有关极值点的几个题目

关于极值点与零点的几个题

一．解答题（共7 小题）

1 ．已知函数．

（1）若y=f （x）在（0，+∞）恒单调递减，求 a 的取值范围；

（2）若函数y=f （x）有两个极值点x1，x2（x12 ．

2．已知函数f（x）=xlnx ﹣x2﹣x+a （a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求 a 的取值范围；

（2）记两个极值点x1，x2，且x10，若不等式x1?x2λ>e1+ λ恒成立，求λ的取值范围．

3．已知函数f（x）=ln ﹣ax2+x ，

（1）讨论函数 f （x）的极值点的个数；

2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f （x2）> 3﹣4ln2 ．

4．已知函数f（x）= （e 为自然对数的底数）．

（1）若a= ，求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（1）=1 ，且方程f（x）=1 在（0，1）内有解，求实数 a 的取值范围．

5．已知函数f（x）=lnx ﹣ax．

Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数 a 的取值范围；

有两个零点x1 ，x2 ，且x1

x1+x 2>1 ．

6．已知f（x）=ln （mx+1 ）﹣2（m ≠0）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若m>0，g（x）=f（x）+ 存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）< 0，求m 的取值范围．

7．已知函数f（x）=x（lnx ﹣ax）（a∈R），g（x）=f ′（x）．

（1）若曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0 平行，求实数 a 的值；

2）若函数F（x）=g （x）+ x2有两个极值点x1，x2，且x1< x2，求证：f x2）﹣1

关于极值点的几个题目 -- 有点难

参考答案与试题解析

一．解答题（共7 小题）

1．（2017 ? 达州模拟）已知函数．

（1）若y=f （x）在（0，+∞）恒单调递减，求 a 的取值范围；

（2）若函数y=f （x）有两个极值点x1，x2（x12 ．

【分析】（1 ）求出函数的导数，问题转化为，令

，根据函数的单调性求出g （x ）的最大值，从而求出a 的范围即可；

（2）求出函数f（x）的导数，令F（x）=f' （x）=lnx ﹣ax+1 ，求出函数F （x）的导数，通过讨论 a 的范围求出 a 的范围，证明即可．

【解答】解：（1）因为f' （x）=lnx ﹣ax+1 （x>0），

所以由f'（x）≤0 在（0，+ ∞）上恒成立得，

令，易知g（x）在（0，1）单调递增（1，+ ∞）单调递减，

所以a≥g（1）=1 ，

即得：a≥1 ⋯（5 分）

（2）函数y=f （x）有两个极值点x1，x2（x1

即y=f' （x）有两个不同的零点，且均为正，f' （x）=lnx ﹣ax+1 （x> 0），令F（x ）=f' （x ）=lnx ﹣ax+1 ，由可知

1）a≤0 时，函数y=f （x）在（0 ，+ ∞）上是增函数，不可能有两个零点．2）a>0 时，y=F （x）在是增函数在是减函数，

此时为函数的极大值，也是最大值．

当时，最多有一个零点，所以才可能有两个零点，

得：0

此时又因为，，，

，φ（a）在（0，1）上单调递增，所以φ（a）<φ（1）=3 ﹣e2，即

综上，所以a的取值范围是（0，1）⋯（8 分）

面证明x1+x 2> 2

由于y=F （x）在是增函数在是减函数，，可构造

构造函数

故m （x）在区间上单调减．又由于，

，即有m （x1 ）> 0 在上恒成立，即有

成立．

由于，y=F （x ）在是减函数，所以

所以 成立 分） 【点评】本题考查了函数的单调性、 最值问题， 考查导数的应用以及分类讨论思 想，转化思想，是一道综合题．

2．（2017 ?天心区校级一模）已知函数 f （x ）=xlnx ﹣ x 2﹣x+a （a ∈R ）在定

义域内有两个不同的极值点

1）求 a 的取值范围；

2）记两个极值点 x 1，x 2，且 x 10，若不等式 x 1?x 2λ

>e 1+ λ

恒成

立，求λ的取值范围．

在 t ∈（ 0，1）上恒成立．令 h （ t ）=lnt ﹣

1），

根据函数的单调性求出即可．

【解答】 解：（1）由题意知，函数 f （x ）的定义域为（ 0，+ ∞）， 方程 f ′（x ）=0 在（0，+∞）有两个不同根，即方程 lnx ﹣ax=0 在（0，+∞） 有两个不同根； 转化为函数 y=lnx 与函数 y=ax 的图象在（ 0，+ ∞）上有两个不同交点，

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分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程 f ′（x ） =lnx ﹣ax=0 在（ 0，

+ ∞）有两个不同根；再转化为函数 y=lnx 与函数 y=ax 的图象在（ 0，+ ∞）上

有两个不同交点；

2）原式等价于

，令 t= ， t ∈（0，1），则不等式 lnt <

，t ∈（0，

可见，若令过原点且切于函数 y=lnx 图象的直线斜率为 k ，只须 0

故 = ，解得， x 0=e ，

故 k= ，故 0< a < ；

2）因为 e 1+ λ

等价于 1+ λ

由（ 1）可知 x 1，x 2分别是方程 lnx ﹣ax=0 的两个根， 即 lnx 1=ax 1，lnx

2=ax 2

所以原式等价于 1+ λ0， 0 ，

又由 lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2作差得， ln =a （x 1﹣x 2），

所以原式等价于

令 t= ，t ∈（ 0，1），

故 k=y ′|x=x 0= 因为 0

恒成立．

如图示：

，又

k=

<