，A 6(2，23)，A 8(52，－532)，…，∴A 4n ＋2(2，3n ＋3)，A 4n ＋4(52，－（2n ＋3）32)(n 为自然数)，∵100＝4×24＋4，∴A 100的坐标为(52，－5132)．7.－3101022019【解析】∵边长为4的等边△ABC ，AC 边在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，OB ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°，∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，∴AO ＝12AB ＝2，OB ＝3AO ＝23；∵以OB 为边作等边△OBA 1，边OA 1与AB 交于点O 1，以O 1B 为边作等边△O 1BA 2，边O 1A 2与A 1B 交于点O 2，∴∠BA 1O ＝∠A 1OB ＝∠A 2O 1B ＝60°，∠A 1BO 1＝∠OBO 1＝12∠A 1BO＝30°，∴∠AOO 1＝∠A 1O 1O 2＝90°－60°＝30°，在△OO 1A 与△O 1O 2A 1OAO 1＝∠A 1AOO 1＝∠A 1O 1O 2，∴△OO 1A ∽△O 1O 2A 1，同理，可得△OO 1A ∽△O 1O 2A 1∽△O 2O 3A 2∽…∽△O n －1O n A n －1，相似比O 1A 1OA ＝O 1O 2OO 1＝sin60°＝32，∴O 1A 1＝32OA ，同理O 2A 2＝32O 1A 1＝(32)2OA ，…，O n A n ＝(32)n OA ∵∠OBA ＝∠O 1BA 1＝∠O 2BA 2＝∠O 3BA 3＝…＝∠O n －2BA n －2＝∠O n －1BA n －1＝30°，360°÷30°＝12，∴这些点所在的位置以12个为一个周期依次循环，∵2020÷12＝168……4，∴O 2020A 2020为4÷2×(32)2020＝3101022019.∴△O 2019BA 2020的边长为2O 2020A 2020＝2×(3101022019)＝3101022018，∵点A 2020与点A 4位置类似，∴点A 2020的横坐标为－3101022019·sin30°＝－3101022019.。

2024中考数学复习专题规律探索题 (含答案)

2024中考数学复习专题规律探索题类型一数式规律1. (2023鄂州)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22023的个位数字是()A. 8B. 6C. 4D. 22. (2023泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：…若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是________．3. (2022怀化)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是________．4. (2023张家界)有一组数据：a1＝31×2×3，a2＝52×3×4，a3＝73×4×5，…，a n＝2n＋1n（n＋1）（n＋2）.记S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，则S12＝________．5. (2023达州)人们把5－12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝5－12，b＝5＋12，记S1＝11＋a＋11＋b，S2＝21＋a2＋2 1＋b2，…，S100＝1001＋a100＋1001＋b100，则S1＋S2＋…＋S100＝________．6. (2023安徽)观察以下等式：第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________________；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．类型二图形规律考向1累加型7. (2023重庆B卷)把菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第①个图案中有3个菱形，第①个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中菱形的个数为()第7题图A. 15B. 13C. 11D. 98. (2023济宁)如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点…按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是()第8题图A. 297B. 301C. 303D. 4009. (2023青海省卷)木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料________根．第9题图源自人教七上P70第10题10. (2022常德)如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为________．(用含n的代数式表示)第10题图11. (2023遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为________．第11题图12. (2023德阳)古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：第12题图其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，…图①的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1＋3＝4，第三个正方形数是1＋3＋5＝9，……由此类推，图①中第五个正六边形数是________．考向2成倍递变型13. (2023威海)由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，①AOB ＝①BOC ＝①COD ＝…＝①LOM ＝30°.若S ①AOB ＝1，则图中与①AOB 位似的三角形的面积为( )第13题图A. (43 )3B. (43 )7C. (43 )6D. (34)6 14. (2023荆州)如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n C n D n 的面积是( )A. ab 2nB. ab 2n －1C. ab 2n ＋1 D. ab22n第14题图15. (2023烟台)如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为( ) A. (22 )5 B. (22 )6 C. (2 )5 D. (2 )6第15题图16. (2023广安)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA 1的圆心为A ，半径为AD ；弧A 1B 1的圆心为B ，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2023D2023的长是________(结果保留π).第16题图17. (2023绥化)如图，①AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1①OA 交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2①OA交射线OB 于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2；…；按照此规律，线段P2023K2023的长为________.第17题图考向3周期变化型18. (2023玉林)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2023秒钟后，两枚跳棋之间的距离是()A. 4B. 23C. 2D. 0第18题图19. (2023河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O 重合，AB①x轴，交y轴于点P.将①OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为()A. (3，－1)B. (－1，－3)C. (－3，－1)D. (1，3)第19题图20. (2023毕节)如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1，1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(－1，3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(－4，0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0，－4)；…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为________．第20题图类型三与函数图象结合21. (2023龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝3x交于点B1，B2，B3，B4…记①OA1B1，①OA2B2，①OA3B3，①OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2023＝________．第21题图22. (2022菏泽)如图，一次函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象交于点A ，过点A 作AB ①OA ，交x 轴于点B ；作BA 1①OA ，交反比例函数图象于点A 1；过点A 1作A 1B 1①A 1B 交x 轴于点B 1；再作B 1A 2①BA 1，交反比例函数图象于点A 2，依次进行下去…，则点A 2022的横坐标为________．第22题图23. (2023盐城)《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l 1：y ＝12x ＋1与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交直线l 2：y ＝x 于点O 1，过点O 1作y 轴的平行线交直线l 1于点A 1，以此类推，令OA ＝a 1，O 1A 1＝a 2，…，O n －1A n －1＝a n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ≤S 对任意大于1的整数n 恒成立，则S 的最小值为________．第23题图类型四与实际问题结合24. (2022安徽)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图①)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图①)；以此类推．第24题图【规律总结】(1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______(用含n的代数式表示)；【问题解决】(3)现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？参考答案与解析1. C 【解析】21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，则2的1，2，3，4次方的个位上的数分别为2，4，8，6，每4个一次循环，而22022中2022÷4＝550……2，∴个位上的数为4.2. (10，18) 【解析】按照规律可得每一行的最后一个数为行数的平方，第n 行有(2n －1)个数．∵92＝81，102＝100，∴99是第10行，第18个数，∴表示99的有序数对是(10，18).3. m 2－m4.201182 【解析】∵a n ＝2n ＋1n （n ＋1）（n ＋2）＝n ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2）＝n n （n ＋1）（n ＋2）＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2）＝1（n ＋1）（n ＋2）＋1n （n ＋2）＝1n ＋1 －1n ＋2 ＋12 (1n －1n ＋2)，∴S 12＝12 －13 ＋13 －14 ＋…＋113 －114 ＋12 ×(1－13 ＋12 －14 ＋…＋112 －114 )＝12 －114 ＋12 ×(1＋12 －113 －114 )＝12 ＋12 ＋14 －126 －114 －128 ＝201182. 5. 5050 【解析】∵a ＝5－12 ，b ＝5＋12 ，∴ab ＝1，∵S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 2＋a ＋b ＝1，S 2＝21＋a 2 ＋21＋b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）1＋a 2＋b 2＋a 2b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）2＋a 2＋b 2＝2，…，S 100＝1001＋a 100 ＋1001＋b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）1＋a 100＋b 100＋a 100b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）2＋a 100＋b 100＝100，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝1＋2＋…＋100＝100×（100＋1）2＝5050. 6. 解：(1)(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2；(2)(2n ＋1)2＝[2n (n ＋1)＋1]2－[2n (n ＋1)]2.证明：等式左边＝4n 2＋4n ＋1，等式右边＝4n 2(n ＋1)2＋1＋4n (n ＋1)－4n 2(n ＋1)2＝4n (n ＋1)＋1＝4n 2＋4n ＋1，∴左边＝右边，∴等式成立．7. C 【解析】经分析可得，第个图案的菱形个数为2n －1，∴第⑥个图案中菱形个数为2×6－1＝11(个).8. B 【解析】第一幅图中圆点的个数是4＝1×3＋1；第二幅图中圆点的个数是7＝2×3＋1；第三幅图中圆点的个数是10＝3×3＋1；第四幅图中圆点的个数是13＝4×3＋1；…；按照此规律，第n 幅图中圆点的个数是3n ＋1，∴第一百幅图中圆点的个数是3×100＋1＝301.9. n （n ＋1）2【解析】∵第1个图中有木料1根，第2个图中有木料1＋2＝3根，第3个图中有木料1＋2＋3＝6根，第4个图中有木料1＋2＋3＋4＝10根，…，∴第n 个图中有木料1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2根． 10. 2n 2＋2n 【解析】观察图形可知：第一个图形由1个小正方形组成，所有线段的和为4×1＝2×2×1, 第二个图形由4个小正方形组成，所有线段的和为6×2＝2×3×2, 第三个图形由9个小正方形组成，所有线段的和为8×3＝2×4×3, 第4个图形由16个小正方形组成，所有线段的和为10×4＝2×5×4，…由此发现规律是：第n 个图形由n 2个小正方形组成，所有线段的和为2(n ＋1)·n ＝2n 2＋2n .11. 127 【解析】第一代勾股树中正方形个数＝20＋21；第二代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22；第三代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23；第四代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24，…，∴第六代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＝127.12. 45 【解析】由题图可知，题图④前三层点数分别是：1＝4×1－3，5＝4×2－3，9＝4×3－3，…，∴第n 层的点数是4n －3，∴第n 个正六边形数是1＋5＋9＋…＋4n －3＝4×1－3＋4×2－3＋4×3－3＋…＋4n －3＝2n 2－n ，∴题图④中第五个正六边形数是2×52－5＝45.13. C 【解析】在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos ∠AOB ＝OA OB ，∴OB ＝23OA .同理可得OC ＝23 OB ，∴OC ＝(23 )2OA ，…，∴OG ＝(23)6OA ，由题图可知△GOH 与△AOB 位似且位似比为(23 )6.∵S △AOB ＝1，∴S △GOH ＝[(23 )6]2＝(43 )6. 14. A 【解析】第一次操作后S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 S 矩形ABCD ＝12ab ，第二次操作后S 四边形A 2B 2C 2D 2＝12 S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 ×12 ab ＝ab 22 ，第三次操作后S 四边形A 3B 3C 3D 3＝12S 四边形A 2B 2C 2D 2＝ab 23 ，…，第n 次操作后S 四边形A n B n C n D n ＝ab 2n . 15. C 【解析】∵正方形ABCD 边长为1，∴AB ＝BC ＝1，∴AC ＝2 ，∴以AC 为边作第2个正方形ACEF 的边长为2 ；∵CF 是正方形ACEF 的对角线，∴CF ＝2 ×2 ＝(2 )2＝2，∴以CF 为边作第3个正方形FCGH 的边长为2；又∵GF 是正方形FCGH 的对角线，∴GF ＝2 ×2 ×2 ＝(2 )3＝22 ，以GF 为边作第4个正方形FGMN 的边长为22 ，…∴依此规律可知下一个正方形的边长是原来正方形边长的2 倍，即第n 个正方形的边长为(2 )n －1，∴第6个正方形的边长为(2 )5.16. 2022π 【解析】由题图可知，题图中由一段90°的弧组成的，弧所在圆的半径每次增加12 ，则弧C 1D 1的半径＝12 ×4＝12 ×4×1，弧C 2D 2的半径＝12 ×8＝12×4×2，弧C 3D 3的半径＝12 ×12＝12 ×4×3…，弧C 2022D 2022的半径＝12×4×2022＝4044，∴弧C 2022D 2022的长＝90π180×4044＝2022π. 17. 3 (1＋3 )2022 【解析】∵∠AOB ＝60°，OP 1＝1，∴P 1K 1＝3 OP 1＝3 ，∴P 1P 2＝P 1K 1＝3 ，∴OP 2＝1＋3 .∵P 2K 2＝3 OP 2，∴P 2K 2＝3 (1＋3 )，∴OP 3＝(1＋3 )2，∴P 3K 3＝3 OP 3＝3 (1＋3 )2，…，∴依此规律可得P 2023K 2023＝3 (1＋3 )2022.18. B 【解析】根据两枚跳棋跳动规则可知，红跳棋每过6秒钟跳动回顶点A ，黑跳棋每过18秒钟跳动回顶点A ，∵2022÷6＝337，∴经过2022秒后，红跳棋在顶点A 处；∵2022÷18＝112……6，6÷3＝2，∴经过2022秒钟后，黑跳棋在顶点E 处．如解图，连接AE ，过点F 作FG ⊥AE 于点G ，∵六边形ABCDEF 是边长为2的正六边形，∴∠AFE ＝120°，FE ＝AF ，∴∠F AE ＝30°，∴AG ＝EG ＝AF ·cos 30°＝2×32 ＝3 ，∴AE ＝23 ，即两枚跳棋之间的距离是23 .第18题解图19. B 【解析】如解图，连接OB ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵六边形ABCDEF 是正六边形，点O 是中心，∴OB ＝OA ，∠AOB ＝60°，∴∠AOP ＝30°，AP ＝12AB ＝1，∴OP ＝3 ，∴点A (1，3 )，将△AOP 绕点O 顺时针每次旋转90°，则第1次结束点A 的坐标为(3 ，－1)，第2次结束点A 的坐标为(－1，－3 )，第3次结束点A 的坐标为(－3 ，1)，第4次结束点A 的坐标为(1，3 )，…，∴每4次一个循环，∵2022＝4×505＋2，∴第2022次旋转结束时，相当于第2次结束，∴点A 的坐标为(－1，－3 ).第19题解图20. (－1，11) 【解析】由图象可知，A 5(5，1)，将点A 5向左平移6个单位，再向上平移6个单位，可得A 6(－1，7)，将点A 6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A 7(－8，0)，将点A 7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A 8(0，－8)，将点A 8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A 9(9，1)，将点A 9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A 10(－1，11).21. 240433 【解析】∵S 1＝1×32 ＝ 20×32 ，S 2＝2×232 ＝ 22×32，… ，依此规律可得S n ＝ 22(n －1)×32 ，∴S 2023＝ 22×(2023－1)×32＝ 240433 . 22. 2021 ＋2022 【解析】∵点A 是函数y ＝x 与y ＝1x的图象在第一象限的交点，∴点A 的坐标为(1，1)，又∵AB 垂直于直线y ＝x ，∴点B 坐标为(2，0)，又∵BA 1∥OA ，∴BA 1的解析式为y ＝x －2，与y ＝1x 联立，解得x ＝1＋2 (负值已舍)，即点A 1的横坐标为1＋2 ；同理可得B 1的横坐标为22 ，∵B 1A 2∥BA 1，∴B 1A 2的解析式为y ＝x －22 ，与y ＝1x 联立，解得A 2的横坐标为2 ＋3 (负值已舍)；…；依此按规律可得A 2021的横坐标为2021 ＋2022 .23. 2 【解析】由题可得a 1＝OA ＝1，而y ＝x 与y 轴的正方向的夹角是45°，O 1A ⊥y 轴，∴O 1A ＝OA ＝1，∴ 点O 1的横坐标是1，对于y ＝12 x ＋1，当x ＝1时，y ＝32，∴a 2＝O 1A 1＝12 ，∴tan ∠A 1AO 1＝O 1A 1O 1A ＝12 ，依次得出A 1O 2＝A 1O 1＝12 ，a 3＝A 2O 2＝12 A 1O 2＝(12)2，…，可以得出A n －1O n －1＝(12 )n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝1＋12 ＋…＋(12 )n －2＋(12)n －1①，①×2得2×(a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n )＝2＋1＋12 ＋…＋(12 )n －3＋(12)n －2②，②－①得a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2－(12 )n －1，∴S ≥2－(12)n －1，∴S 的最小值是2. 24. 解：(1)2；【解法提示】观察题图②与题图③，每增加1块正方形地砖，则增加2块等腰直角三角形地砖．(2)2n ＋4；【解法提示】在题图②中，正方形地砖1块，等腰直角三角形地砖(4＋2)块；在题图③中，正方形地砖2块，等腰直角三角形地砖(4＋2×2)块；正方形地砖若有3块，则等腰直角三角形地砖(4＋2×3)块；…；依此按规律可得正方形地砖若有n 块，则等腰直角三角形地砖有(4＋2n )块．(3)设需要正方形地砖n块，∴2n＋4≤2021，解得n≤1008.5，∵n为正整数，∴n最大取1008，答：需要正方形地砖1008块．。

中考数学复习：规律探索

一．选择题（共27小题）1．按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是中考数学复习：规律探索（）A ．n 2a n +1B ．n 2a n ﹣1C ．n n a n +1D ．（n +1）2a n2．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A ．10B ．15C ．18D ．213．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m ，最大的“正方形数”为n ，则m +n 的值为（）A ．33B ．301C ．386D ．5714．如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A ．B ．C ．D ．5．根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n＝（）A．17B．18C．19D．206．把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．97．观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（）A．18B．19C．20D．218．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数，2008应排在A、B、C、D、E中的位置．其中两个填空依次为（）A．﹣28，C B．﹣31，E C．﹣30，D D．﹣29，B9．用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第12个图案中共有小三角形的个数是（）A．34B．35C．37D．4010．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22022的末位数字是（）A．2B．4C．6D．811．用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“E”，依此规律，摆出第n个“E”需要火柴棍的根数是（）A．2n+3B．4n+1C．3n+5D．3n+212．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为a n，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，此推算，a100﹣a99＝（）A．99B．1C．101D．10013．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．201914．观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．75B．89C．103D．13915．用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆，则摆第n个“口”字需用棋子（）A．4n枚B．（4n﹣4）枚C．（4n+4）枚D．n2枚16．在一列数：a1，a2，a3，…a n中，a1＝3，a2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2019个数是（）A．1B．3C．7D．917．将一些完全相同的三角形按如图所示的规律排列，第①个图形中有2个三角形，第②个图形中有5个三角形，第③个图形中有10个三角形，第④个图形中有17个三角形，…，按此规律排列，则第⑥个图形中三角形的个数为（）A．26B．37C．50D．6518．我们把一些有理数按照一定的顺序排成一列，将第1个数记作a1，第2个数记作a2，…，第n个数记作a n．这样得到a1，a2，…，a n，如果这n个数满足：从第2个数开始，每个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，且a1＝﹣2，那么a2016＝（）A．B．C．﹣2D．19．如图，观察这组图形中五角星的个数，其中第①个图形中共有4个五角星，第②个图形中共有10个五角星，第③个图形中共有18个五角星…，按此规律，则第⑥个图形中五角星的个数为（）A．64B．34C．40D．5420．某公园里鲜花的摆放如图所示，第①个图形中有3盆鲜花，第②个图形中有6盆鲜花，第③个图形中有11盆鲜花，…，按此规律，则第⑥个图形中的鲜花盆数为（）A．26B．37C．38D．5121．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑦中星星的颗数是（）A．24B．32C．41D．5122．下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个★，第②个图形中共有8个★，第③个图形中共有11个★，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的★个数为（）A．18个B．20C．22D．2423．如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．14B．20C．24D．2724．将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5朵梅花，第2个图形有8朵梅花，第3个图形有13朵梅花，…，按此规律，则第11个图形中共有梅花的朵数是（）A．121B．125C．144D．14825．下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有3个顶点，第②个图形共有6个顶点，第③个图形共有10个顶点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形顶点的个数为（）A．66个B．55个C．45个D．36个26．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．252B．209C．170D．13527．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12二．填空题（共11小题）28．观察下列各项：1，2，3，4，…，则第n项是．29．观察以下一列数：3，，，，，…则第20个数是．30．如图，将图1中的菱形剪开得到图2，图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，图中共有7个菱形；如此剪下去，第5图中共有个菱形……，第n个图中共有个菱形．31．将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆个．32．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，则第10个图案中白色瓷砖块数为．33．将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第n个图形中“〇”的个数是78，则n的值是．34．用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆个（用含n的代数式表示）．35．观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…，则第15个图形中有个三角形．36．按照下列图形反映出的规律，那么第8个图形中有个点．37．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第98个图形中花盆的个数为．38．正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是．三．解答题（共4小题）39．用火柴棒按图中的方式搭图形：按图示规律填空：图形标号①②③④⑤火柴棒根数5913a b（1）a＝，b＝；（2）按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为；（用含n 的代数式来表示）（3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2021个图形需要的火柴棒根数．40．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去：（1）摆成第4个图案需要个三角形，摆成第6个图案需要个三角形．（2）摆成第n个图案需要个三角形．（3）摆成第203个图案需要几个三角形？41．如图所示：搭1条、2条、3条“金鱼”各用几根火柴棒？（1）根据上面的图形填写如表：金鱼条数123…n火柴根数…（2）搭100条金鱼需要多少根火柴棒？（3）搭多少条金鱼需要500根火柴棒？42．用若干个“〇”与“▲”按如图方式进行拼图：（1）观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：图1图2图3图4〇的个数3921▲的个数1410（2）根据你所观察到的规律，分别写出图n中“〇”与“▲”的个数（用含n的代数式表示）．。

中考数学模拟试卷精选汇编：规律探索附答案

规律探索一.选择题1.（2015·邗江区·初三适应性训练）记n n a a a s +++= 21，令ns s s T nn +++=21，则称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“凯森和”.已知1a ，2a ，……，500a 的“凯森和”为2004，那么13，1a ，2a ，……，500a 的“凯森和”为（ ▲ ）A ．2013B ．2015C ．2017D ．2019 答案：A2.（2015·网上阅卷适应性测试）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，(2,0)B ，正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过(2014,3)的正六边形的顶点是（ ▲ ）．A ．C 或EB ．B 或DC ．A 或ED ． B 或F 答案：D3．（2015·江苏江阴要塞片·一模）如图，在平面直角坐标中，直线l 经过原点，且与y 轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1，以A 1B 、BA 为邻边作□ABA 1C 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2，以A 2B 1、B 1A 1为邻边作□A 1B 1A 2C 2；…；按此作法继续下去，则C n 的坐标是（▲ ）第2题A BCD EFGH I KJ PQ 13题图A ．（﹣×4n ，4n ） B ．（﹣×4n －1，4n －1）C ．（﹣×4n ﹣1，4n ） D ．（﹣×4n ，4n －1）答案：C4.（2015·山东省济南市商河县一模）如图，已知在Rt △ABC 中，AB =AC =2，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG ；然后取GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第三个内接正方形……依次进行下去，则第n 个内接正方形的边长为 A ． 121()32n −⋅ B ． 1221()32n −⋅C ．21()32n ⋅ D ． 221()32n ⋅答案：B5. （2015·河北博野·中考模拟）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是【】A ．31B ．41C ．51D ．66 答案：B6．（2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）如图，在平面直角坐标中，直线l 经过原点，且与y 轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1，以A 1B 、BA 为邻边作□ABA 1C 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2，以A 2B 1、B 1A 1为邻边作□A 1B 1A 2C 2；…；按此作法继续下去，则C n 的坐标是（▲ ） A ．（﹣×4n ，4n ） B ．（﹣×4n －1，4n －1） C ．（﹣×4n ﹣1，4n ） D ．（﹣×4n ，4n －1）答案：C7．（2015·无锡市新区·期中）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2014个图形中直角三角形的个数有（ ▲ ）A ．2014个B ．2015个C ．4028个D ．6042个答案：C .二.填空题1．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）观察下面一列数：−1，2，−3，4，−5，6，−7…，将这列数排成下列形式：记ij a 为第i 行第j 列的数，如23a =4，那么87a 是．…………16-1514-1312-1110-98-76-54-32-1第1题图答案：562. (2015·北京市朝阳区·一模)一组按规律排列的式子：a 2，25a −，310a，417a −，526a ，…，其中第7个式子是，第n 个式子是（用含的n 式子表示，n 为正整数）．答案：750a，nn a n 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分） 3.（2015·福建漳州·一模）观察下列各式：514513,413412,312311=+=+=+,…… , 请你将猜想到的规律用含自然数n (n ≥1)的代数式表示出来是：______________. 答案：21)1(21++=++n n n n4（2015·广东广州·一模）王宇用火柴棒摆成如图M1-5所示的三个“中”字形图案，依次规律，第n 个“中”字形图案需要________根火柴棒．答案：6n ＋35.（2015·广东潮州·期中）如图，是用火柴棒拼成的图形，第1个图形需3根火柴棒，第2个图形需5根火柴棒，第3个图形需7根火柴棒，第4个图形需根火柴棒，……，则第n 个图形需根火柴棒。

中考数学总复习《数字类规律探索》专项提升训练题-附答案

中考数学总复习《数字类规律探索》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________参考答案1．解：由题中的数据得出规律为：n2+2则第n（n≥1）个数为：n2+2故答案为：n2+2.2．解：由√2√4√6√8√10…∴第50个数为√100=10故答案为：10．3．解：∵31=332=933=2734=8135=24336=729…∴这列数的个位数字依次3 9 7 1 循环出现∵2024÷4=506∴32024的个位数字是1故答案为：14．解：∴第一个式子为：a第二个式子为：2a2第三个式子为：3a3第四个式子为：4a4∴第n个单项式为：na n．故答案为：na n．5．解：第1排18个座位第2排比第1排多了1排有18+2=20个座位第3排比第1排多了2排有18+2×2=22个座位…第n排比第1排多了(n−1)排有18+2×(n−1)=(2n+16)个座位第4排有2×4+16=24个座位第10排有2×10+16=36个座位故答案为：(2n+16)2436；6.解：观察可知：等号左边第一个数字依次是：3,5,7,9依次递增2 故第五组式子等号左边第一个数字是：9+2=11；等号左边第二个数字依次是：4×1,4×3,4×6,4×10故第五组式子等号左边第二个数字是：4×(10+5)=60；等号右边的数字依次是等号左边第二个数字+1,故第五组式子等号右边的数字是：60+1= 61；故答案为：112+602=6127．解：观察图表可知第n行第一个数是n2∴第45行第一个数是452=2025∴第45行第4列的数是2025−3=2022故答案为：2022．8．解：∴x1+x2+x3=x2+x3+x4∴x1=x4同理可得x1=x4=x7=⋯=x2017…=x2023=x31=−5x2=x5=x8=⋯=x20221=−8x3=x6=x9=⋯=x99=x2022=−2∴2023=674×3+1−5−8−2=−15∴x1+x2+x3+⋯+x2023=(−15)×674+(−5)=−10110−5=−10115．故答案为：−10115．9．解：∴1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52……∴1+3+5+7⋯+(2n−1)=n2∴1+3+5+7⋯+99=502=2500.故答案为：2500.10．解：由题意得：∵a1=1 2a2=11−12=2a3=11−2=−1a4=11−（−1）=12……由此可得这列数依次以12，2，−1循环出现∵2023÷3=674 (1)∴a2023=a1=1 2故答案为：12．11．解：观察可知每个图形最上方的正方形中的数字规律是1,3,5,7,9,11,13；左下角正方形中的数字规律是21,22,23,24,25,26,27；右下角正方形中的数字规律是前两者之和∴b=27=128∴a=13+b=141故答案为：141．12．解：(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−120202)×(1−120212)×(1−120222)×(1−1 20232)=(1−12)×(1+12)×(1−13)×(1+13)×(1−14)×(1+14)×…×(1−12022)×(1+12022)×(1−12023)×(1+12023)=12×32×23×43×34×54×…×20192020×20212020×20202021×20222021×20212022×20232022×20222023×20242023=12×20242023=10122023．13．解：观察探索规律知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数第二个数比第一个数大1．归纳可得第n组的第二个数为4n+1(n≥2)∴2021=3×673⋯2∴第2021个智慧数是第674组中的第2个数即为4×674+1=2697．故答案为：2697．14．解：根据图形可知从2开始每5次一循环因为1027−1=5×205+1得−1027在A的位置．故答案为：A．15．解：第1次输出的结果为12第2次输出的结果为6第3次输出的结果为3第4次输出的结果为10第5次输出的结果为5第6次输出的结果为12第7次输出的结果为6…∴每5次的输出结果循环一次∵2023÷5=404⋅⋅⋅⋅⋅⋅3∴第2023次输出的结果为3故答案为：3．16．解：将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式可得：√2√4√6√8√10√12√14√16√18√20√22√24√26√28√30√32√34√36……观察可知：√12m(m为正整数)在第m行的第6个∴2√51=√204=√12×17在第17行的第6个∴这组数中最大数的位置记为(17,6)故答案为：(17,6)．17．解：由（1）可知当n是奇数时g(n)符号为正当n是偶数时g(n)符号为负且数值为n+1即g(n)=(−1)n+1(n+1)；由（2）可知g(1n )数值为1n的倒数减1即g(1n)=n−1①g(12023)−g(2023)=(2023−1)−(−1)2023+1×(2023+1)=2022−2024=−2故答案为：−2；②根据（1）的规律求g(n)=(−1)n+1(n+1)（n为正整数）故答案为：(−1)n+1(n+1)．18．解：由规定：如果a为偶数则f(a)=12a+2；如果a为奇数则f(a)=a+3得a1=2a2=f(2)=3a3=f(3)=6a4=5a5=8a6=6a7=5a8=8…得a3−a4+a5−a6+a7−a8=0a9−a10+a11−a12+a13−a14=0…由(2022−2)÷6=333⋯⋯2a2021=8a2022=6a2023=5得a1−a2+a3−a4+a5−a6+⋅⋅⋅−a2022+a2023=a1−a2+a2021−a2022+a2023=2−3+8−6+5=6．故答案为：5，6．19．解：第1个等式：a1=11+√2=√2−1第2个等式：a2=1√2+√3=√3−√2第3个等式：a3=1√3+2=2−√3第4个等式：a4=12+√5=√5−2…第n个等式：a n=1√n+√n+1=√n+1−√na1+a2+a3+⋯+a n =√2−1+√3−√2+⋯+√n+1−√n=√n+1−1故答案为：√n+1−1．20．解：根据图2可得：12+14+18+116+132+164+1128+1256=1−1256=255256．故答案为：255256．。

初中数学(规律探索题)题库及答案

初中数学（规律探索题）题库及答案1．（2019•贺州）计算11111133557793739+++++⨯⨯⨯⨯⨯…的结果是 A ．1937B ．1939C ．3739D ．3839【答案】B【解析】原式=1111111*********(1)(1)22233557737373923939⨯-+-+-+-+++-=⨯-=．故选B ．【名师点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．2．（2019•常德）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是 A ．0B ．1C ．7D ．8【答案】A【解析】∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4个数一循环.∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选A ．【名师点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．3．（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：11212312341213214321，，，，，，，，，，…，若第n 个数为57，则n =A ．50B ．60C ．62D ．71【答案】B【解析】11212312341213214321，，，，，，，，，，…，可写为：1121231234()()()1213214321，，，，，，，，，，….∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为12345667891011 11109877554321，，，，，，，，，，，.∴第n个数为57，则n=1+2+3+4+…+10+5=60，故选B．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．4．（2019•株洲）从-1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K={a k，b k}（其中k=1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i={a i，b i}和M j={a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值A．10 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，∴a i+b i共有5个不同的值．又∵对于任意的M i={a i，b i}和M j={a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，∴S的最大值为5．故选C．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出a i+b i共有几个不同的值是解题的关键．5．（2019•济宁）已知有理数a≠1，我们把11a-称为a的差倒数，如：2的差倒数是112-=-1，-1的差倒数是111(1)2=--．如果a1=-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5【答案】A【解析】∵a 1=-2，∴a 2=111(2)3=--，a 3=131213=-，a 4=1312-=-2，….∴这个数列以-2，13，32依次循环，且-2+13+32=-16.∵100÷3=33……1，∴a 1+a 2+…+a 100=33×（-16）-2=-152=-7.5，故选A ．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 6．（2019•达州）a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如2的差倒数为112-=-1，-1的差倒数111(1)2=--，已知a 1=5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……，依此类推，a 2019的值是 A ．5B ．-14C ．43D ．45【答案】D【解析】∵a 1=5，a 2=11111154a ==---，a 3=21141151()4a ==---，a 4=3114115a =--=5.……∴数列以5，-14，45三个数依次不断循环，∵2019÷3=673，∴a 2019=a 3=45，故选D ．【名师点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．7．（2019•枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．8．（2019•武汉）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是A．2a2-2a B．2a2-2a-2 C．2a2-a D．2a2+a【答案】C【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；…∴2+22+23+…+2n=2n+1-2.∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250.∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，∴原式=2a2-a．故选C．【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．9．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019，那么点A 2019的坐标是A ．（2，-2） B ．（1，0）C ．（，）D ．（0，-1）【答案】A【解析】∵四边形OABC 是正方形，且OA =1，∴A （0，1）. ∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1.∴A 1（2，2），A 2（1，0），A 3（2，-2），….发现是8次一循环，所以2019÷8=252……3，∴点A 2019的坐标为（2，-2），故选A ．【名师点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．10．（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），….2019÷4=504……3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选C．【名师点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．11．（2019•天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4.第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7.第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10.第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13.…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．12．（2019•甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．13．（2019•武威）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是__________．【答案】13a+21b【解析】由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．14．a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1=4，第5个数a5=5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是__________．【答案】6【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知：a1+a2+a3=15，a2+a3+a4=15，a3+a4+a5=15，…，a n+a n+1+a n+2=15.可以推出：a1=a4=a7=…=a3n+1，a2=a5=a8=…=a3n+2，a3=a6=a9=…=a3n.所以a5=a2=5，则4+5+a3=15，解得a3=6.∵2019÷3=673，因此a2017=a3=6．故答案为：6．【名师点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第1、4、7…个数之间的关系，第2、5、8…个数之间的关系，第3、6、9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解．15．（2019•海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是__________，这2019个数的和是__________．【答案】0；2【解析】由题意可得，这列数为：0，1，1，0，-1，-1，0，1，1，….∴前6个数的和是：0+1+1+0+（-1）+（-1）=0.∵2019÷6=336……3，∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）=2，故答案为：0；2．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现．16．（2019•咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是__________．【答案】-384【解析】∵一列数为1，-2，4，-8，16，-32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（-2）n-1.∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（-2）n-1、（-2）n、（-2）n+1.则（-2）n-1·（-2）n·（-2）n+1=412，即（-2）3n=（22）12，∴（-2）3n=224，∴3n=24，解得，n=8.∴这三个数的和是：（-2）7+（-2）8+（-2）9=（-2）7×（1-2+4）=（-128）×3=-384，故答案为：-384．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．17．（2019•安顺）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是__________．【答案】2019【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025-6=2019，故答案为：2019．【名师点睛】本题考查规律型——数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．18．（2019•黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是__________．【答案】625【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数.∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628，∴第20行第19个数是：628-3=625，故答案为：625．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n个数可以表示为1+3（n-1）．19．（2019•台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共__________个．【答案】3【解析】∵210÷3=70，∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210-70=140个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140； ∵140÷3=46......2. ∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140-46=94个金蛋，重新编号为1，2，3， (94)∵94÷3=31……1，∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94-31=63个金蛋. ∵63<66.∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．故答案为：3．【名师点睛】此题主要考查了推理与论证，正确得出每次砸掉的和余下的金蛋个数是解题关键．20．（2019•滨州）观察下列一组数： a 1=13，a 2=35，a 3=69，a 4=1017，a 5=1533，…. 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n =__________．（用含n 的式子表示）【答案】1(1)22n n n +++ 【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n +1. 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为(1)2n n +. ∴a n =1(1)(1)22122n n n n n n +++=++，故答案为：1(1)22n n n +++．【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．21．（2019•怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是__________．【答案】n -1【解析】由题意“分数墙”的总面积=2×12+3×13+4×14+…+n ×1n=n -1，故答案为：n -1．【名师点睛】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2=60°，再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3=60°，再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4=60°……按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为__________．【答案】（-22017，2【解析】由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1A3的坐标为（-2，.A4的坐标为（-8，0），A5的坐标为（-8，-），A6的坐标为（16，-），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环.与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n-1，其纵坐标为0.与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为2n-.与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为2n-与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为-2n-1，纵坐标为0.与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为-2n-与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为-2n-∵2019÷6=336……3.∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为-2n-2=-22017，纵坐标为2.故答案为：（-22017，2【名师点睛】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．23．（2019•连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为__________．【答案】（2，4，2）【解析】根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），故答案为：（2，4，2）．【名师点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．24．（2019•衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则OBOA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）5(【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB.∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DC OA BC=.∵DC=1，BC=2，∴OBOA=12，故答案为：12．（2过C作CM⊥y轴于M，过M1作M1N⊥x轴，过F作FN1⊥x轴．根据勾股定理易证得BD==CM=OA，DM=OB=ANC.∵AF=3，M1F=BC=2，∴AM1=AF-M1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM1（AAS），∴NM1=OA∵NM1∥FN1，∴11111553M N AMFN AFFN==，.∴FN1=5，∴AN1=5，∴ON1=OA+AN1=555+=，∴F（5，5）.同理.F1（55，.F2（55，.F3（55，.F4）.…F2019.【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．25．（2019•安徽）观察以下等式：第1个等式：211 111 =+.第2个等式：211 326 =+.第3个等式：211 5315 =+.第4个等式：211 7428 =+.第5个等式：211 9545 =+.……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．【解析】（1）第6个等式为：21111666=+，故答案为：21111666=+．（2）21121(21) n n n n=+--.证明：∵右边=112112(21)(21)21nn n n n n n-++==---=左边．∴等式成立.故答案为：21121(21)n n n n=+--．【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出21121(21)n n n n=+--的规律，并熟练加以运用．26．（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①.则2S=2+22+…+22018+22019②.②-①得2S-S=S=22019-1.∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．【解析】（1）设S=1+2+22+…+29①.则2S=2+22+…+210②.②-①得2S-S=S=210-1.∴S=1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①.则3S=32+33+34+35+…+311②.②-①得2S =311-1.所以S =11312-. 即3+32+33+34+…+310=11312-. 故答案为：11312-．（3）设S =1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n ①. 则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②. ②-①得：（a -1）S =a n +1-1.a =1时，不能直接除以a -1，此时原式等于n +1.a 不等于1时，a -1才能做分母，所以S =111n a a +--.即1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n=111n a a +--．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法． 27．（2019•张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n ．所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1=1，a 2=3，公差为d =2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为5，第5项是__________．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，a n-a n-1=d，…．所以a2=a1+d.a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d.a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d.……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n=a1+__________d．（3）-4041是不是等差数列-5，-7，-9…的项？如果是，是第几项？【解析】（1）根据题意得，d=10-5=5．∵a3=15，a4=a3+d=15+5=20，a5=a4+d=20+5=25，故答案为：5；25．（2）∵a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d.a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……∴a n=a1+（n-1）d，故答案为：n-1．（3）根据题意得.等差数列-5，-7，-9…的项的通项公式为：a n=-5-2（n-1）.则-5-2（n-1）=-4041.解之得：n=2019.∴-4041是等差数列-5，-7，-9，…的项，它是此数列的第2019项．【名师点睛】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．。

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中考数学规律探索问题试题汇编一、选择题1、（2007山东济宁）如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）。

B2、（2007江苏泰州）按右边33⨯方格中的规律，在下面4个符号中选择一个填入方格左上方的空格内（）A3、（2007湖南湘潭）为庆祝“六g 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）A A ．26n + B ．86n + C ．44n + D ．8n4、（2007湖南株州）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（）CA. 31B. 33C. 35D. 37二、填空题 1、（2007辽宁沈阳）有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为．501、（2007山东日照）把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：1 2，3， 4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，… … … …(第01题图) A B C D11235...按此规律，可知第n 行有个正整数．2n-12、（2007重庆）将正整数按如图所示的规律排列下去。

若用有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是。

233、（2007福建晋江）试观察下列各式的规律，然后填空：1)1)(1(2-=+-x x x 1)1)(1(32-=++-x x x x1)1)(1(423-=+++-x x x x x ……则=++++-)1)(1(910x x xx ΛΛ_______________。

111-x 。

4、（2007内蒙古赤峰）观察下列各式：22151(11)1005225=⨯+⨯+= 22252(21)1005625=⨯+⨯+= 22353(31)10051225=⨯+⨯+= ……依此规律，第n 个等式（n 为正整数）为．22(105)(1)1005n n n +=+⨯+ 5、（2007浙江温州）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。

现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个,正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：序号 ① ② ③ ④ 周长6101626若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿。

466 6、（2007福建福州）如图6，45AOB ∠=o，过OA 上到点O 的距离分别为1357911L ，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S L ，，，，．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积10S = ．767、（2007四川德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）L 根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________．(148)，8、（2007四川自贡）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________．解：)4()2(2++n n n 或4)2()2(22-++n n 9、（2007浙江临安）已知：, ……，若符合前面式子的规律，则 a + b = ___ ____．10910、（2007湖南岳阳）观察下列等式：第一行 3=4－1第二行 5=9－4 第三行 7=16－9 第四行 9=25－1 … … 按照上述规律，第n 行的等式为____________ （答案：2n+1=(n+1)2-n 2）11、（2007四川资阳）如图8，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B =2A B ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积0 1 3 5 7 9 11 13 L S 1ABS 2S 3S 4 图6图8S 5=_____________ . 2476099.12、（2007浙江杭州）如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P L L ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出2S = ；3S = ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥。

解：13111,,83224n πππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭13、（2007广西河池非课改）填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C = ．10814、（2007广西河池课改）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为．199 16、（2007山东威海）观察下列等式：223941401⨯=-，224852502⨯=-，225664604⨯=-，226575705⨯=-，228397907⨯=-…请你把发现的规律用字母表示出来：m ·n= ．2222m n m n +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15、（2007山东烟台）观察下列各式：（第12题）CBA 5567532053111111112,23,34, (334455)+=+=+=请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来．12n n ++＝1(1)2n n ++ 16、（2007湖北武汉）下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。

依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。

4117、（2007湖北潜江）根据下列图形的排列规律，第2008个图形是 (填序号即可). (①；② ；③ ；④ .)……答：③18、（2007广东韶关）按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.14；3n+219、（2007哈尔滨）柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有23⨯听罐头，第二层有34⨯听罐头，第三层有45⨯听罐头，……根据这堆罐头排列的规律，第n （n 为正整数）层有听罐头（用含n 的式子表示）．解：2(32)n n ++三、解答题1、（2007四川内江）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a = ，n a = ；（2）如果欲求232013333+++++L 的值，可令232013333S =+++++L ……………………………………………………①将①式两边同乘以3，得 …………………………② 由②减去①式，得S = ．（3）用由特殊到一般的方法知：若数列123n a a a a L ，，，，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则n a = （用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++=L （用含1a q n ，，的代数式表示）．解：（1）2（1分） 218（1分） 2n (2分) （2）3S ＝3＋32＋33＋34＋…＋321（1分） S ＝)13(2121-（1分）（3）a 1q n-1(2分) 1)1(1--q q a n(2分)2、（2007贵州贵阳）如图12，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线上．（3分）（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3分）（3）“2007”在哪条射线上？（3分）解：（1）“17”在射线OE 上．（2）射线OA 上数字的排列规律：65n - 射线OB 上数字的排列规律：64n - 射线OC 上数字的排列规律：63n -射线OD 上数字的排列规律：62n -射线OE 上数字的排列规律：61n - 射线OF 上数字的排列规律：6n（3）在六条射线上的数字规律中，只有632007n -=有整数解．解为335n = “2007”在射线OC 上．3、（2007浙江金华）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯图12A B D C E F O 1 72 83 94 10511 6 12的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m 的小明()AB 的影子BC 长是3m ，而小颖()EH 刚好在路灯灯泡的正下方H 点，并测得6m HB =．（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置G ；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH ；（3）如果小明沿线段BH 向小颖（点H ）走去，当小明走到BH 中点1B 处时，求其影子11B C的长；当小明继续走剩下路程的13到2B 处时，求其影子22B C 的长；当小明继续走剩下路程的14到3B 处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的11n +到n B 处时，其影子n n B C 的长为 m （直接用n 的代数式表示）．解：（1）（2）由题意得：ABC GHC △∽△，AB BC GH HC ∴=， 1.6363GH ∴=+， 4.8GH ∴=（m ）．（3）1111A B C GHC △∽△，11111A B B C GH HC ∴=，设11B C 长为m x ，则1.64.83x x =+，解得：32x =（m ），即1132B C =（m ）．同理22221.64.82B C B C =+，解得221B C =（m ），31n n B C n =+． 4、（2007四川乐山）如图（15），在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(10)，，将线段0OP 按逆时针方向旋转45o ，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP按逆时针方向旋转45o，长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，L ，n OP （n 为正整数）（1）求点6P 的坐标；（2）求56POP △的面积；（3）我们规定：把点()n n n P x y ，（0123n =L ，，，，）的横坐标n x 、纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标()nn xy ，称之为点n P 的“绝对坐标”．根据图中点n P 的分布规律，请你猜想点n P 的“绝对坐标”，并写出来．解：（1）根据旋转规律，点6P 落在y 轴的负半轴，而点n P 到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为66(02)P ，，即6(064)P ，．（2）由已知可得，01121n n P OP POP P OP -L △∽△∽∽△，设111()P x y ，，则12sin 452y ==o，01121222P OP S ∴=⨯⨯=△ 又6132OP OP =Q560123210241P OP P OP S S ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△，562102451222P OP S =⨯=△ （3）由题意知，0OP 旋转8次之后回到x 轴正半轴，在这8次中，点n P 分别落在坐标象限的平分线上或x 轴或y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点n P 的坐标可分三类情况：令旋转次数为n①当8n k =或84n k =+时（其中k 为自然数），点n P 落在x 轴上，此时，点n P 的绝对坐标为(20)n，； Oxy0(10)P ， 1P 2P3P4P5P图（15）②当81n k =+或83n k =+或85n k =+或87n k =+时（其中k 为自然数），点n P 落在各象限的平分线上，此时，点n P 的绝对坐标为2222n n ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭g g 2，2，即()112222n n --， ③当82n k =+或86n k =+时（其中k 为自然数），点n P 落在y 轴上，此时，点n P 的绝对坐标为(02)n，． 5、（2007广东省）已知等边△OAB 的边长为a ，以AB 边上的高OA 1为边，按逆时针方向作等边△OA 1B 1，A 1B 1与OB 相交于点A 2。