西藏自治区拉萨市拉萨中学2020-2021学年高二第一次月考数学试题 含解析

拉萨市拉萨中学2020-2021学年高二第一次月考数学试题一、选择题（共12小题，每小题5，共60分）1. 设全集U={x||x|<4，且x ∈Z}，S={-2，1，3}，且P 是U 的子集，若U PS ，则这样的集合P 共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个【答案】D 【解析】 试题分析：U=，由U PS 知US P U ⊆⊆，而{}3102US =--，，，，∴共有子集个．一般地，有n 个元素的集合有2n 个子集，有2n -1个真子集．考点：本题主要考查子集的概念．点评:注意从集合中元素的有无、多少依次考虑．一般地，有n 个元素的集合有2n 个子集，有2n -1个真子集．特别注意空集是任何集合的子集．2. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】对四个选项中几何体的正视图、侧视图、俯视图是否符合要求进行判断，可得出合适的选项. 【详解】选项A 的正视图、俯视图不符合要求，选项B 的正视图、侧视图不符合要求，选项C 俯视图不符合要求， 故选：D.【点睛】本题考查三视图还原为实物图，考查空间想象能力，属于基础题. 3. 直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） A. -2或12 B. 2或-12C. -2或-12D. 2或12【答案】D 【解析】 ∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.4. 已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-， 令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得9x =，故输入的实数值的个数为3．考点：程序框图．6. 小明同学根据下表记录的产量x （吨）与能耗y （吨标准煤）对应的四组数据，用最小二乘法求出了y 关于x 的线性回归方程0.7y x a =+，据此模型预报产量为7万吨时能耗为（ ） 产量x （吨） 3 4 5 6 能耗y （吨标准煤） 2.5344.5A. 5B. 5.25C. 5.5D. 5.75【答案】B【解析】 【分析】由图表中的数据求出样本中心点的坐标，代入回归方程求出a 的值，再把预报产量代入求解即可．【详解】由图表可知3456 4.54x +++==， 2.534 4.53.54y +++==．所以样本中心点为(4.5,3.5)．把样本中心点代入ˆ0.7yx a =+，得3.50.7 4.5a =⨯+，0.35a =． 所以线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+． 则预报产量为7万吨时能耗为ˆ0.770.35 5.25y =⨯+=（万吨）．故选：B ．【点睛】本题考查了最小二乘法，考查了线性回归方程，解答的关键是知道回归直线一定经过样本中心点，是基础题．7. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则·BD CD = A. 232a -B. 234a -C.234a D.232a 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，设,BA a BC b ==，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知22023•()cos602BD CD a b a a a b a a a a =+⋅=+⋅=+⨯⨯=，故选D. 考点：向量的数量积的运算. 8. 若都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则的值是（ ）A.5665B. 1665C. 3365D.6365【答案】A 【解析】试题分析：由已知得,,故选A.考点：两角和的正弦公式9. 如图，圆周上的6个点是该圆周的6个等分点，分别连接AC，CE，EA，BD，DF，FB，向圆内部随机投掷一点，则该点不落在阴影部分内的概率是（）A.31 B.3C.31π- D.3π【答案】A【解析】【分析】设圆的半径为1，连接AB，BC，CD，DE，EF，则ABCDEF为正六边形，且其边长也为1，求出正六边形ABCDEF的面积，再将整个正六边形ABCDEF分割成18个小三角形，即可求出阴影部分的面积，再求出圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可得出结果. 【详解】如图，设圆的半径为1，连接AB，BC，CD，DE，EF，则ABCDEF为正六边形，且其边长也为1，因此其面积为133 611sin23Sπ=⨯⨯⨯⨯=，将整个正六边形ABCDEF分割成如图所示的18个小三角形，这些小三角形都全等，则整个阴影部分的面积是正六边形ABCDEF的面积的122 183=，故阴影部分的面积为123 3S S==，又圆的面积为221Sππ=⨯=，所以向圆内部随机投掷一点，则该点不落在阴影部分内的概率是12311SPS=-=-.故选：A.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，属于常考题型.10. 在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a2+a5+a8＝33，则a3+a6+a9的值为（）A. 30B. 27C. 24D. 21【答案】B【解析】【分析】首先由等差中项的性质知：413a=，511a=，因为54d a a=-，36963a a a a++=，再计算6a带入即可.【详解】因为1474339a a a a++==，所以413a=.因为2585333a a a a++==，所以511a=.所以542d a a=-=-.659a da=+=3696327a a a a++==.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，数列掌握等差中项的性质为解题的关键，属于简单题.11. 已知ABC∆中，sin:sin:sin:(1):2A B C k k k=+，则k的取值范围是( )A. (2,)+∞B. (,0)-∞C. 1(,0)2-D. 1(,)2+∞【答案】D 【解析】由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m ＞0)，因为a b c a c b +>⎧⎨+>⎩ 即(21)23(1)m k mkmk m k +>⎧⎨>+⎩所以k ＞.12. 已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()12sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()132sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ()12sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()132sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的图象得2A =、最小正周期为3=4()422T πππ-=、过点(,0)2π，再求ω和ϕ，最后求函数()f x 的解析式.【详解】解：根据函数图象可知2A =，最小正周期为3=4()422T πππ-=、过点(,0)2π，因为最小正周期为3=4()422T πππ-=，所以24ππω=，解得：12ω=， 因为函数的图象过点(,0)2π，所以12sin 022πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，又因为πϕπ-<< 解得34πϕ=所以函数()f x 的解析式：()132sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本题考查三角函数的图象与性质、根据三角函数的图象求函数的解析式，是中档题.二、填空题（共4小题，每小题5，共20分）13. 在ABC ∆中，120,5,7A AB BC ∠===，则sin sin BC的值为___________. 【答案】35【解析】试题分析：根据题意，由于120,5,7A AB BC ∠===，则可知sin sin B bC c=，那么根据余弦定理可知22202cos12093CB AB AC ABAC b =+-=∴=，因此可知答案为35考点：正弦定理点评：解决的关键是根据已知的边和角，结合正弦定理来得到求解，属于基础题． 14. 已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知39S =，4567a a a ++=，则96S S -=_______．【答案】5 【解析】 【分析】利用36396,,S S S S S --成等差数列列方程求解即可. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，36396,,S S S S S ∴--成等差数列，而39S =，634567S S a a a -=++=，()96969275S S S S ∴-+=⨯⇒-=，故答案为：5.【点睛】本题主要考查等差数列片段和的性质的应用，属于基础题.15. 设向量()3,3a =，()1,1b =-．若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________． 【答案】3±【解析】 【分析】由向量的模的公式求出向量a ，b 的模，再由()()a b a b λλ+⊥-，则()()0a b a b λλ+⋅-=，代入即可得到答案．【详解】由于(3,3)a =，(1,1)b =-， 则||32a =，||2b =，由()()a b a b λλ+⊥-， 则()()0a b a b λλ+⋅-=， 即有2220a b λ-=， 即有21820λ-=， 解得3λ=±． 故答案为：3±．【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算和性质，考查两向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．16. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 2 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于223122AM -=1222222S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1332222r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：34233V r π==. 2. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题（共70分）17. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）令()*211n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =+，22n S n n =+；（2）()41n nT n =+．【解析】 【分析】（1）通过设等差数列{}n a 的公差为d ，利用已知条件计算可知首项、公差，进而可得通项公式及前n 项和；（2）通过（1）裂项可知111()41n b n n =-+，进而利用裂项相消法即得结论． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ． 因37a =，5726a a +=，所以112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩．解得132a d =⎧⎨=⎩，所以()32121n a n n =+-=+， ()213222n n n S n n n -=+⨯=+． 所以，21n a n =+，22n S n n =+． （2）由（1）知21n a n =+， 所以2211111111(21)14(1)41n n b a n n n n n ⎛⎫===⋅=⋅- ⎪-+-++⎝⎭， 所以111111111142231414(1)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+⋅⋅⋅+-=⋅-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 即数列{}n b 的前n 项和()41n nT n =+．【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，3cos 5B =． （1）若4b =，求sin A 的值； （2）若ABC 的面积4ABCS =，求b ，c 的值．【答案】（1）2sin 5A =；（2）17b =5c =． 【解析】 【分析】（1）由3cos 05B =>，且0B π<<，可得2sin 1B cos B =- （2）由1sin 2ABC S ac B ∆==，解得c ，再利用余弦定理即可得出．【详解】（1）3cos 05B =>，且0B π<<，24sin 15B cos B ∴=-=．由正弦定理得sin sin a b A B=，sin 242sin 455a B A b ∴==⨯=． （2）114sin 24225ABC S ac B c ∆==⨯⨯=，5c ∴=．由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，17b ∴= 【点睛】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 已知函数2()sin()sin 32f x x x x π=-.(1)求()f x 的最小正周期和最大值； (2)求()f x 在2[,]63ππ上的单调区间【答案】（1）f (x )的最小正周期为π23- （2）f (x )在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减． 【解析】 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值． （2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,]63ππ上的单调区间．【详解】解：（1）函数23()sin()sin 3cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=-+1333sin 22sin(2)23x x x π==-， 即()3sin(2)3f x x π=-故函数的周期为22T ππ==，最大值为312-．（2）当2[,]63x ππ∈ 时，[]20,3x ππ-∈，故当0232x ππ-时，即5[,]612x ππ∈时，()f x 为增函数；当223x πππ-时，即52[,]123x ππ∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．20. 如图，1AA ，1BB 为圆柱的母线，BC 是底面圆的直径，D ，E 分别是1BB ，1A C 的中点．（1）证明：//DE 平面ABC ； （2）证明：11A B ⊥平面1A AC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）取1AA 的中点F ，连接DF ，EF ．结合D ，E 分别是1BB ，1A C 的中点，可得//DF AB ，//EF AC ，然后可得线面平行，从而可得面面平行，进而可得结论；（2）先证明AB AC ⊥，1AA AB ⊥，可得AB ⊥平面1A AC ，结合11//A B AB 即可得结论. 【详解】（1）如图，取1AA 的中点F ，连接DF ，EF ．因为D ，E 分别是1BB ，1A C 的中点，所以//DF AB ，//EF AC ． 又DFEF F =，ABAC A =，,DF EF ⊂平面DEF ，,AB AC ⊂平面ABC ，所以平面//DEF 平面ABC ．又DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面ABC ．（2）因为1AA ，1BB 为圆柱的母线，所以11//AB A B ． 因为1AA 垂直于底面圆所在的平面，所以1AA AB ⊥． 又BC 是底面圆的直径，所以AB AC ⊥．又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，所以AB ⊥平面1A AC ， 又11//A B AB ，所以11A B ⊥平面1A AC ．【点睛】本题主要考查线面平行的证明、线面垂直的证明，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.21. 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率． 【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3 【解析】【详解】（1）据直方图知组距=10，由()23672101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a == （2）成绩落在[)50,60中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯= （3）记成绩落在中的2人为12,A A ，成绩落在[)60,70中的3人为1B 、2B 、3B ， 则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：()()()121323,,,,,B B B B B B 故所求概率为310P =22. 若2()122cos 2sin f x a a x x =--- 的最小值为()g a . （1）求()g a 的表达式；（2）求能使1()2g a = 的值，并求当a 取此值时，()f x 的最大值. 【答案】（1）()21221222142a ag a a a aa <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩；（2）()f x 的最大值为5 【解析】试题分析：（1）通过同角三角函数关系将()f x 化简，再对函数()f x 配方，然后讨论对称轴与区间[1?1?]-，的位置关系，从而求出()f x 的最小值；（2）由()12g a =，则根据()g a 的解析式可知()g a 只能在[)2-+∞，内解方程，从而求出a 的值，即可求出()f x 的最大值. 试题解析：（1）()()2122cos 21cos f x a a x x =---- 22cos 2cos 12x a x a =---222cos 2122a a x a ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭若12a<-，即2a <-，则当cos 1x =-时，()f x 有最小值，()222121122a a g a a ⎛⎫=-----= ⎪⎝⎭；若112a -≤≤，即22a -≤≤，则当cos 2a x =时，()f x 有最小值，()2212a g a a =---若12a>，即2a >，则当cos 1x =时，()f x 有最小值，()2221211422a ag a a a ⎛⎫=----=- ⎪⎝⎭所以()21221222142a ag a a a aa <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩； （2）若()12g a =，由所求()g a 的解析式知212122a a ---=或1142a -= 由222112122a a a a -≤≤⎧⎪⇒=-⎨---=⎪⎩或3a =-（舍）；由2118142a a a >⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩（舍） 此时()2112cos 22f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得()max 5f x =，所以()12g a =时，1a =-，此时()f x 的最大值为5.。