拓扑学教案3

第二章 拓扑空间与连续映射

本章是点集拓扑学基础中之基础。

教材中先介绍度量空间概念，由于学过泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。

§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画

由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，先回顾实分析中函数连续性是如何刻画的。 设1

1

:f E E →是一个函数，1

0x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法： （1）序列语言

若序列1,2,{}n n x =收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x =收敛于0()f x ； （2）ε

δ-语言

对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有 0()()f x f x ε-<

（3）邻域语言

若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。

解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；

所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。

§ 2-2 拓扑空间的定义

一、 拓扑的定义

注：这是关于拓扑结构性的定义

定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族 2X

⊆称为X 的一个拓扑，若它满足 （1）,X ∅∈ ；

（2） 中有限多个元素的交仍属于 ；

(3) 中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于 。

集合X 和它的一个拓扑 一起称为一个拓扑空间，记(,X ）. 中的元素称为这个拓扑空间的开集。

下面我们解释三个问题：

(1)为什么τ中的元素称为开集；(2)拓扑公理定义的理由； (3)为什么选择开集定义拓扑。 ● 先解释为什么(1)、(2)、(3)可以表述为开集：回顾一下度量空间中开集的定义。

在度量空间中，开集的定义：“由内点组成的集合”。即，若A 是开集（注：保证A 中的点都有A 中的邻域），则x A ∀∈，一定存在x 的ε-邻域(,)B x A ε⊂。这也是开集的判定条件。

例1 R 上的开区间(,),(,),(,)a b a -∞-∞∞都是开集。而(,],[,],(,],[,)a b a b a b -∞∞都不是开集，因为存在边界点a 或b ，它们不存在ε-球形邻域含于集合之中。

前面给出的是开集的结构性的表述，下面给出开集的代数性质的（逻辑的）表述，最终将其作为拓扑的公理化定义。

性质： 度量空间(,)X d 中开集具有下述性质

（1）X 与∅是开集；

（2）12,A A 是开集12A A ⇒⋂是开集（或有限多个交）； （3）λ∈Γ（任何指标集），若A λ是开集A λλ∈Γ

⇒

是开集。

证明：（1）由于X 中每一点x 的邻域必然包含于X 中(X 是整个空间，没有X 以外的元素)，故X 满足开集条件；其次，∅中没有任何元素，可以自然认为是开集。

（2）设12,A A 是X 上的开集。若12x A A ∈⋂，则必有

1x A ∈且2x A ∈(核心说明12A A ⋂中的点是内点)。于是，存

在x 的球形邻域11(,)B x A ε⊂及22(,)B x A ε⊂.

取12min{,}εεε=，则(,)B x ε是x 的球形邻域，且有

12(,),(,)B x A B x A εε⊂⊂，于是

12(,)B x A A ε⊂⋂

故12A A ⋂是开集。

（3）设x A λλ∈Γ

∀∈

，于是存在某个λ，使x A λ∈；由于是A λ开集，则存在(,),B x A λε⊂

(,)B x A λλε∈Γ

⇒⊂

. 故

A λλ∈Γ

是开集。

例2 任意多个开集的并仍是开集；但是，对于交运算不成立，即任意多个开集的交不一定是开集，如1

E 中开集

11

(1,1)n A n n =--+， 1

[1,1]n n A ∞

=Λ=

=- ●解释拓扑定义的理由: ① 从ε

δ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；

② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。

③ 在数学分析中要定义区间的内点、外点、聚点…等概念，这些概念的定义都要用到球形邻域的概念，并且那里的球形邻域都是开集。

● 解释利用开集刻画邻域的优点：

我们熟知，在度量空间中，用开集表示邻域有如下性质：

① A 是X 中的开集，则x A ∀∈，至少有一个包含x 的开集B ，使得A B ⊂（即，开集可以用开集来刻画）；

② 对于x X ∈的任意两个邻域12,U U ，存在x 的另一邻域V ，使得12V U U ⊂⋂(对于闭集不成立)

③ 若x 的邻域中还有点y x ≠，则存在y 的邻域含于x 的邻域中(分析中最有用的性质)。

2

这表明：一、邻域可以用邻域来刻画，二、邻域中有更精细的邻域，易于刻画收敛

性质。

二、 拓扑空间的例子

判断 是否为拓扑，主要检查是否满足三条公理：1、X 与∅是否在其中；2、对于

有限交是否封闭（通常只要两个集合的交封闭）；3、对于任意并是否封闭。

例1 设{,,}X a b c =，在X 上可以构造29个拓扑，如 ① {,{,,}}a b c ∅ ② {,{,,},{,}}a b c a b ∅ ③ {,{,,},{}}a b c a ∅ ④ {,{,,},{},{,}}a b c a b c ∅ ⑤ {,{,,},{},{,}}a b c a a b ∅ ⑥ {,{,,},{},{,},{,}}a b c a a b a c ∅ ⑦ {,{,,},{},{},{,},{,}}a b c a b a b b c ∅

⑧ {,{,,},{},{},{},{,},{,},{,}}a b c a b c a b a c b c ∅ ……………（共29个，其他的有同学自己列举）

例2 设{,,}X x y z =，下列哪些是拓扑，哪些不是。如果不是请添加最少的子集，使其成为拓扑。

① {,,{},{,}}X x y z ∅ ② {,,{,},{,}}X x y x z ∅ ③ {,,{,},{,},{,}}X x y x z y z ∅ ④ {,,{},{}}X x y ∅

解：①是；②不是，须添加{}x ；③不是，须添加{},{},{}x y z ;④不是，须添加{,}x y 。 例3 若 1和 2都是X 上的拓扑，则 1⋃ 2是X 上的拓扑吗？

解： 不一定。如设{,,}X a b c =，则

1{,,{},{,},{,}}X a a c a b =∅， 2{,,{},{,},{,}}X c a c b c =∅

都是X 上的拓扑，而

1⋃ 2{,,{},{},{,},{,},{,}}X a c a c a b b c =∅ 不是X 上的拓扑，因为{,}{,}{}a b b c b ⋂=∉ 1⋃ 2

.

U 1

2

②

③