不等式提高训练
新高考数学复习考点知识提升专题训练12---基本不等式的应用
新高考数学复习考点知识提升专题训练（十二） 基本不等式的应用(一)基础落实1．下列等式中最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝2t ＋1tC ．y ＝4t ＋1t(t >0)D ．y ＝t ＋1t解析：选C A 中x ＝－1时，y ＝－5<4；B 中t ＝－1时，y ＝－3<4；C 中y ＝4t ＋1t ≥24t ·1t＝4，当且仅当t ＝12时，等号成立；D 中t ＝－1时，y ＝－2<4.2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时取等号．3．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．62 D ．62－3 解析：选D y ＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥23(x 2＋1)·6x 2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4解析：选AC 当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x －2＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．故选A 、C.5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．如果a >0，那么a ＋1a ＋2的最小值是________．解析：因为a >0，所以a ＋1a ＋2≥2a ·1a＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1时等号成立． 答案：47．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为________．解析：∵2m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋2m n ＋nm ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 28．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，且x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，所以，当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 89．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解：(1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y 4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32，当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32.10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1 800平方米的矩形地块(如图所示)，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？解：(1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6) ＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1 832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800,6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45，即x 为40，y 为45.(二)综合应用1．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12)D.⎝⎛⎭⎫3，12 解析：选AC 设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故A 、C 成立．2．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C1a ＋1b＋2ab ≥21a ·1b＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当1a ＝1b 且1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时取等号．3．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．解析：(x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．答案：164．若a >0，b >0，且a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值． 解：∵a >0，b >0，a 2＋b 22＝1， ∴a 1＋b 2＝a 2(1＋b 2)＝2a 2·1＋b 22＝2a 2·1＋b 22≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋b 2222 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1222＝324，当且仅当正数a ，b 满足a 2＝1＋b 22且a 2＋b 22＝1，即a ＝32，b ＝22时等号成立．∴a 1＋b 2的最大值为324.(三)创新发展1．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1，即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥192．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米．(1)写出x 与y 的关系式；(2)求出仓库面积S 的最大允许值．为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解：(1)由于铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意可得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，即4x ＋9y ＋2xy ＝320，解得y ＝320－4x2x ＋9，由于x >0且y >0，可得0<x <80，所以，x 与y 的关系式为y ＝320－4x2x ＋9(0<x <80)．(2)S ＝xy ＝x ·320－4x2x ＋9＝x ·338－2(2x ＋9)2x ＋9＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫3382x ＋9－2＝338x 2x ＋9－2x ＝169(2x ＋9)－169×92x ＋9－2x ＝169－2x －169×92x ＋9＝178－(2x ＋9)－169×92x ＋9＝178－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x ＋9)＋169×92x ＋9≤178－2(2x ＋9)×169×92x ＋9＝100，当且仅当2x ＋9＝169×92x ＋9，即⎩⎨⎧x ＝15，y ＝203时，等号成立，因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁栅长应设计为15米．。
2023年一轮复习《等式性质与不等式性质》提升训练(含解析)
2023年一轮复习《2.1 等式性质与不等式性质》提升训练一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设M =2a (a −2)+3，N =(a +1)(a −3)，a ∈R ，则有( )A. M >;NB. M ≥NC. M <;ND. M ≤N2.（5分）已知a >b >c ，且a +b +c =0，则下列不等式一定成立的是A. ab >bcB. ac <bcC. |ab |>|bc |D. 1a+1c >03.（5分）若a ，b ，c 为实数，下列结论正确的是( )A. 若a >b ，c >d ，则ac>bdB. 若a <b <0，则a 2>ab>b 2C. 若a <b <0，则1a <1b D. 若a <b <0，则ba >ab4.（5分）若实数a 、b 、c 满足a >b >c ，则下列不等式正确的是( )A. a +b >cB.1a−c<1b−cC. a|c|>b|c|D.ab 2c 2+1<a 2bc 2+15.（5分）已知实数x ，y 满足{x −y +1⩽0x +y −3⩾0y −3⩽0，则z =x 2+y 2的取值范围是( )A. [5,9]B. [5,13]C. [√5,3]D. [√5,√13]6.（5分）若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（ ）A. ac ＞bdB. ac ＜bdC. ad ＜bcD. ad ＞bc7.（5分）若不等式a >b 与1a>1b同时成立，则必有( )A. a >b >0B. 0>1a >1bC. a >0 >bD. 1a >1b >08.（5分）若a >b ，c >d ，下列不等式正确的是( )A. c −b >d −aB. ac >bdC. a −c >b −dD. ad>bc9.（5分）若a >b >0，且ab =1，则下列不等式成立的是( )A. b2a <lo g 2(a +b)<a +1b B. a +1b <b2a <lo g 2(a +b) C. a +1b <lo g 2(a +b)<b2aD. lo g 2(a +b)<a +1b <b2a10.（5分）若1a <1b <0(a,b ∈R)，则下列不等式恒成立的是( )A. a <bB. a +b >abC. |a|>|b| D. ab <b 211.（5分）若a,b,c ∈R , a >b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a <1bB. a2>b2C. ba +ab⩾2 D. a(c2+1)>b(c2+1)12.（5分）下列不等式一定成立的是A. B. x2+4⩾4|x|C. ≶(x2+1)>≶(2x)D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）已知x，y都是实数，则x2+y2+1______2(x+y−1)(用>，<，=填空).14.（5分）已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式__________.15.（5分）已知a+b>0，则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是________.16.（5分）已知a+b>0，则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是__________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（12分）试比较下列各组式子的大小：(1)a+1b 和b+1a(a>b>0)；(2)√x+1−√x和√x−√x−1(x>1)；(3)a3−a和a2a(a>0)；(4)x3−2y3和xy2−2x2y(x>y>0).18.（12分）设a>0，函数f(x)=x−ae x2+1，g(x)=af(x)+f(−x).(1)若函数f(x)在R上有两零点，求a的取值范围;(2)若函数g(x)在[−1,1]上有零点，求a的取值范围.19.（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：根据以上数据绘制了散点图，如图.由图可知，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y =a +bx 和指数函数模型y =ce dx 分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为y ^=96.54e −0.2x ，lny 与x 的相关系数r 1=−0.94. (1)用反比例函数模型求y 关于x 的回归方程;(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本.参考数据：(其中u i =1x i )20.（12分）已知函数f(x)=axe x −ax −1(a ∈R)，若不等式f(x)⩾lnx 在[1e ,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数;(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率;(3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01).22.（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP= AB=2，BC=2√2，E，F分别是AD，PC的中点.求证：PC⊥平面BEF.四、多选题（本大题共5小题，共25分）23.（5分）若1a >1b>0，则下列正确的选项为A. 2a<2bB. a3>b3C. a2<abD. lnab>124.（5分）下列选项中，能推出ba >ab的为()A. a>b>0B. b<a<0C. −1<a<0,b>1D. a<−1,0<b<125.（5分）下列选项中描述正确的是()A. 若ac2>bc2，则必有a>bB. 若a>b与1a >1b同时成立，则ab<0C. 若a>b，则ln a2>ln b2D. 若a>b>0，c<d<0，则ad <bc26.（5分）已知a，b，c∈R且0<a<b，则下列结论正确的是()A. a2<b2B. ab<b2C. 1a <1bD. ac2<bc227.（5分）下列结论正确的是()A. 若a>b>c>0，则ca >cbB. 若a>b>0，则b2<ab<a2C. 若a>b>0，则ac2>bc2D. 若a<b<0，则−1a <−1b答案和解析1.【答案】A;【解析】M−N=2a(a−2)+3−(a+1)(a−3)=2a2−4a+3−(a2−2a−3)=a2−2a+6=(a−1)2+5>;0恒成立，所以M>;N．故A正确．2.【答案】B;【解析】此题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．a>b>c且a+b+c=0，可得a>0，c<0.再利用不等式的基本性质即可得出．解：∵a>b>c且a+b+c=0，当b=0时，显然A，C错误；因为a>b，c<0，所以ac<bc，B正确；当a=2，c=−1时，显然D错误．故选B.3.【答案】B;【解析】这道题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．根据不等式的基本性质，判断每个选项即可．解：对于A：取a=2，b=1，c=−1，d=−2，此时ac=bd，故A不正确，对于B：若a<b<0，则a2>ab>b2，正确，对于C：若a<b<0，则aab <bab，即1b<1a，故C不正确，对于D：若a<b<0，则a2>b2，则a2ab >b2ab，即ab>ba，故D不正确，故选：B．4.【答案】B;【解析】此题主要考查了不等式的性质，考查了推理和计算能力，属于基础题．根据a>b>c判断每个选项不等式是否正确，错误的举出反例即可．解：∵a>b>c，∴A.a+b>c错误，比如−4>−5>−6，得出−4−5<−6；B.a−c>b−c>0，∴1a−c <1b−c，∴该选项正确；C.a|c|>b|c|错误，比如|c|=0时，a|c|=b|c|；D.ab2−a2b=ab(b−a)，ab(b−a)=0时，ab2=a2b，∴ab2c2+1=a2bc2+1，∴该选项错误．故选：B.5.【答案】B;【解析】解：实数x，y满足{x−y+1⩽0x+y−3⩾0y−3⩽0，的可行域如图所示，其中A(1,2)，B(2,3)，若目标函数z=x2+y2的几何意义是可行域内的点到坐标原点距离的平方．由图形可知仅在点B(2,3)取得最大值，z=4+9=13.A到原点距离最小，z=1+4=5．则z=x2+y2的取值范围为[5,13]，故选：B．根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．判断几何意义，最后比较，即可得到目标函数的最优解．6.【答案】B;【解析】略7.【答案】C;【解析】解：∵1a >1b，∴b−aab>0，又∵a>b，∴b−a<0.∴ab<0.∴a>0>b.故选C.利用不等式的性质即可得出．此题主要考查了不等式的性质，属于基础题．8.【答案】A;【解析】此题主要考查了不等式性质及其大小比较，考查学生的计算能力，属于基础题. 根据不等式的性质即可依次解出.解：由题意，因为a>b，所以−a<−b，即−b>−a，又因为c>d，所以c−b>d−a，故选A.9.【答案】A;【解析】解：∵a>b>0，且ab=1，∴可取a=2，b=12．则a+1b =4，b2a=18，log2(a+b)=log252∈(1,2)，∴b2a <log2(a+b)<a+1b．故选：A．a>b>0，且ab=1，可取a=2，b=12.代入计算即可得出大小关系．该题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D;【解析】此题主要考查不等式的性质，由已知得ab>0，然后利用不等式的性质求解即可.解：∵1a <1b<0(a,b∈R)，∴ab>0，则1a .ab<1b.ab，即b<a，所以两边都乘b，得b2>ab.b<a，a+b<ab，|b|>|a|，故ABC错误.故选D.11.【答案】D;【解析】此题主要考查不等式的概念和不等关系，根据不等式的性质解题即可.∵a>b,c2+1>0，因此a(c2+1)>b(c2+1)，D选项正确，a=1，b=−1时，可判断A，B，C错误.故选D.12.【答案】B;【解析】该题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解答该题的关键．解：A选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出；B选项是正确的，这是因为(x∈R)⇔；C选项不成立，当x=1时，不等式两边不相等；D选项不成立，当a=b=1时，不等式两边不相等．故答案选：B．13.【答案】＞;【解析】解：∵x，y都是实数，且x2+y2+1−2(x+y−1)=x2+y2+1−2x−2y+2=(x−1)2+(y−1)2+1⩾1>0，∴x2+y2+1>2(x+y−1).故答案为：>.直接利用作差法比较两个对数式的大小．此题主要考查利用作差法比较两个对数式的大小，是基础题．14.【答案】a+mb+m >ab;本小题主要考查不等式、不等式的应用等基础知识，基础题．bg糖水中有ag糖(b>a>0)，若再添mg糖(m>0)，浓度发生了变化，只要分别写出添糖前后的浓度根据题意可得不等式．解：∵bg糖水中有ag糖，糖水的浓度为：ab；bg糖水中有ag糖(b>a>0)，若再添mg糖(m>0)，则糖水的浓度为：a+mb+m；又糖水变甜了，说明浓度变大了，∴a+mb+m >ab，故答案为a+mb+m >ab.15.【答案】ab2+ba2⩾1a+1b;【解析】此题主要考查不等式大小的比较，利用做差法即可比较大小，属于基础题.解：ab2+ba2−(1a+1b)=a−bb2+b−aa2=(a−b).(1b2−1a2)=(a+b)(a−b)2a2b2.∵a+b>0，(a−b)2⩾0，∴(a+b)(a−b)2a2b2⩾0.∴ab2+ba2⩾1a+1b.16.【答案】ab2+ba2⩾1a+1b;【解析】此题主要考查了不等式比较大小，属于较易题. 作差化简整理即可得结果.解：ab2+ba2−(1a+1b)=a−bb2+b−aa2=(a−b).(1b2−1a2)=(a+b)(a−b)2a2b2.∵a+b>0，(a−b)2⩾0，∴(a+b)(a−b)2a2b2⩾0.∴a b 2+b a 2⩾1a+1b.故答案为ab 2+ba 2⩾1a +1b .17.【答案】解：(1)a +1b−(b +1a)=(a−b)(1+ab )ab，∵a >b >0，∴a −b >0，ab >0，1+ab >0， ∴(a−b)(1+ab )ab >0,∴a +1b >b +1a . (2)√x +1−√x =√x+1+√x ,√x −√x −1=√x−1+√x .由于√x +1+√x >√x −1+√x >0， 故√x +1−√x <√x −√x −1; (3)当a =1时，a 3−a =a 2a =1;当a >1时，y =a x 为增函数，且3−a <2a ，因此a 3−a <a 2a ; 当0<a <1时，y =a x 为减函数，且3−a >2a ，因此a 3−a <a 2a ; 综上，a 3−a ⩽a 2a ;(4)由题意，知(x 3−2y 3)−(xy 2−2x 2y)=x 3−xy 2+ 2x 2y −2y 3 =x(x 2−y 2)+2y (x 2−y 2)=(x 2−y 2)(x +2y )=(x −y)(x +y) (x +2y ); ∵x >y >0，∴ x −y >0，x +y >0，x +2y >0， ∴(x 3−2y 3)−(xy 2−2x 2y)>0， 即x 3−2y 3> xy 2−2x 2y.;【解析】此题主要考查代数式大小的比较方法，属于基础题.(1)作差a +1b −(b +1a )=(a−b)(1+ab )ab，确定差的符号即可；(2)√x +1−√x =√x+1+√x，√x −√x −1=√x+√x−1， 根据不等式的性质比较大小．(3)讨论a 的取值，分别比较即可．(4)根据作差法可得(x 3−2y 3)−(xy 2−2x 2y)>0，可得结果.18.【答案】解:(1)由题意可知,a=x+1e x2,令h(x)=x+1e x 2,h'(x)=1−x 2e x2,x=1,ℎmax (x)=√e,x →+∞,h(x)→0,h(-1)=0,x →-∞时,h(x)→-∞,故a ∈(0,√e). (2)当a>1时,g(x)=ax-a 2e x2+a-x-ae −x2+1<ax- <ax- </ax-ae x2+a-x-ae −x2+1=(a-1)x-a(e x2+e −x2)+a+1<(a-1)x-2a+a+1⩽ a-1-2a+a+1=0,所以g(x)在[-1,1]上有零点,则a ⩽1; g'(x)=a-a 22e x 2-1+a2e x =2ae x2−a 2e x −2e x2+a2e x 2,令g'(x)=0,则2ae x 2-a 2e x-2e x 2+a=0,整理化简a 2e x +2(1-a)e x2-a=0,所以关于e x2的二次方程两个根为一个正根e x 12,一个负根,而负根舍去, 故g(x)在[-1,1]上的单调性为先增后减,且g(0)=-a 2+a-a+1>0, 所以要保证有零点只需保证min{g(−1),g(1)}⩽0, g(1)=a-√ea 2+a-1-√e +1=-√ea 2+(2-√e )a,g(-1)=-a-2√e +a+1-a √e +1=-2√e -a √e +2,g(-1)-g(1)=(a-1)[(√e -√e )a-2]>0,所以,只需考虑g(1)=-√ea 2+(2-√e )a ⩽0⇒a ⩾2√e−1e,所以a ∈[2√e−1e,1].; 【解析】略19.【答案】解：(1)令u=1x ,则y=a+bx 可转化为y=a+bu,因为y ―=3608=45,所以b=∑ui 8i=1y i −8x―y ―∑8i=1u i2−8u ―2=183.4−8×0.34×451.53−8×0.115=610.61=100,则a ^=y ―-b ^u ―=45-100×0.34=11,所以y ^=11+100u,所以y 关于x 的回归方程为y ^=11+100x.(2)y 与1x 的相关系数为r 2=$ \frac $8i=1i √(∑i=1u i −8u ―)(∑i=1y i−8y ―)=√0.61×6185.5≈0.99.因为|r 1|<|r 2|,所以用反比例函数模型拟合效果更好,当x=10时,y=10010+11=21(元),所以当产量为10千件时,每件产品的非原料成本为21元.; 【解析】略20.【答案】解:令g(x)=axe x -ax-ln x-1,则g'(x)=a(xe x +e x )-a-1x ,设{g ′(x 0)=a(x 0e x 0+e x 0)−a −1x 0=0,g(x 0)=ax 0e x 0−ax 0−lnx 0−1=0.消去a,得到(x 0+1)e x 0lnx 0+x 0e x 0-lnx 0=0,解得e x 0=1x 0(即x 0=-lnx 0),x 0∈(12,1)为极小值,此时a=1,故a ⩾1,下证充分性,当a ⩾1时,令g(x)=h(a)=ax(e x -1)-ln x-1在[1,+∞)上单调递增, 所以g(x)=ax(e x -1)-ln x-1⩾x(e x -1)-ln x-1,令k(x)=x(e x -1)-ln x-1, k'(x)=e x -1+xe x -1x=(x+1)(e x -1x),设k'(x)=0,则e x =1x,令解为x 1,所以k (x)min =k(x 1)=x 1(e x 1-1)-lnx 1-1=x 1(1x 1-1)-(-x 1)-1=0,所以k(x)⩾0,即当a ⩾1时,g(x)⩾0恒成立.; 【解析】略21.【答案】解:(1)由题意知,网店销售量不低于50,共有(0.068+0.046+0.010+0.008)×5×100=66(天),实体店销售量不低于50,共有(0.032+0.020+0.012×2)×5×100=38(天),实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24=24,故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66+38-24=80.(2)由题意,设该实体店一天售出x件,则获利为(50x-1700)元,50x-1700⩾800⇒x⩾50.设该实体店一天获利不低于800元为事件A,则P(A)=P(x⩾50)=(0.032+0.020+0.012+0.012)×5=0.38.故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.(3)因为网店销售量频率分布直方图中,销售量低于50的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,销售量低于55的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,所以网店销售量的中位数的估计值为50+0.5−0.340.34×5≈52.35.;【解析】略22.【答案】证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BE,PA⊥BA,又因为底面ABCD是矩形,且AP=AB=2,BC=2√2,E,F分别是AD,PC的中点,所以BP=2√2,BE⊥AC,所以BF⊥PC,因为PA∩AC=A,所以BE⊥平面PAC,所以BE⊥PC,又因为BE∩BF=B,所以PC⊥平面BEF.;【解析】略23.【答案】AC;【解析】【试题解析】[分析]此题主要考查不等式的性质，属于基础题。
八年级数学不等式强化训练100题
不等式强化训练100题1、若函数y=2x-6. (1)当函数值y为正数时，求x的范围；(2)当自变量x取正数时，求函数值y 的范围.2、计算：(1)计算：；(2)解不等式组：.3、解不等式：，并把解集表示在数轴上.4、当时，点P(3m-2,m-1)在A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限8、某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价(元/部) 4000 2500售价(元/部) 4300 3000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．(毛利润=(售价-进价)×销售量)(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．9、一列慢车以时速60km的速度从甲地驶往乙地，2h后，一列快车以时速为100km的速度也从甲地驶往乙地.分别列出慢车和快车行驶的路程ykm与时间xh之间的函数关系式，并画出图象，根据图象回答下列问题：(1)何时慢车在快车前面？(2)何时快车在慢车前面？(3)谁行驶的路程先达到240km？谁行驶的路程先达到360km？11、已知直线y=2x-b经过点(1，-1)，求关于x的不等式2x-b≥0的解集.12、解不等式组14、已知关于x，y的方程组的解满足x>y，求a的取值范围.15、北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台.如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台.求：(1)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？(2)当老板的您，请设计出总运费最低的调运方案吧！并求出最低总运费是多少元？16、已知x=1是不等式组的解，求a的取值范围.18、2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)．根据信息，解答下列问题．(1)求这份快餐中所含脂肪质量；(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．19、我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3m/s的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m/s的时间约占60天.为了充分利用“风能”这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A、B两种型号的风力发电机.根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：根据上面的数据回答：(1)若这个发电厂购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为多少千瓦时；(2)已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元.该发电厂拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电厂每年的发电总量不少于102000kW*h，请你提供符合条件的购机方案.20、阅读材料：(1)对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b>0时，一定有a>b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b<0时，一定有a<b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．(2)对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵=(a+b)(a-b)，a+b>0∴与(a-b)的符号相同当时，a-b>0，得a>b当时，a-b=0，得a=b当时，a-b<0，得a<b解决下列实际问题：(1)课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x>y，张丽同学的用纸总面积为，李明同学的用纸总面积为．回答下列问题：①=_______________(用x、y的式子表示),=_______________(用x、y的式子表示)②请你分析谁用的纸面积最大．(2)如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km(即AC=3km，BE=4km)，AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度=AP+BP．①在方案一中，=_________km(用含x的式子表示)；②在方案二中，=_______________km(用含x的式子表示)；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．21、已知3(5x+2)+5<4x-6(x+1)，化简|x+1|-|1-x|.23、国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：(1)求这两种货车各用多少辆？(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式(写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．24、如图所示，小李决定星期日登A、B、C、D中的某山，打算上午9点由P地出发，尽可能去最远的山，登上山顶后休息1h，到下午3点以前回到P地.如果去时步行的平均速度为3km/h，返回时步行的平均速度为4km/h.试问小李能登上哪个山顶？(图中数字表示由P地到能登山顶的里程)25、某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l00个，设做竖式纸盒x个．①根据题意，完成以下表格：②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290<a<306．则a的值是__________．(写出一个即可)27、“5．12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元．(1)该经销商先捐款_______元，后捐款_______元．(用含x的式子表示)(2)写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．(3)该经销商两次至少共捐助多少元？28、已知方程组的解是负数，试化简|a+3|-|5a-3|.二、计算题31、(1)计算：；(2)解不等式组：32、解不等式组：33、解不等式组：34、求不等式组的正整数解.35、解不等式组：.36、解不等式组：37、解不等式：．38、解不等式：，并把解集表示在数轴上.39、解下列不等式组：40、解不等式组：41、求自变量x的取值范围：.42、解不等式：4x-7<3x-1.43、解不等式组：44、解不等式组：45、解不等式组：46、解不等式组：47、解不等式3(x+1)>4x+2.48、解下列不等式2(x-3)-3(x+1)>0.49、解下列不等式：2x-5≤250、解不等式组：51、解不等式组52、解不等式组53、解不等式：3x≥x+2.54、解不等式组并把解集在数轴上表示出来.55、(1)计算；(2)解不等式组56、已知x,y满足，求.57、解不等式：.58、化简：().59、解不等式组并将其解集在数轴上表示出来.60、求不等式的解集.61、定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a(a-b)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2(2-5)+1=2(-3)+1=-6+1=-5.(1)求(-2)⊕3的值.(2)若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在下图所示的数轴上表示出来.62、计算：(1)化简：；(2)解不等式：.63、解不等式组：64、解不等式组65、(1)计算：(2)解不等式组：.66、解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来.67、某个体小服装准备在夏季来临前，购进甲、乙两种T恤，在夏季到来时进行销售．两种T 恤的相关信息如下表：品牌甲乙进价（元/件）35 70售价（元/件）65 110根据上述信息，该店决定用不少于6195元，但不超过6299元的资金购进这两种t恤共100件．请解答下列问题：(1)该店有哪几种进货方案？(2)该店按哪种方案进货所获利润最大，最大利润是多少？(3)两种T恤在夏季销售的过程中很快销售一空，该店决定再拿出385元全部用于购进这两种T 恤，在进价和售价不变的情况下，全部售出．请直接写出该店按哪种方案进货才能使所获利润最大．68、解不等式组．69、解不等式组：70、解不等式组并将解集在数轴上表示出来．71、解不等式：2[x-(x-1)+2]<1-x.72、解不等式组并把解集在数轴上表示出来.73、解不等式组：74、解不等式.75、解不等式.76、计算：(1)；(2)解不等式77、解不等式组：78、解不等式组.79、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来.80、化简：，其中0<a<1.81、解不等式：82、求不等式组的正整数解.83、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：2(x+1)-3(x+2)<0.84、解不等式组85、解不等式：.86、(1)计算：. (2)解不等式组：.87、解不等式.88、解不等式组89、解不等式.90、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：.91、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：2[x-3(x-1)]≥5x.92、解不等式组：94、商场出售A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量为0.55度，现将A型冰箱打折出售，问商场至少打几折，消费者购买才合算.(按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算)96、化简：.98、解不等式.100、计算：解不等式：.。
提高训练：不等式
第三章 不等式一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）．A ．4-≤m 或4≥mB ． 45-≤<-mC ．45-≤≤-mD ． 25-<<-m2．若c a >且0>+c b ，则不等式0))((>-+-a x b x c x 的解集为（） A ．{}c x b x a x ><<-或,| B ． {}b x c x a x ><<-或,|C ．{}c x a x b x ><<-或,|D ． {}a x c x b x ><<-或,|3．不等式lgx 2＜lg 2x 的解集是 ( )A ．(1001,1) B ．(100,＋∞)C ． (1001,1)∪(100,＋∞) D ．(0,1)∪(100,＋∞)4．若不等式x 2－log a x ＜0在(0,21)内恒成立,则a 的取值范围是 () A ．161≤x ＜1 B ．161＜a ＜1C ．0＜a≤161D ．0＜a ＜1615．若不等式0≤x 2－ax ＋a≤1有唯一解,则a 的取值为 ( )A ．0B ．2C ．4D ．66．a > b > 0, 下列不等式一定成立的是 ( )A ．a +b b a 11+> B ．b ca c <C ．b ab a ba >++22 D ．b a abab b a +>>+22二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1．不等式log 2 (2x －1) ·log 2 (2x +1－2)<2的解集是_______________。
2．已知a ≥0，b≥0，a ＋b ＝1，则21+a ＋21+b 的范围是____________。
3．函数f(x)=x 1－x(0＜x≤41)的最小值为________. 4．设0≠x ，则函数1)1(2-+=xx y 在x =________时，有最小值__________。
名校高三数学理科不等式填空题强化提高训练(含答案)
高三数学理科不等式填空题强化提高训练1，则关于a 的不等式()()0422<-+-a f a f 的解集是_______. 2．已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是3．已知实数,x y 满足143x y+≤，则z x y =-的最大值是 . 4．已知在平面直角坐标系中，(0,0)O ，1(1,)2M ，(0,1)N ，(2,3)Q ，动点(,)P x y 满足不等式0OP OM ≤⋅1≤，01OP ON ≤⋅≤，则w OQ OP =⋅的最大值为________5．若不等式组50,5,02x y y kx x -+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k 的取值范是6．设变量,x y 满足5218020 30 x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为7．已知()1f x x x =-||+||，若()()g x f x a =-的零点个数不为0，则a 的最小值为 ．8．若2x >，则12x x +-的最小值为9．过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为10．已知x ，y 都在区间(0，1]内，且xy ＝13，若关于x ，y 的方程44－x ＋33－y －t ＝0有两组不同的解(x ，y )，则实数t 的取值范围是_ __ .11．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最小值时，2x y z +-的最大值为12．设实数,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数)0,0(>>+=b a b y a x z 的最大值为9，则d =ba +4的最小值为__ ___13．设实数y x ,满足(22)(42)0020x y x y x y -+--≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩,若目标函数,(0,0)m z x y m n n =+>>的最大值为10，则12m n+的最小值为14．已知函数x x x f 2)(2-=,点集}2)()(|),{(≤+=y f x f y x M ，}0)()(|),{(≥-=y f x f y x N ，则N M 所构成平面区域的面积为____ ．15．定义在R 上的函数)(x f y =是增函数，且函数)3(-=x f y 的图象关于（3，0）成中心对称，若t s ,满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≥--，当41≤≤s 时，则s s t 222-+的取值范围为___ _.16．若关于x 的不等式()2121x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是17．设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,≤ 恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b a bn am ++≤+（当且仅当α∥β，即bm an =时等号成立），己知+∈R y x ,，若k x y <+恒成立，利用可西不等式可求得实数k 的取值范围是18．函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 19．定义：{}123min ,,,,n a a a a 表示123,,,,n a a a a 中的最小值．若定义()f x ={}2min ,5,21x x x x ---，对于任意的n *∈N ，均有(1)(2)(21)(2)()f f f n f n kf n +++-+≤成立，则常数k 的取值范围是20．在A B C ∆中，已知9=⋅AC AB ，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且y x +=xy 的最大值为 ．21．已知不等式222xy ax y ≤+对于[]1,2x ∈，[]2,3y ∈恒成立，则实数a 的取值范围是___________22．已知函数f (x )＝271x ax ax ++++，a ∈R ．若对于任意的x ∈N *，f (x )≥4恒成立，则a 的取值范围是23．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧≤-≤x y a x 2,表示的平面区域的面积为4，则实数a 的值是24．函数()0ay x x x=+>有如下性质：若常数0a >，则函数在(上是减函数，在)+∞ 上是增函数.已知函数()mf x x x=+（m R ∈为常数），当()0,x ∈+∞时，若对任意x N ∈，都有()()4f x f ≥，则实数m 的取值范围是25．给定区域D ：44420x y x y x y x +≥⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定_____个不同的三角形.26．命题：“存在实数x ,满足不等式2(1)10m x mx m +-+-≤”是假命题,则实数m 的取值范围是_________ 27．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______．28．已知a b >，且1ab =，则221a b a b++-的最小值是 .29．已知集合A ＝{(x ，y )| ⎩⎨⎧x ≥12x －y ≤1}，集合B ＝{(x ，y )|3x ＋2y －m ＝0}，若A ∩B φ≠，则实数m 的最小值等于_____参考答案12．)2,1(- 3．4 4．4 5. )0,1(- 6 ．1 7．1 8．4 9．32 10．2459512≤<t 11．2 12．34 13．4 14．π2 15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-24,21 16．1-<a 或0>a 17．10 18．41<<a 19． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 20．3 21．1-≥a 22．31≥a 23．224．[]20,12 25．25 26．332>m 27 ．⎥⎦⎤⎝⎛34,1 28．32 29．5 （填空）24．（填）27.。
利用基本不等式求最值提高训练(最新整理)
利用基本不等式求最值提高训练方法总结：1、创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．2、常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．(1)a ＋≥2(a>0，且a ∈R)，当且仅当a ＝1时“＝”成立．1a(2)＋≥2(a>0，b>0，a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．b a a b(3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用对勾函数单调性法．一般地函数y ＝ax ＋，当a>0，b>0b x时函数在[－，0)，(0, ]上是减函数，在(－∞，－)，( ，＋∞)上是增函数；当a<0，b<0时，可b a b a b a b a作如下变形：y ＝－[(－ax)＋(－)]来解决最值问题．b x1、。
且且且且)0(22>+=x x x y 2、。
且且且且)210)(21(21)(<<-=x x x x f 3、。
.)2(4122且且且且>-+=x x x y 4、的最小值。
)1(11462->+++=x x x x y 5、的最大值。
)2(2122<-+-=x x x x y 6、设，求得最小值.0>>b a )(112b a a ab a -++7、且且且且且且且且y x y x R y x lg lg ,2052,,+=+∈+8、..)(log ,2,124lg 且且且且且且且且ab a a b =>9、已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( C )1a 1bab A ．2 B ．2 C ．4 D ．52解析：因为＋＋2≥2＋2＝2(＋)≥4，当且仅当＝，且＝，1a 1b ab 1ab ab 1ab ab 1a 1b 1abab 即a ＝b 时，取“＝”号．10、已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则＋的最小值是( D )1x 1yA ．2B ．433C ．2＋ D ．4＋233解析：lg2x ＋3y ＝lg2，所以x ＋3y ＝1，而＋＝(＋)(x ＋3y)＝4＋＋≥4＋2.1x 1y 1x 1y x y 3y x311、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋)(y ＋)的最小值为________．1x 1y解一：因为对a>0，恒有a ＋≥2，从而z ＝(x ＋)(y ＋)≥4，所以z 的最小值是4.1a 1x 1y解二：z ＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，所以z 的最小值是2(－1)．2＋x 2y 2－2xy xy 2xy 2xy ·xy 22【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．【正确解答】 z ＝(x ＋)(y ＋)＝xy ＋＋＋＝xy ＋＋＝＋xy －2，1x 1y 1xy y x x y 1xy x ＋y 2－2xy xy 2xy 令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤()2＝，由f(t)＝t ＋在(0，]上单调递减，故当t ＝时， f(t)＝t ＋有最小值x ＋y 2142t 14142t，所以当x ＝y ＝时z 有最小值.33412254应用基本不等式解决实际问题(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答．1、围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【分析】 (1)首先明确总费用y ＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出y 与x 的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论．【解】 (1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝，360x所以y ＝225x ＋－360(x>2)．3602x(2)∵x>2，∴225x ＋≥2＝10800.3602x225×3602∴y ＝225x ＋－360≥10440.当且仅当225x ＝时，等号成立．3602x 3602x即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．2、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如上图）。
七年级下册不等式应用题提升训练
七年级下册不等式应用题提升训练引言不等式是数学中非常重要的一个概念，它们在解决实际问题时起到了关键作用。
在七年级下册中，我们已经学习了不等式的基本理论和解题方法。
本文档将提供一些不等式应用题，以帮助同学们提升解题能力和理解不等式在实际问题中的应用。
题目一玲玲参加了一个跳绳比赛，她想知道自己最少跳了多少次才能获得全部奖励。
比赛规定：如果跳绳次数达到或超过60次，可以获得全部奖励；如果跳绳次数在30次到60次之间，可以获得一半的奖励；如果跳绳次数少于30次，没有奖励。
请问玲玲最少跳了多少次？首先，我们可以用一个变量x表示玲玲跳绳的次数。
根据题目中给出的条件，可以列出不等式： 30 <= x <= 60。
解题思路： - x的取值范围为30到60之间，因此，x的最小值为30。
所以，玲玲最少跳了30次。
题目二小明去超市买苹果和香蕉，他想知道自己买的水果数量的可能范围。
苹果每斤8元，香蕉每斤5元。
小明有70元，他希望用完这些钱。
苹果的重量范围为3到15斤，香蕉的重量范围为2到10斤。
请问小明买的水果数量的可能范围是多少？我们可以使用两个变量，分别表示苹果的重量和香蕉的重量，分别用x和y表示。
根据题目中给出的条件，可以列出以下不等式组： - 8x + 5y <= 70 - 3 <= x <= 15 - 2 <= y <= 10解题思路： - 根据第一个不等式，可以得出8x + 5y的最大值为70。
- 根据第二个和第三个不等式，可以得出x和y的最小值分别为3和2，最大值分别为15和10。
综上所述，小明买的水果数量的可能范围为3 <= x <= 15，2 <= y <= 10。
题目三某班级的期末考试成绩在80分以上可以参加团学活动，小明想知道自己是否可以参加团学活动。
他的语文成绩为85分，数学成绩为78分，请问他是否可以参加团学活动？我们可以用两个变量，分别表示小明的语文成绩和数学成绩，分别用x和y表示。
不等式提高训练
不等式提高训练题1．（2013•莘县模拟）若不等式组有解，则a的取值范是（）A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≤1 D．a＜12．（2013•吴江市模拟）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到吴江儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位儿童5盒牛奶，那么最后一位儿童分不到5盒，但至少能有2盒．则这个儿童福利院的儿童最少有（）A．28人B．29人C．30人D．31人3．（2013•潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（）A．40 B．45 C．51 D．564．（2013•天门模拟）不等式组的整数解的和（）A．0B．1C．﹣1 D．以上都不对5．（2013•松江区二模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．﹣a＞﹣b B．2a＜2b C．2﹣a＜2﹣b D．a2＞ab6．（2013•山西模拟）设一个三角形的三边长分别是3，1﹣2m，8，则m的取值范围是（）A．0＜m＜B．﹣5＜m＜﹣2 C．﹣2＜m＜5 D．＜m＜﹣17．（2013•普陀区二模）如果a＞1＞b，那么下列不等式正确的个数是（）①a﹣b＞0，②a﹣1＞1﹣b，③a﹣1＞b﹣1，④．A．1B．2C．3D．4．8．（2013•攀枝花模拟）关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣6＜a＜﹣B．﹣6≤a＜﹣C．﹣6＜a≤﹣D．﹣6≤a≤﹣9．（2013•攀枝花）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣610．（2013•莒南县一模）已知关于x的不等式组，有且只有三个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣2＜a≤﹣1 D．﹣2＜a＜﹣111．（2013•荆门）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（）A．B．m≤C．D．m≤12．（2013•拱墅区二模）已知|a﹣1|=1﹣a，若a为整数时，方程组的解x为正数，y为负数，则a的值为（）A．0或1 B．1或﹣1 C．0或﹣1 D．013．（2013•滨城区一模）若方程2x=4的解使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞7 C．a＜7 D．a＜7且a≠114．（2012•张家港市模拟）若不等式组的所有整数解的和为5，则实数a的取值范围是（）A．﹣4≤a≤﹣2 B．﹣4＜a≤﹣2 C．﹣4≤a＜﹣2 D．﹣4＜a＜﹣215．（2012•萧山区一模）已知△ABC的边长分别为2x+1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是（）A．6＜L＜36 B．10＜L≤11 C．11≤L＜36 D．10＜L＜3616．（2012•上城区二模）解关于x的不等式，正确的结论是（）A．无解B．解为全体实数C．当a＞0时无解D．当a＜0时无解17．（2012•河北区一模）实数x，y满足1≤y≤x，且2x2﹣5x+4=y（x﹣1），x+y的值为（）A．2B．3C．4D．518．（2012•杭州）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①③④19．（2012•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式：①＜；②＜；③；④＜其中不等式正确的是（）A．①③B．①④C．②④D．②③20．（2011•台湾）下图数轴上A、B、C、D、E、S、T七点的坐标分别为﹣2、﹣1、0、1、2、s、t．若数轴上有一点R，其坐标为|s﹣t+1|，则R会落在下列哪一线段上？A．A B B．B C C．C D D．D E21．（2011•深圳）已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0．下列结论不一定正确的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＜c﹣b C．D．a2＞ab＞b222．（2011•黑龙江）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（）A．4人B．5人C．6人D．5人或6人23．（2011•菏泽）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折24．（2011•杭州）若a+b=﹣2，且a≥2b，则（）A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值25．（2013•吴中区一模）对非负整数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x≤n+，那么＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…．如果＜x﹣1＞=3，则实数x的取值范围是_________．26．（2013•泉州模拟）已知ab=2．①若，则a的取值范围是_________；②若b＞0，且a2+b2=5，则a+b=_________．27．（2013•乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．给出下列关于（x）的结论：①（1.493）=1；②（2x）=2（x）；③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；⑤（x+y）=（x）+（y）；其中，正确的结论有_________（填写所有正确的序号）．28．（2013•黄冈模拟）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想获得不低于20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高_________%（保留三位有效数字）．29．（2013•河南模拟）在方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是_________．30．（2013•鄂州）若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为_________．2013年7月735902的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．（2013•莘县模拟）若不等式组有解，则a的取值范是（）A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≤1 D．a＜1考点：解一元一次不等式组．分析：首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找，确定a的取值范围是a＜1．解答：解：，由①得：x≥a，由②得：x＜1，∵不等式组有解，∴a＜1，故选：D．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确解出两个不等式的解集，掌握确定不等式组解集的规律．2．（2013•吴江市模拟）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到吴江儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位儿童5盒牛奶，那么最后一位儿童分不到5盒，但至少能有2盒．则这个儿童福利院的儿童最少有（）A．28人B．29人C．30人D．31人考点：一元一次不等式组的应用．专题：应用题．分析：首先设这个儿童福利院的儿童有x人，则有牛奶（4x+28）盒，根据关键语句“如果分给每位儿童5盒牛奶，那么最后一位儿童分得的牛奶不足5盒，但至少2盒”可得不等式组，解出不等式组后再找出符合条件的整数．解答：解：设这个儿童福利院的儿童有x人，则有牛奶（4x+28）盒，依题意得：，解得：28＜x≤31，∵x为整数，∴x最少为29，即这个儿童福利院的儿童最少有29人．故选B．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出不等式组，难度一般．3．（2013•潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（）A．40 B．45 C．51 D．56考点：一元一次不等式组的应用．专题：新定义．分析：先根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．解答：解：根据题意得：5≤＜5+1，解得：46≤x＜56，故选C．点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，求出不等式组的解集．4．（2013•天门模拟）不等式组的整数解的和（）A．0B．1C．﹣1 D．以上都不对考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解，最后求出所有整数解的和即可．解答：解：解不等式①得x≥﹣1，解不等式②得x＜1，故原不等式组的解集是﹣1≤x＜1，则原不等式组的整数解是﹣1，0．故所有整数解的和是﹣1+0=﹣1．故选C．点评：本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5．（2013•松江区二模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．﹣a＞﹣b B．2a＜2b C．2﹣a＜2﹣b D．a2＞ab考点：不等式的性质．分析：根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．解答：解：A、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故本选项错误；B、∵a＞b，∴2a＞2b，故本选项错误；C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴2﹣a＜2﹣b，故本选项正确；D、∵a＞b，∴a2不一定大于ab，故本选项错误；故选C．点评：此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6．（2013•山西模拟）设一个三角形的三边长分别是3，1﹣2m，8，则m的取值范围是（）A．0＜m＜B．﹣5＜m＜﹣2 C．﹣2＜m＜5 D．＜m＜﹣1考点：三角形三边关系；解一元一次不等式组．分析：根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和；解题关键是根据三角形的三边关系，求出1﹣2m的取值范围，再求m的取值范围．解答：解：∵8﹣3＜1﹣2m＜8+3∴5＜1﹣2m＜11∴4＜﹣2m＜10∴5＜m＜﹣2故选B．点评：考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意不等式两边都除以一个负数，不等号的方向改变．7．（2013•普陀区二模）如果a＞1＞b，那么下列不等式正确的个数是（）①a﹣b＞0，②a﹣1＞1﹣b，③a﹣1＞b﹣1，④．A．1B．2C．3D．4．考点：不等式的性质．分析：根据不等式的基本性质进行解答．解答：解：①由已知条件知a＞b，则在该不等式的两边同时减去b得到a﹣b＞0．故①正确；②由已知条件可设a=2，b=﹣1，则a﹣1=1，1﹣b=2，即a﹣1＜1﹣b，故②错误；③由已知条件知a＞b，则在该不等式的两边同时减去1得到a﹣1＞b﹣1．故③正确；④当b＜0时，．故④错误；综上所述，正确的结论有2个．故选B．点评：主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．8．（2013•攀枝花模拟）关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣6＜a＜﹣B．﹣6≤a＜﹣C．﹣6＜a≤﹣D．﹣6≤a≤﹣考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先解x的不等式组，然后根据整数解的个数确定a的取值范围．解答：解：不等式组，解得：，∵不等式组只有5个整数解，即解只能是x=15，16，17，18，19，∴a的取值范围是：，解得：﹣6＜a≤﹣．故选C．点评：本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解确定关于a的不等式组．9．（2013•攀枝花）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；解二元一次方程组；解一元一次不等式．分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．解答：解：根据题意得：，解得：，则6﹣m＜0，解得：m＞6．故选A．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．（2013•莒南县一模）已知关于x的不等式组，有且只有三个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣2＜a≤﹣1 D．﹣2＜a＜﹣1考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出5＜7+a≤6即可．解答：解；由得；2＜x＜7+a，∵有且只有三个整数解，∴x=3或4或5，∴7+a的取值范围是5＜7+a≤6，∴a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1，故选：C．点评：此题考查了不等式的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．11．（2013•荆门）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（）A．B．m≤C．D．m≤考点：解一元一次不等式组．分析：先求出两个不等式的解集，再根据有解列出不等式组求解即可．解答：解：，解不等式①得，x＜2m，解不等式②得，x＞2﹣m，∵不等式组有解，∴2m＞2﹣m，∴m＞．故选C．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．12．（2013•拱墅区二模）已知|a﹣1|=1﹣a，若a为整数时，方程组的解x为正数，y为负数，则a的值为（）A．0或1 B．1或﹣1 C．0或﹣1 D．0考点：二元一次方程组的解；一元一次不等式组的整数解．分析：首先解关于x的不等式组，求得x，y的值，根据x是正数，y是负数求得a的范围，根据a是整数即可求得a的值．解答：解：解方程组，得：，则，解得：a＞﹣，由|a﹣1|=1﹣a得：1﹣a≥0，解得：a≤1．则﹣＜a≤1．则a=0或1．故选A．点评：能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．13．（2013•滨城区一模）若方程2x=4的解使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞7 C．a＜7 D．a＜7且a≠1考点：不等式的解集．分析：先求出方程2x=4的解，再根据不等式（a﹣1）x＜a+5用a表示出x的取值范围，即可求出a的取值范围．解答：解：解方程2x=4得：x=2，∵（a﹣1）x＜a+5，当a﹣1＞0时，x＜，∴＞2，∴1＜a＜7．当a﹣1＜0时，x＞，∴＜2，∴a＜1．则a的取值范围是a＜7且a≠1．故选D．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意得到关于a的不等式是解此题的关键．14．（2012•张家港市模拟）若不等式组的所有整数解的和为5，则实数a的取值范围是（）A．﹣4≤a≤﹣2 B．﹣4＜a≤﹣2 C．﹣4≤a＜﹣2 D．﹣4＜a＜﹣2考点：一元一次不等式组的整数解．专题：计算题．分析：求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，根据所有整数解和为5，确定出不等式组的整数解，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．解答：解：，由①移项得：x﹣2x＜2，合并得：﹣x＜2，解得：x＞﹣2，由②去分母得：a+2x＜4，移项得：2x＜4﹣a，解得：x＜2﹣，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜2﹣，又不等式组的所有整数解和为5，∴整数解为﹣1，0，1，2，3，∴3＜2﹣≤4，解得：﹣4≤a＜﹣2．故选C点评：此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．列出关于a的不等式是解本题的关键．15．（2012•萧山区一模）已知△ABC的边长分别为2x+1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是（）A．6＜L＜36 B．10＜L≤11 C．11≤L＜36 D．10＜L＜36考点：三角形三边关系；一元一次不等式组的应用．专题：计算题．分析：根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组求出x的取值范围，再根据三角形的周长定义求解即可．解答：解：根据三角形的三边关系可得，解不等式①得，x＞，解不等式②得，x＜6，所以，x的取值范围是＜x＜6，L=2x+1+3x+5=5x+6，所以，10＜L＜36．故选D．点评：本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，根据三边关系列出不等式组求出x的取值范围是解题的关键．16．（2012•上城区二模）解关于x的不等式，正确的结论是（）A．无解B．解为全体实数C．当a＞0时无解D．当a＜0时无解考点：不等式的解集．专题：计算题．分析：根据两不等根据两不等式，大大取大，小小取小，大小中间找的规律进行讨论即可．解答：解：根据题意可得：①当a≥0时，无解．②当a＜0时解为a＜x＜﹣a．所以，当a≥0时，无解或当a＜0时解为a＜x＜﹣a．故选C．点评：本题考查不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17．（2012•河北区一模）实数x，y满足1≤y≤x，且2x2﹣5x+4=y（x﹣1），x+y的值为（）A．2B．3C．4D．5考点：一元一次不等式的应用．分析：根据1≤y≤x，求出不等式（x﹣1）y≤（x﹣1）x，推出2x2﹣5x+4≤（x﹣1）x，得出（x﹣2）2≤0，求出x的值；再将x代入2x2﹣5x+4=y（x﹣1），便可求出y的值．解答：解：∵2x2﹣5x+4=y（x﹣1），∴2x2﹣xy﹣5x+y+4=0，∵1≤y≤x，∴x﹣1≥0，y≤x，∴（x﹣1）y≤（x﹣1）x则2x2﹣5x+4=（x﹣1）y≤（x﹣1）x，2x2﹣5x+4≤（x﹣1）x，即（x﹣2）2≤0，∴x=2，把x=2代入2x2﹣5x+4=y（x﹣1）得y=2．∴x+y=4故选C点评：解决本题的关键是利用“放缩法”把所给的等式转化为关于x的不等式来解答，非负数的性质的应用也是必不可少的条件．18．（2012•杭州）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①③④考点：二元一次方程组的解；解一元一次不等式组．分析：解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断．解答：解：解方程组，得，∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4，①不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x，y的值互为相反数，结论正确；③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a两边相等，结论正确；④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，故当x≤1时，且﹣3≤a≤1，∴﹣3≤a≤0∴1≤1﹣a≤4∴1≤y≤4结论正确，故选C．点评：本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组．关键是根据条件，求出x、y的表达式及x、y的取值范围．19．（2012•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式：①＜；②＜；③；④＜其中不等式正确的是（）A．①③B．①④C．②④D．②③考点：不等式的性质．专题：计算题．分析：由＜，a、b、c、d都是正实数，根据不等式不等式的性质不等式都乘以bd得到ad＜bc，然后两边都加上ac得到ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），然后两边都除以（c+d）（a+b）得到＜，得到①正确，②不正确；同理可得到＜，则③正确，④不正确．解答：解：∵＜，a、b、c、d都是正实数，∴ad＜bc，∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），∴＜，所以①正确，②不正确；∵＜，a、b、c、d都是正实数，∴ad＜bc，∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c），∴＜，所以③正确，④不正确．故选A．点评：本题考查了不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．20．（2011•台湾）下图数轴上A、B、C、D、E、S、T七点的坐标分别为﹣2、﹣1、0、1、2、s、t．若数轴上有一点R，其坐标为|s﹣t+1|，则R会落在下列哪一线段上？A．A B B．B C C．C D D．D E考点：数轴；解一元一次不等式．专题：探究型．分析：先找出s、t值的范围，再利用不等式概念求出s﹣t+1值的范围，进而可求出答案．解答：解：由图可知﹣1＜s＜t＜0，∴﹣1＜s﹣t＜0，∴s﹣t+1＜1，∴0＜|s﹣t+1|＜1，即R点会落在CD上，故选C．点评：本题考查的是数轴与解一元一次不等式，根据数轴的特点求出s、t值的范围是解答此题的关键．21．（2011•深圳）已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0．下列结论不一定正确的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＜c﹣b C．D．a2＞ab＞b2考点：不等式的性质．专题：计算题．分析：根据不等式的性质1，不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；根据不等式的性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；根据不等式的性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；利用不等式的3个性质进行分析．解答：解：A，根据不等式的性质一，不等式两边同时加上c，不等号的方向不变，故此选项正确；B，∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴﹣a+c＜﹣b+c，故此选项正确；C，∵c≠0，∴c2＞0，∵a＞b．∴，故此选项正确；D，∵a＞b，a不知正数还是负数，∴a2，与ab，的大小不能确定，故此选项错误；故选：D点评：此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是做题的关键，此题比较基础．22．（2011•黑龙江）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（）A．4人B．5人C．6人D．5人或6人考点：一元一次不等式组的应用．分析：根据每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本，得出3x+8≥5（x﹣1），且5（x﹣1）+3＞3x+8，分别求出即可．解答：解：假设共有学生x人，根据题意得出：5（x﹣1）+3＞3x+8≥5（x﹣1），解得：5＜x≤6.5．故选：C．点评：此题主要考查了不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键．23．（2011•菏泽）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折考点：一元一次不等式的应用．分析：本题可设打x折，根据保持利润率不低于5%，可列出不等式：1200x×0.1≥800（1+0.05），解出x的值即可得出打的折数．解答：解：设可打x折，则有1200x×0.1≥800（1+0.05）120x≥840x≥7故选B点评：本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时要注意要乘以0.1．24．（2011•杭州）若a+b=﹣2，且a≥2b，则（）A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值考点：不等式的性质．专题：计算题．分析：由已知条件，根据不等式的性质求得b≤﹣＜0和a≥﹣；然后根据不等式的基本性质求得≤2 和当a＞0时，＜0；当﹣≤a＜0时，≥；据此作出选择即可．解答：解：∵a+b=﹣2，∴a=﹣b﹣2，b=﹣2﹣a，又∵a≥2b，∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a，移项，得﹣3b≥2，3a≥﹣4，解得，b≤﹣＜0（不等式的两边同时除以﹣3，不等号的方向发生改变），a≥﹣；由a≥2b，得≤2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）；A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误；B、当﹣≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；C、有最大值2；故本选项正确；D、无最小值；故本选项错误．故选C．点评：主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．二．填空题（共6小题）25．（2013•吴中区一模）对非负整数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x≤n+，那么＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…．如果＜x﹣1＞=3，则实数x的取值范围是≤x＜．考点：一元一次不等式组的应用．专题：新定义．分析：根据题意可看出对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，所以看看四舍五入后，个位数就是要求的值．近似数值到3的范围是2.5到3.5的范围，包括2.5不包括3.5，可列不等式组求解．解答：解：依题意有，解得≤x＜．故答案为：≤x＜．点评：本题考查理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．26．（2013•泉州模拟）已知ab=2．①若，则a的取值范围是﹣2≤a≤﹣；②若b＞0，且a2+b2=5，则a+b=3．考点：完全平方公式；不等式的性质．专题：计算题．分析：①利用不等式的性质由ab=2得到=，再代入得a的不等式组，然后解不等式组即可；②根据完全平方公式得到（a+b）2=a2+2ab+b2，再把ab=2，a2+b2=5得（a+b）2=9，由于b＞0，则a＞0，利用算术平方根的定义即可得到a+b的值．解答：解：①∵ab=2，∴=，而，∴﹣1≤≤﹣，∴﹣2≤a≤﹣；②∵（a+b）2=a2+2ab+b2，而ab=2，a2+b2=5，∴（a+b）2=5+2×2=9，∵b＞0，∴a+b==3．故答案为﹣2≤a≤﹣；3．点评：本题考查了完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．也考查了不等式的性质．27．（2013•乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．给出下列关于（x）的结论：①（1.493）=1；②（2x）=2（x）；③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；⑤（x+y）=（x）+（y）；其中，正确的结论有①③④（填写所有正确的序号）．考点：一元一次不等式组的应用．专题：新定义．分析：对于①可直接判断，②、⑤可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等式判断．解答：解：①（1.493）=1，正确；②（2x）≠2（x），例如当x=0.3时，（2x）=1，2（x）=0，故②错误；③若（）=4，则4﹣≤x﹣1＜4+，解得：9≤x＜11，④m为整数，不影响“四舍五入”，故（m+2013x）=m+（2013x），故④正确；⑤（x+y）≠（x）+（y），例如x=0.3，y=0.4时，（x+y）=1，（x）+（y）=0，故⑤错误；综上可得①③④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查了理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．28．（2013•黄冈模拟）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想获得不低于20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%（保留三位有效数字）．考点：一元一次不等式的应用．分析：缺少质量和进价，应设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ay元，但在售出时，只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a×（1+x）y元，根据公式×100%=利润率可列出不等式，解不等式即可．解答：解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：×100%≥20%，解得：x≥，∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高≈33.4%．故答案为：33.4．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，设出必要的未知数，表示出售价，售货款，进货款，利润．注意再解出结果后，要考虑实际问题，利用收尾法，不能用四舍五入．29．（2013•河南模拟）在方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是m＜3．考点：解二元一次方程组；解一元一次不等式．分析：将方程组中两方程相加，便可得到关于x+y的方程，再根据x+y＞0，即可求出m的取值范围．解答：解：（1）+（2）得，（2x+y）+（x+2y）=（1﹣m）+2，即3x+3y=3﹣m，可得x+y=，∵x+y＞0，即＞0，故m＜3．点评：此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意x+y＞0，则解出x，y关于m的式子，最终求出m的取值范围．30．（2013•鄂州）若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为x＞．考点：解一元一次不等式组；不等式的解集；解一元一次不等式．分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可求出a b的值，代入求出不等式的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x≥，解不等式②得：x≤﹣a，∴不等式组的解集为：≤x≤﹣a，∵不等式组的解集为3≤x≤4，∴=3，﹣a=4，b=6，a=﹣4，∴﹣4x+6＜0，x＞，故答案为：x＞点评：本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式组的解集求出a b的值．。
9-2一元一次不等式 自主提升训练题
2022-2023学年人教版七年级数学下册《9.2一元一次不等式》自主提升训练题（附答案）一．选择题1．不等式4（x﹣1）≤3x﹣2的非负整数解的个数是（）A．0B．1C．2D．32．已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（）A．0＜m＜2B．0≤m＜2C．0＜m≤2D．0≤m≤23．如果不等式3x﹣m≤0的正整数解为1，2，3，则m的取值范围是（）A．9≤m＜12B．9＜m＜12C．m＜12D．m≥94．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40%B．33.4%C．33.3%D．30%5．甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱，赔钱的原因是（）A．a＞b B．a＝bC．a＜b D．与a、b大小无关6．某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A．10B．9C．8D．77．已知x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，则关于x的不等式k（x﹣3）+2b＞0的解集是（）A．x＞11B．x＜11C．x＞7D．x＜78．把一些书分给几名同学，若每人分10本，则多8本；若每人分11本，仍有剩余．依题意，设有x名同学，可列不等式（）A．10x+8＞11x B．10x+8＜11xC．10（x+8）＞11x D．10（x+8）＜11x9．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①a＝5时方程组的解为；②当时，方程组的解x，y的值相等；③不论a取何值，方程组的解x，y的值至少有一个是负数，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．已知关于x，y的方程组的解满足3x﹣1＜y，则m的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题11．请用不等式表示“x的2倍与3的和大于1”：．12．写出不等式5x+3＜3（2+x）所有的非负整数解．13．在实数范围内规定新运算“△”其规则是：a△b＝a+b﹣1，则x△（x﹣2）＞3的解集为．14．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为cm．15．已知实数x、y满足2x﹣3y＝4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k＝x﹣y，则k的取值范围是．16．某商品的进价是200元，标价为300元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打折出售此商品．17．2022年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm．三．解答题18．解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．19．已知关于x的方程x﹣1的解比关于x的方程2[x﹣2（4﹣2a）]＝（x+a）的解小2，求a的值．20．已知x，y满足方程组且x+y＜0．（1）试用含m的式子表示方程组的解；（2）求实数m的取值范围；（3）化简|m+|﹣|2﹣m|．21．阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：∵|x|＜3，从如图①所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值是小于3的，∴|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；∵|x|＞3，从如图②所示的数轴上看：小大于﹣3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，∴|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．解答下面的问题：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为．（2）解不等式：|x﹣5|＜3；（3）解不等式：|x﹣3|＞5．22．某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：A B载客量（人/辆）4530租金（元/辆）400280红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：（1）用含x的式子填写下表：车辆数（辆）载客量租金（元）A x45x400xB5﹣x（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．。
初中数学一元一次不等式(组)单元综合课后能力提升培优训练题1(附答案)
初中数学一元一次不等式（组）单元综合课后能力提升培优训练题1（附答案）1．下列不等式对任何实数x 都成立的是( )A ．x+1>0B ．x 2+1>0C ．x 2+1<0D ．∣x ∣+1<02．在下列式子中，不是不等式的是（ ）A ．2x ＜1B ．x≠﹣2C ．4x+5＞0D ．a=33．下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y ＜0；（3）x=3；（4）x≠y ；（5）x+y ；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．若关于x 的不等式组221x m x m ->⎧⎨-<-⎩无解，则m 的取值范围（ ） A ．m ＞3 B ．m ＜3 C ．m ≤3 D ．m ≥35．x 取哪些整数时，2≤2x -8<7成立（ ）A ．3,4,5；B ．4,5,6；C ．5,6,7；D ．6,7,8. 6．不等式组315247x x x -≥⎧⎨+〈+⎩的解集为（ ） A ．x≥2 B ．x ＜3 C ．2≤x ＜3 D ．x ＞37．若a 、b 是有理数，则下列说法正确的是（ ）A ．若a 2＞b 2 ，则a ＞bB ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ．若|a|＞b ，则a 2＞b 2D ．若|a|≠|b|，则a 2≠b 28．若数a 使关于x 的不等式组()363512x x x a x -⎧-⎪⎨⎪+≥-⎩＜，有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程322a y y y --++=2有整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．50 B ．﹣20 C ．20 D ．－509．甲、乙两人从A 地出发同向而行，乙以每小时5千米的速度步行，比甲先出发2小时，如果甲骑车在半小时内赶上乙，那么甲的速度应该是 （ ）A ．20 k/hB ．22 km/hC ．24 km/hD ．26 km/h10．若a ＞b ，则下列不等式中错误的是( )A ．77a bB ．－(－a )＞－(－b )C ．a －2＞b －2D ．－2a+1＞－2b+111．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有﹣个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x 人，则可列不等式为（ ）A ．8（x ﹣1）＜5x+12＜8B ．0＜5x+12＜8xC ．0＜5x+12﹣8（x ﹣1）＜8D ．8x ＜5x+12＜812．不等式3x+2≥5的解集是（ ）A ．x≥1B ．x≥73C ．x≤1D ．x≤﹣113．一个矩形，两边长分别为xcm 和10cm ，如果它的周长小于80cm ，面积大于100cm 2，则x 的取值范围是__．14．如果a<b ，那么3-2a_______3-2b.15．不等式组201322x x -<⎧⎪⎨-≤⎪⎩的非负整数解是_________ 16．不等式组21320x x +>-⎧⎨-+≥⎩的整数解分别是____________． 17．若3(2)27m m x --+≤是关于x 的一元一次不等式，则m =_________.18．当时k ______时，不等式1(2)20k k x --+> 是一元一次不等式19．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 种购买方案.20．不等式组31211x x -<⎧⎨--<⎩的解集是______ ． 21．不等式2x+4>0的解集是________．22．关于x 的方程53?(1)x m x -=+解为非负数，则m 的取值范围是__________． 23．已知不等式组x 12a x-b 1+⎧⎨⎩＜＞的解集是2＜x ＜3，则关于x 的方程ax+b=0的解为________。
一元二次不等式专项训练
一元二次不等式专项训练
一、训练目标
通过本次训练，希望同学们能够熟练掌握一元二次不等式的解法，理解并掌握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的实数根之间的关系，提高数学解题能力。
二、训练内容
1. 一元二次不等式的形式及其解法
例题：解不等式2x²- 4x + 1 ≤0
【分析】
先计算出方程2x\textsuperscript{2}−4x+1=0的根为x=−1，再根据一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的实数根之间的关系，得出原不等式的解集为[−1，12]。
【解答】
解：∵方程2x\textsuperscript{2}−4x+1=0的根为x=−1，
∴原不等式的解集为[−1，12]。
2. 一元二次不等式的解法与应用
例题：解不等式x\textsuperscript{2}+2x−3>0
【分析】
先分解因式，再根据相应一元二次方程的实数根之间的关系，得出原不等式的解集。
【解答】
解：∵x\textsuperscript{2}+2x−3>0，
∴(x+3)(x−1)>0，
∴x>1或x<−3，
即原不等式的解集为(−∞，−3)∪(1，+∞)。
三、解题总结与技巧点拨
在解一元二次不等式时，要正确运用一元二次不等式的解法与相应一元二次方程的实数根之间的关系。
解题时要注意以下几点：
(1)准确计算出相应一元二次方程的根；
(2)正确将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组；
(3)注意不等式的解集在数轴上的表示方法。
一元二次不等式提高训练题
1.不等式()()120x x --≥的解集是（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或2.若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ） A ．1a x a << B ．1x a a << C ．x a <或1x a > D ．1x a <或x a > 3.设()21f x x bx =++，且()()13f f -=，则()0f x >的解集是（ ）A 、()(),13,-∞-+∞B ．RC ．{}1x x ≠D ．{}1x x =4.若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．_5.不等式30x x +≥的解集为____________________．6.不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．7.()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =____ 8.若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）．A ． 4-≤m 或4≥mB ． 45-≤<-mC ．45-≤≤-mD ． 25-<<-m9．不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（ ）A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞10．已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．11.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________． 12.不等式0212<-+x x 的解集是__________________。
人教A版高中数学必修一提升训练2.2 基本不等式(解析版)
2.2 基本不等式1. 利用基本不等式比较大小;2. 变形技巧:“1”的代换;3. 证明不等式;4. 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法;5. 求参数的取值范围问题;6.求最大（小）值;7.均值不等式在实际问题中的应用一、单选题1．（2020·浙江高一单元测试）若0a <b <,则下列结论中不恒成立的是（ ）A ．a b >B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-【正确答案】D 【详细解析】因为0a <b <,所以0->->a b 所以a b >,11a b -<-即11a b>,故A,B 正确. 因为()20a b -≥,所以222a b ab +≥,所以222a b ab +>故C 正确.当 2,1a b =-=-时, +<-a b 故D 错误. 故选:D2．（2020·全国高一课时练习）若0a b << ,则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2a ba b +>>> B ．2a bb a +>>>C ．2a bb a +>>> D ．2a bb a +>>>【正确答案】C 【详细解析】因为0a b <<,所以2b a b >+,又由基本不等式可得:2a b +>所以2a bb +>>,又2ab a >,a >,因此2a bb a +>>>. 故选:C.3．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中高一期末）已知x,y ＞0且x+4y=1,则11x y+的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【正确答案】B 【详细解析】0x y ，＞ 且41x y += ,∴11114 4?1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+（）（）．当且仅当1136x y ，==时,等号成立． ∴11x y+的最小值为9． 故选:B ．4．（2020·浙江高一单元测试）如图,某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场详细分析每辆客车营运的总利润y （单位:10万元）与营运年数x （x ∈N ）为二次函数关系,若使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年【正确答案】C 【详细解析】可设y=a( x －6)2+11,又曲线过( 4,7),∴7=a( 4－6)2+11 ∴a=－1． 即y=－x 2+12x －25,∴=12－( x+)≤12－2=2,当且仅当x=5时取等号. 故选C ．5．（2020·浙江鄞州·宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >,0b >,11111a b +=++,则2+a b 的最小值是（ ）A ．B ．C ．3D ．2【正确答案】B 【详细解析】 ∵0a >,0b >,11111a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)]()3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++⋅+-=+++-++++≥当且仅当2(1)111b a a b ++=++,即a =2b =时取等号.故选B6．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立,则实数a 的最小值为 （ ） A ．1B ．52C ．2D ．32【正确答案】D 【详细解析】 设2()2f x x x a=+-,,0x a x a >∴->,227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立,需min ()7f x ≥, 22()22()222242f x x x a a a a x a x a=+=-++≥⨯+=+--,当且仅当11x a x a -==-,即1x a =+时等号成立, 3427,2a a ∴+≥≥.故选:D.7．（2020·广西兴宁·南宁三中高一期末）已知0a >,0b >,1ab =,且1m b a =+,1n a b=+,则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B 【详细解析】 由1ab =知,12m b b a =+=,12n a a b=+=,∴()24m n a b +=+≥=,当且仅当1a b ==时取等号. 故m n +的最小值为4 故选:B8．（2020·皇姑·辽宁实验中学高三其他（文））已知实数,x y 满足221x xy y -+=,则x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B 【详细解析】原式可化为:22()1313()2x y x y xy ++=+≤+,解得22x y -≤+≤,当且仅当1x y ==时成立．所以选B. 9．（2020·河南高二期末（理））设,,a b c 为任意正数．则111,,a b c b c a+++这三个数（ ）A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【正确答案】C 【详细解析】假设三个数均小于2,即1112,2,2a b c b c a +<+<+<,故1116a b c a b c+++++<,而1116a b c a b c +++++≥=, 当1a b c ===时等号成立,这与1116a b c a b c+++++<矛盾, 故假设不成立,故至少有一个不小于2,C 正确;取2a b c ===,计算排除BD;取1a b c ===,计算排除A. 故选:C.10．（2020·浙江金华·高一期末）已知x ,0y >,则41x y x y+++的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．【正确答案】B 【详细解析】因为x ,0y >,由基本不等式可得,416x y x y +++≥=,当且仅当2,1x y ==时等号成立．故选:B ． 二、多选题11．（2020·浙江高一单元测试）已知函数11(0)y x x x=++<,则该函数的（ ）． A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．没有最小值 D ．最大值为1-【正确答案】CD 【详细解析】0x <,∴函数111()12(11()y x x x x x ⎡⎤=++=--++--=-⎢⎥-⎣⎦,当且仅当1x =-时取等号,∴该函数有最大值1-．无最小值．故选:CD ．12．（2020·海南高二期末）已知实数a 、b 满足0a b >>,则下列不等式一定成立的有（ ） A ．22a b < B ．a b -<- C ．2b aa b+> D ．a b ab +>【正确答案】BC 【详细解析】因为0a b >>,于是22a b >,A 项不成立; 由0a b >>得a b -<-,B 项正确;由基本不等式可知2b a a b +≥=,因为a b ,所以等号取不到,所以C 项正确;当3a =,2b =时,D 项不成立. 故选:BC.13．（2020·山东德州·高三二模）若正实数a ,b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值12【正确答案】AB 【详细解析】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B, 22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb +=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选:AB14．（2019·山东泰山·泰安一中高一期中）设0a >,0b >,给出下列不等式恒成立的是（ ）. A ．21a a +> B ．296a a +> C ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】ACD 【详细解析】 设0a >,0b >,22131024a a a ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭,A 成立,2296(3)0a a a +-=-,B 不成立()111124b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭,当且仅当b a a b =即a b =时取等号,故C 成立,12a a +,12b b +,114a b a b ⎛⎫⎛⎫∴++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1a a =,1b b =即1a b ==时取等号,故D 成立,故选:ACD ． 三、填空题15．（2020·浙江高一单元测试）已知04x <<,则414x x+-的最小值为______．【正确答案】94． 【详细解析】用“1”的代换法配凑出定值,然后用基本不等式得最小值．4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 当且仅当4(4)4x x x x -=-,解得1288,3x x ==, 又因为04x <<,所以83x =时等号成立．故正确答案为:94．16．（2020·全国高一）若0, 0a >b >,则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件 【正确答案】充分不必要 【详细解析】当0,0a b >>时,由基本不等式,可得a b +≥,当4a b +≤时,有4a b ≤+≤,解得4ab ≤,充分性是成立的; 例如:当1,4a b ==时,满足4ab ≤,但此时=5>4a+b ,必要性不成立, 综上所述,“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故正确答案为充分不必要条件.17．（2020·全国高一）若实数x ,y 满足xy =1,则x 2+4y 2的最小值为______． 【正确答案】4 【详细解析】 若实数,x y 满足1xy=,则2242244x y x y xy +≥⋅⋅==,当且仅当2x y ==,上式取得最小值4 故正确答案为:4 四、双空题18．（2019·全国高一课时练习）若1x >,则1141x x ++-的最小值是______,此时x =______.【正确答案】9 32【详细解析】因为1x >,即10x ->所以1114=4(1)545911x x x x ++-++≥+=-- 当且仅当14(1)1x x -=-即32x =时取等号．故第一空填9,第二空填3219．（2020·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗）,要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的宽为________m ;高为________m . 【正确答案】323 【详细解析】设窗户的宽为x ,则其高为62x -,要使阳光充足,只要面积最大,()()()23962232[]22x x S x x x x +-=-=-≤⨯=,当且仅当32x =时等号成立,这时高为3m .故正确答案为:( 1).32( 2). 3 用基本不等式求最值问题:已知0,0x y >>,则:( 1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x y =时,x y +有最小值是.( 简记:积定和最小)( 2)如果和x y +是定值p ,那么当且仅当x y =时,xy 有最大值是24p .( 简记:和定积最大)20．（2020·浙江金华·高一期中）已知正数a ,b 满足a +b =1,则1b a b+的最小值等于__________ ,此时a =____________. 【正确答案】3 12【详细解析】根据题意,正数a 、b 满足1a b +=,则1113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=, 当且仅当12a b ==时,等号成立,故1b a b+的最小值为3,此时12a =.故正确答案为:3;12.21．（2017·北京人大附中高一期中）已知正数x 、y 满足1x y +=,则: （1）22xy +的最小值为________．（2）若14a x y+>恒成立,则实数a 的取值范围是______． 【正确答案】12(),9-∞ 【详细解析】( 1)因为正数x ､y 满足1x y +=,所以21()24x y xy +≤=,当且仅当12x y ==时取等号, 所以2221()2122x y x y xy xy =+-=-≥+;( 2)因为正数x ､y 满足1x y +=,14144()()1459x y x y x y x y y x∴+=++=+++≥+=, 当且仅当4x y y x =,即12,33x y ==时取等号, 所以9a <;故正确答案为:()1;,92-∞ 五、参考解答题22．（2020·全国高一课时练习）已知a ,b ,c 为任意实数,求证:222a b c ab bc ca ++++． 【正确答案】见详细解析 【详细解析】∵222a b ab +,22222,2b c bc c a ca ++,∴()22222()a b cab bc ca ++++．即222a b c ab bc ca ++++．当且仅当a b c ==时,等号成立． 23．（2020·全国）设a ,b ,c 都是正数,求证:bc ca aba b c a b c++++．【正确答案】详见详细解析 【详细解析】证明:∵a ,b ,c 都是正数, ∴由重要不等式可得:2bc ca c a b +≥=①,当且仅当bc ac a b =时等号成立,即a b =;2bc ab b a c +≥=②,当且仅当bc ab a c =时等号成立,即a c =;2ac ab a b c +≥③,当且仅当ac ab b c =时等号成立,即b c =; ∴①+②+③得: 22()bc ca ab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭ ∴bc ca ab a b c a b c++++;当且仅当a b c ==时等号成立. 24．（2020·全国高一课时练习）已知a >0,b >0,a ＋b ＝1,求证:11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【正确答案】证明见详细解析 【详细解析】证明:法一:因为a >0,b >0,a ＋b ＝1, 所以1＋1a ＝1＋ab a +＝2＋b a ,同理1＋1b ＝2＋a b, 故11112252549b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号）. 法二:111111211111a b a b a b ab ab ab ab+⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因为a ,b 为正数,a ＋b ＝1,所以ab ≤2124a b +⎛⎫= ⎪⎝⎭,于是14ab ≥,28ab ≥,因此1111189a b ⎛⎫⎛⎫++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号）. 25．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?【正确答案】矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .【详细解析】设矩形菜园的长为m x ,宽为m y ,则100xy =,篱笆的长为()2x y m +.由基本不等式可得()2240x y +≥⨯=,当且仅当10x y ==时,等号成立,因此,这个矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .26．（2020·浙江高一单元测试）(1)已知x >3,求y =x +4x−3的最小值,并求取到最小值时x 的值;(2)已知x >0,y >0,x 2+y 3=2,求xy 的最大值,并求取到最大值时x 、y 的值．【正确答案】(1)当x =5时,y 的最小值为7．(2) x =2,y =3时,xy 的最大值为6．【详细解析】(1)已知x >3,则:x −3>0,故:y =x +4x−3=x −3+4x−3+3≥2√(x −3)4(x−3)+3=7,当且仅当:x −3=4x−3,解得:x =5,即:当x =5时,y 的最小值为7．(2)已知x >0,y >0,x 2+y 3=2,则:x 2+y 3≥2√xy 6, 解得:xy ≤6,即:x 2=y 3=1,解得:x =2,y =3时,xy 的最大值为6．27．（2020·浙江高一单元测试）已知0,0x y >>且191x y +=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．【正确答案】16m .【详细解析】 由191x y +=,则19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭910x y y x =++910216y +=． 当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16． 若x y m +恒成立,则16m ．。
基本不等式(提升)专题训练
基本不等式(提升)专题训练全国名校高考数学复优质专题、学案汇编（附详解）巩固练】1.设$a>1$，$0<b<1$，则$log_a b+log_b a$的取值范围为（）A．$\left[2,+\infty\right)$B．$\left(2,+\infty\right)$C．$\left(-\infty,-2\right)$D．$\left(-\infty,-2\right]$2.设$x>0$，$P=2x+2-x$，$Q=\left(\sin x+\cos x\right)^2$，则（）A．$P\geq Q$B．$P\leq Q$C．$P>Q$D．$P<Q$3.命题$p$：若$a$，$b\in R$，则$|a|+|b|>1$是$|a+b|>1$的充分而不必要条件。
命题$q$：函数$y=x-1-2$的定义域是$\left(-\infty,-1\right]\cup\left[3,+\infty\right)$。
则（）A．“$p$或$q$”为假B．“$p$且$q$”为真C．$p$真$q$假D．$p$假$q$真4.如果$a$，$b$，$c$满足$c<b<a$，且$ac<0$，那么下列选项中不一定成立的是（）A．$ab>ac$B．$c(b-a)>0$XXX<ab^2$D．$ac(a-c)<0$5.若$|a-c|<|b|$（$a$，$b$，$c$均为不等于零的实数），则下列不等式成立的是（）A．$a<b+c$B．$a>c-b$C．$|a|<|b|+|c|$D．$|a|>|b|-|c|$6.设$p+q=1$，$p>0$，$q>0$，则不等式$log_x\left(pq\right)<1$成立的一个充分条件是（）A．$0<x<\dfrac{1}{2}$B．$\dfrac{1}{2}<x<1$C．$1<x<2$D．$x>2$7.设$x$，$y\in R^+$且$x+2y=4$，则$\lg x+\lg y$的最大值是（）A．$-\lg 2$XXX 2$C．$2\lg 2$D．$2$8.设$a>0$，$b>0$，则以下不等式中不恒成立的是（）A．$(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\geq 4$B．$a^3+b^3\geq 2ab^2$C．$a^2+b^2+2\geq 2a+2b$D．$a-b\geq a^2b^2$9.设$0<x<1$，$a$，$b$为正常数，则$\dfrac{x}{1-x}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)$的最小值为（）A．$4ab$B．$2\left(a^2+b^2\right)$C．$\left(a+b\right)^2$D．$\left(a-b\right)^2$10.设$a\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$，则$x+y$的最小值为_________11.设$x$，$y\in R^+$且$xy-(x+y)>0$，则下列不等式中正确的是（）A．$x^2+y^2\geq 2xy$B．$x^2+y^2<2xy$C．$x+y<2\sqrt{xy}$D．$x+y>2\sqrt{xy}$12.若$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}<0$，已知下列不等式：①$a+b<ab$②$|a|>|b|$③$a<b$④$\sqrt{ab}>2$。
新教材人教B版高中数学必修第一册第二章 等式与不等式 练习(2)(解析版)
第二章 等式与不等式提升训练一、选择题1．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式中不一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0【答案】C【解析】由c <b <a 且ac <0，知a >0，c <0，而b 的取值不确定，当b ＝0时，C 不成立．2．若a >0，b >0，且a 2＋3b 2＝6，则ab 的最大值为( )A ．1 B.2 C. 3D ．2 【答案】C【解析】因为6＝a 2＋3b 2≥23ab ，所以ab ≤3，当且仅当a 2＝3b 2，即a ＝3，b ＝1时等号成立，故选C.3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <QB ．P ＝QC ．P ≥QD ．P ≤Q 【答案】C【解析】因为m >1，所以P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2（m －1）·4m －1＋1＝5＝Q ，当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立，故选C.4．不等式1＋x >11－x的解集为( ) A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x >1或x ＝0} 【答案】C【解析】不等式可化为1＋x －11－x >0，通分得－x 21－x >0，即x 2x －1>0， 因为x 2>0，所以x －1>0，即x >1.故选C.5．下列命题中，一定正确的是( )A ．若a >b 且1a >1b，则a >0，b <0 B ．若a >b ，b ≠0，则a b >1C ．若a >b 且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b 且ac >bd ，则c >d【答案】A【解析】A 正确，若ab >0，则a >b 与1a >1b 不能同时成立；B 错，如取a ＝1，b ＝－1时，有a b ＝－1<1；C 错，如a ＝5，b ＝1，c ＝1，d ＝2时，有a ＋c >b ＋d ，c <d ；D 错，取a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，令c ＝－3，d ＝－1，有ac >bd ，c <d .6．不等式14－5x －x 2<0的解集为( )A ．{x |－7<x <2}B ．{x |x <－7或x >2}C ．{x |x >2}D ．{x |x <－7} 【答案】B【解析】原不等式等价于x 2＋5x －14>0，所以(x ＋7)·(x －2)>0，即x <－7或x >2，故选B.7．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2，4]B ．[0，2)∪[4，＋∞)C ．[2，4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)【答案】B【解析】①当x －2>0，即x >2时，原不等式等价于(x －2)2≥4，解得x ≥4.②当x －2<0，即x <2时，原不等式等价于(x －2)2≤4，解得0≤x ＜2.8．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为( ) A ．1B ．－1C ．2D ．3【答案】Ｂ 【解析】把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以a －b ＝－1，故选B. 9．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值是( ) A.63 B ．－233C.433D ．－433 【答案】D【解析】不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)的解集为(x 1，x 2)，根据根与系数的关系，可得：x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，那么x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a， 因为a ＜0，所以－⎝⎛⎭⎫4a ＋13a ≥24a ×13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433， 故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433，故选D. 二、填空题10．如果a ＞b ，ab ＞0，那么1a 与1b 的大小关系是________． 【答案】1a ＜ 1b【解析】因为a ＞b ，ab ＞0，所以a ab ＞b ab ，即1b ＞1a. 11．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，则k 的取值范围是________．【答案】2<k <4【解析】x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，把x ＝1代入不等式，得k 2－6k ＋8<0，解得2<k <4.12．若a ∈R ，则a 2＋14a 2＋5的最小值为________．【答案】６【解析】a 2＋14a 2＋5＝（a 2＋5）＋9a 2＋5＝a 2＋5＋9a 2＋5≥2a 2＋5·9a 2＋5＝6，当且仅当a 2＋5＝9a 2＋5，即a ＝±2时等号成立．13．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________． 【答案】47【解析】由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2（3a ＋2）（3b ＋2）＝79ab ＋10，又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，所以9ab ＋10≤494，所以79ab ＋10≥47. 三、解答题14．设集合A ＝{x |4－x 2>0}，B ＝{x |－x 2－2x ＋3>0}．(1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ，求a ，b 的值．【答案】(1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}(2)ａ＝４，ｂ＝６【解析】(1)A ＝{x |4－x 2>0}＝{x |－2<x <2}，B ＝{x |－x 2－2x ＋3>0}＝{x |－3<x <1}，故A ∩B ＝{x |－2<x <1}． (2)因为2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}，所以－3和1为方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以有⎩⎪⎨⎪⎧2×（－3）2－3a ＋b ＝0，2×12＋a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6. 15．已知正数x ，y 满足1x ＋9y＝1. (1)求xy 的最小值；(2)求x ＋2y 的最小值．【答案】(1)36 .(2)19＋6 2.【解析】(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y ，得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.16．已知y ＝x 2－2x －8，若对一切x >2，均有y ≥(m ＋2)x －m －15，求实数m 的取值范围．【答案】m ≤2.【解析】当x >2时，y ≥(m ＋2)x －m －15恒成立，所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15在x ＞2时恒成立，则x 2－4x ＋7≥m (x －1)在x ＞2时恒成立．所以对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立． 又x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2 ≥2（x －1）×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)． 所以实数m 的取值范围是m ≤2.17．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞收入50万元．(1)问捕捞几年后总利润最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后平均利润最大，最大是多少？【答案】(1)捕捞10年后总利润最大，最大是102万元 (2)捕捞7年后平均利润最大，最大是12万元【解析】(1)设该船捕捞n 年后的总利润为y 万元．则y ＝50n －98－⎣⎡⎦⎤12×n ＋n （n －1）2×4 ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102.所以当捕捞10年后总利润最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n＝－2⎝⎛⎭⎫n ＋49n －20≤－2(2n ·49n －20)＝12，当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时等号成立．所以当捕捞7年后平均利润最大，最大是12万元．18．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.【答案】见解析【解析】(1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两个根分别为2和－1a. ①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a <x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅； ③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.。
初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题(含解析)
初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题(含解析)一．选择题〔共16小题〕1．假设关于x的方程x﹣3k=5〔x﹣k〕+1的解为负数，那么k的值为〔〕A．k＞B．k＜C．k=D．k＞且k≠22．以下各式，属于二元一次方程的个数有〔〕①xy+2x﹣y=7；②4x+1=x﹣y；③+y=5；④x=y；⑤x2﹣y2=2⑥6x﹣2y⑦x+y+z=1⑧y〔y﹣1〕=2y2﹣y2+x．A．1B．2C．3D．43．关于x的一元二次方程有实数根，那么实数a满足〔〕A．B．C．a≤且a≠3D．2+9x+1=0的两根，那么〔α2+2021α+1〕〔β2+2021β+1〕的值是4．设α，β是方程x〔〕A．0B．1C．2000D．40000002+〔a﹣b〕x+c2=0的根的 5．假设a，b，c为三角形三边，那么关于x的二次方程x情况是〔〕A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定6．方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值X围是〔〕A．﹣1＜b≤3B．2＜b≤3C．8≤b＜9D．3≤b＜47．观察以下方程：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕其中是关于x的分式方程的有〔〕第1页〔共30页〕A．a＞﹣1B．a＞﹣2C．a＞0D．a＞﹣1且a≠09．假设关于x的不等式整数解共有2个，那么m的取值X围是〔〕A．3≤m＜4B．3＜m＜4C．3＜m≤4D．3≤m≤410．为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：年交水费=第一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量+第三阶梯水价×第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，那么该同学家这一年的用水量为〔〕某市居民用水阶梯水价表3〕水价〔元/m3〕阶梯户年用水量v〔m第一阶梯0≤v≤1805第二阶梯180＜v≤2607第三阶梯v＞26093B．270m3C．290m3D．310m3A．250m11．父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．假设设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，那么可列方程组为〔〕A．B．C．D．12．方程3x+y=9在正整数X围内的解的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．有无数个2﹣4x+1=0，配成〔x+p〕2=q的形式，那么p、q的值是〔〕13．把一元二次方程xA．p=﹣2，q=5B．p=﹣2，q=3C．p=2，q=5D．p=2，q=32﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，那么一次函14．假设关于x的一元二次方程x 数y=kx﹣k的大致图象是〔〕A．B．C．D．15．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5．依上述情形，所列关系式成立的是〔〕A．=﹣5B．=+5C．=8x﹣5D．=8x+516．假设不等式组的解集是x＞3，那么m的取值X围是〔〕A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3二．填空题〔共14小题〕n〕′=n n﹣x1，假设〔x2〕′﹣=2，那么x=．17．对于实数x，规定〔x18．销售某件商品可获利30元，假设打9折每件商品所获利润比原来减少了10 元，那么该商品的进价是元．19．假设关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是x=，y=．20．实数m，n满足m﹣n2=1，那么代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．2﹣3x+8=0，那么△21．整数k＜5，假设△ABC的边长均满足关于x的方程xABC的周长是．2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，那么m2+n222．假设两个不等实数m、n满足条件：m的值是．23．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．2﹣m x++m+=0的根的情况是．24．假设m是实数，那么关于x的方程x25．假设关于x的方程=+1无解，那么a的值是．此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有第3页〔共30页〕一组调和数：x、5、3〔x＞5〕，那么x的值是．27．假设不等式组有解，那么a的取值X围是．28．如图A、B、C、D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为．29．在一次数学知识竞赛中，竞赛题共30题．规定：答对一道题得4分，不答或答错一道题倒扣2分，得分不低于60分者得奖．得奖者至少应答对道题．30．假设关于x的不等式的解集为x＜2，那么k的取值X围是．三．解答题〔共10小题〕31．甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得方程组的解为．乙因大意，错误地将方程中系数C写错了，得到的解为；假设乙没有再发生其他错误，试确定a，b，c的值．32．解方程组．33．参加一次篮球联赛的每两队之间都进展两次比赛，共要比赛30场，共有多少个队参加比赛？34．甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S千米的军训地参加训练．甲班有一半路程以V1千米/小时的速度行走，另一半路程以V2千米/小时的速度行走；乙班有一半时间以V1千米/小时的速度行走，另一半时间以V2千米/小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t1小时、t2小时．〔1〕试用含S、V1、V2的代数式表示t1和t2；〔2〕请你判断甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由．35．对x，y定义一种新运算T，规定：T〔x，y〕=〔其中a，b均为非零常数〕，这里等式右边是通常的四那么运算，例如：T〔0，1〕==b，已知T〔1，1〕=2.5，T〔4，﹣2〕=4．〔1〕求a，b的值；〔2〕假设关于m的不等式组恰好有2个整数解，XX数P的取值X围．36．x=3是关于x的不等式的解，求a的取值X围．37．如果关于x的不等〔2m﹣n〕x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．38．某养鸡厂方案购置甲、乙两种鸡苗共2000只进展饲养，甲种小鸡苗每只二元，乙种小鸡苗每只三元．〔1〕假设购置不超过4700元，应最少购置甲种小鸡苗多少只？〔2〕相关资料表示，甲、乙两种小鸡苗的成活率分虽是94%和99%，假设要使这两种小鸡苗成活率不低于96%且购置小鸡苗的总费用最低，应购置甲、乙两种小鸡各多少只？最少费用是多少元？39．为了相应“足球进校园〞的号召，某体育用品商店方案购进一批足球，第一次用6000元购进A品牌足球m个，第二次又用6000元购进B品牌足球，购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足球多30个，并且每个A品牌足球的进价是每个B品牌足球的进价的．〔1〕求m的值；〔2〕假设这两次购进的A，B两种品牌的足球分别按照a元/个，a元/个两种价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元，求出a的最小值．40．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．----初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题〔共16小题〕1．〔2021 春?蓬溪县校级月考〕假设关于x的方程x﹣3k=5〔x﹣k〕+1的解为负数，那么k的值为〔〕A．k＞B．k＜C．k=D．k＞且k≠2【分析】此题首先要解这个关于x的方程，根据解是负数，可以得到一个关于k 的不等式，就可以求出k的X围．【解答】解：x﹣3k=5〔x﹣k〕+1，根据题意得，解得k＜；应选B．【点评】此题是一个方程与不等式的综合题目．解关于x的不等式是此题的一个难点．2．〔2021春?文登市校级期中〕以下各式，属于二元一次方程的个数有〔〕①xy+2x﹣y=7；②4x+1=x﹣y；③+y=5；④x=y；⑤x2﹣y2=2⑥6x﹣2y⑦x+y+z=1⑧y〔y﹣1〕=2y2﹣y2+x．A．1B．2C．3D．4【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面区分．【解答】解：①xy+2x﹣y=7，不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；②4x+1=x﹣y，是二元一次方程；③+y=5，不是二元一次方程，因为不是整式方程；④x=y是二元一次方程；⑤x2﹣y2=2不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；⑥6x﹣2y，不是二元一次方程，因为不是等式；⑦x+y+z=1，不是二元一次方程，因为含有3个未知数；⑧y〔y﹣1〕=2y2﹣y2+x，是二元一次方程，因为变形后为﹣y=x．应选C．【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：〔1〕方程中只含有2个未知数；〔2〕含未知数项的最高次数为一次；〔3〕方程是整式方程．注意⑧整理后是二元一次方程．3．〔2021?海拉尔区校级三模〕关于x的一元二次方程有实数根，那么实数a满足〔〕A．B．C．a≤且a≠3D．【分析】讨论：当a﹣3=0，原方程变形为一元一次方程，有一个实数根；当a﹣3≠0，△=〔﹣〕2﹣4×〔a﹣3〕×1≥0，然后综合这两种情况即可．【解答】解：当a﹣3=0，方程变形为﹣x+1=0，此方程为一元一次方程，有一个实数根；当a﹣3≠0，△=〔﹣〕2﹣4×〔a﹣3〕×1≥0，解得a≤且a≠3．所以a的取值X围为a≤且a≠3．应选C．【点评】此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考察了一元二次方程的定义．2+9x+1=0的两根，那么〔α2+2021α+1〕4．〔2021?桂平市二模〕设α，β是方程x〔β2+2021β+1〕的值是〔〕A．0B．1C．2000D．4000000【分析】欲求〔α2+2021α+1〕〔β2+2021β+1〕的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式〔α2+2021α+1〕〔β2+2021β+1〕=〔α2+9α+1+2000α〕〔β2+9β+1+2000β〕，再利用根与系数的关系代入数值计算即可．【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根，∴α+β=﹣9，α?β=．1〔α2+2021α+1〕〔β2+2021β+1〕2+9α+1+2000α〕〔β2+9β+1+2000β〕=〔α又∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根，∴α2+9α+1=0，β2+9β+1=0．∴〔α2+9α+1+2000α〕〔β2+9β+1+2000β〕=2000α?2000β=2000×2000αβ，而α?β=，1∴〔α2+9α+1+2000α〕〔β2+9β+1+2000β〕=4000000．应选D．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．2+〔a﹣b〕5．〔1999?XX〕假设a，b，c为三角形三边，那么关于x的二次方程xx+c2=0的根的情况是〔〕A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】先求出△=b2﹣4ac，再结合a，b，c为三角形的三边，即可判断根的情况．【解答】解：∵x2+〔a﹣b〕x+c2=0，∴△=b2﹣4ac==〔a﹣b〕2﹣c2=〔a﹣b﹣c〕〔a﹣b+c〕∵a，b，c为三角形三边，第9页〔共30页〕∴b+c＞a，a+c＞b∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0∴〔a﹣b﹣c〕〔a﹣b+c〕＜0，即二次方程x2+〔a﹣b〕x+c2=0无实数根．应选C．【点评】此题考察了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系．6．〔2021?德阳〕方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值X围是〔〕A．﹣1＜b≤3B．2＜b≤3C．8≤b＜9D．3≤b＜4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的X围．【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a=﹣1，即〔a﹣4〕〔a+1〕=0，解得：a=4或a=﹣1，经检验a=4是增根，故分式方程的解为a=﹣1，不等式组解得：﹣1＜x≤b，∵不等式组只有4个整数解，∴3≤b＜4．应选：D【点评】此题考察了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解此题的关键．7．观察以下方程：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕其中是关于x的分式方程的有〔〕A．〔1〕B．〔2〕C．〔2〕〔3〕D．〔2〕〔4〕【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．第10页〔共30页〕【解答】解：〔1〕〔4〕中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；而〔2〕〔3〕的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．应选C．【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数〔注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母〕．8．〔2021 ?XX〕当1≤x≤2时，ax+2＞0，那么a的取值X围是〔〕A．a＞﹣1B．a＞﹣2C．a＞0D．a＞﹣1且a≠0【分析】当x=1时，a+2＞0；当x=2，2a+2＞0，解两个不等式，得到a的X围，最后综合得到a的取值X围．【解答】解：当x=1时，a+2＞0解得：a＞﹣2；当x=2，2a+2＞0，解得：a＞﹣1，∴a的取值X围为：a＞﹣1．【点评】此题考察了不等式的性质，解决此题的关键是熟记不等式的性质．9．〔2021?鼓楼区一模〕假设关于x的不等式整数解共有2个，那么m的取值X围是〔〕A．3≤m＜4B．3＜m＜4C．3＜m≤4D．3≤m≤4【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的X围．【解答】解：解得不等式组的解集为：2≤x＜m，因为不等式组只有2个整数解，所以这两个整数解为：2，3，因此实数m的取值X围是3＜m≤4．应选：C．【点评】此题考察了一元一次不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定第11页〔共30页〕m的X围，是解决此题的关键．10．〔2021?XX模拟〕为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：年交水费=第一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量+第三阶梯水价×第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，那么该同学家这一年的用水量为〔〕某市居民用水阶梯水价表3〕水价〔元/m3〕阶梯户年用水量v〔m第一阶梯0≤v≤1805第二阶梯180＜v≤2607第三阶梯v＞26093B．270m3C．290m3D．310m3A．250m【分析】利用表格中数据得出水费不超过1460元时包括第三阶梯水价费用，进而得出等量系求出即可．【解答】解：设该同学这一年的用水量为x，根据表格知，180×5+80×7=1460＜1730，那么该同学家的用水量包括第三阶梯水价费用．依题意得：180×5+80×7+〔x﹣260〕×9=1730，解得x=290．应选：C．【点评】此题考察了一元一次方程的应用．根据表格中数据得出正确是等量关系是解题关键．11．〔2021?XX一模〕父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．假设设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，那么可列方程组为〔〕A．B．第12页〔共30页〕C．D．【分析】根据题意可得两个等量关系：①爸爸的身高+儿子的身高=3.2米；②父亲在水中的身高〔1﹣〕x=儿子在水中的身高〔1﹣〕y，根据等量关系可列出方程组．【解答】解：设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，由题意得：，应选：D．【点评】此题主要考察了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，解决此题的关键是知道父亲和儿子没在水中的身高是相等的．12．〔2021春?沈丘县期末〕方程3x+y=9在正整数X围内的解的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．有无数个【分析】由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项将x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0根据以上两个条件可夹出适宜的x值从而代入方程得到相应的y值．【解答】解：由题意求方程3x+y=9的解且要使x，y都是正整数，∴y=9﹣3x＞0，∴x≤2，又∵x≥0且x为正整数，∴x值只能是x=1，2，代入方程得相应的y值为y=6，3．∴方程3x+y=9的解是：，；应选：B．【点评】此题是求不定方程的整数解，主要考察方程的移项，合并同类项，系数化为1等技能，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值X围，然后枚举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．第13页〔共30页〕2﹣4x+1=0，配成〔x+p〕2=q的形式，那么13．〔2021?XX模拟〕把一元二次方程xp、q的值是〔〕A．p=﹣2，q=5B．p=﹣2，q=3C．p=2，q=5D．p=2，q=3【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：∵x2﹣4x=﹣1，22=3，∴x﹣4x+4=﹣1+4，即〔x﹣2〕那么p=﹣2，q=3，应选：B．【点评】此题主要考察解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择适宜、简便的方法是解题的关键．2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数14．〔2021?XX〕假设关于x的一元二次方程x根，那么一次函数y=kx﹣k的大致图象是〔〕A．B．C．D．【分析】首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值X围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，∴〔﹣2〕2﹣4〔﹣k+1〕＞0，即k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y=kx﹣k的图象位于一、三、四象限，应选B．【点评】此题考察了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值X围，难度不大．15．〔2021?XX〕在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得第14页〔共30页〕的值比正确答案小5．依上述情形，所列关系式成立的是〔〕A．=﹣5B．=+5C．=8x﹣5D．=8x+5【分析】根据题意知：8x的倒数+5=3x的倒数，据此列出方程即可．【解答】解：根据题意，可列方程：=+5，应选：B．【点评】此题考察了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找到3x的倒数与8x的倒数间的等量关系，列出方程．16．〔2021?米东区校级一模〕假设不等式组的解集是x＞3，那么m的取值X围是〔〕A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【分析】先将每一个不等式解出，然后根据不等式的解集是x＞3求出m的X围【解答】解：①x+8＜4x﹣1﹣3x＜﹣9x＞3②x＞m∵不等式组的解集为x＞3∴m≤3应选〔C〕【点评】此题考察不等式组的解法，解题的关键是熟练一元一次不等式的解法，以及正确理解不等式组的解集，此题属于中等题型．二．填空题〔共14小题〕n〕′=n n﹣x1，假设〔x2〕′﹣=2，那么x= 17．〔2021?丰台区一模〕对于实数x，规定〔x﹣1．【分析】根据规定，得：当n=2时，那么〔x2〕′=2，x解方程即可．【解答】解：根据题意得：2x=﹣2，x=﹣1．第15页〔共30页〕故答案为：﹣1．【点评】此题的关键是正确理解规定的运算，能够把方程的左边按要求进展转换．18．〔2005?乌鲁木齐〕销售某件商品可获利30元，假设打9折每件商品所获利润比原来减少了10元，那么该商品的进价是70元．【分析】此题的等量关系为：原售价的9折=新售价，而原售价=30+进价，新售价=30+进价﹣10．【解答】解：设该商品的进价是x元，那么〔30+x〕×0.9=30+x﹣10解得x=70，那么该商品的进价是70元．【点评】此题首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出适宜的等量关系，列出方程，再求解．19．〔1998?XX〕假设关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是x=4，y=3．【分析】此题先代入解求出得，再将其代入二元一次方程组得到，解出即可．【解答】解：∵二元一次方程组的解是，∴有，解得；将代入二元一次方程组，得，解得．【点评】此题主要考察二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法．注意：在运用加减消元法消元时，两边同时乘以或除以一个不为0的整数或整式，第16页〔共30页〕一定注意不能漏项．20．〔2021?XX〕实数m，n满足m﹣n2=1，那么代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于4．【分析】等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，【解答】解：∵m﹣n∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=〔m+3〕2﹣12，那么代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于〔1+3〕2﹣12=4．故答案为：4．【点评】此题考察了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．2﹣3 21．〔2021?XX〕整数k＜5，假设△ABC的边长均满足关于x的方程xx+8=0，那么△ABC的周长是6或12或10．【分析】根据题意得k≥0且〔3〕2﹣4×8≥0，而整数k＜5，那么k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．【解答】解：根据题意得k≥0且〔3〕2﹣4×8≥0，解得k≥，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x=2，x2=4，1∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．故答案为：6或12或10．．第17页〔共30页〕【点评】此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考察了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．22 22．〔2021?黔东南州〕假设两个不等实数m、n满足条件：m﹣2m﹣1=0，n﹣2n﹣1=0，那么m2+n2的值是6．【分析】根据题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，所以利用根与系数的关系来求m2+n2的值．【解答】解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，那么m+n=2，mn=﹣1．所以，m2+n2=〔m+n〕2﹣2mn=2×2﹣2×〔﹣1〕=6．故答案是：6．【点评】此题主要考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．23．〔2021?武城县模拟〕某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑．【分析】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，那么第一轮共感染x+1台，第二轮共感染x〔x+1〕+x+1=〔x+1〕〔x+1〕台，根据题意列方程解答即可．【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得〔x+1〕2=144解得x1=11，x2=﹣13〔不符合题意，舍去〕，即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑．【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．2﹣mx++m+=0的根的24．〔2003?XX〕假设m是实数，那么关于x的方程x情况是无解．【分析】计算一元二次方程的根的判别式△的值的符号后，再根据根的判别式与根的关系求解．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx++m+=0可化为2x2﹣2mx+m2+2m+3=0，∴△=〔﹣2m〕2﹣4×2×〔m2+2m+3〕=﹣4m2﹣16m﹣24=﹣4〔m+2〕2﹣8＜0∴方程没有实数根．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0?方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0?方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0?方程没有实数根25．〔2021?XX〕假设关于x的方程=+1无解，那么a的值是2或1．【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．【解答】解：x﹣2=0，解得：x=2．方程去分母，得：ax=4+x﹣2，即〔a﹣1〕x=2当a﹣1≠0时，把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．故答案是：2或1．【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．26．〔2021?大丰市一模〕数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：﹣=﹣．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有一组调和数：x、5、3〔x＞5〕，那么x的值是15．【分析】根据题意，利用规律求未知数，从x＞5判断，x相当于规律中的15．【解答】解：∵x＞5∴x相当于调和数15，代入得，﹣=﹣，解得，x=15．经检验得出：x=15是原方程的解．故答案为：15．【点评】此题主要考察了分式方程的应用，解决此题的关键是通过观察分析，未知调和数利用调和数来解得．．27．〔2021?XX〕假设不等式组有解，那么a的取值X围是a＞﹣1．【分析】先解出不等式组的解集，根据不等式组有解，即可求出a的取值X围．【解答】解：∵由①得x≥﹣a，由②得x＜1，故其解集为﹣a≤x＜1，∴﹣a＜1，即a＞﹣1，∴a的取值X围是a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．【点评】考察了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要遵循以下原那么：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．此题是不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作数处理，求出不等式组的解集并与解集比较，进而求得另一个未知数的取值X围．28．〔2021春?XX月考〕如图A、B、C、D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为B＜A＜D＜C．【分析】先由第一幅图可得A＜D，第二幅图可得B+D＜A+C，第三幅图可得B+C=A+D，再根据等式与不等式的性质即可求解．【解答】解：由题意可得A＜D，B+D＜A+C，B+C=A+D．∵B+C=A+D，∴C=A+D﹣B，代入B+D＜A+C中，得B+D＜A+A+D﹣B，∴B＜A，B﹣A＜0，∵A＜D，∴B＜A＜D．∵B+C=A+D，∴D﹣C=B﹣A＜0，∴D＜C，∴B＜A＜D＜C．故答案为B＜A＜D＜C．【点评】此题考察了不等式与等式性质的应用．解题的关键是采用代入法解不等式，并能使用统一的不等号进展连接，此题对式子的变形能力要求比较高，有一定难度．29．〔2021?XX〕在一次数学知识竞赛中，竞赛题共30题．规定：答对一道题得4分，不答或答错一道题倒扣2分，得分不低于60分者得奖．得奖者至少应答对20道题．【分析】答对题所得的分减去不答或答错题所扣的分数应＞等于60分，列出不等式进展求解即可．【解答】解：设得奖者至少应答对x道题，那么答错或不答的题为30﹣x道，依题意得：4x﹣2〔30﹣x〕≥60解得：x≥20即得奖者至少应答对20道题．【点评】解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进展求解．30．〔1997?XX〕假设关于x的不等式的解集为x＜2，那么k的取值X围是k≤﹣2．【分析】先化简不等式组，然后利用同小取小的原那么可判断﹣k≥2，即可求出k≤﹣2，注意不要漏掉相等时的关系．【解答】解：化简关于x的不等式为因为不等式组的解集为x＜2，所以﹣k≥2，即k≤﹣2．故填k≤﹣2．【点评】主要考察了一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，但是要注意当两数相等时，解集也是x＜2，不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．三．解答题〔共10小题〕31．〔2021?XX模拟〕甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得方程组的解为．乙因大意，错误地将方程中系数C写错了，得到的解为；假设乙没有再发生其他错误，试确定a，b，c的值．【分析】所谓“方程组〞的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程的值，根据题意可得，解方程组可得原方程组中a、b、c的值．【解答】解：把代入到原方程组中，得可求得c=2，乙仅因抄错了c而求得，但它仍是方程ax+by=1的解，所以把代入到ax+by=1中得2a﹣b=1，．把2a﹣b=1与﹣a+b=1组成一个二元一次方程组，解得，所以a=2，b=3，c=2．【点评】此题主要考察了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的根本方法．32．〔2021?XX市校级模拟〕解方程组．【分析】利用代入消元法将y=x+1代入第②个方程求出即可．【解答】解：，将①代入②得：2﹣〔x+1〕2=﹣5， x解得：x=2，那么y=2+1=3，故方程组的解为：．【点评】此题主要考察了二元二次方程组的解法，利用代入消元的法得出是解题关键．33．〔2021?XX市模拟〕参加一次篮球联赛的每两队之间都进展两次比赛，共要比赛30场，共有多少个队参加比赛？【分析】设共有x个队参加比赛，根据参加一次篮球联赛的每两队之间都进展两次比赛，共要比赛30场，可列方程求解．【解答】解：设共有x个队参加比赛．⋯〔1分〕由题意得，x〔x﹣1〕=30．⋯〔3分〕解得，x1=6，x2=﹣5．⋯〔4分〕经检验，x1=6符合题意，x2=﹣5不符合题意舍去．∴x=6．⋯〔5分〕1答：共有6个队参加比赛．⋯〔6分〕【点评】此题考察理解题意的能力，设有x个对，每个对都要参加〔x﹣1〕场，根据总场数可列方程求解．34．〔2004?XX〕甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S千米的军训地参加训练．甲班有一半路程以V1千米/小时的速度行走，另一半路程以V2千米/小时的速度行走；乙班有一半时间以V1千米/小时的速度行走，另一半时间以V2千米/小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t1小时、t2小时．〔1〕试用含S、V1、V2的代数式表示t1和t2；〔2〕请你判断甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由．【分析】〔1〕此题的等量关系是路程=速度×时间．根据甲到军训基地的时间=甲在一半路程内以速度V1行驶的时间+甲在另一半路程内以速度V2行驶的时间．来列出关于关于t1的代数式．根据乙以速度V1行驶一半时间走的路程+乙以速度V2行驶另一半时间走的路程=总路程S，来求出关于t2的代数式；〔2〕可将表示t1和t2的式子相减，按照分式的加减法进展合并化简后，看看当V1，V2在不同的条件下，t1和t2谁大谁小即可．【解答】解：〔1〕由，得：=t1=s解得：；〔2〕∵t1﹣t2=﹣=。
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不等式提高训练题1．（2013•莘县模拟）若不等式组有解，则a的取值范是（）A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≤1 D．a＜12．（2013•吴江市模拟）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到吴江儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位儿童5盒牛奶，那么最后一位儿童分不到5盒，但至少能有2盒．则这个儿童福利院的儿童最少有（）A．28人B．29人C．30人D．31人3．（2013•潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（）A．40 B．45 C．51 D．564．（2013•天门模拟）不等式组的整数解的和（）A．0B．1C．﹣1 D．以上都不对5．（2013•松江区二模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．﹣a＞﹣b B．2a＜2b C．2﹣a＜2﹣b D．a2＞ab6．（2013•山西模拟）设一个三角形的三边长分别是3，1﹣2m，8，则m的取值范围是（）A．0＜m＜B．﹣5＜m＜﹣2 C．﹣2＜m＜5 D．＜m＜﹣17．（2013•普陀区二模）如果a＞1＞b，那么下列不等式正确的个数是（）①a﹣b＞0，②a﹣1＞1﹣b，③a﹣1＞b﹣1，④．A．1B．2C．3D．4．8．（2013•攀枝花模拟）关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣6＜a＜﹣B．﹣6≤a＜﹣C．﹣6＜a≤﹣D．﹣6≤a≤﹣9．（2013•攀枝花）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣610．（2013•莒南县一模）已知关于x的不等式组，有且只有三个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣2＜a≤﹣1 D．﹣2＜a＜﹣111．（2013•荆门）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（）A．B．m≤C．D．m≤12．（2013•拱墅区二模）已知|a﹣1|=1﹣a，若a为整数时，方程组的解x为正数，y为负数，则a的值为（）A．0或1 B．1或﹣1 C．0或﹣1 D．013．（2013•滨城区一模）若方程2x=4的解使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞7 C．a＜7 D．a＜7且a≠114．（2012•张家港市模拟）若不等式组的所有整数解的和为5，则实数a的取值范围是（）A．﹣4≤a≤﹣2 B．﹣4＜a≤﹣2 C．﹣4≤a＜﹣2 D．﹣4＜a＜﹣215．（2012•萧山区一模）已知△ABC的边长分别为2x+1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是（）A．6＜L＜36 B．10＜L≤11 C．11≤L＜36 D．10＜L＜3616．（2012•上城区二模）解关于x的不等式，正确的结论是（）A．无解B．解为全体实数C．当a＞0时无解D．当a＜0时无解17．（2012•河北区一模）实数x，y满足1≤y≤x，且2x2﹣5x+4=y（x﹣1），x+y的值为（）A．2B．3C．4D．518．（2012•杭州）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①③④19．（2012•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式：①＜；②＜；③；④＜其中不等式正确的是（）A．①③B．①④C．②④D．②③20．（2011•台湾）下图数轴上A、B、C、D、E、S、T七点的坐标分别为﹣2、﹣1、0、1、2、s、t．若数轴上有一点R，其坐标为|s﹣t+1|，则R会落在下列哪一线段上？A．A B B．B C C．C D D．D E21．（2011•深圳）已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0．下列结论不一定正确的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＜c﹣b C．D．a2＞ab＞b222．（2011•黑龙江）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（）A．4人B．5人C．6人D．5人或6人23．（2011•菏泽）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折24．（2011•杭州）若a+b=﹣2，且a≥2b，则（）A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值25．（2013•吴中区一模）对非负整数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x≤n+，那么＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…．如果＜x﹣1＞=3，则实数x的取值范围是_________．26．（2013•泉州模拟）已知ab=2．①若，则a的取值范围是_________；②若b＞0，且a2+b2=5，则a+b=_________．27．（2013•乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．给出下列关于（x）的结论：①（1.493）=1；②（2x）=2（x）；③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；⑤（x+y）=（x）+（y）；其中，正确的结论有_________（填写所有正确的序号）．28．（2013•黄冈模拟）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想获得不低于20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高_________%（保留三位有效数字）．29．（2013•河南模拟）在方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是_________．30．（2013•鄂州）若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为_________．2013年7月735902的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．（2013•莘县模拟）若不等式组有解，则a的取值范是（）A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≤1 D．a＜1考点：解一元一次不等式组．分析：首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找，确定a的取值范围是a ＜1．解答：解：，由①得：x≥a，由②得：x＜1，∵不等式组有解，∴a＜1，故选：D．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确解出两个不等式的解集，掌握确定不等式组解集的规律．2．（2013•吴江市模拟）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到吴江儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位儿童5盒牛奶，那么最后一位儿童分不到5盒，但至少能有2盒．则这个儿童福利院的儿童最少有（）A．28人B．29人C．30人D．31人考点：一元一次不等式组的应用．专题：应用题．分析：首先设这个儿童福利院的儿童有x人，则有牛奶（4x+28）盒，根据关键语句“如果分给每位儿童5盒牛奶，那么最后一位儿童分得的牛奶不足5盒，但至少2盒”可得不等式组，解出不等式组后再找出符合条件的整数．解答：解：设这个儿童福利院的儿童有x人，则有牛奶（4x+28）盒，依题意得：，解得：28＜x≤31，∵x为整数，∴x最少为29，即这个儿童福利院的儿童最少有29人．故选B．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出不等式组，难度一般．3．（2013•潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（）A．40 B．45 C．51 D．56考点：一元一次不等式组的应用．专题：新定义．分析：先根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．解答：解：根据题意得：5≤＜5+1，解得：46≤x＜56，故选C．点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，求出不等式组的解集．4．（2013•天门模拟）不等式组的整数解的和（）A．0B．1C．﹣1 D．以上都不对考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解，最后求出所有整数解的和即可．解答：解：解不等式①得x≥﹣1，解不等式②得x＜1，故原不等式组的解集是﹣1≤x＜1，则原不等式组的整数解是﹣1，0．故所有整数解的和是﹣1+0=﹣1．故选C．点评：本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5．（2013•松江区二模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．﹣a＞﹣b B．2a＜2b C．2﹣a＜2﹣b D．a2＞ab考点：不等式的性质．分析：根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．解答：解：A、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故本选项错误；B、∵a＞b，∴2a＞2b，故本选项错误；C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴2﹣a＜2﹣b，故本选项正确；D、∵a＞b，∴a2不一定大于ab，故本选项错误；故选C．点评：此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6．（2013•山西模拟）设一个三角形的三边长分别是3，1﹣2m，8，则m的取值范围是（）A．0＜m＜B．﹣5＜m＜﹣2 C．﹣2＜m＜5 D．＜m＜﹣1考点：三角形三边关系；解一元一次不等式组．分析：根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和；解题关键是根据三角形的三边关系，求出1﹣2m的取值范围，再求m的取值范围．解答：解：∵8﹣3＜1﹣2m＜8+3∴5＜1﹣2m＜11∴4＜﹣2m＜10∴5＜m＜﹣2故选B．点评：考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意不等式两边都除以一个负数，不等号的方向改变．7．（2013•普陀区二模）如果a＞1＞b，那么下列不等式正确的个数是（）①a﹣b＞0，②a﹣1＞1﹣b，③a﹣1＞b﹣1，④．A．1B．2C．3D．4．考点：不等式的性质．分析：根据不等式的基本性质进行解答．解答：解：①由已知条件知a＞b，则在该不等式的两边同时减去b得到a﹣b＞0．故①正确；②由已知条件可设a=2，b=﹣1，则a﹣1=1，1﹣b=2，即a﹣1＜1﹣b，故②错误；③由已知条件知a＞b，则在该不等式的两边同时减去1得到a﹣1＞b﹣1．故③正确；④当b＜0时，．故④错误；综上所述，正确的结论有2个．故选B．点评：主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．8．（2013•攀枝花模拟）关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣6＜a＜﹣B．﹣6≤a＜﹣C．﹣6＜a≤﹣D．﹣6≤a≤﹣考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先解x的不等式组，然后根据整数解的个数确定a的取值范围．解答：解：不等式组，解得：，∵不等式组只有5个整数解，即解只能是x=15，16，17，18，19，∴a的取值范围是：，解得：﹣6＜a≤﹣．故选C．点评：本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解确定关于a的不等式组．9．（2013•攀枝花）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；解二元一次方程组；解一元一次不等式．分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．解答：解：根据题意得：，解得：，则6﹣m＜0，解得：m＞6．故选A．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．（2013•莒南县一模）已知关于x的不等式组，有且只有三个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣2＜a≤﹣1 D．﹣2＜a＜﹣1考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出5＜7+a≤6即可．解答：解；由得；2＜x＜7+a，∵有且只有三个整数解，∴x=3或4或5，∴7+a的取值范围是5＜7+a≤6，∴a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1，故选：C．点评：此题考查了不等式的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．11．（2013•荆门）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（）A．B．m≤C．D．m≤考点：解一元一次不等式组．分析：先求出两个不等式的解集，再根据有解列出不等式组求解即可．解答：解：，解不等式①得，x＜2m，解不等式②得，x＞2﹣m，∵不等式组有解，∴2m＞2﹣m，∴m＞．故选C．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．12．（2013•拱墅区二模）已知|a﹣1|=1﹣a，若a为整数时，方程组的解x为正数，y为负数，则a的值为（）A．0或1 B．1或﹣1 C．0或﹣1 D．0考点：二元一次方程组的解；一元一次不等式组的整数解．分析：首先解关于x的不等式组，求得x，y的值，根据x是正数，y是负数求得a的范围，根据a是整数即可求得a的值．解答：解：解方程组，得：，则，解得：a＞﹣，由|a﹣1|=1﹣a得：1﹣a≥0，解得：a≤1．则﹣＜a≤1．则a=0或1．故选A．点评：能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．13．（2013•滨城区一模）若方程2x=4的解使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞7 C．a＜7 D．a＜7且a≠1考点：不等式的解集．分析：先求出方程2x=4的解，再根据不等式（a﹣1）x＜a+5用a表示出x的取值范围，即可求出a的取值范围．解答：解：解方程2x=4得：x=2，∵（a﹣1）x＜a+5，当a﹣1＞0时，x＜，∴＞2，∴1＜a＜7．当a﹣1＜0时，x＞，∴＜2，∴a＜1．则a的取值范围是a＜7且a≠1．故选D．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意得到关于a的不等式是解此题的关键．14．（2012•张家港市模拟）若不等式组的所有整数解的和为5，则实数a的取值范围是（）A．﹣4≤a≤﹣2 B．﹣4＜a≤﹣2 C．﹣4≤a＜﹣2 D．﹣4＜a＜﹣2考点：一元一次不等式组的整数解．专题：计算题．分析：求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，根据所有整数解和为5，确定出不等式组的整数解，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．解答：解：，由①移项得：x﹣2x＜2，合并得：﹣x＜2，解得：x＞﹣2，由②去分母得：a+2x＜4，移项得：2x＜4﹣a，解得：x＜2﹣，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜2﹣，又不等式组的所有整数解和为5，∴整数解为﹣1，0，1，2，3，∴3＜2﹣≤4，解得：﹣4≤a＜﹣2．故选C点评：此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．列出关于a的不等式是解本题的关键．15．（2012•萧山区一模）已知△ABC的边长分别为2x+1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是（）A．6＜L＜36 B．10＜L≤11 C．11≤L＜36 D．10＜L＜36考点：三角形三边关系；一元一次不等式组的应用．专题：计算题．分析：根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组求出x的取值范围，再根据三角形的周长定义求解即可．解答：解：根据三角形的三边关系可得，解不等式①得，x＞，解不等式②得，x＜6，所以，x的取值范围是＜x＜6，L=2x+1+3x+5=5x+6，所以，10＜L＜36．故选D．点评：本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，根据三边关系列出不等式组求出x的取值范围是解题的关键．16．（2012•上城区二模）解关于x的不等式，正确的结论是（）A．无解B．解为全体实数C．当a＞0时无解D．当a＜0时无解考点：不等式的解集．专题：计算题．分析：根据两不等根据两不等式，大大取大，小小取小，大小中间找的规律进行讨论即可．解答：解：根据题意可得：①当a≥0时，无解．②当a＜0时解为a＜x＜﹣a．所以，当a≥0时，无解或当a＜0时解为a＜x＜﹣a．故选C．点评：本题考查不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17．（2012•河北区一模）实数x，y满足1≤y≤x，且2x2﹣5x+4=y（x﹣1），x+y的值为（）A．2B．3C．4D．5考点：一元一次不等式的应用．分析：根据1≤y≤x，求出不等式（x﹣1）y≤（x﹣1）x，推出2x2﹣5x+4≤（x﹣1）x，得出（x﹣2）2≤0，求出x的值；再将x代入2x2﹣5x+4=y（x﹣1），便可求出y的值．解答：解：∵2x2﹣5x+4=y（x﹣1），∴2x2﹣xy﹣5x+y+4=0，∵1≤y≤x，∴x﹣1≥0，y≤x，∴（x﹣1）y≤（x﹣1）x则2x2﹣5x+4=（x﹣1）y≤（x﹣1）x，2x2﹣5x+4≤（x﹣1）x，即（x﹣2）2≤0，∴x=2，把x=2代入2x2﹣5x+4=y（x﹣1）得y=2．∴x+y=4故选C点评：解决本题的关键是利用“放缩法”把所给的等式转化为关于x的不等式来解答，非负数的性质的应用也是必不可少的条件．18．（2012•杭州）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①③④考点：二元一次方程组的解；解一元一次不等式组．分析：解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断．解答：解：解方程组，得，∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4，①不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x，y的值互为相反数，结论正确；③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a两边相等，结论正确；④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，故当x≤1时，且﹣3≤a≤1，∴﹣3≤a≤0∴1≤1﹣a≤4∴1≤y≤4结论正确，故选C．点评：本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组．关键是根据条件，求出x、y的表达式及x、y的取值范围．19．（2012•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式：①＜；②＜；③；④＜其中不等式正确的是（）A．①③B．①④C．②④D．②③考点：不等式的性质．专题：计算题．分析：由＜，a、b、c、d都是正实数，根据不等式不等式的性质不等式都乘以bd得到ad＜bc，然后两边都加上ac得到ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），然后两边都除以（c+d）（a+b）得到＜，得到①正确，②不正确；同理可得到＜，则③正确，④不正确．解答：解：∵＜，a、b、c、d都是正实数，∴ad＜bc，∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），∴＜，所以①正确，②不正确；∵＜，a、b、c、d都是正实数，∴ad＜bc，∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c），∴＜，所以③正确，④不正确．故选A．点评：本题考查了不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．20．（2011•台湾）下图数轴上A、B、C、D、E、S、T七点的坐标分别为﹣2、﹣1、0、1、2、s、t．若数轴上有一点R，其坐标为|s﹣t+1|，则R会落在下列哪一线段上？A．A B B．B C C．C D D．D E考点：数轴；解一元一次不等式．专题：探究型．分析：先找出s、t值的范围，再利用不等式概念求出s﹣t+1值的范围，进而可求出答案．解答：解：由图可知﹣1＜s＜t＜0，∴﹣1＜s﹣t＜0，∴s﹣t+1＜1，∴0＜|s﹣t+1|＜1，即R点会落在CD上，故选C．点评：本题考查的是数轴与解一元一次不等式，根据数轴的特点求出s、t值的范围是解答此题的关键．21．（2011•深圳）已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0．下列结论不一定正确的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＜c﹣b C．D．a2＞ab＞b2考点：不等式的性质．专题：计算题．分析：根据不等式的性质1，不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；根据不等式的性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；根据不等式的性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；利用不等式的3个性质进行分析．解答：解：A，根据不等式的性质一，不等式两边同时加上c，不等号的方向不变，故此选项正确；B，∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴﹣a+c＜﹣b+c，故此选项正确；C，∵c≠0，∴c2＞0，∵a＞b．∴，故此选项正确；D，∵a＞b，a不知正数还是负数，∴a2，与ab，的大小不能确定，故此选项错误；故选：D点评：此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是做题的关键，此题比较基础．22．（2011•黑龙江）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（）A．4人B．5人C．6人D．5人或6人考点：一元一次不等式组的应用．分析：根据每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本，得出3x+8≥5（x﹣1），且5（x﹣1）+3＞3x+8，分别求出即可．解答：解：假设共有学生x人，根据题意得出：5（x﹣1）+3＞3x+8≥5（x﹣1），解得：5＜x≤6.5．故选：C．点评：此题主要考查了不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键．23．（2011•菏泽）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折考点：一元一次不等式的应用．分析：本题可设打x折，根据保持利润率不低于5%，可列出不等式：1200x×0.1≥800（1+0.05），解出x的值即可得出打的折数．解答：解：设可打x折，则有1200x×0.1≥800（1+0.05）120x≥840x≥7故选B点评：本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时要注意要乘以0.1．24．（2011•杭州）若a+b=﹣2，且a≥2b，则（）A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值考点：不等式的性质．专题：计算题．分析：由已知条件，根据不等式的性质求得b≤﹣＜0和a≥﹣；然后根据不等式的基本性质求得≤2 和当a＞0时，＜0；当﹣≤a＜0时，≥；据此作出选择即可．解答：解：∵a+b=﹣2，∴a=﹣b﹣2，b=﹣2﹣a，又∵a≥2b，∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a，移项，得﹣3b≥2，3a≥﹣4，解得，b≤﹣＜0（不等式的两边同时除以﹣3，不等号的方向发生改变），a≥﹣；由a≥2b，得≤2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）；A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误；B、当﹣≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；C、有最大值2；故本选项正确；D、无最小值；故本选项错误．故选C．点评：主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．二．填空题（共6小题）25．（2013•吴中区一模）对非负整数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x≤n+，那么＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…．如果＜x﹣1＞=3，则实数x的取值范围是≤x＜．考点：一元一次不等式组的应用．专题：新定义．分析：根据题意可看出对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，所以看看四舍五入后，个位数就是要求的值．近似数值到3的范围是2.5到3.5的范围，包括2.5不包括3.5，可列不等式组求解．解答：解：依题意有，解得≤x＜．故答案为：≤x＜．点评：本题考查理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．26．（2013•泉州模拟）已知ab=2．①若，则a的取值范围是﹣2≤a≤﹣；②若b＞0，且a2+b2=5，则a+b=3．考点：完全平方公式；不等式的性质．专题：计算题．分析：①利用不等式的性质由ab=2得到=，再代入得a的不等式组，然后解不等式组即可；②根据完全平方公式得到（a+b）2=a2+2ab+b2，再把ab=2，a2+b2=5得（a+b）2=9，由于b＞0，则a＞0，利用算术平方根的定义即可得到a+b的值．解答：解：①∵ab=2，∴=，而，∴﹣1≤≤﹣，∴﹣2≤a≤﹣；②∵（a+b）2=a2+2ab+b2，而ab=2，a2+b2=5，∴（a+b）2=5+2×2=9，∵b＞0，∴a＞0，∴a+b==3．故答案为﹣2≤a≤﹣；3．点评：本题考查了完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．也考查了不等式的性质．27．（2013•乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．给出下列关于（x）的结论：①（1.493）=1；②（2x）=2（x）；③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；⑤（x+y）=（x）+（y）；其中，正确的结论有①③④（填写所有正确的序号）．考点：一元一次不等式组的应用．专题：新定义．分析：对于①可直接判断，②、⑤可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等式判断．解答：解：①（1.493）=1，正确；②（2x）≠2（x），例如当x=0.3时，（2x）=1，2（x）=0，故②错误；③若（）=4，则4﹣≤x﹣1＜4+，解得：9≤x＜11，故③正确；④m为整数，不影响“四舍五入”，故（m+2013x）=m+（2013x），故④正确；⑤（x+y）≠（x）+（y），例如x=0.3，y=0.4时，（x+y）=1，（x）+（y）=0，故⑤错误；综上可得①③④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查了理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．28．（2013•黄冈模拟）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想获得不低于20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%（保留三位有效数字）．考点：一元一次不等式的应用．分析：缺少质量和进价，应设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ay元，但在售出时，只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a×（1+x）y元，根据公式×100%=利润率可列出不等式，解不等式即可．解答：解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：×100%≥20%，解得：x≥，∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高≈33.4%．故答案为：33.4．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，设出必要的未知数，表示出售价，售货款，进货款，利润．注意再解出结果后，要考虑实际问题，利用收尾法，不能用四舍五入．29．（2013•河南模拟）在方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是m＜3．考点：解二元一次方程组；解一元一次不等式．分析：将方程组中两方程相加，便可得到关于x+y的方程，再根据x+y＞0，即可求出m的取值范围．解答：解：（1）+（2）得，（2x+y）+（x+2y）=（1﹣m）+2，即3x+3y=3﹣m，可得x+y=，∵x+y＞0，即＞0，故m＜3．点评：此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意x+y＞0，则解出x，y关于m的式子，最终求出m的取值范围．30．（2013•鄂州）若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为x＞．考点：解一元一次不等式组；不等式的解集；解一元一次不等式．分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可求出a b的值，代入求出不等式的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x≥，解不等式②得：x≤﹣a，∴不等式组的解集为：≤x≤﹣a，∵不等式组的解集为3≤x≤4，∴=3，﹣a=4，b=6，a=﹣4，∴﹣4x+6＜0，x＞，故答案为：x＞点评：本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式组的解集求出a b的值．。