六年级下册奥数讲义-奥数方法：简单割补法

我们知道长方形、正方形的面积计算公式为：

长方形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

但是这两组计算公式只适用于求解相应的规则图形的面积,如果遇到更为复杂的、不规则的直线形多边形(指多边形的边是直线段)的面积求解问题时,它们就无法直接用于求解了。那么,如何来解决这一难题呢?实际上,尽管它们无法直接用于求解,但我们可以在适当地转化图形后再求助于它们,也就是它们能够间接地帮助我们,这里所说的“转化”是指对直多边形进行适当的分割与添补,使之转化为标准的长方形或正方形,这种方法我们称之为割补法。掌握这方法的关键在于根据待求图形的特征,采用适当的割补使之变为长方形或正方形,为保持面积不变,应将多补上的部分的面积减去,未补上的部分的面积应加上。

[例1】有一形如图la的板(图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度,单位：厘米),求它的面积等于多少平方厘米?

解答

☆解法一

将图1a分割成长方形,可以有两种较简单的方法(见图1b、lc),图形都被分割成三个长方形。以第一种分割法为例(图1b),利用长方形的面积公式可计算出图形的面积(我们可以记之为S)。

S=(1+2+3)×(3+4+5)-1×4-(1+2)×5

=72-4-15

=53(平方厘米)

答：所求的面积为53平方厘米。

[例2】有一个长方形,如果宽减少2米,面积就减少24平方米。如果长增长3米,面积就增加27平方米。求这个长方形的面积。

思路剖析

根据题意,可以画出如下直观图(图3)：

观察图3a,从宽减少2米面积就减少24平方米这个条件,我们可以求出这个长方形的长是24÷2=12(米)。

=(1+2+3)×3+(2+3)×4+5×3

=18+20+15

=53(平方厘米)

☆解法二

上面的方法是将图形分割成若干个长方形,然后求图形的面积,也就是使用了分割法。实际上,我们还可以将图形添补成一个大的长方形(见图2),然后利用大长方形面积与两个小长方形面积之差,求出图形的面积,亦即采用添补法。以第一种添补法为例(图2a),利用长方形的公积公式,可计算出图形的面积。

观察图3b,从长增加3米面积就增加27平方米这个条件,我们可以求出这个长方形的宽为27÷3=9(米)。

那么所求的面积为12×9=108(平方米)。

解答

S=(24÷2)×(27÷3)

=12×9

=108(平方米)

答：这个长方形面积为108平方米。

[例3】求图4所示图形的面积。

思路剖析

在例l中我们已经接触求面积的两种思路,即先将图形分成若干个长方形或正方形,然后算出每个长方形或正方形的面积,再求出整个面积；另一种思路是将这个不规则的图形补成一个规则的图形,然后减去多补上去的部分的面积。这道题依然可以使用添补法。

解答

☆解法一

设该图形的面积为S,采用添补法(见图5a)则有

S=5×6-1×(5-2-1-1)-2×(6-4)

=30-l-4

=25(平方米)

☆解法二

采用分割法(见图5b)有：

把水池四周的水泥路面分成四个同样大小的长方形(图6)。

从图中我们看出,一个小长方形的面积为144÷4=36(平方米)。

又知,水泥路宽2米,即小长方形的宽为2米。所以,小长方形长为36÷2=18米。

从上图中我们还可以看出,正方形水池的边长是小长方形长与宽的差。所以,正方形的边长为18—2=16(米)。

解答

S=(144÷4÷2—2)。

=16×16

=256(平方米)

答：水池的面积是256平方米。

【例5】一张长方形纸片。长8厘米,宽5厘米,把它的右上角往下折叠(如图所7a示),再把左下角往上折叠(如图7b所示)。那么,未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米?

思路剖析

把纸片的右上角往下折叠时,折过的角与它覆盖的部分组成一个边 =6×1+5×l+6×l+4×2

=25(平方米)

[例4】公园里有一个正方形的水池(见图6),

四周有2米宽的水泥路。如果水泥路的总面积是

144平方米,那么中间水池的面积是多少平方米?

思路剖析

长为5厘米的正方形ABCD。再把左下角往上折时,所折的角与其覆盖的部分组成一个边长为8-5=3厘米的正方形DEFG。而未盖住的部分面积就可以用大的长方形MBCG的面积减去上述两个正方形的面积来求解。

解答

=40-25-9

=6(平方厘米)

答：未盖住的阴影部分面积为6平方厘米。

[例6】一个长方形(图8),被两条直线分为四个长方形,其中三个

长方形的面积分别是80、20、60平方厘米。问另一个(图中阴影部分)长方形的面积是多少平方厘米?

分析与解答

长方形的面积等于长乘以宽。如果两个长方形的长(或宽)相等,那么它们的面积问的倍数关系与它们的宽(或长)间的倍数相同。

如图8所示,四个小长方形是大长方形被两条直线分割后得到的。因此,两个相邻长方形面积间的倍比关系,跟另外两个长方形面积间的倍比关系相同。

我们横向看,80是20的4倍,那么阴影部分的面积应该是60的4倍。

所以,阴影部分面积是60×4=240(平方厘米)。

纵向看,60是20的3倍,那么阴影部分的面积是80的3倍。所以,阴

影部分面积是80×3=240(平方厘米)。

[例7] 求下面两种三角形的面积s(图9a、9b)：

分4rr与解答

我们还未学过三角形的面积公式,但只要利用割补法,我们可以自己推导出来,现在我们要做的是将所给的三角形添补成长方形后,再用长方形的面积公式来求解。我们做如下的处理。

(1)由图lOa有：s+s=a×

b

[例8】求图lla所示的平行四边形(两组对边分别平行与相等)的面积。

分析与解答

仍用割补法将图形转化成长方形(如图llb所示),然后再根据彼此间的面积关系求解。故：

答：图11a所示平行四边形的面积为h×l。