《常微分方程》教学大纲

教学大纲
一、教学目的、任务
常微分方程历来是综合性大学数学系各专业的核心基础课程，不仅是进一步学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用. 通过本课程学习，不仅为后行课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力. 实行中英双语教学，适时穿插工程实践背景的应用分析，培养学生的动手能力和创新意识.
二、教学内容的结构
分为六章内容讲解，具体地：
1.微分方程建模（8学时）;
2.初等积分法(12学时);
3.线性系统(8学时);
4.常系数线性系统(12学时，包括若干振动问题4学时);
5.一般理论(12学时);
6.定性理论初步(12学时).
三、单元教学目标与任务
第一章绪论
1、基本内容
(1) 常微分方程模型（含Duffing机械振动、Van de Pol电磁震荡、天
文二体问题、生态种群竞争系统、物理化学系统）;
(2) 微分方程求解思想（解的定义、高阶方程与一阶方程组的互化，
微分方程的几何解释，包括等倾线与方向场分析等）;
(3) 微分方程的基本问题（通解的概念，“线性”与“非线性”微分方程）.
2、基本要求
(1) 了解微分方程的背景和建模过程;
(2) 理解微分方程的定解条件，尤其是初值条件;
(3) 掌握高阶方程与一阶方程组的互化;
(4) 理解等倾线与方向场与解的关系.
3、建议课时（8学时）
(1) 常微分方程模型(2学时);
(2) 微分方程求解思想(4学时);
(3) 基本问题(1学时);
(4) 习题课(1学时).
第二章初等积分法
1、基本内容
(1) 变量分离形式（含初等变换应用、一阶线性方程、伯努里方程、
齐次方程和线性分式方程求解）;
(2) 恰当方程形式（对恰当方程求通积分，以及积分因子法）;
(3) 隐式方程（微分法与参数法）;
(4) 初等积分法的一些应用（奇解与包络并引伸出解的存在唯一性问
题，Clairaut方程，高阶微分方程，平面保守系统，Riccati方程）.
2、基本要求
(1) 掌握分离变量法和积分因子法;
(2) 理解恰当方程的条件;
(3) 掌握一阶线性方程和伯努里方程求解，掌握求解隐式微分方程微
分法与参数法;
(4) 了解奇解与包络.
3、建议课时（12学时）
(1) 变量分离形式及习题课(4学时);
(2) 恰当方程形式及习题课(3学时);
(3) 隐式方程(2学时);
(4) 初等积分法的一些应用及习题课(3学时).
第三章线性方程
1、基本内容
(1) 存在性与唯一性;
(2) 齐次线性方程组的通解结构（含叠加原理、Wronsky行列式及
Liouville定理）;
(3) 非齐次线性方程组的通解（含通解结构、常数变易法和常数变易
公式）;
(4) 高阶线性方程;
(5) 复值解和级数解法（为常系数问题的特征理论打基础）.
2、基本要求
(1) 掌握叠加原理、Wronsky行列式及Liouville定理;
(2) 掌握非齐次线性方程组通解结构、常数变易法和常数变易公式;
(3) 理解线性方程组的复值解和高阶线性方程线性理论;
(4) 了解级数解法.
3、建议课时（8学时）
(1) 存在性与唯一性(2学时);
(2) 齐次线性方程组的通解结构(2学时);
(3) 非齐次线性方程组的通解及习题课(2学时);
(4) 高阶线性方程(1学时);
(5) 复值解和级数解法(1学时).
第四章常系数线性方程
1、基本内容
(1) 齐次问题（常系数高阶齐次线性方程及其特征值与基本解组的关
系）;
(2) 非齐次问题（非齐次方程特解算子解法、算子与逆算子思想）;
(3) 常系数线性方程组（Euler待定指数函数法，基本解矩阵，重特征
根情形的基本解矩阵，矩阵指数函数exp(At)、Jordan标准型）;
(4) 应用: 机械振动（机械振动问题，谐振、共振、拍振等各种振动
现象）.
2、基本要求
(1) 掌握基本解矩阵和Euler待定指数函数法;
(2) 理解重特征根情形的基本解矩阵的计算思想并掌握计算方法;
(3) 掌握常系数高阶线性方程的算子解法;
(4) 了解机械振动问题.
3、建议课时（12学时）
(1) 齐次问题(2学时);
(2) 非齐次问题(2学时);
(3) 习题课(1学时);
(4) 常系数线性方程组(3学时);
(5) 应用: 机械振动及习题课（4学时）.
第五章一般理论
1、基本内容
(1) Picard存在唯一性定理（含Lipschitz条件、Picard迭代序列、一维
压缩计算实验）;
(2) Peano存在性定理（含Euler折线法、等度连续性、介绍Ascoli-Arzela
引理）;
(3) 解的延拓（含延拓基本定理、整体存在性条件、有限时间爆破）;
(4) 微分不等式与比较定理;
(5) 解对初值和参数的依赖性（连续依赖性，可微性，对初值和参数
的导数满足的微分方程）;
(6) 微分方程数值解（数值计算和仿真实验）.
2、基本要求
(1) 掌握Picard存在唯一性定理的结论及证明;
(2) 理解解的延拓定理和解对初值和参数的连续依赖性和可微性;
(3) 理解Peano存在性定理;
(4) 了解解的数值逼近.
3、建议课时（12学时）
(1) Picard存在唯一性定理（2学时）;
(2) Peano存在性定理（2学时）;
(3) 解的延拓及习题课（2学时）;
(4) 微分不等式与比较定理（2学时）;
(5) 解对初值和参数的依赖性（2学时）;
(6) 微分方程数值解及习题课（2学时）.
第六章定性理论初步
1、基本内容
(1) 动力系统概念（含自治系统轨道基本性质、极限点集）;
(2) Liapunov稳定性（Liapunov稳定性概念、用特征值和Gronwall不
等式判断）;
(3) Liapunov直接法（构造Liapunov函数）;
(4) 平面平衡点分析;
(5) 周期轨道与Poincare映射（含离散周期现象介绍）;
(6) 平面Hamilton系统.
2、基本要求
(1) 了解动力系统概念;
(2) 掌握稳定性概念和特征值判定;
(3) 理解李雅普诺夫直接法和轨道基本性质及极限点集性质;
(4) 掌握平面初等奇点判定;
(5) 了解极限环与周期现象;
(6) 了解平面Hamilton系统.
3、建议课时（12学时）
(1) 动力系统概念（2学时）;
(2) Liapunov稳定性（2学时）;
(3) Liapunov直接法及习题课（2学时）;
(4) 平面平衡点分析（2学时）;
(5) 周期轨道与Poincare映射（2学时）;
(6) 平面Hamilton系统及习题课（2学时）.
四、教学活动以及教学方法上的基本要求
1．采用“大班授课、小班研讨”的教学模式，即由主讲教师设计课程改革方案并承担大班教学工作，研究生助教负责组织小班研讨及其他辅助工作。

小班研讨围绕课程内容，就常微分方程与动力系统的学科发展中相关的问题展开讨论；
2．采用课堂英语表述及作业的英文命题，使用中英文参考书结合的“双语教学”
模式，不仅符合当前学生英文水平实际，而且培养学生对文献资料的关注和寻找，更快捷地走进国际学术发展的潮流；
3．将过去单一的“作业-考试”模式改为作业（Assignment）、报告（Presentation）、咨询(Inquiry)、讨论(Discussion)、专题论述(Essay)、考试(Test)的全方位开放式APIDET教学模式。

增强师生互动，把学生从应考能手培养成具有创新意识和动手能力的科研好手；
4．结合制定本科生“小火花”科研项目的实施。

数学是一门以思维为主的学科，
其教学的一个突出特点是在课堂上展现思维过程。

要让学生懂得推理的指导思想、思维线索、推理技术，懂得“是怎么想出来的”，而不是对图片、实验现象的可视信息的展示。

根据这一特点，我们采用生动形象的课堂语言，注重抽象理论与生活体验的比较，注重逻辑关系与空间想象的结合，让学生从枯燥难懂的教学内容中解放出来，让课堂充满“文化氛围”和“艺术气息”，以“用户满意”的新理念和新姿态来开展教学；
5．开设电子信息交流平台.。