矩阵思想的形成与发展本科论文
矩阵研究毕业论文
0 引言为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.1. 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变换的研究具有基本的重要性．定义 1.1 设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,若存在一个数P λ∈以及一个非零n 维列向量n x P ∈,使得Ax x λ=则称λ是矩阵A 的一个特征值,向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量． 定义1.2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211，称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个次多项式.设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，求解T 的特征值与特征向量的方法可以分成一下三几步：1) 在线性空间V 中取一组基12,,,nξξξ, 写出/A 在这组基下的矩阵A ;2) 求出A 的特征多项式E Aλ-在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换/A 的全部特征值;3) 对于A 的每个特征值,j λ求其次线性方程组()0jI A X λ-=的一组基础解系：12,,,.t ηηη于是A 的属于jλ的全部特征值组成的集合是}{1122,0,1,2,,t t i i k k k k K k i t ηηη+++∈≠=例1 设V 是数域K 上3维线性空间，T 是V 上的一个线性变换，它在在V 的一个基1α，2α，3α下的矩阵A 是222214241A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭，求A 的全部特征值与特征向量. 解: 因为特征多项式为2222214(3)(6)241I A λλλλλλ--⎛⎫ ⎪-=+-=-+ ⎪⎪+⎝⎭所以A 的全部特征值3（二重），-6．对于特征值3，解齐次线性方程组(3)0I A X -=，12312312322024402440x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩得到一个基础解系：210-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A 的属于3的两个线性无关的特征向量就是1122ζαα=-+，2132ζαα=+ 而A 的属于3的全部特征向量就是 .{}11221212,,,0k k k k K k k ζζ+∈且不全为对于特征值-6代入, 求出(6)0I A X --=的一个基础解系：122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.因此, A 的属于特征值-6的一个线性无关的特征向量就是312322ζααα=+-，而A 的属于特征值-6的全部特征向量是{}3,0k k K k ζ∈≠且.例2 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,求T 的特征值和特征向量. 解 ：1012201221100001000100001000010000100001n n n n I A λλλλααααλαλαλαλαλαλα-------=-+--=--+令01221000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+下面用数学归纳法求解()2n D n ≥当2n =时，22101.1D λαλαλαλα==++-+假设对于上述形式的1n -阶行列式，有012-132000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+n-1n-2n-210=+++λαλαλα，对于n 阶行列式，把它第1行展开，得12102112111210121210000100010010(1)001000100101()(1)(1).n n n n n n n n n n n n D xλαλαλλαλαλαλλλλαλαλααλαλαλαλα+----+----=---+----+-=+++++--=++++根据数学归纳法原理，此命题对一切自然数2n ≥都成立. 故121210.n n n I A λλαλαλαλα---=++++即为T 的特征多项式.设12,,n λλλ 是I A λ-的全部复根. 对于1i n ≤≤，有111122201111,n n n n i i i i i i i ii i i n i A λλλλλλλλλλααλαλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此12'(1,,,,)n i i i λλλ-(1i n ≤≤)是A 的属于特征值i λ的一个特征向量. 由于()()11,2,,110,2,3,,n i n I A n λ--⎛⎫-=-≠⎪⎝⎭而i I A λ-=，因此()1i rank I A n λ-=-. 从而齐次线性方程组()0i I A X λ-=的解空间的维数为(1)1n n --=. 于是A 的属于特征值i λ的所有特征向量组成的集合是{}21'(1,,,,)|,0.n i i i k k C k λλλ-∈≠从而T 的属于特征值i λ的全部特征向量是{}21'123()|,0.n i i i k k C k αλαλαλ-++++∈≠(1i n ≤≤)例2 在空间[]nP x （n>1)中(P 为实数域), 求微分运算D'()()f x f x ∂= 的 特征多项式，并证明：D 在任何一组基下的矩阵不可能是对角矩阵. 证：在[]nP x 中取一组基()211,,,,2!1!n x x x n --微分运算D 在此基下的矩阵为.0000100001000010⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=DD 的特征多项式是.01000010001n D E λλλλλ=---=-从而D 的特征多项式为nλ. 因此D 的特征值为210n λλλ====.又D 的对应特征值0的奇次线性方程组()0A X -=的系数矩阵的秩为n-1,从而基础解系只含一个向量.它小于[]nP x 的维数n(n>1),故D 不可能同任何对角矩阵相似.所以微分运算D 在任何基下的矩阵都不可能是对角形. 2矩阵特征值与特征向量的五个应用2.1特征值与特征向量判断线性变换可对角化的应用定义2.1.1如果V 中存在一个基，使得线性变换A 在这个基下的的矩阵是对角矩阵，那么A 可对角化.由于线性变换A 在V 的不同基下的矩阵是相似的，因此线性变换A 可对角化当且仅当A 在V 的基下的矩阵A 可对角.定理2.1.1域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量12,,,nξξξ，此时A 在基12,,,nξξξ下的矩阵A 为1000,00n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中i λ是i ξ所属的特征值（即i i i A ξλξ=），1,2,,.i n = 矩阵A 称为线性变换A 的标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，A 的标准形是有A 唯一决定的.推论2.1.1 域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当V 中存在由A的特征向量组成的一个基.定义2.1.2设A 是域F 上线性空间V 上的一个线性变换，0λ是A 的一个特征值，令 {}00|,defV A V λααλαα==∈ .易验证V λ 是V 的一个子空间，称0V λ是A 的属于特征值0λ的特征子空间. 0V λ中全部非零向量就是A 的属于特征值0λ的全部特征向量. 由于()00000().V A I A Ker I A λααλαλααλ∈⇔=⇔-=⇔∈-因此 00().V Ker I A λλ=-即线性变换A 的属于特征值0λ的特征子空间等于线性变换0I A λ- 的核.设V 是域F 上n 维线性空间，V 上线性变换A 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵为A,λ是A 的一个特征值. 设σ是V 到nF 的一个同构映射，它把V 中向量对应于它在基12,,,nααα下的坐标，则()0V λσ等于n 元齐次线性方程组()00I A X λ-=的解空间，即矩阵A 的属于特征值0λ的特征子空间. 于是()()00dim V n rank I A λλ=-- .定理2.1.2设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，则A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔V 中存在由A 的特征向量组成的一个基⇔A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 12,s V V V V λλλ⇔=⊕⊕⊕其中12,,,sλλλ 是A 的所有不同的特征值.例 3 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,称它是Frobennis 矩阵. 求T 的特征多项式和属于特征值i λ的全部特征向量(1,2,3,,)i n =；T 是否可对角化？令122221211112111n n n n n n P λλλλλλλλλ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭情形112,,n λλλ两两不等. 此时0.p ≠从而P 的列向量组线性无关. 于是A 有n 个线性无关的特征向量，因此A 可对角化.此时{}112,,n p AP diag λλλ-=从而T 可对角化.情形 212,,n λλλ中有相等的. 此时0.p = 从而P 线性相关. 这时A 没有n 个线性无关的特征向量，因此A 不可对角化, 从而T 不可对角化.例4 设T 是数域K 上n 维线性空间V 上的对合变换（即T 满足2T I =），(1)证明T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)判断T 是否可对角化；若可以对角化，请写出它的标准形. 解：设T 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵是A ，由2T I =，可得2A I =. 即A 是数域K 上的对合矩阵，设0λ是对合矩阵A 的一个特征值，则有0,α≠使0.A αλα=从而2200.A A αλαλα== 由于2A I =，因此20αλα=，即20(1)0.λα-=由于0,α≠因此2010.λ-= 即01.λ=± 当A I =时，1是A 的特征值，-1不是；当A I =-时，-1是A 的特征值，1不是； 当A I ≠±时，0.I A ±≠由于()()rank I A rank I A n -++=因此 ()().rank I A n rank I A n -=-+< 从而0.I A -=从而1是A 的一个特征值.同理可证，-1是A 的一个特征值.(1)从而，T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)设().rank I A r +=由于()()rank I A rank I A n -++=，因此().rank I A n r -=- 属于特征值1的特征子空间1W 的维数为1dim ()();W n rank I A n n r r =--=--=属于特征值-1的特征子空间1W -的维数为1dim ()();W n rank I A n rank I A n r -=---=-+=-由于11dim dim (),W W r n r n -+=+-=因此A 可对角化.A 的相似标准形为{},.r n r diag I I --从而T 可对角化，且它的相似标准形为0,0rn r I I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭其中().r rank I A =+2.2 特征值与特征向量在确定可对角化矩阵的应用当矩阵A 可对角化时，可根据A 的特征值和特征向量来确定它的元素.例 5 设3阶方阵A 的特征值1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量分别是1231222,2,1.211ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求A .分析：此题给了3阶矩阵A 的3个不相同的特征值及其对应的特征向量，那么矩阵A 可对角化，显然可用A 的特征值和特征向量来确定它的元素.解：由i ξ是方阵A 对应于特征值i λ 的特征向量，于是i i i A ξλξ=()1,2,3.i =令()123122221212P ξξξ-⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，则112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭， ,PA PD =其中100000,001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由上式可得：11021012,3220A PDP --⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ 即为所求.2.3特征值与特征向量在n 阶矩阵的高次幂的求解中的应用当n 阶矩阵A 可对角化时，即矩阵A 可与对角阵相似时，可应用矩阵的特征值与特征向量计算其高次幂()k A k N *∈，且比较简单.当n 阶矩阵A 满足下面的四个条件之一时，即可对角化,即1.A PDP -=n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量. n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值.n 阶矩阵A 的每个特征值的几何重数等于其代数重数. A 为是对称矩阵. 对于(){}11212,,,,,,,,n n A PDP P D diag ξξξλλλ-===其中12,,,nλλλ是A 的n 个互不相等的特征值，i ξ是A 的属于特征值i λ的特征向量()1,2,,.i n =例6 已知矩阵122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求k A （其中k N *∈）. 分析：矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因为矩阵A 为实对称矩阵，故可对角化. 可按上面讨论的方法求之.解 因为,T A A =所以矩阵A 为实对称矩阵，故A 可对角化为D .()()212221251221I A λλλλλλ----=---=-+---故A 的特征值为1231,5,λλλ==-=当1λ=-时，解齐次线性方程()0,I A X --=求出一个基础解系：12111,001ηη--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当5λ=时，可求()50A X λ-=的一个基础解系：311,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 令111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1001,1,5010005D diag -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪⎪⎝⎭ 则()11,1,5P AP D diag -==--则1A PDP -=于是()()()()()()()()1111111111111()()1001112111101010121301100511121515151152153k kkkkk k k k k k k k k k k A PP APP PP APP PP APP P P AP P AP PAP P -------------==⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+-+-+=-+-+-()()()()111151515215k kk k k k k k---⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭2.4 特征值与特征向量在求一些特殊数列通项公式的应用由一些特殊数列的递推公式，构造关系矩阵A ，并列出递推关系，当关系矩阵A 可对角化时，可利用A 的特征值与特征向量求解这些数列的通项公式.例7 斐波那契（Fibonacci ）数列是0,1,1,2,3,5,8,13,它满足下列递推公式：21,n n n ααα++=+ 0,1,2,n=以及初始条件010, 1.αα== 求Fibonacci 数列的通项公式，并且求1lim.nn n αα→∞+解 由2111,,n n n n n ααααα++++=+⎧⎨=⎩ 可得21111.,10n n n n αααα+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令11,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1,0,1,2,n n n D n αα+⎛⎫== ⎪⎝⎭上式可写成1,n n D AD +=又由1001,0D αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以0,.n n D A D n N *=∈于是求Fibonacci 数列的通项公式就只要去计算nA .可利用A 的相似标准形来求简化nA 的计算.211111122I A λλλλλλλ⎛⎫⎛---==--=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是A的特征值为12λλ==从而A 可对角化.对于特征值1λ，解奇次线性方程组()10,I A X λ-=求出一个基础解系：11,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值2λ，可求出()20I A X λ-=的一个基础解系：22,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则1120,0P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭从而12121121211212112010011101.1nn nn n n n n A P P λλλλλλλλλλλλλλ-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎭⎝-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎭由于110n n n A αα+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此))2121211110.n nn n n n nλαλλλλλ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即为Fibonacci 数列的通项公式. 于是211211112212111lim lim lim112nn nnnn nn n nnλλαλλαλλλλλλλ++→∞→∞→∞+⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭==例8已知()11,1,2i ii i ib cc b c--=⎧⎪⎨=+⎪⎩其中2,3,.i =设11,b c已知，求,.n nb c解由题可得1101,2,3,1122i ii ib bic c--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令01,1122B⎛⎫⎪=⎪⎝⎭则111,n nnb bBc c-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面求1n B-.()111.11222I Bλλλλλ-⎛⎫-==-+⎪--⎝⎭因此B的全部特征值是11,.2-从而B可对角化.对于特征值1，解奇次线性方程组()0,I B X-=得到它的一个基础解系：11,1ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值1,2-解齐次线性方程组10,2I B X ⎛⎫--= ⎪⎝⎭得到它的一个基础解系：22.1ξ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则110.102P BP -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭ 从而1111122111010210121211111130211122213111222n n n n n n n n B P P ---------⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪= ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此22111111111112,3232111112.3232n n n n n n b b c c b c ----⎧⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++-⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎪⎛⎫⎛⎫=--++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩2.5特征值与特征向量行列式计算中的应用用矩阵的特征值和特征向量计算三对角形的方法如下:设00000000000n a b c a b c a D a b ca =按第一行展开，得：12,n n n D aD cbD --=- 3,4,n =上式可写成21,n n n D aD cbD ++=- n N +∈由于2111,,n n n n n D aD cbD D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111,,,10n n n n n n D D a cb d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中2211D a cb d D a ⎛⎫-⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 这样求nD 的问题就转化为nd 的问题，因而转化为求1,n A -即存在可逆矩阵P 使得 1P AP D -=（对角形），就可以算出1.n A -由201a cbI A a cb λλλλλ--==-+=-得A 的特征值12λλ==1) 若24a cb ≠① 若240,a cb -<则A 有两个不相等的复特征值12,,λλ在复数域上对应于12,λλ的特征向量分别为12,.ξξ取()12,P ξξ=则P 可逆 于是就有11111200n n n AP P λλ----⎛⎫=⎪⎝⎭所以111n n n n D d A d D+-⎛⎫== ⎪⎝⎭从而可求出nD .如果A 限制在实数域上，A 有复特征值，这时A 不可对角化.② 若240,a cb ->则A 有两个不同的特征值，则A 可对角化，按在复数域上的情况可求出nD2) 若24,a cb =这时A 有重根.若A 有两个线性无关的特征向量，则A 可对角化；若A 只有一个特征向量，这时可利用相似变换，把A 化若当标准形1100λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可以算出1n A -，即可求出n D .例9 计算n 阶行列式：950004950004900.9500049n D =解：按第一行展开，得：12920,n n n D D D --=-()3,4,n =上式可写成21920,n n n D D D ++=-()n N +∈ 由2111920,,n n n n n D D D D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111920,,,10n n n n n n D D d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中211619D d D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由于()()2920920451I A λλλλλλλ--==-+=---因此A 的特征值是124, 5.λλ==对于特征值14,λ=解其次线性方程组()40,I A X -=求出一个基础解系：14,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值25,λ=解其次线性方程组()50,I A X -=求出一个基础解系：25,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭令45,11P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则140,05P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 从而14005A P P-⎛⎫= ⎪⎝⎭111111111400545154011140554 5.4 4.554 5.4 4.5n n n n n n n n n n n n A P P---------⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--= ⎪--⎝⎭由于11619n n n D A D +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()11111161545.44.5549n n n n n n n D ----++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭例10 计算n 阶行列式：2120000121200012120000000210022n D ------=.解：将nD 按第一列展开得：1231232(2)22,n n n n n n n D D D D D D D ------=--+=+- ()4,5,6,n =上式可写成32122,n n n n D D D D +++=+-()n N *∈ 根据321221122,,,n n n n n n n n D D D D D D D D +++++++=+-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令323121*********,,100,5,0102n n n n n n n n D D D D D A D D D D ααα++++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得1,n n A αα+=11,n n A αα-=由于()()()2121011201I A λλλλλλλ---=-=-+-- 因此A 的特征值是1231,1, 2.λλλ==-= 对于特征值11,λ= 解其次线性方程组()0,I A X -=得到一个基础解系;111,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 同理，分别可求231, 2.λλ=-=的一个特征向量23141,2,11ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令114112,111P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1100010002P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 于是1100010002A P P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭从而()()()()11111111111000100021001143361112010132611100220211233611121326202112n n n n n n n n n n n A P P -------+--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭于是()()()1121111123361011121325,62022112n n n n n n n n n D D D -+++--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭从而()()()()()121013123 3.16 2.12562112263n n n nn n n n D -+⎛⎫ ⎪=-+-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-++3.小结本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便.参考文献[1] 大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2] 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4版) [M] . 北京:高等教育出版社,2003.[3] 奚传志. 矩阵的特征值与特征向量在行列式计算中的应用枣庄师专学报，1992年2期[4] 李淑花. 关于一类线性代数习题的快速解法[J]. 高等数学研究.[5] 谢国瑞. 线性代数及应用[M]. 北京:高等教育出版社,1999.[6] 戴华. 矩阵特征值反问题的若干进展[J]. 南京航空航天大学学报,1995.[7] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社.[8]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的研究.菏泽学院.计算机与信息工程系.山东菏泽（274015）[9] 朱凤娟．特征值与特征向量逆问题的研究[J]．滨州学院学报2007.6 .[10] [英]S.巴比特. 科技工作者用矩阵方法[M] .北京：化学工业出版社.1984.126-137.[11]丘维声，高等代数（第二版）下册.北京：高等教育出版社[12] tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) [M].Prentice Hall/Pearson，1998.[13] Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl;1975.[14]丘维声，高等代数（第二版）上册.北京：高等教育出版社[15] 熊全淹，线性代数[M].北京；高等教育出版社，1987.4.[16]丘维声，高等代数学习指导（下册）.北京：清华大学出版社，2009[17]杨子胥，高等代数习题解（下册）.济南:科学技术出版社，2009[18]丘维声，高等代数学习指导（上册）.北京：清华大学出版社，2009致谢本学位论文是在我的指导老师张宝环老师的亲切关怀与细心指导下完成的.由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周到的地方，从论文的选题、资料的搜集到论文的撰写编排整个过程中，张老师始终都给予了悉心的指导和不懈的支持，并为我指点迷津，帮助我开拓思路，精心点拨，热忱鼓励.张老师的一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人,给我以终生受益无穷之道.感谢老师们对我的教育培养.他们细心指导我的学习与研究.在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬.同时我要感谢同组的同学们，是我们相互的鼓励和支持才使得做论文的过程充满着快乐和感动.在此，我对所有帮助我的老师和同学们表达我衷心的感谢!。
矩阵思想的形成与发展
1.前言 (1)2.早期行列式计算中孕育的矩阵思想 (2)3.矩阵思想的形成 (2)3.1矩阵的基本思想 (3)3.2矩阵运算 (4)4.矩阵的发展 (7)4.1特征值与特征向量 (9)4.2标准形 (10)4.3方程组的解 (11)5.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (14)矩阵形式解方程组在中国古代数学著作《九章算术》中已相当成熟，但这部著作并没有建立起独立的矩阵理论，而仅把矩阵看作一种排列形式来解决实际问题。
矩阵在中国古代的萌芽，蕴含了丰富的矩阵算法与程序化等思想。
矩阵概念产生并发展于19世纪的欧洲，欧洲的社会环境与文化背景为矩阵的早期发展提供了适宜的舞台，一大批矩阵理论的奠基者做了大量的工作，使矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系，为矩阵理论的形成与发展做出了重要的贡献。
从18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在求解线性方程组和行列形式来解决实际问题，本文通过对矩阵理论发展过程中的众多数学家工作的考察，揭示了矩阵思想从萌芽、早期发展到成熟以及进一步完善的全过程。
关键词：矩阵；矩阵发展；凯莱；矩阵思想AbstractThe matrix form solution of equations in Chinese ancient mathematics" arithmetic in nine sections" has been quite mature, but it hasn't established the independent matrix theory, and only the matrix as an arrangement to solve practical problems. Matrix in ancient China budding, contains rich matrix algorithm and programming ideas. Matrix concept originated from the nineteenth Century in Europe, the European social environment and cultural background for the matrix of early development to provide a suitable stage, a large number of matrix theory of the founders did much work, so that the matrix from a fragmented knowledge development for the system of perfect theory, matrix theory's formation and the development has made important contribution. From the late eighteenth Century to the middle of the nineteenth Century, this kind of arrangement form in solving linear equations and the ranks of the form to the solution of practical problems, based on the matrix theory in the process of development of many mathematicians work study, reveals the idea of matrix from bud, early development to mature and perfect the whole process.Key words: Matrix; Matrix development ; Kailai; matrix theory1引言矩阵直接产生于线性方程组并运用于其求解，这方面的工作在我国最早出现在《九章算术》（公元前1世纪）中解方程组的“遍乘直除”法，这与19世纪高斯创立的“高斯消元法”的思想是一致的。
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矩阵数学论文3000字_矩阵数学毕业论文范文模板矩阵数学论文3000字(一)：Pre5G获GSMA双料大奖揭秘：竟是多维矩阵的数学创新论文最受评委认可的是Pre5G的高技术含量，它是通过高超、复杂的数学方法实现的，绝非技术的简单包装。
如果每一年巴塞罗那MWC展会都会树立几个风向标的话，那么“创新加速5G”无疑是本届MWC大会当仁不让的主题。
本届展会的第二天，中国的5G创新再次掀起了MWC的高潮，中兴通讯凭借Pre5GMassiveMIMO荣获全球移动大奖“最佳移动技术突破”（BestMobileTechnologyBreakthrough）以及CTO选择奖（OutstandingoverallMobileTechnology-TheCTO’sChoice2016），一时间被全球广泛关注。
由GSM协会主办的MWC是全球最具影响力的移动通信领域的盛会，全球移动大奖则是目前被业界认可的最高荣誉，被誉为“通信业的奥斯卡奖”。
而CTO选择奖的重量级在于，获奖技术是从6个移动专项获奖中再次选出最佳的一个“奖中奖”，该奖项的评委是由来自全球16家运营商的首席技术官组成的，他们非常看重入选内容的独到创新点，以及是否可以真正改善客户体验、降低成本，真正通过创新提升运营商商业价值。
而且，中兴通讯今年作为惟一的中国企业获此殊荣。
事实上，这也是5G领域第一次获得行业最高奖项并获得CTO的一致认可，两大奖项不仅奠定了中兴通讯在无线宽带领域的领军者形象，更意味着从3G的试探、4G的积极，到5G的超前，中国技术的不断创新已经获得全球认可。
颠覆式创新的核心GSMA大奖评委会给出的获奖点评是“Pre5GMassiveMIMO技术是移动宽带演进上的颠覆性创新”。
从技术上看，Pre5G最主要的技术MassiveMIMO通过128天线阵元，支持多达12到16流的动态beamforming，在不改变空口、不增加频点、不改变终端的前提下，快速实现了频谱效率倍增，三维立体覆盖能力超强，且Pre5G兼容4G终端，使得现网引入Pre5G更加从容。
矩阵的发展史及相关应用2024
引言概述矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域中有着广泛的应用。
本文将以矩阵的发展史为主线，介绍矩阵的起源、发展过程以及相关应用。
通过对矩阵的详细解析，希望能够帮助读者更好地理解矩阵概念，并掌握其在实际问题中的应用。
1.矩阵的起源1.1古希腊的数理思想1.2矩阵概念的初步形成1.3高斯消元法的发现与矩阵的发展1.4矩阵的正式定义及其特性2.矩阵的发展过程2.1矩阵基本运算的发现与研究2.1.1矩阵的加法与减法2.1.2矩阵的乘法2.1.3矩阵的转置2.2矩阵的性质与定理的研究2.2.1矩阵的逆与行列式2.2.2矩阵的特征值与特征向量2.2.3矩阵的相似性2.3矩阵理论的发展与应用2.3.1线性变换与矩阵2.3.2矩阵在图像处理中的应用2.3.3矩阵在金融数据分析中的应用3.矩阵在物理学中的应用3.1矩阵在力学中的应用3.1.1刚体运动的描述与矩阵3.1.2牛顿运动定律与矩阵3.2矩阵在电路理论中的应用3.2.1电路分析中的矩阵方程3.2.2电路网络的拓扑矩阵3.3矩阵在量子力学中的应用3.3.1波函数与矩阵表示3.3.2矩阵在量子力学中的算符描述4.矩阵在计算机科学中的应用4.1矩阵在图像处理与计算机图形学中的应用4.1.1矩阵变换与图像处理4.1.2矩阵在计算机图形学中的坐标变换4.2矩阵在数据处理与机器学习中的应用4.2.1矩阵在数据压缩与降维中的应用4.2.2矩阵分解与矩阵乘法的优化算法4.3矩阵在密码学中的应用4.3.1线性密码与矩阵4.3.2矩阵在加密算法中的应用5.矩阵在经济学与社会学中的应用5.1矩阵在经济学中的应用5.1.1矩阵在供需模型中的应用5.1.2矩阵在输入输出模型中的应用5.2矩阵在社会学中的应用5.2.1矩阵在社交网络分析中的应用5.2.2矩阵在数据挖掘与社会统计中的应用总结通过对矩阵的发展史及相关应用的探讨，我们可以看到矩阵在各个领域中的重要地位和广泛应用。
矩阵的概念和性质不仅有助于我们理解数学中的抽象思维，还可以帮助我们解决实际生活和工作中的复杂问题。
矩阵理论论文
矩阵分解在信号和图像处理方面的应用矩阵理论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它又能广泛应用于各个领域。
矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。
用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。
下面简单介绍一下矩阵的奇异值分解在信号和图像处理方面的简单应用。
此方法近年来在数据降维和压缩,滤波器设网络节点估计、小波变换结果的后续处理等很多领域都获得了重要的应用。
在滤波器设计方面，VOZALIS等将SVD 用于协同滤波，他们的研究结果表明，SVD提高了协同滤波过程中预测的质量和精度。
而在消噪方面，LEHTOLA等利用SVD和数学形态学相结合，对心电信号(Electrocardiogram，ECG)进行处理，消除了噪声的影响，提高了心电图诊断的准确性。
同时奇异值分解已用于从孕妇皮肤测量信号中提取胎儿心电信号。
在另一些研究中SVD则被利用来实现特征提取和弱信号分离，如LIU等利用SVD从背景噪声强烈的振动信号中提取周期性冲击信息。
SVD在神经网络中也获得了应用，如TEOH等利用SVD实现了对隐层空间中模式的线性独立性分析，进而决定了隐层神经元节点的数目。
SVD的正交化特性在对小波和小波包变换结果的后续处理中也得到了有效的应用，如XIE等利用SVD对小波包分解后的肌电信号进行正交化处理，以获得代表肢体运动模式的最优特征，进而对肌电信号进行分类，用于对假肢的控制。
小波多分辨分析的本质就是把信号在一系列不同层次的空间上进行分解，获得相应的近似和细节信号，从而以不同的层次显示信号的各种概貌和细节特征[9]，这种多分辨思想使得小波分析在很多领域获得了极为广泛的应用。
基于这种多分辨分析思想的思考，赵学智在SVD中提出了一种矩阵二分递推构造方法，根据该方法得到的SVD分解结果将分属于不同层次的空间，而且下一层次空间的基矢量是利用上一层次的近似基矢量而获得的，实现了利用SVD以不同的层次来展现信号的概貌和细部特征。
矩阵在数学中的应用本科毕业论文
本科毕业论文（设计）题目矩阵在数学中的应用____________________________________毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
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3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
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图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目录摘要 (I)Abstract. (II)1 前言 (1)2 有关概念及重要结论 (1)2.1矩阵的概念 (1)2.2矩阵的秩 (2)2.3矩阵的逆 (3)2.4 用矩阵表示二次型 (3)3 矩阵的应用 (6)3.1矩阵的高次幂 (6)3.1.1 矩阵的幂 (6)3.1.2矩阵高次幂的求法 (7)3.2 解线性方程组 (13)3.2.1线性方程组的有解判定定理 (13)3.2.2 线性方程组一般形式的运用 (14)3.3 解矩阵方程 (16)3.4 矩阵对角化方法 (19)3.4.1 讨论对于有n个特征单根的n阶方阵 (19)3.4.2 讨论对于有特征重根的n阶方阵 (21)结论 (24)致谢 (24)参考文献 (24)矩阵及应用杨灿（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级重庆万州 404100）摘要:矩阵理论既是学习经典数学的基础,又是一门很有实用价值的数学理论.随着科学技术的发展,这一理论已成为现代各科技领域处理大量数据的有效工具.本文就是利用矩阵的基本理论,把矩阵作为计算工具,对实际问题如方程组的解、矩阵的幂、二次型进行了较为系统的研究并简化了一些计算.关键词: 矩阵;矩阵的幂;线性方程组Matrix and Its ApplicationYANG Can(Grade 2010, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and statistics, Chongqing Three Gorges University, Wan Zhou, Chongqing 404100 )Abstract:Matrix theory is not only the foundation of learning classical mathematics,but also is a very useful mathematical theory.With the development of science and technology,this theory has become the effective tool for modern technology in the field of large amounts of data.This article is on the undamental theory of matrix,the matrix as a calculation tool,the practical problems such as the solution of the equations,the power of matrix,the two type are systematically studied and some simplified calculation.Keywords:Matrix; The power of matrix; Linear equation2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）1 前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的主要研究对象之一,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语.而实际上,矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了.18世纪中期,数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题,即二次型的化简.在这一问题的研究中,数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论.1748年,瑞士数学家欧拉(L ．Euler,1707—1783)在将三个变数的二次型化为标准形时,隐含地给出了特征方程的概念.1773年,法国数学家拉格朗日(J ．L ．Lagrange,1736—1813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换.1801年德国数学家高斯(C ．F ．Gauss,1777一1855)在《算术研究》中,将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广,给出了两个线性变换的复合,而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积.另外,高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念,在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念.在线性方程组的讨论中,我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象,也是处理高等数学很多问题的有力工具.矩阵的秩是一个基本的概念,也是矩阵最重要的数量特征之一,它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,无论是在线性代数中,还是在解析几何中,甚至在概率论中,都有不可忽略的作用．矩阵方幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用,它的求解原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识.其计算量往往较大,但方法适当,可大大简化其计算难度.本文将给出六种求矩阵方幂地方法.矩阵方程是矩阵运算的一部分,这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题.掌握简单的矩阵方程的求法,对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助.2 有关概念及重要结论2.1矩阵的概念为了便于叙述并考虑以后的应用,我们引进矩阵的概念.由mn 个数排列而成的m 行（横的）n 列（纵的）的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为一个n m ⨯杨灿：矩阵及其应用矩阵.定义 1 把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为A 的转置矩阵, 记作T A (或A ').即若,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A 212221212111. 2.2矩阵的秩定义2 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;所谓矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.引理1 如果齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211的行秩n r <,那么它有非零解.定理1 矩阵的行秩与列秩相等.定理 2 n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .推论 1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式等于零.2.3矩阵的逆我们知道,n 阶单位矩阵E 单位性质,即对于任意n 阶方阵A 都有A EA AE ==,是否存在n 阶方阵B 使得E AB =呢？即是否与数域P 中数一样的性质:1)0(1=⋅⇒∈≠∀-a a P a .为此,我们引进逆矩阵的概念.定义1 n 阶方阵A 称为可逆的,如果有n 阶方阵B ,使得E BA AB ==. （2.3.1）这里E 是n 级单位矩阵.并且称B 为A 的一个逆矩阵.定义2 如果矩阵B 适合（2.3.1）,那么B 就称为A 的逆矩阵,记为1-A . 定理1 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化,此时,A 的逆矩阵为0,1*1≠==-A d A dA . 定理2 给出了矩阵可逆时逆矩阵的计算公式.下面给出可逆矩阵的一些性质: 性质1 如果n 阶方阵A 可逆,那么0≠=A d ,并且dA 11=-. 性质2 如果矩阵B A ,同级且都可逆,那么T A 与AB 也可逆,且11111)(,)()(-----==A B AB A A T T .性质3 如果n 阶方阵A 可逆,那么kA N k ,∈∀也可逆,并且k k A A )()(11--=. 性质4 如果n 阶方阵A 可逆,那么k A Z k ,∈∀也可逆,并且k k A A )()(11--=.性质5 如果n 阶方阵A 可逆,那么Z l k ∈∀,,有l k l k k l kl l k A A A A A A +===,)()(. 定理3 A 是一个n s ⨯矩阵,如果P 是s s ⨯可逆矩阵,Q 是n n ⨯可逆矩阵,那么)()()(A r AQ r PA r ==.推论1 在定3的假设下有,)()(A r PAQ r =成立.2.4 二次型及矩阵表示定义1 设P 是一个数域,一个系数ij a 在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 jinj i ij i ni ii n xx a x a x x x f ∑∑≤≤≤=+=121212),,,( . （2.4.1）定义2 记ij ji a a =,把n 元二次型（2.4.1）,写成对称形式j i ni nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,( . （2.4.2）这样,系数ij a 可以构成一个n n ⨯对称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nn n n n n nn ij a a a a a aa a a a A 212222111211)(, （2.4.3） 称（2.4.3）为n 元二次型（1）的矩阵. 令Tn x x x x ),,,(21 =,则有i n i j nj ij j i n i n j ij n x x a x x a x x x f ∑∑∑∑======111121)(),,,( ,=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===n j j nj n j j j n j j j n x a xa x a x x x 1121121),,,( ,=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,(,=Ax x T, （2.4.4）这就是二次型的矩阵表示.对确定的n 元二次型（2.4.1）,就确定唯一的对称矩阵（2.4.3）通过（2.4.4）联系起来,即Ax x xx a x x x f T jin i nj ij n ==∑∑==1121),,,( .因此,一个n 元二次型（2.4.1）对应一个n 阶对称矩阵.每个二次型都有一个对称矩阵与之对应;反之,每个对称矩阵也有一个二次型与之对应.二次型与它的矩阵是相互唯一确定的.一般地,关于二次型的矩阵有下列结果.定理1 设B 是n n ⨯矩阵,则Bx x x x x f Tn =),,,(21 是一个二次型,它的矩阵为2BB T +.2.5 特征值与特征向量n 维线性变换空间V 与矩阵空间nn p ⨯是同构关系,可以通过矩阵来研究线性变换的性质,我们希望找到一组基,,,21n ξξξ 使得线性变换A L 在这组基下的矩阵A 的形式最简单.这个问题的一个简单设想是A 是否可以是对角形式？即),,,(,,,3,2,1,21n j j j A a a a diag A n j a L ===ξξ.这个设想可以归结为:对线性空间V 的线性变换ξξk L A =,P k ∈.这就是线性变换的特征值与特征向量.定义1 设A L 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P 中一数0λ,存在一个非零向量ξ,使得ξλξ0=A L .那么0λ称为A L 的是一个特征值,而ξ称为A L 的属于特征值0λ的一个特征向量.定义2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A -E λ的行列式nnn n nn a a a a a a a a a ---------=A -E λλλλ212222111211,称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个n次多项式.上面的分析说明, 如果0λ是线性变换A L 的特征值, 那么0λ一定是矩阵A 的特征多项式的一个根; 反过来, 如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根, 即00=-E A λ, 那么齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-----=---+-=----0)(0)(0)(022111222012112121110n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a λλλ (2.5.1)就有非零解. 这时,如果),,,(00201n x x x 是方程组(2.5.1)的一个非零解, 那么非零解向量.n n x x x ζζζζ0202101+++= .满足（2.5.1）式, 即0λ是线性变换A L 的一个特征值, ζ就是属于特征值0λ的一个特征向量．定理1 设A L 是数域P 上n 维线性空间V 的一个变换,则P ∈0λ是A L 的一个特征值当且仅当0λ是A L 的特征多项式)()(λλA L f f A≡的一个根.定理2 设0λ是线性空间V 的线性变换A L 的一个特征值,则集合{}V L V A ∈==ααλααλ,00 (2.5.2)构成V 的一个子空间.在有限维情形,)(dim 00A E R n V --=λλ,其中,V n dim =,A 是A L 在V 在某个基下的矩阵.定义3 设0λ是线性空间V 的线性变换A L 的一特征值,式（2.5.2）定义的V 的子空间称为A L 的对应特征值0λ的特征子空间0λV因此, 确定一个线性变换A 的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步: (1)在线性空间V 中取一组基n ζζζ,,,21 , 写出A L 在这组基下的矩阵A ;(2)求出A 的特征多项式A -E λ在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换A L 的全部特征值;(3)把所得的特征值逐个代入方程组（2.5.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组（2.5.1）式,求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基n ζζζ,,,21 下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量．矩阵A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值, 而相应的线性方程组（2.5.1）式的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量．3 矩阵的应用3.1矩阵的高次幂3.1.1 矩阵的幂定义1 设方阵n n ij a A ⨯=)(, 规定.,,0为自然数个k A A A A E A k k⋅⋅⋅==k A 称为A 的k 次幂.方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）: (1) );,(为非负整数n m A A A n m n m +=(2) .)(mn n m A A =注意: 一般地,,)(m m m B A AB ≠ m 为自然数命题1 设B A ,均为n 阶矩阵,,BA AB = 则有,)(m m m B A AB = m 为自然数,反之不成立.3.1.2 矩阵高次幂的求法矩阵方幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用,它的求解原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识.其计算量往往较大,但方法适当,可大大简化其计算难度.本文将给出六种求矩阵方幂地方法.3.1.2.1 利用凯莱——哈密尔顿（Cayley —Hamilton ）定理求方阵的幂定理1 （Cayley —Hamilton 定理）设A 是n 阶矩阵,)(λf 是A 的特征多项式,则0)(=λf . 设A 是数域P 上n 阶方阵,其特征多项式为)(λf ,为求A n（n 是正整数）,令n g λλ=)(,做带余除法,)()()()(λλλλr q f g +=.由定理1知,)()(λλr g =,并且)(λr 的次数小于)(λg 的次数,进而可得n r g A =A =A )()(.利用上定理求幂时在计算过程中可分为两种情形:1、所求矩阵的幂指数相对较低,可直接利用定理1及余式定理求出)(λr .例1 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101121002A ,求5A .解 令5)(λλ=g 矩 阵A 的 特 征 多 项 式 为)1()2(11121002)det()(2--=-----=A -I =λλλλλλλf 做带余除法,6811649)1750)(()(225+-+++==λλλλλλλf g 于是,由定理1知I +A -A =I +A -A ++A +A A =A =A 68116496811649)1750)(()(2225f g⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1000100016810112100211610334300449 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10313132310032 2、所求矩阵的幂指数相对较高,不便用上法直接求出余式.此种情形下矩阵的特征多项式有重根和无重根时分别给出下面的解法.(1)矩阵的特征多项式无重根.对于i ni i c q f r q f g λλλλλλλ∑=+=+=1)()()()()()(,以其n 个不同的特征值分别代入此式即可求出)(λr .例2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A 211110101,求991003A -A .解 令991003)(λλλ-=g .矩阵A 的特征多项式为)3)(1(211110101)det()(--=-------=A -I =λλλλλλλλf .做带余除法,注意到)(λf 的次数是3,即c b a q f g +++=-=λλλλλλλ299100)()(3)(. 以3,1,0=λ分别代入上式得0)0(==c g .2)1(-=++=c b a g .039)3(=++=c b a g . 所以0,3,1=-==c b a .由定理1 ,A -A =I +A +A =A -A =A 33)(2299100c b a g⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0000110112111101013631321312.（3）矩阵的特征多项式有重根.同上法,为获得足够的信息求出)(λr ,可对)()()()(λλλλr q f g +=求导.例3 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=A 210111111,求100A .解 A 的特征多项式是)2()1()det()(2--=A -E =λλλλf 令100)(λλ=g ,做带余除法0122)()()(b b b q f g +++=λλλλλ以2,1=λ分别代入上式,有⎩⎨⎧=++==++=100012012234)2(1)1(b b b g b b b g 为求)2,1,0(=i b i ,就)(λg 对λ求导得10012'2'1002)()()()]1()2)(1(2[)(λλλλλλλλλ=+++-+--=b b q g q g 以1=λ代入上式,有100212=+b b ,从而求得 1000201110022102,3022,2201-=-=-=b b b , 于是 I +A +A =A0122100b b b .3.1.2.2 对于秩为1的n 阶方阵A 有下面定理定理1 对于n 阶方阵A,若1)(=A rank ,那么A 可分解为一个列向量与一个行向量的乘积'αβ=A ,其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n b b b b a a a a .,.321321 βα.例4 已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A 1233321231211,求n A . 解 显然1)(=A rank ,并且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A 1233321231211⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3121132`1,而331211321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡,所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A ---123332123121133312113213111n n n n .3.1.2.3 可分解为数量矩阵和零幂矩阵之和的情况要点 观察推敲矩阵A ,看其是否可以分解为一个数量矩阵E λ与一个零幂矩阵P 之和,即P +E =λA ,其中O m ≠P ,但O m =P+1,因为数量矩阵E λ和P 可以交换,于是由二项式定理得m m n kn n k k n nk k k n nk nnm n n k n k n A P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++P +=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P +E =---=-=∑∑λλλλλλ 100)()(.例5 已知矩阵,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000420000210042A ,求n A . 解 观察矩阵A 的特点,可先将其分块写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A ,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2142B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2042C ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn C OO B A ,下面就先求n B 和nC . 显然1)(=B r ,即pq B =,这里⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12p ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21q ,且4=qp ,所以B B n n 14-=. 至于P +E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+E =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2004022042C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 0040满足O P =2,代入上述给出的二 次项式公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=P +E =P E +E =+E =---nn nn n n nnnn n n P C 2024222)2()2()2(111. 因此本题得解 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=---n n n n n n n A 2024200004200442111. 3.1.2.4 归纳法例6 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101αβαA ,求其n 次幂. 解 先来计算A 的较低次幂2A 和3A ,由矩阵乘法直接计算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=10021022122αβααA ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=100310333123αβααA ,……由此猜想⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100102)1(12αβααn n n n n A n. 以下用数学归纳法加以证明. （1）当1=n 时成立.（2）归纳假设结论对k n =时亦成立,即⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100102)1(12αβααk k k k k A k . 所以当1+=k n 时,A A Ak k =+1,而⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+(++++(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100)110)1(2)1()11100101100102)1(122αβαααβααβααk k k k k k k k k k A A k , 即当1+=k n 时成立,从而证明结论成立.即⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100102)1(12αβααk k k k k A k. 3.1.2.5 利用相似变换法要点 若已知矩阵可以经过相似变换化为对角阵时,即存在可逆矩阵P ,使Λ=AP P -1,其中Λ为对角阵,其对角线上元素为矩阵A 的特征值.由上可得1-PΛP =A ,1-P PΛ=A n n .于是求A的方幂就转化为求过渡矩阵P 和对角阵nΛ,而对于P 和阵nΛ,我们应用代数知识要好求得多了,具体如下:例7 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A 122212221,求其n 次幂. 解 经过计算,矩阵A 的特征值1-=λ和5=λ,对于特征值1-=λ有线性无关特征向量T )101(1-=α和()3011Tα=-()T 1102-=α.对于特征值5=λ有特征向量()T 1113=α.令()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==P 111110101,,321ααα,即P 可逆,且有,5000)1(000)1(,5000100011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Λ=AP P -n n n n 于是.,11--P PΛ=A PΛP =A nn计算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-+-+-+-+-=A ++++++n n nn n n n n n n nn n n n n nn n 52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(31111111.3.1.2.6 利用Jordan 标准形例8 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=A 411301621,求k A .解 第一步:首先求矩阵A 的若尔当标准形.由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+=A -E 2)1(0001000141131621λλλλλλ.从而初等因子为)1(-λ,2)1(-λ,故A 的若尔当标准形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001J .第二步:求可逆矩阵T 使J AT T =-1,即TJ AT =.设),,(321ααα=T ,所以有332211,,αααααα=A =A =A .由22αα=A 得32)(αα-=A -E ,设()Tx x x 3212,,=α,()Ty y y 3213,,=α,则由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=A -E 3221321000311622311311622)(y y y y y y y , 而32)(αα-=A -E 有解,故32y y =,又33αα=A ,从而0)(3=A -E α即0311311622321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---y y y , 于是有03321=-+y y y ,所以得212y y =.令132==y y ,则21=y .于是T )112(3=α,再解T )001(2-=α.于是求得()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==101100213,,321αααT . 第三步:由第二步得1-=A TJT .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==A -k k k k k k k kk k TTJ k k 31316221010311110100100011011002131.3.2 解线性方程组3.2.1线性方程组的有解判定定理定理1 （克拉默法则） 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （4.2.1）的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式,0≠=A d 那么线性方程组（4.2.1）有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为,,,,2211dd x d dx d d x n n ===其中j d 是矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式,即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n nj j nj j j==+-+-+- 定理(线性方程组的有解判定定理) 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********有解的充分必要条件为它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211与增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s sns s n n b a a a b a a a b a a a A 21222221111211有相同的秩.3.2.2 线性方程组一般形式的运用例9 求下述齐次线性方程组的一个基础解系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=++-+-=---+-=+-+-0931050320117630426354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x把方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------000000000078100650219131051312111716341263于是方程组的一般解为:⎩⎨⎧+=--=543542178652x x x x x x x 其中542,,x x x 是自由未知量.令0,0,1542===x x x 得)0,0,0,1,2(1=η 0,1,0542===x x x 得)0,1,8,0,5(2-=η 1,0,0542===x x x 得)1,0,7,0,6(3-=η 这里321,,ηηη就是方程组的一个基础解系.例10 解线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-+-=++-+-=---+-=++-+2573431272327225354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 把此方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------000000666100121010875001000000666100545110112111257343112111721132712253从而得到此方程组的一般解为:⎪⎩⎪⎨⎧-+=---=-+=66662875543542541x x x x x x x x x 其中54,x x 是自由未知量. 对于方程个数与未知量个数相等的非齐次线性方程组,如果它的系数行列式不为零,我们还可以用克莱姆法则求解.但是这种方法计算量很大,因此我们一般不用它,只是对少数字母系数的方程组采用克莱姆法来进行求解.例11 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-=+--=+--321934443522134321432143214321x x x x a x x x x x x x x x x x x 求当a 为何值时方程组有解？此时有多少解？解 把方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------00000340000211001131132211193444352211311a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------00000340000211001131132211193444352211311a a 显然,当34≠a 时,方程组无解;当34=a 时,方程组无解,此时由于阶梯形矩阵的非零行有2行,而未知量有4个,所以方程组有无穷多个解,易求出一般解为⎩⎨⎧+-=+-=27443421x x x x x 其中42,x x 是自由未知量.3.3 解矩阵方程矩阵方程是矩阵运算的一部分,这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题.掌握简单的矩阵方程的求法,对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助.简单的矩阵方程有三种形式:.,,C AXB C XA C AX ===如果这里的A 、B 都是可逆矩阵,则求解时需要找出矩阵的逆,注意左乘和右乘的区别.它们的解分别为.,,1111----===B A X CA X C A X例如,求解方程C AC =先考察A 是否可逆,如果A 可逆时,方程两边同时左乘1-A ,得,11C A AX A --=即,1C A X -=这里要注意只能左乘不能右乘,因为矩阵的乘法不满足交换律.同样,对于方程,C XA =只能右乘1-A ,得,11--=CA XAA 即.1-=CA X 而对于方程,C AXB =只能是左乘1-A 而右乘1-B ,得,1111----=CB A ACBBA 即.11--=CB A X看下面解矩阵方程例题:例12 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡315432343122321X 解 先求出1-A ,则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332123315432111253232313154321343122321X 例13 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212101343122321X解 先求出1-A ,则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-27525120111253232312121013431223212121011X 例14 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3154321325343122321X解 先求出1-A ,则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-532113251, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--532131543211125323231132531543234312232111X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=131148735331332123当矩阵方程C AXB C XA C AX ===,,中的A 、B 不是方阵或者是不可逆的方阵时,前面的方法就不能用了.这时,我们需要用待定元素法来求矩阵方程.设未知矩阵X 的元素为ij x ,即)(ij x X =,然后由所给的矩阵方程列出ij x 所满足的线性方程组,通过解线性方程组求出所有元素ij x ,从而得到所求矩阵)(ij x X =.例15 解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4152102011X解 利用元素法,先确定X 的行数等于左边矩阵的行数3,X 的列数等于积矩阵的列数2,则X 是23⨯的矩阵.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2221y y y x x x X ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41521020112121y y y x x x. 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--4152222111y y x x y y x x ,于是得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-4212522211y y x x y y x x . 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=y y x x y y x x 2421522211,所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=y y y x x x X 245212,其中y x ,为任意实数.例16 解矩阵方程,C AX =其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=031334213A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7577111793C . 解 由于0=A ,所以A 是不可逆矩阵,需要用元素法求解.设,222111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x z y x z yxX 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--7577111793031334213222111z y x z y x z y x,即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-+-+-+-+-+-7577111793323334334334232323111212121212121z z y y x x z z z y y y xx x z z z y y y x x x .比较第一列元素得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+-73133432312121x x x x x x x x ,解得⎩⎨⎧-=-=9537121x x x x 同样,比较第二、三列元素可得对应方程组,分别解得7537,3535121121-=-=-=-=z z z z y y y y ,所以可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=7573535953711111`1z z y y x x X ,其中111,,z y x 是任意实数. 总之,对于矩阵方程,当系数矩阵是方阵时,先判断是否可逆.如果可逆,则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵,如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵,则需要用待定元素法通过解方程确定未知矩阵.3.4 矩阵对角化方法3.4.1 讨论对于有n 个特征单根的n 阶方阵3.4.1.1 基本原理引理1 设A 是秩为r 的n m ⨯阶矩阵,且()n TE A−−−→−行初等变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*--n r n mr n rmP D )()(0 其中D 是秩为r 的行满秩矩阵,则齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系即为矩阵P 所含的r n -个行向量),,2,1(r n i i -= ξ.引理2 矩阵A 的特征矩阵)(λA 经过一系列行初等变换可化为上三角形的λ－矩阵)(λB ,且)(λB 的主对角线上元素乘积的λ多项式的解为矩阵A 的全部特征根.引理3 对于数域P 上的n 阶方阵A ,若A 的特征多项式在P 内有n 个单根,则由特征向量构成的n 阶可逆矩阵T ,使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AT T λλλ211定理1 若数域P 上的n 阶方阵A 的特征多项式)(λf 在P 内有n 个单根,则A 可通过如下方法对角化:设()())()()(,)(λλλλλQ B E A A E A n TT T −−−→−-=行初等变换且)()1λB 为上三角形矩阵,则有方阵A 的特征根i λ即为)(λB 中主对角线上各个元素乘积的解;)2对于方阵A 的每一个特征根i λ,总有)(i B λ中零行向量所对应的)(i Q λ中的行向量i ξ与之对应.3.4.1.2举例说明例17 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210131012A ,问方阵A 是否可以化为对角形,若可以,求出其对角化后的方阵.解 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=100210010131001012)(λλλλE A T−−−−−−→−第一行与第二行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------100210001012010131λλλ −−−−−−−−−→−-行上乘以第一行再加到第二)2(λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-+----10021002125500101312λλλλλλ−−−−−−→−第二行与第三行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+------02125501002100101312λλλλλλ −−−−−−−−−−→−+-行上乘以第二行再加到第三)55(2λλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----------5521)4)(2)(1(001002100101312λλλλλλλλ =())()(λλQ B由题意知)4)(2)(1(---λλλ=0⇒11=λ,22=λ,43=λ ,此时方阵A 有3个特征单根,故方阵A 可以化为对角形;将11=λ代入)()(λλQ B 和中知)(λB 的第三行为零,由定理1知)(λQ 的第三行向量)1,1,1(-即为属于1λ的特征向量,同理可知)1,2,1(),1,0,1(-分别为属于32λλ和的特征向量.于是可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111T ,使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4211AT T .3.4.2 讨论对于有特征重根的n 阶方阵对于有特征重根的方阵,可以通过上述方法将其化为上三角形矩阵,接着再对上三角形矩阵施行一系列初等变换将其化为对角形矩阵,这样就避免了上三角形矩阵中非零行向量可能不构成行满秩的情形. 3.4.2.1基本定理定理2 设TT A E A -=λλ)(,则()())()()(λλλP D E A T −−−→−初等变换且)(λD 为对角形矩阵,则有)1对于A 的每个特征根i λ,)(i P λ中与)(i D λ的零行对应的行向量即为属于i λ的特征向量;)2设s λλλ ,,21为A 的所有不同的特征根,重数分别为s r r r ,,21,则A 可以化成对角形⇔)(i D λ中的零行数目等于i λ的重数),,2,1(s i r i =.由此我们不难得到对于有特征重根的方阵化为对角形方阵的简单步骤如下:)1作()()())()()()()(λλλλλP D Q B E A T −−−→−−−−→−初等变换行初等变换,其中))(),(),(()(21λλλλn d d d diag D =,则A 的特征根恰为0)()()(21=λλλn d d d 的根;)2若A 的特征根全在P 内,且每个i λ有)(i D λ中零行数目等于i λ的重数,则A 可以化为对角形方阵,否则A 不可以化为对角形方阵;)3对于每个特征根i λ,在)(i P λ中取出与)(i D λ中零行对应的行向量),,,(21im i i P P P 得A属于i λ的特征向量且都是线性无关的. 3.4.2.2 举例说明例18 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110111110)1A ; ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100112001)2B问方阵A 和B 是否可以化为对角形,若可以,试求出其对角化后的方阵.解 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=10011101011100101)()1λλλλE A T−−−−−−→−第一行与第三行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------00101010111100111λλλ−−−−−−−−→−-行上乘以第一行再加到第二)1(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0010111020100111λλλλ−−−−−−−→−行上乘以第一行再加到第三λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------λλλλλλλ0110110201001112 −−−−−−−−→−-二行上）乘以第三行再加到第（1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------λλλλλλλ011011110111122−−−−−−−−−→−-三行上）乘以第二行再加到第（1λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++------------112)1(001111010*******λλλλλλλλλ−−−−−−−−−→−-列上乘以第二列再加到第三)(2λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++----------+--112)1(00111010100111222λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−→−-+-列上乘以第一列再加到第三)1(2λλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++----------112)1(0011101010001122λλλλλλλ−−−−−−→−第二行加到第一行上⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++------------112)1(001110101100122λλλλλλλλ())()(λλP D =由题意知0)1(2=-λλ⇒01=λ,)(12二重=λ,因为)(2λD 中零行数目≠1等于2λ的重数,故A 不可以化为对角形方阵.)2 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=100110010010001021)(λλλλE A T2014届数学与应用数学专业毕业（论文）第 23 页 共 24页−−−−−−→−第二行与第三行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---010*********001021λλλ −−−−−−−−−→−+行上乘以第二行再加到第三)1(λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1101001001100010212λλλλ −−−−−−−−−→−-列上乘以第二列再加到第三)1(λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----110100100010001)1(2212λλλλ −−−−−−−−→−-列上乘以第一列再加上第三)2(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---1101001000100010212λλλ −−−−−−−→−行上乘以第二行再加到第一2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---1101001000102010012λλλ())()(λλP D =. 由题意知0)1)(1(2=--λλ⇒)(11二重=λ,12-=λ,此时)(1λD 中零行数等于=21λ的重数,故B 可以化为对角形方阵;将11=λ代人)()(λλP D 和中知)(λD 的第一行和第三行为零,由定理2知)(λP 的第一行向量)2,0,1(和第三行向量)2,1,0(即为属于1λ的特征向量,同理可知)0,1,0(为属于2λ的特征向量.由此可知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=022110001T 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1111BT T .结 论通过以上对矩阵的学习,我们知道,想要在学习过程中灵活应用矩阵思想,首先要理解矩阵思想,在此基础上,遇到难解的数学问题,能发现矩阵是可以解决此类问题的关键,最后能正确无误的利用矩阵思想把数学问题得以解决.矩阵是代数特别是线性代数的一个主要研究对象,他对于研究矩阵的相关运算、解线性与非线性方程组、特征值和特征向量的求解方法、对角化及二次型矩阵、求解矩阵高次幂等重要问题都有极为广泛的应用.杨灿：矩阵及其应用参考文献[1]李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].科学出版社,2008.205-211[2]王萼芳,石生明.高等代数（第三版）.高等教育出版社[3] 张禾瑞．高等代数（第五版）[M]．北京:高等教育出版社,2007[4] 吕林根,许道子．解析几何[M]．北京:高等教育出版社,2006[5] 许以超．线性代数与矩阵[M]．北京:高等教育出版社,1992[6] 李师正．高等代数解题方法与技巧［M］.北京:高等教育出版社,2004[7] 徐仲,张凯院,陆全,冷国伟．矩阵论简明教程［M］．北京:科学出版社,2005[8] 贾美娥．矩阵的秩与运算的关系［J］.赤峰学院学报,2010,26(9):3-4[9] 钟成义,肖宏儒．方阵秩与零特征值代数重数相关性探讨[J]．高等数学研究．2009,12(1):96-97[10] 史明仁. 线性代数600证明题详解[M]. 北京科学技术出版社.1985[11] 徐德余.高等代数（第二版）[M].四川大学出版社.2005:175-178[12] 丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996[13] 赵树嫄. 线性代数(第三版[M]). 北京: 中国人民大学出版社, 2006[14] 程云鹏.矩阵论[M].第二版.西安:西北工业大学出版社,2002[15] 赵树塬.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,1997[16] 李君文.线性代数理论与解题方法[M].长沙 :湖南大学出版社,2002致谢从上学期选题、收集资料到这学期写开题报告,完成初稿,到定稿,期间几个月历经喜悦、聒噪、痛苦、彷徨,在写论文时心情如此复杂,到今天随着论文的完成,都落下了帷幕.在此论文撰写过程中,要特别感谢我的导师向以华老师的指导与督促,同时感谢他的谅解与包容.没有老师的帮助也就没有今天的这篇论文.求学历程是艰苦的,但又是快乐的．感谢我大学所有教过的老师,谢谢他们在这四年中的教诲．在这四年的学期中结识的各位生活和学习上的挚友让我得到了人生最大的一笔财富.在此,也对他们表示衷心感谢.本文参考了大量的文献资料,在此,向各学术界的前辈们致敬!第24页共24 页。
矩阵发展历史
矩阵发展历史矩阵是数学中的一个重要概念，它在各个学科领域都有广泛的应用。
矩阵的发展历史可以追溯到18世纪，随着数学和科学的发展，矩阵逐渐成为了解决复杂问题的强大工具。
本文将从矩阵的起源、发展、应用等方面详细介绍矩阵的发展历史。
1. 矩阵的起源矩阵的起源可以追溯到18世纪，当时数学家们开始研究线性方程组的解法。
在这个过程中，他们引入了矩阵的概念，用于表示线性方程组的系数和常数项。
最早提出矩阵概念的数学家是日本数学家关孝和。
2. 矩阵的发展19世纪，矩阵的概念逐渐得到了完善和发展。
数学家们开始研究矩阵的性质和运算规则。
其中，德国数学家凯莱布·耶格尔斯（Cayley）和英国数学家西尔维斯特（Sylvester）对矩阵的代数性质做出了重要贡献。
他们研究了矩阵的加法、乘法、逆矩阵等运算规则，并提出了矩阵的特征值和特征向量的概念。
20世纪初，矩阵理论得到了进一步的发展。
俄国数学家列昂季耶夫（Lyapunov）和美国数学家哈特曼（Hartman）等人研究了矩阵的稳定性和控制理论。
他们的研究为控制工程和系统科学的发展奠定了基础。
3. 矩阵的应用矩阵在各个学科领域都有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵被用于解决线性方程组、求解特征值和特征向量等问题。
在物理学中，矩阵被用于描述量子力学中的态矢量和算符。
在计算机科学中，矩阵被用于图像处理、机器学习、人工智能等领域。
在经济学中，矩阵被用于描述输入产出模型和线性规划问题。
此外，矩阵还在统计学、生物学、工程学等领域都有重要的应用。
4. 矩阵的发展趋势随着科学技术的不断进步，矩阵的应用领域将进一步扩展。
例如，在量子计算和量子通信领域，矩阵的应用将变得更加重要。
另外，随着大数据时代的到来，矩阵在数据分析和机器学习中的应用也将得到进一步发展。
总结：矩阵作为数学中的一个重要概念，经历了数百年的发展和完善。
从最早的线性方程组解法到现在的各个学科领域的广泛应用，矩阵在科学研究和实际应用中发挥着重要作用。
重庆大学矩阵理论及其应用论文
“矩阵理论及其应用”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生姓名：学号:专业：机械电子工程类别：学术上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师(签名)最小二乘法问题摘要：无论在哪个专业领域，都不可避免的要面对测量所得到的一批数据。
这些数据看似杂乱无章，但对于特定的时间却是符合特定的规律。
而要发现这些规律必须借助一定的手段。
矩阵理论作为一门具有强大功能的学科再此发挥了它重要的作用。
用矩阵论的理论来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍了。
在工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容质疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了崭新的研究途径。
矩阵理论与方法已成为研究现代工程技术的数学基础。
因此，对于数据的处理采用最小二乘法是最恰当不过的了。
关键词：数据处理，矩阵理论，最小二乘法正文一、引言最小二乘法已有近200年的发展历史，它首先由Gauss K F提出并被应用于天文计算中，现已被广泛地用来解决各种技术问题。
在过去的30多年里，它已被成功地应用到过程控制系统的参数估计领域，数字计算机技术又使最小二乘原理更有实践价值。
参数估计现在模型结构已知时，用实验法所取得的数据来确定表征系统动力学模型中的参数。
最小二乘法原理提供了一个数学程序，通过它可以获得一个在最小方差意义下与实践数据拟合最好的模型，它在稳态系统数学模型的回归分析方面应用已很成熟，在动态系统的参数辨识方面也取得了许多重要成果，其参数估计的收敛性质也得到了深入的研究，可以说在参数估计领域中最小二乘方法已达到了完善的程度。
本文讨论的问题如下：一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：i0 1 2 3 4我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。
问题：预测该导弹在什么水平距离着地。
二、预备知识基本术语解释从整体上考虑近似函数()p x 同所给数据点(),0,1,()i i i m x y = 误差()()0,1,i i i r p x y i m =-= 的大小，常用的方法有以下三种： ∞—范数：绝对值的最大值0max||i i m r ≤≤1—范数：误差绝对值的和m||i i r =∑2—范数(欧式范数)：误差平方和m20i i r =∑的算术平方根。
矩阵论文
矩阵分析姓名：秦梦瑶学号： 20135035020【摘要】矩阵理论是工科线性代数中的一个重要内容,而逆矩阵是其非常重要并且是较难理解的一部分内容,然而在许多线性代数教科书中逆矩阵相关知识点的应用几乎未涉及到,以至于很多学习矩阵论的人错误地认为所学东西没有多大用处。
为了使学习的人对所学逆矩阵有具体地,形象地认识,而不只是停留在抽象的概念,结论的机械记忆上,为了能使逆矩阵的本质掌握起来更简单。
本文介绍可逆矩阵在保密通信中应用。
【关键词】矩阵信息安全应用一．信息安全简介1信息安全，简称信安，意为保护信息及信息系统免受未经授权的进入、使用、披露、破坏、修改、检视、记录及销毁。
政府、军队、公司、金融机构、医院、私人企业积累了大量的有关他们的雇员、顾客、产品、研究、金融数据的机密信息。
绝大多数此类的信息现在被收集、产生、存储在电子计算机内，并通过网络传送到别的计算机。
万一诸如一家企业的顾客、财政状况、新产品线的机密信息落入了其竞争对手的掌握，这种安全性的丧失可能会导致经济上的损失、法律诉讼甚至该企业的破产。
保护机密的信息是商业上的需求，并且在许多情况中也是道德和法律上的需求。
对于个人来说，信息安全对于其个人隐私具有重大的影响，但这在不同的文化中的看法差异相当大。
信息安全的领域在最近这些年经历了巨大的成长和进化。
有很多方式进入这一领域，并将之作为一项事业。
它提供了许多专门的研究领域，包括：安全的网络和公共基础设施、安全的应用软件和数据库、安全测试、信息系统评估、企业安全规划以及数字取证技术等等。
自从人类有了书写文字之后，国家首脑和军队指挥官就已经明白，使用一些技巧来保证通信的机密以及获知其是否被篡改是非常有必要的。
恺撒被认为在公元前50年发明了凯撒密码，它被用来防止秘密的消息落入错误的人手中时被读取。
第二次世界大战使得信息安全研究取得了许多进展，并且标志着其开始成为一门专业的学问。
20世纪末以及21世纪初见证了通信、计算机硬件和软件以及数据加密领域的巨大发展。
矩阵论课程论文~
研究生课程论文西尔维斯特及其矩阵理论课程名称矩阵论姓名郭辉学号1000203040专业检测技术与自动化装置任课教师刘强开课时间2009.09——2010.01教师评阅意见：论文成绩评阅日期课程论文提交时间：10年 3 月 4 日西尔维斯特及其矩阵理论摘要矩阵是伴随着其他理论的研究而产生的，众多数学家为其早期的发展做了大量的工作。
在此基础上，西尔维斯特创用了矩阵一词，引进了与矩阵有关的一些基本概念，给出了矩阵的一些重要结论和著名定理，为矩阵理论的发展做出了重要贡献。
关键词矩阵的早期发展西尔维斯特矩阵名词矩阵理论矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前一世纪，我国最重要的数学经典著作《九章算术》已能够相当成熟地运用矩阵形式解方程组，魏晋时期的数学家刘徽又在《九章算术注》中进一步完善，给出了完整的演算程序[1]。
但那时矩阵概念仅是用来作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立独立完善的矩阵理论。
从18世纪早期到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛。
在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念，而在历史上次序正相反[2]，因此在矩阵引进的时候它的许多基本性质就已经非常清楚了。
行列式以及代数型的发展为矩阵理论进一步的发展提供了条件。
在矩阵发展的早期，矩形阵列本身并没有引起单独的注意但是，19世纪数学家们在其他数学领域的研究工作导致了矩形阵列更加形式的计算，促进了矩阵理论的诞生。
西尔维斯特在矩阵理论方面的贡献，不仅体现在对矩阵理论内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类等等，还有其更深刻的地方:一方面他的工作使得当时比较零散的矩阵知识趋于系统化、理论化，为凯莱创立矩阵理论提供了有利条件；另一方面，西尔维斯特的行列式和矩阵的思想，为代数不变量理论的创立奠定了重要基础。
1.矩阵的早期发展矩阵的早期发展是伴随其他理论的研究而产生的。
矩阵发展历史
矩阵发展历史引言概述：矩阵作为数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
本文将从矩阵的起源开始，逐步介绍矩阵的发展历史，包括其数学理论的建立和应用领域的拓展。
一、矩阵的起源1.1 矩阵的概念提出矩阵的概念最早可以追溯到19世纪初，由英国数学家阿瑟·凯利斯·凯利斯（Arthur Cayley）首次提出。
他将矩阵定义为一个由数值排列成的矩形阵列。
1.2 矩阵的基本运算随着矩阵概念的提出，人们开始研究矩阵的基本运算。
这些基本运算包括矩阵的加法、减法和乘法，这些运算为后续的矩阵理论奠定了基础。
1.3 矩阵理论的建立矩阵理论的建立是在20世纪初，由数学家们对矩阵进行深入研究而形成的。
他们发现矩阵可以用于解决线性方程组、线性变换和特征值等问题，从而为线性代数的发展做出了重要贡献。
二、矩阵的应用领域2.1 线性代数矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
线性代数是数学的一个重要分支，矩阵作为线性代数的基本工具，被广泛应用于向量空间、线性变换、特征值等方面的研究。
2.2 电路分析在电路分析中，矩阵可以用于描述电路中的电流和电压之间的关系。
通过矩阵的运算，可以简化电路的分析过程，提高计算效率。
2.3 数据处理在数据处理领域，矩阵被广泛应用于数据的存储、处理和分析。
例如，矩阵可以用于图像处理、信号处理和机器学习等方面，为数据科学的发展提供了重要的工具和方法。
三、矩阵的发展与创新3.1 矩阵分解矩阵分解是指将一个矩阵分解成几个特定形式的矩阵相乘的过程。
矩阵分解在数值计算和统计学中有着广泛的应用，例如奇异值分解（SVD）和QR分解等。
3.2 矩阵优化矩阵优化是指在给定约束条件下，寻找矩阵的最优解的过程。
矩阵优化在机器学习和最优化问题中有着重要的应用，例如矩阵稀疏优化和矩阵低秩优化等。
3.3 矩阵图论矩阵图论是矩阵理论的一个重要分支，研究矩阵与图论之间的关系。
矩阵图论在网络分析和社交网络中有着广泛的应用，例如矩阵的图谱理论和网络社团检测等。
正定矩阵的若干应用 毕业设计 精品
本科毕业设计（论文）( 2011届 )题目：正定矩阵的若干应用学院：数理与信息工程学院专业：数学与应用数学学生姓名：学号：指导教师：职称：副教授合作导师：职称：完成时间：20 年月日成绩：本科毕业设计(论文)正文目录摘要 (1)英文摘要 (1)1 引言 (2)1.1 矩阵理论的发展历史 (2)1.2 正定矩阵的发展与地位 (3)2 正定矩阵 (4)2.1 正定矩阵的定义 (4)2.2 正定矩阵的相关理论 (4)2.2.1 正定矩阵的性质 (4)2.2.2 正定矩阵的相关定理 (7)2.2.3 正定矩阵的判别方法 (10)3 正定矩阵应用 (12)3.1 正定矩阵的相关理论推广 (12)3.1.1 广义正定矩阵 (12)3.1.2 准正定矩阵 (144)3.1.3 Schur定理与华罗庚定理的推广 (16)3.1.4 Ky Fan等著名不等式的推广 (16)3.2 正定矩阵在实际问题中的应用 (17)3.2.1 二次型理论的应用 (17)3.2.2 仿射变换 (19)参考文献 (22)正定矩阵的若干应用摘要：正定矩阵是矩阵理论中的一类重要矩阵, 且在多个不同领域内均有重要作用. 本文回顾了正定矩阵的发展历史以及性质, 主要探讨了它的若干应用, 其中包含正定矩阵的理论推广和实际应用等问题.关键词：正定矩阵；性质；理论；推广；应用Several applications of Positive DefiniteMatrixesAbstract：Positive definite matrixes are an important class of matrixes in the matrix theory, which are widely used in different fields. In this paper, we first recall the history of development, then some basic properties of positive definite matrixes, and we mainly discuss several applications of positive definite matrixes, including the extension and practical applications of positive definite matrixes.Key Words：positive definite matrix；properties；theories；extend；application1 引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念, 是代数学的一个主要研究对象, 也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵理论是数学的一个重要的分支, 它不仅是一门基础学科, 也是最具实用价值和广泛应用的数学理论, 现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力工具.正定矩阵作为一类常用矩阵, 其在数学学科和其他科学技术领域的应用也非常广泛, 因此它的性质定理以及应用问题一直倍受关注, 而在实际生活中也经常出现有关正定矩阵的应用, 如线性规划、二次型理论解决二次曲线问题等. 尽管个别理论已为人们所熟知, 但缺乏系统性的整理.本文对正定矩阵的研究主要集中在对正定矩阵其性质的推广和应用上, 包括理论和实际的应用. 结合当前对正定矩阵已有的成形研究, 从二次型理论入手,弄清其应用及推广, 并研究正定矩阵的仿射变换解决不规则二次曲线问题等实际问题的应用.1.1 矩阵理论的发展历史“矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的. 他为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语. 而实际上, 矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了. 早在公元前1世纪, 矩阵形式解方程组在中国古代数学著作《九章算术》中已相当成熟, 那个时候矩阵只是被看作一种排列形式来解决实际问题, 并没有建立起独立的矩阵理论. 从18世纪末到19世纪中叶, 这种排列形式在求解线性方程组和行列式计算等问题中应用日益广泛, 矩阵思想才得到进一步的发展. 19世纪50年代, 西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由m行n列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”, 凯莱作为矩阵理论的创立者, 首先为简化记法引进矩阵, 然后系统地阐述了矩阵的理论体系. 随后, 弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论.矩阵思想的萌芽由来已久, 早在公元前1世纪中国的《九章算术》就己经用到类似于矩阵的名词. 1748年, 瑞士数学家欧拉在将三个变数的二次型化为标准型时, 隐含地给出了特征方程的概念. 1773年, 法国数学家拉格朗日在讨论齐次多项式时, 引入了线性变换. 1801年德国数学家高斯在《算数研究》中,将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广, 给出了两个线性变换的复合, 而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积. 另外, 高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念, 在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念. 1826年, 柯西在《微积分在几何中的应用教程》中讨论了二次型束的特征根使束的行列式为零的情况, 证明了当其中一个二次型对变数的所有非零实数值是正定时, 束的特征根全为实数. 18世纪中期, 数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题, 即二次型的化简. 在这一问题的研究中, 数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论. 从18世纪中期到19世纪初, 数学家们在研究二次型的过程中涉及到大量的线性变换, 得到了许多重要概念和结论. 由于二次型和线性变换均可以使用矩阵来表示, 所以这些概念和结论也就可以自然而然地移植到矩阵理论之中. 因此二次型理论是矩阵思想得以孕育的重要源泉之一. 与此同时, 这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛, 行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件, 矩阵概念由此产生, 矩阵理论得到系统的发展. 20世纪初, 无限矩阵理论得到进一步发展.矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域, 矩阵也是高等代数中最重要的内容之一, 矩阵的初等理论现已作为高中数学的选修内容. 由此看出, 矩阵理论在科技发展以及教育教学中的重要地位.1.2 正定矩阵的发展与地位矩阵的正定性源于二次型与Hermite型的研究, 最初只限于在实对称矩阵或Hermite矩阵中讨论. 但它要求矩阵是实对称的或是Hermite的. 刚开始, 人们通过将非对称矩阵加以“对称化”来解决与原来矩阵相关的问题. 1936年, KB用正定阵乘以原矩阵使其乘积成为对称阵的方法, 解决了概率论中的一些问题. 1937年, Johnson在其博士论文中研究了方阵A的对称化AA'+是正定阵的某些不等式. 随着实际应用的需要, 1970年, Johnson给出n阶实矩阵A正定的定义, 把正定性的研究推广到未必对称的矩阵中, 并对这类矩阵的性质、不等式给予研究, 这些结论应用于许多领域. 国内近10年来出现了关于这方面研究的大量文章.将正定矩阵推广到广义正定矩阵之后, 得出了许多正定矩阵的相关理论. 从定义出发, 研究结论包括对称矩阵非对称矩阵、准正定矩阵、次正定矩阵、广义正定矩阵；从正定矩阵的性质出发, 研究结论有：矩阵的三角分解、矩阵跡的问题, 还有相关Hadamard积、Kronecker积、Hermite矩阵方程、Hamilton四元数理论的应用等问题；从矩阵相关理论出发, 得出：惯性定理, Schur定理, 华罗庚定理, Minkowski及Ky Fan不等式, 扩大了Minkowski不等式的指数范围等；同时也包括这些性质的推广与实际应用的探讨.研究矩阵的正定性, 在数学理论或应用中具有重要意义, 是矩阵论中的热门课题之一. 正定矩阵具有广泛的应用价值, 是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类, 其应用引起人们极大的研究兴趣. 在非对称矩阵领域研究正定矩阵突破了其本身定义的限制, 获得了丰富的研究成果, 并且得到了广泛的应用, 如线性规划的最优算法及线性回归模型结构、控制论、矩阵方程论、组合矩阵等. 它的研究成果, 使整个矩阵理论体系得以完善.2 正定矩阵2.1 正定矩阵的定义定义 1 (实正定矩阵)设),,,(21n x x x f 是一个实二次型, 若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,21 都有0),,,(21>n x x x f , 则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型, 它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵, 简称正定矩阵.定义2 n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵, 如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x X =都有0>'A X X . 正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵.由此可知, 研究矩阵的正定问题, 可以转化为研究其所对应二次型的正定问题.注记：若未作特别说明, 这里所讨论的矩阵均为实矩阵.2.2 正定矩阵的相关理论2.2.1 正定矩阵的性质对于实方阵来说, 首先具备以下性质：性质1 设矩阵A 为n 阶实方阵, 则下列命题等价：1) A 是正定矩阵；2) 1-A 是正定矩阵；3) A '是正定矩阵；4) A A '+是正定矩阵；5) 对任意n 阶可逆矩阵P , AP P '是正定矩阵；6) A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.证2) 若A 是正定的, 则存在实可逆矩阵C 使C C A '=.∴)()(1111'='=----C C C C A ,∵C 可逆, ∴1-C 也是实可逆矩阵. ∴有1-A 也是正定矩阵.充分性：若1-A 是正定矩阵, 则1111)()(----'='=C C C C A .∵C C C C A A '='==----1111))(()(,∴A 是正定的.3) 同2)的证明方法.由性质4)可得如下推论：推论1 若B A ,都是正定矩阵，则B A +也是正定矩阵.证 因为B A ,都是正定矩阵，所以BX X AX X ','都是正定二次型，于是有BX X AX X X B A X '')('+=+也一定是正定二次型，所以B A +是正定矩阵.性质2 设n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵, 与下列命题互为充要条件：1) A 的正惯性指数等于A 的维数n ；2) A 合同于单位矩阵E ；3) 存在满秩阵C , 使C C A '=成立；4) A 的n 个特征值全为正值；5) 存在满秩阵P , 使AP P '成对角线元素皆正的对角阵D ；6)存在对称正定阵B , 使2B A =；证3)必要性：若A 是正定矩阵, 则A 合同于E∴存在实可逆矩阵C , 使C C EC C A '='=充分性：若C C A '=, C 是实可逆矩阵, 对0,0≠≠∀CX X , 则0)()(>'=''='CX CX CX C X AX A所以, A 是正定的.4)设λ为矩阵A 的任一特征值, X 为与其相应的特征向量, 则有x Ax λ=, 因而有0),,,(21>'='=X X AX X x x x f n λ , 因而0>λ.推论2 正定矩阵的实特征值都是正的, 而复特征值一定具有正的实数部分. 注记：这个定理的逆命题不一定成立, 即复特征值具有正的实属部分而实特征值全是正的实方阵不一定是正定的, 例如1400010000270012A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 它的特征值为27i ±, 实特征值是1,1, 而1222221234122344341400010055(,,,)(2)32()0027220012x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 容易看出, A 不是正定的.性质31)[1] A 的所有顺序主子式大于零；2) 正定矩阵A 的主子式全大于零；3) 正定矩阵的主对角线上元素必全大于零.证2) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 而111212122212i i i i i ik i i i i i ik K iki iki ikik a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , n i i i k <<≤≤≤ 211 为A 的任一K 阶主子式, k A 为所对应的K 阶主子式的行列式. 由于A 是正定矩阵, 故二次型AX X x x x f n '=),,,(21 . 对任意不全为零的实数n x x x ,,,21 都有0),,,(21>n x x x f , 从而, 对不全为零的实数0)0,,,,0,,0(21> ik i i x x x f (即在),,,(21n x x x f 中除ik i x x 1外余者取0).对于变量ik i x x 1矩阵k A 的二次型0)000(),,(121>= ik i ik i i x x f x x x g ,故g 是正定二次型. 因而k A 是正定矩阵, 故0>k A3) 当实对称矩阵()ij A a =是正定的时, 它所确定的二次型11'()n nij i j ij ji i j X AX a x x a a ====∑∑必为正定二次型. 假设0ii a ≤,取110,,0,i x x -==11,0,,0i i n x x x +=== , 代入上式得'0ii X AX a =≤, 这即与'X AX 是正定的相矛盾, 所以只有0(1,2,,)ii a i n >= .性质4 正定矩阵的元素的绝对值最大者一定是主对角线上的元素.证 设()ij A a =是正定矩阵, 其中元素()ij a i j ≠的绝对值为最大, 则2ij ii jj a a a ≥, 由性质3可知, A 的一切主子式都大于零, 从而有20iiij ii jj ij ij jj a a a a a a a -=>, 即ij ii jj a a a <, 这与假设矛盾, 故正定矩阵A 中元素的绝对值最大者必定是主对角线上的元素.注记：这个结论常用于判定某些实对称矩阵不是正定的矩阵. 因为只要有一个非主对角线上的元素绝对值不小于主对角线上元素的绝对值的最大者, 那么这个实对称矩阵必不是正定矩阵.性质5[6] 设()n A M R ∈实正定, 则1) 对任意,0,()0n x R x x Ax x R A x ''∈≠=>；2) A 的所有主子阵k A 及/k A A 实正定；3) A 的所有主子阵k A 的特征根()k A λ满足：0min (())Re ()max (()),Im ()max (())k k R A A R A A S A λλλλλ<≤≤≤；4) A 的所有主子式行列式大于0, 特别地0A >；5) 对任意1(,),0n n X x x R X '=∈≠ , 令1(,,)n AX z z '= (或1(,,)n A X z z ''= ), 则存在1k n ≤≤, 使得0k k x z >；6) 存在()n P M C ∈非奇异, 使得**11(),()[,,,n P R A P E P S A P diag bi bi ==-,,0,0]s s b i b i - , 其中(())2,0,k r S A s b => 21,,,1k s i ==- .7) 若()n B M R ∈实正定, 则[0,1],(1)t tA t B ∀∈+-实正定, 即n 阶实正定矩阵集合为一凸集；8) A 关于任一顺序主子阵的Sylvester 矩阵实正定.证1) 只需证'()0,n X S A X X R =∀∈, 而'()('())''()X S A X X S A X X S A X ==- 故'()0X S A X =.先证3) ∵min (())min (()),max (())max (())k k R A R A R A R A λλλλ≥≤, 对()iS A -, 此为Hermite 矩阵, 故只需证k A A =时结论成立即可. 令()A λ为A 的任意特征值, n X C ∈为响应的单位特征向量, 则**()(,)()()A X AX X R A X X S A X λ==+, 易知*()X S A X 为纯虚数, 故***Re ()(),Im ()()((()))A X R A X i A X S A X i X iS A X λλ===-, 由Courant-Fischer 定理直接得证.4) 可由3) 直接得到.下证2)由于我们有*0/k k A A A A ⎛⎫−−−→ ⎪⎝⎭合同变换, 故*0/k k A A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭实正定. ,0,k x R x ∀∈≠令*(',0,,0)',''00/k n k k A x x R x x X A X A A ⎛⎫=∈=> ⎪⎝⎭, 故k A 实正定, 同理可证/k A A 实正定.5) 可由'0(''0)x Ax x A x >>或直接得到.6) ()R A 实对称正定, 存在()n Q M R ∈, 使得'(),'(())n Q R A Q E Q iS A Q =-为Hermite 矩阵, 存在酉阵U 使得*1'(())[,,],n i U Q iS A QU diag d d d R -=∈ . 故*11'()[,,,,,0,,0],(())2,0,1,,s s k U Q S A QU diag bi bi b i b i r S A s b k s =--=>= . 令P QU =即可得证.7) 利用((1))(()(1)())R tA t B t R A t R B +-=+-便可证明.8) 记此顺序主子式为k A , 则A 关于k A 的Sylvester 矩阵为/,k k A A A ⋅0k A >,且/k A A 实正定, 故有/k k A A A ⋅实正定.2.2.2 正定矩阵的相关定理定理1 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量10n x X x ⎛⎫⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭, 二次型'X AX 是正定二次型.定理2[3] Hermite 矩阵是半正定的, 当且仅当它的所有特征值都是非负的, 它是正定的, 当且仅当它的所有特征值都是正的.定理3[6] n n C ⨯中所有正定矩阵构成的集合的边界点是半正定矩阵, 但不是正定矩阵.定理 4[14] (Hadamard 不等式)正定矩阵()n n ij A a C ⨯=∈的行列式不超过对角元素之积, 即等式1det nii i A a =≤∏成立当且仅当A 是对角矩阵.定理5[14](Oppenheim 不等式)设(),()n n ij ij A a B b C ⨯==∈是半正定矩阵, 则1(det )det()nii i A b A B =≤∏ .定理 6[14] (Minkowski 不等式)设,n n A B C ⨯∈是半正定矩阵, 则：111[det()](det )(det )n n n A B A B +≥+定理7 设n 阶方阵A S K =+是正定的, 其中S 和K 分别是A 的对称分量和反对称分量, 则det det det A S K ≥+.证 因为A S K =+是正定的, 可知存在可逆方阵P 使得：'S P P =11000'000s s a a a K P P a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 11111'111s s a a a A P P a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中120s a a a ≥≥≥> , 因此2222211det (1)(1)(det )(1)s s A a a P a a =++≥+ 2(det )P , 如果A 的反对称分量K 不可逆, 则det 0K =, 而2det (det )S P =, 因此22221det (1)(det )(det )det det s A a a P P S K ≥+≥=+ . 如果A 的反对称分量K 可逆,则2n s =, 而且1,,s a a , 都不为零, 并且22221det (det ),det (det )s K a a P S P == , 所以有det det det A S K ≥+.2.2.3 正定矩阵的判别方法在研究正定矩阵的时候, 会出现判断被研究矩阵是否正定的问题. 结合性质, 正定矩阵的判定方法有很多, 随着研究的深入, 方法也不断改进, 以下罗列了几个相关判定方法：1) 与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵.事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论明显成立. 2) 正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵.因为正定矩阵与单位矩阵合同, 所以存在可逆矩阵P , 使得''A P EP P P ==, 取逆矩阵11111()()'(')A P E P P E P -----==, 记1()Q P -'=, 即有1'A Q EQ -=, 则1A -与单位矩阵合同, 所以1A -是正定矩阵.3) 正定矩阵的和仍是正定矩阵.事实上若A 与B 是同阶正定矩阵, 则对于任意的非零实列向量12(,,,)0n C c c c =≠ , 必有'0C AC >, 且'0C BC >, 从而'()C AB C+= ''0C AC C BC +>, 所以A B +是正定的.4) 正定矩阵的任何主子式阵必为正定矩阵.假设()ij A a =是一个n 阶正定矩阵, 它的k 阶主子式阵1111(1),k k k kk a a k n A a a ⎛⎫⎪≤≤= ⎪ ⎪⎝⎭, 又由正定矩阵性质可知0k A >, 从而可知A 的任何主子式阵一定是正定的.5) 对于任何的实对称矩阵A , 必有实数0,0αβ>>, 使得E A α+与E A β+是正定矩阵.∵实对称矩阵A 的特征根都是实数, 不妨记其中绝对值最大的一个特征根为0λ, 只要取0βλ>, 即可使E A β+是正定矩阵.这是因为假设Q 是正交矩阵, 可使1'n Q A Q λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 则有11'()''n n Q E A Q Q EQ Q AQ βλβλβββλβλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中由于0(1,2,,)i n βλ+>= , 可知E A β+是正定矩阵.当取1αβ=时, 则10,()E A E A ααββ>+=+是正定矩阵.6) 假设,A B 都是正定矩阵, 并且AB BA =, 则AB 也必为正定矩阵.AB 的特征根都大于零, 当AB BA =时, ()'''AB B A BA AB ===说明AB 又是对称的, 从而可知AB 是正定的.3 正定矩阵应用正定阵具有广泛的应用, 但被局限在对称阵范围内, 随着应用的需要和研究的深入, 加速了突破这一限制的进程. 国内外不少学者研究了多种未必对称的较为广义的正定阵, 获得了丰富的研究成果, 其成果得到了广泛的应用, 但仍不能满足应用上的需要和达到理论上的完善, 正定矩阵的相关性质、定理以及证明相关的著名不等式等问题都将日趋完善.3.1 正定矩阵的相关理论推广 3.1.1 广义正定矩阵按照正定矩阵的严格定义, 其要满足该矩阵是对称的. 而广义正定矩阵突破这一限制, 来进行研究. 对于广义正定矩阵, 有过一系列的推广, 这里给出其部分定义、性质以及相关应用的问题.定义3 设n n A R ⨯∈, 矩阵A 称为正定的, 如果10n x R ⨯∀≠∈, 有'0X AX >. 这种正定矩阵称为J -正定矩阵, n 阶J -正定矩阵的全体记为J P .定义4 设n n A R ⨯∈, 矩阵A 为正定的, 若对任何10n x R ⨯≠∈, 都有正对角阵存在正对角矩阵0x D D =>, 使'0x DAx >, 则称A 为D -正定矩阵, 记为D A P ∈.定义5 设n n A R ⨯∈, 矩阵A 称为正定的, 如果存在S S P +∈, 使得对1120(,,,)n n X x x x R ⨯∀≠=∈ , 有'0X SAX >. 这种正定矩阵称为X -正定矩阵, n阶X -正定矩阵的全体记为X P .定义6 设n n A R ⨯∈, A K H =+, 其中n K S +∈, n H S -∈, 如果S K P +∈, 那么称A 为亚正定矩阵. 这里把n 阶亚正定矩阵全体记为TP (K 为A 的对称分量, H 为A 的反对称分量, 并且这种分解式是唯一的).定义7 设n n A R ⨯∈, 矩阵A 称为正定的, 如果存在J S P ∈使得1n O X R ⨯∀≠∈, 有'0X SAX >, 这里称这种正定矩阵为Y -正定矩阵, n 阶Y -正定矩阵的全体记为YP . 定义8 设n n A R ⨯∈, 矩阵A 称为正定的, 如果存在n n B R ⨯∈, 且det 0B >, 使得1n O X R ⨯∀≠∈, 有'0X SBX >. 这里把这种正定矩阵称为M -正定矩阵, n 阶M -正定矩阵的全体记为M P .定义9 设n n A R ⨯∈, 矩阵A 称为正定的, 如果存在B n n R ⨯∈, 'B B =, 且det 0B >, 使得1n O X R ⨯∀≠∈, 有'0X BAX >, 这里把这种正定矩阵称为N -正定矩阵, n 阶N -正定矩阵的全体记为N P .定义10 设n n A R ⨯∈, 若1n o X R ⨯∀≠∈, 都存在n 阶可逆阵n nX n Q Q R ⨯=∈使T X X Q AX O >, 则称A 为n 阶准正定矩阵. 若X Q Q =与X 无关, 则称A 为n 阶Q -准正定矩阵, 记为{}1|0,0n n n T Q A P A R X R X QAX ⨯⨯∈=∈∀≠∈>, 否则记为Q A P ∈ .这里进一步对定义9所给出的N -正定矩阵的性质定理进行进一步讨论.显然, N A P ∈的充分必要条件是J BA P ∈, 接下来进一步探讨N P 中矩阵的某些性质. 为了方便表达我们记{}|det 0;'n n G A R A A A ⨯=∈>=.定理8[15](1) N A P ∈当且仅当存在Z G ∈, 以及J B P ∈, 使得A ZB =； (2)N A P ∈当且仅当存在Z G ∈, 以及J B P ∈, 使得A BZ =.证 (1)必要性 因为N A P ∈, 1Z G ∃∈, 使得1n O X R ⨯∀≠∈有10XZ AX ->, 则1J B Z A P =∈, 于是得11A Z G -=∈, 则得到A ZB =.充分性 由于J B P ∃∈以及Z G ∈, 使得A ZB =, 则1J Z A B P -=∈, 所以1n O X R ⨯∀≠∈, 有10XZ AX ->, 而11Z G -∈, 于是得N A P ∈, 综上所述, 即得证.(2)必要性 因为N A P ∈, 所以1Z G ∃∈, 使得1n O X R ⨯∀≠∈有10XZ AX ->, 则1(')'0X Z AX >, 于是1'111''0X Z Z A Z X ->, 即1'1'11()''()0Z X Z A Z X ->, 由于1Z G ∈,则11Z G -∈, 由此可得'N A P ∈. 又'Z G ∃∈, 以及J B P ∈, 使得'''A Z B =, 于是得到A BZ =, 其中J B P ∈, Z G ∈,充分性 由于Z G ∃∈以及J B P ∈, 使得A BZ =, 所以对1n O X R ⨯∀≠∈, 有1(')'0X Z AX >, 则11111()''()'(')''0Z X Z A Z X X Z Z AZ X X AZ X -----==>, 由定义可知N A P ∈.定理9[15] 设n n A R ⨯∈, 那么N A P ∈当且仅当Z G ∃∈使得'S ZA A Z P ++∈.证 必要性 由于N A P ∈有定理1(1)可知Z G ∃∈使得J ZA P ∈, 所以有'J A Z P ∈, 则'J A Z ZA P +∈, 而(')''A Z ZA A Z ZA +=+, 于是有'S A Z ZA P ++∈.充分性 由于Z G ∃∈使得'S A Z ZA P ++∈, 于是1n O X R ⨯∀≠∈有'(')0X A Z ZA X +>, 则'(')'0X ZAX X ZAX +>, 于是'0X ZAX >, 故N A P ∈.以上N -正定矩阵的几个充分必要条件还可以推导出几个N -正定矩阵的若干性质, 下面我们给出性质：性质6[15]1) 若N A P ∈, 则(1)det 0A >；(2)'N A P ∈；(3)1N A P -∈. 2)设非奇异矩阵,,,n n N P R B G PB BP A P ⨯∈∀∈=∈, 则'N PAP P ∈ 3)若N A P ∈, 且A 的QR 分解为11A Q R =, 11N R Q P ∈.4)若,,N A P B G BA K H ∈∈=+, 其中A 是实对称正定矩阵, H 是实反对称矩阵, 则11det det det A B K B H --≥+.证 由于,N A P B G ∈∈, 于是得J BA P ∈, 而BA K H =+, 由定理可知：det det det BA K H ≥+, B 可逆(B G ∈), 则det 1det (det det )det det BA A K H B B=≥+, 所以有11det det det A B K B H --≥+.3.1.2 准正定矩阵这里用E 表示n 阶单位阵；J 表次对角线元全为1, 其余元全为0的n 阶方阵；,m n m n nR R ⨯⨯分别表示m n ⨯实矩阵集与n 阶实可逆矩阵集；n S +表n 阶实对称正定阵集；,A B A B ⊗ 分别表示矩阵A 、B 的Hadamard 积与Kronecker 积.对于定义10, 当Q E =时, E P 便是正定阵集或亚正定阵集, 并有n E S P +⊂；当Q D =(n 阶正对角阵)时, D P 便是广义正定阵集；当nQ S S +=∈时, S P 便是由矩阵做进一步推广后的广义正定阵集；当Q H =(n 阶实对称可逆阵)时, H P 便是非对称广义正定阵集；当Q J =时, J P 便是次亚正定阵集；当Q JD =(n 阶次对角阵)时,JD P 便是准次正定阵集；当Q JS =(n 阶实次对称次正定阵)时, JS P 便是广义次正定阵集. 因此准正定矩阵将各类实正定阵与各类实次正定阵统一了起来, 并有,n I D S H Q J JD JS Q S P P P P P P P P P +⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂.定理10[13] 设n nn Q R ⨯∈, 则Q E A P QA P ∈⇔∈.证 由定义1知：10,0n Q E A P X R X QAX QA P ⨯'∈⇔∀≠∈>⇔∈.推论3 设n nn Q R ⨯∈,Q A P ∈,则E QA P∈为完全主正阵, 因而0,Q A A >可逆. 定理11[13] 设n nn Q R ⨯∈, 则Q n A P QA A Q S +''∈⇔+∈.证 由定理10知：[()]/2T Q E n n A P QA P QA QA S QA A Q S ++''∈⇔∈⇔+∈⇔+∈.在定理2中, 取Q S =为实对称正定阵, 即：定理12[13] 设n nn Q R ⨯∈, 则1Q Q A P A P -'∈⇔∈.证 因为Q A P ∈, 所以10n X R⨯∀≠∈, 有110()n Y Q X R -⨯'∀≠=∈且11111()()()0X Q A X X Q A X X A Q X X Q QA Q X Y QAY -----''''''''''====>, 所以、1T Q A P -∈. 反之, 若1T Q A P -∈, 则由必要性知：11()()QQ A A P P --''=∈=. 推论4 设n n n Q R ⨯∈, 则1Q E A P Q A P -'∈⇔∈. 推论5 设n n n Q R ⨯∈, 则1()Q E A P A Q P -'∈⇔∈. 推论6 设n nn Q R ⨯∈, 则Q E A P A Q P ''∈⇔∈. 定理13[13] 设n nn Q R ⨯∈, 则1T Q Q A P A P -∈⇔∈.证 因为Q A P ∈, 所以由定理10知：E QA P ∈, 又1()E QA P -∈, 故10n X R ⨯∀≠∈, 有10n Y QX R ⨯∀≠=∈, 且1111()()()0X Q A X QX A Q QX Y QA Y ----''''==>. 因而1T Q A P -∈. 反之, 若1T Q A P -∈, 则由必要性知：11()()Q Q A A P P --''=∈=.推论7 设n nn Q R ⨯∈, 则11Q E A P A Q P --∈⇔∈.推论8 设n nn Q R ⨯∈, 0,QQ A P >∈, 则A 的伴随矩阵*T Q A P ∈. 定理14[13] 设,n nn Q M R ⨯∈, 则1Q QM A P MA P -∈⇔∈ 证 由定理10知：()Q E E Q A P QA P M QAM Q M AM P M AM P '''∈⇔∈⇔=∈⇔∈.3.1.3 Schur 定理与华罗庚定理的推广定理15[13](广义Schur 乘积定理) 设12,D D 的n 阶可逆对角阵, 12,D D A P B P ∈∈, 且22B D D B '=, 则12D D A B P ∈ .证 因为12,D D A P B P ∈∈, 所以由定理11知：12,E D A D B P ∈, 又'2222()D B B D B D D B '''===, 故2nD B S +∈, 于是由定理7知：1212()()()E D D A B D A D B P =∈ , 故由定理11知：12D D A B P ∈ .定理15是Schur 定理的推广, 其中, 取12,D D E A A '===, 便得著名结论：推论9(Schur 乘积定理) 设,n A B S +∈, 则n A B S +∈ . 推论10 设D 为n 阶可逆对角阵, ,D n A P B S +∈∈, 则D A P ∈.推论11(广义华罗庚定理) 设D 为n 阶可逆对角阵, ()ij D A a P =∈, 且A D DA '=, 则()k kij D M a P =∈(其中k 为正整数).证 因为D A P ∈, 所以E DA P ∈, 且()DA A D A D DA ''''===, 所以n DA S +∈, 所以, 由华罗庚定理知：()()()()k k E D M D A A A DA DA DA P ==∈ , 故k D M P ∈.3.1.4 Ky Fan 等著名不等式的推广定理16[13] 设n nn Q R ⨯∈, 0,,,(),2QQ A B P QB QB t '>∈=为1B A -的非实特征值个数, 且1/()m n t ≥-, 则m m mA B A B +≥+, 特别当0t =时有广义Minkowski 不等式：1/1/1/nnnA BAB+≥+.证 因,Q A B P ∈, 故,E QA QB P∈, 又()QB QB '=, 故n QB S +∈, 再11()()QB QA B A --=的非实特征值个数为2,()1t m n t -≥, 所以由推论可知：mmmQA QB QA QB +≥+, 即1/1/1/nnnA BAB+≥+.定理17[13] 设n nn Q R ⨯∈, 0,,,(),2Q Q A B P QB QB t '>∈=为1B A -的非实特征值个数, 则[0,1]q ∀∈, 有1(1)()/2q qt qA q B A B -+-≥；特别地, 当0t =时, 有广义KyFan 不等式：1(1),([0,1])qqqA q B A Bq -+-≥∈.证 [0,1]q ∀∈, 由,Q A B P ∈, 有,(1),Q qA q B P -∈,11((1))()[/(1)]q QB qQA q q B A ---=-(即1B A -)的非实特征值个数为2t , 于是有：1/1/1/1/1/(1)/1(1)(1)((1))/2((1))/2 /2/2nnnnnn n t tq nq nnq nq nnnttqQA q QBqQAq QBq QAq QBQA QB Q AB--+-≥+-=+-≥=两边消去1nQ, 再n 次方得：1(1)()/2q qt qA q B A B-+-≥. 当10q q ==或时, 不等式显然成立.上述定理、推论、不等式等结论是在对广义正定矩阵的研究的基础上, 获得了许多新的结果, 改进并推广了著名的Schur 定理、华罗庚定理、Minkowski 不等式及Ky Fan 不等式, 并将各类正定矩阵与次正定阵统一了起来, 这对完善正定阵理论和应用很有价值.3.2 正定矩阵在实际问题中的应用正定矩阵在实际生活中有着广泛的应用, 以下给出几个应用举例. 3.2.1 二次型理论的应用二次型理论有着十分广泛的应用, 其在解决二次曲线与二次曲面方面、证明不等式等方面有着显著的实际应用, 下面就这几方面问题举例说明：一、从二次型理论的起源, 即从化二次曲线和二次曲面为标准型的问题入手, 我们发现二次型理论对二次曲线和二次曲面方程的化简有着重要意义.例1 利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程.032682223222=++--+++z y x xy z y x , 其中),1,3,4(),,,(--='='B z y x X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200021013A .解：作平移变换：),,(,321ααααα='-=Y X , 则有03)(2)()(=+-'+-'-αααY B Y A Y , 即 0322=+'-'+'+'-'-'αααααB Y B A AY A Y AY Y令32+'-'=αααβB A , 又∵A A AY A Y =''=',αα, ∴0)(2=+'--'βαY B A AY Y适当选取α, 使A B α=, 由A =秩秩A=3知：A B α=(线性方程组)有唯一解：12311,2ααα===, 由,,A B α'可得92β=-.又∵A 是可逆实对称阵,∴存在正交阵T , 使得123T AT λλλ⎛⎫ ⎪'=⎪ ⎪⎝⎭使得12355552,,22λλλ+-===为A 的特征根, 作正交线性替换123,(,,)Y TZ Z Z Z Z ''''==,则2222221122331235555222Y AY Z Z Z Z Z Z λλλ+-'''''''=++=++ 即：原方程可化简为22212355552022Z Z Z +-'''++=二、在不等式的证明中, 恰当运用二次型理论, 将十分有助于问题的解决. 例2 求证：2211()nnii i i n X X ==≥∑∑证 令2211()n nii i i f X X X AX =='=-=∑∑, 则1212111(,,,)111111n n X n X f X X X n n X ⎛⎫---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭∴111111111n A n n ---⎛⎫⎪=--- ⎪⎪---⎝⎭, ∵A 的顺序主子式大于或等于零 ∴A 是半正定的, ∴二次型f 是半正定的, 即0f ≥ 即2211()nnii i i n X X ==≥∑∑.3.2.2 仿射变换仿射变换是从运动变换到射影变换的桥梁.通过探究和证明我们知道,通过平行射影不改变的性质和数量,称为仿射不变性质和仿射不变量,经过仿射其对应的性质也是不变的. 在初等几何问题中,圆和椭圆都是比较常见的图形,圆比椭圆更特殊,它有很多很好的性质,与圆有关的定理举不胜举,但椭圆则不然.因其本身的定义要比圆复杂,椭圆的性质和定理就很少,解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆有关的相应的问题困难得多.因此,我们自然期望有一种方法,使得处理有关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易由仿射变换性质可知:椭圆通过适当的仿射变换可变成圆.所以,只要考虑有关椭圆仿射性质的问题,就可以先转化为有关圆的相应的问题来解决,再把所得的结果推广到椭圆中去, 即可达到我们解题的目的.下面仅就00x a x y b y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭错误！未找到引用源。
矩阵理论的发展史及应用
矩阵理论的发展史及应用矩阵理论作为数学领域的重要分支，在过去几个世纪中经历了长足的发展和广泛的应用。
本文将对矩阵理论的发展史及其在各个领域中的应用进行探讨。
矩阵理论的起源可以追溯到18世纪的拉普拉斯、高斯等数学家对线性方程组的研究。
然而，真正系统地研究矩阵的理论与应用可以追溯到19世纪中期。
当时，Cayley、Sylvester等数学家开始将矩阵的概念引入线性代数中，并逐渐建立了矩阵的基本运算和性质。
在20世纪初，矩阵理论得到了进一步的发展。
Hadamard、Kronecker等学者对矩阵的特征值和特征向量进行了深入研究，奠定了矩阵特征分析的基础。
同时，矩阵的矩阵和行列式理论也得到了极大的完善，从而使得线性代数有了更为统一、完整的数学体系。
随着计算机技术的发展，矩阵理论的应用范围也在不断扩大。
在统计学中，矩阵被广泛应用于协方差矩阵的估计、多元正态分布的推断等问题中。
在运筹学和最优化问题中，矩阵也被用于描述线性规划、整数规划等优化模型。
在信号处理和图像处理中，矩阵理论被应用于傅里叶变换、小波变换等算法的设计和分析。
除了数学领域，矩阵理论在物理、工程、经济学等领域中也有广泛的应用。
在物理学中，矩阵被用于描述量子力学中的态矢量和算符，从而推导出量子力学的基本原理和方程。
在工程学中，矩阵理论被应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域中的系统建模和分析。
在经济学中，矩阵被用于描述供求关系、产出与投入关系的线性模型，从而分析经济系统的稳定性和均衡状态。
近年来，随着大数据时代的到来，矩阵理论在机器学习和数据挖掘中的应用日益重要。
矩阵被用于描述和处理高维数据，如图片、文本、音频等。
通过矩阵分解、矩阵压缩等技术，可以有效地挖掘数据中的模式和规律，从而对未来的数据进行预测和建模。
总之，矩阵理论作为数学的一个重要分支，在过去几个世纪中经历了长足的发展和广泛的应用。
从线性代数的基本工具，到统计学、物理学、工程学、经济学等学科的重要理论框架，再到机器学习和数据挖掘的关键技术，矩阵理论无疑在科学研究和现实应用中发挥了举足轻重的作用。
浅析矩阵论的发展与应用1解读
浅析矩阵论的发展和应用摘要：矩阵是数学中的一个重要的基本概念。
起初的矩阵式作为线性代数中的一个小分支慢慢发展而来的，但随着其在图论、代数、组合数学和统计上的广泛应用，使之逐渐成为数学中一个不可替代的组成部分，并发展为一个独立的分支。
矩阵理论体系的形成，也推广了矩阵论在不同领域的发展和应用。
本文从矩阵论发展过程的角度出发，浅析了矩阵论在不同领域的应用。
关键字：矩阵论，矩阵分解，实际应用1 矩阵论的发展“Matrix ”这一词语由西尔维斯特首先使用的，但是他并没有给出明确的概念。
矩阵的现代概念在19 世纪初期逐渐形成。
19世纪初期，德国数学家高斯、爱森斯坦等已经使用了矩阵中的有关线性变换和矩阵乘积等的相关知识。
矩阵（Matrix ）的明确概念是由英国数学家凯莱在1858年在著作《关于矩阵理论的研究报告》中给出的。
在这份报告中，凯莱率先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，他被认为是矩阵论的创立者，并为矩阵理论的发展奠定了良好的基础。
随后，弗罗伯纽斯等人逐渐完善了矩阵的理论体现形成了矩阵的现代理论[1]。
然而，矩阵理论思想的萌芽却由来已久。
早在公元前1世纪的《九章算术》中[2]，矩阵形式解方程组已经运用的相当成熟，但也仅仅是作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并未建立起独立的矩阵理论。
直到18世纪和19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中的应用日益广泛并为矩阵的发展提供了良好的条件。
矩阵理论的早起的概念是独立于矩阵理论本身而存在的，它从不同的领域和思想研究中的逐步发展，并逐步形成了后来的矩阵理论。
首先是在17世纪的欧洲，克莱姆和范德蒙等数学家将行列式在线性方程组的求解中做了极大的应用，并最终形成现代矩阵论中的克莱姆法则和范德蒙行列式。
到18世纪末，拉格朗日、达朗贝尔等数学家将矩阵（此时矩阵的概念还没有明确提出）的维度空间从单维扩展到了四维或者n 维，并提出了n 个变量（12,n x x x ）的二次型。
矩阵发展历史
矩阵发展历史引言概述：矩阵作为数学中一种重要的数据结构，广泛应用于各个领域，如线性代数、计算机科学、物理学等。
本文将介绍矩阵的发展历史，从其起源到现代应用，分为四个部份进行阐述。
一、起源与发展1.1 古希腊时期的矩阵概念在古希腊时期，数学家们开始研究线性方程组的解法，并提出了矩阵的概念。
他们将系数和未知数放在一个方阵中，这种矩形罗列的数字集合被称为矩阵。
1.2 矩阵理论的建立在18世纪，矩阵理论开始得到系统的发展。
数学家们开始研究矩阵的性质和运算规则，逐渐建立了矩阵的理论体系。
其中，高斯消元法的提出为解线性方程组提供了重要的数学工具。
1.3 矩阵在线性代数中的应用矩阵在线性代数中扮演着重要角色。
通过矩阵的运算，可以求解线性方程组、计算向量的内积和外积、寻觅特征值和特征向量等。
这些应用使得矩阵成为线性代数的基础。
二、矩阵的扩展与应用2.1 矩阵的高维拓展除了二维矩阵，研究者们开始研究更高维度的矩阵，如三维矩阵、四维矩阵等。
高维矩阵在图象处理、数据分析等领域具有重要应用，为解决更复杂的问题提供了数学工具。
2.2 矩阵在计算机科学中的应用矩阵在计算机科学中有广泛的应用。
例如，图象处理中的矩阵变换、机器学习中的矩阵运算、网络图的表示等。
矩阵的高效运算和表示方式使得计算机科学领域的算法和模型更加简洁和高效。
2.3 矩阵在物理学中的应用矩阵在物理学中也有重要的应用。
量子力学中的态矢量和算符可以用矩阵表示，矩阵的特征值和特征向量与物理量的测量和演化有密切关系。
矩阵的应用使得物理学家们能够更好地理解和描述自然界的规律。
三、矩阵的优化与算法3.1 矩阵运算的优化矩阵运算在实际应用中往往需要处理大规模的数据，因此矩阵运算的优化变得至关重要。
研究者们提出了各种算法和技术，如矩阵分解、并行计算、稀疏矩阵等，来提高矩阵运算的效率和准确性。
3.2 矩阵算法的发展随着计算机技术的发展，矩阵算法也得到了极大的改进。
例如，矩阵乘法的Strassen算法、矩阵分解的LU分解和QR分解等，这些算法在计算复杂度和精度上都有很大的提升。
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板大学矩阵数学论文1200字(一)：浅谈矩阵在离散数学中的应用摘要：离散数学是计算机学科的一门重要的专业基础课，扎实的基础是非常重要的。
本文就矩阵在离散数学中的各种应用展开讨论，并实例说明。
关键词：矩阵；离散数学；运用引言：随着计算机科学的发展，重点研究有限系统的离散数学已经成为一门越发重要的科学，数字计算机本质上是一个有限结构，它的许多性质都可以在有限数学系统的框架下得到解释。
矩阵是一种有力的数学工具，本文就矩阵在离散数学中的应用展开讨论，总结了矩阵在离散数学中的应用类型，以期对初学者和数学工作者在学习离散数学时提供学习辅导和参考资料。
定义1给出m×n个数，按一定顺序排成一个m行、n列的矩形数表此数表称为m行n列矩阵。
常记a=，或a=（），或。
有关应用及其举例一、二元关系的表示定义2设a，b为有限集，构造一个矩阵，以a的元素和b的元素分别标注其行与列，对于a∈a和b∈b。
视a，b是否具有关系r，在a行和b列交叉处标上1或0.这样得到的矩阵称为关系矩阵。
例如：a={1，2，3，4}，在a上定义二元关系r为大于关系，表示x大于y，采用列举法为r={<2，1>，<3，1>，<4，1>，<3，2>，<4，2>，<4，3>}.则关系矩阵为二、图的表示和邻接矩阵定义3设无向图g=，v={v1，v2，vn}，e={e1，e2，，em}。
令为节点vi 与边ej关联的次数，则称矩阵为g的关联矩阵，记为m（g）。
例如：无向图g如下所示，则m（g）为：定义4设图g=为有向图，v={v1，v2，vn}，即有n个节点，令是vi邻接到vj的边的数目，则称矩阵为g的邻接矩阵，记为a（g）。
例如：有向图ｇ如下三、用矩阵求关系合成和偏序中的盖住关系（一）关系合成设和分别表示关系r和s的矩阵，令m=，则m中的非零元素表示其对应的元素具有关系。
矩阵发展历史简版
矩阵发展历史引言概述：矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
矩阵的发展历史可以追溯到古代，经过了数学家们的不断探索和发展，逐渐形成了现代矩阵理论。
本文将从几个重要的角度来阐述矩阵的发展历史。
正文内容：1. 矩阵的起源与发展1.1 古代矩阵的雏形古代数学家们在解决实际问题时，开始意识到需要一种方法来处理多个数值的集合。
他们使用了一种类似于矩阵的形式，将多个数值排列在一个方形的表格中，这可以看作是矩阵的雏形。
1.2 矩阵的发展随着数学的发展，矩阵逐渐成为一种独立的数学概念。
18世纪的欧拉和高斯等数学家对矩阵进行了深入研究，并为其奠定了基础。
19世纪的凯莱和哈密尔顿等数学家进一步发展了矩阵理论，为后来的矩阵代数和线性代数的发展打下了坚实的基础。
2. 矩阵的应用领域2.1 物理学中的矩阵矩阵在物理学中有广泛的应用，特别是在量子力学中。
矩阵代表了物理系统的状态和变换规律，通过矩阵的运算可以描述粒子的运动和相互作用。
2.2 经济学中的矩阵经济学中的矩阵广泛应用于输入产出模型、线性规划和市场分析等领域。
通过矩阵的运算和变换，可以对经济系统进行建模和分析，为决策提供科学依据。
2.3 计算机科学中的矩阵矩阵在计算机科学中有重要的应用，特别是在图像处理、人工智能和数据分析等领域。
通过矩阵的运算和变换，可以对图像进行处理和识别，对数据进行分析和挖掘。
3. 矩阵的基本性质和运算规则3.1 矩阵的基本性质矩阵具有行数和列数两个维度，可以表示为一个矩形的表格。
矩阵中的元素可以是实数、复数或其他数学对象。
矩阵的大小由行数和列数确定。
3.2 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
矩阵的加法和减法遵循矩阵对应元素的运算规则，数乘是将矩阵的每个元素乘以一个常数。
矩阵乘法是一种复杂的运算，需要满足一定的条件。
4. 矩阵的特殊类型4.1 方阵方阵是行数等于列数的矩阵，具有特殊的性质和应用。
方阵在线性代数和微积分等领域中有重要的应用，如求解线性方程组和计算特征值等。
矩阵发展历史
矩阵发展历史矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将为您详细介绍矩阵的发展历史，从最早的矩阵概念提出到现代矩阵理论的发展。
1. 矩阵的起源矩阵的概念最早可以追溯到19世纪初，当时数学家卡尔·弗里德里希·高斯开始研究线性方程组的解法。
他引入了行列式的概念，用于描述线性方程组的系数矩阵的性质。
然而，当时的矩阵概念还不够完善，只是作为一种计算工具使用。
2. 矩阵的发展与应用在19世纪末和20世纪初，矩阵的发展进入了一个新的阶段。
数学家西尔维斯特和哈密顿等人对矩阵的性质进行了深入研究，并将其应用于几何学和力学等领域。
矩阵的代数性质得到了进一步的发展，线性代数的理论也逐渐完善。
3. 矩阵的标准化与命名20世纪初，矩阵的标准化和命名工作逐渐展开。
数学家赫尔曼·格拉姆和詹姆斯·约瑟夫·斯尔斯基分别提出了矩阵的标准形式和特征值的概念。
这些标准化的方法使得矩阵的研究更加系统化和规范化。
4. 矩阵的应用拓展随着科学技术的发展，矩阵在各个领域的应用也越来越广泛。
在物理学中，矩阵被用来描述量子力学中的态矢量和算符。
在计算机科学中，矩阵被广泛应用于图象处理、机器学习和人工智能等领域。
在经济学中，矩阵被用来描述经济模型中的关系和变量。
5. 矩阵理论的发展随着矩阵的应用拓展，矩阵理论也得到了进一步的发展。
矩阵的特征值和特征向量成为了重要的研究对象，矩阵的奇妙值分解和特征分解等方法被广泛应用。
同时，矩阵的稀疏性和结构性质也成为了研究的热点。
6. 矩阵的未来发展在未来，随着科学技术的不断进步，矩阵在各个领域的应用将会更加广泛。
矩阵理论将会与其他数学分支相结合，推动数学的发展。
同时，随着量子计算和量子通信等新技术的发展，矩阵在量子领域的应用也将得到进一步的拓展。
总结：矩阵作为数学中的一个重要概念，经历了从最早的概念提出到现代矩阵理论的发展过程。
矩阵的起源可以追溯到19世纪初，随后经过数学家的研究和应用拓展，矩阵的理论逐渐完善。
矩阵论文
非负矩阵分解在计算机中的应用计算机是人类解决难题、探索未知以及提供娱乐的绝佳工具。
在高效运行着的各种计算机应用背后，融汇了人类在物理、电子和数学等多门学科的高超智慧。
严密的数学使得计算机能高效执行人类指令，控制内部各种数据流的走向，因此在现代计算机科学研究中，数学的基础地位和重要作用无可替代：它使我们最大程度利用有限的硬件、软件资源，它使我们能够在浩瀚的数据海洋中快速查到所关心的信息……数学与计算机科学一起演绎了许多精彩的故事！NMF的提出与发展：著名的科学杂志《Nature》于1999年刊登了两位科学家D.D.Lee和H.S.Seung对数学中非负矩阵研究的突出成果。
该文提出了一种新的矩阵分解思想——非负矩阵分解Non-negative Matrix Factorization，NMF)算法，即NMF是在矩阵中所有元素均为非负数约束条件之下的矩阵分解方法。
该论文的发表迅速引起了各个领域中的科学研究人员的重视：一方面，科学研究中的很多大规模数据的分析方法需要通过矩阵形式进行有效处理，而NMF思想则为人类处理大规模数据提供了一种新的途径；另一方面，NMF分解算法相较于传统的一些算法而言，具有实现上的简便性、分解形式和分解结果上的可解释性，以及占用存储空间少等诸多优点。
NMF是一种新的矩阵分解算法，它克服了传统矩阵分解的很多问题，寻找上下文有意义的解决方法，提供解释数据的更深看法。
NMF通过寻找低秩，非负分解那些都为非负值的矩阵。
这在现实的应用中有很多例子，如数字图像中的像素一般为非负数，文本分析中的单词统计也总是非负数，股票价格也总是正数等等。
NMF的基本思想可以简单描述为：对于任意给定的一个非负矩阵A，NMF算法能够寻找到一个非负矩阵U 一个非负矩阵V，使得满足，从而将一个非负的矩阵分解为左右两个非负矩阵的乘积。
由于分解前后的矩阵中仅包含非负的元素，因此，原矩阵A中的一列向量可以解释为对左矩阵U中所有列向量(称为基向量)的加权和，而权重系数为右矩阵V中对应列向量中的元素。
矩阵论课程结业论文
浅谈矩阵论的发展在《九章算术》中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论。
直到18 世纪末至19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件。
矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。
一、矩阵早期发展的社会与文化背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。
1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。
文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。
另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
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矩阵思想的形成与发展本科论文目录1.前言 (1)2.早期行列式计算中孕育的矩阵思想........................................................................(2) 3.矩阵思想的形成 (2)3.1矩阵的基本思想 (3)3.2矩阵运算 (4)4.矩阵的发展 (7)4.1特征值与特征向量 (9)4.2标准形 (10)4.3方程组的解 (11)5.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (14)摘要矩阵形式解方程组在中国古代数学著作《九章算术》中已相当成熟，但这部著作并没有建立起独立的矩阵理论，而仅把矩阵看作一种排列形式来解决实际问题。
矩阵在中国古代的萌芽，蕴含了丰富的矩阵算法与程序化等思想。
矩阵概念产生并发展于19世纪的欧洲，欧洲的社会环境与文化背景为矩阵的早期发展提供了适宜的舞台，一大批矩阵理论的奠基者做了大量的工作，使矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系，为矩阵理论的形成与发展做出了重要的贡献。
从18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在求解线性方程组和行列形式来解决实际问题，本文通过对矩阵理论发展过程中的众多数学家工作的考察，揭示了矩阵思想从萌芽、早期发展到成熟以及进一步完善的全过程。
关键词：矩阵；矩阵发展；凯莱；矩阵思想AbstractThe matrix form solution of equations in Chinese ancient mathematics" arithmetic in nine sections" has been quite mature, but it hasn't established the independent matrix theory, and only the matrix as an arrangement to solve practical problems. Matrix in ancient China budding, contains rich matrix algorithm and programming ideas. Matrix concept originated from the nineteenth Century in Europe, the European social environment and cultural background for the matrix of early development to provide a suitable stage, a large number of matrix theory of the founders did much work, so that the matrix from a fragmented knowledge development for the system of perfect theory, matrixtheory's formation and the development has made important contribution. From the late eighteenth Century to the middle of the nineteenth Century, this kind of arrangement form in solving linear equations and the ranks of the form to the solution of practical problems, based on the matrix theory in the process of development of many mathematicians work study, reveals the idea of matrix from bud, early development to mature and perfect the whole process.Key words: Matrix; Matrix development ; Kailai; matrix theory1引言矩阵直接产生于线性方程组并运用于其求解，这方面的工作在我国最早出现在《九章算术》（公元前1世纪）中解方程组的“遍乘直除”法，这与19世纪高斯创立的“高斯消元法”的思想是一致的。
矩阵作为一个独立的概念是基于行列式的研究基础上，其基本性质在其概念产生之前就因为行列式的工作建立得很完善了。
从逻辑上看，矩阵概念是行列式的前概念，是行列式概念的一般推广，而历史的次序却正好相反。
行列式关注一个方阵所确定出来的一个值，而在很多问题中，并不需要确定这个方阵所确定的一个值，而是这个方阵本身的结构，并且方阵可以变成任意的nm 结构。
这样，行列式向矩阵推广就是很自然的了。
“矩阵”这个名词是西尔维斯特给出的(1850)，不过他仅仅是把矩阵用于表达一个行列式。
把矩阵作为一个独立的对象进行研究，最早的是凯莱。
同样，最初他也是把矩阵作为行列式的推广或者作为线性方程组的表达工具。
不过，在《矩阵论的研究报告》（1855）中就开始把矩阵作为一个独立研究对象。
他从基本的概念开始，定义矩阵的加法、乘法（包括数乘）、矩阵的逆、转置矩阵、方阵的特征方程和特征根（这一术语最早是柯西给出的，见“行列式的发展”）等。
特征方程和特征根的工作被哈密顿、弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius，1849——1917）等数学家推广了。
矩阵的秩概念是弗罗贝尼乌斯提出的（1896），不变因子和初等因子是从西尔维斯特和魏尔斯特拉斯的工作中产生的，并被弗罗贝尼乌斯用于矩阵中，进一步合乎逻辑地系统化了不变因子和初等因子在矩阵中的理论（1878）。
正交矩阵被赫尔默特（F.R.Helmert，1843——1917）和弗罗贝尼乌斯研究，并引起很多注意。
从魏尔斯特拉斯的行列式工作（1868）中可以直接导出相似矩阵的概念及其性质。
相似矩阵和特征方程的关系被若尔当（M.E.C.Jordan，1838——1922）拓展了，而弗罗贝尼乌斯则用逆变换处理相似变换，并给出合同矩阵概念。
梅茨勒（W.H.Metaler，1863——?）引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式（1892）。
矩阵用来表示二次型和双线性密切关系。
凯莱提出了把超复数当作矩阵来看待的思想。
行列式和矩阵被推广到了无限阶，并与傅里叶级数相联系，这方面的工作在后来的积分方程理论中展示了广泛的天地。
把矩阵和行列式的元素从整数到实数，再到复数是的另一个方向的推广，不过矩阵的性质还与元素的性质相联系，20世纪对矩阵的研究已经完全将元素置于一般的抽象域，并在物理学中发挥了重要作用。
2早期行列式计算中孕育的矩阵思想从数学史看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。
行列式与矩阵的发明就属于这和情形。
行列式出现于线性方程组的求解。
它的名称最先由柯西使用。
现在的两条竖线记法是由凯莱最先给出的（1841）。
柯西给出行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理，得到行列式的乘法定理ijij ijc b a=⋅，其中ija 和ijb代表n 阶行列式，而∑=kkj ik ijb ac ，即在乘积的第i 行第j 列的项是ija 的第i 行和ijb 的第j 列的对应元素和乘积之和。
柯西还改进了拉普拉斯行列式展开定理，并给了一个证明。
行列式理论的另一发展者是英国数学家西尔威斯特（J.J.Sylvester ，1814——1897）。
他改进了从一个n 次的和一个m 次的多项式中消去x 的方法，引入了初等因子概念，还对矩阵理论有所创见。
最先讨论函数行列式的是雅可比。
他于1841年给出函数行列式的求导公式∑=∂∂=∂∂ji ij ij ij ij a A t D A a D ,',其中ija 是t 的函数，ijA 是ija 的余子式，D 是行列式。
他还将行列式应用到多重积分的变数替换中，得出某些结果。
矩阵一词是西尔威斯特于1850年首先使用的，但矩阵理论早已见诸于各种数学论著。
中国古代《九章算术》中的方程组解法实质上就是一种南增广矩阵的运算。
在行列式的研究中也涉及一些矩阵方法。
不过，将矩阵作为一个数学对象来研究是由凯莱开始的，他被认为是矩阵论的创立者。
1855年凯莱引进矩阵以化简线性变换的记号，给出一些基本概念。
1858年他双定义了零矩阵、矩阵的和与积等概念，讨论了特征方程与特征值，得到与特征方程有关的凯莱-哈密顿定理等。
弗罗贝尼乌斯于1879年引入了矩阵的秩的概念，还于1878年将行列式中的不变因子和初等因子理论。
同时他使用了正交矩阵一词，证明了：如果S表示一对称矩阵，T表示一斜对称矩阵，则正交矩阵总能写成(T/()I+-。
他的论述还涉及TIS/())(TS+T-的形式，或简记为)矩阵的相似变换，合同矩阵或同步矩阵的概念等。
现代行列式与矩阵的研究从形式上已推广到无限阶，从内容上已有属于抽象域的元素的矩阵，这些理论都在继续发展之中。
3矩阵思想的形成矩阵思想其实很早就有了，至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程时的应用，《九章算术》中有许多例子，我们举一例。
例1 今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔，直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。
问羊、犬、鸡、兔价各几何？答曰：羊价一百七十七；犬价一百二十一；鸡价二十三；兔价二十九。
术曰：如方程，以正负术入之。
861958117514961532576331242345用左列第一行数遍乘行中各数，由所得新数减去右列适当倍数，以消去头数为止。
同样的方法消去右边各列头数。
然后消去第二行数，如此下去求得兔价。
其实和今天列方程解是一样的。
今解：设羊、狗、鸡、兔每只钱各为x 、y 、z 、u ，则依据题设条件列方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++8615329585731175362414962345u z y x u z y x u z y x u z y x得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====2923121177u z y x在18世纪或者更早些时候，数的方阵的行列式已被计算和使用了通常是在解线性方程组时使用。
尽管在当时阵列本身并没有单独引起注意。
19世纪的其他工作导致阵列更加形式的计算，并在19世纪中叶导致了矩阵概念的定义以及矩阵代数的发展。
除了这些形式化的工作，还有矩阵论发展中深刻的一面，即从高斯二次型的研究中发展出来的成果，并最终引起了相似、对角化和标准型的矩阵分类。