第二章对偶理论与灵敏度分析练习题答案

第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案

1．判断下列说法是否正确：

(1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；()

(2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；()

(3) 设j ˆ

x ，i ˆy 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m

**j j j j i i i i j 1

j 1

i 1

i 1

ˆˆc x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；()

(4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；() (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；()

(6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；()

(7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；()

(8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；() $

(9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；()

(10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。()

2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。

X B ｂ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 — x 3 5/2 0 1/2 1 1/2 0 x 1

5/2

1

— -1/2 0

-1/6

1/3

σj 0 -4

0 -4 -2

;

要求：(1)写出原线性规划问题及其对偶问题的数学模型；(2)直接由表写出对偶问题的最优解； (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价购入

第一种资源是否值得，为什么若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么 答案：

(1)注：该问题得解法非唯一，以下解法只是其中一种（各解法原理相同）。

由题意已知原线性规划问题目标函数为Max （因σj ≤0为最优），且c 4、c 5为0（松弛变量目标函数系数为0）。

根据1j j B j c C B P σ-=-知：2313111

1c c c 4

221

10c c 42610c 23⎧⎛⎫-⋅-⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⋅-⋅=-⎨ ⎪⎝⎭⎪

⎪⎛⎫

-⋅=-⎪

⎪⎝⎭⎩

，得：123

c 6c 2c 10=⎧⎪=-⎨⎪=⎩

根据()51122

2

1

511126

3

2010

B A|b 10-⎛⎫=

⎪--⎝⎭，得：()012105A|b 3110110⎛⎫= ⎪-⎝⎭

则原线性规划问题的数学模型为： 12323123123

MaxZ 6x 2x 10x x 2x 53x x x 10s.t.x ,x ,x 0=-++≤⎧

⎪

-+≤⎨⎪≥⎩

其对偶问题的数学模型为：

12

21

21212Min 5y 10y 3y 6y y 2s.t.2y y 10y ,y 0

ω=+≥⎧

⎪-≥-⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩ :

(2)直接由表写出对偶问题得最优解为：()*Y 4,2= (3)令原解()()-1i B i i i x X B b b ===，得

b r 的变化范围为：

{}{}i ir ir r i ir ir i

i

Max b /a |a 0b Min b /a |a 0∆->≤≤-<，其中：()1ir ir

a B -=。则：

{}{()}15151

Max b Min 2226

∆-÷≤≤-÷-，即15b 15∆-≤≤，则10b 20≤≤

(4)以单价购入第一种资源是值得的，因其小于该资源“影子价格”（即<4），可盈利；第二种资源应要价至少为2（影子价格），否则不如自己组织生产。