弹簧问题例题及解析

弹簧问题
一、分离点
1、质量为M=3kg 的小车放在光滑的水平地面上，物块A 和B 的质量均为m=1kg ，且均放在小车的光滑水平地板上，物块A 和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图所示。

物块A 和B 并排靠在一起，现用力向右压B ，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功135J ，撤去外力，当A 和B 分开后，在A 达到小车地板的最左端位置之前，B 已从小车左端抛出。

求：B 与A 分离时，小车的速度是多大？
s
m
v s m v W E Mv mv Mv mv v v B A B A B M P M B M B M B 9,62
12210
222====+⋅=-解得：能守恒，得：，则由动量守恒和机械车速度为，分离时小等速，设为、长时分离，分离前应在弹簧第一次恢复原与解析：
2、如图所示，一个弹簧台秤的秤盘和弹簧质量都不计，盘内放有一质量m=12kg 并处于静止的物体P ，弹簧劲度系数k=300N/m ，现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始始终向上作匀加速直线运动，在这过程中，头0.2s 内F 是变力，在0.2s 后F 是恒力，则
(1)、物体P 作匀加速运动的加速度大小为多少？ (2)、F 的最小值、最大值分别为多少？
N
a g m F m a
m g F P F N
m a F P F s m
at x x k m g F F P P 360)(24020a 2
1max max min 2
2
=+==-====∆∆=所以托盘后，刚要离开托盘时和离开最大值即为刚开始加速时，即：最小值为解得：，原长的时刻。

，所以分离时必是弹簧恒力。

因托盘不计质量为变力，分离后为前与托盘分离互间弹力为零。

物体与托盘分离的条件为相解析：物体
3、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端系一劲度系数为k 的轻弹簧，弹簧下端连有一质量为m 的小球，球被一垂直于斜面的挡板A 挡住，此时弹簧没有形变，若手持挡板A 以加速度a(a<gsin θ)沿斜面匀加速下滑，求：从挡板开始运动到球与挡板分离所经历的时间。

ka
a g m a x t at x k
a g m x m a
kx m g )sin (2221)
sin (sin 2
-==
=-==-θθθ间为与挡板分离所经历的时得从挡板开始运动到球由移为则球做匀加速运动的位定律得为零，对球由牛顿第二时，挡板对球的作用力解析：当球与挡板分离
4、如图甲所示，一轻弹簧劲度系数为k ，下面悬挂一质量为m 的砝码A ，手拿一块质量为M 的木板B ，用B 托住A 上压弹簧如图乙所示，此时若突然撤去B ，则A 向下的加速度为a(a>g)，现用手控制B 使B 以加速度a/3向下做匀加速直线运动。

求砝码做匀加速直线运动的时间。

k
m
t t a
x x m a
m g kx m a m g kx x B A x 2
3
21312
212121=⋅=-=+=+解得：得：，则由牛顿第二定律，脱离时弹簧压缩量为、，量为解析：设最初弹簧压缩
讨论：a=3g 、a<3g 、a>3g 三种情况下，x 2的取值情况。

小结：分离点特点 ①N=0 ②最后的状态相同点，a 相同。

二、相同弹性势能点
5、如图所示，劲度系数为K 的轻弹簧的一端固定于O 点，另一端连着质量为
m
甲
乙
的小?球，今用手托着小球使弹簧处于原长，第一次用手缓慢的向下移动，最后手脱离小球时小球静止，在此过程中手对小球做功大小为W ，第二次在弹簧处于原长时让手突然离开小球，当小球通过上次的静止位置时，其动能为多少？
解析：第一次运动由动能定理得：W G -W 谈-W=0
第二次运动由动能定理得: W /G -W /谈=E K -0 两种运动中W G =W /G W 谈= W /谈 故E K =W
6、（1997年全国）质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，平衡时弹簧的压缩量为x 0,如图所示，一物体从钢板正上方距离为的A 处自由落下打在钢板上并立刻于钢板一起向下运动但不粘连，他们到达最低点后又向运动，已知物体质量也为m 时，他们恰能回到O 点，若物体质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物体与钢板回到O 点时，还具有向上的速度，求物体向上运动到达的最高点与O 点的距离
解析：物体与钢板碰撞时的速度V 0=
gh 2=06gx ,设V 1表示质量为m
的物体与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度,因碰撞时间极短，动量守恒mV 0 =2mV 1,刚碰完后
弹簧的弹性势能为E P ，当他们一起回到O 点时，弹簧无形变，弹性势能为零，根据题意，这时物体与钢板的速度为零，由机械能守恒得：E P +
()2122
1
v m =2mg x 0，设V 2表示质量为2m 的物体与钢板碰撞开始一起向下运动的速度，则有2mV 0 =3mV 2，刚碰完时弹簧的弹性势能为E /P ,他们回到O 点时，弹性势能为零，但他们仍能继续向上运动，设此时速度为V ，则有
E /P +
()()2210223332
1
v m mgx v m +=，在以上的两种情况中，弹簧的初始压缩量都是x 0故有E /P =E P ，当质量为2m 的物体与钢板一起回到O 点时，弹簧的弹力为零，物体与钢板只受到重力作用，加速
度为g ，过O 点后，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g ，由于物体与钢板不粘连，物体不可能受到钢板的拉力，其加速仍为g,故在O 点物体与钢板分离，分离后物体以速度V 竖直上抛,则有以上各式可得，物体向上运动所到最高点与O 点的距离为
02
1X
7、A 、B 两个矩形木块用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k ，木块A 的质量为2m ，将他们竖直叠放在水平地面上，如图所示
C
（1）、用力将木块A 缓慢的竖直向上提起，木块A 向上提起多大高度时，木块B 将离开水平地面
（2）、如果将另一块质量为m 的物体C 从距木块A 高H 处自由下落，C 与A 相碰后，立即与A 连在一块不再分开，再将弹簧压缩，此后，AC 向上弹起最终能使木块B 刚好离开地面,如果木块C 的质量减为m/2，要使木块B 不离开水平地面那么木块自由落下的高度h 距A 不能超过多少?
解析：（1）、A 、B 用轻弹簧相连接，竖直放置时，弹簧压缩，由于A 受重力和弹力平衡得弹簧
压缩量k
mg
X =
1，A 提起到B 将要离开水平地面时，弹簧伸长因是缓慢提起，故B 所受的重力和弹力平衡得弹簧伸长量k mg X 22=，A 向上提起的高度为k
mg
X X 321=+
（2）、C 自由落下到与A 相碰前的速度为gH V 2=，C 与A 相碰后一起向下运动的出速度设
为V 1,有mv=(m+m) V 1,C 与A 具有的动能为
()mgH V m m 2
121
21=+，C 和A 将弹簧压缩后，在深长，到B 刚离开地面，这个过程中，AC 上升了21X X +，重力势能增加了2mg(21X X +)弹簧的弹性势能增加量为E P ,有
()P E X X mg mgH ++=2122
1
,若C 的质量变为m/2（成为物体D ），物体D 从距物体A 高h 处自由落下，将使B 刚好能离开水平地面，这时物体D 自由下落与A 相碰后具有的动能为
mgh 6
1
，D 与A 上升距离()21X X +时，速度刚好为零，则有()P E x x mg mgh ++=212
3
61解得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k mg H h 33，要使B 不离开地面。

物体下落的高度⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-≤k mg H h 33 小结：相同的弹性势能点往往是题目最重要的隐含条件这类题目巧妙地
进行了弹性势能的定性考察，绕开了弹性势能的定量计算
三、最大弹性势能点
9、A 、B 两物体的质量之比为m A ：m B =1：2。

用质量不计的弹簧把它们连接起来，放在光滑水平面上。

A 物体靠在固定板上，如图所示。

用力向左推B 物体，压缩弹簧，当外力做功为W 时，突然撤去外力。

从A 物体开始运动以后，弹性势能的最大值是
A 、W/3
B 、W/2
C 、2W/3
D 、W
大弹性势能是多少？
求碰撞中弹簧具有的最时未超过弹性限度。

一直线运动，弹簧压缩两物体作用前后均沿同、弹开。

已知两物体、被压缩后再伸长，把簧发生相互作用。

弹簧上固定的质量不计的弹后，与
追上。

当/1，/5动，速度分别为面上沿同一直线向右运。

它们在光滑水平3,5量物体的质量分别是、、如图所示，82121B A B A B B A s m v s m v kg m kg m B A ====
v 1 v 2
10、如图所示，质量M=4kg 的木板AB 静止放在光滑的水平面上，木板右端D 点固定着一根轻质弹簧，弹簧的自由端在C 点，到木板左端的距离
L=0.5m ，CD 端木板是光滑的。

质量m=1kg 的小木块静止在木板的左端，与AB 间的动摩擦因数μ=0.2，当木板AB 受到水平向左F=14N 的恒力，作用时间t 后撤去，这时小木块恰好到达弹簧的自由
端C 处，试求
（1）水平恒力F 作用时间t ？
（2）小木块压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能？
W v m v m m v m E v v v
m m v m v m W AB B A A B B A B pm B A B B 3
161)(21213
2)(2
12
022
0002
0==+-=
=+==
解得：势能最大，则具有相等的速度，弹性且能守恒，动量守恒，及弹簧这一系统的机械、物体开始运动后，
解析
小结：具有最大弹性势能时系统有共同速度
四、形变是弹性势能的标志
11、如图所示，甲球由轻绳系住，乙球由橡皮绳系住，都从水
平位置由静止开始释放，当两球到达悬点正下方K 点时，橡皮条长度恰好与绳长相等，则在K 点时两球的速度大小关系是
J v M m Mv m v E s
m M m Mv m v v v M m Mv m v s m t a v s m t a v s
t t t L t a t a s m m m g F a s m g m
m g a M m pm
4.0)(2
12121/8.24
13
421)()(/313/212)2(15.0221
3212121/34
10
12.014/2102.012'2
22121''2122112221222
22
1=+-+==+⨯+⨯=++=+=+=⨯===⨯====⨯⨯-⨯⨯=-=⨯⨯-=-=
=⨯===恒撤去外力后系统动量守，，动，均向左做匀加速直线运和）（解析
μμμ乙甲、v v A =乙甲、v v B 〈乙甲、v v C 〉乙
甲、v v D
≥乙
甲乙甲乙乙乙甲
甲甲〉所以则由机械能守恒定律得
解析
v v gL v gL v E v m gL m v m gL m p
2,22
1212
2
<=+==。