中考数学压轴专题：动点问题-解析版

仁如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(0, 4),动点A以每秒1个单位长的速度，

从点0出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点•将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90 ,得到线段AB •过点B作x轴的垂线，垂足为E,过点C作y轴的垂线, 交直线BE于点D .运动时间为t秒.

(1) 当点B与点D重合时，求t的值;

(3)连接MB，当MB // 0A时，如果抛物线y

包括边)，求a的取值范围.

i

C

i

D C

\>

B■l

O A正* o

备用图

3 2

2•如图，O C 的内接△ AOB中, AB=A0=4,tan / AOB=,抛物线y ax bx 经过点A(4 , 0)与

4

点(-2 , 6)

(1)求抛物线的函数解析式.

(2)直线m与O C相切于点A交y轴于点D,动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;

同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQL AD时,求运动时间t的值

(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ ROB面积最大时，求点R的坐标.

(2)设厶BCD的面积为S,当t为何值时, 25?

4

ax2 10ax的顶点在厶ABM内部(不

3•如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物

1

线交x轴于点A、D，交y轴于点E,连接AB、AE、BE .已知tan/ CBE= —, A (3, 0),

3

D (- 1, 0),

E (0, 3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

(2)求证：CB是厶ABE外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)设厶AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(O v t 时，△ AOE与厶ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围.

图甲图乙(备用團)

4•已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(一2, 0)，点B坐标为(0, 2 ),点E 为线段AB上的动点(点E不与点A , B重合)，以E为顶点作/ OET=45，射线ET交线段

OB于点F, C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y= ，2 x2+mx+ n的图象经过A ,

C两点.

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)求证：/ BEF= / AOE ；

(3)

当厶EOF为等腰三角形

时，

求此时点E的坐标；

(4) 在(3 )的条件下，当直线EF交x轴于点D , P为(1)中抛物线上一动点，直

线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△ EPF的面积是厶EDG

面积的(2、2 1 )倍•若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答

备用圉①备用图②5•如图，直线AB交x轴于点B (4, 0),交y轴于点A (0, 4),直线DM丄x轴正半轴于

点M，交线段AB于点C, DM=6，连接DA，/ DAC=90 .

(1)直接写出直线AB的解析式；

(2)求点D的坐标；

(3)若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过0、D、B三

点的抛物线于点E，连接CE .是否存在点卩，使厶BPF与厶FCE相似？若存在，请求出点

6. （10分）（2015?常州）如图，一次函数y= - x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B , 过点A作x轴的垂线I,点P为直线I上的动点，点Q为直线AB与厶OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合.

（1）写出点A的坐标；

（2）当点P在直线I上运动时，是否存在点P使得△ OQB与厶APQ全等？如果存在，求出

点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

记厶OAP外接圆和△ OAM外接圆的面积分别是

" 1

7. （10分）（2015?常州）如图，反比例函数y一的图象与一次函数y—x的图象交于点A、

x 4

B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方.

（1）若点P的坐标是（1, 4）,直接写出k的值和△ PAB的面积；

（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△ PMN是等腰三角形；

（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、

BQ,比较/ PAQ与/PBQ的大小，并说明理由.

1.【答案】 解：(1)V CAO BAE 90 ,••• CAO ABE 。二 Rt △ CAO s Rt △ ABE 。

CA AO ，即 2A B t ，解得 t 8。

AB BE AB 4

5 2时,

•••它的顶点在直线x 5上移动。

•••直线x 5交MB 于点（5, 2）,交AB 于点（5, 1）,

2 1 --1 v 25a v 2。. •

— v a v —。 25 25

【考点】动点问题，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判 定和性

质，解一元二次方程，二次函数的性质。

CA AO

【分析】（

"由Rt △ CAO s Rt △ABE 得到CB 琵，根据点B 与点D 重合的条件,

CA=2AM=2AB , AO=1 -t= t , BE ( DE ) =OC=4，即可求得此时 t 的值。

（2）分0 v t v 8和t > 8两种情况讨论即可。

ax 2 10ax 的顶点坐标为（5, 25a ）,知它的顶点在直线

即得a 的取值范围。

2

2. 【答案】 解：（1）把点A （4, 0）与点（-2 , 6）代入抛物线y ax bx ，得:

1

(2)由 Rt △ CAO s Rt △ ABE 可知：BE t ,

2

1 t 25

CD BD 2(2 t)(4 ；)：,解得 h t 2 3。 1 /c 八/1 八 25

1

当 0v t v 8 时，S

2 S 1 CD 2 当t > 8时, 解得t 1

3 5 2 , t 2

AE 2。 （为负数，舍去）。

（3）过M 作MN 丄x 轴于N ，则MN

1

CO 2。

2

当 MB // OA 时，BE=MN=2 , OA=2BE=4。

• 2 2

-y ax 10ax=a x 5 25a ,

•抛物线y ax 2 10ax 的顶点坐标为（5,

25a )。

c

D

A R

o

M A J

代入

（3）求出抛物线y 上移动。由抛物线y

ax 2 10ax 的顶点在厶ABM 内部（不包括边）得 1v 25a v 2,解之