第八章 方差分析

上例全部15个数据掺差不齐，它们的差异叫总变差。产生总变差 的原因有两个

1) 随机误差 2) 系统误差
方差分析解决这类问题的思想是：

l 由数据的总变差中分离出随机误差和系统误差。 l 用系统误差和随机误差在一定条件下进行比较，如差异不大 则认为系统误差对指标的影响不大，如系统误差比随机误差大的 多，则说明条件的影响很大。以上面的例子说明即温度的变化对 得率的影响很大，因此调整温度对产量的影响很大。
A i B j C k ijk

AB ij
a
BC jk
a
AC ik
)

2
在假设之下，可得估计量。
三因素方差分析各影响得估计量
最小二乘估计

a iA
aB j
X ...
Xi .. X ...
X . j . X ... X .. k X ...
Xij. Xi .. X . j . X ...
A i AC ik
xijk a a a a
A i B j C k
AB ij
a
BC jk
a
AC ik
ijk
这里，
ijk ~ N (0, )
2
独立同分布。
我们的
H0
假设为：
C aiA a B ak 0 j H 0 : AB BC AC aij a jk aik 0
X：是二维数组
proup：为分组 P： 为F统计量的上侧概率 Table：为方差分析表 Stats：为F统计量
load hogg
% 调牛奶含菌量数据
[p,tbl,stats] = anova1(hogg） % 进行单因素方差分析 结果的方差分析表为：
接受域
例8.2.2 设单因素有三水平，每个水平下实验的次数不同。
i 1 i 1 i 1
M
M


M


2
S E X ij X i
i 1 j 1
M
N


2 M N i 1 j 1
ij i

2
对它们取期望值，利用
E i E 0

有
E S A N ai2 M 1 2
i 1
M
i
(6.2.2)
ai i
i 1,2,, m
X ij i ai ij
显然{ai}之间有关系
i 1,2, m; j 1,2,, n
0
a
i 1
M
i
Ai 表示水平 Ai 对实验结果产生的影响，它称做水平 Ai 的效应。
方差分析模型就是建立在以下假定之下：
E S E N M 2
令
则有
1 SA SA M 1
N E S A NM
M
1 SE Se NM
2 ai2 2 N A 2 i 1
E SE 2

如果H0：成立，则
2 A 0 ，从而 S A 与 S E
之比应近于1，
基本思想是将总变差进行分离，即系统误差和随机误差。 设：Stotal 总变差，即
Stotal X ij X
i 1 j 1
M
N

X
2 M N i 1 j 1
ij
Xi Xi X

2
X ij X i
i 1 j 1
M
N


2
( X i X )2 2( X ij X i )( X i X )
1） 2） 3）
X ij i ai ij
i 1,2, m; j 1,2,, n
a
i 1
M
i
0
ij ~ N 0,1
（一）参数估计 即通过实验估计μ和{ai}，其估计量记为和μ和{ai} 。令
1 i N
则

j 1
M
ij
1 MN

i 1 j 1
ˆ ai X i X
此时方差分析模型可以改写为：
ˆ X ij X ai l ij
l ij
反映了误差
ij 。由于 X ij ，X
，
ˆ ai
均为已知故
l ij
可以通过样本求得。
（二）统计检验 如果因素A对指标有显著的影响，效应{ai}不全部为零，反之 则全为零。因此我们假设
H 0 : a1 a2 am
物与治愈率有否明显不同，这里我们考查的对象，原
料，药物称为因素，当考查的因素只有一个时我们称
为单因素问题。如果同时考虑两个或更多的因素问题，
则称多因素方差分析（这时计算起来很复杂）。
例：考查温度对某一化工厂产品得率的影响，选了五种不 同温度，同一温度做了三次试验，测得结果如下：
现在分析温度的变化对得率的影响。从平均得率来看，好象温度 对得率是有一定的影响，但详细观察一下数据就会发现问题，表现 在：
X ij X i
i 1 j 1
M
N

X
M N 2 i 1 j 1
i X

2
SE S A
注：交叉项在线性假设下为 0。这里统计量
SA N Xi X
i 1
M


2
N ai i
i 1
M
2
N ai 2 N ai i N i
2

其中 S 为残差平方和项，我们可以得到三因素方差分析表 E
两因素方差分析anova2语法：
Two-way Analysis of Variance (ANOVA)
p = anova2(X,reps) p = anova2(X,reps,'displayopt') [p,table] = anova2(...) [p,table,stats] = anova2(...) 这里： X：数据矩阵 reps：重复次数
xijk ( i 1,2,a; j 1,2,b;
令
k 1,2,, c )
B j C k
a , a , a 分别表示三 AB BC 个因素各自的效应，而 aij , a jk , a 分别表示因素A，B，C
表示实验数据的总体均值， 两两的混合效应，则多因素方差分析线性模型可表示为：

一般对 r 个因素（ r 2 ）的多因素方差分析中, 对于观察值
x i1i2 ir
的线性模型，有 交互效应，…， 项之和。 平方和分解
C
C
r 1 r
1 r
个各因素主效应， C r2 个两两不同因素的 个（r-1）个因素的交互效应以及随机误差
min x ijk ( a a a a
服从（N—M）个自由的
2(N M )
分布，且两者独立，从而
F S A / SB
服从以（M-1），（N-M）为自由度的F分布。
方差分析表的一般形式为：
例8.2.1 设五个不同国家船运来港的牛奶，分别抽取六桶，检验每 桶的细菌含量，即单因素五水平的实验数据为： 数据来自Hogg and Ledolter (1987) 。 组间（国家） 24 14 11 15 组内 7 9 7 21 12 7 19 7 24 4 19 7 15
M
N
ij
1 Xi N
1 X ij N j 1
N
a
i
ij ai i

1 M N X ai ij r i 1 j f
这里


r NM
取
X
是μ的一个无偏估计。
类似地可以推出
ai
的无偏估计是
ˆ ai

l 选择较好的工艺条件或确定进一步的实验方案。
这里介绍几个方差分析术语： 因素：实验中的每一个条件，如上例的温度便是一个因素。 水平：因素在实验中的等级称为水平，如上例中因素温度分为五 个水平：60℃65℃，70℃，75℃，80℃。如果把因素记为A， 则相应地把水平记为A1, A2, A3, A4, A5. 样本：在同样条件下得到不同的实验结果每个结果称为样本。
因素
I
0.365 0.255 0.195 0.215
II
0.27 0.275 0.240 0.265
III
0.305 0.250 0.225
0.185
问三水平下的结果是否有显著区别？注意group的使用。 data = [0.365 0.255 0.195 0.215 0.27 0.275 0.24 0.265 ... 0.185 0.305 0.25 0.225]; group = {'1','1','1','1','2','2','2','2',...

8.2 单因素方差分析
设因素A取了M个水平，每个水平重复了N次实验得到MN个样本， 在水平Ai下的第 j 次实验结果（样本）Xij 可以分解为：
X ij i ij
这响的大小，将 Xij 再进行分解, 令
1 M
令

第八章 方差分析
一、方差分析的基本概念 二、单因素方差分析 三、 多因素方差分析(MNOVA) 四、 案例分析 五、习题

8.1 方差分析的基本概念

经常遇到这样的问题，有几种不同的原料，要考
查它们对产品质量有没有显著的影响。某种新药与其 它一些传统药物对病人进行分组实验来考查不同的药