信号与系统第三章

2
An
2 A
单边幅度频谱
T
0
2
4
n
单边相位频谱
y
（2）傅里叶级数的指数形式（双边频谱）
•
f (t)
A ne jnt
n
A
x
T
•
An
1
t2 f (t)e jnt dt
T t1
•
An Ane jn
2
f (t) A sin(n / 2)e jnt
T n＝ n / 2
An
A
T
Sa
n
2
a0 2
A0 2
n 1
n1
(an cos nt bn
An cos nt n
sin
nt )
相位频谱 : n
n arctan bn
an
an>0, bn 0
= arctan bn an<0,bn>0
an
=- arctan bn an<0,bn<0
an
=0
an>0,bn=0
= (- )
直流 分量
直流分量的两倍
基波分量 n =1
谐波分量 n>1
2
a0 T1
t0 T1 f (t).dt
t0
余弦分量系数
an
2 T1
T1 / 2 T1 / 2
f (t ).cos nt .dt
正弦分量系数
bn
2 T1 / 2
T1 / 2
T1
f (t ).sin nt.dt
2. 傅里叶级数的指数形式
(t)
1 2
n
An
e
j nt
An
2 T
T
2 f (t).e jnt dt
T 2
e jct 2 ( c )
A
x
T
2
f (t) A sin(n / 2)e jnt
T n＝ n / 2
3. 函数奇偶与谐波分量的关系
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos nt
bn
sin nt)
y （1） 偶函数 只有直流和 an项，bn=0
A
x
T
2
f (t) A 2 A sin(n / 2) cos nt, 2
-T1/2
0 T1/2
t f (t ) f (t T1 ) 2
实质：T=T1/2,Ω=2 Ω1
1、如图所示的信号中，含有谐波分量为
A 直流、正弦及余弦项 B 只有直流、正弦项 C 只有直流、 余弦项 D 只有直流、奇次余弦项 E 只有直流、奇次正弦项
2
…
1
…
-3 -1 1 3 5
t
…
-1 1
第三章 连续信号的正交分解
一、周期信号的傅里叶级数展开及频谱 二、非周期信号的傅里叶变换及频谱（频谱密度） 三、周期信号的傅里叶变换 四、傅里叶变换的性质 五、帕塞瓦尔定理与能量频谱
一、周期信号的傅里叶级数展开及频谱
1. 傅里叶级数的三角形式
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos nt
bn sin nt)
f (t) cos ntdt 0
T /2
n 1, 2......
a0 0
（3）奇谐函数 ： 奇谐函数的偶次谐波的系数为0,只含奇次谐波
f(t)
T1/2
t f (t ) f (t T1 )
2
-T1/2
0
a2 k 1 b2 k 1
0
（4）偶谐函数：奇次谐波的系数为0,只含偶次谐波 f(t)
3
…
-3
1
5
t
2、假如信号f(t)是周期为Ｔ的周期性信号，则对于f(t)+f(t+2.5T)的傅里叶级数包 含什么分量？
Ａ 只有正弦分量 Ｃ 只有奇次谐波
Ｂ 只有余弦分量
Ｄ 只有偶次谐波
4. 周期函数频谱
（1）三角函数形式（单边频谱） 振幅频谱： An an bn
f
(t) f (t)
T
T n1 n / 2
T
bn
2 T
T /2
f (t)sin ntdt
T / 2
=0
（2）奇函数 只有bn,直流和an为零 f(t) E/2
0 T1/2
-T1/2
t
-E/2
an
2 T
T /2
f (t) cos ntdt 0
T /2
n 0,1, 2......
f(t) t
0
an
2 T
T /2
f (t) cn e jnt
n
cn
1 T
t1T f (t)e jnt dt
t1
e t1T jnt
e jnt
*
dt T
t1
e t1T jmt
e jnt
*
dt 0, m n
t1
cn
t1T f (t)
t1
e t1 T jnt
e jnt
*
dt
e jnt
*
dt
1 T
常用信号的F.T
1、冲激函数： (t) 1
2、单边指数信号：
e t (t) 1 j
>0
3、双边指数信号：
e t
2 2
2
>0
4、门函数：
AG (t)
A Sa( )
2
5、阶跃信号： (t) () 1 j
6、直流： 1 2 ()
7、复指数函数： e jct 2 ( c )
an<0,bn=0
=-
an=0,bn>0
2
=
an=0,bn<0
2
f
(t)
1
4
sin
t
4 3
sin
3t
4 5
sin
5t
p102
An
4
2
4
3
4
5
…
n
0 3 5 7
n
3 5 7 n
0
…
-/2
y
A
x
f (t) A 2 A sin(n / 2) cos nt, 2
T
T n1 n / 2
T
T
t1
t1T f (t)e jnt dt
t1
y
例:一周期矩形脉冲信号,高度为A,周期T,求其此 信号的傅里叶级数
A
x
解:
a0
2 T
T /2 f (t)dt 2A
T / 2
T
T
2
an
2 T
T /2 T / 2
f
(t) cos ntdt
2 T
/2
/ 2
A co s ntdt
2 A
T
sin(n / 2) n / 2
8、三角函数： cos(ct) ( c ) ( c )
sin(ct) j ( c ) ( c )
三、周期信号的傅里叶变换
1 2 () e jct 2 ( c )
cos(ct) ( c ) ( c )
sin(ct) j ( c ) ( c )
fT
•
An
A
T
0
2
4 n
二、非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换：
F ( j )
f (t )e jt dt
称其是非周期信号f(t）的频谱密度函数（简称频谱） p119 傅里叶反变换：
f (t ) 1 F ( j)e jt d
2
F ( j ) F ( j ) e j ( )
F ( j) 幅度频谱(偶） (） 相位频谱（奇）
2
bn T
T /2
f (t)sin ntdt
T / 2
=0
f (t) A 2A sin(n / 2) cos nt, 2
T T n1 n / 2
T
Sa(x) sin x x
•
f (t)
ABaidu Nhomakorabeane jnt
n
•
An
1
t2 f (t)e jnt dt
T t1
An
A
T
Sa
n
2
y