线性代数2017年秋第一阶段作业
线性代数17秋在线作业11
线性代数17秋在线作业1试卷总分:100 得分:100一、单选题(共10 道试题,共20 分)1. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:C2. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:A3. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:A4. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:C5. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:C6. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:A7. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:A8. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:C9. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:C10. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:C二、多选题(共10 道试题,共20 分)1. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:CD2. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:ABD3. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:CD4. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:BD5. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:ABCD6. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:ABCD7. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:BD8. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:ABC9. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:AC10. -A. -B. -C. -D. -满分：2 分正确答案:ABCD三、判断题(共20 道试题,共60 分)1. -A. 错误B. 正确满分：3 分正确答案:B2. -A. 错误B. 正确满分：3 分正确答案:B。
东北林业大学2017-2018第一学期线性代数阶段化考试试题
于是 C100
=
(E
+
M )100
=
E100
+
C1 100
M
+
C2 100
M
2
+
+
C100 100
M
100
=
E 100
+
C1 100
M
=
E
+100M
=
1 0
10
+100
0 0
2 0
=
10
2100
550 0 0 0
A100
=
0 0 0
2E
=
0
，则 (A +
2E)−1
=
−
1 4
( A − 3E)
；
开课学院：理学院
教研室主任（专业负责人）：王文龙
第 1页共 4 页
得分
二、证明题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，总计 20 分）
1、设 A 是 n 阶方阵，若 AT = A ，则称 A 是对称阵；若 AT = − A ，则称 A 是反对称阵。
=
A ，A − 2E
=
1
−1
0
，
A
−
2E
=
2 ，所以 A − 2E
−1 2 1
可逆，故 B = ( A − 2E )−1 A 。
订
−1 3 3
−1 3 3
学
(
A
−
2E )*
=
−1
1
1 1
3
全国2017年4月高等教育自学线性代数(经管类)试题与详细答案
线性代数(经管类)试题与详细答案
课程代码：04184
说明：在本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置矩阵，A*表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， |A|表示方阵 A 的行列式，r(A)表示矩阵 A 的秩. 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 1 分，共 5 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸” 的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1. 已知 2 阶行列式 A． 6
所以 r 1 , 2 , 3 2 。 11. 设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 满足 r（A）=2，1 1,2,0 ， 2 1,3,1 为其两个
T T
解，则其导出组 Ax=0 的通解为
.
解答：使用非齐次线性方程组解的性质。由于 A1 b ， A 2 b ，因此 A1 2 0 ， 即 1 2 是 Ax=0 的解，从而 x 1 2 2,1,1 ，即有
6. 行列式
2 0 0 3 1 3 2 5 0 2 0 7
.
解答：使用行列式按行（列）展开法。因为
2 0 0 按第二行展开 2 0 0 3 按第一行展开 3 2 1 4 1 1 1 3 2 111 1 2 8 1 3 2 5 2 0 0 2 0 0 2 0 7
A． 2 B． 1
1 答案整理：郭慧敏 广州大学松田学院
C． 1
D． 2
解答：齐次线性方程组有非零解的 是系数行列式等于零，因此有
2017 年 4 月 线性代数（经管类）
2 k
1 1
1 10
1 1 1
又因为
2 k
2017年线性代数样卷
一、选择题（本题共 5 小题,每小题 2 分，共 10 分)1．若A 为2阶矩阵，则3A -=（ B ）.A ．9A -B ．9AC ．8AD ．8A - ２．设,A B 为n 阶方阵，且0AB =，则（ D ）.A ．0A =或0B = B ．0BA =C ．222()A B A B +=+D ．00A B ==或 ３．设α是n 维列向量，λ为实数，则向量λα的长度=λα( C ).A ．αλB ．αλ⋅C ．αλ⋅nD ．αλ⋅n４．齐次线性方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩只有零解，则λ应满足的条件是（ ）.A ．0λ=B ．0λ≠C ．1λ=D ．1λ≠５．含有4个未知数的齐次线性方程组0Ax =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（ D ）.A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本题共 5 小题,每小题 3 分，共 15 分)1.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=513024001A ，其伴随矩阵*A 的逆矩阵()=-1*A ___________．2.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=753240,311102B A ，则=B A T __________.3.设向量组T 3211=α，T ），，（6542=α，T），，（5552=α与向量组321,,βββ 等价，则向量组321,,βββ的秩为__________.4.设x η*=是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，r n -ξξξ,,,21L 是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组Ax b =的全部解可以表示为_________________________________.5.二次型21()31T f x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的矩阵为 .三、计算题（本题共 4 小题,每小题 10 分，共 40 分)1. 计算行列式4=a b b bb a b b D b b a bb b b a. 2. 设211=,3223A B A A E -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求B 的逆1B -.3. 解矩阵方程AX B X +=，其中01011111,2010153A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.4. 试用施密特法把向量组()()()1231,2,1,1,3,1,4,1,0T T Ta a a =-=-=-正交化.四、证明题（本题共 1 小题,每小题 10 分，共 10 分)1.已知向量组123,,ααα线性无关，且112123123,,βαβααβααα==+=++， 试证向量组123,,βββ线性无关.五、综合题（本题共2小题,第1题12分，第2题13分，共 25 分) 1.λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解.2. 求一个正交变换x Py =将二次型222123232334f x x x x x =+++化成标准形. 二次型的矩阵2 0 0A= 0 3 20 2 32-λ 0 0|A-λE| =0 3-λ 20 2 3-λ= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]= (1-λ)(2-λ)(5-λ).所以 A 的特征值为 1,2,5.(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.a1,a2,a3 单位化得b1=(0,1/√2,-1/√2)'b2=(1,0,0)'b3=(0,1/√2,1/√2)'令 P = (b1,b2,b3),则 P 是正交矩阵,且P^-1AP = diag(1,2,5).故 X=PY 是正交变换,满足f = y1^2+2y2^2+5y3^2.一、选择题（本题共 5 小题,每小题 2 分，共 10 分)1．设,A B 为n 阶方阵，且0A AB +=，则（ ）. A. 0A = B. 0E B += C.0A =或0E B += D.0A =且0E B +=2. 设,P Q 为n 阶方阵，且2()PQ E =，则（ ）.A.22P Q E =B. 22Q P E =C. 2()QP E =D.以上都不正确3. 若n 阶方阵A 满足2230A A E -+=，则A 可逆，且1A -=（ ）.A. 2A E -B.2E A -C. 1(2)3A E -- D. 1(2)3A E - 4. 线性方程组10ax by bx ay -=⎧⎨+=⎩，若a b ≠，则方程组（ ）.A. 无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 需讨论多种情况5．含有4个未知数的齐次线性方程组0Ax =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（ ）.A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本题共 5 小题,每小题 3 分，共 15 分)1.行列式1111111111111111D -=--，则 21222324A A A A +++= . 2.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=420310002A ,则1A -= .3.设向量组A 12:,,,;m a a a 向量组B 12:,,,;n b b b 则B 可由A 线性表示的充要条件是R （A ）=R （A ，B ），A 与B 等价的充要条件是 .4. 已知123(2,0,1,3),(7,1,5,3),(3,1,1,1)T T T ααα===-且1232()3(),ααααααα++-=+=则 .5. 二次型 123(,,)f x x x =221312132343624x x x x x x x x +++-,则对应的矩阵是 .三、计算题（本题共 4 小题,每小题 10 分，共 40 分)1. 计算行列式 D =--1102334620331247的值.2. 设A 为三阶方阵，13A =，求1(3)7A A -*-. 3. 设101110012A 骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫，301110014B 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫，解矩阵方程AX B =.4. 用施密特法将向量组()()()1231,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0T T Ta a a =-=-=-正交 化.四、证明题（本题共 2 小题,每小题 5 分，共 10 分)1.若A 是n 阶对称的可逆矩阵,证明:1A -也是对称矩阵.2.给定3阶实对称矩阵213124349A 骣--÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç-桫，证明：A 为正定矩阵.五、综合题（本题共2小题,第1题12分，第2题13分，共 25 分)1. 验证123(3,2,0),(3,3,1),(4,4,1)T T T ααα==---=为3R 的一个基，并把12(1,0,0),(0,0,1)T T ββ==用这个基线性表示.2. 求一个正交变换x Py =将二次型221212524f x x x x =++化成标准形. 解:1、求二次型矩阵A 的特征值，解特征方程|λE-A|=0解得特征值λ1=1，λ2=62、当λ=1时，求特征向量为α1=（2，1）T当λ=6时，求特征向量为α2=（-1，2）T3、由于是实对称矩阵，所以不同特征值的特征向量已经正交，所以只需单位化 β1=(2/√5，1/√5)T ，β2=（-1/√5，2/√5)T4、那么令P=（β1，β2）经正交变换x=Py ，二次型化为标准型f(x1，x2)=xTAx=yTBy=y1²+6y2²。
2017年10月高等教育自学考试《线性代数》试题02198
2017年10月高等教育自学考试《线性代数》试题课程代码：02198一、单项选择题1．设n 阶可逆矩阵C B A ,,满足E ABC =，则=C （D ）A ．AB B ．BAC ．A -1B -1D ．B -1A -12．设A 为3阶矩阵且r(A )=1，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100610321B ，则r(BA )=（A ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．设向量组)3,2,1(1=α，)2,1,0(2=α，)1,0,0(3=α，)6,3,1(=β，则（C ）A ．βααα,,,321线性无关B ．β不能由321,,ααα线性表示C ．β可由321,,ααα线性表示，且表示法惟一D ．β可由321,,ααα线性表示，且表示法不惟一4．设A 为2阶矩阵，且053=-E A T ，且A 必有一个特征值为（A ）A ．35B ．53C ．53-D ．35- 5．二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=的秩为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题6．行列式103102101100的值为 -2 。
7．设A 为3阶矩阵，1=A ，则A 2-= -8 。
8．设n 阶矩阵A 的所有元素都是1，则r(A )= 1 。
9．设A 为2阶矩阵，将A 的第1行与第2行交换得到矩阵B ，则=+B A 0 。
10．设3维向量T )2,1,3(-=α，T )4,1,3(=β，若向量γ满足βγα32=+，则=γ (3,5,8)T 。
11．设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=+-321321321321x x x x x x x x x λ有惟一解，则数λ的取值范围为1-≠λ。
12．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32020001x A 的特征值为1，1，5，则数=x 3 。
13．已知3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，且矩阵B 与A 相似，则=+E B 2 100 。
14．已知向量组)3,2,1(1=α，),2,2(2k =α正交，则数=k -2 。
17-18线性代数第一学期考试卷A - 答案
第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量， 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。
2017的线性代数与概率统计随堂练习题目答案详解
1.(单选题) 计算？A．;B．;C．;D．.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.(单选题) 行列式？A．3;B．4;C．5;D．6.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题) 计算行列式. A．12；B．18；C．24；D．26.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题) 利用行列式定义计算n阶行列式：=?A．;B．;C．;D．.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：5.(单选题) 计算行列式展开式中，的系数。
A．1, 4;B．1，-4;C．-1，4;D．-1，-4.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：6.(单选题) 计算行列式=？A．-8;B．-7;C．-6;D．-5.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：7.(单选题) 计算行列式=？A．130 ;B．140;A. B. D.参考答案：D8.(单选题) 四阶行列式的值等于多少？A．；B．；C．；D．.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：9.(单选题) 行列式=？A．；B．；C．；D．.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：10.(单选题) 已知，则？A．6m；B．-6m；C．12m；D．-12m.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：11.(单选题) 设＝，则?A．15|A|;B．16|A|;C．17|A|;D．18|A|.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：12.(单选题) 设矩阵，求=？A．-1;B．0;C．1;A. B. C. D.参考答案：B13.(单选题) 计算行列式=?A．-1500;B．0;C．-1800;D．-1200.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：14.(单选题) 齐次线性方程组有非零解，则=？A．-1;B．0;C．1;D．2.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：15.(单选题) 齐次线性方程组有非零解的条件是=？A．１或－３;A. C.参考答案：A16.(单选题) 如果非线性方程组系数行列式，那么，下列正确的结论是哪个？A．无解;B．唯一解;C．一个零解和一个非零解;D．无穷多个解.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：17.(单选题) 如果齐次线性方程组的系数行列式，那么，下列正确的结论是哪个？A．只有零解;B．只有非零解;C．既有零解，也有非零解;D．有无穷多个解.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：18.(单选题) 齐次线性方程组总有___解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有___解。
【考研数学】2017版线代讲义练习题解答
即 r α1, α2, , αs r β1, β2,
第 108 页 答案 B
解析 A* O, r A* 1,
, βt .
伴随矩阵的秩的关系，
n, r A n,
r
A*
1,
r
A
n
1,
0, r A n 1.
知 r A n 或n 1．
非齐次方程组有不同的解，即有多个解， r A n ．
β1, β2 , , βt 的秩为 q ，记其极大线性无关组为 βi1 , βi2 , , βiq ，
α1, α2 , , αs 可以由 β1, β2 , , βt 线性表出， 可以推出，
αi1 , αi2 , , αir 可以由 βi1 , βi2 , , βiq 线性表出，
定理 3.7 推论， r q
而 A 1 a 1 a2 01 a
a 0.
(Ⅱ) X (E A2 ) AX (E A2 ) E
(E A) X (E A2 ) E
E A, E A2必可逆
X (E A)1(E A2 )1
1 1 01 0 0 11
= 1
1
1
0
1 0
0 1 1 1 0 2
2 1 1 2 0 1
E BA B E AB1 A BAB E AB1 A
E BA E BA B E AB1 A
E BA E B E AB1 A
有可逆矩阵的定义知， E BA 可逆且逆矩阵为 E B E AB1 A ．
方法二（反证法）
假设 E BA 不可逆，则齐次线性方程组 E BA x 0 有非零解 η ，
5 0
方程组有解， b
《2017 线性代数辅导讲义》练习参考答案
第 19 页 （特征值的相关知识见第五章） 答案 （1）1 解析 矩阵不可逆，矩阵行列式为零．
线性代数2016-2017-1A卷答案
1
1 2 3 4
0 1 1 1
2 0 1
1 1
1 1
~
0 0
3 1 0
1 5 5 5
0 1 1 1
2 0
1
5 5 5
1 1 1
~
0
0 0
0
1 0 0
1 5
1 5 0
0
1
1
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1 5
----6 分
0 0
0 0
x1
x2 x3 x4
1 5
x3
x4
1 5
x3
x4
1x3 0x4
0x3 1x4
1 5
1 5
0
0
,方程组的通解为：
x1 x2 x3 x4
证明 因为 A, B 均是 n 阶正交矩阵，所以 AAT AT A E , BBT BT B E
A B AE B ABT B B (ABT E)B ,----------------------------------3 分 ( ABT AAT )B A(B A)T B
10分
0 0 1 1/2 0 1
1/ 2 0 1
x1 x2 2x4 0
19.
求线性方程组
32xx11
2x2 3x2
x3 x3
x4 x4
16-17-1线代试题答案
4
1
3
2
0
9
5
14
1 2 2 3 1 0 0 1
0
1
9
10
0
1
0
1
（ 8分)
0 0 92 92 0 0 1 1
0
0
76
76
0
0
0
0
R(1,2,3,4 ) 3 （1 分）
x1 x2 x3
c
5 4 1 Nhomakorabea0
1
0
（5
分）
六、（12 分）
1 2 2 3 1 2 2 3
（1,2 ,3,4 )
2 3
3
5
4
0
1
9
10
4 8 1 0 10 2 8
1
，
2
，
3
）
1
1
0
0 2 1
2 0 3
2 0 3
1
1
0
8
0
，
1
1
0
可逆，
0 2 1
0 2 1
R（2 21, ，2 +23，31 3 ）=R（1 ，2 ，3 ）=3，
向量组2 21, ，2 +23，31 3 线性无关。 九（6 分） A（化工、文管大类专业选做本题）
2017线性代数试题及答案
（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是 15_______。
2. 若122211211=a aa a ，则=16030322211211a aa a 33. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 R(A)=R(A,b)=n_5.设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是R （A ） ＜ n 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 09. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k 1 1-2k+1=0二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组rααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶 方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( D )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
C)(A *kA )(B *A k n)(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是B _____。
2017年自考线性代数历年考试试题及答案解析
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数第一张练习题
线性代数第一张练习题1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为n?1. 正确答案：!解答：方法1因为含有a11的项的一般形式是a11a2j2?anjn，其中j2j3?jn是n?1级全排列的全体，所以共有!项. 方法由行列式展开定理a11a12a22?an2a1na2n?ann?a11A11?a12A12a1nA1n，a21?an1而a12A12a1nA1n中不再含有a11，而A11共有!项，所以含有a11的项数是!.注意：含有任何元素a的项数都是!.ij2. 若n阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij 等于零.a11a12a22?an2a1na2n?ann3、?、n列都加到第一列，则行中的2、解答：将a21?an1列式中有一列元素全为零，所以aij等于零. a10a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a2a4b3b2a33.00b4.解答：方法1按第一列展开a100b40a2b300b2a30?a1b4b1a4?a1b4b1a2a4b3b2a3?a1a4a2b3b2a3?b1b4a2b3b2a3.方法交换2，4列，再交换2，4行 a10a2b300b2a30b100a4??a100b4b100a40a2b30?a1b400b1a40000a3b200b3a2D00b4=a1b4b1a2a4b3b2a3.方法Laplace展开定理：设在n行列式k个行，由这k中任意取定了行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。
所以按2，3行展开a10a2b300b2a30b100a4ij00b4?2?3?2?3a1b4b1a2a4b3b2a3=a1b4b1a2a4b3b2a3.4. 若n阶行列式aij满足a ?Aij,i，j?1,2,?，n,则aij?0.解答：由行列式展开定理a11a12a22?an2a1na2n?anna21?an1?a11A11?a12A12a1nA1n?a211?a12a1n?0.225. 若n阶行列式aij的展开式中每一项都不为零,则aij解答：反例如二. 单项选择题1?24?812481xxx23?0.1224?0.1. 方程?0的根为.1,2,3； 1,2,?2； 0,1,2； 1,?1,2. 解答：11?24?812481xxx23111??0，所以根为1,2,?2.a11a12a22a32a13a23?aa332a11a13a23a33a11?a12a21?a22?a31?a32 2. 已知a21a31,那么2a212a31.a； ?a；2a；?2a.2a11a13a23a33a11?a12a31?a32a11a31a13a23a33a12a22?-2aa32解答：a212a31a21?a22?2a21。
中国农业大学2017-2018.doc(秋)《线性代数》期末考试试题解析
2017~2018学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1.设100220345A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则1*1|()|4A A --=.解析：由于2211110,|10,,10A A A A A A A *-**=====则31*116(6)|()|441010A A A A A --**---=-==注释本题知识点：（1）1;n A A -*=（2）;AA A A A E **==（3）.n A A λλ=答案：3(6)10-2.设矩阵101112,011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭321,,ααα为线性无关的三维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为.解析：矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭的秩为2,321,,ααα为线性无关的三维列向量组，因此，矩阵123(,,)ααα可逆，而123123(,,)(,,)A A A A αααααα=，则123,,A A A ααα的秩为2.注释本题知识点：(1)矩阵的秩的定义；(2)矩阵秩的性质:若=A PBQ ，其中,P Q 为可逆的矩阵，则=()()R A R B (3)向量组的秩与矩阵秩的关系:向量组321,,ααα的秩等于矩阵123(,,)ααα的秩．答案：2.3.设100020001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，要使A kE +为正定矩阵，k 应满足.解析：100020001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭特征值为1,2,1λ=-，则A kE +的特征值为1,2,1k k k λ=-+++，若A kE +为正定矩阵，则10,20,10k k k -+>+>+>，故1k >．注释本题知识点：（１）A 为正定矩阵的充要条件是A 的所有特征值大于零；答案：1k >4.设A 是三阶实对称矩阵，A 的秩()1,R A =若25A A O -=，则A 的非零特征值是.解析：由25A A O -=知矩阵A 的特征值为0λ=或5λ=，由A 的秩()1,R A =知A 的非零特征值是5.注释本题知识点：(1)特征值的定义；(2)正定矩阵的性质．答案：55.在四元非齐次线性方程组Ax b =中，A 的秩R (A )=3,且123,,ααα为它的三个解向量,已知()()1232,0,5,1,1,0,0,2,T Tααα=-+=则方程组Ax b =的通解可以写成.解析：由于A 的秩R (A )=3，则在四元齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有一个非零的解向量．又123,,ααα为Ax b =的三解向量,且()()1232,0,5,1,1,0,0,2,TTααα=-+=则231()2(1,0,0,2)2(2,0,5,1)(3,0,10,4),T T T ααα+-=--=--是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2300,51014k k R ．注释本题知识点：（１）线性方程组通解的结构答案：-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2300,51014k k R 二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，001010100P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100001010Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则PAQ 为（）(A)123456789⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)132465798⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)798465132⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭.(D)321987.654⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：001123100789100798010456001456001465100789010123010132PAQ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注释本题知识点：(1)初等矩阵在矩阵行列变换中的作用答案：C2.下列矩阵中,不能相似于对角阵的是（）(A)001010.100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)111022.003⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(C)121242.121-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(D)211020.403-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭解析：(A)中矩阵⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭001010100是实对称矩阵，能与对角阵相似；(B)中矩阵⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭111022003有三个不同的特征值1,2,3λ=，则能对角化；(C)中矩阵-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭121242121特征值为0,0,3λ=，0λ=为二重特征值，但对应两个线性无关的特征向量，因此能对角化．(D)中矩阵-⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭211020403特征值2λ=为二重特征值，但对应一个线性无关的特征向量，因此不能能对角化．注释：本题知识点：(1)n 阶方阵对角化的充分必要条件是：存在n 个线性无关的特征向量；(2)实对称矩阵一定能对角化．答案：D3.设)(ij a A =是三阶方阵,满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵,A 为A 的行列式，则||A ＝()(A)0.(B)0或1.(C)-1.(D)1.解析：由*T A A =得,T A A A *==,由于2A A *=，得(1)0A A -=,故0A =或1.注释本题知识点：(1)行列式性质TA A =；(2)行列式性质1n A A-*=．答案：B4.设123,,ξξξ是方程组0Ax =的基础解系，则下列向量组中也是方程组0Ax =的基础解系的是（）(A)122331,,ξξξξξξ+++.(B)122331,,ξξξξξξ+-+.(C)122331,,ξξξξξξ---.(D)1231312,,2ξξξξξξξ+-++.解析：（A）中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭，而矩阵101110011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，则122331,,ξξξξξξ+++线性无关，为方程组0Ax =的基础解系；（B）中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+-+= ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵101110011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭不可逆，则122331,,ξξξξξξ+++线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；(C)中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵101110011-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭不可逆，则122331,,ξξξξξξ---线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；（D）中1231312123112(,,2)(,,)101110ξξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+-++= ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵112101110⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭不可逆，则1231312,,2ξξξξξξξ+-++线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；注释本题知识点：（１）线性方程组基础解系的定义；(2)向量组的秩与矩阵秩的关系；(3)矩阵秩的性质．答案：A5.设n 维列向量组1,,()m m n αα< 线性无关，则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为（）(A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示.(B)向量组1,,m ββ 可由向量组1,,m αα 线性表示.(C)向量组1,,m αα 与向量组1,,m ββ 等价.(D)矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B .解析：（A）中令12(1,0,0,0),(0,1,0,0)T T αα==;12(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T ββ==,则（A）、(B)、(C)都不成立．在（D）中若矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B ，则1,,m ββ 线性无关；反之1,,m ββ 线性无关，则矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B ．注释本题知识点：（１）向量组的线性表示；（２）向量组的等价；（3）向量组秩的定义及性质．答案：D三、（本题满分14分）计算下列各题1.计算四阶行列式0052002112341326D =--.解析:()()00521234002113263254112340052132621D --===--=--2.设n 阶行列式=det()n ij D a ,其中||(1,)ij a i j i j n =-≤≤,求n D .解析：122301231111111012211111310131111132104111111234012340r r n r r n n n D n n n n n n n n n -----------==-------------213112100001200012200(1)(1)2.1222012324251c c n n c c n n n n n n +--+------==-----------注释本题知识点：（1）行列式性质；（2）行列式的计算方法．四、（本题满分16分）1.设三阶方阵A,B 满足16,A BA A BA -=+且131415A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求B .解析：显然A 可逆，用1A -右乘方程两边，得--=+⇒-=116()6A B E B A E B E ，从而--=-116()B A E ．--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11324,354A A E --⎛⎫⎪⎪⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭11121()314A E ．从而--⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭1136()232B A E 2.已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量依次为123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2),T T T p p p ==-=--求矩阵A .解析：由已知，A 可以对角化.令123122(,,)221212P p p p -⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，则1101P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，从而1101A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，10210123220A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注释本题知识点：（1）矩阵的运算；（2）特征值特征向量的定义与矩阵对角化的定义．五、（本题满分12分）设有向量组12341111101121,,,,,2324335185a a a a a b a β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭问,a b 为何值时,1.β不能由1234,,,a a a a 线性表示.2.β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式唯一.3.β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式不唯一，并写出一般表示式.解析：设=++121233x a x a x a β，设1234(,,,)A a a a a =，对增广矩阵(,)A β实行初等行变换()11111111110112101121,2324300103518500010A r a b a b a a β⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪= ⎪ ⎪+++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，由此可见（1）当1,0a b =-≠时，方程组无解，即β不能由1234,,,a a a a 线性表示；（2）当1a ≠-时，β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式唯一；（3）当1,0a b =-=，方程组有无穷多解，并且112212123142202112112010001x k k x k k k k x k x k -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即=-+++-++∈121122132412(2)(12),(,).k k a k k a k a k a k k R β．注释本题知识点：（1）向量的线性表示与线性方程组的关系；（2）线性方程组的求解过程与方法．六、（本题满分10分）设A 是n 阶方阵，,,123ααα是n 维列向量，且10α≠，11A αα=，212A ααα=+，323A ααα=+，证明：向量组,,123ααα线性无关.解析：设有三个数123,,k k k 使得1122330k k k ααα++=（1），（1）式两边同时左乘A,可得1122330k A k A k A ααα++=，即11212323()()0k k k ααααα++++=，整理得12123233()()0k k k k k ααα++++=．（2）（2）减（1）得21320k k αα+=，（3）（3）式两边左乘A,得2131320k k k ααα++=（4）（4）减（3）得310k α=，因为10α≠，可得30k =，代入（3）式，可得20k =，从而10k =，即123,,ααα线性无关．注释本题知识点：（1）向量组的线性无关性的定义；（2）证明向量组的线性相关性的方法．七、（本题满分12分）设二次型22212312313(,,)222(0)T f x x x x Ax ax x x bx x b ==+-+>中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.1.求,a b 的值.2.用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换及标准形.解析：(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，设A 的特征值为123,,λλλ，由已知条件知123221a λλλ++=+-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=--，得1,2a b ==（2）由矩阵A 的特征多项式2102||020(2)(3)202E A λλλλλλ---=-=-+-+，得到A 的特征值为1232,2,3λλλ===-，对于特征值122λλ==，解齐次线性方程组(2)0E A x -=，得基础解系12(2,0,1),(0,1,0)T T ξξ==，对于33λ=-，解齐次线性方程组(3)0E A x --=，得基础解系3(1,0,2),T ξ=-由于123,,ξξξ已经是正交向量组，故只需将其单位化123,(0,1,0),T T T ηηη===-令010Q ⎫⎪⎪= ⎪ ⎪，则Q 为正交矩阵，在正交变换x Qy =下，二次型的标准行为222123223f y y y =+-．注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义与性质；（2）二次型化标准形的方法．八、（本题满分6分）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，求n 阶矩阵T A E αα=-的全部特征值并证明其不可逆.解析：因为-=T E A αα为对称矩阵，由=()1T R αα,知-=()1R E A ，则-=()1R A E .所以A-E 的特征值有一个是非零的，其余n -1个都是0．设矩阵A 的所有特征值为12,,n λλλ ，则A-E 的特征值为121,1,,1n λλλ--- ．因此，121,1,,1n λλλ--- 中有n -1个都是0，即12,,n λλλ 有n -1个都是1，由121,1,,1n λλλ--- 中有一个非零知，12,,n λλλ 中有一个不等于1．又因为0T A E ααααα=-=，所以0是A 的特征值．所以矩阵A 的所有特征值为1，1， ，1，0．因为0是A 的特征值,所以A 不可逆.注释本题知识点：（１）矩阵秩的有关结论：()1,0T R ααα=≠；（２）矩阵特征值、特征向量的定义与性质．。
2017年10月线性代数(经管类)04184自考试题及解答
x12
4
x
2 2
2 tx1 x2
2 x1 x 3 为正定二次型，（1）确定 t 的取
值范围；(2)写出二次型 f (x1, x2 , x3 ) 的规范型。
1 t 1
解：（1）二次型的矩阵
A
t 1
4 0
0 2
由于 f (x1, x2 , x3 ) 为正定二次型，则 A 的顺序主子式
不能对角化。
1 1 1
1 0 0 证明：由 E A 1 1 0 ( 1)3 0
1 1 1
得 A 的特征值为 1 2 3 1
0 0 0
由于
E
A
1
0
0
的秩为
2，所以矩阵
A
的属于特征值
1
2
3
1 的线
4
2 0 0
21.设矩阵
A
0
3
2
，求可逆矩阵 P 和对角矩阵 ，使得 P1AP 。
0 2 3
2 0 0 解： E A 0 3 2 ( 1)( 2)( 5)
0 2 3
所以 A 的 3 个特征值分别为1, 2, 5 。
示。
1 1 1 4 1 1 2 1 1 1 2 1
解：1
,
2
,
3
,
4
1 1
3 5
3 4
3 1
2 3
3 2
1 2
2017-2018-1-线代A试卷+答案
湖北工业大学线性代数 试题答案A 卷 2017年11月一 选择题：（3×5=15分）1、B2、 C3、B4、C5、D 二 填空题：（3×5=15）分6、27、118、 E 59、 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321201/2-0011/2-11),,(x x x x x x 10、-32 三 计算题（共60分）11（10分）、先将第2,3,4列依次加到第一列得4-44-33-3032-52-3211-3=D ......3分6-33-05-214-41-0211-134-44-13-3012-52-1211-13== ..........6分5/2-0003-2004-41-0211-12769-009-6004-41-0211-13===135 ..........10分 12（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010002,102010001B D A C ..........4分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10001000,10201000121D B C A ..........6分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴81427511301000100010201000121CD AB ....10分1. 13（10分）、αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3272123411511011123012(,,,)31810000139700 ..........4分12,αα∴可作为向量组的一个极大无关组。
..........6分αααα=1234(,,,) 2.r ..........8分3732241222,2.αααααα=-=+ ..........10分 14（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010001012411210)(E A ..........2分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→12-30010102-00210411 ..........5分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→1/2-13/2-12-411-2100010001 ..........8分 所以，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1/2-13/2-12-411-21A ..........10分15（10分）、 A 的特征多项式为2400031(2)(4).13E A --=--=----λλλλλλ故 A 的特征值为 .........2分 对应基础解系分别为..........4分 ..........6分..........8分 将123,,ααα单位化得)())123,1,,1,0,,,,1.T T T===0-1001ηηη故，为所求正交矩阵.......10分16（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000021/210051321~7232-1-2-1-04251321~A ..........4分化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000021/21001-1/2-021~~A ..........6分所以，原方程组的通解是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020112/102/10012214321k k x x x x ..........10分 四 证明题：17、（10分）令 0222110=++++*ηηηξn-r k k k k .........2分所以 0222110=++++*ηηηξA k A k A k A k n-r00=b k , 得00=k .........2分故 022211=+++ηηηn-r k k k .........2分由r n -ηηη，，， 21是其导出组（对应齐次线性方程组0=Ax ）的一个基础解系 知 021====n-r k k k ， .........2分 此即0210=====n-r k k k k ，故线性无关 .........2分()21,0,T =0α()3,,1.T=01α()10,1,1T =-α234==λλ12=λ12310(,,)00P ⎛⎫⎪ ⎪== ⎝0ηηη。
中国海洋大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B卷
一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18分)1. n 阶行列式122222222222322222122222n n−的值为______.2. 设矩阵001110123010,010,023*********A C D −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3阶方阵B 满足ABC D =，则1B −=______. 3. 已知2R 中两组基为ααββ===−=1212(1,1),(0,1);(1,1),(1,2),T TTT则从基αα12,到基ββ12,的过渡矩阵是 ， 已知α在基αα12,下的坐标为(3,0)T ，则α在基ββ12,下的坐标为 .4.设111101,1101a A b α−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为A 的属于特征值2−的特征向量，则a =______，b =______.5.设3阶实对称矩阵A 的秩()2r A =且A 满足22A A O −=(O 表示零矩阵)，则4I A −=______.6. 已知实二次型22212312313(,,)2f x x x x ax x x x =+++经正交变换x Py =可化为标准型221223f y y =+，则a =______.二、选择题(共 8题，每题 3分，共 24分) 1. 下列(2)n n ≥阶行列式的值必为0的是（ ）.(A) 行列式主对角线上的元素均为0 (B) 行列式零元素的个数多于n 个 (C) 行列式零元素的个数多于2n n −个 (D) 行列式非零元素的个数比+1n 少2. 将2阶方阵A 的第二列加到第一列得方阵B ，再交换B 的第一行与第二行得单位矩阵， 则A =（ ）.（A ）0111⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）0111⎛⎫ ⎪−⎝⎭ （C ）1110⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1110−⎛⎫ ⎪⎝⎭3．设A 是n 阶矩阵，O A =3，则 =−−1)(A I （ ）.（A ）2A A I +− （B ）2A A I ++ （C ）2A A I −+ （D ）2A A I −−4. 齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在3阶非零矩阵B 使得AB O =，则（ ）.中国海洋大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B卷（A ）2λ=−且0B = （B ）2λ=−且0B ≠ （C ）1λ=且0B = （D ）1λ=且0B ≠ 5. 已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同解，12,αα是对应齐次方程组0Ax =的基础解系， 则Ax b =的一般解是（ ）.（A ）1211212()2k k ββααα−+++ （B ）1211221()2k k ββααα++−+（C ）1211212()2k k ββαββ−+++ （D ）1211212()2k k ββαββ++−+6.下列矩阵中不能对角化的是（ ）.（A ）1101⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 1102⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C) 1112⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1212⎛⎫ ⎪⎝⎭注：以下两道为多选题 7. 对向量组12,,,m ααα，其中,1,2,,n i R i m α∈=，下列说法正确的是（ ）.(A)设A 为n 阶方阵，若12,,,m ααα线性相关，则12,,,m A A A ααα也线性相关 (B) 设A 为n 阶方阵，若12,,,m ααα线性无关，则12,,,m A A A ααα也线性无关(C) 12,,,m ααα线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出 (D) 若12,,,m ααα中有一个是零向量，则此向量组线性相关(E)零向量可由12,,,m ααα线性表出8. 下列说法正确的是（ ）.(A)对矩阵A 不管施行初等行变换还是初等列变换都不会改变矩阵的秩的值 (B)若A 、B 均可逆，则()()r ACB r C =(C)若n 阶方阵A 的秩()1r A n =−，则*()0r A =，其中*A 为A 的伴随矩阵 (D)若1212=(,,,),=(,,,),m n a a a b b b αβ，其中,i j a b (1,2,,;1,2,,i m j n ==)均非零，则()1T r αβ=三、计算题 (共 3题，共24分)1．（8分）已知4阶行列式42134102315211152D =−,ij A 表示第i 行第j 列元素ij a 的代数余子式，求1323432A A A ++的值。
中国农业大学2016-2017(秋)《线性代数》期末考试试题解析
2016~2017学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1.设,A B 均为四阶方阵，且1,2,A B ==-*A 是A 的伴随矩阵，则*B A B =．解析:由于31,1,2,A A A B *====-所以4**4(2)1(2)32.B A B B A B ==-⋅⋅-=-注释本题知识点：1(1);n A A -*=(2);n A A λλ=(3).AB A B =答案：32.-2．设矩阵A 满足2230,A A E ++=则1()A E --=.解析:由2230,A A E ++=得2236,A A E E +-=-即3()(3)6,(),6A EA E A E E A E E +-+=--=-所以11()(3).6A E A E --=-+注释本题知识点：1.AA E -=答案：11()(3).6A E A E --=-+3.已知向量组123,,ααα线性无关，若向量组112223313,,k k k βααβααβαα=+=+=+线性相关，则参数k =．解析:由题设可得12312310(,,)(,,)10,01k k k βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因为123,,ααα线性无关，123,,βββ线性相关.所以10100,01kk k =解得 1.k =-注释本题知识点：（1）向量组的线性相关性与向量组的秩.（2）向量组123,,βββ线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组123(,,)0x βββ=有非零解.答案： 1.k =-4．已知向量组1231111,1,3,262ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭则向量组的秩为.解析:123111111111(,,)113~022~022*********ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以向量组的值秩为2.注释本题知识点：（1）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.（2）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.答案：2.5.设三阶实对称矩阵A 的两个非零特征值对应的特征向量分别为T T 12(1,1,1),=(0,-1,1),αα=且秩()2,R A =则齐次方程组0Ax =的通解为．解析:因为三阶实对称矩阵的秩()2,R A =所以该矩阵有特征值零，设零特征值对应的特征向量为,α由于不同特征值对应的特征向量正交所以T 1T 2=0,ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭即1110,011α⎛⎫=⎪-⎝⎭解得一个非零解T (2,1,1)α=-，因此有0A α=，又因为()2,R A =所以齐次方程组0Ax =的通解为T (2,1,1),().x k k R =-∈注释本题知识点：（1）齐次线性方程组的通解.（2）方阵的特征值和特征向量的定义.（3）不同的特征值对应的特征向量正交.答案：T (2,1,1),().x k k R =-∈二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．已知三阶行列式11131221232231333232326,32a a a a a a a a a --=-则111213212223313233a a a a a a a a a =【】．(A)2;(B)6;(C)-1;(D)1解析:由11131221232231333232326,32a a a a a a a a a --=-根据行列式的性质可得11131221232231333266,a a a a a a a a a -=即1112132122233132331.a a a a a a a a a =注释本题知识点：行列式的性质答案：1.2.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是【】．(A)若0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解；(B)若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多解；(C)若Ax b =有无穷多解，则0Ax =仅有零解；(D)若Ax b =有无穷多解，则0Ax =有非零解.解析:0Ax =仅有零解，可得(),R A n =但不能得出()(,),R A R A b =所以Ax b =不一定有解.0Ax =有非零解，可得(),R A n <但不能得出()(,),R A R A b =所以Ax b =不一定有解.Ax b =有无穷多解，可得()(,),R A R A b n =<所以0Ax =有非零解.注释本题知识点：线性方程组的解的个数非齐次线性方程组,Ax b A =为m n ⨯矩阵,有解的充分必要条件是()(,).R A R A b =（1）当()(,)R A R A b n ==时，有唯一解.（2）当()(,)R A R A b n =<时，有无穷多解.n 元线性方程组Ax b =无解的充分必要条件是()(,).R A R A b <n 元齐次线性方程组0Ax =总有解.有非零解的充分必要条件是().R A n <答案：D.3.设A 是34⨯阶矩阵，A 的行向量组线性无关，则【】．(A)A 中必有两列元素对应成比例；(B)A 中必有一个列向量是其余列向量的线性组合；(C)A 的列向量组线性无关；(D)A 中必有一列元素全为零；解析:由于矩阵A 的行向量组线性无关，所以() 3.R A =设1234,,,ββββ为A 的列向量组，则有1234(,,,)3,R ββββ=因此1234,,,ββββ线性相关，且有三个列向量线性无关故矩阵A 中必有一个列向量是其余列向量的线性组合.注释本题知识点：（1）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩（2）向量组线性相关和线性无关答案：D4.已知齐次方程组(2)0A E x -=的基础解系有一个向量，则行列式22A A E --=【】(A)2；(B)0；(C)1；(D) 3.解析:由题设知矩阵2A E -为方阵，且(2)0A E x -=的基础解系有一个向量所以20A E -=故22(2)()20.A A E A E A E A E A E --=-+=-+=注释本题知识点：（1）齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于变元的个数.（2）.AB A B =答案：B 5.当t 满足【】时，二次型222123123121323(,,)22222f x x x x x x tx x x x x x =--+++-是负定的．(A)(t ∈(B)t ∈(C)(0);t ∈(D)空集.解析:二次型矩阵为1121,112tA t -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭根据负定二次型判定可得2222112233111510,202,21250,22112t t t t tt t t--∆=-<∆==->⇒<∆=--=-+<⇒>-所以不存在t 使得二次型为负定的.注释本题知识点：负定二次型的判定n 元实二次型T f x Ax =负定的充分必要条件是下列条件之一成立：（1）f 的负惯性性指数为n ；（2）A 的特征值全为负数；（3）A 合同于E -；（4）A 的各阶顺序主子式负正相间，即奇数阶顺序主子式为负数，偶数阶顺序主子式为负数.答案：D三、（本题满分14分）计算下列行列式的值：1.111235.4925D =解析:111235(53)(52)(32) 6.4925D ==---=注释本题知识点：利用范德蒙行列式求解1222212111112111().nn ni j j i nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤<≤---==-∏答案：6.2.计算行列式30402222075120500D =-的第四行元素的余子式之和.解析:行列式D 的第四行元素的余子式之和为32304034022227(1)22228.0701111111D +==-⋅-=------注释本题知识点：（1）余子式和代数余子式的定义；（2）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.答案：-28四、（本题满分12分）已知矩阵方程*111(2)2A XA AX E --=+，其中011101,110A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭*A 是矩阵A 的伴随矩阵，求.X 解析:因为0111012,110A ==所以矩阵A 可逆.方程两端左乘*2,A 右乘,A 可得(2)4,X E A E -=所以112244(2)212.9221X E A ---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭注释本题知识点：（1）n 阶方阵可逆的充分必要条件是0;A ≠（2）**;AA A A A E ==.（3）11;AAA A E --==（4）逆矩阵的求法.答案：1224212.9221X --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭五、(本题满分12分)设向量组T T T T 1234:(1,2,3,1,2),(2,1,2,2,3),(3,1,5,3,1),(5,0,7,5,4),A a a a a =--=--=---=--（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组；(3)把其它向量用最大线性无关组表示.解析:1235123512351011211005510011201123257~0448~0000~000012350000000000002314077140000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）向量组A 的秩为2；（2）向量组A 的一个最大线性无关组为12,;a a （3）312412,2.a a a a a a =+=+注释本题知识点：（1）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩（2）初等行变换不改变矩阵的秩（3）向量组的最大无关组与向量组的秩答案：（1）向量组A 的秩为2；（2）向量组A 的一个最大线性无关组为12,;a a （3）312412,2.a a a a a a =+=+六、（本题满分12分）已知非齐次线性方程组为1234123412341234422,52113,36312,231,x x x qx x x x x x x x x p x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩试求当参数,p q 为何值时，方程组无解，方程组有唯一解，方程组有无穷多解.解析:4212121311213152111352111308448(,)~~363123631200033121314212063126q A b p p p q q --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭10021121311213101121210844802112~~~000330003300033(3)(9)06312600900003p p p p q q q ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪++⎪+- ⎪ ⎪⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）当3,p ≠-且9q ≠时，方程组无解；（2）当3,p =-或9q =时，方程组有无穷解；（3）方程组不存在唯一解.注释本题知识点：线性方程组的解的个数非齐次线性方程组,Ax b A =为m n ⨯矩阵,有解的充分必要条件是()(,).R A R A b =（1）当()(,)R A R A b n ==时，有唯一解.（2）当()(,)R A R A b n =<时，有无穷多解.n 元线性方程组Ax b =无解的充分必要条件是()(,).R A R A b <答案：（1）当3,p ≠-且9q ≠时，方程组无解；（2）当3,p =-或9q =时，方程组有无穷解；（3）方程组不存在唯一解.七、（本题满分12分）求正交变换,x py =将二次型222123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++---化为标准形,并写出其标准形.解析:二次型矩阵为211121,112A --⎛⎫ ⎪=--⎪ ⎪--⎝⎭2123(3),0,3,A E λλλλλλ-=--===当10λ=时，解0,Ax =得T 1(1,1,1)ξ=，当23=3λλ=，时，解(3)0,A E x -=得T T 23(1,1,0)(1,0,1)ξξ=-=-，，正交化T22232111,,,1.222ηξηξξ⎛⎫==-=-- ⎪⎝⎭单位化T T123,0,.p p p ⎛⎛⎫===- ⎪ ⎝⎭⎝正交矩阵,P⎛⎫--⎪⎪=-⎪⎪⎭正交变换,x py=标准形为222333.f y y=+注释本题知识点：正交变换化二次型为标准型答案：222333.f y y=+八、（本题满分8分）设A和B均为n阶方阵，且22,2,A B E B B=+=证明：A可逆.解析:由22,B B=得2288,B B E E--=-即4(2),8B EB E E-+=-故2B E+可逆而2,A B E=+所以A可逆.注释本题知识点：若n阶方阵A和B满足AB E=，则A可逆，且1.A B-=。
《线性代数》阶段测试题（1-5套）24P
《线性代数》阶段测试题（注：请下载后留言索取DOC 版文件）线性代数阶段测试题（一） .................................................................. 1 线性代数阶段测试题（二） .................................................................. 5 线性代数阶段测试题（三） ................................................................ 10 线性代数阶段测试题（四） ................................................................ 20 线性代数阶段测试题（五） . (22)线性代数阶段测试题（一）一、填空题1. 排列34679215的逆序数记为τ(34679215)= ___________.2. 行列式321111-c b a= ___________.3. 行列式513231412--的代数余子式31A = __________, 23A = __________. 4. 若将行列式D 的某两行互换，再将其中某一列每个元素都反号，则行列式的值 __________.5. 若行列式每行元素之和都为零，则此行列式的值为 __________。
6. 线形方程组⎩⎨⎧=+=+ndx cx mbx ax 2121 的系数满足 __________时，方程组有唯一解。
二、单项选择题：（每小题只有一个正确答案）1. 若23252113x -=2，则x =（ ） A. 0 B. 30 C.730 D. 42. 000000000002a b c d =（ ）A. abcdB. -abcdC. 2abcdD. -2abcd3.4400373251304321----中的代数余子式34A 为（ ） A. 0 B. 36 C. 12 D. -124. 将n 阶行列式D 中所有元素都反号、形成的行列式的值为（ ） A. 0 B. D C. -D D. D n )1(-5. 若333231232221131211a a a a a a a a a =D，则111213212223313233232323a a a a a a a a a =（ ）A. DB. 2DC. -6DD. 6D三、多项选择题：（每小题至少两个正确答案）1. 若2311221-x x =0，方程的解为x = ( )A. 1B. 2C. 0D. 7E.-72. 以下哪些情况，行列式的值为零（ ） A. 行列式某行元素全为0B. 行列式某列元素的余子式全为0C. 行列式某行元素全部相等D. 行列式两行互换E. 行列式某两列元素对应相等 3.0a x b c d x ++=++（ ）A.x x d c b a 00+B.x d b x x d c b a +++++000 C.x d c b x x d b a +++++000 D.xb x a dc b x a 000+++++ E. 00a x c b d x++++4. 在下列哪些情况下，行列式的值一定不变（ ） A. 行列式转置B. 行列式两列互换C. 行列式某一列元素全部反号D. 行列式某两列元素全部反号E. 行列式的第一行乘以2，最后一列乘以215. 设A=333231232221131211a a a a a a a a a ，记11A 是元素11a 的代数余子式，则（ ）A. A A a A a A a =++323222221212B. 0333123211311=++A a A a A aC. A A a A a A a =++131312121111D. A A a A a A a =++323122211211E. A A a A a A a =++322322221221 四、计算题：1. 解方程：12022021+-x x x =0 ——答：2. 若333231232221131211a a a a a a a a a =2，求 333231312322212113121111456456456a a a a a a a a a a a a ---——答：3. 求261517215131412---x 中x 的系数——答：4. 计算2132651192311021- ——答：5. 若某四阶行列式第三行元素依次为527234333231=-===a a a a ，，，对应的余子式依次为,231634333231====M M M M ，，，，求此行列式的值。
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∙A) A与B等价的充要条件是rank(A)=rank(B)
∙B) 若A与B等价，则|A|=|B|
∙C) A与B等价的充要条件是存在可逆阵P、Q ，使A=PBQ
∙D) A可逆的充要条件是A等价于E n
参考答案：B
∙A) 若n阶线性方程组Ax=b的系数矩阵行列式|A|≠0，则该方程组存在唯一解；
∙B) 若n阶线性方程组Ax=0的系数矩阵行列式|A|≠0，则该方程组只有零解；
∙C) 一个行列式交换两列，行列式值不变；
∙D) 若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零
∙A) r>t
∙B) r<="">
∙C) r=t
∙D) r与t的关系不定
参考答案：C
收起解析
解析：
无
∙A) A与B相似的充要条件是存在可逆阵P，使得A=P-1BP
∙B) 若A是反对称矩阵，则A T=-A
∙C) 若A可逆，则A可以表示成若干个初等矩阵的乘积
∙D) 若A是正交矩阵，则|A|=1
参考答案：D
∙A) 矩阵A存在一个阶子式不等于零；
∙B) 矩阵A的所有r 1阶子式全等于零
∙C) 矩阵A存在r个列向量线性无关
∙D) 矩阵A存在m-r个行向量线性无关
∙A) |kA|=k n A
∙B) |kA|=k n|A|
∙C) |kA|=k|A|
∙D) |kA|=kA
∙A) 矩阵A中必有一列元素等于0
∙B) 矩阵A中必有两列元素对应成比例
∙C) 矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合
∙D) 矩阵A中任一列向量是其余列向量的线性组合
∙A) PA=B
∙B) AP=B
∙C) PB=A
∙D) BP=A
参考答案：B
∙A) ACB=E
∙B) CBA=E
∙C) BAC=E
∙D) BCA=E
参考答案：D
∙A) 若干个初等阵的乘积必是可逆阵
∙B) 可逆阵之和未必是可逆阵
∙C) 两个初等阵的乘积仍是初等阵
∙D) 可逆阵必是有限个初等阵的乘积
参考答案：C
收起解析
解析：。