可靠性概率分布
系统工程之系统可靠性理论与工程实践讲义
系统工程之系统可靠性理论与工程实践讲义系统可靠性是系统工程中非常重要的一个领域，它一方面涉及到理论研究、模型建立等基础工作，另一方面也需要结合实际工程实践来验证和改进。
本讲义将介绍系统可靠性的基本理论与工程实践，并探讨如何提高系统的可靠性。
一、系统可靠性的定义与重要性1.1 系统可靠性的定义系统可靠性是指系统在给定的条件下在一段时间内满足特定要求的能力。
这个特定要求可以是正常工作的概率、失效的概率、失效后的恢复能力等。
1.2 系统可靠性的重要性系统可靠性直接影响到系统的稳定性、安全性和可用性。
一个可靠的系统能够正常工作并且能够应对可能出现的各种故障和异常情况，从而保证工程项目的顺利进行和安全性。
二、系统可靠性的理论基础2.1 可靠性的概率理论可靠性的概率理论是系统可靠性研究的基础，它将系统的可靠性问题转化为概率分布和统计计算问题。
常用的理论方法有可靠性函数、失效率函数、故障模式与失效分析等。
2.2 系统结构与可靠性分析系统结构与可靠性分析是指通过对系统结构与组成部分进行分析，计算系统的可靠性。
常用的方法有事件树分析、故障树分析、Markov模型等。
2.3 可靠性增长理论可靠性增长理论是指通过对系统进行可靠性试验和监控，根据得到的失效数据对系统进行可靠性增长预测和改进。
常用的方法有可靠性增长图、可靠性增长模型等。
三、系统可靠性的工程实践3.1 可靠性设计可靠性设计是指在系统设计阶段，通过选择可靠性较高的组件和结构，提高系统的可靠性。
常用的方法有设计可靠性评估、冗余设计、容错设计等。
3.2 可靠性测试可靠性测试是指对系统进行工作负载、压力、故障等方面的测试，以评估系统的可靠性。
常用的方法有端到端测试、负载测试、异常情况测试等。
3.3 可靠性维护与改进可靠性维护与改进是指在系统投入使用后，对系统进行设备维护、故障排除、性能改进等工作，以保持系统的可靠性和稳定性。
四、提高系统可靠性的工程实践4.1 设定合理的要求和指标在系统设计之初，需要设定合理的可靠性要求和指标。
可靠性中常用的概率分布
名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形二项分布np npq二项分布：当进行一种试验只有两种可能的结果时，叫成败型试验。
在可靠性工程中，二项分布可用来计算部件相同并行工作冗余系统的成功概率，也适用于计算一次使用系统的成功概率。
返回可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形泊松分布P（λ）λλ泊松分布：一个系统，在运行过程中由于负载超出了它所能允许的范围造成失效，在一段运行时间内失效发生的次数X是一随机变量，当这随机变量有如下特点时，X服从泊松分布。
特点1：当时间间隔取得极短时，智能有0个或1个失效发生；特点2：出现一次失效的概率大小与时间间隔大小成正比，而与从哪个时刻开始算起无关；特点3：各段时间出现失效与否，是相互独立的。
例如：飞机被击中的炮弹数，大量螺钉中不合格品出现的次数，数字通讯中传输数字中发生的误码个数等随机变数，就相当近似地服从泊松分布。
名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形超几何分布H(n,M,N)返回可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形指数分布e(λ)指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。
有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。
它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。
指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。
可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形威布尔分布(Ⅲ型极值分布)W(k,a,b)威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿命试验的数据处理。
可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形正态分布(高斯分布)N(μ,σ)μσ2正态分布：是在机械产品和结构工程中，研究应力分布和强度分布时，最常用的一种分布形式。
可靠性计算
可靠性计算一、概率与统计1、概率；这里用道题来说明这个数学问题（用WORD把这些烦琐的公式打出来太麻烦了，因为公司不重视品质管理，所以部门连个文员MM都没有，最后我只好使用CORELDRAW做的公式粘贴过来，如果你的电脑系统比较慢，需要耐心等待一会公式才会显示来，不过别着急，好东西往往是最后才出来的嘛！）。
题一、从含有D个不良品的N个产品中随机取出n个产品（做不放回抽样），求取出d个不良品的概率是多少？解：典型的超几何分布例题，计算公式如下（不要烦人的问我为什么是这样的公式计算，我虽然理解了一些，解释起来非常麻烦，别怪我不够意思，是你自己上学的时候只顾早恋，没有学习造成的，骂自己吧！）：超几何分布：（最基本的了）：最精确的计算，适用比较小的数据其中：N ——产品批量D ——N中的不合格数d ——n中的合格数n ——抽样数另外的概率计算的常用算法还有：二项分布：（最常用的了，是超几何分布的极限形式。
用于具备计件值特征的质量分布研究）：只是估算，当N≥10n后才比较准确其中：n ——样本大小 d ——n中的不合格数ρ——产品不合格率泊松分布：（电子产品的使用还没有使用过，只是在学习的时候玩过一些题目，我也使用没有经验）具有计点计算特征的质量特性值其中：λ——n ρn ——样本的大小ρ——单位不合格率(缺陷率) e = 2.7182812、分布；各种随机情况，常见的分布有：二项分布、正态分布、泊松分布等，分位数的意义和用法也需要掌握；较典型的题目为：题三、要求电阻器的值为80+/-4欧姆；从某次生产中随机抽样发现：电阻器的阻值服从正态分布，其均值80.8欧姆、标准差1.3欧姆，求此次生产中不合格品率。
公式好麻烦的，而且还要查表计算，555555555555，我懒得写了，反正我也没有做过电阻。
3、置信区间：我们根据取得样品的参数计算出产品相应的参数，这个“计算值”到底跟产品的“真实值”有什么关系？一般这样去描述这两个量：把“计算值”扩充成“计算区间”、然后描述“真实值有多大的可能会落在这个计算区间里”，从统计学上看，就是“估计参数”的“置信区间”；较典型的题目为：题四、设某物理量服从正态分布，从中取出四个量，测量/计算后求得四个量的平均值为8.34，四个量的标准差为0.03；求平均值在95%的置信区间。
可靠性概率分布讲解
关于可靠性分布函数及其工程应用的讨论学号：*********姓名：***目录一、引言 (3)二、分布函数及其应用的讨论 (3)（一）、指数分布 (3)1.定义： (3)2.指数分布的可靠度与不可靠度函数 (4)3.图像分析 (4)4.应用 (5)（二）、正态分布 (6)1.定义： (6)2.正态分布的可靠度与不可靠度函数 (6)3.失效率函数 (6)4.图像分析 (7)5.应用 (8)（三）、对数正态分布 (9)1.定义： (9)2.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数 (9)3.对数正态分布失效率 (9)4.图像分析 (9)5应用 (11)（四）、威布尔分布 (12)1.三参数威布尔分布的定义： (12)2.可靠度与不可靠度函数 (12)3.威布尔分布失效率 (12)4.图像分析 (12)5.应用 (15)三、小结 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、引言可靠性是指产品在规定的条件下，规定时间内，完成规定功能的能力，是对产品无故障工作能力的度量。
可靠性作为衡量产品质量的一个重要的指标，已广泛的应用于各个工程领域。
与可靠性相反，产品丧失规定功能称为失效或故障。
工程机械系统是由零件和部件组成的，零件或部件的失效会导致系统的失效。
然而，失效的原因是多种多样的，如结构缺陷、工艺缺陷、使用不当、老化等等。
引起每种失效的原因也可能是不同的，如性能退化可能由于疲劳、蠕变、裂纹扩展、磨损或者腐蚀等导致的[1]。
实践表明，系统或零、部件的失效时间往往是不确定的，要定量描述系统或零、部件的失效时间，应当采用统计学方法。
将失效时间作为一个随机变量，用一个恰当的概率分布函数去描述它。
从数据的统计分析中找出产品寿命分布的规律，是进一步分析产品故障，预测故障发展，研究其失效机理及制定维修策略的重要手段。
可靠性分析与评估是可靠性分析中非常重要的一部分，它是指在产品的寿命周期内，根据产品的可靠性分布模型、结构，以及相关的可靠性信息，利用统计方法，对产品的可靠性指标做出估计的过程。
理解概率分布函数常见分布公式详解
理解概率分布函数常见分布公式详解概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）是描述随机变量取值概率分布的函数，常用于统计学和概率论中。
在统计学中，常见的概率分布函数有众多的公式。
本文将详细解释几种常见的概率分布函数公式，包括均匀分布、正态分布、指数分布和泊松分布。
一、均匀分布均匀分布是最简单的概率分布函数之一，它在一个有限区间内的取值是均匀分布的。
均匀分布的概率密度函数公式为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别是区间的上下界。
均匀分布的期望值（均值）为（a + b）/ 2，方差为（b - a）^2 / 12。
二、正态分布正态分布是自然界和社会现象中常见的概率分布函数。
它在统计学中有着重要的地位。
正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x - μ)^2/(2σ^2)))其中，μ是期望值（均值），σ是标准差。
正态分布的期望值和方差分别为μ和σ^2。
三、指数分布指数分布是描述事件发生的时间间隔的概率分布函数，常用于可靠性工程和排队论中。
指数分布的概率密度函数公式为：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是事件发生率。
指数分布的期望值为1 / λ，方差为1 / λ^2。
四、泊松分布泊松分布是描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布函数，常用于描述稀有事件的发生情况。
泊松分布的概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）公式为：P(X = k) = (λ^k * exp(-λ)) / k!其中，λ是单位时间或空间内事件的平均发生率。
泊松分布的期望值和方差均为λ。
以上是几种常见的概率分布函数公式的详细解释。
这些概率分布函数在不同领域的应用非常广泛，能够描述和解释各种随机现象的概率分布情况。
可靠性设计中常用的概率分布
05 其他常用概率分布
对数正态分布
定义
对数正态分布是一种连续概率分布，其随机变量的对数服从正态分 布。
特性
对数正态分布常用于描述那些原始数据经过对数变换后符合正态分 布的变量，如寿命测试数据、机械应力和其他一些自然现象。
应用
在可靠性工程中，对数正态分布常用于描述产品的寿命或故障时间， 特别是在那些故障时间跨度很大的情况下。
二项分布
适用于描述独立重复试验的结 果，如抛硬币、抽奖等。
使用概率分布进行可靠性设计的方法与步骤
01
02
03
04
05
1. 确定设计目标 2. 分析影响因素 3. 选择合适的概 4. 进行可靠性设 5. 验证与评估
率分布
计
明确可靠性设计的目标， 如提高产品的平均寿命、 降低故障率等。
分析影响产品可靠性的各 种因素，如材料、工艺、 环境等。
曲线下的面积随着标准差σ的增大 而增大。
正态分布在可靠性设计中的应用
01
02
03
寿命试验
在寿命试验中，许多物理 量如机械零件的疲劳寿命、 电子元件的寿命等都服从 正态分布。
可靠性评估
通过正态分布，可以评估 产品的可靠性，如平均故 障间隔时间（MTBF）。
质量控制
在质量控制中，正态分布 用于确定产品质量的控制 限，确保产品质量稳定。
维修性分析
在维修性分析中，威布尔分布用于描述维修过程 的可靠性和维修时间。
威布尔分布的参数估计与假设检验
参数估计
常用的参数估计方法包括最大似然估计和矩估计。这些方法通过样本数据来估计形状参数、尺度参数和位置参数。
假设检验
在可靠性设计中，经常需要进行假设检验来验证产品的可靠性是否满足预期要求。通过威布尔分布，可以构建合 适的假设检验来评估产品的性能和可靠性。
4 可靠性预测和分配
例 某项设备由发射机、接收机、信息处理 与控制机、监控台监测信号源、射频分机、 天线等七部分组成，其中发射机所用的元 器件及失效率估计如下表所示。试估计发 射机的故障。
4．相似设备法
这种方法是根据与所研究的新设备相似的老设备的可靠性， 考虑到新设备在可靠性方面的特点，用比较的方法估计新 设备可靠性的方法。经验公式为
例： 系统可靠性逻辑框图如下图所示， 已知各单元的失效概率为：FA=0.0247; FB=0.0344; FC=0.062; FD=0.0488; FE=0.0979;FF=0.044; FG=0.0373; FH=0.0685;试用上下限法求系统的可靠 度，并与数学模型法的结果比较。
3．元件计数法
n
F j Fk R j Rk
n—系统中的单元总数； n1—系统中的并联单元数目； Rj，Fj—单元j，j＝1，2，…，nl，的可靠度，不可靠度； RjRk，FjFk—并联子系统中的单元对的可靠度，不可靠 度，这种单元对的两个单元同时失效时，系统仍能正 常工作； n2—上述单元对数。
(1)上限值的计算
当系统中的并联子系统可靠性很高时，可以
认为这些并联部件或冗余部分的可靠度都近 似于1，而系统失效主要是由串联单元引起的， 因此在计算系统可靠度的上限值时，只考虑 系统中的串联单元。
RU 0 R1 R2 Rm Ri
i 1
m
系统应取m=2，即 RU 0 R1R2 当系统中的并联子系统的可靠性较差时，若 只考虑串联单元则所算得的系统可靠度的上限值 会偏高，因而应当考虑并联子系统对系统可靠度 上限值的影响。但对于由3个以上的单元组成的并 联子系统，一般可认为其可靠性很高，也就不考 虑其影响。
现代设计理论之可靠性分配方法简介
可靠性分配方法(一)等分配法（无约束分配法）等分配法（Equal Apportionment Technique ）是对全部的单元分配以相同的可靠度的方法。
按照系统结构和复杂程度，可分为串联系统可靠度分配、并联系统可靠度分配、串并联系统可靠度分配等。
（1）串联系统可靠度分配当系统中n 个单元具有近似的复杂程度、重要性以及制造成本时，则可用等分配法分配系统各单元的可靠度。
这种分配法的另一出发点考虑到串联系统的可靠性往往取决于系统中最弱的单元。
当系统的可靠度为s R ，而各分配单元的可靠度为i R 时因此单元的可靠度i R 为（2）并联系统可靠度分配当系统的可靠度指标要求很高（例如Rs>0.99）而选用已有的单元又不能满足要求时，则可选用n 个相同单元的并联系统，这时单元的可靠度远远大于系统的可靠度。
当系统的可靠度为s R ，而各分配单元的可靠度为i R因此单元的可靠度i R 为（3）串并联系统可靠度分配先将串并联系统化简为“等效串联系统”和“等效单元”，再给同级等效单元分配以相同的可靠度。
优缺点：等分配法适用于方案论证与方案设计阶段，主要优点是计算简单，应用方便。
主要缺点是未考虑各分系统的实际差别。
（二）按相对失效率和相对失效概率分配（无约束分配法）相对失效率法和相对失效概率法统称为“比例分配法”。
相对失效率法是使系统中各单元容许失效率正比于该单元的预计失效率值，并根据这一原则来分配系统中各单元的可靠度。
此法适用于失效率为常数的串联系统。
对于冗余系统，可将他们化简为串联系统候再按此法进行。
相对失效概率法是根据使系统中各单nini i s R R R ==∏=11/ 1,2,,ni s R R i n==（）11ns i R R =--（）1/11,1,2,,ni s R R i n=--=（）元的容许失效概率正比于该单元的预计失效概率的原则来分配系统中各单元的可靠度。
重要度是指用一个定量的指标来表示各设备的故障对系统故障的影响，按重要度考虑的分配方法的实质即是：某个设备的平均故障间隔时间（可靠性指标）应该与该设备的重要度成正比。
第3章可靠性-1
R(t) N n(t) N
（3-1）
式中，R ( t ) 也称存活率。当 N 时，limR(t) R(t) ，即为该产品的可
R(t) dt
（3-9） （3-10）
将上式从0到 t 进行积分，则得
R(t) e0t(t)dt
（3-11）
上式称为可靠度函数 R(t) 的一般方程，当 (t) 为常数时，就是 常用到的指数分布可靠度函数表达式。
例3-2 有100个零件已工作了6年，工作满5年时共有3个零件失效， 工作满6年时共有6个零件失效。试计算这批零件工作满5年时的失效率。
靠度。
N
由于可靠度表示的是一个概率，所以 R ( t ) 的取值范围为：
0R(t)1
（3-2）
可靠度是评价产品可靠性的最重要的定量指标之一。
例3-1 某批电子器件有1000个，开始工作至500h内有100个失效， 工作至1000h 共有500个失效，试求该批电子器件工作到500h 和
1000h 的可靠度。
（１）研究对象 产品即为可靠性的研究对象，它可以是系统、整机、部件，也可 以是组件、元件或零件等。 （２）规定的条件 它包括使用时的： 环境条件（如温度、湿度、气压等）；
工作条件（如振动、冲击、噪音等）； 动力、负荷条件（如载荷、供电电压等）； 贮存条件、使用和维护条件等。 “规定的条件”不同，产品的可靠性也不同。
（3）耗损失效期
耗损失效期出现在产品使用的后期。 其特点是失效率随工作时间的增加而上升。
耗损失效主要是产品经长期使用后，由于某些零件的疲劳、老 化、过度磨损等原因，已渐近衰竭，从而处于频发失效状态，使失 效率随时间推移而上升，最终回导致产品的功能终止。
可靠性理论基础复习资料
可靠性理论基础复习资料目录第一章绪论第二章可靠性特征量第三章简单不可修系统可靠性分析第四章复杂不可修系统可靠性分析第五章故障树分析法第六章三态系统可靠性分析第七章可靠性预计与分配第八章寿命试验及其数据分析第九章马尔可夫型可修系统的可靠性第一章：可靠性特征量2.1可靠度2.2失效特征量2.3可靠性寿命特征2.4失效率曲线2.5常用概率分布2.1可靠度一、系统的分类：可修系统与不可修系统；可修系统是指系统的组成单元发生故障后，经过维修能够使系统恢复到正常工作状态。
不可修系统是指系统或其组成单元一旦发生失效，不在修复，系统处于报废状态。
二、可靠性定义产品在规定条件下，规定时间内，完成规定功能的能力。
1. 产品：可以是一个小零件，也可以指一个大系统。
2. 规定条件：主要是指使用条件和环境条件。
3. 规定时间：包括产品的运行时间、飞机起落架的起飞着陆次数、循环次数或旋转次数等。
产品可靠性是非确定性的，并且具有概率性质和随机性质。
广义可靠性与狭义可靠性指可修复产品在使用中或者不发生故障(通过预防性维修)，或者发生故障也易于维修，因而经常处于可用状态的能力。
广义可靠性=狭义可靠性+可维修性广义可靠性典型事例：赛车可靠性的分类：固有可靠性和使用可靠性固有可靠性：通过设计、制造、管理等所形成的可靠性(通常体现在产品的固有寿命上)使用可靠性：产品在使用条件影响下，保证固有可靠性的发挥与实现的功能。
(通常体现在产品的实际使用寿命上)使用条件：包括运输、保管、维修、操作和环境条件等。
例1:判断下面说法的正确性：所谓产品的失效，即产品丧失规定的功能。
对于可修复系统，失效也称为故障。
(V)例2：可靠度R(t)具备以下那些性质？ ( BCD) A. R(t)为时间的递增函数B. o w R(t) < 1C. R(0)=1D. R()=0若受试验的样品数是N o个，到t时刻未失效的有Ns(t)个；失效的有N f(t)个。
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
电力系统可靠性二项分布和泊松分布
B 旁待备用系统
26
泊松分布（应用）
• A正常工作时(A发生0次故障)、A发生1次 故障时，系统连续工作的概率分别为：
P 0 (t) (t)0 0 !e t e t,P 1 (t) (t)1 1 !e tt e t
• 系统连续工作的总概率为：
R ( t) P 0 ( t) P 1 ( t) e t t e t e t( 1 t)
• 举例：某一次实验，成功的概率是0.1.试分别用(a) 二项分布；(b)泊松分布计算。10次试验中恰有两 次成功的概率。
(a )P (2 ) C 1 20 0 .1 2 0 .9 8 1 2 !8 ! ! 0 0 .1 2 0 .9 8 0 .1937
(b )n p 1* 0 0 .1 1 .0
P(2)1.02 e1.0 0.1839 2!
单位时间的平均故障数
20
泊松分布
• 泊松分布的概率分布函数
Px(t)
(t)xet
x!
x:故障发生的次数
• 该表达式计及了故障数，但未计及元件故障后需要修 复或更换的时间。
• 如果平均修复时间很短而与平均无故障工作时间相比 可以略去不计的话，则在许多计算中，这个假设是合 理的。
21
泊松分布
• 泊松分布的均值(故障发生次数)和方差为：
• 泊松分布用以描述：在一时间t内，某事件发生 次数的概率。例如：一台机组10年内故障0次、1 次…的概率。
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泊松分布
• 它与二项分布的主要区别在于：只考虑事件 的发生而不考虑事件的不发生。
• 如：一个时期的着雷数、一段时间的电话数 等；
• 如果用泊松分布模拟失效过程，则可选择故 障率λ为“给定时间内发生频率为常数” 。
可靠性
2.1 可靠性的定义和要点定义：产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的能力。
要点：1) 产品：任何设备、系统或元器件。
2) 规定条件：包括使用时的环境条件和工作条件。
环境条件：温度、湿度、振动、冲击、辐射等；工作条件：维护方法、储存条件、操作人员水3) 规定时间：产品的规定寿命。
4) 规定功能：产品必须具备的功能和技术指标。
2.2 可靠性特征量定性的概念故障：产品丧失规定的功能。
失效：不可修复或不予修复产品出现的故障。
维修：保持或恢复产品完成规定功能而采取的技术管理措施。
维修性：可维修产品在规定时间内，按照规定的程序或方法进行维修，使其恢复到完成规定功能的可能性。
可用性(可利用度或有效度)：可维修产品在某时刻所具有的，或能维持规定功能的可能性。
定量的概念（可靠性指标）:以上统称为可靠性尺度。
可靠度：产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率。
它是时间的函数。
例2-1 某批电子器件有1000个，开始工作至500h内有100个损坏，工作至1000h共有500个损坏，求该批电子器件工作到500h和1000h的可靠度。
解：由可靠度公式:有2 失效概率密度f(t)失效概率密度函数f(t)的观测值为产品在单位时间内失效个数占产品总数的概率，即：失效概率密度函数与不可靠度和可靠度的关系为: 3 失效率λ(t)定义：当产品工作到t 时刻，在此后的单位时间内发生失效 的概率，也称为故障率。
数学表达式:失效率的统计观测值:结合以上两式：将前式从0到t 积分，则得：于是得:上式称为可靠度函数R(t)的一般方程。
当λ(t)为恒定值时， 就是指数分布可靠度函数的表达式。
说明：(1)R(t)，F(t)，f(t)，λ(t)可由1个推算出其余3个。
(2)R(t)，F(t)是无量纲量，以小数或百分数表示。
f(t)， λ(t)是有量纲量，以1/h 表示。
比如，某型号滚动轴承的失 效率为λ(t)=5*10-5/h ，表示105个轴承中每小时有5个失 效，它反映了轴承失效的速度。
各种概率分布介绍
一、引言Bayes统计起源于英国学者托马斯.贝叶斯（Thomas Bayes,1702～1761）死后发表的一篇论文“论有关机遇问题的求解”。
在此论文中他提出了著名的贝叶斯公式和一些归纳推理方法，随后拉普拉斯（Laplace,P。
C.1749～1827）不仅重新发现了贝叶斯定理，阐述的远比贝叶斯更为清晰，而且还用它来解决天体力学、医学统计以及法学问题。
之后虽有一些研究和应用但由于其理论尚不完整,应用中出现一些问题,致使贝叶斯方法长期未被接受。
直到二战后，瓦尔德(Wald,A.1902～1950）提出统计决策函数论后又引起很多人对贝叶斯研究方法的兴趣.因为在这个理论中,贝叶斯解被认为是一种最优决策函数。
在Savage,L.J.（1954）、Jeffreys,H.（1961)、Good，I。
J(1950）、Lindley，D.V(1961）、Box,G。
E.P.&Tiao,G.C。
(1973)、Berger,J。
O。
(1985)等贝叶斯学者的努力下，对贝叶斯方法在观点、方法和理论上不断的完善.另外在这段时期贝叶斯方法在工业、经济、管理等领域内获得一批无可非议的成功应用。
贝叶斯统计的研究论文与著作愈来愈多，贝叶斯统计的国际会议经常举行.如今贝叶斯统计已趋成熟，贝叶斯学派已发展成为一个有影响的学派，开始打破了经典统计学一统天下的局面。
贝叶斯统计是在与经典统计的争论中发展起来的，现已成为统计学中不可缺少的一部分.贝叶斯统计与经典统计的主要区别就是是否利用先验信息。
贝叶斯统计重视已出现的样本观测值,对尚未发生的样本观测值不予考虑。
近几年来对贝叶斯统计的广泛应用，使得贝叶斯统计在可靠性问题中起到越来越重要的作用。
尤其是对产品的失效率以及产品寿命的检验中，更是离不开贝叶斯统计。
本文主要是探索串联系统和并联系统的可靠性，以及可靠性增长模型的Bayes 估计,这些都表现出了Bayes统计在可靠性中的广泛应用。
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
可靠性概论
图1-14（ b）所示为形状参数m=2和尺度参数η=1（曲 14 线分布宽度）时，位置参数δ不同时的曲线分布图。由图 可见，曲线的形状、分布宽度不变，只是曲线在横坐标上 的位置改变。
图114(b)m 2, 1时不同 (位置)的f (t)
图1-14（ c）所示为形状参数m = 2和位置参数δ= 0时， 15 尺度参数η（曲线分布宽度）不同时的曲线分布图。由图可 见，η↓→ 曲线宽度↓→ f (t )↑。
根据条件概率
R(t0
t)
P(T
t0
t
T
t0 )
P(T
t0 t,T P(T t0 )
t0 )
P(T t0 t) P(T t0 )
R(t0 t) R(t0 )
e-(t0 t) et0
e-t0 et
e-t0
e-t
R(t) P(T
t)
返回1
二、威布尔分布
11
威布尔分布在可靠性理论中是适用范围较广的一种 分布。
t = θ(平均寿命)。
5
(1 -19)
4. 指数分布的失效率函数λ(t)
6
(t) 常数
（1- 20）
指数分布的失效率函数的图形如图1－13所示。
5. 指数分布的平均寿命θ（MTTF或MTBF）
7
对可修产品一般用MTBF 表示平均寿命θ，称“平均无
故障工作时间”
对可不修产品一般用MTTF 表示平均寿命θ，称“失效 前的平均工作时间”
值可查附表1求得（见下页）。
图1-19正态分布的累积 失效概率函数
26 摘自附表1正态分布表
3.正态分布的可靠度函数 R（t）
27
第三章 可靠性的概率分布
浴盆曲线的Ⅱ阶段（使用寿命期） 发动机返复多次维修期间所发生的故障可考虑为指数
分布故障。
例：内燃机增压器处于使用寿命期中工作，根据以
往经验知，寿命服从指数分布，在100小时工作 内有1%发生故障，求可靠度R（2000），t 0.5和 t 0.9 的使用寿命？
–在“浴盆曲线”中，它是属于偶发期这一时段的。
• 指数分布的特点
只含单一参数，形式简单 平均寿命、特征寿命、标准离差相等，为 1 故障率越小，平均寿命越大，但越大，分布
越分散
平均寿命大于中位寿命
• 发动机中有四种故障的寿命概率分布属于指数分布
受随机性冲击时产生的故障：故障与使用时间无关， 仅与外界超强度的冲击力随机到来和内部潜伏的隐患 偶然爆发有关，它们是随机性偶然发生故障，如内燃 机超载下工作或过热造成的故障。
是一个整数型的随机变量，在此时间区间内，发生k次失效的概
率服从一个均值为λt的泊松分布:
P( X k) (t)k et
(k 0)
k!
(2)在任意两次相邻的失效之间的时间T是独立的连续型的随机
变量，服从参数为λ的指数分布 :
P(T t) R(t) et
泊松分布
两次失效的平均时间为 1 ,泊松过程适
n无限大时二项分布的推广。当n很大、p很小时，可用泊松分布近似代
替二项分布。一般地，当n≥20,p≤0.5时，近似程度较好。
• 随机变量X取值不大于k次的累积分布函数为：
F (k ) P( X k ) k r e
r0 r! • X的期望与方差分别为：
E( X ) kP( X k) k 0
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征概率分布是用来描述随机变量的取值的概率的函数。
不同的概率分布具有不同的特征和应用范围。
以下是常用的概率分布类型及其特征。
1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两个可能结果的离散随机变量的概率分布。
例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面。
伯努利分布的特征是它的均值和方差分别等于成功的概率（p）和失败的概率（1-p）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种描述离散随机变量成功次数的概率分布。
它描述了在n次独立试验中成功的次数。
例如，投掷一枚硬币n次，成功的次数即为正面出现的次数。
二项分布的特征是它的均值等于试验次数乘以成功概率，方差等于试验次数乘以成功概率乘以失败概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间内独立事件发生的次数的概率分布。
例如，在一小时内到达一些公共汽车站的乘客数。
泊松分布的特征是它的均值和方差相等，并且与单位时间内事件发生的频率（λ）相关。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，它以钟形曲线表示。
正态分布适用于连续变量，例如身高、体重等。
正态分布的特征是它的均值和方差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心，而方差决定了曲线的宽窄。
5. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：卡方分布适用于描述随机变量和它的平方之和的概率分布。
它在统计推断中经常用于检验统计模型的拟合优度。
卡方分布的特征是它的自由度决定了分布的形状。
6. t分布（Student's t-Distribution）：t分布适用于样本容量较小，总体标准差未知的情况。
t分布的特征是它的形状比正态分布更扁平，更厚尾。
7. F分布（F-Distribution）：F分布适用于进行方差分析等统计推断问题。
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关于可靠性分布函数及其工程应用的讨论学号：*********姓名：***目录一、引言 (3)二、分布函数及其应用的讨论 (3)（一）、指数分布 (3)1.定义： (3)2.指数分布的可靠度与不可靠度函数 (4)3.图像分析 (4)4.应用 (5)（二）、正态分布 (6)1.定义： (6)2.正态分布的可靠度与不可靠度函数 (6)3.失效率函数 (6)4.图像分析 (7)5.应用 (8)（三）、对数正态分布 (9)1.定义： (9)2.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数 (9)3.对数正态分布失效率 (9)4.图像分析 (9)5应用 (11)（四）、威布尔分布 (12)1.三参数威布尔分布的定义： (12)2.可靠度与不可靠度函数 (12)3.威布尔分布失效率 (12)4.图像分析 (12)5.应用 (15)三、小结 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、引言可靠性是指产品在规定的条件下，规定时间内，完成规定功能的能力，是对产品无故障工作能力的度量。
可靠性作为衡量产品质量的一个重要的指标，已广泛的应用于各个工程领域。
与可靠性相反，产品丧失规定功能称为失效或故障。
工程机械系统是由零件和部件组成的，零件或部件的失效会导致系统的失效。
然而，失效的原因是多种多样的，如结构缺陷、工艺缺陷、使用不当、老化等等。
引起每种失效的原因也可能是不同的，如性能退化可能由于疲劳、蠕变、裂纹扩展、磨损或者腐蚀等导致的[1]。
实践表明，系统或零、部件的失效时间往往是不确定的，要定量描述系统或零、部件的失效时间，应当采用统计学方法。
将失效时间作为一个随机变量，用一个恰当的概率分布函数去描述它。
从数据的统计分析中找出产品寿命分布的规律，是进一步分析产品故障，预测故障发展，研究其失效机理及制定维修策略的重要手段。
可靠性分析与评估是可靠性分析中非常重要的一部分，它是指在产品的寿命周期内，根据产品的可靠性分布模型、结构，以及相关的可靠性信息，利用统计方法，对产品的可靠性指标做出估计的过程。
科学的可靠性评估方法不仅可以减少试验经费，提高分析结果的准确性，而且缩短了研制周期，成为现代工业生产所必须的工具。
在可靠性分析和评估中，对产品的寿命等数据的分散度进行的研究表明，其分散的形态，大多可用几种典型的分布模型来近似的模拟。
下面就针对指数分布、正态分布、对数正态分布、威布尔分布分析说明其中的参数对其分布函数形状、位置等的影响及它们在工程分析中的应用。
二、分布函数及其应用的讨论（一）、指数分布指数分布是由失效率为常量这一假设得出的，是可靠性理论中最基本、最常用的分布模型之一。
1、定义：若t 的概率密度函数为f （t ）= ⎩⎨⎧<>≥-)0(0);0(t t e tλλλ （1.1）则称其服从参数为λ的指数分布，其中λ为常数，是指数分布的失效率。
2、指数分布的可靠度与不可靠度函数指数分布不可靠度为F （t ）=⎰tdt t f ）（=1-t-eλ t ≥0；λ>0 （1.2）可靠度为R （t ）=1-F （t ）=t-eλ t ≥0；λ>0 （1.3）3、图像分析（1）下图为指数分布概率密度函数图像图1-1 指数分布失效密度函数由图1-1可以看出失效概率密度均为下降趋势，为严格减函数，并且当t →0时f （t ）→0。
另外，失效率对失效概率密度函数的影响：失效率越大，则起始时刻f （t ）越大，且f （t ）下降越快，这与实际直观认识是一致的。
（2）下图是指数分布不可靠度与可靠度函数图像从图中可以看到，失效率越底，不可靠度上升越慢（即可靠度下降越慢）。
若下降到到同一可靠度，失效率越低，所需时间越长，即零件工作时间越长，这和实际经验也是相一致的。
图1-2 指数分布可靠度与不可靠度变化曲线4、应用（1）原理指数分布是可靠性理论中最基本、最常用的一种分布，它最显著的特征是失效率等于常数。
正是因为此特点，它更适合描述许多产品在偶然失效期的有用寿命分布。
指数分布产生原理是无累积效应失效。
在工程实践中，大多数产品无累积效应的失效，基本可以认为其服从指数分布，多数电子产品的失效以及突发重大事故即属于此类。
指数分布的一个重要性质是无记忆性，即如果一产品寿命服从指数分布，则工作一段时间后若仍然正常，则它仍然和新的一样，再工作t时间的概率和已经工作过的时间长短无关，偶联系，又称为“无后效性”。
（2）工程应用在电子产品可靠性理论中，指数分布是最基本、最常用的分布，适用于失效率为常数的情况（当产品进入偶然失效期间，其失效率近似等于常数）。
由于大部分电子产品的使用寿命服从或近似服从指数分布，因此，可用指数分布描述其寿命分布。
指数分布作为可靠性工作中非常重要的一种分布，还经常用于描述由大量元器件组成的复杂系统寿命分布（如复杂的航空电子设备可靠性分析），分析元器件的筛选、老化, 系统的冗余设计等，在高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中也有广泛应用。
但最主要的还是在电子元器件的可靠性研究中价值，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果[2]。
在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。
此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布。
不仅如此，指数分布也可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔等。
（3）局限性但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。
所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。
再者，由于指数分布失效率为常数，对于失效率变化的情况，不能做到有效的模拟（浴盆曲线前后两个时期），这一点的限制了其在工程领域可的应用范围。
（二）、正态分布正态分布又称为“高斯分布”，是由高斯首先提出并应用的。
作为一种经典的概率分布模型，有着极其广泛的应用。
1、定义：若t 的概率密度函数为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=2-t 21-ex p 21t f σμπσ）（ +∞<<∞t - （2.1）则称其服从参数为μ和σ2的正态分布。
式中，σ和μ为两个参数，σ称为标准差；μ称为均值。
其中，μ反映了t 的分布的平均水平，而σ反映了分布的集中程度。
2、正态分布的可靠度与不可靠度函数 正态分布不可靠度为F （t ）=dt -t 21-ex p 21t-2⎰∞⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σμπσ （2.2）可靠度为R （t ）=1-F （t ）=dt -t 21-ex p 21t2⎰∞+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σμπσ （2.3）3、失效率函数 正态分布失效率为λ（t ）=）（）（t R t f =dt -t 21-exp 21-t 21-exp 21t 22⎰∞+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σμπσσμπσ （2.4）4、图像分析（1）图2-1为正态分布失效概率密度函数曲线图2-1 正态分布σ和μ对失效概率密度函数曲线的影响从图2-1中可以看到:①. 曲线关于x=μ对称，μ值大小影响曲线左右位置，即改变的值使曲线在水平方向上作平移；②. 当t=μ时取得最大值，且t离μ越远，函数值越小，在左右无穷远处，概率密度函数值趋于0；③. σ值影响曲线形状。
σ值越小，即标准差越小，图形变得越尖，分布越集中。
（2）下图为正态分布不可靠度和可靠度变化曲线（左边为可靠度，右边为不可靠度）图2-2 正态分布可靠度与不可靠度曲线从图2-2中可以看出均值若较小，可靠度会在t较小时开始显著降低（相应的不可靠度在t较小时开始显著上升）；而标准差较小使可靠度下降变晚（相应的不可靠度上升变晚），但达到一定时间会快速下降，迅速趋近于0，而后稳定，相反，标准差较大者，使可靠度始终保持一个较稳定的速度平稳下降，逐渐趋于0。
（3）失效率下图为正态分布失效率曲线图2-3 正态分布失效率曲线可以看出，失效率总体趋势为先上升，后下降，最终接近0。
均值越大，失效率曲线相对向右移动，峰值出现晚，峰值提高；标准差对曲线没有左右位置影响，即出现峰值位置不变，而是只改变峰值大小，标准差越小，峰值越高。
5、应用（1）原理正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
正态分布是应用较广泛的分布之一，其失效机理是：多微因合成, 没有主导因素。
即它是由大量相互独立，微小的随机因素的总和构成的，且每一个随机因素对总和的影响是均匀微小的，即可认为此随机变量服从正态分布[3]。
（2）工程应用正态分布适用于有基本均匀的累积效应的情况。
也就是说, 由累积耗损所造成的故障，如腐蚀、磨损、表面破坏及器件老化等，一般认为其寿命服从正态分布。
正态分布广泛应用于各个领域，其中一个重要应用就是质量控制，即为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以标准差的倍数作为上、下警戒值和控制值，其依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布[4]。
在航空维修可靠性上，正态分布主要用于分析由于磨损而发生失效的附件，因为耗损失效分布往往接近正态分布。
另外，寿命数据符合正态分布的产品，通常时间特性比较明显，在使用到某个特定的时间后性能衰退较快，因而可以据此制定合理的维修计划。
正态分布的另一种重要作用是对制造的产品质量及其性能是否符合规范进行分析。
（三）、对数正态分布若一个随机变量的对数服从正态分布，则称其服从对数正态分布，它是一种偏正态分布，是正态分布的一种改进，在某些领域有重要应用价值。
1、定义：若t 的概率密度函数为f （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤+∞<<-∞>>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛0x 0;0;0x -ln t 21-ex p 2t 12μσσμπσ （3.1）则称其服从对数正态分布。
式中μ称为对数均值；σ称为对数标准差。
2.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数 不可靠度F （t ）=dt -ln t 21-ex p 2t 1t2⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σμπσ （3.2）可靠度R （t ）=1-F （t ）=dt -ln t 21-exp 2t 1t2⎰∞+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σμπσ （3.3） 3.对数正态分布失效率λ（t ）=）（）（t R t f =dt -ln t 21-exp 2t 1-ln t 21-exp 2t 1t 22⎰∞+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σμπσσμπσ （3.4）4.图像分析（1）下图为对数正态分布失效概率密度函数图像图3-1 对数正态分布失效概率密度函数从图3-1中可以看出函数图像呈现单峰性，且为偏锋，峰值向t较小一侧偏移。